基于对数周期幂律模型的汇率泡沫研究

基于对数周期幂律模型的汇率泡沫研究
运用对数周期幂律（LPPL）模型对中国人民银行2005—2015年美元/人民币汇率月度数据展开检验，经过拟合获得关键参数的范围，进一步对汇率的变化规律和泡沫出现进行研究和分析，从动态的、变化的角度检测和分析外汇市场中汇率泡沫的存在性及变化趋势。

通过实例分析，发现基于对数周期幂律模型对周期性泡沫具有较好的拟合效果，并根据拟合结果对汇率泡沫的控制提出了相关建议。

标签：对数周期幂律模型；汇率；泡沫
1 引言
汇率泡沫指的是市场中由于投机资本的持续增加所造成的实际汇率偏离实体经济基本面的现象。

如果一个国家的汇率发生波动，则会使该国家的进口商品价格、工业品价格以及消费者价格也随之发生上涨或下跌；如果汇率市场中存在大量泡沫，就会破坏经济体的内外均衡状态。

随着经济不断繁荣与发展，相关的政策制定部门和监管机构如不对市场加以干预和控制，泡沫就会出现崩溃的可能。

当泡沫发生崩溃时就不可避免地对实体经济造成十分严重危害，将势必对国家经济的发展产生极其深远的负面影响。

因此，了解汇率变化的内在原理和规律，对我们为防范和治理金融市场的泡沫，促进经济的稳定发展具有重要的意义。

本文构建适用于汇率泡沫分析的对数周期幂律模型，并用其检验2005年到2015年的人民币对美元汇率状况。

通过拟合以及对有关参数的计算，分析得到人民币对美元汇率走势的变化规律并预测出泡沫崩溃的临界时间点。

2 对数周期幂律模型
20世纪90年代末，以非线性泡沫理论为基础的非线性动力学理论开始进入人们的视野中。

这种方法将分形和混沌理论引入金融泡沫的研究领域中。

其中，最具有代表性的是Sornette等人提出的对数周期幂律（LPPL）模型。

其主要的优势在于可以对金融市场中复杂的价格运动进行统一的拟合和预测。

实证表明，利用LPPL模型进行拟合得到的结果与市场的实际数据具有较高的吻合程度，并且符合的周期性振荡特性。

1996年，Didier Sornette和Anders Johanson根据物理学上的“平均场”理论、价格动力学等理论，提出了对数周期幂律LPPL （Log-Periodic Power Law）模型。

他们认为，金融泡沫会出现在对数周期振荡趋势崩溃现象的过程中，投资者的羊群行为将导致加速价格上涨，从而形成一个正反馈。

随着价格的持续上涨，波动性的集群更接近崩溃的临界点，波动越大，价格对数周期振荡越大。

在临近崩盘点时，投资者又因为羊群效应而共同纷纷将手中的金融资产抛售，这就会导致市场的崩溃。

因此，我们借助LPPL模型一方面对市场的走势进行验证，另一方面还可以判断出市场崩盘的泡沫破裂时间点。

LPPL模型如下：
其中：yt>0表示金融资产在时刻t的价格的对数；A0表示临界时间；t0表示幂数；ω>0表示泡沫变化的波动频率；0<φ<2π表示相位参数。

直接同时求解这七个参数是十分困难的。

因此本文首先利用最小二乘法将三个线性参数A、B、C用四个非线性参数β、ω、φ、tc表示出来，然后利运用启发式算法中的遗传算法来求解模型中β、ω、φ、tc这四个非线性参数，最优解需要满足均方误差根达到最小值。

超指数增长的过程中，泡沫不断扩大，在达到这个临界时间点的时候就会崩溃，这个“崩溃点”就是一个临界时间点，但这与能够无限增长的指数增长模型是不同的，因此LPPL模型假设金融市场的泡沫符合“超指数增长”的特征。

3 基于LPPL模型的汇率实例分析
3.1 数据说明
3.1.1 数据的选取及处理
本文选取自2005年7月我国汇率改革以来至2015年1月的人民币对美元的汇率的115个月度汇率数据，并对所有数据取自然对数。

该组数据几乎涵盖了我国自汇率改革以来我国人民币对美元匯率价格频繁波动的所有时期。

此期间数据的整体走势如图1所示。

3.1.2 数据的描述性统计
表1给出了我国人民币对美元汇率的描述性统计结果，从2005年至2015年汇率的均值为-1.92182，最小值为-2.10734，最大值为-1.80020，二者相差0.3014，由此可看出汇率价格在此期间上涨幅度明显。

偏度为-0.572，为负偏态；峰度为-0.971，小于3，属于瘦尾，标准差为0.09388，由此可见在2005年至2015年这十年间汇率价格的波动幅度较大，且不服从正态分布。

