高中数学第一章三角函数章末复习课导学案新人教A版必修4
高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)导学案 新人教A版必修4-新人
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期.3.掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一 函数的周期性思考1 如果函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，那么3是f (x )的周期吗？答案 不一定.必须满足当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋3)＝f (x )，才可以说3是f (x )的周期.思考2 所有的函数都具有周期性吗？答案 不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.思考3 周期函数都有最小正周期吗？答案 周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )，所有非零实数T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期. 梳理 函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期.知识点二 正弦函数、余弦函数的周期性思考1 证明函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数.答案 ∵sin(x ＋2π)＝sin x ，cos(x ＋2π)＝cos x ，∴y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数，且2π就是它们的一个周期.思考2 证明函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))(Aω≠0)是周期函数. 答案 由诱导公式一知，对任意x ∈R ，都有A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin[ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期. 同理，函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)也是周期函数.梳理 由sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cos x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π (k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π. 知识点三 正弦函数、余弦函数的奇偶性思考 对于x ∈R ，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？答案 奇偶性.梳理 (1)对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称.(2)对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称.类型一 三角函数的周期性例1 求下列函数的最小正周期.(1)y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )； (2)y ＝|sin x |(x ∈R ).解 (1)方法一 令z ＝2x ＋π3，因为x ∈R ，所以z ∈R . 函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，即变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得.而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的最小正周期是π. 方法二 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为2π2＝π. (2)因为y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z ).其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.反思与感悟 对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解. 跟踪训练1 求下列函数的周期.(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π3；(2)y ＝|cos 2x |. 解 (1)T ＝2π|－12|＝4π. (2)T ＝π2. 类型二 三角函数的奇偶性例2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x 1＋sin x. 解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1.解得定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }. ∴f (x )的定义域关于原点对称.又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x ).∴f (x )为奇函数.(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数.反思与感悟 判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f (x )与f (－x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.解 (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12. ∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z . ∴f (x )既是奇函数又是偶函数.类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值. 解 ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32. 反思与感悟 解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内.跟踪训练3 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6的值. 解 因为f (x )是以π2为周期的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1.类型四 函数周期性的综合应用例4 已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)的值. 解 ∵f (1)＝cos π3＝12，f (2)＝cos 2π3＝－12，f (3)＝cos π＝－1，f (4)＝cos 4π3＝－12，f (5)＝cos 5π3＝12，f (6)＝cos 2π＝1， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0.同理，可得每连续六项的和均为0.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝cos 2 017π3＋cos 2 018π3＋cos 2 019π3＋cos 2 020π3＝cos π3＋cos 2π3＋cos π＋cos 4π3＝12＋(－12)＋(－1)＋(－12)＝－32. 反思与感悟 当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.跟踪训练4 设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝ .解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝335[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝335⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π ＋f (335×6＋1)＋f (335×6＋2)＋f (335×6＋3)＋f (335×6＋4)＋f (335×6＋5)＝335×0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＝0.1.函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A.π2B.πC.2πD.4π 答案 D2.下列函数中最小正周期为π的偶函数是( )A.y ＝sin x 2B.y ＝cos x2 C.y ＝cos xD.y ＝cos 2x 答案 D3.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数.4.函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为 . 答案 ±π解析 ∵T ＝2π|ω|＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π. 5.若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝ . 答案 22 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性.课时作业一、选择题1.下列函数中，周期为π2的是( ) A.y ＝sin x 2B.y ＝sin 2xC.y ＝cos x 4D.y ＝cos(－4x ) 答案 D解析 T ＝2π|－4|＝π2. 2.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20答案 B3.已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |(x ∈R )为奇函数，则a 等于( )A.0B.1C.－1D.±1答案 A解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝sin(－x )－|a |＝－f (x )＝－sin x ＋|a |，所以|a |＝0，从而a ＝0，故选A.4.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )A.y ＝cos|2x |B.y ＝|sin x |C.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x D.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x 答案 D 解析 y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式求得其最小正周期T ＝π. 5.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k ＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A.10 B.11 C.12 D.13答案 D解析 ∵T ＝2πk 4≤2，即k ≥4π， ∴正整数k 的最小值是13.6.函数y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x的奇偶性为( ) A.奇函数B.既是奇函数也是偶函数C.偶函数D.非奇非偶函数答案 D解析 由题意知，当1－sin x ≠0，即sin x ≠1时，y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x＝|sin x |， 所以函数的定义域为{x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z }， 由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数.7.函数f (x )＝3sin(23x ＋15π2)是( ) A.周期为3π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为3π的奇函数D.周期为4π3的偶函数 答案 A二、填空题8.若0<α<π2，g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)是偶函数，则α的值为 . 答案 π4解析 要使g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)为偶函数， 则需π4＋α＝k π＋π2，k ∈Z ，∴α＝k π＋π4，k ∈Z . ∵0<α<π2，∴α＝π4. 9.函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1的图象关于 对称.(填“原点”或“y 轴”) 答案 y 轴解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1＝2cos 2x ＋1， ∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数.∵偶函数的图象关于y 轴对称，∴f (x )的图象关于y 轴对称.10.关于x 的函数f (x )＝sin (x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数.其中错误的是 .(填序号)答案 ①④解析 当φ＝0时，f (x )＝sin x 是奇函数.当φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数. 三、解答题11.判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ；(3)f (x )＝e sin x ＋e －sin x e sin x －e－sin x . 解 (1)∵x ∈R ，f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x .∴f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数.(2)∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴1＋sin x ≥0，1－sin x ≥0，∴f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域是R .又∵f (－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x )， ＝1－sin x ＋1＋sin x ＝f (x )，∴y ＝f (x )是偶函数.(3)∵e sin x －e －sin x ≠0，∴sin x ≠0，∴x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z .∴定义域关于原点对称.又∵f (－x )＝e sin (－x )＋e －sin (－x)e sin (－x )－e－sin (－x ) ＝e －sin x ＋e sin x e －sin x －esin x ＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数. 12.已知f (x )是以π为周期的偶函数，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，f (x )的解析式. 解 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )， ∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π. 13.已知函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期. 证明 ∵f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且4是它的一个周期.四、探究与拓展14.若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1，4)，则正整数ω的最大值为 .答案 6解析 ∵T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π2＜ω＜2π. ∴ω的最大值是6.15.欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，求ω的最小值.解 函数y ＝A sin ωx 的最小正周期为2πω，因为在每一个周期内，函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y ＝A sin ωx 在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，则y 在区间[0，1]内至少含4934个周期，即⎩⎪⎨⎪⎧ T ＝2πω，4934T ≤1，解得ω≥199π2，所以ω的最小值为199π2.。
人教A版高中数学必修4第一章三角函数复习学案
或{ a4 90 °k?360 °v av k?360 ° k € Z}(象间角)：当角的终边与坐标轴重合时叫轴上角，它不属于任何一a 终边相同的角，连同角a 在内，可构成一个集合 S={ 33= a + k?360 ° k € Z}，即任一与角 a 终边相同的角，都可以表示成角 a 与整个周角的和.3•几种特殊位置的角: (1) 终边在x 轴上的非负半轴上的角： a =k?360°, k € Z ; (2)终边在x 轴上的非正半轴上的角： a =180° +?360° k € Z ;(3) 终边在x 轴上的角：a = k?180° k € Z ; (4) 终边在y 轴上的角：«=90°+ k?180° k € Z ; (5)终边在坐标轴上的角： a k?90°, k € Z ;(6) 终边在 y=x 上的角：«=45°+ k?180° k € Z ;(7) 终边在 y= — x 上的角：a = — 45°+ k?180° k € Z 或 a=135°+ k?180° k € Z ; (8)终边在坐标轴或四象限角平分线上的角： a k?45° k €Z .例1已知a 为锐角，那么2 %是( ).A .小于180。
