根轨迹_有关于分离角(汇合角)的证明
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a
nm 开环极点值－ 开环零点值
p z
＝
i 1 i j 1
n
有限极点数－有限零点数
m j
nm
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
常见 n-m＝1,2,3,4时渐近线的图像:
j j
180
90
0
0
90
n m 1 nm 2
j
j
180
60
135 45
0
60 135
证明：系统的闭环特征方程
D( s ) ( s pi ) K
i 1 n *
(s z ) 0
j 1 j
m
根轨迹有分离点，说明闭环特征方程有重 根。因此，
(s p ) K (s z ) 0
* i 1 i j 1 j m d n * ( s pi ) K ( s z j ) 0 ds i 1 j 1
0.5s 2 s K 0
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
解之，得闭环特征根表达式为
s1 1 1 2 K s2 1 1 2 K
取K为不同值代入s1,2表达式，得
K 0 s1 0 s2 -2 0.5 1.0 2.5 -1 -1 + j1 -1 + j2 -1 -1 - j1 -1 - j2 … … … + -1 + j -1 - j
K= 0
K K= 2.5
K= 1
稳态性能：有一个开 环极点在坐标原点处， 所以该系统是 I 型系统， 则K为静态速度误差系 数。
-2
-1
K= 1
-1 -2
K= 2.5 K
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
动态性能： ① 当 0<K<0.5 时，系统的闭环极点位于负实 轴上，二阶系统处于过阻尼状态，单位阶跃 响应为非周期过程。 ②当K=0.5时，二阶系统处于临界阻尼状态， 单位阶跃响应也为非周期过程。 ③当K>0.5时，系统具有一对共轭复数极点， 处于欠阻尼状态，单位阶跃响应为具有阻尼 的振荡过程。
j 1 j i 1 i
m
n
j
z2 p2 z3 z1
p3 s p1 p4
0
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
法则5 根轨迹的渐近线： 当 n>m 时，将有(n-m)条根轨迹沿渐近线 趋于无穷远处，其渐近线与实轴正方向的夹 角为 a ，与实轴交点坐标为 a 。 (2k 1) a (k 0, 1, 2, )
第四章 复域分析法－根轨迹法
法则6 根轨迹的分离点(或会合点)坐标sd ： 两条或两条以上根轨迹在s平面上相遇后 又立即分开的点，称为分离点。 分离点满足方程：
m 1 1 i 1 sd pi j 1 sd z j n
1 0 (无开环零点) i 1 sd pi
自动控制原理
R(s)
第四章 复域分析法－根轨迹法
K s(0.5s 1)
C(s)
系统的传递函数 其闭环传递函数
K G( s ) s(0.5 s 1)
C ( s) K K ( s ) R( s ) s(0.5 s 1) K 0.5 s 2 s K
则闭环特征方程为
180 ； 实轴上分离点的分离角为 90 或0 、 180 或 90 。 实轴上会合点的会合角为 0 、
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
分离角计算公式：
m n 1 d (2k 1)π ( sd z j ) ( sd si ) l j 1 i l 1
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
K K= 2.5
j
2 1
K= 0.5 K= 0
K= 1 K= 0
-2
-1
K= 1
-1 -2
K= 2.5 K
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
j
2 1
K= 0.5 K= 0
二、根轨迹与系统的性能
稳 定 性 ： 只 要 K>0， 则根轨迹在 s平面的左 半平面，因此，系统 是稳定的。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
第四章
根轨迹法
闭环系统的稳定性和性能指标主要由 闭环系统的极点在复平面的位置决定，因 此，分析或设计系统时确定出系统闭环极 点的位置是十分有意义的。
1948年，伊文斯(W. R. Evans)提出了 根轨迹法，这种方法是根据系统的开、闭 环传递函数之间的关系，根据一些准则， 直接由开环传递函数的零、极点求出闭环 极点（闭环特征根）。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念 一、根轨迹的定义 根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数 (如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征 根在s平面上移动所画出的轨迹。 常规根轨迹 ：当变化的参数为开环增益时 所对应的根轨迹。 广义根轨迹 ：当变化的参数为开环传递函 数中其它参数时所对应的根轨迹。
