新人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》检测题(答案解析)

一、选择题
1．已知正数x ，y 满足2021x y xy +=，则2120
x y
+的最小值为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．小明从甲地到乙地前后半程的速度分别为a 和()b a b <，其全程的平均速度为v ，则下
列不正确的是（ ） A ．a v ab <<
B ．222
a b v +< C ．2
a b
ab v +<<
D ．2ab
v a b
=
+ 3．对于任意实数x ，不等式210ax ax -+>恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(]0,4
B ．[)0,4
C ．(]
[),04,-∞+∞ D ．()(),04,-∞+∞
4．已知正实数,a b 满足1a b +=，则11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的最小值是（ ） A ．
11
2
B ．5
C ．222+
D ．32+
5．若不等式()(
)2
||20x a b x x ---≤对任意实数x 恒成立，则a b +=（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
6．已知正实数,x y 满足3x y +=，则41
x y
+的最小值（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．
103
7．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与AB ，AD 所在直线分别交于点M ，N ，若AB ＝m AM ，AN ＝n AD （m ＞0，n ＞0），则
m
n
的最大值为（ ）
A ．
22
B ．1
C ．2
D ．2
8．若关于x 的不等式20x px q ++<的解集为{|23}x x <<，则关于x 的不等式
2
2028
x px q
x x ++>--的解集是（ ） A ．()2,3
B ．()
(),24,-∞-+∞
C ．()()2,23,4-
D ．()()(),22,34,-∞-+∞
9．已知01a <<，1b >，则下列不等式中成立的是（ ）
A ．4ab
a b a b
+<
+ B 2ab
a b
<
+
C <
D ．a b +10．已知关于x 的不等式()
()2
2
4210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范
围是（ ） A ．62,5
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
C ．6,25⎛⎤
-
⎥⎝⎦
D ．(][),22,-∞+∞
11．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知6
B π
=
且1ABC S =△，则
2
a c ac a c
+-+的最小值（ ） A ．
1
2
B ．2
C ．
14
D ．4
12．集合{
}
2
230A x x x =--≤，{}
1B x x =>，则A B =（ ）.
A ．()1,3
B ．(]1,3
C ．[)1,-+∞
D ．()1,+∞
二、填空题
13．有一块直角三角形空地ABC ，2
A π
∠=
，250AB =米，160AC =米，现欲建一矩
形停车场ADEF ，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，则停车场面积的最大值为________平方米.
14．当0x >时，不等式2210x ax ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是______. 15．已知a 、b 都是正数，且0a b ab +-=，则
1911
b a b +--的最小值是__________． 16．已知0x >，0y >，22x y +=，则223524x y x y
xy
+++的最小值为______.
17．已知实数0a >，0b >是2a 与2b 的等比中项，则
13
a b
+的最小值是______. 18．若不等式2
56x xt <--对于1,22
x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
恒成立，则实数t 的取值范围是______.
19．已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则23
a b
+的最小值为__________.
20．已知不等式250ax x c ++>的解集为(2,3)，则a c +=________.
三、解答题
21．已知关于x 的不等式(
)
2
4(4)0()kx k x k --->∈R 的解集为A . （1）写出集合A ；
（2）若集合A 中恰有9个整数，求实数k 的取值范围.
22．设函数2()(,)f x x ax b a b R =-+∈.
（1）若2a =，求函数|()|y f x =在区间[0,3]上的最大值；
（2）试判断：是否存在实数a ，b ，使得当,][0x b ∈时，2()6f x ≤≤恒成立，若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由.
23．已知0,0x y >>，且440x y +=. （1）求xy 的最大值； （2）求
11
x y
+的最小值.
24．设0,0,0a b c >>>，证明： （1）114a b a b
+≥+； （2）
111111222a b c a b b c a c
++≥+++++.
25．已知二次函数2()f x ax bx c =++，满足(1)(1)f x f x +=-且不等式()2f x x ≤的解集为[1,3].
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）方程()2f x x k =+在(0,3]上有解，求实数k 的取值范围.
26．已知0a b c d >>>>，ad bc =． （Ⅰ）证明：a d b c +>+； （Ⅱ）证明：a b c b c a a b c a b c >．
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一、选择题 1．C 解析：C
由已知得20211y x +=，再202121202120x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，运用基本不等式可得选项． 【详解】
由2021x y xy +=得
2021
1y x
+=，
2021202122224212021202120x y x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当20212120x y y x
=且2021
1y x +=，即42,40x y ==.时，等号成立. 故选：C. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2．C
解析：C 【分析】
根据题意，求得v ，结合基本不等式即可比较大小. 【详解】
设甲、乙两地之间的距离为2s ，则全程所需的时间为
s s
a b
+， 22s ab
v s s a b a b
∴=
=
++，故D 正确；
0b a >>
2
a b
+<
，
2ab v a b ∴=
<=+C 错误；
又2
2222a b ab a b v a b a b +⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭=<=<
++B 正确； 222
20ab ab a a a v a a a b a b a b
---=-=>=+++，
v a ∴>
，则a v <<A 正确.