的正角B .第一象限的角C .第二象限的角D .第一或第二象限的角 答案：A解析：•/ a 为锐角，••• 0°v av 90° A 0°v 2 aV 180° 故选 A .例2射线OA 绕端点0逆时针旋转120°到达OB 位置，由0B 位置顺时针旋转 270°到达OC 位置,、任意角 广义角正角:f 按边旋转的方向分零角: 负角:按终边的位置分第一章三角函数按逆时针方向旋转形成的角叫做正角. 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角. 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 第一象限角 第二象限角 「第三象限角第四象限角 { a k?360°v av 90°+k?360° , k € Z} { o|90 +k?360°v av 180°+k?360° k € Z} { o|180 +k?360°v av 270° + k?360° k € Z}{ o|270 +k?360 °v av 360 °+ k?360 ° k € Z} 个象限.轴上角 2.终边相同角的表示：所有与角则/ AOC =( )A. 150° B .— 150° C . 390° D390°答案：B解析：各角和的旋转量等于各角旋转量的和 ，「.120°+ （— 270°） =— 150°. 例3如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是（）A . { a — 45 °< a< 120 °B . {切120 ° a< 315 °C . { a k?360 °— 45 °w aW k?360 °+ 120 °, k € Z}D . { M k?360 °+ 120 °< a< k?360 °+ 315 °, k € Z} 答案：C解析：由如图所知，终边落在阴影部分的角的取值是 k?360° — 45° < a< k?360° + 120° k € Z ,故选C .、弧度制1•弧度：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做2. 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 3•如果半径为r 的圆的圆心角 a 所对弧的长为I ，那么，角a 的弧度数的绝对值是1804.角度制与弧度制的换算：（1） 1 = rad ;（ 2） 1rad =（）.180例1扇形的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是（）弧度.答案：C1弧度的角，用符号rad 表示.相关公式：（1） ln r 180(2) S 」lr22n r360r 27t解析：•••圆心角所对的弦长等于半径，.••该圆心角所在的三角形为正三角形，.••圆心角是 n 弧度.3 例2在直角坐标系中，若角a 与角B 终边关于原点对称，则必有()•答案：D解析：将a 旋转n 的奇数倍得3 .例3在半径为3cm 的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为( ). n3 n 2 n A . 3cm B . n cmC . qcmD . ycm答案：B解析：由弧长公式得，1 =|a|r = n<3 = n (cm ).三、三角函数定义a 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P (x , y ),那么:(1) y 叫做a 的正弦，记作sin a,即sin a =y ;(2) x 叫做a 的余弦，记作 cos a,即cos a =x ; (3) —叫做a 的正切，记作tan a,即tan a =)(X M 0).xx3. 同角三角函数的基本关系商的关系：当 a k n+n (k € Z )时，tan .2cos例1已知角a 的终边经过点(一4, 3),则cos a=()4 33 A. 5 B. 3C. —3答案：D解析：由条件知：x =-4, y = 3,则 r = 5，二 cos a= : =-4.例 2 若 sin 0?cos (X 0，则 9在( )答案：D解析：■/ sin 0cos 0< 0,二 sin (, cos 0异号.当 sin (>0, cos 0< 0 时，(在第二象限；当 sin (v 0, cos 0B . a=— 2k n±( k € Z )C . a= n+ 3D . a= 2k n~ n+ 3( k1 .单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.2.利用单位圆定义任意角的三角函数：设 平方关系： sin 2cos 1sin 1 cos ; cos 1 sin 2A .第一、二象限B. 第一、三象限C. 第一、四象限D. 第二、四象限2 .5> 0时，B 在第四象限.4例3已知角a 的终边经过点 P (- b , 4)，且sin a=，贝y b 等于()5 A . 3 B 3 C . ±3 D . 5答案：C解析：r = |0P|=、/b 2+ 16, sin a= )4= 4,-b= ±3.V^b 2+ 16 5四、三角函数的诱导公式 公式一公式二公式三公式四 sin k 2 sin sin sin sin sin sin sincos k 2coscos cos cos cos cos cos tank 2 tantantantantantantan【注】其中k Z公式一到四可以概括如下： k 2 k Z , , 的三角函数值， 等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.公式五公式六加上一个把看成锐角时原函数值的符号（奇变偶不变，符号看象限）例 1 sin600 =( )答案：Csin600 = sin (360°+ 240° = sin240 = sin (180° + 60° =— sin60 =— 例2已知角B 的终边过点（4，— 3），则cos （ n — 9）=（）答案：Bsin —cos sin —cos 2 2cos —sincos —sin22tan — cottan —cot222的正弦（余弦）函数值，分别等于余弦（正弦）函数值，前面解析: 公式五、六可以概括如下:x 4 4解析：由题意、，知cos B=-=二，…cos ( n- 0) = —cos 0=——r 5 5例3下列各三角函数值：① sin 1125 ° ② tan37nn Sin3^;③:④ sin 1 - cosl.12 12 tan3其中为负值的个数是（）.A . 1B . 2 个C. 3 个 D . 4 个答案：B解析：1125°= 1080°+ 45°贝U 1125°是第一象限的角，所以sin 1125 °> 0;因37n= 2 n+瑕n则話n 是第三象限角，所以tan37n>0, sin^nV 0，故tan^n sin^nV 0;因3弧度的角在第二象限，则sin3 n nsin3>0. tan3v0，故:―V 0；因匚< 1 V n,贝V sin1—cos1>0.二②③为负数•因此选 B .' ta n3 4 2注意：y sinx周期为2n；y |sinx|周期为n y |sinx k|周期为2n；y sin|x|不是周期函数.例1函数y= sin （x —今的一条对称轴可以是直线（）•4n 7 n 3 n nA • x= 2 B• x= —C. x=——D• x =-答案：B解析：解法一：令x—n= k n+ n, k€ Z,「. x= k n+ k€ Z.当k= 1 时，x=今，故选 B .解法4 2 4 4二：当x= 寸，y= sin （今一= sin^^—1，二x=今是函数y= sin （x—T）的一条对称轴.4 4 4 2 4 4例2函数y= sin2x的单调减区间是（).n 3A . 2+ 2k n 2 n+ 2k n ( k€ Z)B .nk n+ 4,3k n+_ n4(k€ Z)C. [ n+ 2k n, 3 n+ 2k n]( k€ Z) D .n k n—~,4k n+n4(k€ Z)答案：Bn 3 n 3解析：由2k n+ 2三2x W 2k n+ 2 n, k€ Z 得y = sin2x 的单调减区间是[k n+ 4, k n+ ^4 n ] ] k € Z）3例3已知函数y= 1 + sinx, x€ [0, 2n,则该函数图象与直线y = ?交点的个数是（）.A . 0B . 1C . 2D . 3答案：C3解析：分别作出函数y= 1+ sinx, x€ [0 , 2n与直线y = ?的图象，如下图所示：3由图可知，函数y= 1 + sinx, x€ [0, 2 n与直线y=号有两个交点，故选C.例 4 已知函数 f (x)= iog1(lsin2x).2 2(1)求f (x)的定义域、值域和单调区间；(2)判断f (x)的奇偶性.解：(1)要使函数有意义，须sin2x> 0,••• 2k n< 2x v 2k n+ nn• k nV X V k n+ ( k€ Z),• f (x)定义域为(k k ), k€ Z .， 21 1T O v sin2x w 1, • 0V尹n2x w ?，1•• log1 (-sin 2x)》1即值域为[1，+ m).2 2令y= sin2x,则函数y= sin2x的增区间即为函数 f (x)的减区间，函数y= sin2x的减区间即为函数f (x)的增区间.•函数f (x)的单调递减区间为k k 一 (k€ Z),， 4n n单调递增区间为k n+ 4，k n+ n( k€ Z).(2)定义域关于原点不对称，故既不是奇函数，也不是偶函数.六、函数y Asin( x )1 .得到函数y Asin( x )图像的方法:答案：B 解析： 由 2k n2X + 詐竽+ 2k n(k € Z )得右+ X x w 伊 k n(k € Z ),.••选 B .例4已知函数f (x )= 2sin ( wx+ 0)的图象如图所示，贝U f ( —) = ______________12①y sinx 平移变换sin(x )周期变换sin( x )振幅变换Asin( xy=s inx周期变换sin 向左或向右平移丨个单位y sin( x振幅变换y Asi n(2•函数 y A sin0, 0的性质:①振幅: A ;②周期: :③频率: :④相位::⑤初相:函数yA sinB ,当x x 1时，取得最小值为ymin ；X 2时，取得最大值为ymax ,例1函数 ymaxymin_ 1B 2 ymax yminTX 2 X i X i2y = 5sin 尹+ 的最小正周期是().答案：C B . |n例2 曲线5 n A .- "12答案:D例3 函数 (2x +n )的一条对称轴是(65 nB . x = 12C . ).7nx =— 67_nx= 6n2x + 3在区间［0, n ］的一个单调递减区间是(B. 12， 125 n 11 nC .12， 12y = sin y = sin2 n解析：T =--I "答案：0 解析：由图象知，T =弩，■/ f(-) = 0，二 f (^―) = f (一 一) f (一 T )3 4 12 4 3 4 2例5已知函数y = Asin （ »+ 0） （A >0, w >0, 才）的图象的一个最高点为（ 个最高点到相邻最低点，图象与 x 轴交于点（6, 0）,试求这个函数的解析式. 解：已知函数最高点为 （2, 2.2）,A A = 2 2.又由题意知从最高点到相邻最低点，图象与x 轴相交于点（6, 0）,而最高点与此交点沿横轴/• y = 2<2sinsin ( 3n+ o )= 0，又••• n n•••函数的解析式为 y = 2 ,2sin (T X +T) 8 42, 2 2），由这 方向的距离正好为 1 4个周期长度，••• T =6-2=4，即 T =16 将点（6, 0） 的坐标代入，有 2 ,2sin (n ><6 + ® = 0, 8。
高中数学 第一章 三角函数教案 新人教A版必修4
分析：如何依据换算公式？（抓住：终边在坐标轴上时的正弦线、余弦线、正切线的情况？α的大小.3π与4sin 5π；2tan 3π与4tan 5π.P45 5题7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起．．．．．．．点无关）．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. （四）理解和巩固： 例1 书本86页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定） （2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定） （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量） （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量） （6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同） （7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定） 例3下列命题正确的是（ ）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.例4 如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA 、OB 、OC 相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 变式三：与向量共线的向量有哪些？（FE DO CB ,,） 课堂练习：1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同.2．书本88页练习三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书本88页习题2.1第3、5题OABaaab bb如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定：a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |；（3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =A BCa +ba +baa b b aｂｂ ａa)(-+t OA tOB te是同一平面内的两个向量，则有例2（教材P98）已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系.例3（教材P99）设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).(1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.例4若向量a=(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x解：∵a=(-1，x)与b =(-x ， 2) 共线 ∴(-1)×2- x •(-x )=0∴x=±2 ∵a 与b 方向相同 ∴x=2例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB 与CD 平行吗？直线AB与平行于直线CD 吗？ 四、课堂练习：1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ） A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ ） A.-3 B .-1 C.1 D.33.若AB =i +2j ， DC =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). AB 与DC 共线，则x 、y 的值可能分别为（ ） A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y = .5.已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .6.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 五、小结本节课主要讲述了平面向量的坐标的概念及平面向量的坐标运算；大家要会根据向量的坐标，判断向量是否共线.C对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能. 四、课堂练习：1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.123.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ） A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= . 5.已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .。
高中数学 第一章 三角函数的图象复习导学案 新人教版必修4
§4- 4 三角函数的图象【课前预习】阅读教材3034P -完成下面填空：1．“五点法”画正弦函数[]sin ,0,2y x x π=∈的简图，五个特殊点是（ ， ）、（ ， ） （ ， ）（ ， ）（ ， ）。
2． 由函数sin y x =的图象到函数2sin(2)23y x π=++的图象的变换方法之一为： ①将sin y x =的图象向左平移 个单位得 sin()3y x π=+图象，②再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的 得sin(2)3y x π=+图象，③再保持图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍得2sin(2)3y x π=+图象， ④最后将所得图象向 平移2个单位得2sin(2)23y x π=++的图象． 这种变换的顺序是：①相位变换 ②周期变换 ③振幅变换。
若将顺序改成②①③呢？【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题：1．函数)92sin(21π-=x y 的振幅是______,； 频率是______,,初相是______；2．用“五点法”画函数)3sin(2π-=x y 的图象时，所取五点为（ ， ）、（ ， ） （ ， ）（ ， ）（ ， ）。
3．函数]2,0[,sin 1π∈+=x x y 的图象与直线2=y 交点个数是_____个。
4．如果把函数)cos(x y -=的图象向右平移2个单位后所得图象的函数解析式为 。
5．函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点),0,12(π则ϕ 的一个值是强调（笔记）：【课中35分钟】边听边练边落实6. 画出下列函数的简图：（1）sin ,[0,2]y x x π=-∈；（2）1cos ,[0,2]y x x π=+∈。
7. 试说明下列函数的图象与函数x y sin =图象间的变换关系： (1));3sin(π+=x y (2);2)322sin(--=πx y (3)x y sin 2=。
8. 函数)(x f 图象的一部分如图所示，则)(x f 的解析式为 ( )A ．5.33sin 4)(+=xx f πB ．46sin 5.3)(+=xx f π C ．5.43sin 5.3)(+=x x f π D ．5.3(x f π【课末5分钟】知识整理、理解记忆要点：1.2.3.4.0.5 3 9 0【课后15分钟】自主落实，未懂则问：1．要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 图象上的点的___坐标_____到原来的____倍，再向___平移____个单位。
人教A版必修4第一章复习学案
必修4 第一章§4-1任意角及任意角的三角函数【课前预习】阅读教材217P -完成下面填空 1．任意角（正角、负角、零角、锐角、钝角、区 间角、象限角、终边相同角等）的概念；终边 相同的角定义。
2．把长度等于 的弧所对圆心角叫1弧度角；以弧度作为单位来度量角的单位制叫做 ．1︒= rad, 1 rad=o。
3．任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，(,)P x y 是α终边上的任一异于原点的点，则=αsin ，=αcos ，=αtan 。
4．角α的终边交单圆于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则角α的正弦线用有向线段 表示，余弦线用 表示，正切线用什么表示呢？ 5．（1）终边落在第一象限的角的集合可表示为 ；（2）终边落在X 轴上的角的集合可表示为 。
6．sin α的值在第 象限及 为正；cos α在第 象限及 为正值；tan α 在第 象限及 象限为正值． 7．扇形弧长公式l = ; 扇形面积公式S= 。
【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．0570- = 弧度，是第___ _象限的角；=π53度，与它有相同终边的角的集合为__________，在[－2π，0]上的角是 。
2．3tan 2cos 1sin ⋅⋅的结果的符号为 。
3．已知角α的终边过点)3,4(-P ,则a sin =_______,a cos =_______,a tan =_______。
4．函数|tan |tan cos |cos ||sin |sin x xx x x x y ++=的 值域是 。
5．已知扇形的周长是6cm ，面积是22cm ，则扇形的中心角θ的弧度数是 。
【课中35分钟】 边听边练边落实6.．已知α是第二象限的角,问：(1)α2是第几象限的角？(2)2α是第几象限的角？7．已知角α的终边过点(,2)(0)P a a a -≠，求：(1)tan α；(2)sin cos αα+。
高中数学 第一章 三角函数教案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教案
三角函数模块专题复习 ——任意角的三角函数及诱导公式一、教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等. 二、教学目标1、知识与技能：掌握三角函数的基础知识及简单应用. 2、过程与方法：选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。
3、情态与价值：掌握三角函数的基础知识及简单应用，培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。
三、教学重点与难点教学重点:三角函数的图形和性质. 教学难点: 三角函数的图形和性质. 四．要点精讲 1．任意角的概念 旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。
规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2．终边相同的角、区间角与象限角 3．弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。
角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分.角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径。
新编人教A版高中数学必修4第一章三角函数导学案
