2020年江苏省连云港市中考数学试题及答案

2020年江苏省连云港市中考数学试题一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分） 3的绝对值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．√3D ．13 2．（3分） 如图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（3分） 下列计算正确的是（ ）A ．2x +3y ＝5xyB ．（x +1）（x ﹣2）＝x 2﹣x ﹣2C ．a 2•a 3＝a 6D ．（a ﹣2）2＝a 2﹣44．（3分） “红色小讲解员”演讲比赛中，7位评委分别给出某位选手的原始评分．评定该选手成绩时，从7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，这两组数据一定不变的是（ ）A ．中位数B ．众数C ．平均数D ．方差 5．（3分） 不等式组{2x −1≤3，x +1＞2的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ．C ．D ．6．（3分） 如图，将矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的A '处．若∠DBC ＝24°，则∠A 'EB 等于（ ）A．66°B．60°C．57°D．48°7．（3分）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（）A．△AED B．△ABD C．△BCD D．△ACD8．（3分）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留了0.5h；②快车速度比慢车速度多20km/h；③图中a＝340；④快车先到达目的地．其中正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．①④二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）我市某天的最高气温是4℃，最低气温是﹣1℃，则这天的日温差是℃．10．（3分）“我的连云港”APP是全市统一的城市综合移动应用服务端．一年来，实名注册用户超过1600000人．数据“1 600 000”用科学记数法表示为．11．（3分）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M、N的坐标分别为（3，9）、（12，9），则顶点A的坐标为．12．（3分）按照如图所示的计算程序，若x＝2，则输出的结果是．13．（3分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为min．14．（3分）用一个圆心角为90°，半径为20cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为cm．15．（3分）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝°．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为．三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡上指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分） 计算（﹣1）2020+（15）﹣1−√643． 18．（6分） 解方程组{2x +4y =5，x =1−y ． 19．（6分） 化简a+31−a ÷a 2+3a a −2a+1．20．（8分） 在世界环境日（6月5日），学校组织了保护环境知识测试，现从中随机抽取部分学生的成绩作为样本，按“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计，绘制了如下尚不完整的统计图表．测试成绩统计表等级频数（人数） 频率 优秀30 a 良好b 0.45 合格24 0.20 不合格12 0.10 合计 c 1根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）表中a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ；（2）补全条形统计图；（3）若该校有2400名学生参加了本次测试，估计测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有多少人？21．（10分）从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是；（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概率．22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC 分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．23．（10分）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：（1）甲、乙两公司各有多少人？（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元．