2020-2021学年苏教版高二数学上学期期末模拟检测试题1及答案解析

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二
第一学期期末高二数学测试三
一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．曲线32
+=x y 在点(1,4)处的切线方程为。

2. 以点（2，-1）为圆心，以3为半径的圆的标准方程是_____________________。

3．设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为________。

4.已知方程22
-121
x y m m =++表示椭圆，则m 的取值范围是_________。

5．设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是。

（1）若//l α,//l β,则//αβ ； （2）若l α⊥,l β⊥,则//αβ ；
（3）若l α⊥,//l β,则//αβ ； （4）若αβ⊥,//l α,则l β⊥。

6.圆1C :2(1)x ++2
(1)y -=1,圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称,则圆2C 的标准方程为
_________．
7. 已知函数1)2(33)(23++++=x a ax x x f 有极大值又有极小值，则a 的取值范围是 ；
8．已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 有公共点，则k 的最大值为________。

9．与双曲线14
52
2-=-y x 有相同焦点，且离心率为0.6的椭圆方程为________ 。

10．已知圆22:(1)(2)6C x y ++-=，直线:10l mx y m -+-=，直线l 被圆C 截得的弦长最
小时l 的方程为
11. 若函数2ln 2a y x x =-在区间2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上是增函数，a 的取值范围为 12.过抛物线y 2=4x 的焦点，作倾斜角为
4
π的直线交抛物线于P 、Q 两点，O 为坐标原点， 则∆POQ 的面积为________。

13.如图，已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x ，B 是其下顶点，F 是其右焦点，BF 的延长线与椭圆
及其右准线分别交于Q P ,两点，若点P 恰好是线段
BQ 的中点，则此椭圆的离心率=e ▲ ．
14．设0a >，函数x x x g x
a x x f ln )(,)(-=+=，若对任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，则a 的取值范围为▲ ．
二．解答题（本大题共6小题，共计90分）
15、（本题14分）已知圆心()(1,2)0,1C ，且经过点
（Ⅰ）写出圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过点(2,1)P -作圆C 的切线，求切线的方程及切线的长.
16、（本题14分）中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1,F 2,且
13221=F F ,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3：7。

求这两
条曲线的方程。

17、（本题14分）如图，正三棱柱中，D是BC的中点，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
18、（本题16分）某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一
件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2≤a≤5）的税收．设每件产品的日售价为x 元（35≤x≤41），根据市场调查，日销售量与e x（e为自然对数的底数）成反比例．已
知当每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件．
（1）求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x的函数关系式；
（2）当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值．
19、（本题16分）已知圆A ：22(1)4x y -+=与x 轴负半轴交于B 点，过B 的弦BE 与y 轴正半轴交于D 点，且2BD=DE ，曲线C 是以A ，B 为焦点且过D 点的椭圆．
（1）求椭圆的方程；
（2）点P 在椭圆C 上运动，点Q 在圆A 上运动，求PQ+PD 的最大值．
20、（本题16分）已知f （x ）=2ax －
x b +lnx 在x=－1,x=21处取得极值。

（1）求a 、b 的值；
（2）若对x ∈［
4
1,4］时，f （x ）＞c 恒成立，求c 的取值范围。

答 题 纸
一、填空题（每小题5分，共计70分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 1314 二、解答题
班级 姓名 考号- --
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-
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-密
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-
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封-
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--------线
-
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16、（本题14分）
17、(本小题满分15分)
参考答案
1、22+=x y ；
2、9)1()2(22=++-y x ；
3、 x y 2
2±=；4、-2<m<-1； 5、（2）； 6、2(2)x -+2
(2)y +=1 7、a>2或a<-1；8、1e ；9、125162
2=+y x ； 10、210x y --=11、 0≤a 12、22；13、
33； 14、),2[+∞-e 。

