2021年上海市黄浦区中考数学模拟试卷解析版

2021年上海市黄浦区中考数学模拟试卷解析版
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】
1．（4分）已知线段a ＝2，b ＝4，如果线段b 是线段a 和c 的比例中项，那么线段c 的长度是（ ） A ．8
B ．6
C ．2√2
D ．2
【解答】解：若b 是a 、c 的比例中项， 即b 2＝ac ． 42＝2c ， 解得c ＝8， 故选：A ．
2．（4分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AB ＝m ，∠A ＝α，那么AC 的长为（ ） A ．m •sin α
B ．m •cos α
C ．m •tan α
D ．m •cot α
【解答】解：由题意，得 cos A =
AC
AB
， AC ＝AB •cos A ＝m •cos α， 故选：B ．
3．（4分）已知一个单位向量e →
，设a →
、b →
是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ） A ．1
|a →|
a →
=e →
B ．|e →|a →=a →
C ．|b →|e →
=b →
D ．1
|a →|
a →
=
1
|b →
|
b →
【解答】解：A 、1
|a →|
•a →
与e →
的模相等，方向不一定相同．故错误．
B 、正确．
C 、|b|→e →
与b →
的模相等，方向不一定相同，故错误． D 、1
|a →|
•a →与1
|b →|
•b →
的模相等，方向不一定相同，故错误．
故选：B ．
4．（4分）已知二次函数y ＝x 2，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的表达式是（ ） A ．y ＝（x +1）2+2
B ．y ＝（x +1）2﹣2
C ．y ＝（x ﹣1）2+2
D ．y ＝（x ﹣1）2﹣2
【解答】解：二次函数y ＝x 2，将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的解析式为y ＝（x +1）2﹣2． 故选：B ．
5．（4分）在△ABC 与△DEF 中，∠A ＝∠D ＝60°，AB DF
=
AC DE
，如果∠B ＝50°，那么∠E
的度数是（ ） A ．50°
B ．60°
C ．70°
D ．80°
【解答】解：∵∠A ＝∠D ＝60°，AB DF
=
AC DE
，
∴△ABC ∽△DFE ，
∴∠B ＝∠F ＝50°，∠C ＝∠E ＝180°﹣60°﹣50°＝70° 故选：C ．
6．（4分）如图，点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（ ）
A ．
AD AB
=
DE BC
B ．
AD AC
=
AE AB
C ．A
D •AB ＝D
E •BC
D ．AD •AC ＝AB •AE
【解答】解：∵∠EAD ＝∠CAB ， ∴当
AE AC
=
AD AB
，
即AD •AC ＝AB •AE ， ∴ED ∥BC ， 故选：D ．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）计算：2（3b →
−2a →
）+（a →
−2b →
）＝ ﹣3a →
+4b →
．
【解答】解：2（3b →
−2a →
）+（a →
−2b →
）＝6b →
−4a →
+a →
−2b →
=−3a →
+4b →
， 故答案为﹣3a →
+4b →．
8．（4分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在△ABC 的两边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，如果AE ＝5，EC ＝3，DE ＝4，那么线段BC 的长是
325
．
【解答】解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE BC =
AE AC ，
∴
4BC
=58
，
∴BC =32
5， 故答案为
325
．
9．（4分）如图，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．如果
AB BC
=2
3
，DF ＝15，那么线段DE 的长是 6 ．
【解答】解：∵AD ∥BE ∥CF ， ∴
AB BC
=
DE EF
=2
3
，
∵DF ＝15， ∴
DE EF
=
DE DF−DE
=
DE 15−DE
=2
3
，
解得：DE ＝6， 故答案为：6
10．（4分）如果点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞BP ），那么BP
AP 的值是 √5−12
．
【解答】解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞BP ），
∴
BP AP
=
AP AB
=
√5−1
2
． 故答案为
√5−1
2
． 11．（4分）写出一个对称轴是直线x ＝1，且经过原点的抛物线的表达式 答案不唯一（如 y ＝x 2﹣2x ） ．
【解答】解：符合的表达式是 y ＝x 2﹣2x ， 故答案为 y ＝x 2﹣2x ．
