2023-2024学年上海市浦东新区九年级上学期期中模拟数学试题及解析

2023学年第一学期九年级数学期中质量检测
考生注意：
1.本试卷共25题，试卷满分150分，考试时间100分钟．
2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
1. “相似的图形”是( ) A. 形状相同的图形 B. 大小不相同的图形 C. 能够重合的图形 D. 大小相同的图形
【答案】A 【解析】
【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．
【详解】相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同， 故选A ．
【点睛】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解相似图形是形状相同的图形． 2. 已知在 Rt ABC 中， ∠C = 90°，AC = 8, BC = 15 ，那么下列等式正确的是（ ） A. 8
sin 17
A =
B. cosA=
815
C. tan A =
817
D. cot A=
815
【答案】D 【解析】
【分析】根据锐角三角函数的定义进行作答. 【
详
解
】
由勾股定理知，AB=17；A.
15
sin 17
BC A AB =
= ,所以A 错误；B.
8cos 17AC A AB =
=，所以，B 错误；C.15
tan 8
BC A AC ==，所以，C 错误；D.cot AC A BC ==815，所以选D. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是本题解题关键. 3. 对于非零向量a 、b 、c ，下列条件中，不能判定a 与b 是平行向量的是（ ） A. a c ∥，c b ∥
B. 30a c +=，3b c =
C. 3a b =−
D. 3a b =
【答案】D 【解析】
【分析】根据向量平行向量
定义“方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量”进行逐一判定即可．
【详解】A 选项，对于非零向量a 、b 、c ，根据a c ∥，b c =，可以得出a b ∥，故本项不符题意； B 选项，因为30a c +=，所以a 和3c 的方向相反，由于3b c =，所以b 和3c 的方向相同，所以a 、b 的方向相反，所以a b ∥，故本项不符题意；
C 选项，因为3a b =−，所以a 、b 的方向相反，故a b ∥的，故本项不符题意；
D 选项，因为3a b =，所以a 、b 的方向不能确定，故不能判定其位置关系，符合题意． 故选：D ．
【点睛】本题考查的是平行向量的定义，理解向量的定义是解决问题的关键． 4. 如图，BD 、CE 相交于点A ，下列条件中，能推得DE BC ∥的条件是（ ）
A. ::AE EC AD DB =
B. ::AD AB DE BC =
C. ::AD DE AB BC =
D. ::BD AB AC EC =
【答案】A 【解析】
【分析】先证明ABC ADE △△∽，可得D B ∠=∠，可得DE BC ∥，再逐一分析即可． 【详解】解：A ．∵::AE EC AD DB =， ∴
EC DB
AE AD
=， ∴都减去1得：
AC AB
AE AD
=， ∵BAC EAD ∠=∠， ∴ABC ADE △△∽， ∴D B ∠=∠，
∴DE BC ∥，故本选项正确；
的
B ．根据::AD AB DE B
C =不能推出ABC ADE △△∽，即不能得出内错角相等，不能推出DE BC ∥，故本选项错误；
C ．根据::A
D D
E AB BC =不能推出ABC ADE △△∽，即不能得出内错角相等，不能推出DE BC ∥，故本选项错误；
D ．根据::BD AB AC EC =不能推出ABC AD
E △△∽，即不能得出内错角相等，不能推出DE BC ∥，故本选项错误； 故选A ．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键．
5. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB =（ ）
A. 1cm
B. 2cm
C. 3cm
D. 4cm
【答案】C 【解析】
【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB ．
【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm ）， 第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm ），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似， ∴
4
68
AB =， ∴=3AB （cm ）， 故选：C ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求．
6. 《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”大意是： 如图，四边形EFGH 是一座正方形小城，北门A 位于FG 的中点，南门B 位于EH 的中点．从北门出去正北方向20步远的C 处有一树木，从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看见C 处的树木，则正方形小城的边长为（ ）
A. 105步
B. 200步
C. 250步
D. 305步
【答案】C 【解析】
【分析】此题文字叙述比较多，解题时首先要理解题意，找到相似三角形，利用相似三角形的性质解题，相似三角形的对应边成比例．
