山西省运城市康杰中学2018届高考模拟(二)数学(理)试题(附答案) (1)

康杰中学2017—2018高考数学（理）模拟题（二）命题人：张清泉 张 兵 张成武2018.5【满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1. 设集合{}12A =，，则满足{}1234A B ⋃=，，，的集合B 的个数是 A. 2B. 3C. 4D. 52. 若复数2()1a ia R i-∈+为纯虚数，则|3|ai -＝A.B. 13C. 10D.3.已知(0,),cos()6a a ππ∈+=，则tan 2α＝A.B.C.D. 4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 的值是 A. -1 B. 2C.12D. 15. 设F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则||||||FA FB FC ++=A. 6B. 9C. 3D. 46. 函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象如图所示，为了得到函数cos()6y x πω=+的图象，只需将()y f x =的图象A. 向左平移3π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位D. 向右平移6π个单位7. 不等式组1022020x y x y ax y a -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，表示的平面区域的面积为152，则a ＝A.47B. 1C. 2D. 38. 如图1，边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，将△ADE, △CDF, △BEF 折起，使A ，C ，B 三点重合于G ，所得三棱锥G －DEF 的俯视图如图2，则该三棱锥正视图的面积为 A.12B.3C.D.9. 设0sin a xdx π=⎰，则二项式6(展开式的常数项是（ ） A. 160B. 20C. -20D. -16010. 0x 是函数()2sin ln ((0,))f x x x x ππ=-∈的零点，120x x π<<<，则①0(1,)x e ∈②0(,)x e π∈ ③12()()0f x f x -< ④12()()0f x f x ->，其中正确的命题为 A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④11．数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后 人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为 x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标为A ．(－4，0)B ．(－3，-1)C ．(－5，0)D ．(－4，-2)12.定义域为R 的偶函数)(x f 满足对R x ∈∀，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少三个零点，则a 的取值范围是 A．B． C． D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 若向量,a b 满足1,2,(),a b a a b a b ==⊥+｜｜｜｜且则与的夹角为 .14. 1000名学生成绩近似服从正态分布N(100,100)，则成绩在120分以上的考生人数约为 .[注：正态总体2(,)N μσ在区间(,),μσμσ-+(2,2),μσμσ-+(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别为0.683, 0.954, 0.997]15.三棱锥A —BCD 的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，则三棱锥的内切球半径 . 16. △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边a ,b ,c 成等差数列，且最大角是最小角的2倍，则cosA+cosC= .三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）已知等比数列{}n a 的公比0q >，2318a a a =，且46,36,2a a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2n nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. （本小题满分12分）如图，在几何体ABCDEF 中，平面⊥ADE 平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，且︒=∠60DAB ,AB EF EF AB ED EA //,2===，M 为BC 中点．（1）求证：//FM 平面BDE ；（2）求二面角C BF D --的平面角的正弦值． 19. （本小题满分12分）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：（1）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元； ②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元； ③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算．（单位：亿元，结果保留两位小数）如图，一张坐标纸上已作出圆E ：8)1(22=++y x 及点)0,1(P ，折叠此纸片，使P 与圆周上某点'P 重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线'EP 的交点为M ，令点M 的轨迹为C .（1）求轨迹C 的方程；（2）若直线m kx y l +=:与轨迹C 交于两个不同的点B A ,,且直线l 与以EP 为直径的圆相切，若]43,32[∈⋅OB OA ，求ABO ∆的面积的取值范围． 21.（本小题满分12分）已知函数12()ln .x xe f x e x x-=+ （1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程; （2）证明：()1f x >.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22. [选修4─4：坐标系与参数方程选讲]（10分）在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为()3cos 33sin x y φφφ=⎧⎨=+⎩为参数以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的普通方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭射线OM ：56πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ,求线段PQ 的长.23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()1122f x x x m =--的最大值为4 （1）求实数m 的值； （2）若0,02mm x ><<求222x x +-的最小值.