第一章 三角函数1.例说弧度制中的扇形问题与扇形有关的问题是弧度制中的难点，我们可以应用弧长公式l ＝|α|r 和扇形面积公式S ＝12|α|r 2解决一些实际问题，这类问题既充分体现了弧度制在运算上的优越性，又能帮助我们加深对弧度制概念的理解.下面通过几例帮助同学们分析、归纳弧度制下的扇形问题. 例1.已知扇形的圆心为60°，所在圆的半径为10，求扇形的弧长及扇形中该弧所在的弓形面积.解.设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则α＝60°＝π3，r ＝10，所以l ＝αr ＝10π3，所以S弓＝S 扇－S △＝12lr －12r 2sin α＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.评注.本题利用扇形面积求弓形面积，解题时要根据具体问题进行分割，再求解.例2.扇形的半径为R ，其圆心角α(0＜α≤π)为多大时，扇形内切圆面积最大，其最大值是多少？解.如图，设内切圆半径为r .则(R －r )sin α2＝r ，所以r ＝R sinα21＋sinα2，则内切圆的面积S ＝πr 2＝π⎝⎛⎭⎪⎫R sinα21＋sinα22＝πR 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sinα21＋sin α22. 因为sinα21＋sin α2＝11＋1sinα2，且0＜α2≤π2，所以当α2＝π2，即α＝π时，S max ＝πR 24.评注.解决扇形问题要注意三角形一些性质的应用，建立相等关系，进而求解.例 3.已知扇形的周长为30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解.设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，所以l ＝30－2r ，从而S ＝12lr ＝12(30－2r )·r ＝－r 2＋15r ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －1522＋2254cm 2，所以当半径r ＝152cm 时，扇形面积最大，为2254cm 2.这时α＝lr＝2.评注.本题是利用扇形面积公式建立二次函数，进而求二次函数的最值.此题是扇形周长一定时，求扇形的面积的最大值，利用此法也可以求当扇形的面积一定其周长的最小值问题. 针对练习：1.扇形的周长C 一定时，它的圆心角θ取何值才能使扇形面积S 最大？最大值是多少？2.在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，弧AB 的长为l ，求此扇形内切圆的面积.3.已知扇形AOB 的周长是6 cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积. 答案.1.θ＝2时，扇形面积最大，最大值为C 216.2.S ＝πr 2＝12－82πl 2.3.2 cm 2.2.任意角三角函数问题错解辨析任意角三角函数是三角函数的基础，在学习这部分内容时，有的同学经常因为概念不清、考虑不周、观察代替推理等原因而错解题目，下面就解题中容易出现的错误进行分类讲解，供同学们参考. 一、概念不清例1.已知角α的终边在直线y ＝2x 上，求sin α＋cos α的值. 错解.在角α的终边所在直线y ＝2x 上取一点P (1，2)， 则r ＝12＋22＝ 5. 所以sin α＋cos α＝y r ＋x r＝25＋15＝355.剖析.错解未弄清直线与角的终边的区别，误认为在角α的终边所在直线上取一点与角α的终边上任取一点都可以确定角α的三角函数值，由任意角三角函数的定义知这是错误的. 正解.在直线y ＝2x 的第一象限部分取一点P (1，2)，则r ＝12＋22＝ 5. 所以sin α＋cos α＝y r ＋xr＝25＋15＝355.在直线y ＝2x 的第三象限部分取一点P (－1，－2)， 则r ＝(－1)2＋(－2)2＝ 5. 所以sin α＋cos α＝y r ＋x r ＝－25＋－15＝－355.综上，sin α＋cos α的值为355或－355.二、观察代替推理例2.当α∈(0，π2)时，求证：sin α<tan α.错解.如图，设角α的始边与x 轴非负半轴重合，角α的终边与单位圆的交点为P ，过P 作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，过A (1，0)作单位圆的切线与角α的终边交于点T ，则MP ＝sin α.记AP 的长为l ，则l ＝α·OP ＝α，AT ＝tan α.观察可得MP ＜l ＜AT ，所以sin α＜α＜tan α.剖析.证明过程中，通过观察得到的结论，缺乏理论根据，这是不允许的.正解.设角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为P ，过P 作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，过A (1，0)作单位圆的切线与角α的终边交于点T ，则MP ＝sin α.记A P 的长为l ，则l ＝α·OP ＝α，AT ＝tan α. 因为S △OAP ＜S 扇形 OAP ＜S △OAT ， 所以12OA ·MP ＜12OA ·l ＜12OA ·AT .所以MP ＜l ＜AT ，即sin α＜α＜tan α. 三、估算能力差例3.若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin θ＋cos θ的一个可能的值是(..)A.23B.27πC.4－22D.1 错解.因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以0＜sin θ＜1，0＜cos θ＜1. 因此选A.剖析.由于方法不当，估算能力差，没有正确估算出sin θ＋cos θ的范围，造成错误。
高中数学 第一章 三角函数 三角函数线复习教案 新人教A版必修4(2021年整理)
广东省汕头市高中数学第一章三角函数三角函数线复习教案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广东省汕头市高中数学第一章三角函数三角函数线复习教案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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三角函数线复习指出:作三角函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数.1。
、正弦函数图象的画法． 问题1：作出函数[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象画法：几何描点法（演示)问题２:如何作出函数∈=x x y ,sin R 的图象？终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y ＝sin x 在x ∈［2k π，2（k ＋1）π],k ∈Z 且k ≠0上的图象与函数y =sin x 在x ∈［0，2π）上的图象的形状完全一样,只是位置不同，于是我们只要将函数y ＝sin x ，x ∈［0,2π)的图象向左、右平行移动（每次2个单位长度），就可以得到正弦函数y ＝sin x 在x ∈R 上的图象.2、用五点法作正弦函数的简图思考:用这种方法来作图象,虽然比较精确，但不太实用，我们该如何快捷地画出正弦函数的图象呢？在函数y ＝sin x ，x ∈［0,2π］的图象上，起着关键作用的点只有以下五个：（0，0),（错误!，1)，（π,0），（错误!，－1),（2π，0）描出这五个点后，函数y ＝sin x ，x ∈［0，2π］的图象的形状就基本上确定了。
因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑曲线将它们连结起来，就可得到函数的简图。
高中数学 第一章三角函数复习(一)全册精品教案 新人教A版必修4
第一章三角函数复习(一)教学目的【过程与方法】一、知识结构：二、知识要点：1. 角的概念的推广：(1) 正角、负角、零角的概念：(2) 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：}Z ,360|{∈+︒⋅==k k S αββ ① 象限角的集合：第一象限角集合为： ；第二象限角集合为： ；第三象限角集合为： ；第四象限角集合为： ；② 轴线角的集合：终边在x 轴非负半轴角的集合为： ；终边在x 轴非正半轴角的集合为： ；故终边在x 轴上角的集合为： ；终边在y 轴非负半轴角的集合为： ；终边在y 轴非正半轴角的集合为： ；故终边在y 轴上角的集合为： ；终边在坐标轴上的角的集合为： .2. 弧度制：我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制. 在弧度制下，1弧度记做1rad .(1) 角度与弧度之间的转换：① 将角度化为弧度： π2360=︒ π=︒180 rad 01745.01801≈=︒πrad n n 180π=︒② 将弧度化为角度：︒=3602π ︒=180π 815730.57)180(1'︒=︒≈︒=πrad ︒=) 180(πn n (2) 把上述象限角和轴线角用弧度表示.(3) 上述象限角和轴线角用弧度表示：; α⋅=r l 弧长公式：. 21lR S =扇形面积公式： 3. 任意角的三角函数：. 0 ),( (1)22>+=y x r y x P 是它与原点的距离，的坐标是其终边上任意一点是一个任意大小的角，设α ①;sin sin ry r y =ααα，即的正弦，记作叫做比值 ②;cos cos rx r x =ααα，即的余弦，记作叫做比值 ③.tan tan x y x y =ααα，即的正切，记作叫做比值(2) 判断各三角函数在各象限的符号：(3) 三角函数线：4. 同角三角函数基本关系式：(1) 平方关系： 1cos sin 22=+αα(2) 商数关系：αααcos sin tan =5. 诱导公式诱导公式(一) )Z (tan )2tan()Z (cos )2cos()Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ诱导公式(二)tan )tan(cos )cos(sin )sin(ααπααπααπ=+-=+-=+诱导公式(三)tan )tan(cos )cos(sin )sin(αααααα-=-=--=-诱导公式(四)sin(π－α)=sin αcos(π －α)=－cos αtan (π－α)=－tan α诱导公式(五)ααπααπααπtan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=-=--=-对于五组诱导公式的理解 ：可以是任意角；公式中的α .1.360,180, 180 , , )Z ( 360 .2符号看成锐角时原函数值的前面加上一个把它的同名三角函数值，于等的三角函数值，括为：这五组诱导公式可以概αααααα-︒-︒+︒-∈+︒⋅k k 函数名不变，符号看象限3.利用诱导公式将任意角三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤：三、基础训练： ) ( sin ],2,[,23)(cos .1的值为则且已知αππααπ∈=+ 23 D. 21 C. 21- B. 21 A.±±23 D. 23 C. 21- B. 21 A.) ( )647(-cos .2-的值为π . __________)3cos(,tan )3tan(,101-)sin(3 .3=--=-=+παααπαπ则且若. _______)tan()cos(-)sin( .4=--⋅+απααπ化简： ) (cot tan ,32cos sin .5的值是则已知θθθθ+=+ 518- D. 45 C. 49 B. 185 A. . _____cos sin ,83cos sin .6=+=⋅ααααα是第三象限角，则且已知 四、典型例题：.),360,360(),2,2()2( _____630(1) 1.中绝对值最小的角，并求出的集合试写出角并且的终边经过点若角象限角；是第角，则后成为角边在按顺时针方向旋转是第二象限角，当其终若例A A P αααααθ︒︒-∈-︒ . ,30 125 (2) ___,43tan ___,34cos ___,3sin 2.(1)2求扇形的弧长和半径长弧度，面积为已知扇形的圆心角为计算：例cm πππππ===例3. 化简：设Z,∈k .])1cos[(])1sin[()cos()sin(απαπαπαπ-++++-k k k k 五、课堂小结1. 任意角的三角函数；2. 同角三角函数的关系；3. 诱导公式.六、课后作业1. 阅读教材P.67-P.68；2. 《习案》作业十六中1至6题.。
高中数学 第一章三角函数教案 新人教A版必修4
第一章 三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、 教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境：“转体720︒，逆（顺）时针旋转”，角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图1.1.3(2)中，正角210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。
高中数学 第一章《三角函数》导学案 新人教A版必修4
第一章《三角函数》导学案（复习课）【学习目标】１．任意角的概念与弧度制；任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 2．同角三角函数的关系（22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=）,诱导公式； 3．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 ；4．利用三角函数的图象求三角函数的定义域、值域等;5．函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义；函数sin()y A x ωϕ=+图象的变换（平移平换与伸缩变换）;6.会用三角函数解决一些简单实际问题及最值问题. 【导入新课】 复习回顾本章知识 新授课阶段一、同角三角函数基本关系式的运用 例1 若tan 2α=，求（1）sin cos cos sin αααα+-的值；（2）222sin sin cos cos αααα-+的值． 解例2 若1sin cos ,,,cos sin 842ππθθθθθ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭求的值． 解：例3 已知sin()cos(2)tan(3)2()tan()sin()2f παπααπαππαα---+=++．（1） 化简()f α；（2） 若α是第三象限的角，且31cos()25πα-=，求()f α的值； （3） 若01860α=-，求()f α的值． 解：二、正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用 例4 求下列函数的定义域： （1）()f x =；（2）()tan(sin )f x x =；（3）()f x =．解：例5 求下列函数的周期：（1）sin 2sin(2)3cos 2cos(2)3x x y x x ππ++=++；（2）2sin()sin 2y x x π=-；（3）cos 4sin 4cos 4sin 4x x y x x +=-．解：例6 已知函数f(x)=3sin(2x －π6)+2sin 2(x －π12) (x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合． 解:例7 判断下列函数的奇偶性：（１）()sin 2tan f x x x =-； (2 ) 1sin cos ()1sin cos x xf x x x+-=++；(3 ) ()cos(sin )f x x =；(4 ) ()f x =解：例8 已知:函数()()x x x f cos sin log 21-=．(1)求它的定义域和值域； (2)判断它的奇偶性； (3)求它的单调区间； （4）判断它的周期性,若是周期函数,求它的最小正周期. 解:例9 已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈．求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间． 解三、函数sin()y A x ωϕ=+的图象与变换例10已知函数2()2cos 2,(01)f x x x ωωω=+<<其中，若直线3x π=为其一条对称轴.（1）试求ω的值 （2）作出函数()f x 在区间[,]ππ-上的图象．解：例11 已知函数2()sin ()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<，且()y f x =的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）． （I ）求ϕ；（II ）计算(1)(2)(2008)f f f +++L ． 解：例12设函数2()sin cos f x x x x a ωωω=++（其中0,a R ω>∈）.且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是6π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）如果()f x 在区间5[,]36ππ-a 的值．解：四、三角函数的运用例13 某港口水的深度y （米）是时间240(≤≤t t ，单位：时）的函数，记作)(t f y =，下面是某日水深的数据：经长期观察，)(t f y =的曲线可以近似地看成函数sin y A x b ω=+的图象. （1）试根据以上数据，求出函数)(t f y =的近似表达式，（2）一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ 解：例14 如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处（点P 与摩天轮中心Ｏ高度相同）时开始计时.（1） 求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式； （2） 在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于 地面的高度不超过10米. 解：t 时 0 3 6 9 12 15 18 21 24y 米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0例15 如图,ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场的最大值与最小值.解：例16 将一块圆心角为1200，半径为20㎝的扇形铁片裁成一块矩形，有如图(1)、(2)的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值.解：课堂小结主要掌握正弦函数与余弦函数的图象与性质，这是本章的核心知识点，主要的思想方法就是数形结合思想和分类讨论思想. 作业 见同步练习 拓展提升1．34sin ,cos ,255θθθ=-=若则角的终边在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限２．已知sin 1,cos 43k k θθ=-=-，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )A ．43k >Ｂ．1k = Ｃ．85k = Ｄ．1k > ３．已知1sin 1cos ,cos 2sin 1x xx x +=--那么的值是 （ ） A ．12 B ．12- Ｃ．２ Ｄ．－２4. 给出四个函数，则同时具有以下两个性质的函数是：①最小正周期是π；②图象关于点（6π，0）对称 （ ） （A ）)62cos(π-=x y （B ）)62sin(π+=x y （C ）)62sin(π+=x y （D ）)3tan(π+=x y5．为了使函数)0(sin >=ωωx y 在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是（ ）（A ）π98 （B ）π2197 （C ）π2199（D ）π100 6.函数f （x ）=cos 2x +sin x 在区间［－4π，4π］上的最小值是 （ ） A.212- B.－221+ C.－1 D.221- 7．函数f (x )=sin(2x+φ)+3cos(2x +φ)的图像关于原点对称的充要条件是 （ ）A ．φ=2k π－π6 ，k ∈ZB ．φ=k π－π6 ，k ∈ZC ．φ=2k π－π3 ，k ∈ZD ．φ=k π－π3 ，k ∈Z8．在ABC ∆中，2π>C ，若函数)(x f y =在[0，1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是 （A ）)(cos )(cos B f A f > （B ）)(sin )(sin B f A f >（C ）)(cos )(sin B f A f > （D ）)(cos )(sin B f A f < 9.同时具有性质“⑴ 最小正周期是π；⑵ 图象关于直线3x π=对称；⑶ 在[,]63ππ-上是增函数”的一个函数是( ) A ．)62sin(π+=x y B.)32cos(π+=x yC ．)62cos(π-=x y D.)62sin(π-=x y10．若把一个函数的图象按a =r （3π-，－2）平移后得到函数x y cos =的图象，则原图象的函数解析式是 （ ）（A ）2)3cos(-+=πx y （B ）2)3cos(--=πx y （C ）2)3cos(++=πx y （D ）2)3cos(+-=πx y11．为了得到函数y =sin （2x －6π）的图象，可以将函数y =cos2x 的图象 （ ） A.向右平移6π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度D.向左平移3π个单位长度12．若函数f （x ）=sin （ωx +ϕ）的图象（部分）如下图所示，则ω和ϕ的取值是 （ ）xy 2ππO 33-1A.ω=1，ϕ=3π B.ω=1，ϕ=－3π C.ω=21，ϕ=6π D.ω=21，ϕ=－6π13．若函数()f x 图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的两倍，然后再将整个图象沿x 轴向右平移2π个单位，向下平移3个单位，恰好得到1sin 2y x =的图象，则()f x = ．14．函数sin(),(0,0)y A x A ωϕω=+>>为奇函数的充要条件是 ；为偶函数的充要条件是 ．15．一正弦曲线的一个最高点为1(,3)4，从相邻的最低点到这最高点的图象交x 轴于1(,0)4-，最低点的纵坐标为-3,则这一正弦曲线的解析式为 .16．已知方程sinx+cosx=k 在0≤x≤π上有两解，求k 的取值范围.17．数)2||,0,0(),sin(π<ϕ>ω>ϕ+ω=A x A y 的最小值是-2，其图象相邻最高点与最低点横坐标差是3π，又：图象过点(0,1)，求函数解析式.18．