【点睛】
关键点点睛：由基本不等式可得
2
2
ab a b
a b
+
≤≤≤
+
等式比较大小，属中档题.
3．B
解析：B
【分析】
讨论0
a=和0
a≠情况，再根据一元二次不等式与二次函数的关系，解不等式得解.
【详解】
关于x的不等式210
ax ax
-+>恒成立，
当0
a=时，10
>恒成立，满足题意
当0
a≠时，即函数()21
f x ax ax
=-+恒在x轴上方即可，
所以
a>
⎧
⎨
∆<
⎩
，即
2
40
a
a a
>
⎧
⎨
-<
⎩
，解得04
a
<<，
所以实数a的取值范围是[0,4).
故选：B
【点睛】
本题考查了一元二次不等式恒成立求参数的取值范围，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.
4．C
解析：C
【分析】
将原式变形为
()2
2
11b a b
b
a b ab
++
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
，再利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：
()2
2
2
111b a b
b
b
a b ab ab
++
+
⎛⎫
+==
⎪
⎝⎭
)(
)
2
2
2222
22
2
a a
b ab
b a ab
ab ab ab
++
++
==≥=，
当且仅当a=
时取等号，即2
a=
1
b=时等号成立，
故选：C．
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，属于中档题.
5．D
解析：D
可采用分类讨论法，分别讨论22x x -与x a b --的正负，确定,a b 之间的关系即可求解. 【详解】
当220x x -≥时，即[]02x ,∈
时，||0x a b --≤恒成立，
所以b a x b a -+≤≤+恒成立，所以2a b +≥且a b ≤； 当220x x -≤时，即(][),02,x ∈-∞+∞时，||0x a b --≥恒成立
所以x a b ≥+或x a b ≤-恒成立，所以2a b +≤且a b ≥，
综上，2a b += 故选：D 【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，由含参数绝对值不等式求参数关系，分类讨论的数学思想，属于中档题
6．B
解析：B 【详解】
()41141144133y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1533⎛≥+= ⎝， 当且仅当4y x x y =，即21x y ==，，时41
x y
+的最小值为3. 故选B.
点睛：本题主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
7．B
解析：B 【分析】
根据向量共线的推论，结合向量的线性运算求得1
2m n
+=，再用基本不等式即可求得结果. 【详解】 因为11
22
AO AB AD =
+，又AB ＝m AM ，AN ＝n AD ，
故可得 122m AO AM AN n
=+，又,,O M N 三点共线， 故可得
1122m n +=，即12m n
+=. 故2
11114m m m n n n ⎛⎫
=⨯≤+= ⎪⎝⎭
，当且仅当1m n ==时取得最大值. 故选：B . 【点睛】
本题考查平面向量共线定理的推论以及基本不等式的应用，属综合中档题.
8．D
解析：D 【分析】
根据关于x 的不等式2
0x px q ++<的解集为{|23}x x <<，利用韦达定理得到
5,6p q =-=，则不等式22028x px q x x ++>--转化为 2256028
x x x x -+>--，再利用穿根法求解.
【详解】
因为关于x 的不等式2
0x px q ++<的解集为{|23}x x <<， 所以由韦达定理得：5,6p q =-=，
所以22028x px q x x ++>--，即为2256028
x x x x -+>--，
即为()()()()
23042x x x x -->-+，即为()()()()23420x x x x ---+>
用穿根法得不等式的解集为：()()(),22,34,-∞-+∞，
故选：D 【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解集的应用以及穿根法求高次不等式，属于中档题.
9．D
解析：D 【分析】
本题先根据完全平方公式与基本不等式得到()2
2224a b a ab b ab +=++>，所以排除选项A
2211ab
a b a b
>
=
++，所以排除选项B ；接着根据基本
>
=，所以排除选项C ；最后根据基本不等式得
到选项D 正确. 【详解】
解：对于选项A ：因为01a <<，1b >，
所以()2
2224a b a ab b ab +=++>，故选项A 错误； 对于选项B
2211ab
a b a b
>
=
++，故选项B 错误；
对于选项C
>
=C 错误；
对于选项D ：()2
2222222a b a ab b a b +>++=
+， 所以a b +<，故选项D 正确. 故选：D . 【点评】
本题考查基本不等式的应用、学生的运算能力和转换能力，是基础题.