12．（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，垂足为点D ，如果BC ＝4，sin ∠DBC =2
3，那么线段AB 的长是 2√5 ．
【解答】解：在Rt △BDC 中， ∵BC ＝4，sin ∠DBC =23
，
∴CD ＝BC ×sin ∠DBC ＝4×2
3=8
3， ∴BD =√BC 2−CD 2=
4√5
3
， ∵∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ， ∴∠A ＝∠DBC ， 在Rt △ABD 中， ∴AB =
BD sin∠A =4√53×3
2
=2√5， 故答案为：2√5．
13．（4分）如果等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos ∠B =1
3，那么cos ∠A ＝
79
．
【解答】解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ， ∴∠ADB ＝90°
∴在△ADC 中，cos ∠B =BD AB =1
3， ∴BD =1
3AB ＝1．
∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ∴BD ＝DC ， ∴BC ＝2，
∴AD =√AB 2−BD 2=√32−12=2√2 ∵1
2AB •CE =1
2BC ⋅AD ，
∴CE =
BC⋅AD AB
=2×2√23=4√2
3， ∴AE =√AC 2−CE 2=7
3
∴cos ∠A =AE AC =7
33=7
9
，
故答案为7
9
．
14．（4分）如图，在△ABC 中，BC ＝12，BC 上的高AH ＝8，矩形DEFG 的边EF 在边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．设DE ＝x ，矩形DEFG 的面积为y ，那么y 关于x 的函数关系式是 y =−3
2x 2+12x ．（不需写出x 的取值范围）．
【解答】解：∵四边形DEFG 是矩形，BC ＝12，BC 上的高AH ＝8，DE ＝x ，矩形DEFG 的面积为y ， ∴DG ∥EF ， ∴△ADG ∽△ABC ， ∴
8−x 8
=
DG 12
，
得DG =
3(8−x)
2
，
∴y ＝x ⋅
3(8−x)2=−3
2
x 2+12x ， 故答案为：y =−3
2
x 2+12x ．
15．（4分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC ＝6厘米，长CD ＝16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 9.6 厘米．
【解答】解：如图所示：作BE ⊥AE 于点E ， 由题意可得，BC ＝6cm ，CF =1
2
DC ＝8cm ， 故BF =√FC 2+BC 2=√62+82=10（cm ）， 可得：∠CFB ＝∠BAE ，∠C ＝∠AEB ， 故△BFC ∽△BAE ， ∴BC EB =FB AB ，
∴
6BE
=
1016
，
解得：BE ＝9.6． 故答案为：9.6．
16．（4分）在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝9，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且△ADE 与△ABC 相似，如果AE ＝6，那么线段AD 的长是 8或9
2 ．
【解答】解：如图 ∵∠DAE ＝∠BAC ，
∴当△ADE ∽△ABC ， ∴AB AC =AD AE ，
即
129
=
AD 6
，
解得：AD ＝8， ∴当△AED ∽△ABC ， ∴AB AC =AE AD ，
即
129
=
6AD
，
解得：AD =92
， 故答案为：8或9
2
17．（4分）如图，在△ABC 中，中线BF 、CE 交于点G ，且CE ⊥BF ，如果AG ＝5，BF ＝6，那么线段CE 的长是
92
．
【解答】解：如图，延长AG 交BC 于K ．
∵点G 是△ABC 的重心，
∴AG ＝2GK ，BG ＝2GF ，CG ＝2EG ，
∵AG ＝5，BF ＝6， ∴GK =52
，BG ＝4， ∵CE ⊥BF ， ∴∠BGC ＝90°，
∴BC ＝2GK ＝5，CG =√BC 2−BG 2=√52−42=3， ∴EG =1
2CG =3
2， ∴EC ＝3+32
=92
． 故答案为92．
18．（4分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 在边BC 上，∠DAE ＝∠B ＝30°，且AD AE
=3
2
，
那么
DE BC
的值是
13√318
−1 ．
【解答】解：∵AB ＝AC ， ∴∠C ＝∠B ＝30°， ∵∠DAE ＝∠B ＝30°， ∴∠DAE ＝∠B ＝∠C ， ∵∠AED ＝∠BEA ， ∴△ADE ∽△BAE ， ∴
AD AB
=
AE BE
=
DE AE
，
∴AE 2＝DE ×BE ， 同理：△ADE ∽△CDA ， ∴
AD CD
=
DE AD
，
∴AD 2＝DE ×CD ， ∴
AD 2AE =
CD BE
=（3
2
）2=9
4，
设CD ＝9x ，则BE ＝4x ，
∵
AD AB
=
AE BE
，
∴AB =
AD AE ×BE =3
2
×4x ＝6x ， 作AM ⊥BC 于M ，如图所示： ∵AB ＝AC ， ∴BM ＝CM =1