若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．24．（10分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y =m x （x ＞0）的图象经过点A （4，32），点B 在y 轴的负半轴上，AB 交x 轴于点C ，C 为线段AB 的中点．（1）m ＝ ，点C 的坐标为 ；（2）若点D 为线段AB 上的一个动点，过点D 作DE ∥y 轴，交反比例函数图象于点E ，求△ODE 面积的最大值．25．（12分） 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m 的筒车⊙O 按逆时针方向每分钟转56圈，筒车与水面分别交于点A 、B ，筒车的轴心O 距离水面的高度OC 长为2.2m ，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间．（1）经过多长时间，盛水筒P 首次到达最高点？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P 距离水面多高？（3）若接水槽MN 所在直线是⊙O 的切线，且与直线AB 交于点M ，MO ＝8m ．求盛水筒P 从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN 上．（参考数据：cos43°＝sin47°≈1115，sin16°＝cos74°≈1140，sin22°＝cos68°≈38）26．（12分） 在平面直角坐标系xOy 中，把与x 轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L 1：y =12x 2−32x ﹣2的顶点为D ，交x 轴于点A 、B （点A 在点B 左侧），交y 轴于点C ．抛物线L 2与L 1是“共根抛物线”，其顶点为P ．（1）若抛物线L 2经过点（2，﹣12），求L 2对应的函数表达式；（2）当BP ﹣CP 的值最大时，求点P 的坐标；（3）设点Q 是抛物线L 1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ 与△ABC 相似，求其“共根抛物线”L 2的顶点P 的坐标．27．（12分） （1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若BE ＝2，PF ＝6，△AEP 的面积为S 1，△CFP 的面积为S 2，则S 1+S 2＝ ；（2）如图2，点P 为▱ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为S 1，四边形PFCG 的面积为S 2（其中S 2＞S 1），求△PBD 的面积（用含S 1、S 2的代数式表示）；（3）如图3，点P 为▱ABCD 内一点（点P 不在BD 上），过点P 作EF ∥AD ，HG ∥AB ，与各边分别相交于点E 、F 、G 、H ．设四边形AEPH 的面积为S 1，四边形PGCF 的面积为S 2（其中S 2＞S 1），求△PBD 的面积（用含S 1、S 2的代数式表示）；（4）如图4，点A 、B 、C 、D 把⊙O 四等分．请你在圆内选一点P （点P 不在AC 、BD上），设PB 、PC 、BĈ围成的封闭图形的面积为S 1，P A 、PD 、AD ̂围成的封闭图形的面积为S 2，△PBD 的面积为S 3，△P AC 的面积为S 4，根据你选的点P 的位置，直接写出一个含有S 1、S 2、S 3、S 4的等式（写出一种情况即可）．2020年江苏省连云港市中考数学试题一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分） 3的绝对值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．√3D ．13 解：|3|＝3，故选：B ．2．（3分） 如图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．解：从正面看有两层，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．故选：D ．3．（3分）下列计算正确的是（）A．2x+3y＝5xy B．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2C．a2•a3＝a6D．（a﹣2）2＝a2﹣4解：A.2x与3y不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2，故本选项符合题意；C．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；D．（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故本选项不合题意．故选：B．4．（3分）“红色小讲解员”演讲比赛中，7位评委分别给出某位选手的原始评分．评定该选手成绩时，从7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，这两组数据一定不变的是（）A．中位数B．众数C．平均数D．方差解：根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的是中位数．故选：A．5．