法则2 根轨迹的对称性： 根轨迹是关于实轴对称的。
法则3 根轨迹的起点、终点： 根轨迹起于开环极点 pi， 终止于开环零点 zj (m条)， 或趋于无穷 远点(n-m条)。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
证明： 由根轨迹方程，得 m
(s z )
j 1 n j i 1 i
m
(s p )
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法 闭环传递函数的 零、极点表达式
闭环传递函数
( s ) G ( s ) ( s pi )
i 1 n m n
* ( s p ) K (s z j ) i i 1 j 1 * K ( s z j ) l
(s s )
n
m
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
将上面两式相除，整理得
m 1 1 i 1 sd pi j 1 sd z j n
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
法则7 根轨迹的分离角(与会合角)： 分离角是指根轨迹离开分离点处的切线 与实轴正方向的夹角。 会合角是指根轨迹进入会合点处的切线 与实轴正方向的夹角。
45
0
nm 3
nm 4
自动控渐近线条数为(n-m)条，而这些 渐近线将s平面以 a 为中心进行等分，几 个渐近线之间的夹角为 360 (n m) ，这样 只要求出某一条渐近线与实轴的夹角，就 很容易求出其它渐近线的位置。
自动控制原理
式中，sd－分离点坐标 zj－原系统的开环零点 si－K=Kd时除l个重极点外，其它(n-l) 个原系统的闭环极点，即新系统的开环极点 l －分离点处根轨迹的分支数
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
会合角计算公式：
n n 1 d (2k 1)π ( sd pi ) ( sd si ) l i 1 i l 1
令K* =0，得
j 1 n
1 * K
(s z )
j
(s p )
故
i 1 i
1 * K
(s p ) 0
i 1 i
n
s pi
(i 1, 2,
, n)
自动控制原理
* K ，得 令
第四章 复域分析法－根轨迹法
(s z ) (s p )
将开环传递函数用其分子、分母多项式方程 根的因式来表示，得 开环传递函数
开环传递 K * (s z j ) 函数的零 j 1 G( s) H ( s) n ( m n) 、极点表 达式
m
(s p )
i 1 i
pi 为分母多项式方程的根，称作开环传递函 数的极点。 zj 为分子多项式方程的根，称作开环传递函 数的零点。 K* 称作根轨迹增益。
n
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
根轨迹起始于开环极点，而终于开环 零点。一般情况下，如果实轴上两相邻极 点之间的线段属于根轨迹，那么这两个极 点之间至少存在一个分离点；根轨迹位于 实轴上两相邻开环零点之间(或其中一个零 点是无穷远零点)，则两零点之间也至少存 在一个分离点。
自动控制原理
G(s)H(s) = -1
或写成
K
*
(s z )
j 1 j i
m
(s p )
i 1
n
1
上式就是根轨迹方程。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
模值方程：
K
*
sz
j 1 i
m
j
s p
i 1
n
1
相角方程：
( s z ) ( s p ) (2k 1)π
j 1 j i 1 i
m
n
( k 0, 1, 2, )
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
看出：模值方程与K*有关，而相角方程 与K*无关。因此，相角方程是决定闭环 根轨迹的充分必要条件，而模值方程是 用来确定根轨迹上各点对应的K*值。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
4.2 绘制根轨迹图的基本法则 法则1 根轨迹的分支数： n 阶系统根轨迹有 n 条分支。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
法则8 根轨迹的起始角与终止角：
起始角是指根轨迹在起点处的切线与实 轴正方向的夹角。
式中，sd－分离点坐标 pi－原系统的开环极点 si－新系统 时除l个重极点外， 其它(n-l)个开环极点(原系统的闭环极点) l －分离点处根轨迹的分支数
1 1 K Kd
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
一般情况下，两条根轨迹相遇又分开 时，它们的会合角和分离角分别是０º 、 180º 和90º 、-90º ，或者相反。这一规律具 有一般性。可以证明：
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