【详解】设小城的边长为x 步，根据题意， Rt △CAF ∽Rt △CDM ，
∴
CA FA
CD MD
=， 即200.520141775
x
x =++，
去分母并整理， 得x 2+34x -71000=0，
解得x 1=250，x 2=-284（不合题意，舍去）， ∴小城的边长为250步． 故选：C ．
【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出小城的边长．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7. 如果x :y 4:3=，那么():x y y −=________．
【答案】
13
【解析】
【分析】根据x :y 4:3=得到4
3
x y =，把它代入后面的式子求出比值． 【详解】解：∵x :y 4:3=， ∴34x y =，即4
3
x y =， ∴()411:::1:3333x y y y y y y y ⎛⎫
−=−=== ⎪⎝⎭
．
故答案是：
1
3
． 【点睛】本题考查比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质． 8. 计算：()
34a a b −+=___________． 【答案】4a b −− 【解析】
【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．
【详解】解：()
343444a a b a a b a b −+=−−=−−， 故答案为：4a b −−．
【点睛】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．
9. 如果地图上A ，B 两处的图距是4cm ，表示这两地实际的距离是20km ，那么实际距离500km 的两地在地图上的图距是______cm ． 【答案】100． 【解析】
【详解】试题分析：设实际距离500km 的两地在地图上的图距是xcm ，则 4：2000000=x ：50000000，解得x=100． 故答案为100． 考点：比例线段．
10. 已知线段4cm MN =，P 是线段MN 的黄金分割点，且MP NP >，那么线段MP 的长度等于________
cm ．
【答案】2
##2−+ 【解析】
【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段PM 和()PN PM PN >，且使PM 是AB 和PN 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点． 【详解】解：根据黄金分割的定义，得
2·PM AB PN =，
()244PM PM =−，
解得2PM =（负值舍去），
故答案
2．
【点睛】本题主要考查黄金分割点，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键．
11. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横线上．若线段3AB =，则线段BC =______．
【答案】3
2
##1.5 【解析】
【分析】如图，过点A 作AF CF ⊥于点F ，交过点B
平行线于点E ，交A 的邻近平行线于点D ，根据题
意，AD DE EF h ===，利用平行线分线段成比例定理计算即可．
【详解】解：如图，过点A 作AF CF ⊥于点F ，交过点B 的平行线于点E ，交A 的邻近平行线于点D ，根据题意，AD DE EF h ===，
的
所以
23
2AB AE h BC EF h BC
====． 解得3
2
BC =
． 故答案为：
32
． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．
12. 如图，在ABC 中，点D 是AB 边上一点，连接CD ．已知4=AD ，5BD =，6AC =，3CD =，那么线段BC 的长度是________．
【答案】
92
【解析】
【分析】证明ABC ACD ∽，根据相似比即可求解； 【详解】
4AD =，5BD =，6AC =，
63453
,4262AC AB AD AC +∴
====， AC AB AD AC ∴=， CAD BAC ∠=∠，
ABC ACD ∴∽，
2
3CD BC ∴
=， 3CD =，
92
BC ∴=
， 故答案为：
92
． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形相似．
13. 利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是________．
【答案】1：4 【解析】
【分析】根据是相似三角形周长的比等于三角形边长的比解答即可．
【详解】因为原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，所以放大前后的两个三角形的周长比为5：20=1：4． 故答案为1：4．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，关键是根据相似三角形周长的比等于三角形边长的比解答．
14. 如果锐角α的正切值为3
，那么锐角α为________度 【答案】30 【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．
【详解】解：因为锐角α的正切值为3
，即tan 3α=，
所以锐角α为30度， 故答案为：30．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 15. 如果等腰三角形的腰与底边的比是5:6，那么底角的余弦值等于________． 【答案】
3
5
【解析】
【分析】如图，ABC 中，根据等腰三角形的腰与底边的比是5:6，设腰长为5AB AC k ==，底边长
