微积分I思考题I 解答+题目

15级微积分（一）期末思考题 I
一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，答案错选或未选者，该题不得分。

每小题3分，共15分）
1．已知2lim(
)2
kx
x x e x -→∞=+,则k =（ ） A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．3 2．已知函数()f x 在0x =处连续,且()
lim
x f x A x
→=（A 为常数）,则下列结论正确的是（ ）
A ．()00f =但()0f '不存在
B ．()0f A =
C ．()00f =且()0f A '=
D ．()00f '=
3．()y f x =在点0x 处连续、可导及可微三者的关系中不正确的是（ ）
A ．连续是可微的必要条件
B ．可导是可微的充分必要条件
C ．连续是可导的充分必要条件
D ．可微是连续的充分条件 4．曲线23
1126
y x x =
-在（ ） A ．()1,+∞内上凹,(),1-∞内下凹 B.()1,+∞内下凹,(),1-∞内上凹 C.()0,+∞ 内下凹,(),0-∞内上凹 D.()0,+∞内上凹,(),0-∞内下凹 5．方程013
=-+x x 的正根的个数是（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
二、填空题（每小题3分，共15分） 1．已知函数()f x 的定义域为()0,1,则函数()x
f e 的定义域为_______.
2．极限320
1
lim sin
x x x
→⋅=_________. 3．设α为正整数，若200
10lim 0(1)x x x x ααβ-→=≠-，则(,)αβ=
4．已知()04f x '=,则()()
00lim
2h h
f x f x h →=--______
5．若()1sin sin 33f x x x =α+在3
x π
=处有极值,则α=
三、计算题（请保留必要的计算步骤；每小题5分，共35分） 1．求
n →∞
；
2．求 ()
3sin 0
lim 12x
x x →+；
3.设函数x x y sin =，求
dx
dy . 4．设函数()2sin 52y x =+, 求 y '.
5．设函数()y y x =由方程22()()yf x x f y x +=确定,其中()f x 是可微函数,求y '. 6．设函数()13sin 2x y e x -=-,求dy .
7．求函数极限：2011lim(
)tan x x x x
→- 四、综合计算或应用题（请保留必要的计算步骤；每小题8分，共24分）
1．求函数()1
11f x x =+的连续区间,间断点,并指出间断点的类型.
2．设函数为21
23
y x x =--，求()n y .
3．某车间靠墙做一个面积为642m 的长方形的无顶的储藏间（储藏间的高度低于该墙壁的高度）,而现有存砖只够砌24米长的储藏间墙壁,问这些存砖是否足够围成所要求的储藏间？
五、证明题（请保留必要的证明步骤；第一小题6分，第二小题5分，共11分）
1．证明：当1x >时,1
2ln x x x
>+.
2．设函数)(x f 在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且10=)(f ，e f 1
1=)(，证明
至少存在一点ξ∈（0, 1），使得: 054=+')()(ξξξf f
15级微积分（一）期末思考题 I 解答
一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，答案错选或未选者，该题不得分。

每小题3分，共15分）
1．已知2lim(
)2
kx
x x e x -→∞=+,则k =（ C ） A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．3
22221
lim(
)lim
,12
2(1kx
k x
x x k x e e k x x
--→∞
→∞⋅===∴=++ 解： 2．已知函数()f x 在0x =处连续,且()
0lim
x f x A x
→=（A 为常数）,则下列结论正确的是（ C ）
A ．()00f =但()0f '不存在
B ．()0f A =
C ．()00f =且()0f A '=
D ．()00f '=
()lim
(),x f x A A x →= 解：为常数∴0
该极限只能是型，0
()0lim ()(0)0x f x x f x f →===而在处连续，即有
00()(0)()
lim
lim (),
0(0)x x f x f f x A A x x f A →→-==-'=于是为常数即 3．()y f x =在点0x 处连续、可导及可微三者的关系中不正确的是（C ）
A ．连续是可微的必要条件