法则4 根轨迹在实轴上的分布： 实轴上根轨迹区段右侧的开环零点与 开环极点数目之和为奇数。相反，如果右 侧(实)零点与(实)极点数目之和为偶数，则 试探点 si 所在区段不属于根轨迹。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
证明：根据相角方程
( s z ) ( s p ) (2k 1)π
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
三、根轨迹方程 1. 开、闭环传递函数的零、极点表达式 控制系统的结构图
R(s) C(s)
其闭环传递函数
G( s) ( s ) 1 G( s) H ( s)
G ( s) H ( s)
式中G(s)H(s)为系统的开环传递函数。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
1 1 (1) 若分离角 d (2k 1) ，则会合角d l 2kπ l 1 1 (2) 若分离角 d 2kπ ，则会合角 d (2k 1)π l
l
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
法则：若有 l 条根轨迹进入 sd 点，必有 l 条 根轨迹离开sd点；l条进入sd点的根轨迹与 l 条离开 sd 点的根轨迹相间隔；任一条进 入sd点的根轨迹与相邻的离开 sd点的根轨 迹方向之间的夹角为 /l 。因此只要确定 sd点的附近一条根轨迹方向，由上述规律 就可以方便地确定sd点附近所有的根轨迹 的方向。
i 1 m i j 1 j j 1 n j
m
1 * K
K *
0
(s z ) 0
*
j 1 s n i 1
s zj
( j 1, 2,
, m)
当 K m ，设 s ， 则
(s z )
j i
lim
(s p )
sm 1 1 lim n lim n m 0 lim * s s s s K * K
i 1 i
j 1 n
( l n)
式中： si 为 闭 环 传 递 函数的极点， 亦即闭环特征 根。 zj 闭环传递函 数的零点。 K* 称作闭环根 轨迹增益。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
2. 根轨迹方程 根轨迹是所有闭环特征根的集合。闭环系 统的特征方程为 1+G(s)H(s) = 0
第四章 复域分析法－根轨迹法
首先判断是否有分离点，然后确定分离 点可能处的大概位置： •实轴上 •以共轭形式出现在复平面上 一般是指位于实轴上的两条根轨迹的分 离点。 注意：开环零、极点位置的变化影响根轨 迹的形状，要仔细把握。属于根轨迹区段 上的点，才是分离点，否则舍掉。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
nm 开环极点值－ 开环零点值
p z
＝
i 1 i j 1
n
有限极点数－有限零点数
m j
nm
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
常见 n-m＝1,2,3,4时渐近线的图像:
j j
180
90
0
0
90
n m 1 nm 2
j
j
180
60
135 45
0
60 135
证明：系统的闭环特征方程
D( s ) ( s pi ) K
i 1 n *
(s z ) 0
j 1 j
m
根轨迹有分离点，说明闭环特征方程有重 根。因此，
(s p ) K (s z ) 0
* i 1 i j 1 j m d n * ( s pi ) K ( s z j ) 0 ds i 1 j 1
0.5s 2 s K 0
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
解之，得闭环特征根表达式为
s1 1 1 2 K s2 1 1 2 K
取K为不同值代入s1,2表达式，得
K 0 s1 0 s2 -2 0.5 1.0 2.5 -1 -1 + j1 -1 + j2 -1 -1 - j1 -1 - j2 … … … + -1 + j -1 - j
K= 0
K K= 2.5
K= 1
稳态性能：有一个开 环极点在坐标原点处， 所以该系统是 I 型系统， 则K为静态速度误差系 数。
-2
-1
K= 1
-1 -2
K= 2.5 K
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
动态性能： ① 当 0<K<0.5 时，系统的闭环极点位于负实 轴上，二阶系统处于过阻尼状态，单位阶跃 响应为非周期过程。 ②当K=0.5时，二阶系统处于临界阻尼状态， 单位阶跃响应也为非周期过程。 ③当K>0.5时，系统具有一对共轭复数极点， 处于欠阻尼状态，单位阶跃响应为具有阻尼 的振荡过程。
j 1 j i 1 i
m
n
j
z2 p2 z3 z1
p3 s p1 p4
0
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
法则5 根轨迹的渐近线： 当 n>m 时，将有(n-m)条根轨迹沿渐近线 趋于无穷远处，其渐近线与实轴正方向的夹 角为 a ，与实轴交点坐标为 a 。 (2k 1) a (k 0, 1, 2, )
第四章 复域分析法－根轨迹法
法则6 根轨迹的分离点(或会合点)坐标sd ： 两条或两条以上根轨迹在s平面上相遇后 又立即分开的点，称为分离点。 分离点满足方程：