（3分）不等式组{2x−1≤3，x+1＞2的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．解：解不等式2x﹣1≤3，得：x≤2，解不等式x+1＞2，得：x＞1，∴不等式组的解集为1＜x≤2，表示在数轴上如下：故选：C．6．（3分）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（）A．66°B．60°C．57°D．48°解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，∴∠A'BE＝∠ABE=12（90°﹣∠DBC）=12（90°﹣24°）＝33°，∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°；故选：C．7．（3分）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（）A．△AED B．△ABD C．△BCD D．△ACD解：∵三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，∴从O点出发，确定点O分别到A，B，C，D，E的距离，只有OA＝OC＝OD，∴点O是△ACD的外心，故选：D．8．（3分）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留了0.5h；②快车速度比慢车速度多20km/h；③图中a＝340；④快车先到达目的地．其中正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．①④解：根据题意可知，两车的速度和为：360÷2＝180（km/h），相遇后慢车停留了0.5h，快车停留了1.6h，此时两车距离为88km，故①结论错误；慢车的速度为：88÷（3.6﹣2.5）＝80（km/h），则快车的速度为100km/h，所以快车速度比慢车速度多20km/h；故②结论正确；88+180×（5﹣3.6）＝340（km），所以图中a＝340，故③结论正确；（360﹣2×80）÷80＝2.5（h），5﹣2.5＝2.5（h），所以慢车先到达目的地，故④结论错误．所以正确的是②③．故选：B．二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）我市某天的最高气温是4℃，最低气温是﹣1℃，则这天的日温差是5℃．解：4﹣（﹣1）＝4+1＝5．故答案为：5．10．（3分）“我的连云港”APP是全市统一的城市综合移动应用服务端．一年来，实名注册用户超过1600000人．数据“1 600 000”用科学记数法表示为 1.6×106．解：数据“1600000”用科学记数法表示为1.6×106，故答案为：1.6×106．11．（3分）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M、N的坐标分别为（3，9）、（12，9），则顶点A的坐标为（15，3）．解：如图，∵顶点M、N的坐标分别为（3，9）、（12，9），∴MN∥x轴，MN＝9，BN∥y轴，∴正方形的边长为3，∴BN＝6，∴点B（12，3），∵AB∥MN，∴AB∥x轴，∴点A（15，3）故答案为（15，3）．12．（3分）按照如图所示的计算程序，若x＝2，则输出的结果是﹣26．解：把x＝2代入程序中得：10﹣22＝10﹣4＝6＞0，把x＝6代入程序中得：10﹣62＝10﹣36＝﹣26＜0，∴最后输出的结果是﹣26．故答案为：﹣26．13．（3分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为 3.75min．解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，当x=−1.52×(−0.2)=3.75时，y取得最大值，则最佳加工时间为3.75min．故答案为：3.75．14．（3分）用一个圆心角为90°，半径为20cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为5cm．解：设这个圆锥的底面圆半径为r，根据题意得2πr=90π×20 180，解得r＝5（cm）．故答案为：5．15．（3分）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝48°．解：延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4=720°6=120°，∴∠CA2A3＝∠A2A3C＝180°﹣120°＝60°，∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠B2B3B4=540°5=108°，∵A3A4∥B3B4，∴∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，∴∠EDC＝180°﹣108°＝72°，∴α＝∠CED＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣60°﹣72°＝48°，故答案为：48．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为2．解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC ＝CB ，AM ＝OM ，∴MC =12OB ＝1，∴点C 的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的⊙M ，设⊙M 交MN 于C ′．