根据上述分析，我们可以初步断定，我国汇率市场的汇率价格变化具有非线性的特征。

也因此可以推断，这期间我国汇率市场有存在泡沫的可能性，故本文后面部分将对这段时间人民币对美元的汇率价格进行具体走势分析以及泡沫检验。

3.1.3 分段数据及其走势
从图1中可以看出，人民币汇率自2005年汇改以来开始呈现持续上升，并在之后一直保持一个相对稳定的发展态势，直到2008年增速开始放缓，并开始呈现小幅波动，直到2010年开始又有了上涨趋势并有较大幅度的波动，直到2012年中旬达到第二个局部高峰，在经历了小幅震荡下跌后开始出现大幅波动，并分别在2014年初和2015年达到新的高点。

基于上述对整体数据的统计性分析以及通过查阅相关文献，我们可将这一时期的汇率数据大致分为四个时间段。

（1）2005年7月到2010年7月。

2005年7月，中国开始实施人民币汇率形成机制改革，人民币不再盯住美元，而是改为选择参照由多种主要货币组成一个货币篮子进行汇率价格的制定。

在汇改当日，美元对人民币汇率由8.27调整为8.10，人民币的上升幅度约为2.1%。

自从我国开始实行以市场供求为基础，有管理的浮动汇率制度之后，人民币在我国开始出现持续性的贸易顺差以及资本顺差，这种对外贸易的变化直接导致了我国人民币汇率开始呈现上升趋势。

然后，随着2007年美国次贷危机的爆发，股票市场、商品市场和能源市场均显著下降。

汇率市场由于恐慌情绪高涨也出现了较大波动。

随着美联储地连续降息政策，美元币值产生持续下跌趋势，与之相对，人民币对美元汇率保持升值趋势。

但是随着美国发生的次贷危机的不断蔓延与加剧，美元的走势开始发生回升，导致美元由贬值走向了升值，至此人民币开始停止升值趋势。

之后，2008年亚洲金融危机爆发，人民币和美元开始存在脱钩现象，这导致人民币存在巨大升值压力，不利于我国对外出口的增长，因此此时，我国政府开始采取相应的措施，一定程度上缩小了人民币汇率的浮动区间。

由于中国及时和稳健的货币政策，保持货币稳定，应对人民币升值的压力，汇率价格因此逐渐稳定。

由于2008年11月，美联储全部实施第一轮量化宽松货币政策，这加大了美元汇率的波动，人民币对美元平稳波动。

（2）2010年7月到2012年8月。

2010年6月，中央银行决定进一步提高人民币汇率弹性，由此人民币汇率的浮动区间，人民币汇率开始继2005年汇率改革以后的新一轮的持续性的快速升值。

另外，由于近几年来我国经济持续快速发展，对外贸易的需求也在不断增长，这导致我国开始产生出现巨额的外汇储备并在此出现贸易顺差和资本顺差。

国内市场中，外汇供给大于需求，这导致了之后人民币的不断升值。

在此时间区段中，到2012年02月，汇率升幅约为7.56%，达到近几年最高点0.15873。

这些迹象表明，我国汇率市场已经初现泡沫迹象，本文通过建模分析对外汇市场的价格增长进行相关的泡沫检验。

由数据走势看出，到2012年汇率价格开始出现较大幅度的下降，分析其下跌原因可能有两点：一是2012年开始持续的欧债危机导致全球避险情绪高涨、国际资本大量流出，导致人民币汇率价格的下跌；二是中国经济开始逐步放缓，国内外贸易顺差和资本顺差开始逐步收窄，国内汇率价格下降，到2012年7月，降幅约为1.13%。

（3）2012年8月到2014年6月。

由于美国面临债务上限和庞大的预算赤字，以及美联储的定量宽松政策的影
响地进一步扩大，2012的汇率价格震荡但仍维持在较高水平。

从2012年8月到2014年1月，汇率达到第二个峰值0.16526，升幅约为5.31%。

汇率价格短期的大幅升值导致了人们对汇率升值预期的上升，由此导致市场中存在大量投机行为及跟风热潮，投机者试图从汇率的大幅波动中获取暴利，由此推断该时间段汇率市场中存在汇率价格大幅背离经济基本面增长的泡沫成分的可能性极大。

2014年美联储结束四轮的量化宽松政策，这意味着美元升值，人民币继续贬值。

进入2013年，全球经济逐渐从金融危机中复苏，美国经济指标逐步改善，这使得美联储提前收紧QE预期，这使得我国汇率出现相对低谷，自2014年1月至此，汇率价格下降了3.00%。