m 1 1 i 1 sd pi j 1 sd z j n
1 0 (无开环零点) i 1 sd pi
自动控制原理
R(s)
第四章 复域分析法－根轨迹法
K s(0.5s 1)
C(s)
系统的传递函数 其闭环传递函数
K G( s ) s(0.5 s 1)
C ( s) K K ( s ) R( s ) s(0.5 s 1) K 0.5 s 2 s K
则闭环特征方程为
180 ； 实轴上分离点的分离角为 90 或0 、 180 或 90 。 实轴上会合点的会合角为 0 、
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
分离角计算公式：
m n 1 d (2k 1)π ( sd z j ) ( sd si ) l j 1 i l 1
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
K K= 2.5
j
2 1
K= 0.5 K= 0
K= 1 K= 0
-2
-1
K= 1
-1 -2
K= 2.5 K
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
j
2 1
K= 0.5 K= 0
二、根轨迹与系统的性能
稳 定 性 ： 只 要 K>0， 则根轨迹在 s平面的左 半平面，因此，系统 是稳定的。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
第四章
根轨迹法
闭环系统的稳定性和性能指标主要由 闭环系统的极点在复平面的位置决定，因 此，分析或设计系统时确定出系统闭环极 点的位置是十分有意义的。
1948年，伊文斯(W. R. Evans)提出了 根轨迹法，这种方法是根据系统的开、闭 环传递函数之间的关系，根据一些准则， 直接由开环传递函数的零、极点求出闭环 极点（闭环特征根）。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念 一、根轨迹的定义 根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数 (如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征 根在s平面上移动所画出的轨迹。 常规根轨迹 ：当变化的参数为开环增益时 所对应的根轨迹。 广义根轨迹 ：当变化的参数为开环传递函 数中其它参数时所对应的根轨迹。
法则2 根轨迹的对称性： 根轨迹是关于实轴对称的。
法则3 根轨迹的起点、终点： 根轨迹起于开环极点 pi， 终止于开环零点 zj (m条)， 或趋于无穷 远点(n-m条)。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
证明： 由根轨迹方程，得 m
(s z )
j 1 n j i 1 i
m
(s p )
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法 闭环传递函数的 零、极点表达式
闭环传递函数
( s ) G ( s ) ( s pi )
i 1 n m n
* ( s p ) K (s z j ) i i 1 j 1 * K ( s z j ) l
(s s )
n
m
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
将上面两式相除，整理得
m 1 1 i 1 sd pi j 1 sd z j n
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
法则7 根轨迹的分离角(与会合角)： 分离角是指根轨迹离开分离点处的切线 与实轴正方向的夹角。 会合角是指根轨迹进入会合点处的切线 与实轴正方向的夹角。
45
0
nm 3
nm 4
自动控渐近线条数为(n-m)条，而这些 渐近线将s平面以 a 为中心进行等分，几 个渐近线之间的夹角为 360 (n m) ，这样 只要求出某一条渐近线与实轴的夹角，就 很容易求出其它渐近线的位置。
自动控制原理
式中，sd－分离点坐标 zj－原系统的开环零点 si－K=Kd时除l个重极点外，其它(n-l) 个原系统的闭环极点，即新系统的开环极点 l －分离点处根轨迹的分支数
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
会合角计算公式：
n n 1 d (2k 1)π ( sd pi ) ( sd si ) l i 1 i l 1
令K* =0，得
j 1 n
1 * K
(s z )
j
(s p )
故
i 1 i
1 * K
(s p ) 0
i 1 i
n
s pi
(i 1, 2,
, n)
自动控制原理
* K ，得 令
第四章 复域分析法－根轨迹法
(s z ) (s p )
将开环传递函数用其分子、分母多项式方程 根的因式来表示，得 开环传递函数
开环传递 K * (s z j ) 函数的零 j 1 G( s) H ( s) n ( m n) 、极点表 达式
m
(s p )
i 1 i