2BC ， ∵∠B ＝30°，
∴AM =1
2AB ＝3x ，BM =√3AM ＝3√3x ， ∴BC ＝2BM ＝6√3x ，
∴DE ＝BE +CD ﹣BC ＝13x ﹣6√3x ， ∴
DE BC
=
√3x 6√3x =13√3
18−1；
故答案为：13√318
−1．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（10分）计算：
cos30°
tan60°−sin60°
−cot45°．
【解答】解：原式=√3
2
√3−√
3
2
1
＝0．
20．（10分）已知，如图，点E 在平行四边形ABCD 的边CD 上，且DE CE
=1
2
，设AB →
=a →
，AD →=b →
．
（1）用a →
、b →
表示AE →
；（直接写出答案）
（2）设AE →
=c →，在答题卷中所给的图上画出a →−3c →
的结果．
【解答】解：（1）∵
DE CE
=1
2
，即DE =12CE ，DE =1
3DC ，
AE →
=13a →
+b →
（2）如图所示：延长AE 、BC 交于G ，则
即为a →
−3c →
的结果．
∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC ∴
DE CE
=
AE EG
=1
2
∴AG ＝3AE 又∵AE →
=c →
∴＝3 ∴
=a →
−3c →
．
21．（10分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A 、B 位置，且离地面高均为1米（即AD ＝BE ＝1米），两台测角仪相距50米（即AB ＝50米）．在某一时刻无人机位于点C （点C 与点A 、B 在同一平面内），A 处测得其仰角为30°，B 处测得其仰角为45°．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）
（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F （点F 与点A 、B 、C 在同一平面内），此时于A 处测得无人机的仰角为40°，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）
【解答】解：（1）如图，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为点H ，
∵∠CBA ＝45°，
∴BH ＝CH ，
设CH ＝x ，则BH ＝x ．
∵在Rt △ACH 中，∠CAB ＝30°，
∴AH =√3CH =√3x ．
∴x +√3x =50．
解得：x =3+1
≈18， ∴18+1＝19．
答：计算得到的无人机的高约为19m ；
（2）过点F 作FG ⊥AB ，垂足为点G ，
在Rt △AGF 中，tan∠FAG =FG AG ，
∴AG =FG tan40°≈180.84≈21.4，
又AH =√3CH ≈31.14．
∴31.14−21.4
2≈5，或31.14+21.4
2≈26
答：计算得到的无人机的平均速度约为5米/秒或26米/秒．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =−1
4x 2−x +2，其顶点为A ．
（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况；
（2）直线BC 平行于x 轴，交这条抛物线于B 、C 两点（点B 在点C 左侧），且cot ∠ABC
＝2，求点B坐标．
【解答】解：（1）抛物线y=−1
4
x2−x+2=−14（x+2）2+3的开口方向向下，顶点A
的坐标是（﹣2，3），
抛物线的变化情况是：在对称轴直线x＝﹣2左侧部分是上升的，右侧部分是下降的；（2）如图，设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD．
设线段AD的长为m，则BD＝AD•cot∠ABC＝2m，
∴点B的坐标可表示为（﹣2m﹣2，3﹣m），
代入y=−1
4
x2−x+2，得3−m=−14(−2m−2)2−(−2m−2)+2．
解得m1＝0（舍），m2＝1，
∴点B的坐标为（﹣4，2）．
23．（12分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．
（1）求证：AD•DE＝AB•BF；
（2）联结AC，如果CF
DE =
AC
CD
，求证：
AC2
BC2
=
AF
BF
．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴CD ∥AB ，AD ∥BC ，
∴∠CDE ＝∠DAB ，∠CBF ＝∠DAB ，
∴∠CDE ＝∠CBF ，
∵CE ⊥AE ，CF ⊥AF ，
∴∠CED ＝∠CFB ＝90°，
∴△CDE ∽△CBF ，
∴BC BF =CD DE ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BC ＝AD ，CD ＝AB ，
∴AD BF =AB DE ，
∴AD •DE ＝AB •BF ．
（2）∵CF DE =AC CD ，∠CED ＝∠CFB ＝90°，
∴△ACF ∽△CDE ，
又∵△CDE ∽△CBF ，
∴△ACF ∽△CBF ，
∴S △ACF
S △CBF