15、 解：（Ⅰ）圆C 的半径
r =
=---------------------2分 所以
圆C 的标准方程：()()
22122x y -+-=--------------------------------4分 （Ⅱ）设过点(2,1)P -的切线方程为1(2)y k x +=----------------------------------6分
即210kx y k ---=
=， ----8分
2670k k ∴--=，解得71k k ==-或，
--------------------------------------10分
∴所求切线的方程为
715010x y x y --=+-=或
----------------------------12分
由圆的性质可知：
=PA PB =
=------------------1
4分 16、解：设椭圆的方程为1212212=+b y a x ，双曲线得方程为122
2
222=-b y a x ， 半焦距c ＝13，由已知得：a 1－a 2＝4
7:3:2
1=a c a c ，解得：a 1＝7，a 2＝3 所以：b 12＝36，b 22
＝4，所以两条曲线的方程分别为： 1364922=+y x ，14
92
2=-y x
17、 （Ⅰ）证明：∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱，
∴BB 1⊥平面ABC ， ∴BD 是B 1D 在平面ABC 上的射影
在正△ABC 中，∵D 是BC 的中点，
∴AD ⊥BD ，
AD ⊥B 1D （Ⅱ）解：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1 = E ，连接DE.
∵AA 1=AB ∴四边形A 1ABB 1是正方形，
∴E 是A 1B 的中点，
又D 是BC 的中点，
∴DE ∥A 1C.
∵DE 平面AB 1D ，A 1C 平面AB 1D ，
∴A 1C ∥平面AB 1D.
（Ⅲ）
18、解：（1）设日销售量为e x k ，则401e
k =0，∴4010e k =． 则日销售量为4010e e x 件． 日售价为x 元时，每件利润为（x －30－a ）元，则日利润
L （x ）＝（x －30－a ）4010e e
x ＝403010e e x x a --⋅
． （2）40402e (30)e 31()10e 10e (e )e x x
x x
x a a x L'x ---+-=⋅=⋅． ①当2≤a ≤4时，33≤31＋a ≤35，而35≤x ≤41，
∴L'（x ）≤0，L （x ）在[35，41]上是单调递减函数．
则当x ＝35时，L （x ）取得最大值为105(5)e a -．
②当4＜a ≤5时，35＜31＋a ≤36，
令L'（x ）＝0，得x ＝a ＋31．
x ∈[35，a ＋31)时，
L'（x ）＞0，L （x ）在[35，a ＋31)上是单调递增函数；
x ∈（a ＋31，41]时，
L'（x ）＜0，L （x ）在（a ＋31，41]上是单调递减函数．
L （x)在[35，41]上连续，
∴当x ＝a ＋31时，L （x ）取得最大值为109e
a -．
总之，5max 910(5)e ,(24),()10e ,(45).a a a L x a -⎧-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤
19、解：(1)()31,0,3),D , B ⎛- ⎝⎭
椭圆方程为223314
x y += （2）(2)()2PQ PD PA PD PA PD +≤++=++
PA PD PB PD DB +=+≤＝2
故P 在DB 延长线与椭圆交点处，Q 在PA 延长线与圆的交点处，得到最大值为2+
20. 解:（1）∵f （x ）=2ax －x b +lnx, ∴f /（x ）=2a+2x
b +x 1. ∵f （x ）在x=－1与x=21处取得极值，∴f /（1）=0 f /（2
1）=0, 即⎩⎨⎧=++=-+.0242,012b a b a 解得⎩⎨⎧-==.
1,1b a ∴所求a 、b 的值分别为1、－1.
（2）由（1）得f /（x ）=2－21x +x 1=21x （2x 2+x －1）=21x
（2x －1）（x+1）. ∴当x ∈［41,21］时，f /（x ）＜0;当x ∈［21,4］时，f /（x ）＞0.∴f （21）是f （x ）在［4
1,4］上的极小值.又∵只有一个极小值，
∴f （x ）min =f （2
1）=3－ln2. ∵f （x ）＞c 恒成立，∴c ＜f （x ）min =3－ln2.
∴c 的取值范围为c ＜3－ln2.。