pi 为分母多项式方程的根，称作开环传递函 数的极点。 zj 为分子多项式方程的根，称作开环传递函 数的零点。 K* 称作根轨迹增益。
n
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
根轨迹起始于开环极点，而终于开环 零点。一般情况下，如果实轴上两相邻极 点之间的线段属于根轨迹，那么这两个极 点之间至少存在一个分离点；根轨迹位于 实轴上两相邻开环零点之间(或其中一个零 点是无穷远零点)，则两零点之间也至少存 在一个分离点。
自动控制原理
G(s)H(s) = -1
或写成
K
*
(s z )
j 1 j i
m
(s p )
i 1
n
1
上式就是根轨迹方程。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
模值方程：
K
*
sz
j 1 i
m
j
s p
i 1
n
1
相角方程：
( s z ) ( s p ) (2k 1)π
j 1 j i 1 i
m
n
( k 0, 1, 2, )
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
看出：模值方程与K*有关，而相角方程 与K*无关。因此，相角方程是决定闭环 根轨迹的充分必要条件，而模值方程是 用来确定根轨迹上各点对应的K*值。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
4.2 绘制根轨迹图的基本法则 法则1 根轨迹的分支数： n 阶系统根轨迹有 n 条分支。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
法则8 根轨迹的起始角与终止角：
起始角是指根轨迹在起点处的切线与实 轴正方向的夹角。
式中，sd－分离点坐标 pi－原系统的开环极点 si－新系统 时除l个重极点外， 其它(n-l)个开环极点(原系统的闭环极点) l －分离点处根轨迹的分支数
1 1 K Kd
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
一般情况下，两条根轨迹相遇又分开 时，它们的会合角和分离角分别是０º 、 180º 和90º 、-90º ，或者相反。这一规律具 有一般性。可以证明：
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
法则4 根轨迹在实轴上的分布： 实轴上根轨迹区段右侧的开环零点与 开环极点数目之和为奇数。相反，如果右 侧(实)零点与(实)极点数目之和为偶数，则 试探点 si 所在区段不属于根轨迹。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
证明：根据相角方程
( s z ) ( s p ) (2k 1)π
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
三、根轨迹方程 1. 开、闭环传递函数的零、极点表达式 控制系统的结构图
R(s) C(s)
其闭环传递函数
G( s) ( s ) 1 G( s) H ( s)
G ( s) H ( s)
式中G(s)H(s)为系统的开环传递函数。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
1 1 (1) 若分离角 d (2k 1) ，则会合角d l 2kπ l 1 1 (2) 若分离角 d 2kπ ，则会合角 d (2k 1)π l
l
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
法则：若有 l 条根轨迹进入 sd 点，必有 l 条 根轨迹离开sd点；l条进入sd点的根轨迹与 l 条离开 sd 点的根轨迹相间隔；任一条进 入sd点的根轨迹与相邻的离开 sd点的根轨 迹方向之间的夹角为 /l 。因此只要确定 sd点的附近一条根轨迹方向，由上述规律 就可以方便地确定sd点附近所有的根轨迹 的方向。
i 1 m i j 1 j j 1 n j
m
1 * K
K *
0
(s z ) 0
*
j 1 s n i 1
s zj
( j 1, 2,
, m)
当 K m ，设 s ， 则
(s z )
j i
lim
(s p )
sm 1 1 lim n lim n m 0 lim * s s s s K * K
i 1 i
j 1 n
( l n)
式中： si 为 闭 环 传 递 函数的极点， 亦即闭环特征 根。 zj 闭环传递函 数的零点。 K* 称作闭环根 轨迹增益。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
2. 根轨迹方程 根轨迹是所有闭环特征根的集合。闭环系 统的特征方程为 1+G(s)H(s) = 0
第四章 复域分析法－根轨迹法
首先判断是否有分离点，然后确定分离 点可能处的大概位置： •实轴上 •以共轭形式出现在复平面上 一般是指位于实轴上的两条根轨迹的分 离点。 注意：开环零、极点位置的变化影响根轨 迹的形状，要仔细把握。属于根轨迹区段 上的点，才是分离点，否则舍掉。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法