∵直线y =34x ﹣3与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，∴D （4，0），E （0，﹣3），∴OD ＝4，OE ＝3，∴DE =√32+42=5，∵∠MDN ＝∠ODE ，∠MND ＝∠DOE ，∴△DNM ∽△DOE ，∴MN OE =DM DE ， ∴MN 3=35，∴MN =95，当点C 与C ′重合时，△C ′DE 的面积最小，最小值=12×5×（95−1）＝2， 故答案为2．三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡上指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分） 计算（﹣1）2020+（15）﹣1−√643． 解：原式＝1+5﹣4＝2．18．（6分） 解方程组{2x +4y =5，x =1−y ．解：{2x +4y =5①x =1−y②把②代入①，得2（1﹣y ）+4y ＝5，解得y =32．把y =32代入②，得x =−12．∴原方程组的解为{x =−12y =32． 19．（6分） 化简a+31−a ÷a 2+3a a −2a+1．解：原式=a+31−a •(a−1)2a(a+3)=a+31−a •(1−a)2a(a+3) =1−a a． 20．（8分） 在世界环境日（6月5日），学校组织了保护环境知识测试，现从中随机抽取部分学生的成绩作为样本，按“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计，绘制了如下尚不完整的统计图表．测试成绩统计表等级频数（人数） 频率 优秀30 a 良好b 0.45 合格24 0.20 不合格12 0.10 合计 c 1根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）表中a ＝ 0.25 ，b ＝ 54 ，c ＝ 120 ；（2）补全条形统计图；（3）若该校有2400名学生参加了本次测试，估计测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有多少人？解：（1）本次抽取的学生有：24÷0.20＝120（人），a＝30÷120＝0.25，b＝120×0.45＝54，c＝120，故答案为：0.25，54，120；（2）由（1）知，b＝54，补全的条形统计图如右图所示；（3）2400×（0.45+0.25）＝1680（人），答：测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有1680人．21．（10分）从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是1；3（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概率．解：（1）在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，因此选择生物的概率为13； 故答案为：13； （2）用树状图表示所有可能出现的结果如下：共有12种可能出现的结果，其中选中“化学”“生物”的有2种，∴P （化学生物）=212=16． 22．（10分） 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线BD 的垂直平分线与边AD 、BC分别相交于点M 、N ．（1）求证：四边形BNDM 是菱形；（2）若BD ＝24，MN ＝10，求菱形BNDM 的周长．（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠DMO ＝∠BNO ，∵MN 是对角线BD 的垂直平分线，∴OB ＝OD ，MN ⊥BD ，在△MOD 和△NOB 中，{∠DMO =∠BNO∠MOD =∠NOB OD =OB，∴△MOD ≌△NOB （AAS ），∴OM ＝ON ，∵OB ＝OD ，∴四边形BNDM 是平行四边形，∵MN ⊥BD ，∴四边形BNDM 是菱形；（2）解：∵四边形BNDM 是菱形，BD ＝24，MN ＝10，∴BM ＝BN ＝DM ＝DN ，OB =12BD ＝12，OM =12MN ＝5，在Rt △BOM 中，由勾股定理得：BM =√OM 2+OB 2=√52+122=13，∴菱形BNDM 的周长＝4BM ＝4×13＝52．23．（10分） 甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：（1）甲、乙两公司各有多少人？（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A 、B 两种防疫物资，A 种防疫物资每箱15000元，B 种防疫物资每箱12000元．若购买B 种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A 、B 两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）． 解：（1）设甲公司有x 人，则乙公司有（x +30）人，依题意，得：100000x ×76=140000x+30，解得：x ＝150，经检验，x ＝150是原方程的解，且符合题意，∴x +30＝180．答：甲公司有150人，乙公司有180人．