已知函数f （x ）=A sin ωx +B cos ωx （A 、B 、ω是实常数，ω＞0）的最小正周期为2，并当x =31时，2)(max =x f .（1）求f （x ）. （2）在闭区间［421，423］上是否存在f （x ）的对称轴?如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由.参考答案例1解：（1）cos sin 1tan 3cos sin 1tan αααααα++===----（2）原式2222222sin sin cos cos 2tan tan 1sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++41533--== 例2解：222(cos sin )cos sin 2sin cos θθθθθθ-=+-13144=-=,,cos sin ,42cos sin ππθθθθθ⎛⎫∈∴< ⎪⎝⎭∴-=Q例3 解：（1）cos cos (tan )()cos tan cos f ααααααα-==-（2）3cos()sin 2παα-=-Q 1sin ,5αα∴=-又是第三象限的角()f αα∴==∴=cos （3）0186********α=-=-⨯+Q00()(1860)cos(1860)f f α∴=-=--1cos(6360300)cos602=--⨯+=-=- 二、正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用 例4 解：（1tan 0x ≥，得tan x ≤()23k x k k Z ππππ-<≤+∈．∴()f x 的定义域为(,]()23k k k Z ππππ-+∈． （2）∵1sin 122x ππ-<-≤≤<，∴x R ∈．即()f x 的定义域为R ．（3）由已知2cos 10lg(tan 1)0tan 10()2x x x x k k Z ππ-≥⎧⎪+≠⎪⎪⎨+>⎪⎪≠+∈⎪⎩，得1cos 2tan 0tan 1()2x x x x k k Z ππ⎧≥⎪⎪≠⎪⎨>-⎪⎪≠+∈⎪⎩，∴223342k x k x k k x k πππππππππ⎧-≤≤+⎪⎪≠⎨⎪⎪-<<+⎩()k Z ∈， ∴原函数的定义域为(2,2)(2,2)()43k k k k k Z ππππππ-+∈U ．例5解：（1）133sin(2)sin 2sin 2cos 2622tan(2)6133cos(2)cos 2cos 2sin 26x x x xy x x x x xπππ+++===+++-， ∴周期2T π=．（2）2sin cos sin 2y x x x =-=-，故周期T π=． （3）1tan 4tan(4)1tan 44x y x x π+==+-，故周期4T π=．例6 解:(1) f(x)=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π12) = 2[32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π12)]+1 =2sin[2(x －π12)－π6]+1= 2sin(2x －π3) +1∴ T=2π2=π(2)当f(x)取最大值时, sin(2x －π3)=1,有2x －π3 =2k π+π2即x=k π+ 5π12 (k∈Z)，∴所求x 的集合为{x∈R|x= kπ+ 5π12, k∈Z}例7 解：（1）()f x Q 的定义域为()2x k k Z ππ≠+∈，故其定义域关于原点对称，又()sin(2)tan()sin 2tan ()f x x x x x f x -=---=-+=-()f x ∴为奇函数（2）2x π=Q 时，1sin cos 2x x ++=，而1sin cos 02x x x π=-++=时,，()f x ∴的定义域不关于原点对称，()f x ∴为非奇非偶函数.（3）()f x Q 的定义域为R ，又()cos(sin())cos(sin )()f x x x f x -=-== ()f x ∴为偶函数.（4） 由lgcos 0x ≥得cos 1x ≥，又cos 1x ≤ cos 1x ∴=，故此函数的定义域为 2()x k k Z π=∈，关于原点对称，此时()0f x = ()f x ∴既是奇函数，又是偶函数.例8 解:(1).由0cos sin >-x x 04sin 2>⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒πxππππ+<-<∴k x k 242 ()k Z ∈∴定义域为()Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++,452,42ππππ, Θ(]2,04sin 2∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx∴值域为.,21⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-(2).Θ定义域不关于原点对称,∴函数为非奇非偶函数（3）Θsin cos 04x x x π⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭()f x ∴的递增区间为35[2,2)()44k k k Z ππππ++∈ 递减区间为3(2,2]()44k k k Z ππππ++∈ (4).()()()122log sin 2cos 2f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎣⎦Q ()12log sin cos x x =-()f x =()f x ∴是周期函数,最小正周期T π2=.例9解(I)1cos 23(1cos 2)()sin 21sin 2cos 22)224x x f x x x x x π-+=++=++=++∴当2242x k πππ+=+,即()8x k k Z ππ=+∈时, ()f x 取得最大值2+函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8x x R x k k Z ππ∈=+∈.(II) ()2)4f x x π=+由题意得: 222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈即: 3()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 因此函数()f x 的单调增区间为3[,]()88k k k Z ππππ-+∈. 三、函数sin()y A x ωϕ=+的图象与变换例10 解：（1）2()2cos 21cos 22f x x x x x ωωωω=+=+2sin(2)16x πω=++3x π=Q 是()y f x =的一条对称轴2sin()136ωππ∴+=±2,362k k Z ωππππ∴+=+∈13()22k k Z ω∴=+∈1012ωω<<∴=Q（2）用五点作图 例11解：（I ）2sin ()cos(22).22A Ay A x x ωϕωϕ=+=-+ ()y f x =Q 的最大值为2，0A >.2, 2.22A AA ∴+== 又Q 其图象相邻两对称轴间的距离为2，0ω>，12()2,.224ππωω∴==22()cos(2)1cos(2)2222f x x x ππϕϕ∴=-+=-+. ()y f x =Q 过(1,2)点，cos(2) 1.2πϕ∴+=-22,,2k k Z πϕππ∴+=+∈22,,2k k Z πϕπ∴=+∈ ,,4k k Z πϕπ∴=+∈ 又Q 0,2πϕ<<4πϕ∴=.（II ）4πϕ=Q ，1cos()1sin .222y x x πππ∴=-+=+(1)(2)(3)(4)21014f f f f ∴+++=+++=.又()y f x =Q 的周期为4，20084502=⨯，(1)(2)(2008)45022008.f f f ∴++⋅⋅⋅+=⨯=例12解：（I ）1()2sin 2sin(2)22232f x x x x a πωωαω=+++=+++ 依题意得 126322πππωω⋅+=⇒=．（II ）由（I ）知，()sin()32f x x πα=+++．又当5[,]36x ππ∈-时， 7[0,]36x ππ+∈，故1sin()123x π-≤+≤，从而()f x 在区间π5π36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值为12a =-++，故a =四、三角函数的运用 例13解：（1）由已知数据，易知函数)(t f y =的周期T=12，振幅A=3，b=10，3sin 106y t π∴=+（2）由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5米13sin1011.5,sin662t t ππ∴+≥∴≥,解得:)(652662Z k k t k ∈+≤≤+πππππ )(512112Z k k t k ∈+≤≤+,在同一天内,取0 1.15,1317.k k t t ==∴≤≤≤≤或或∴该船可在当日凌晨1时进港,下午17时出港,在港口内最多停留16个小时. 例14解：（1）以Ｏ为坐标原点，以OP 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设摩天轮上某人在Q 处，则在t 秒内OQ 转过的角为220t π，所以t 秒时，Q 点的纵坐标为220t π，故在t 秒时此人相对于地面的高度为10sin1210y t π=+（米）（2）令10sin121210y t π=+≤，则1sin105t π≤- 020t ≤≤Q 10.6419.36t ∴≤≤，故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米 例15解：如图，连结AP ，设0(090)PAB θθ∠=<<，延长RP 交AB 于M ， 则90cos ,90sin AM MP θθ==，10090cos PQ MB AB AM θ==-=-10090sin PR MR MP θ=-=-，故矩形PQCR 的面积(10090cos )(10090sin )S PQ PR θθ=⋅=--100009000(sin cos )8100sin cos θθθθ=-++设21sin cos (12),sin cos (1)2t t t θθθθ+=<≤=-则，2810010()95029S t ∴=-+，故当109t =时，2min 950()S m =当2t =时，2max 1405090002()S m =-例16．解：按图(1)的裁法：矩形的一边OP 在OA 上，顶点M 在圆弧上，设MOA θ∠=，则20sin ,20cos MP OP θθ==，所以矩形OPMN 的面积400sin cos 200sin 2S θθθ==即当4πθ=时，max 200S =按图(2)的裁法：矩形一边PQ 与弦AB 平行，设MOQ α∠=，在△MOQ 中，0009030120OQM ∠=+=，则正弦定理得：020sin 403sin sin1203MQ αα==又002sin(60)40sin(60)MN OM αα=-=-Q016003sin sin(60)S MQ MN αα∴=⋅=-1600331sin (cos sin )2ααα=- 1600331cos 2(sin 2)4αα-=-080034003sin(230)α=+- ∴ 当030α=时，max 40033S =由于40032003>，所以用第二种裁法得面积最大的矩形，最大面积为400332cm拓展提升1．Ｄ 提示；由24sin 22sin cos 0,25θθθ==-< 227cos 2cos sin 025θθθ=-=>可得 2．Ｃ 提示：由22sin 0,cos 0sin cos 1θθθθ><+=及可得．3．Ａ 提示：221sin sin 1sin 11cos cos cos x x x x x x+--⋅==- 4．D 5．B 提示:4941×T ≤1，即4197×ωπ2≤1，∴ω≥2π197. 6．提示：f （x ）=1－si n 2x +sin x =－（sin x －21）2+45，当x =－4π时，()f x 取最小值 7．D 提示：()sin(2)3)2sin(2)3f x x x x πϕϕϕ=++=++,令3k πϕπ+=可得8．C 提示：根据00222A B A B πππ<+<<<-<得,所以sin sin()cos 2A B B π<-=9．D 提示：由性质(1)和(2)可排除 A 和C ,再求出)62sin(π-=x y 的增区间即可10．D 提示：将函数x y cos =的图象按a -r平移可得原图象的函数解析式11．B 提示：∵y =sin （2x －6π）=cos ［2π－（2x －6π）］=cos （3π2－2x ）=cos （2x －3π2）=cos ［2（x －3π）］，∴ 将函数y =cos2x 的图象向右平移3π个单位长度 12．C 提示：由图象知，T =4（3π2+3π）=4π=ωπ2，∴ ω=21.又当x =3π2时，y =1，∴ sin （21×3π2+ϕ）=1，3π+ϕ=2k π+2π，k ∈Z ，当k =0时，ϕ=6π.13．()f x =11sin(2)3cos 23222x x π++=+ 14．()k k Z ϕπ=∈ ；()2k k Z πϕπ=+∈15．3sin()4y x ππ=+16解：原方程sinx+cosx=k ⇔2sin（x+4π）=k ，在同一坐标系内作函数y 1=2sin （x+4π）与y 2=k 的图象.对于y=2sin （x+4π），令x=0，得y=1. ∴当k∈［1，2］时，观察知两曲线xy πππy 12=k44-3O在［0，π］上有两交点，方程有两解 17．解：易知：A = 2,半周期π=32T , ∴T = 6π ,即π=ωπ62,从而：31=ω. 设：)31sin(2ϕ+=x y ,令x = 0,有1sin 2=ϕ.又：2||π<ϕ,∴6π=ϕ.∴所求函数解析式为)631sin(2π+=x y 18．解：（1）由22,T πωπω===得.()sin cos f x A x B x ππ∴=+.由题意可得 22sin cos 2,332,A B A B ππ⎧+=⎪+= 解得 3,1.A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩()3cos 2sin()6f x x x x ππππ∴=+=+.（2）令,62x k k Z ππππ+=+∈,所以1,.3x k k Z =+∈由21123434k ≤+≤,得 59651212k ≤≤. 5.k ∴= 所以在［421，423］上只有f （x ）的一条对称轴x =316。
高中数学第一章三角函数专题复习学案人教A版必修4
高中数学必修4第一章三角函数专题复习学案教学目的：1. 对必修4第一章重点知识进行专题复习2. 对必修4第一章热点问题进行专题探究二. 重点、难点：1. 任意角和弧度制问题的解题策略2. 扇形的弧度和面积问题常见题目及解法3. 活用诱导公式解题4. 三角函数的图象及性质知识总结5. 求初相的题型及解法分析知识分析：（一）任意角和弧度制问题的解题策略有关任意角和弧度制问题的求解是“三角函数”中的常见问题，也是高考中的热点问题之一。
解决这类问题应根据题设的特点，灵活采用相应的解题策略，如：1. 特殊化策略例 1. 已知集合，，那么集合A、B的关系是什么？解析：考虑在内，A、B的子集分别为再利用周期性，知B是A的真子集。
点评：本题如果使用常规解法就比较抽象了，而且不易得出结论，考虑到它们有共有的周期，利用周期性通过研究它们在一个周期内的元素间的关系而得出两个集合的关系是一个聪明的做法。
特殊化方法（如特殊值法等）是数学解题中非常常用的方法。
2. 数形结合例 2. 已知集合，，求A∩B。
解析：如图1，集合A中角的终边在阴影（Ⅰ）内，集合B中的角的终边在阴影（Ⅱ）内，因此集合A∩B中的角的终边在阴影（Ⅰ）和（Ⅱ）的公共部分，所以图1点评：借助单位圆研究角的范围的问题既直观又方便。
3. 一个结论结论：已知是第m象限角（m=1，2，3，4），求是第几象限角的问题，可先将各象限分成n等分，然后从x轴正方向上方的第一个区域起，按逆时针方向顺序标上1，2，3，4，1，2，3，4，依次循环，直至填充所有区域，其中标记数字m的区域对应着的范围。
例3. （2020全国）已知为第三象限角，则所在的象限是（）A. 第一或第二象限B. 第二、第三或第四象限C. 第一、第三或第四象限D. 第一、第二、第三或第四象限解析：如图2所示，先将各象限分成三等分，然后从x轴正方向上方的第一个区域起，按逆时针方向顺序标上1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，这样填满所有区域，其中标记数字3的区域对应着的范围（如图2），显然所在的象限是第一、第三或第四象限，应选（C）图2点评：本题如果采用不等式直接求解也可以，但解法抽象且易出错，而运用结论求解，数形结合，直观、准确。
高考数学 第一章 三角函数小结和复习教学设计 新人教A版必修4
福建省光泽县第二中学高中数学必修4第一章教学设计：三角函数小结和复习【知识与技能】理解本章知识结构体系（如下图），了解本章知识之间的内在联系。
【过程与方法】三角函数值的符号是由对应的三角函数线的方向确定的；具有相同性质的角可以用集合或区间表示，是一种对应关系；弧度制的任意角是实数，这些实数可以用三角函数线进行图形表示，因此，复习的目的就是要进一步了解符号确定方法，了解集合与对应，数与形结合的数学思想与方法。
另外，正弦函数的图象与性质的得出，要通过简谐运动引入，分析、确定三角函数图象的关键点画图象，观察得出其性质，通过类比、归纳得出余弦函数、正切函数的图象与性质，所以，复习本章时要在式子和图形的变化中，学会分析、观察、探索、类比、归纳、平移、伸缩等基本方法。
例题例1 判断下列函数的奇偶性①y=-3sin2x ②y=-2cos3x-1 ③y=-3sin2x+1 ④y=sinx+cosx ⑤y=1-cos(-3x-5π)分析：根据函数的奇偶性的概念判断f(-x)=±f(x)是否成立；若成立，函数具有奇偶性（定义域关于原点对称）；若不成立，函数为非奇非偶函数解：（过程略）①奇函数 ②偶函数 ③④非奇非偶函数 ⑤偶函数 例2 求函数y=-3cos(2x-31π)的最大值，并求此时角x 的值。
分析：求三角函数的最值时要注意系数的变化。
解：函数的最大值为：y m ax =|-3|=3,此时由2x-31π=2 k π+ π得x= k π+32π, (k ∈Z)例3 求函数xy tan 11+=的定义域。
解：要使函数x y tan 11+=有意义，则有⎩⎨⎧≠+∈+≠0tan 1)(2x Z k kx x π 即)(,2,4Z k k x k x ∈+≠-≠ππππ且所以，函数的定义域为{χ︱χ∈R 且Z k k x k x ∈+≠-≠,2,4ππππ} 【情态与价值】一、选择题1．已知cos240约等于0.92,则sin660约等于（ ）A ．0.92B ．0.85C ．0.88D ．0.952．已知tanx=2，则12sin 3cos 22cos 22sin 2--+x x x x 的值是（ ）。
高中数学第一章三角函数章末复习课学案新人教A版必修4