6BC k =，作AE BC ⊥于E ，则1
2BE EC BC ==
，在Rt AEC △中，根据1cos 2EC BC C AC AC
==，即可解决问题．
【详解】解：如图，ABC 中， ∵等腰三角形的腰与底边的比是5:6，
设腰长为5AB AC k ==，底边长6BC k =， 作AE BC ⊥于E ， ∴1
2
BE EC BC ==
，
在Rt AEC △中， ∴1163
cos 2255
EC BC k C AC AC k =
==⨯=， 故答案为：
35
． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，余弦函数，熟练掌握函数的定义是解题的关键． 16. 如图，在ABC 中，4AB =，点E 、F 分别为AC 、BC 上的中点，联结AF
、BE 交于点O ．如
果BE AF ⊥，30ABE ∠=︒，那么AC 的长度为________．
【答案】 【解析】
【分析】连接EF ，利用中位线定理，勾股定理，含30︒角的直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：连接EF ．
∵点E 、F 分别为AC 、BC 上的中点，30ABE ∠=︒，4AB =， ∴FE AB ∥，24AB EF
==，2AC AE =，
∴30FEO EBA ∠=∠=︒，2EF =， ∵BE AF ⊥，
∴90FOE BOA ∠=∠=︒,
∴根据含30︒角直角三角形的性质：122
AO AB =
=,1
12FO EF ==,
∴EO ==,
∴EA =
=,
∴2AC AE ==，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，含30︒角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握中位线定理，勾股定理是解题的关键．
17. 如图，D 、E 分别是ABC 的边AB 、BC 上的点，且//DE AC ，AE 、CD 相交于点O ，若1
25
DOE COA S S =△△，
则
BDE
CDE
S S =△△______．
【答案】14
【解析】
【分析】由//DE AC ，推出DEO CAO △∽△，可得
21()25DEO CAO S DE S AC ∆∆==，推出15
DE BE AC BC ==，推出1
4
BE EC =，即可求解． 【详解】解：
//DE AC ，
DEO CAO ∴∽△△， ∴
21
()25
DEO CAO S DE S AC ==△△， 15
DE BE AC BC ∴
==， 1
4
BE EC ∴
=，
1
4
BED DEC S S ∴
=△△， 故答案为：
14
． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
18. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上．将ADE 沿着DE 所在的直线翻折，使点A 的对应点F 落在边BC 的延长线上．如果FD 平分EFB ∠，那么AD 的长度为________．
【答案】207
【解析】
【分析】由翻折得出AD DF A DFE ∠∠＝，＝，再根据FD 平分EFB ∠，得出DFH A ∠∠＝，然后借助相似列出方程即可．
【详解】解：作DH BC ⊥于H ，
在Rt ABC △纸片中，90ACB ∠︒＝，
由勾股定理得：5AB ==， ∵将ADE 沿DE 翻折得
DEF ，
∴AD DF A DFE ∠∠＝，＝， ∵FD 平分EFB ∠， ∴DFE DFH ∠∠＝，
∴DFH A ∠∠＝， 设3DH x ＝，
Rt DHF △中，3
sin sin 5
DFH A ∠∠＝＝ ，
∴5AD DF x ==， ∴55BD x =−， ∵BDH BAC ∽，
∴
BD DH
AB AC =， ∴55354x x
−=， ∴47
x =，
∴20
75AD x ==．
故答案是：20
7
．
【点睛】本题考查了以直角三角形为背景的翻折问题，紧扣翻折前后对应线段相等、对应角相等来解决问题，通过相似表示线段和列方程是解题本题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：24cos 30cot 45tan 602sin 45︒−︒︒+︒
【答案】 【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值代值计算即可．
【详解】解：原式2
41
2⎛⎫⋅− ⎪=，
，
=−【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题关键．
20. 如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 上一点，且2DE =，3CE =，射线AE 与射线BC 相交于点F ．
（1）求
EF
AF
的值； （2）如果AB a =，AD b =，求向量EF ．（用向量a 、b 表示）． 【答案】（1）3
5
（2）
3325
b a + 【解析】
【分析】（1）证明ADE FCE ∽得到
32
EF EC E ED A ==，由此即可得到
3
5EF AF =； （2）根据平行四边形对边平行且相等得到DC AB a ==，则2
5
DE a =
，根据向量的运算法则得到2
5
AE AD DE b a =+=+，则32332525EF b a b a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．
【小问1详解】
解：四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD BC ∥， ∴ADE FCE ∽，
EF EC
AE ED