数学（理）模拟二答案一、选择题1. C 【解析】集合B 可以为{3，4}，{3，4，1}，{3，4，2}，{3，4，1，2}.2. A 【解析】(2)(1)22(1)(1)22a i i a ai i i +-+-=++-,则20a +=，即2,|3|a ai =--=3. A 【解析】7(0,),(,)666a a ππππ∈∴+∈，则,,tan 2tan 64126a a ππππα+====.4. B 【解析】由题意得，S ＝111,,2,1,,2, (22)--，故输出的S 的值为2，选B. 5. A 【解析】方法一：特值法：++0,FA FB FC F ABC ∴∆＝为的重心，335||1,||222B FA FB ∴==（,C （，||+||+|FA FB FC ∴|＝6. 方法二：设222312123(,),(,),(,)444y y y A y B y B y ，++0,FA FB FC ＝2223121233,0444y y y y y y ∴++=++=， ||+||+|FA FB FC ∴|＝222123364y y y +++= 6. C 【解析】522(),263t Tππππω=⨯-===，()sin(2)0,,3333f ππππϕϕπϕ=⨯+=+=∴=，6()sin(2)3f x x ππ∴=+−−−−→向左平移2sin[2()]sin(2)633y x x πππ=++=+sin(2)cos(2)626x x πππ=++=+7. C 【解析】20ax y a --=即(2)0a x y --=，过定点B （2，0），且1a >，1020x y ax y a -+=⎧⎨--=⎩则21131a x a a y a +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩216|2|11522a a ++-=，则2a =. 8. B 【解析】设正视图的高为h ，111111232232G DEF EF V V h =⨯=⨯⨯⨯⨯－D －G ＝ 23h =∴正视图21323S =⨯=10. B 【解析】设()2sin ,()ln h x x g x x π== ()2g e π=>，则交点在0(1,),(1,)e x e ∈()2cos f x x xπ'=-，当(0,),2,()02x f x xππ'∈><时，当,()20,22x f x x πππ'==-<∈时当（,）时，02,cos 0,2x π<<<()0f x '<.综上，()0,()f x f x '<为减函数，12()()f x f x >.11. A 【解析】设C(m ，n)，由重心公式，可得△ABC 的重心为(2＋m 3，4＋n3)，代入欧拉直线得，2＋m 3－4＋n 3＋2＝0，整理得m －n ＋4＝0 ①.AB 的中点为(1，2)，k AB ＝4－00－2＝－2，AB 的中垂线方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，所以△ABC 的外心为(－1，1)，则(m ＋1)2＋(n －1)2＝10，整理得m 2＋n 2＋2m －2n ＝8 ②，联立①②，可得m ＝－4，n ＝0或m ＝0，n ＝4.当m ＝0，n ＝4时，B ，C 两点重合，舍去，所以点C 的坐标为(－4，0)．二、填空题： 13.34π【解析】由()a a b ⊥+得，()0a a b ⋅+=，即220,||||cos ,a ab a b a b a +=∴⋅⋅<>=- 【解析】【解析】2cos ,2a b ∴<>=-a 与b 的夹角的取值范围为[0,]π，故a 与b 的夹角为34π.14. 23 【解析】 (100,100),100,10N μρ== 在(2,2)(80,120)μρμρ-+=之间的为954.∴在120分以上的为1(1000954)232⨯-=.15.873【解析】如图所示：设球心O 到各面的距离为R.BD 21×6×4=12， 7. ∴R=873.16.78【解析】 设A 为最大角，则2,2A C a c b =+= ① sin sin a cA C =，则222,cos 2cos 22a a a b c c C C c ab+-=∴== ② 由①②得2337,cos ,cos cos 2cos 1cos 248a c C A C C C ==+=-+=则.三、解答题 17.解：()12418a a a =，1418a a a ∴=，48a ∴=2分又46,36,2a a 成等差数列，46272a a ∴+=，632a ∴=2644a q a ==，0q >，2q ∴= 4分 41822n n n a --∴=⋅=6分()2 2122122n n n n n n b n a --⎛⎫===⋅ ⎪⎝⎭7分()113211111123122222n n n T n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①()012211111111231222222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②① -②：1121111111222222n n n T n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭112121112212n n n T n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦⋅=-⋅ ⎪⎝⎭-9分()21822n n T n -⎛⎫∴=-+⋅ ⎪⎝⎭12分18. 解（1）证明：取CD 中点N ，连结MN 、FN ．因为N ，M 分别为CD ，BC 中点，所以MN ∥BD ．又BD ⊂平面BDE ，且MN ⊄平面BDE ，所以MN ∥平面BDE ，因为EF ∥AB ，AB=2EF ，所以EF ∥CD ，EF=DN ．所以四边形EFND 为平行四边形． ………………2分所以FN ∥ED ．又ED ⊂平面BDE 且FN ⊄平面BDE ，所以FN ∥平面BDE ， 又FN ∩MN=N ，所以平面MFN ∥平面BDE ．又FM ⊂平面MFN ，所以FM ∥平面BDE ． ………………4分 （2）解：取AD 中点O ，连结EO ，BO ．因为EA=ED ，所以EO ⊥AD ． 因为平面ADE ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥平面ABCD ，EO ⊥BO ． 因为AD=AB ，∠DAB=60°，所以△ADB 为等边三角形．因为O 为AD 中点，所以AD ⊥BO ．因为EO ，BO ，AO 两两垂直，设AB=4，以O 为原点，OA ，OB ，OE 为x ，y ，z 轴，如图建立空间直角坐标系O ﹣xyz.