------------------------- 天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤劳------------------------------第一章三角函数章末复习课[ 整合·网络建立][ 警告·易错提示]1．关注角的观点的推行(1)因为角的观点的推行，有些术语的含义也发生了变化．如小于 90°的角可能是零角、锐角或负角．(2)注意象限角、锐角、钝角等观点的差别和联系，如锐角是第一象限角，但第一象限角不必定是锐角．2．确立角所在象限的关注点<0 时， α终边在第三、四象限或y 轴负半轴上．3．关注正切函数的定义域(1) 正切函数 y ＝ tan x 的定义域为 x ∈ R x ≠k π＋π ， k ∈ Z ，不行写为 { x | x ≠k ·360°2＋ 90°， k ∈ Z} ．(2) 有关正切的公式 ( 同角三角函数商关系，引诱公式) 应用时有限制条件．4．平方关系应用的关注点由平方关系 sin 2α＋ cos 2α＝ 1，开方后求另一个三角函数值，易错的地方是未对角所在象限进行议论．5．正确应用引诱公式π(1) 明确引诱公式的基本功能：将 k · 2 ±α( k ∈ Z) 的三角函数值化为 α的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用．(2) 熟习应用口诀解题，一方面注意函数名称，另一方面注意符号的变化．6．关注三角函数的定义域、值域(1) 解正弦、余弦函数值问题时，应注意正弦、余弦函数的有界性，即－1≤ sin x ≤ 1，－1≤ cos x ≤ 1.(2) 解正切函数问题时，应注意正切函数的定义域，即πx x ≠ k π＋ ，k ∈ Z .27．正确掌握含三角函数的复合函数的单一性(1) 要求 y ＝ A sin( ω x ＋ φ) 或 y ＝A cos( ωx ＋ φ)( 此中 ω>0) 的单一区间， 先研究正弦函数 y ＝ sin x 和余弦函数 y ＝ cos x 的相应单一区间，再把此中的“x ”用“ ωx ＋ φ ”取代，解对于 x 的不等式即可求出所求的单一区间，但要特别关注A 的正负．(2) 正切函数只有单一递加区间无单一递减区间 .专题一 三角函数的观点三角函数的观点所波及的内容主要有以下双方面： 理解随意角的观点、 弧度的意义， 能正确地进行弧度与角度的换算；掌握随意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，可以利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．α α α[ 例 1] (1) 设角 α 属于第二象限，cos＝－ cos 2 ，试判断 2 角属于第几象限．2(2) 求函数 y ＝ 3tan x ＋ 3的定义域．π解： (1) 依题意得 2k π＋ 2 <α<2k π＋π ( k ∈ Z) ，παπ所以 kπ＋4<2<kπ＋2( k∈Z)．α当 k＝2n( n∈Z)时，2为第一象限角；α当 k＝2n＋1( n∈Z)时，为第三象限角．2ααα又 cos 2 ＝－ cos 2≥ 0，所以 cos 2≤0.αx 非正半轴上或y 轴上．所以2应为第二、三象限角或终边落在α综上所述， 2是第三象限角．3(2)3tan x ＋3≥ 0，即 tan x≥－3.ππ所以 k π －6≤ x<k π＋2 ，所以函数 y ＝3tan x＋3的定义域为ππ.x kπ－≤ x<kπ＋， k∈Z6 2概括升华1．由α所在象限，判断α角所在象限时，一般有两种方法：一种是利用终边同样角的2αk 进行分类议论．会合的几何意义，用数形联合的方法确立 2的所属象限；另一种方法就是将2．求函数的定义域注意数形联合，应用单位圆中三角函数线或函数图象解题；求与正切函数有关问题时，不要忽略正切函数自己的定义域．[ 变式训练 ] (1) 若θ为第四象限的角，试判断sin(cosθ)·cos(sinθ )的符号；π(2)已知角α的终边过点P(－3cosθ，4cosθ)，此中θ∈2，π ，求α 的正切值．ππ解： (1) 因为θ为第四象限角，所以0<cos θ<1< 2，－2 <－ 1<sinθ<0，所以 sin(cosθ)>0，cos(sinθ)>0，所以 sin(cosθ)·cos(sinθ)>0.π(2)因为θ∈2，π ，所以cosθ<0，所以 r ＝x2＋ y2＝9cos 2θ＋ 16cos 2θ＝－ 5cos θ，y4故 sin α＝r＝－5，x 3 y 4cos α＝r＝5， tan α＝x＝－3.专题二同角三角函数的基本关系与引诱公式在知道一个角的三角函数值求这个角的其余的三角函数值时，要注意题中的角的范围，必需时按象限进行议论，尽量少用平方关系，注意切化弦、“ 1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用引诱公式进行三角式的化简，求值时，要注意正负号的选用．2＋tan （θ－π）[ 例 2]已知＝－4，求(sinθ－3cosθ )·(cosθ－sinθ)的1＋ tan （ 2π－θ）值．2＋ tanθ解：法一：由已知1－tanθ＝－4，所以 2＋ tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tanθ＝2，所以 (sin θ－ 3cos θ)(cosθ－sin θ)＝4sin θ cos θ－sin 2θ－3cos 2θ＝4sin θ cos θ－sin 2θ－3cos 2θ 4tanθ－tan2θ－3sin 2θ＋cos2θ＝tan 2θ＋ 1 ＝8－ 4－3 14＋1＝5.2＋ tanθ法二：由已知1－ tanθ＝－4，sinθ解得 tanθ ＝2，即cosθ＝2，所以 sinθ ＝2cosθ，所以 (sinθ－3cosθ)(cosθ－sinθ)＝(2cos θ－3cosθ)(cos θ－2cosθ)＝2cos 2θ 1 1cos θ＝sin 2θ＋ cos 2θ＝tan 2θ＋1＝5.概括升华三角函数式的化简，求值与证明问题的依照主假如同角三角函数的关系式及引诱公式．解题中的常用技巧有：(1) 弦切互化，减少或一致函数名称；(2) “ 1”的代换，如： 1＝sin 2α＋ cos2α( 常用于解决有关正、余弦齐次式的化简求值问题中π) ， 1＝ tan 4等； (3)kπ，k∈Z，则先利用引诱公式化简．若式子中有角2[ 变式训练 ] 已知 tan α＝2，求以下各式的值：(1)1sin 2α－ sin αcos α－cos 2α；232(2)2sinα－2sin αcos α＋ 5cos α .原式＝ sin sin 2α ＋ cos 2αtan 2α＋ 14＋1解： (1) 2α－ sin αcos α－ cos 2α＝tan 2α－tanα －1＝ 4－ 2－1＝5. 2 3 22sin α－ sin αcos α＋5cosα(2) 原式＝2sin 2α＋cos 2α232tan α－ 2tanα ＋ 5＝tan 2α＋ 132×4－ ×2＋5＝2＝ 2.4＋ 1专题三 三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的详细表现． 在平常的考察中， 主要表此刻三角函数图象的变换和分析式确实定， 以及经过对图象的描述、 察看来议论函数的有关性质．[例 3] 函数 y ＝ A sin( wx ＋ φ ) 的部分图象如下图，则()． ＝2sin 2x －πA y 6B ． yπ＝2sin 2x －3C ． y ＝2sin x ＋π6． ＝ 2sin x ＋ πD y 3T π π π2π分析： 由图象知 2＝ 3 － － 6 ＝ 2 ，故 T ＝π，所以 ω＝ π ＝ 2.又图象的一个最高点坐标为π ，2 ，所以 ＝ 2，且 2× π ＝ 2 k π＋ πk ∈Z) ，故3 ＋ φ (A 32 φ＝ 2k π－π6 ( k ∈ Z) ，联合选项可知π y ＝2sin2x － 6.应选 A.答案： A------------------------- 天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤劳 ------------------------------概括升华1．求分析式的方法： A ＝ y max－ minmax＋ min 2π2 y ， k ＝ y 2y， ω＝ T ，由“五点作图法”中方法令ω x ＋ φ＝ 0， π ，π， 3π或 2π求 φ.2 22．图象变换中应注意方向变化与分析式加减符号变化相对应．[ 变式训练 ]函数 y ＝sin x的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后获得函数的图象的2 一个对称中心是 ()A ．(0， 0)B ． ( π， 0)π π C. 2，0D. － 2，0x解 析 ： 函 数 y ＝ sin 2 的 图 象 沿 x 轴 向 左 平 移 π 个 单 位 长 度 后得 到 函 数 y ＝1 1 π sin 2（ x ＋π） ＝sin 2x ＋ 21＝ cos 2x 的图象，它的一个对称中心是 ( π， 0) ．答案： B专题四 三角函数的性质三角函数的性质，要点应掌握y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝ tan x 的定义域、值域、单一性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝ sin(ωx ＋ φ ) ， ＝ cos( ωx ＋Ay Aφ) 及 y ＝ A tan( ω x ＋ φ) 的有关性质．在研究其有关性质时，将ω x ＋ φ 当作一个整体，利用整体代换思想解题是常有的技巧．[例 4] 已知函数 f ( x ) ＝2sin 2 x＋π6 ＋ a ＋1( 此中 a 为常数 ) ．(1) 求 f ( x ) 的单一区间；π(2) 若 x ∈ 0， 2 时， f ( x ) 的最大值为 4，求 a 的值；(3) 求 f ( x ) 取最大值时 x 的取值会合．ππ ππ π解：(1) 由－ 2＋2 k π≤ 2 x ＋ 6 ≤ 2 ＋ 2 k π，k ∈ Z ，解得－ 3 ＋k π≤ x ≤ 6 ＋ k π，k ∈ Z ， 所以函数 f ( x ) 的单一增区间为 － π ＋ k π， π ＋ k π ( k ∈Z) ，由 π ＋ 2 π≤ 2 x ＋ π ≤3π＋36 2 k 6 2π2π2k π， k ∈ Z ，解得 6 ＋ k π≤ x ≤ 3 ＋k π， k ∈ Z ，金戈铁制卷( k ∈ Z) ．πππ 7π(2) 因为 0≤ x ≤ 2 ，所以 6 ≤ 2x ＋ 6 ≤ 6 ，所以－ 12 ＋π2≤ sin x 6 ≤1，所以 f ( x ) 的最大值为 2＋a ＋ 1＝ 4，所以 a ＝1，(3) 当 f ( x ) 取最大值时， 2x ＋ π ＝π＋ 2k π，6 2所以 2x ＝ π ＋ 2k π，所以 x ＝ π＋ k π， k ∈ Z.3 6所以当 f ( x ) 取最大值时， x 的取值会合是πx x ＝ 6 ＋ k π， k ∈ Z .概括升华1．形如 y ＝A sin( ω x ＋ φ) ＋ k 单一区间求法策略：可把“ ωx ＋ φ ”看作一个整体，代入正弦函数的相应区间求解．2．求形如 ＝ sin(ωx ＋ φ ) ＋ k 的值域和最值时，先求复合角“ ωx ＋ φ ”的范围，再y A利用 y ＝ sin x 的性质来求解．[ 变式训练 ](2014 ·安徽卷 ) 设函数 f ( x )( x ∈ R)知足 f ( x ＋π ) ＝ f ( x ) ＋sin x ，当 0≤x ≤π时， f ( x ) ＝ 0，则 f 23π ＝ ()6131A.2B.2C ．0D ．－2分析：因为 f ( x ＋ 2π) ＝ f ( x ＋π ) ＋ sin( x ＋π ) ＝f ( x ) ＋ sin x － sin x ＝ f ( x ) ，所以 f ( x ) 的周期 T ＝2π，又因为当 0≤ x <π时， f ( x ) ＝ 0，所以 f5π ＝ 0，6πππ即 f － 6 ＋π ＝ f － 6 ＋ sin－6 ＝0，π1所以 f － 6 ＝2，23ππ π 1所以 f 6＝ f4π－＝ f－＝ 2.6 6 答案： A专题五转变与化归思想化归思想贯串本章的一直， 在三角函数的恒等变形中， 同角关系式和引诱公式常化繁为 简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y ＝A sin( ωx ＋ φ)化归为简单的y＝sin x 来研究．这些均表现三角函数中的转变与化归的思想方法．[例 5]1 π 2的单一区间．求函数 y＝sin4－ x2 31 2 π解：将原函数化为y＝－2sin3x － 4 .π 2 ππ由 2kπ－2≤3x－4≤ 2kπ＋2 ( k∈Z) ，39得 3kπ－8π≤x≤ 3kπ＋8π ( k∈ Z) ，此时函数单一递减．π 2 π 3 9 21 由 2kπ＋2≤3x－4≤ 2kπ＋2π ( k∈Z) ，得 3kπ＋8π≤x≤3kπ＋8π ( k∈ Z) ，此时函数单一递加．3 9故原函数的单一递减区间为3kπ－8π， 3kπ＋8π( k∈ Z) ，单一递加区间为9 213kπ＋π， 3kπ＋π ( k∈Z) ．8 8概括升华1．求形如函数y＝A sin( ωx＋φ) ，( ω<0) 的单一区间时：先把此函数化为y＝－ A sin(－ωx－φ)的形式后，再利用函数y＝sin x 的单一区间来求解是常用策略，其目的是使x 的系数为正数是要点．2．在求形如y＝A sin 2x＋ B sin x＋ C 的值域或最值时，常令t ＝sin x 转变为一元二次函数来求解．－π3π＋sin α2 cos 2 α tan （ 2π－α）[ 变式训练 ] 已知函数f ( α ) ＝tan （α＋π） sin （α＋π）.(1) 化简f ( α) ；(2) 若f ( α) ·f＋π 1 5π3π，求 f (α)＋f α＋πα 2＝－8，且4≤α≤22 的值；ππ(3) 若fα＋2 ＝ 2f ( α) ，求f ( α) ·f α＋2 的值．－cos α·sin α·（－ tan α）解： (1) f ( α) ＝tan α·（－ sin α）＝－ cos α .(2) 由 (1) 知fα＋π＝－ cos α＋π＝ sin α，2 2π1，即 cosα·sin α＝1，因为 f (α)· f α＋＝－2 8 8可得 (sinα－cosα )2＝3 4，5π3π又4≤α≤2，cosα≥sinα，所以 f (α)＋ f＋π 3 α 2 ＝sin α－cos α＝－2.(3) 由fπ＝ 2 ( ) 联合 (2) 得 sin ＝－ 2cos ，α＋ααα2 f222 1联立 sin α＋ cos α＝ 1，解得 cos α＝，π 2 2 所以 f (α)· f α＋2 ＝－ cos α· sin α＝2cosα＝5.。
高中数学 第一章 三角函数章末复习学案 新人教A版必修
第一章 三角函数章末复习学习目标 1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象.4.理解三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的性质.5.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义，掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的变换．1．任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)． 2．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”． 4．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质 函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：⎝⎛⎭⎪⎫kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心：⎝⎛⎭⎪⎫kπ2，0(k∈Z)，无对称轴奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性最小正周期：2π最小正周期：2π最小正周期：π单调性在⎣⎢⎡－π2＋2kπ，⎦⎥⎤π2＋2kπ(k∈Z) 上单调递增；在⎣⎢⎡π2＋2kπ，⎦⎥⎤3π2＋2kπ(k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在开区间⎝⎛kπ－π2，⎭⎪⎫kπ＋π2(k∈Z)上递增最值在x＝π2＋2kπ(k∈Z)时，y max＝1；在x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，y min＝－1在x＝2kπ(k∈Z)时，y max＝1；在x＝π＋2kπ(k∈Z)时，y min＝－1无最值类型一三角函数的化简与求值例1 (2018·牌头中学月考)已知f(α)＝sin⎝⎛⎭⎪⎫－α＋π2·co s⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α·tan(α＋5π)tan(－α－π)·sin(α－3π).(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f(α)的值；(3)若α＝－31π3，求f(α)的值．考点诱导公式的综合应用题点综合运用诱导公式求值解 (1)f (α)＝cos α(－sin α)tan α(－tan α)(－sin α)＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15.又∵α是第三象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－25 6.∴f (α)＝256.(3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.反思与感悟 解决三角函数的化简与求值问题一般先化简再求值．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α，注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.跟踪训练1 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． 考点 诱导公式的综合应用 题点 综合运用诱导公式求值 解 (1)由sin α＋cos α＝15，得1＋2sin αcos α＝125，所以sin αcos α＝－1225，因为α是三角形的内角，所以sin α>0，cos α<0， 所以sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋4825＝75， 故得sin α＝45，cos α＝－35，所以tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α， 又tan α＝－43，所以1cos 2α－sin 2α＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4321－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257. 类型二 三角函数的图象与性质例2 (2017·金华十校期末)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ω>0，A >0，|φ|<π2的图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数y ＝|f (x )|在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最大值和最小值．考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用解 (1)由图象可知A ＝1，T 4＝2π4ω＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． 又点⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－1在函数的图象上，∴2×7π12＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π3.∴f (x )的解析式是f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)∵－π4≤x ≤π6，∴－π6≤2x ＋π3≤2π3.∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，函数y ＝|f (x )|取得最大值1； 当2x ＋π3＝0，即x ＝－π6时，函数y ＝|f (x )|取得最小值0.反思与感悟 研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调性、最值问题，把ωx ＋φ看作一个整体来解决．跟踪训练 2 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用 答案 A解析 由题图知，A ＝1，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2πT＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0，由五点法知2π3＋φ＝π，所以φ＝π3，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故将函数y ＝sin x 的图象先向左平移π3个单位长度后，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．类型三 三角函数的最值或值域命题角度1 可化为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k 型例3 求函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋3，x ∈[0，π]的最大值和最小值．考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值 解 ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤1.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，即x ＝π3时，y 取得最小值1. 当sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，即x ＝π时，y 取得最大值4. ∴函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋3，x ∈[0，π]的最大值为4，最小值为1.反思与感悟 利用y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响．跟踪训练3 函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3 考点 正弦函数、余弦函数的定义域、值域题点 正弦函数、余弦函数的值域 答案 B解析 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3， 即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.命题角度2 可化为sin x 或cos x 的二次函数型例4 已知|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数、余弦函数最值的综合问题 解 y ＝f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1. 令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22.则y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54⎝ ⎛⎭⎪⎫－22≤t ≤22，∴当t ＝－22，即x ＝－π4时，f (x )有最小值，且最小值为－⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－122＋54＝1－22. 反思与感悟 在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错．跟踪训练4 (2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是 ．考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数、余弦函数最值的综合问题 答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]，∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1.