10．C
解析：C 【分析】
由题意得出关于x 的不等式()
()2
2
4210a x a x -+--<的解集为R ，由此得出
2
40a -=或2400
a ⎧-<⎨
∆<⎩，在240a -=成立时求出实数a 的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数a 的取值范围. 【详解】
由题意知，关于x 的不等式()
()2
2
4210a x a x -+--<的解集为R .
（1）当240a -=，即2a =±．
当2a =时，不等式()
()2
2
4210a x a x -+--<化为10-<，合乎题意；
当2a =-时，不等式()
()2
2
4210a x a x -+--<化为410x --<，即1
4
x >-
，其解集不为R ，不合乎题意；
（2）当240a -≠，即2a ≠±时．
关于x 的不等式()
()2
2
4210a x a x -+--<的解集为R .
2400
a ⎧-<∴⎨∆<⎩，解得265a -<<．
综上可得，实数a 的取值范围是6,25⎛⎤
- ⎥⎝⎦
．故选C ． 【点睛】
本题考查二次不等式在R 上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.
11．A
解析：A 【分析】
由已知条件和三角形的面积公式得4ac =，再根据基本不等式可得+4a c ≥，令
24a c y a c +=
-+，+a c t =，2
4t y t =-（4t ≥），由此函数的单调性可得选项. 【详解】 由已知6
B π
=
且1ABC S =△，得
1sin 126
ac π
=，解得4ac =， 所以2
+42a c ac ⎛⎫=≤ ⎪
⎝⎭
，即
+4a c ≥，当且仅当a c =时取等号， 所以224a c a c ac a c a c ++-=-++，令24a c y a c +=-+，+a c t =，则2
4t y t =-（4t ≥），
而24t y t =-在[)4+∞，单调递增，所以2421
4442t y t =-≥-=，所以2a c ac a c
+-+的最
小值为
12
. 故选：A. 【点睛】
本题考查三角形的面积公式，基本不等式的应用，以及运用函数的单调性求最值的问题，属于中档题.
12．B
解析：B 【分析】
求得集合{}|13A x x =-≤≤，结合集合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】
由题意，集合{}
{}2
230|13A x x x x x =--≤=-≤≤，{}
1B x x =>，
根据集合交集的概念及运算，可得{}(]|131,3A B x x =<≤=.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查了集合交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合A ，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
二、填空题
13．【分析】设米米根据可得出利用基本不等式可求得的最大值即为所求【详解】设米米则即整理可得由基本不等式可得当且仅当时即当时等号成立因此停
车场面积的最大值为平方米故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式 解析：10000
【分析】
设AD x =米，AF y =米，根据tan DE CF AC
ABC BD EF AB
∠=
==可得出16254000x y +=，利用基本不等式可求得xy 的最大值，即为所求.
【详解】
设AD x =米，AF y =米，则250BD AB AD x =-=-，
160CF AC AF y =-=-，
tan DE CF AC ABC BD EF AB ∠=
==，即160160
250250
y y x x -==-，整理可得16254000x y +=， 由基本不等式可得400016252162540x y x y xy =+≥⨯=，10000xy ∴≤， 当且仅当162516254000x y x y =⎧⎨
+=⎩时，即当125
80x y =⎧⎨=⎩
时，等号成立.
因此，停车场面积的最大值为10000平方米. 故答案为：10000. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
14．【分析】本题首先可根据将不等式转化为然后利用基本不等式得出即可得出结果【详解】因为所以即因为不等式恒成立所以恒成立因为当且仅当时取等号所以实数的取值范围是故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求 解析：)
22,⎡-+∞⎣
【分析】
本题首先可根据0x >将不等式转化为12a x x ⎛
⎫≥-+ ⎪⎝⎭
，然后利用基本不等式得出12x x
+
≥. 【详解】 因为0x >，所以2210x ax ++≥，即12a x x ⎛⎫≥-+
⎪⎝⎭， 因为不等式2210x ax ++≥恒成立，所以12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝
⎭恒成立，
因为1122x x x x ⎛⎫+≥=⇒-+≤- ⎪⎝
⎭
，当且仅当x =时取等号，
所以a ≥-，实数a
的取值范围是)⎡-+∞⎣，
故答案为：)
⎡-+∞⎣.