（2）设购买A 种防疫物资m 箱，购买B 种防疫物资n 箱，依题意，得：15000m +12000n ＝100000+140000，∴m ＝16−45n ．又∵n ≥10，且m ，n 均为正整数，∴{m =8n =10，{m =4n =15， ∴有2种购买方案，方案1：购买8箱A 种防疫物资，10箱B 种防疫物资；方案2：购买4箱A 种防疫物资，15箱B 种防疫物资．24．（10分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y =m x （x ＞0）的图象经过点A（4，32），点B 在y 轴的负半轴上，AB 交x 轴于点C ，C 为线段AB 的中点． （1）m ＝ 6 ，点C 的坐标为 （2，0） ；（2）若点D 为线段AB 上的一个动点，过点D 作DE ∥y 轴，交反比例函数图象于点E ，求△ODE 面积的最大值．解：（1）∵反比例函数y =m x （x ＞0）的图象经过点A （4，32）， ∴m =4×32=6， ∵AB 交x 轴于点C ，C 为线段AB 的中点．∴C （2，0）；故答案为6，（2，0）；（2）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，把A （4，32），C （2，0）代入得{4k +b =322k +b =0，解得{k =34b =−32， ∴直线AB 的解析式为y =34x −32；∵点D 为线段AB 上的一个动点，∴设D （x ，34x −32）（0＜x ≤4），∵DE ∥y 轴， ∴E （x ，6x ），∴S △ODE =12x •（6x −34x +32）=−38x 2+34x +3=−38（x ﹣1）2+278，∴当x ＝1时，△ODE 的面积的最大值为278．25．（12分） 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m 的筒车⊙O 按逆时针方向每分钟转56圈，筒车与水面分别交于点A 、B ，筒车的轴心O 距离水面的高度OC 长为2.2m ，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间． （1）经过多长时间，盛水筒P 首次到达最高点？ （2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P 距离水面多高？（3）若接水槽MN 所在直线是⊙O 的切线，且与直线AB 交于点M ，MO ＝8m ．求盛水筒P 从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN 上．（参考数据：cos43°＝sin47°≈1115，sin16°＝cos74°≈1140，sin22°＝cos68°≈38）解：（1）如图1中，连接OA ．由题意，筒车每秒旋转360°×56÷60＝5°，在Rt △ACO 中，cos ∠AOC =OC OA =2.23=1115． ∴∠AOC ＝43°， ∴180−435=27.4（秒）．答：经过27.4秒时间，盛水筒P 首次到达最高点．（2）如图2中，盛水筒P 浮出水面3.4秒后，此时∠AOP ＝3.4×5°＝17°，∴∠POC ＝∠AOC +∠AOP ＝43°+17°＝60°， 过点P 作PD ⊥OC 于D ，在Rt △POD 中，OD ＝OP •cos60°＝3×12=1.5（m ）， 2.2﹣1.5＝0.7（m ），答：浮出水面3.4秒后，盛水筒P 距离水面0.7m ． （3）如图3中，∵点P 在⊙O 上，且MN 与⊙O 相切，∴当点P 在MN 上时，此时点P 是切点，连接OP ，则OP ⊥MN ， 在Rt △OPM 中，cos ∠POM =OP OM =38， ∴∠POM ＝68°，在Rt △COM 中，cos ∠COM =OC OM =2.28=1140， ∴∠COM ＝74°，∴∠POH ＝180°﹣∠POM ﹣∠COM ＝180°﹣68°﹣74°＝38°，∴需要的时间为385=7.6（秒），答：盛水筒P 从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线MN 上．26．（12分） 在平面直角坐标系xOy 中，把与x 轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L 1：y =12x 2−32x ﹣2的顶点为D ，交x 轴于点A 、B （点A 在点B 左侧），交y 轴于点C ．抛物线L 2与L 1是“共根抛物线”，其顶点为P ． （1）若抛物线L 2经过点（2，﹣12），求L 2对应的函数表达式； （2）当BP ﹣CP 的值最大时，求点P 的坐标；（3）设点Q 是抛物线L 1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ 与△ABC 相似，求其“共根抛物线”L 2的顶点P 的坐标．解：（1）当y ＝0时，12x 2−32x ﹣2＝0，解得x ＝﹣1或4，∴A （﹣1，0），B （4，0），C （0，2），由题意设抛物线L 2的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣4）， 把（2，﹣12）代入y ＝a （x +1）（x ﹣4）， ﹣12＝﹣6a ， 解得a ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝2（x +1）（x ﹣4）＝2x 2﹣6x ﹣8．