类型四 数形结合思想在三角函数中的应用例5 如果关于x 的方程sin 2x －(2＋a )sin x ＋2a ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有两个实数根，求实数a 的取值范围．考点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用 题点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用 解 sin 2x －(2＋a )sin x ＋2a ＝0， 即(sin x －2)(sin x －a )＝0. ∵sin x －2≠0，∴sin x ＝a ，因此此题转化为求在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上，sin x ＝a 有两个实数根时a 的取值范围．由y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6与y ＝a 的图象(图略)知12≤a <1.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 反思与感悟 数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想． 跟踪训练5 设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为 ．考点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用 题点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用 答案 π解析 记f (x )的最小正周期为T .由题意知T 2≥π2－π6＝π3，即T ≥2π3.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，且2π3－π2＝π6，可作出示意图如图所示(一种情况)，∴x 1＝⎝⎛⎭⎪⎫π2＋π6×12＝π3，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2π3×12＝7π12， ∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( )A.223 B ．－223 C.13 D ．－13考点 诱导公式的综合应用 题点 综合运用诱导公式求值答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 2．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3的值为( )A.12 B ．－13 C ．－12 D.13考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 答案 C解析 ∵f (α)＝sin αcos (－α)cos (π＋α)tan α＝sin αcos α－cos α·sin αcos α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos 31π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝－cos π3＝－12.3．函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，则满足此条件的一个φ值为( )A.π12B.π6C.π3D.5π6考点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用 题点 正弦函数性质的综合应用 答案 A解析 令2x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π4－φ2(k ∈Z )， 因为函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，所以令π6<k π2＋π4－φ2<π3(k ∈Z )，解得k π－π6<φ<k π＋π6(k ∈Z )， 四个选项中只有A 符合，故选A.4．(2017·宁波期末)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2一部分图象如图所示，则ω＝________，函数f (x )的图象可以由g (x )＝2sin ωx 的图象向左平移至少________个单位长度得到．考点 求三角函数的解析式 题点 根据三角函数的图象求解析式 答案 2π6解析 由函数图象可得，函数的最小正周期为T ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π， 结合最小正周期公式有ω＝2πT ＝2ππ＝2. 令x ＝－π6有ωx ＋φ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )，又因为0<φ<π2，令k ＝0可得φ＝π3，函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，绘制函数g (x )＝2sin ωx ＝2sin 2x 的图象如图所示，观察可得函数f (x )的图象可以由g (x )＝2sin ωx 的图象向左平移至少π6个单位长度得到．5．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a ，a 为常数． (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．考点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用 题点 正弦函数性质的综合应用解 (1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a ， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋a ＝－2，故a ＝－1.三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法．一、选择题1．已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.4π3 D.11π6考点 任意角的三角函数 题点 任意角三角函数的定义 答案 D解析 ∵sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12.∴角α的终边在第四象限，且tan α＝cos2π3sin2π3＝－33，∴角α的最小正值为2π－π6＝11π6. 2．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后，所得图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝0 B ．x ＝π6C ．x ＝－π12D ．x ＝π2考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用 答案 B解析 把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后，所得的图象的解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由2x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π6＋12k π，k ∈Z ，故选B.3．若cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－53，则sin(－5π＋α)等于( )A.23 B ．－23 C.53 D ．－53 考点 诱导公式的综合应用 题点 综合运用诱导公式求值 答案 D 解析 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－53，所以sin α＝53，所以sin(－5π＋α)＝sin(－π＋α)＝－sin α＝－53，故选D. 4．函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是( ) A ．2，－2 B ．1，－3 C ．1，－1D ．2，－1考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 余弦函数的最大值与最小值 答案 B解析 ∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝1时，函数取得最大值为2－1＝1，当cos x ＝－1时，函数取得最小值为－2－1＝－3，故最大值、最小值分别为1，－3，故选B. 5．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin 2x －2B ．y ＝2cos 3x －1C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5－1D ．y ＝1－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5 考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用 答案 D解析 由题图得T 4＝7π20－π10，∴T ＝π＝2π|ω|，又ω>0，∴ω＝2，∴y ＝1＋sin(2x ＋φ)， 当x ＝7π20时，0＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π20＋φ，∴2×7π20＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－π2－7π10＝2k π－6π5(k ∈Z )．∴y ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6π5＝1－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5＝1－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π5，故选D. 6．(2018·金华东阳中学检测)已知θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，则1＋2sin (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ等于( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 A7．(2017·宁波期末)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π6对称的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π12B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 考点 求三角函数的解析式题点 根据三角函数的图象求解析式 答案 B解析 函数的最小正周期为π，则2πω＝π，∴ω＝2，据此可得选项AC 错误； 考查选项BD ：当x ＝π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝1，满足题意； 当x ＝π6时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝0，不满足题意，故选B. 二、填空题8．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，34内，则正整数m 的值是 ． 考点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用 题点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用 答案 26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34，∴8π<m <9π，且m ∈Z ， ∴m ＝26,27,28.9．函数y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值等于 ．考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用 答案 2＋ 2解析 由图知A ＝2，ω＝π4，φ＝0，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝0. 又f (x )的周期为8，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝f (1)＋f (2) ＝2sin π4＋2sin π2＝2＋ 2.10．已知sin α是方程2x 2－x －1＝0的根，α是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝ .考点 诱导公式的综合应用 题点 综合运用诱导公式化简 答案 －13解析 ∵方程2x 2－x －1＝0的根为－12或1，又α是第三象限角，∴sin α＝－12，∴co s α＝－1－sin 2α＝－32， ∴tan α＝sin αcos α＝33，∴原式＝cos α(－sin α)sin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－13.11．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π2是奇函数；②若α，β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； ③y ＝2sin 32x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2上的最小值是－2，最大值是2；④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4的一条对称轴．其中正确命题的序号是 ． 考点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用题点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用 答案 ①④解析 ①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π2＝－sin 32x 是奇函数，正确；②若α，β是第一象限角且α<β，取α＝30°，β＝390°，则tan α＝tan β，不正确；③y ＝2sin 32x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2上的最小值是－2，最大值是2，不正确；④sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋5π4＝sin 3π2＝－1，正确．三、解答题12．已知函数g (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将函数g (x )的图象保持纵坐标不变，横坐标向右平移π3个单位长度后得到函数f (x )的图象．求：(1)函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的值域； (2)使f (x )≥2成立的x 的取值范围． 考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用解 (1)由图知B ＝3＋(－1)2＝1，A ＝3－(－1)2＝2，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝π，所以ω＝2，所以g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1. 把⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－1代入，得2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋1＝－1，即2π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )， 所以φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．因为|φ|<π2，所以φ＝π3，所以g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，所以f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，所以f (x )∈[0,3]，即函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的值域为[0,3]．(2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1， 所以2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1≥2，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≥12， 所以－π3＋2k π≤2x －π3≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以k π≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以使f (x )≥2成立的x 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π≤x ≤k π＋π3，k ∈Z. 13．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．考点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用 题点 余弦函数性质的综合应用解 (1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R ， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．(2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.四、探究与拓展14．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位长度得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上为增函数，则ω的最大值为 ．考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用 答案 215．已知函数y ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋b 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为[－5,1]，求a ，b 的值． 考点 正弦函数、余弦函数的定义域、值域 题点 正弦函数、余弦函数的值域解 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，76π，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.∴当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－a2＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3；当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋b ＝1，a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－1.∴a ，b 的取值分别是4，－3或－4，－1.。
高中数学第一章三角函数章末复习提升课课件新人教A版必修4
2．明确三角函数的定义，牢记三角函数值的符号 (1)定义：角 α 的顶点放在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合， 角 α 的终边与单位圆的交点为 P(x，y)，则 y＝sinα，x＝cosα，yx＝ tanα(x≠0)． 即①y 叫作 α 的正弦，记作 sinα； ②x 叫作 α 的余弦，记作 cosα； ③yx叫作 α 的正切，记作 tanα.
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2．已知解析式作图象或已知图象求解析式 (1)用“五点法”作 y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，确定五个关键点 的方法是分别令 ωx＋φ＝0，π2，π，32π，2π. (2)由已知函数图象求函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的解析式 时，常用的解题方法是待定系数法．由图中的最大值或最小值确定 A，由周期确定 ω，由适合解析式的点的坐标来确定 φ，通常取图象 的最值点代入求解，或将图象中的已知点与“五点法”作图中的五 个点对照得解．