∴
=， 2DE =，3CE =，
3
2
EF AE ∴
=， ∴
33
235
EF AF ==+； 【小问2详解】
解：四边形ABCD 是平行四边形，
DC AB ∴∥，DC AB =，
DC AB a ∴==， 2DE =，5DC =，
2
5
DE DC ∴=
； 又
DE 和DC 同向，
25
DE a ∴=
， 2
5
AE AD DE b a =+∴=+，
∵
3
2
EF AE =， 3
2
EF AE ∴=
， 又
EF 和AE 同向，
3233
2525
EF b a b a ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，向量的线性运算，正确推出3
2
EF AE =是解题的关键．
21. 如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上任意一点（BE ＞DE ），CE 的延长线交AD 于点F ，连接AE ．
（1）求证：△ABE ∽△FDE ； （2）当BE =3DE 时，求tan ∠1的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）2 【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB =BC ，∠ABE =∠CBE =∠FDE =45°，根据全等三角形的性质得到∠BAE =∠ECB ，等量代换得到∠BAE =∠DFE ，即可得到结论；
（2）连接AC 交BD 于O ，设正方形ABCD 的边长为a ，根据勾股定理得到BD
a ，
BO =OD =OC
=2
a
，根据已知条件得到OE =1
2OD
=
4
a ，然后在直角△EOC 中，根据三角函数的定义得到结论． 【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中， ∵AB =BC ，∠ABE =∠CBE =∠FDE =45°， 在△ABE 与△CBE 中，
AB CB ABE CBE BE BE ⎧⎪
∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△ABE ≌△CBE ， ∴∠BAE =∠BCE ， ∵AD ∥BC ， ∴∠DFE =∠BCE ， ∴∠BAE =∠DFE ， ∴△ABE ∽△FDE ； （2）连接AC 交BD 于O ，
设正方形ABCD 的边长为a ， ∴BD
a ，BO =OD =OC
=2
a ， ∵BE =3DE ， ∴OE =1
2OD
=4
a ， ∵BD ⊥AC ， ∴tan ∠1=tan ∠OEC =
OC
OE
=2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，求三角函数值等知识；掌握这些知识是关键．
22. 晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点(距N 点9块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的长(结果精确到0.01米)．
【答案】小军身高BE的长约为1.75米．
【解析】
【分析】先利用相似三角形的性质求出MN的长度，再利用相似三角形的性质求出EB的长度就可．
【详解】由题意可知∠CAD=∠MND="90°," ∠CDA=∠MDN
∴△CAD∽△MND
∴AC AD
MN ND
=即()
1.610.8
510.8
MN
⨯
=
+⨯
∴ MN=9．6
又∵∠EBF=∠MNF=90°,∠EFB=∠MNF ∴△EBF∽△MNF
∴EB BF
MN NF
=即()
20.8
9.6290.8
EB⨯
=
+⨯
∴ EB=1．75
所以小军身高BE的长为1．75米．
23. 已知：如图，在ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，ACD B
∠=∠，AG与CD相交于点F．
（1）求证：2AC AD AB =⋅； （2）若
AD DF
AC CG
=，求证：2CG DF BG =⋅． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】
【分析】（1）证明△ACD ∽△ABC ，得出对应边成比例AC ：AB=AD ：AC ，即可得出结论；
2）由相似三角形的性质得出∠ADF=∠ACG ，由已知证出△ADF ∽△ACG ，得出∠DAF=∠CAF ，AG 是∠BAC 的平分线，由角平分线得出=AC CG AB BG ，再证△AFC ∽△AGB ，得=AC CF AB BG ，证出CG=CF ，则=AC CG
AB BG
，进而得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠ACD=∠B ，∠CAD=∠BAC ， ∴△ACD ∽△ABC ， ∴AC ：AB=AD ：AC ， ∴AC 2=AD•AB ；
（2）证明：∵△ACD ∽△ABC ， ∴∠ADF=∠ACG ， ∵
AD DF
AC CG
=， ∴△ADF ∽△ACG ， ∴∠DAF=∠CAF ， 即∠BAG=∠CAG ， 又∵∠ACD=∠B ， ∴△AFC ∽△AGB ，
∴
=AC CF
AB BG
， ∵∠CFG=∠CAG+∠ACD ，∠CGF=∠BAG+∠B ， ∴∠CFG=∠CGF ，
∴CG=CF ，
∴
=
AC CG
AB BG
由（1）得：
AC AD
AB AC
=
∴
=DF CG
CG BG
∴CG 2=DF•BG ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
24. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．
（1）求OAB ∠的余切值；