……6分 由题意得，A （2，0，0），(0,23,0)B ，(C -，D （﹣2，0，0），(0,23)E ，(1F - )0,0,4(),32,3,3(),32,3,1(),0,32,2(=-===设平面BDF 的法向量为),,(z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00，即，⎪⎩⎪⎨⎧=++=+032303z y x y x 令1=x ．则0,33=-=z y 所以)0,33,1(-=． …………8分 设平面BCF 的法向量为),,(z y x =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CF m ，即，⎩⎨⎧==+-003233x z y x 令1=z ． 则2,0y x ==所以(0,2,1)m =55),cos(==∴∴二面角C BF D --平面角的正弦值为552. ……12分19.解：（1）数据整理如下表：从图表中知采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：8×151525+=3人，80岁以下应抽取：8×251525+=5人．……2分（2）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：1520452016006+++= 用样本估计总体，80岁及以上长者为：66×16=11万，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为11100% 2.75%400⨯=． ……………4分 （3）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X 元，4(0)5P X ==，14759518517(120),(200)56006005600600P X P X ==⨯===⨯=，12551153(220),(300)56006005600600P X P X ==⨯===⨯=， ……………8分则随机变量X 的分布列为：012095200172205300328600EX +⨯+⨯+⨯+⨯==……………10分全市老人的总预算为28×12×66×104=2.2176×108元．政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元． ……………12分 20. 解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E 的半径为 ∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=|EP|，……………2分 ∴E 的轨迹是以E 、P 为焦点的椭圆，且1a c ==，∴2221b a c =-=，∴M 的轨迹C 的方程为2212x y +=． ……………4分 （2）l 与以EP 为直径的圆x 2+y 2=1相切，则O 到l 即直线AB 的距离：1=，即221m k =+， ……………5分由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2﹣2=0， ……………6分 ∵直线l 与椭圆交于两个不同点，∴△=16k 2m 2﹣8（1+2k 2）（m 2﹣1）=8k 2＞0，k 2＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则2121222422,1212km m x x x x k k -+=-=++，y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m2=22112k k -+，……………7分又212122112k OA OB x x y y k +⋅=+=+，∴222133124k k +≤≤+，∴2112k ≤≤， 1||12AOBS AB ∆=⨯⨯=221224212m k -⨯=+设μ=k 4+k 2，则324μ≤≤，∴3[,2]4AOB S μ∆==∈，…10分∵S △AOB 关于μ在3[,2]4单调递增，∴243AOB S ∆≤≤，∴△AOB 的面积的取值范围是2,]3………12分 21.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，11'222()ln x x x xe xe ef x e x x x ---=++ ………2分 由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e ，故曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(1)2y e x =-+; ………4分(2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2xe x －1， 从而f(x)>1等价于xln x>xe －x －2e.………6分 设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，g ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0.故g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e.………8分 设函数h (x )＝x e －x －2e，则h ′(x )＝e －x (1－x )． 所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e. ………10分 因为g min (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1e ＝h (1)＝h max (x )，所以当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1. ………12分22.解:()1圆C 的参数方程为()3cos 33sin x y φφφ=⎧⎨=+⎩为参数 ∴圆C 的普通方程为()2239x y +-= 4分()2化圆C 的普通方程为极坐标方程得6sin ρθ= 5分 设()11,P ρθ,则由6sin 56ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩解得13ρ=，156πθ= 7分设()22,Q ρθ,则由2sin 656πρθπθ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩解得24ρ=，256πθ= 8分112=-=∴ρρPQ 分1023.解：(1)由1111()2222x x m x x m m --≤--= 当且仅当11()022x x m -≥且当1122x x m ≥-时取等号，此时()f x 取最大值4m =，即 分4(2)∴由（1）及m>0可知m=4,0<x<2 ---5分 则()221111112222222x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 7分2224821=22+4--------------102x x x x x x x x x -=++≥+=----==∴-分（当且仅当2-即时取）的最小值为分。