=AC 2BC ， ∵△ACF 与△CBF 等高， ∴S △ACF
S △CBF
=AF BF ， ∴AC 2
BC =AF BF ．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛
物线顶点，且新抛物线的对称轴是y 轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．
（1）已知原抛物线表达式是y ＝x 2﹣2x +5，求它的“影子抛物线”的表达式；
（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是y ＝﹣x 2+5，求原抛物线的表达式；
（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y 轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y 轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．
【解答】解：（1）∵原抛物线表达式是y ＝x 2﹣2x +5＝（x ﹣1）2+4
∴原抛物线顶点是（1，4），
设影子抛物线表达式是y ＝x 2+n ，
将（1，4）代入y ＝x 2+n ，解得n ＝3，
所以“影子抛物线”的表达式是y ＝x 2+3；
（2）设原抛物线表达式是y ＝﹣（x +m ）2+k ，
则原抛物线顶点是（﹣m ，k ），
将（﹣m ，k ）代入y ＝﹣x 2+5，得﹣（﹣m ）2+5＝k ①，
将（1，0）代入y ＝﹣（x +m ）2+k ，0＝﹣（1+m ）2+k ②，
由①、②解得 {m 1=1k 1=4，{m 2=−2k 2=1
． 所以，原抛物线表达式是y ＝﹣（x +1）2+4或y ＝﹣（x ﹣2）2+1；
（3）结论成立．
设影子抛物线表达式是y ＝ax 2+n ．原抛物线于y 轴交点坐标为（0，c ）
则两条原抛物线可表示为y1＝ax2+b1x+c与抛物线y2＝ax2+b2x+c（其中a、b1、b2、c是常数，且a≠0，b1≠b2）
由题意，可知两个抛物线的顶点分别是P1(−b1
2a，
4ac−b12
4a
)、P2(−b22a，4ac−b2
2
4a
)
将P1、P2分别代入y＝ax2+n，
得{a(−b12a)2+n=4ac−b1
2
4a a(−b22a)2+n=4ac−b2
2
4a
消去n得b12＝b22，∵b1≠b2，
∴b1＝﹣b2
∴P1(b2
2a，4ac−b22
4a
)，P2(−b22a，4ac−b2
2
4a
)，
∴P1、P2关于y轴对称．
25．（14分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．
（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，
①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y=S△BCE
S△AEF（其中S△BCE表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当S△BCE
S△AEF
=7时，请直接写出线段AE的长．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC﹣AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵AD＝AC，
∴AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，∴∠EBC＝45°．
过点E作EG⊥BC，垂足为点G．
设AE＝x，则EC＝2﹣x．
在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，
∴EG=EC⋅sin∠ACB=√3
2
(2−x)，CG=EC⋅cos∠ACB=1−12x，
∴BG＝2﹣CG＝1+1
2x，
在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，
∴1+1
2
x=√32(2−x)，
解得x=4−2√3．
所以线段AE的长是4−2√3．
（2）①设∠ABD＝α，则∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．∵AD＝AC，AH⊥CD，
∴∠CAF=1
2
∠DAC=60°−α，
又∵∠AEF＝60°+α，∴∠AFE＝60°，
∴∠AFE＝∠ACB，
又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF∽△BEC，
∴S△BCE
S△AEF =
BE2
AE
，
由（1）得在Rt△CGE中，BG=1+1
2
x，EG=√32(2−x)，
∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，
∴y=x2−2x+4
2
（0＜x＜2）．
②当∠CAD＜120°时，
y＝7，则有7=x2−2x+4
2
，
整理得3x2+x﹣2＝0，
解得x=2
3或﹣1（舍弃），
AE=23．
当120°＜∠CAD＜180°时，同法可得y=x2+2x+4
x2
当y＝7时，7=x2+2x+4
x2
，
整理得3x2﹣x﹣2＝0，
解得x=−2
3（舍弃）或1，
∴AE＝1．。