（2）如果点C 为直线AB 上第一象限内的点，且2AB BC =，求点C 的坐标；
（3）在（2）的条件下，直线AB 上是否存在点P ，使OAP △与OBC △相似，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）1 （2）()2,6
（3）存在，()6,2−−或()8,4−− 【解析】
【分析】（1）根据余切值的定义，即可求得． （2）画出图，根据相似三角形的性质即可求得．
（3） 根据OBC △的135︒角所对边的关系，从而分类讨论找出两个符合条件的点，利用相似即可求得坐标．
【小问1详解】
解：根据题意得直线4y x =+与x 轴交点A 的坐标为()4,0−，与y 轴交点B 的坐标为()0,4．
4∴=OA ，4OB =．
在Rt AOB △中，90AOB ∠=︒，cot 1AO
OAB BO
∴∠==． 【小问2详解】
解：过点C 作CD y ∥轴交x 轴于点D ，则AOB ADC △∽△．
OA OB AB
AD DC AC
∴
==． 2AB BC =，2
3
AB AC ∴
=． 4=OA ，4OB =，6AD CD ∴==．
2OD ∴=．∴点C 的坐标为()2,6．
【小问3详解】
解：如图所示：
4OA OB ==，45ABO BAO ∴∠=∠=︒．
45BOC ︒∴∠<，45BCO ∠<︒．又90OBC ︒∠>，
∴满足题意的点P 在BA 的延长线上，且135OAP OBC ︒∠=∠=
设点(),4P m m +(4m <−)，则)4AP m =+．
()0,4B
，()2,6C ，BC ∴=
(ⅰ)当OAP OBC △∽△时，AP OA
BC OB =4
44m +=，
则)4m += 解得6m =−．
∴点P 的坐标为()6,2−−．
(ⅱ)当OAP CBO △∽△时，AP OA
OB BC =，即)44m +=． 解得8m =−．
∴点P 的坐标为()8,4−−．
综上所述，点P 的坐标为()6,2−−或()8,4−−．
【点睛】本题考查余切值、一次函数综合、相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键
25. 在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =．点M 是边BC 上的一点（与端点B 、C 不重合）．
（1）如图1，当3BM =时，连结MD 交AC 于点E ，求线段DE 的长度； （2）如图2，当90DEC ∠=︒时，求四边形ABME 的面积；
（3）如图3，过点M 作AM 的垂线，交边CD 于点F ，交AC 于点G ．设BM x =，FG
y AM
=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．
【答案】（1 （2）
957
50
（3）28276x x
y x
−+=+，（08x <<）
【解析】
【分析】（1）由题意，可求得5MC =，由勾股定理求DM =，
再由AD BC ∥可得8
5
DE AD ME CM ==，即
8
13
DE DM =，则可求DE 的长度； （2）证明ECD ADC ∽可求得185CE =
，由AD BC ∥可知ADE CME ∽△△，则AD AE
MC EC
=，解得
92MC =，2710ME =,四边形ABME 的面积为ABC MEC S S −解得四边形ABME 的面积为95750
． （3）分别证明FGH FMC △∽△和MAB FMC ∽，故可得MAB FGH ∽由相似分别得到
()86x x FC −=，()86
x x CH xy −=−．再由GH AD 可证GH CH AD CD =，代入得到()86686
x x xy y −−=，则问题可证．
【小问1详解】
∵四边形ABCD 是矩形，6AB =，8AD =， 6DC AB ∴==，8BC AD ==，AD BC ∥．
又3BM =，
5MC ∴=．
在Rt CDM △中，90MCD ∠=︒，5MC =，6DC =，
DM ∴=
∵AD BC ∥，
85
DE AD ME CM ∴
==． 813
DE DM ∴=．
DE ∴= 【小问2详解】
∵90DEC ADC ∠=∠=︒，ECD DCA ∠=∠，
ECD ADC ∴△∽△．
CE CD CD CA
∴=． ∵6CD =，10AC =， 185CE ∴=
． ∵AD BC ∥，
∴ADE CME ∽△△， ∴
AD AE MC EC
=， ∴181085185MC
−=
∴92
MC =，
∴2710ME ===, ∴四边形ABME 的面积为
1122
ABC MEC S S AB BC ME EC −=
⋅−⋅ 1127186822105
=⨯⨯−⨯⨯ 95750
= ∴四边形ABME 的面积为95750． 【小问3详解】
过点G 作GH BC ∥交CD 于点H ，则FGH FMC △∽△．
∵四边形ABCD 是矩形，
90ABC BCD ∴∠=∠=︒．
∵AMB FMC MAB ABC ∠+∠=∠+∠，90AMF ∠=︒，
FMC MAB ∴∠=∠．
MAB FMC ∴△∽△．
MAB FGH ∴△∽△．
GH FH FG y AB MB MA
∴===． ∵=6AB ，MB x =，
6GH y ∴=，FH xy =．
∵MAB FMC ∽，
FC CM MB BA
∴=． ∵=6AB ，MB x =，8CM x =−，
()
86x x FC −∴=．
()86
x x CH xy −∴=−． ∵GH BC ∥，AD BC ∥，
GH AD ∴∥．
GH CH AD CD
∴=． 即()86686
x x xy y −−=． 整理得28276x x y x
−+=+，（08x <<）． 【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，解答过程中要根据各问中的条件，利用相似三角的性质形构造方程或等式．。