【点睛】
易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 15．【分析】由可得出根据已知条件得出将代入所求代数式可得出利用基本不等式可求得的最小值【详解】所以由解得则所以当且仅当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必 解析：15
【分析】
由0a b ab +-=可得出1b a b =
-，根据已知条件得出1b >，将1b a b =-代入所求代数式可得出()19919111
b b a b b +=-++---，利用基本不等式可求得1911b a b +--的最小值. 【详解】
0a b ab +-=，所以，()1a b b -=-，1
b a b ∴=
-， 由010
b a b b ⎧=>⎪-⎨⎪>⎩，解得1b >，则10b ->， 所以，
()()
919191919915111111
b b b b a b b b b -++=+=-++≥=------， 当且仅当4b =时，等号成立，
因此，1911
b a b +--的最小值为15. 故答案为：15.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
16．16【分析】由条件可知则原式变形为展开后利用基本不等式求最小值【详解】原式；当且仅当即时取等所以的最小值为16故答案为：16【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合1的妙用利用基本不等式求最值
解析：16
【分析】
由条件可知()1212x y +=，则原式变形为()1243522x y x y y x y x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，展开后，利用基本不等式求最小值. 【详解】 原式()124493524162x y x y x y y x y x y x
⎛⎫=++++=++≥ ⎪⎝⎭； 当且仅当23x y =即67x =
，47y =时取等. 所以223524x y x y xy
+++的最小值为16. 故答案为：16
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是结合 “1”的妙用，利用基本不等式求最值.
17．【分析】由是与的等比中项求得化简结合基本不等式即可求解【详解】由
题意实数是与的等比中项可得得所以当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值以及等比中项公 解析：4+【分析】
2a 与2b 的等比中项，求得1a b +=，化简
13133()()4b a a b a b a b a b
+=++=++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】
由题意，实数0a >，0b >
2a 与2b
的等比中项，可得2222a b a b +=⨯=，得1a b +=，
所以13133()()44b a a b a b a b a b +=++=++≥+= 当且仅当
3b a a b =
时，即a b == 所以13a b
+
的最小值是4+.
故答案为：4+
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及等比中项公式的应用，其中解答中熟记等比中项公式，合理利用“1”的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档题.
18．【分析】整理已知条件得到对于恒成立利用二次函数的特点求解范围即可
【详解】由得则对于恒成立令则；令则；综上：故答案为：【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和一元二次不等式属于中档题 解析：57,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】
整理已知条件得到2211010
x xt x xt ⎧+-<⎨-+<⎩对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，利用二次函数的特点求解范围即可.
【详解】 由2
56x xt <--， 得22265565xt x x xt x -<-⇒-<-<-， 则2211010
x xt x xt ⎧+-<⎨-+<⎩对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立， 令()2
11f x x xt =+-， 则()431072272202
t f t t f ⎧⎧⎛⎫<⎪<⎪⎪ ⎪⇒⇒<⎝⎭⎨⎨⎪⎪<<⎩⎪⎩；
令()2
1g x x xt =-+， 则()51052252202t g t t g ⎧⎧⎛⎫>⎪<⎪⎪ ⎪⇒⇒>⎝⎭⎨⎨⎪⎪><⎩⎪⎩
； 综上：5722
t <<. 故答案为：57,22⎛⎫
⎪⎝⎭. 【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式和一元二次不等式.属于中档题.
19．【分析】函数求导由切线方程可得再利用基本不等式求得最值【详解】的导数为由切线的方程可得切线的斜率为1可得切点的横坐标为切点为代入得为正实数则当且仅当即时取得最小值故答案为：【点睛】本题考查导数的运算
解析：5+【分析】
函数求导，由切线方程y x a =-可得1a b +=，再利用基本不等式求得最值.
【详解】
ln()y x b =+的导数为1y x b
'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1b -，切点为(1,0)b -，
代入y x a =-，得1a b +=，
,a b 为正实数，
则2323233()()2355b a a a b a b a b a b b
+=++=+++≥+=+
当且仅当a =
，即2,3a b ==
5+.
故答案为：5+
【点睛】 本题考查导数的运算、导数的几何意义及基本不等式求最值，属于基础题.
20．-7【分析】结合一元二次不等式和一元二次方程的性质列出方程组求得的值即可得到答案【详解】由不等式的解集为可得解得所以故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法以及一元二次方程的性质其中解答 解析：-7
【分析】
结合一元二次不等式和一元二次方程的性质，列出方程组，求得,a c 的值，即可得到答案.
【详解】
由不等式250ax x c ++>的解集为(2,3)，可得052323a a c a ⎧⎪<⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩
，解得1,6a c =-=-， 所以167a c +=--=-.
故答案为：7-.
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的性质，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无。