（2）∵抛物线L 2与L 1是“共根抛物线”，A （﹣1，0），B （4，0）， ∴抛物线L 1，L 2的对称轴是直线x =32， ∴点P 在直线x =32上，∴BP ＝AP ，如图1中，当A ，C ，P 共线时，BP ﹣PC 的值最大，此时点P 为直线AC 与直线x =32的交点， ∵直线AC 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2， ∴P （32，﹣5）（3）由题意，AB ＝5，CB ＝2√5，CA =√5， ∴AB 2＝BC 2+AC 2，∴∠ACB ＝90°，CB ＝2CA ， ∵y =12x 2−32x ﹣2=12（x −32）2−258， ∴顶点D （32，−258），由题意，∠PDQ 不可能是直角， 第一种情形：当∠DPQ ＝90°时， ①如图3﹣1中，当△QDP ∽△ABC 时，QP DP=AC BC=12，设Q （x ，12x 2−32x ﹣2），则P （32，12x 2−32x ﹣2），∴DP =12x 2−32x ﹣2﹣（−258）=12x 2−32x +98，QP ＝x −32， ∵PD ＝2QP ，∴2x ﹣3=12x 2−32x +98，解得x =112或32（舍弃）， ∴P （32，398）．②如图3﹣2中，当△DQP ∽△ABC 时，同法可得PQ ＝2PD ，x −32=x 2﹣3x +94， 解得x =52或32（舍弃），∴P （32，−218）． 第二种情形：当∠DQP ＝90°． ①如图3﹣3中，当△PDQ ∽△ABC 时，PQ DQ=AC BC=12，过点Q 作QM ⊥PD 于M ．则△QDM ∽△PDQ ， ∴QM MD=PQ DQ=12，由图3﹣3可知，M （32，398），Q （112，398），∴MD ＝8，MQ ＝4， ∴DQ ＝4√5， 由DQ DM=PD DQ，可得PD ＝10，∵D （32，−258）∴P （32，558）．②当△DPQ ∽△ABC 时，过点Q 作QM ⊥PD 于M ．同法可得M （32，−218），Q （52，−218）， ∴DM =12，QM ＝1，QD =√52，由QD DM=PD DQ，可得PD =52，∴P （32，−58）．27．（12分） （1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若BE ＝2，PF ＝6，△AEP 的面积为S 1，△CFP 的面积为S 2，则S 1+S 2＝ 12 ；（2）如图2，点P 为▱ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为S 1，四边形PFCG 的面积为S 2（其中S 2＞S 1），求△PBD 的面积（用含S 1、S 2的代数式表示）；（3）如图3，点P 为▱ABCD 内一点（点P 不在BD 上），过点P 作EF ∥AD ，HG ∥AB ，与各边分别相交于点E 、F 、G 、H ．设四边形AEPH 的面积为S 1，四边形PGCF 的面积为S 2（其中S 2＞S 1），求△PBD 的面积（用含S 1、S 2的代数式表示）；（4）如图4，点A 、B 、C 、D 把⊙O 四等分．请你在圆内选一点P （点P 不在AC 、BD 上），设PB 、PC 、BC ̂围成的封闭图形的面积为S 1，P A 、PD 、AD ̂围成的封闭图形的面积为S 2，△PBD 的面积为S 3，△P AC 的面积为S 4，根据你选的点P 的位置，直接写出一个含有S 1、S 2、S 3、S 4的等式（写出一种情况即可）．解：（1）如图1中，过点P 作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ． ∵四边形ABCD 是矩形，EF ∥BC ，∴四边形AEPM ，四边形MPFD ，四边形BNPE ，四边形PNCF 都是矩形，∴BE ＝PN ＝CF ＝2，S △PFC =12×PF ×CF ＝6，S △AEP ＝S △APM ，S △PEB ＝S △PBN ，S △PDM ＝S△PFD，S △PCN ＝S △PCF ，S △ABD ＝S △BCD ，∴S 矩形AEPM ＝S 矩形PNCF ， ∴S 1＝S 2＝6，∴S1+S2＝12，故答案为12．（2）如图2中，连接P A，PC，在△APB中，∵点E是AB的中点，∴可设S△APE＝S△PBE＝a，同理，S△APH＝S△PDH＝b，S△PDG＝S△PGC＝c，S△PFC＝S△PBF ＝d，∴S四边形AEPH+S四边形PFCG＝a+b+c+d，S四边形PEBF+S四边形PHDG＝a+b+c+d，∴S四边形AEPH+S四边形PFCG＝S四边形PEBF+S四边形PHDG＝S1+S2，∴S△ABD=12S平行四边形ABCD＝S1+S2，∴S△PBD＝S△ABD﹣（S1+S△PBE+S△PHD）＝S1+S2﹣（S1+a+S1﹣a）＝S2﹣S1．（3）如图3中，由题意四边形EBGP，四边形HPFD都是平行四边形，∴S四边形EBGP＝2S△EBP，S四边形HPFD＝2S△HPD，∴S△ABD=12S平行四边形ABCD=12（S1+S2+2S△EBP+2S△HPD）=12（S1+S2）+S△EBP+S△HPD，∴S△PBD＝S△ABD﹣（S1+S△EBP+S△HPD）=12（S2﹣S1）．（4）如图4﹣1中，结论：S2﹣S1＝S3+S4．理由：设线段PB，线段P A，弧AB围成的封闭图形的面积为x，线段PC，线段PD，弧CD的封闭图形的面积为y．由题意：S1+x+S4＝S1+y+S3，∴x﹣y＝S3﹣S4，∵S1+S2+x+y＝2（S1+x+S4），∴S2﹣S1＝x﹣y+2S4＝S3+S4．同法可证：图4﹣2中，有结论：S1﹣S2=S3+S4．图4﹣3中和图4﹣4中，有结论：|S1﹣S2|＝|S3﹣S4|．。