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专题二 三角函数式的值域与最值 三角函数式的值域与最值一般有以下两种形式： 1．将所给三角函数式转化为 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ) 的形式，然后结合角 x 的范围求解． 2．形如 y＝asin2x＋bcosx＋c 或 y＝acos2x＋bsinx＋c 的函数， 可以先转化成同名函数，然后结合二次函数的性质求解，在转化过 程中要注意 sin x 或 cos x 的有界性，若自变量 x 有特定范围，则 sin x 或 cos x 应在其取值范围内讨论． 注：换元法、数形结合法是解决此类问题的常用方法．
＝－π4，∴g(x)的解析式为 g(x)＝2sinπ4x－π4.
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能 力 挑 战 3 (1) 已 知 函 数 f(x) ＝ Asin(ωx ＋ φ)x∈R，A>0，ω>0，|φ|<π2的图象(部分)如图所示，则 ω，φ 分别为 ()
人教版2019学年高中数学第一章三角函数章末复习课学案新人教A版必修4
第一章三角函数章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．关注角的概念的推广(1)由于角的概念的推广，有些术语的含义也发生了变化．如小于90°的角可能是零角、锐角或负角．(2)注意象限角、锐角、钝角等概念的区别和联系，如锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．2．确定角所在象限的关注点由三角函数值符号确定角α的象限时，不要忽视α的终边可能落在坐标轴上，如sin α<0时，α终边在第三、四象限或y 轴负半轴上．3．关注正切函数的定义域(1)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x∈R ⎪⎪⎪x≠k π＋π2，k∈Z ，不可写为{x |x ≠k ·360°＋90°，k ∈Z}．(2)有关正切的公式(同角三角函数商关系，诱导公式)应用时有限制条件． 4．平方关系应用的关注点由平方关系sin 2α＋cos 2α＝1，开方后求另一个三角函数值，易错的地方是未对角所在象限进行讨论．5．正确应用诱导公式(1)明确诱导公式的基本功能：将k ·π2±α(k ∈Z)的三角函数值化为α的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用．(2)熟悉应用口诀解题，一方面注意函数名称，另一方面注意符号的变化． 6．关注三角函数的定义域、值域(1)解正弦、余弦函数值问题时，应注意正弦、余弦函数的有界性，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1.(2)解正切函数问题时，应注意正切函数的定义域，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x≠k π＋π2，k∈Z . 7．正确掌握含三角函数的复合函数的单调性(1)要求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间，先研究正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 的相应单调区间，再把其中的“x ”用“ωx ＋φ”代替，解关于x 的不等式即可求出所求的单调区间，但要特别关注A 的正负．(2)正切函数只有单调递增区间无单调递减区间.专题一 三角函数的概念三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．[例1] (1)设角α属于第二象限，⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，试判定α2角属于第几象限． (2)求函数y ＝3tan x ＋3的定义域．解：(1)依题意得2k π＋π2<α<2k π＋π(k ∈Z)，所以k π＋π4<α2<k π＋π2(k ∈Z)．当k ＝2n (n ∈Z)时，α2为第一象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，α2为第三象限角．又⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2≥0，所以cos α2≤0.所以α2应为第二、三象限角或终边落在x 非正半轴上或y 轴上．综上所述，α2是第三象限角．(2)3tan x ＋3≥0，即tan x ≥－33. 所以k π－π6≤x <k π＋π2，所以函数y ＝3tan x ＋3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π6≤x<k π＋π2，k∈Z .归纳升华1．由α所在象限，判断α2角所在象限时，一般有两种方法：一种是利用终边相同角的集合的几何意义，用数形结合的方法确定α2的所属象限；另一种方法就是将k 进行分类讨论．2．求函数的定义域注意数形结合，应用单位圆中三角函数线或函数图象解题；求与正切函数有关问题时，不要忽视正切函数自身的定义域．[变式训练] (1)若θ为第四象限的角，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号；(2)已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求α的正切值．解：(1)因为θ为第四象限角，所以0<cos θ<1<π2，－π2<－1<sin θ<0，所以sin(cos θ)>0，cos(sin θ)>0， 所以sin(cos θ)·cos(sin θ)>0.(2)因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ<0，所以r ＝x2＋y2＝9cos2θ＋16cos2θ＝－5cos θ， 故sin α＝y r ＝－45，cos α＝x r ＝35，tan α＝y x ＝－43.专题二 同角三角函数的基本关系与诱导公式在知道一个角的三角函数值求这个角的其他的三角函数值时，要注意题中的角的范围，必要时按象限进行讨论，尽量少用平方关系，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简，求值时，要注意正负号的选取．[例2] 已知2＋tan （θ－π）1＋tan （2π－θ）＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．解：法一：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，所以2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2， 所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝ 4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ＝4sin θcos θ－sin2θ－3cos2θsin2θ＋cos2θ＝4tan θ－tan2θ－3tan2θ＋1＝8－4－34＋1＝15. 法二：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2，即sin θcos θ＝2，所以sin θ＝2cos θ，所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝ cos 2θ＝cos2θsin2θ＋cos2θ＝1tan2θ＋1＝15.归纳升华三角函数式的化简，求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．解题中的常用技巧有：(1)弦切互化，减少或统一函数名称；(2)“1”的代换，如：1＝sin 2α＋cos 2α(常用于解决有关正、余弦齐次式的化简求值问题中)，1＝tan π4等；(3)若式子中有角k π2，k ∈Z ，则先利用诱导公式化简． [变式训练] 已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)1sin2α－sin αcos α－cos2α；(2)2sin 2α－32sin αcos α＋5cos 2α. 解：(1)原式＝sin2α＋cos2αsin2α－sin αcos α－cos 2α＝tan2α＋1tan2 α－tan α－1＝4＋14－2－1＝5.(2)原式＝2sin2α－32sin αcos α＋5cos2αsin2α＋cos2α＝2tan2α－32tan α＋5tan2α＋1＝2×4－32×2＋54＋1＝2.专题三 三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．[例3] 函数y ＝A sin(wx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3解析：由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故φ＝2k π－π6(k ∈Z)，结合选项可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.答案：A 归纳升华1．求解析式的方法：A ＝ymax －ymin 2，k ＝ymax ＋ymin 2，ω＝2πT，由“五点作图法”中方法令ωx ＋φ＝0，π2，π，32π或2π求φ.2．图象变换中应注意方向变化与解析式加减符号变化相对应．[变式训练] 函数y ＝sin x2的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数的图象的一个对称中心是( )A ．(0，0)B ．(π，0)C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫－π2，0 解析：函数y ＝sin x2的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（x ＋π）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2 ＝cos 12x 的图象，它的一个对称中心是(π，0)． 答案：B专题四 三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．[例4] 已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求f (x )取最大值时x 的取值集合．解：(1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)．(2)因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，所以f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，所以a ＝1， (3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π，所以2x ＝π3＋2k π，所以x ＝π6＋k π，k ∈Z.所以当f (x )取最大值时，x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝π6＋k π，k∈Z .归纳升华1．形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 单调区间求法策略：可把“ωx ＋φ”看作一个整体，代入正弦函数的相应区间求解．2．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的值域和最值时，先求复合角“ωx ＋φ”的范围，再利用y ＝sin x 的性质来求解．[变式训练] (2014·安徽卷)设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ≤π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12 B.32 C ．0 D ．－12解析：因为f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，所以f (x )的周期T ＝2π，又因为当0≤x <π时，f (x )＝0，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝0，即f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＝0，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＝12，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12. 答案：A专题五 转化与化归思想化归思想贯穿本章的始终，在三角函数的恒等变形中，同角关系式和诱导公式常化繁为简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y ＝A sin(ωx ＋φ)化归为简单的y ＝sin x 来研究．这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法．[例5] 求函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－23x 的单调区间．解：将原函数化为y ＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π4.由2k π－π2≤23x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得3k π－38π≤x ≤3k π＋98π(k ∈Z)，此时函数单调递减．由2k π＋π2≤23x －π4≤2k π＋32π(k ∈Z)，得3k π＋98π≤x ≤3k π＋218π(k ∈Z)，此时函数单调递增．故原函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－38π，3k π＋98π(k ∈Z)，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π＋98π，3k π＋218π(k ∈Z)．归纳升华1．求形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，(ω<0)的单调区间时：先把此函数化为y ＝－A sin(－ωx －φ)的形式后，再利用函数y ＝sin x 的单调区间来求解是常用策略，其目的是使x 的系数为正数是关键．2．在求形如y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 的值域或最值时，常令t ＝sin x 转化为一元二次函数来求解．[变式训练] 已知函数f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan （2π－α）tan （α＋π）sin （α＋π）.(1)化简f (α)；(2)若f (α)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－18，且5π4≤α≤3π2，求f (α)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2的值；(3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2f (α)，求f (α)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2的值．解：(1)f (α)＝－cos α·sin α·（－tan α）tan α·（－sin α）＝－cos α.(2)由(1)知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin α，因为f (α)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－18，即cos α·sin α＝18，可得(sin α－cos α)2＝34， 又5π4≤α≤3π2，cos α≥sin α， 所以f (α)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin α－cos α＝－32.(3)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2f (α)结合(2)得sin α＝－2cos α，联立sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos 2α＝15，所以f (α)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－cos α·sin α＝2cos 2α＝25.。
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第一章 三角函数学习目标 1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象.4.理解三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的性质.5.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义，掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的变换.1.任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0). 2.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3.诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式.当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”. 4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质类型一 三角函数的概念例1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴.若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝ .答案 －8解析 r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r＝y16＋y2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.反思与感悟 (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r ＞0).则sin α＝yr ，cos α＝x r.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值. 解 ∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t .r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |.当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.类型二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用例2 已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2π).求：(1)cos 2⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos (－π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ1＋tan (π－θ)；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值. 解 由根与系数的关系，得 sin θ＋cos θ＝3＋12， sin θcos θ＝m2.(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ－cos 2θsin θ－cos θ ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (2)由sin θ＋cos θ＝3＋12， 两边平方可得1＋2sin θcos θ＝4＋234，1＋2×m 2＝1＋32，m ＝32. (3)由m ＝32可解方程2x 2－(3＋1)x ＋32＝0， 得两根12和32.∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32或 ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.∵θ∈(0，2π)， ∴θ＝π6或π3.反思与感悟 (1)牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±si n α)2＝1±2sin αcos α. (2)诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.跟踪训练2 已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－47π4，求f (α)的值.解 (1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34.