（4）2014年6月到2015年1月。

到2014年底，通过汇率价格总体走势图我们可以看出，汇率再次上升，这可能与QE退出计划的放缓有关。

而进入2015年后，汇率的变化形式逐步趋于稳定，在固定区间内小幅震荡，这可能与当时国家的相关货币政策以及人民币即将加入SDR所引起的升值预期有关。

从2014年1月峰值0.16328到2015年初汇率价格的跌幅为1.70%。

3.2 模型拟合结果
3.2.1 拟合数据窗口的选择
（1）“崩溃”的确定。

利用LPPL模型进行检验需要一些必要的前提假设，其中包括：拟合时间段的资产价格必须保持总体上涨趋势，且该增长过程中包含一个市场崩溃的临界时间点。

因此，我们需要对市场的“崩溃”也就是引发市场崩溃的价格“顶”作一个定义。

但是，我们可能会在下面两种情况下误认为市场发生了崩溃：第一，在金融市场泡沫中，资产价格出现暂时回调，呈上升趋势，然后在泡沫中继续上涨；第二，资产价格的暂时反弹被认为是市场崩溃的新泡沫的开始。

為了避免上述两种错误，通常需要遵循以下两个原则：一是在该指数价格峰值出现的前一个交易年，即262个工作日的指数价格均不超过该峰值；二是高峰过后下跌，至少有25%的跌幅，换言之，就是峰值的0.75倍。

但是通过查阅大量文献发现，该准则多用于检验股票、房地产等经常产生大幅震荡的市场中，本文考虑到汇率价格这一经济指标相比于其他金融价格波动范围较小，且自2005年汇改以来，由于国家宏观政策的调节和控制，我国汇率一直在一个较小的浮动区间内波动。

因此，本文将第二点修改为“峰值之后的下跌至少超过1%。

”
通过分析数据，根据以上两个以上原则得到符合条件的三个时间点，分别为：2012年2月、2014年1月、2014年11月。

（2）“泡沫开始点”的确定。

在大量的LPPL模型拟合研究中，时间窗口的起始点被选择成”趋势转变”指数达到最低点的前一天。

然而，在市场的实际情况下，不可能预测未来的指数是否会进一步下降，因此，理解“谷底”比定义合理化更为复杂。

所以，在实际的分析中，选择最后一次崩溃结束时的最短时间作为泡沫的底部，也就是泡沫的开始。

因此，根据数据得到拟合的三个时间段泡沫开始的时期分别为：2010年5月、2012年7月、2014年5月。

综合上述两个方面，确定利用LPPL模型进行拟合的三个数据窗口，具体如表2所示。

利用上述方法得到的拟合数据窗口的选择在原始数据中的标记如图2所示。

3.2.2 参数的估计与拟合分析
结合LPPL模型和已确定的可能存在泡沫的三个时间段进行拟合。

具体做法是：首先利用matlab中的遗传算法工具箱gatool求解四个非线性参数，然后根据最小二乘法进行编程运算，得到七个参数的最优解，并生成拟合曲线与相应的实际价格曲线进行拟合，进一步分析拟合结果。

我们分别对三个时间段中的我国的人民币对美元汇率拟合。

拟合的参数结果如表3所示。

（1）第一个时间段的拟合结果。

该拟合时间段的开始日期是2010年5月，也就是这段泡沫开始的起始時间点，拟合窗口的结束时间我们选择了2012年2月。

由LPPL进行拟合得到的市场崩溃的临界时间为2012年3月，与实证结果十分接近，由此可以验证该模型在预测汇率市场泡沫的破裂时间的准确性。

拟合优度R2值为0.9962，十分接近1，说明实际值和拟合值具有较高的贴合度，拟合效果良好。

拟合得到幂率参数β的值为1.235，振荡频率参数ω的值为23.594，由此说明该时间段汇率价格走势呈现超指数型的对数周期性振荡，此现象通过观察实际数据和拟合数据的拟合曲线也明显可以看出。

由此时段拟合曲线我们可以看出，在该时间段我国汇率价格呈现高速上涨的趋势，并且伴随小幅高频的周期性振荡。

根据当时的市场环境分析，其可能是由2010年以来中国经济高速发展，对外贸易频繁，国内外汇市场供大于需所导致的。

（2）第二个时间段拟合结果。

拟合的窗口期为2012年7月—2014年1月，关于拟合参数值，得到的β、ω、φ的值大致位于拟合区间的中间。

其中，ω的值为13.754，说明该段数据曲线存在比较明显的对数周期性振荡现象。

临界时间应为2014年3月，通过查阅已有的历史数据，进行对比发现由LPPL模型预测的泡沫崩溃的临界时间与市场的实际崩溃时间十分接近，由此在一定程度上证明
了LPPL模型在预测汇率市场泡沫的崩溃时间点方面的有效性。

