胡不归与阿氏圆

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胡不归和阿氏圆
1.1 胡不归
胡不归问题
识别条件：动点P 的运动轨迹是直线（或线段） 方法：
1
、将所求线段和改为
n AP BP m +的形式（1n
m
<） 2、作CAD θ∠=，使sin n
m
θ=
3、过点B 作BE AD ⊥交AC 于点P
4、
n
AP BP m
+的最小值转化为垂线段的长
例1．在直角三角形ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =1，P 是边AC 上的一个动点，则
2
1
P A +PB 的最小值是_______．
例2．如图，△ABC 中，AB =AC =10，tanA =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则5
5
CD BD +
的最小值是_______．
例2图 例3图
例3．如图，AC 是圆O 的直径，AC ＝4，弧BA ＝120°，点D 是弦AB 上的一个动点，那么1
2
OD BD +
的最小值为（ ） A ．
32
B ．3
C ．312
+
D ．13+
A
B
C
D
E
2
例4．（19下 二中学区二模）如图，抛物线2
12
y x bx c =++与x 轴交于点A 和点B
（点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），与
y 轴交于点C ，且22OC OA ==，点D 是直线BC 下方抛物线上一动点．
（1）求出抛物线的解析式；213
222
y x x =
-- （2）连接AD 和BC ，AD 交BC 于点E ，当:5:4ABE BDE S S ∆∆=时，求点D 的坐标； （3）点F 为
y 轴上的一点，且D （2，﹣3），求10DF 的最小值．
3
3
练习1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2
23y x x =-+的顶点为A 点，且与x 轴的正半轴交于点B ，P 点为该抛物线对称
轴上一点，则1
2
OP AP +
的最小值为 .
练习2．已知二次函数223y x x =--的图象与x 轴交于A 、C 两点，点C （3，0），与y 轴交于点B （0，-3）．P 是x 轴上一动点，点D （0，1）在y 轴上，连接PD 2PD PC +的最小值是________．
4
练习3．（18下 广西二模）如图1，抛物线2
23
y x bx c =-++经过(3,0)B ，(0,4)C 两点，抛物线与x 轴的另一交点为A ，连接AC 、BC ．
（1）求抛物线的解析式及点
A 的坐标；
（2）若点D 是线段AC 的中点，连接BD ，在y 轴上是否存在一点E ，使得BDE ∆是以BD 为斜边的直角三角形？若存在，求出点E 的坐标，若不存在，说明理由；
（3）如图2，P 为抛物线在第一象限内一动点，过P 作PQ BC ⊥于Q ，当PQ 的长度最大时，在线段BC 上找一点M 使
45PM BM +的值最小，求4
5
PM BM +的最小值．
5
5
1.2 阿氏圆
阿氏圆问题
问题：求解“AP nPB +”类加权线段和最小值
方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值 ②造：根据线段比，构造母子型相似 ③算：根据母子型结论，计算定点位置 ④转：“AP nPB +”转化为“AP PM +”问题
关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数 ②系数小于1：内部构造母子型 ③系数大于1：外部构造母子型
6
例1．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 已知平面上两点A 、B ，则所有符合PB
PA
=k （k ＞0且k ≠1）的点P 会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．
阿氏圆基本解法：构造三角形相似．
【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x 轴，y 轴上分别有点C （m ，0），D （0，n ），点P 是平面内一动点，且OP ＝r ，设
OD
OP
=k ，求PC +kPD 的最小值．
阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得OM ：OP ＝OP ：OD ＝k ；
第二步：证明kPD ＝PM ；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值． 下面是该题的解答过程（部分）：
解：在OD 上取点M ，使得OM ：OP ＝OP ：OD ＝k ， 又∵∠POD ＝∠MOP ，∴△POM ∽△DOP ． 任务：
（1）将以上解答过程补充完整．
（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 为△ABC 内一动点，满足CD ＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+
3
2
BD 的最小值．
7
7
例2．如图，在正方形ABCD 中，8AB =，点P 是正方形ABCD 内部的一点，且满足4BP =，则1
2
PD PC +的最小值是（ ）
A. 6
B.8
C. 10
D.12
例3．已知扇形COD 中，90COD ∠=︒，6OC =，3OA =，5OB =，点P 是CD 上一点，求2PA PB +的最小值．
练习1．在三角形ABC 中，45B ∠=︒ ，4BC =，点D 在BC 边上且30BAD ∠=︒，点P 是AD 上任意一 点，连接CP ，则1
2
CP AP +
的最小值是_________．
练习2．如图，在Rt△ABC 中，90ACB ∠=︒，4CB =，6CA =，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，则12
AP BP +的最小值为_________．。