又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－32. (3)∵α＝－47π4＝－6×2π＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4＝cos π4·sin π4＝22×22＝12.类型三 三角函数的图象与性质例3 将函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的π3倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y ＝3sin x 的图象. (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求当x ∈[0，1]时，函数y ＝g (x )的最小值和最大值.解 (1)函数y ＝ 3 sin x 的图象向下平移1个单位长度得y ＝3sin x －1，再将得到的图象上的点的横坐标伸长为原来的3π倍，得到y ＝3sin π3x －1的图象，然后向右平移1个单位长度，得到y ＝3sin(π3x －π3)－1的图象，∴函数y ＝f (x )的最小正周期为T ＝2ππ3＝6.由2k π－π2≤π3x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，∴函数y ＝f (x )的单调递增区间是[6k －12，6k ＋52]，k ∈Z .(2)∵函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴当x ∈[0，1]时，y ＝g (x )的最值即为x ∈[3，4]时，y ＝f (x )的最值. ∵当x ∈[3，4]时，π3x －π3∈[2π3，π]，∴sin(π3x －π3)∈[0，32]，∴f (x )∈[－1，12].∴当x ∈[0，1]时，y ＝g (x )的最小值是－1，最大值为12.反思与感悟 研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调性、最值问题，把ωx ＋φ看作一个整体来解决. 跟踪训练3 函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示.(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值.解 (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0，于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.类型四 三角函数的最值和值域命题角度1 可化为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k 型 例4 求函数y ＝－2sin(x ＋π6)＋3，x ∈[0，π]的最大值和最小值. 解 ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴－12≤sin(x ＋π6)≤1.当sin(x ＋π6)＝1，即x ＝π3时，y 取得最小值1.当sin(x ＋π6)＝－12，即x ＝π时，y 取得最大值4.∴函数y ＝－2sin(x ＋π6)＋3，x ∈[0，π]的最大值为4，最小值为1.反思与感悟 利用y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响.跟踪训练4 已知函数y ＝a sin(2x ＋π6)＋b 在x ∈[0，π2]上的值域为[－5，1]，求a ，b 的值.解 ∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，76π]，sin(2x ＋π6)∈[－12，1].∴当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－a2＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3；当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋b ＝1，a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－1.∴a ，b 的取值分别是4，－3或－4，－1. 命题角度2 可化为sin x 或cos x 的二次函数型例5 已知|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值.解 y ＝f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1. 令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22.则y ＝－t 2＋t ＋1＝－(t －12)2＋54(－22≤t ≤22)，∴当t ＝－22，即x ＝－π4时，f (x )有最小值，且最小值为－(－22－12)2＋54＝1－22. 反思与感悟 在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错.跟踪训练5 已知函数f (x )＝－sin 2x －a sin x ＋b ＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a >0，求a ，b 的值.解 令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2－at ＋b ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋a 22＋a24＋b ＋1，且t ∈[－1，1].根据对称轴t 0＝－a2与区间[－1，1]的位置关系进行分类讨论.①当－a2≤－1，即a ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧y max ＝g (－1)＝a ＋b ＝0，y min ＝g (1)＝－a ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.②当－1<－a2<0，即0<a <2时，⎩⎪⎨⎪⎧y max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24＋b ＋1＝0，y min ＝g (1)＝－a ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝－10(舍)，综上所述，a ＝2，b ＝－2.类型五 数形结合思想在三角函数中的应用例6 已知方程sin(x ＋π3)＝m2在[0，π]上有两个解，求实数m 的取值范围.解 函数y ＝sin(x ＋π3)，x ∈[0，π]的图象如图所示，方程sin(x ＋π3)＝m2在[0，π]上有两个解等价于函数y 1＝sin(x ＋π3)，y 2＝m2在同一平面直角坐标系中的图象在[0，π]上有两个不同的交点，所以32≤m2＜1，即3≤m ＜2.反思与感悟 数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想. 跟踪训练6 设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0).若f (x )在区间[π6，π2]上具有单调性，且f (π2)＝f (2π3)＝－f (π6)，则f (x )的最小正周期为 . 答案 π解析 记f (x )的最小正周期为T .由题意知T 2≥π2－π6＝π3.又f (π2)＝f (2π3)＝－f (π6)，且2π3－π2＝π6， 可作出示意图如图所示(一种情况)，∴x 1＝(π2＋π6)×12＝π3，x 2＝(π2＋2π3)×12＝7π12， ∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.1.若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A.4 3B.±4 3C.－43或－433D. 3答案 C解析 由三角函数定义可知，r ＝a 2＋16， sin α＝a a 2＋16，cos α＝－4a 2＋16，sin α·cos α＝－4a a 2＋16＝34， 得a ＝－43或－433.2.已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f (－31π3)的值为( )A.12B.－13C.－12D.13 答案 C解析 ∵f (α)＝sin αcos (－α)cos (π＋α)tan α＝sin αcos α－cos α·sin αcos α＝－cos α，∴f (－31π3)＝－cos(－31π3)＝－cos(10π＋π3)＝－cos π3＝－12.3.函数y ＝|sin x |＋sin|x |的值域为( ) A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，2] D.[0，1] 答案 C解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|sin x |＋sin x (x ≥0)，|sin x |－sin x (x ＜0)，∴0≤f (x )≤2.故选C.4.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A.2，－π3B.2，－π6C.4，－π6D.4，π3答案 A解析 从图象可得34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2.又∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝2，且－π2＜φ＜π2，∴φ＝－π3.5.已知函数f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a ，若1≤f (x )≤174对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.解 令t ＝sin x ，则t ∈[－1，1]，则函数可化为f (t )＝－t 2＋t ＋a ＝－(t －12)2＋a ＋14.当t ＝12时，f (t )max ＝a ＋14，即f (x )max ＝a ＋14；当t ＝－1时，f (t )min ＝a －2， 即f (x )min ＝a －2.故函数f (x )的值域为[a －2，a ＋14].所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤174，a －2≥1，解得3≤a ≤4.故实数a 的取值范围为[3，4].三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法.课时作业一、选择题1.已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.2π3 C.11π6D.5π3答案 D解析 因为sin 5π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝sin π6＝12， cos 5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32，所以点⎝⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6在第四象限. 又因为tan α＝cos5π6sin5π6＝－3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π3＝tan 5π3，所以角α的最小正值为5π3.故选D.2.若sin(π－α)＝－53，且α∈(π，3π2)，则sin(π2＋α)等于( ) A.－53B.53C.－23D.23答案 C解析 ∵sin(π－α)＝－53，∴sin α＝－53， 又∵α∈(π，3π2)，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－59＝－23， ∴sin(π2＋α)＝cos α＝－23，故选C.3.已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域为( )A.[－1，1]B.[－22，1] C.[－1，22] D.[－1，－22] 答案 C解析 f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x ＞cos x .函数f (x )的图象如图所示，由f (x )的图象，知f (x )的值域为[－1，22].4.设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( ) A.[－4，－2] B.[－2，0] C.[0，2] D.[2，4]答案 A解析 由数形结合的思想，画出函数y ＝4sin(2x ＋1)与y ＝x 的图象，观察可知选A.5.将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 答案 B解析 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12，则2x －2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增. 6.函数f (x )＝A sin(ωx ＋θ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (x )等于( )A.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3B.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3D.2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6 答案 A解析 由图象知A ＝2，∵5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝34T ，∴T ＝π，∴ω＝2.∵2×5π12＋θ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴可取θ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.7.同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在区间[5π6，π]上是单调递增函数”的一个函数可以是( ) A.y ＝cos(2x －π3)B.y ＝sin(2x －π6)C.y ＝sin(2x ＋5π6)D.y ＝sin(x 2＋π6)答案 B解析 由T ＝2πω＝π知，ω＝2，D 错；图象与对称轴的交点为最值点，即当x ＝π3时，函数值为最值，A 错；由B 的单调递增区间，可得－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，即为[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )，当k ＝1时，[5π6，π]∈[5π6，4π3]，故选B. 二、填空题8.设x ∈(0，π)，则f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最大值是 . 答案 54解析 ∵f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54. 又∵x ∈(0，π)，∴0＜sin x ≤1， ∴当sin x ＝12时，f (x )的最大值是54.9.函数y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)的值等于 .答案2解析 由图知A ＝2，ω＝π4，φ＝0，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝0. 又f (x )的周期为8，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014). ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝ 2. 10.设函数f (x )＝sin(2x ＋π3)，下列命题：①f (x )的图象关于直线x ＝π3对称；②f (x )的图象关于点(π12，0)对称；③把f (x )的图象向左平移π12个单位长度，得到一个偶函数的图象；④f (x )的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数.其中正确命题的序号为 .答案 ③解析 f (x )＝sin(2x ＋π3)的图象的对称轴方程满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )；f (x )＝sin(2x ＋π3)的图象的对称中心的横坐标满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝－π6＋k π2(k ∈Z )；f (x )的周期为T ＝2π2＝π，由(2x ＋π3)∈[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，得f (x )的增区间为[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )；把f (x )的图象向左平移π12个单位长度，得到f (x )＝sin[2(x ＋π12)＋π3]＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x 的图象，为偶函数.故只有③正确.11.已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (π6)对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是 . 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )解析 由题意可知，当x ＝π6时，f (x )取最值.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，∴π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋k π(k ∈Z ).又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，即－sinφ>sin φ，∴sin φ<0.不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6.令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，则π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )，∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z ).三、解答题12.若sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，且 1－sin α1＋sin α ＋1＋sin α1－sin α＝22，求tan α.解 ∵sin αcos α＜0，sin αtan α＜0， ∴α是第二象限角， ∴ 1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α＝ (1－sin α)21－sin 2α＋ (1＋sin α)21－sin 2α＝2|cos α|＝2－cos α＝22，∴cos α＝－22，则sin α＝22，tan α＝－1. 13.已知f (x )＝3sin(2x ＋π4)－1.(1)f (x )的图象是由y ＝sin x 的图象如何变换而来？(2)求f (x )的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x 的值.解 (1)将函数y ＝sin x 图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y ＝3sin x 的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝3sin 2x 的图象，再把所得函数的图象向左平移π8个单位长度，得到函数y ＝3sin(2x ＋π4)的图象，最后把所得到的函数的图象向下平移一个单位长度，得到函数f (x )＝3sin(2x ＋π4)－1的图象.(2)最小正周期T ＝π，由2x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝π8＋k π2(k ∈Z ).当2x ＋π4＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π8＋k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值2.四、探究与拓展14.将函数f (x )＝2sin(ωx －π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位得到函数y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )在[－π6，π4]上为增函数，则ω的最大值为 .答案 215.已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.解 (1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R ， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z ).(2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.。