该时间段的拟合优度R2为0.9913，十分接近1，说明利用LPPL模型对该时间窗口的拟合效果时比较理想。

通过观察该段时间窗口的拟合曲线，可以看出价格的上涨趋势是非线性超指数增长的，汇率价格变化存在明显的对数周期振荡现象，且越接近临界时间点其价格变化的震动频率越快，当到达临界时间点时价格会发生一个快速的巨幅下跌。

由此说明在该时间段，我国人民币对美元汇率存在对数周期性幂律型泡沫现象。

分析其原因，可能与美国连续实行的四轮量化宽松政策，以及当时市场中投资者的热情程度和心理因素有关。

（3）第三个时间段的拟合结果。

该时间数据窗口为2014年5月—2014年11月。

利用模型拟合得到幂律指数β的值为0.003，十分接近于0，由此可见对于该时间段得到的拟合模型中的幂律项近似退化为线性项，但振荡频率参数ω的值为1.398并不趋近于0，因此价格变化仍存在对数周期性，所以tc对应的点仍是临界点。

在该时间段中，振荡频率为1.398，和上一时间段比较要小一些，综合多个参数的拟合值来看，说明在该段时间活驴价格的增长较为平缓且振荡频率较低。

此时段拟合曲线相比而言变化较平缓且波动幅度不算太大。

结合当时的相关政策和市场环境，分析其原因可能包括我国的汇率改革制度到2014后开始趋于不断完善，由国家宏观政策的调节是的汇率价格得以在一个较小的区间的小幅波动，整体趋于稳定。

而在2014年年末及2015年的年初汇率价格的小幅波动，分析原因可能与中国即将加入SDR等事件有关。

4 结论与建议
通过选取我国2005年至2015年人民币对美元汇率价格原始数据中的四个时间窗口进行走势分析和泡沫的存在性检验，利用LPPL模型分别对四个拟合时间窗口进行参数拟合，分析结果得到在2010年5月—2012年2月、2012年7月—2014年1月、2014年5月—2014年11月这三个时间段我国人民币对美元汇率价格均存在明显的泡沫现象，并利用LPPL模型准确地测算出泡沫崩溃的临界时间。

其中在2010年5月—2012年2月和2012年7月—2014年1月两个时间段内汇率价格变化存在较为明显的超指数增长以及对数周期振荡特性，由此验证了LPPL模型的适用性以及其在检验我国汇率价格泡沫现象的存在性以及预测泡沫崩溃的临界时间方面的有效性。

我们应当警惕当出现过高的泡沫现象会导致市场中出现大量投机投资者，只看到眼前的利益，一味地投机获取利益，从而严重伤害整个经济发展环境。

根据以上所得主要结论，提出以下几点针对性的政策建议。

4.1 不断完善中央银行外汇干预机制，并对汇率有效实行主动干预
自2005年我国实行汇改，开始实行以市场为导向，有管理的浮动汇率政策，
汇率的变动变得更加具有灵活性。

因此，当汇率开始离开预期的汇率区间发生剧烈上升或波动时，此时极有可能伴有泡沫化风险。

此时，中央银行需要及时进行调控和干预，确保外汇市场的稳定发展。

当人民币汇率被低估时，人民币适度升值，不仅能够实现市场均衡，还可以有助于调节贸易顺差，减少对人民币汇率面临的各种压力，同时对抑制通货膨胀也会起到一定的效果。

4.2 注重稳住汇率预期，抑制汇率市场中的投机行为
目前，我国外汇储备已经很高，投机者们很有可能会借题发挥，借此机会炒热人民币升值的话题。

这很容易造成跟风投资的行为，这种投机行为就会导致泡沫的产生。

在市场泡沫时期，外汇市场中价格暴涨暴跌的行为将会使国民经济遭受巨大的打击。

要注重汇率调整周期，尤其要避免调整幅度和频率过大，在这个过程当中，一定要充分意识到汇率升值的变化对控制通货膨胀的延滞效应。

对汇率价格进行实时的监控，注重对汇率价格的有效引导，增强应对汇率价格变化的能力，当出现对汇率价格的负面影响时，应能够及时启动相应的应急预案。

4.3 加强提高我国的外汇储备管理体系的收益水平
如今我国拥有超过2.3万亿美元外汇储备，为了能够拓展外汇市场的资产种类，提高我国外汇市场的整体收益水平，在确保外汇储备资产必要的流动性和安全性的前提下，对外汇储备展开不同档次的管理，将富余的储备交由专业的投资机构进行储备和管理。

4.4 积极增加我国的黄金储备规模
截至2016年，我国的黄金储备仅有1842余吨，仅占外汇储备的2.3%，但我国外汇储备高居世界首位，在此情形下，外汇贬值风险不可忽视，相关部门应审时度势，增加合理的黄金储备规模，以提高规避汇率风险的能力，为人民币国际化提供有力的保证。

参考文献
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