B ．可导是可微的充分必要条件
C ．连续是可导的充分必要条件
D ．可微是连续的充分条件
由相关定理可得
4．曲线23
1126
y x x =
-在（B ） A ．()1,+∞内上凹,(),1-∞内下凹 B.()1,+∞内下凹,(),1-∞内上凹 C.()0,+∞ 内下凹,(),0-∞内上凹 D.()0,+∞内上凹,(),0-∞内下凹
2
1101
2
(,1)1(1,)
0(1,)(,1)y x x y x x x y y ••••
••'''=-=-==-∞+∞''+-
∴+∞-∞
令解：得曲线在内下凹， 在内上凹 5．方程013
=-+x x
的正根的个数是（ B ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
3()1(,)f x x x x =+-∈-∞+∞解：令,()(,)f x -∞+∞显然在内连续，
2()310(,)()(,)f x x x f x '=+>∈-∞+∞∴-∞+∞在内单调增加
lim ()x f x →-∞
=-∞而,lim ()x f x →+∞
=+∞,
()f x x ∴与轴只有一个交点，即方程只有一个实根
0(0)1()x f f x ==- 又时，且单增,∴该实根为正根
二、填空题（每小题3分，共15分） 1．已知函数()f x 的定义域为()0,1,则函数()x
f
e 的定义域为(,0)-∞.
()(0,1)01(.0)x f x e x ∴<<∈-∞ 解：的定义域为，于是 2．极限32
1
lim sin
x x x →⋅=0（无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量） 3．设α为正整数，若200
10lim 0(1)x x x x ααβ-→=≠-，则(,)αβ=(200,1)
2001()(1)x f x x x αα-=-解：令，200100lim ()lim 0(1)
x x x f x x α
αβ--→→==≠- 0x →时，2000,()0,2000,()f x f x αβαβ->→≠-<→∞≠
1
01
2000,200,lim ()lim
11(1)x x f x x αααβ-→→-====∴=-只有即于是，
4．已知()04f x '=,则()()0
00lim
2h h
f x f x h →=--18
000000
1
lim
lim
()(2)()(2)h h h f x f x h f x f x h h →→=----解： 0000111
(2)()2()82lim 2h f x h f x f x h →===--'-
5．若()1sin sin 33f x x x =α+在3x π
=处有极值,则α=2
1
()sin sin 3()cos cos33
f x x x f x x x αα'=+∴=+ 解：
()()cos cos 103332
f x x f πππα
απ'==+=-=由在处有极值知,2α=得
三、计算题（请保留必要的计算步骤；每小题5分，共35分） 1．求
n →∞
；
n =
解：原式n =
2．求 3
sin 0
lim(12)
x
x x →+；
解：①3
sin 0
lim(12)
x
x x →+(1)∞
03
3
ln(12)lim
ln(12)
sin sin 0
lim x x x x
x x e
e
→++→==
03
lim
26sin (0,ln(12)~2)x x
x
e
e x x x →==→+
②1
2131662ln(12)2sin 2sin sin 0
lim(12)
lim[(12)]
lim x x x
x x x x
x x
x
x x x x x e
⋅⋅+→→→=+=+=原式
1
206lim
ln(12)6ln 6sin x
x x
x e x e
e e →+⋅===
③00
33
3
ln(12)ln(12)lim
ln(12)
3lim
sin sin sin sin 0
lim(12)
lim x x x x x x
x
x
x
x x x e
e
e
→→+++→→+===
0ln(12)
2
3lim
3lim
612x x x x
x
e
e
e →→++===
④0
00033lim ()lim 20,lim ()lim ,lim ()()lim 26sin sin x x x x x x u x x •
v x u x v x x x x
→→→→→→====∞=⋅=
3
6sin 0
lim(12)
x
x x e →∴+= 3.设函数x x y sin =，求
dx
dy . ln sin ln y x x =⋅解：两边取对数，得：
sin cos ln y x
x x x y x
'=⋅+
两边同时对自变量求导数，得：
sin sin (cos ln )x x
y x x x x
'=⋅+
4．设函数()2sin 52y x =+,求y '.
2sin(52)[sin(52)]y x x ''=++解：2sin(52)cos(52)5x x =+⋅+⋅5sin[2(52)]x =+ 5．设函数()y y x =由方程22()()yf x x f y x +=确定,其中()f x 是可微函数,求y '.
x 解：两边对求导 2
()()2()()2y f x y f x x f y x f y y x
''''+++= 2
2()2()()()
x yf x xf y y f x x f y '--'=
'+ 6．设函数()13sin 2x y e x -=-,求dy .
1313sin(2)sin(2)x x dy e d x x de --=-+-⋅解：
1313
c o s (2)3s i n (2)x
x e x dx x e dx --=---
-⋅
13[cos(2)3sin(2)]x e x x dx -=--+-
7．求函数极限：2011lim(
)tan x x x x
→-( )∞-∞ 220011tan lim()lim tan tan x x x x x x x x x →→--=解：20tan 0
lim (0,tan ~)()0
x x x x x x x x →-=→⋅
220sec 10lim ()30
x x x →-=220tan lim
3x x x →=1
3=
四、综合计算或应用题（请保留必要的计算步骤；每小题8分，共24分）
1．求函数()1
11f x x =+的连续区间,间断点,并指出间断点的类型.
1
(),:(,1)(1,0)(0,)1f x D x
=-∞--+∞+ 解：
()(,1),(1,0),(0,)f x ∴-∞--+∞的连续区间为，0,1x x ==-为间断点
1()11x
D f x x x
=
=
++而在内，1
lim (),1x f x x →-=∞=-为无穷间断点
lim ()0,0x f x x →==为可去间断点
2．设函数为2
123
y x x =
--，求()
n y . 211111
()23(3)(1)431
y x x x x x x =
==----+-+解：
()()()
111[()()]431
n n n y x x =--+
11111(1)!(1)!111[](1)![]4(3)(1)4(3)(1)n n n n n n n n n n x x x x ++++--=-=---+-+
3．某车间靠墙做一个面积为642m 的长方形的无顶的储藏间（储藏间的高度低于该墙壁的高度）,而现有存砖只够砌24米长的储藏间墙壁,问这些存砖是否足够围成所要求的储藏间？
解：① 64
,x l x
设垂直于墙壁的矩形边长为，另一边长为
周长为
642l x x =+,222
64264
20x l x x
-'=-==
令x =唯一驻点
3128
,0l l x
''''=
>x x l =∴=
22.5624=<而,∴这些存砖足够做成储藏间
② 24,2
x
x S -设平行于墙壁的矩形边长为，另一边长为
面积为 242
x
S x -=
⋅ 120,12S x x '=-==唯一驻点 1,(12)10S S ''''=-=-< 12(12)7264x S ∴==>为最大值点，最大值，∴这些存砖足够做成储藏间
五、证明题（请保留必要的证明步骤；第一小题6分，第二小题5分，共11分）
1．证明：当1x >时,1
2ln x x x >+.
1
()2ln [1,)f x x x x x
=--∈+∞证明：令()[1,)f x +∞显然在上连续，
64
x
x
x
64
22121()1(1)0(1)f x ••x x x x
'=+
-=->>()[1,),()(1)0f x f x f ∴+∞>=在上单调增加故 1
2ln (1)x x •••x x
>
+>即
2．设函数)(x f 在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且10=)(f ，e
f 1
1=)(，证明
至少存在一点ξ∈（0, 1），使得: 054=+')()(ξξξf f
5
()()x g x f x e =证明：令函数,()[0,1]01g x 则函数在上连续，在（，
）内可导， 55
4(0)(1)1()()()5x x g g g x f x e f x e x ''===+⋅且满足罗尔定理条件， (0,1)ξ∈由罗尔定理，至少存在一点，使得
555
44()()()5[()5()]0g f e f e f f e ξξξξξξξξξξ'''=+⋅=+=
45()5()0(0)f f ••e ξξξξ'+=≠即：。