空间向量的加减数乘运算练习题

课时作业(十四)
[学业水平层次]
一、选择题
1．对于空间中任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量
C ．不共面向量
D ．既不共线也不共面向量 【解析】 由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A
2．已知向量a 、b ，且AB →
＝a ＋2b ，BC →
＝－5a ＋6b ，CD →
＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )
A ．A 、
B 、D B ．A 、B 、
C C ．B 、C 、
D D ．A 、C 、D
【解析】 BD →
＝BC →
＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA →＝－AB →
＝－a －2b ，∴BD →
＝－2BA →
，
∴BD →
与BA →共线， 又它们经过同一点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． 【答案】 A
3．A 、B 、C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →
＝34OA →＋18OB →＋18
OC →，
则P 、A 、B 、C 四点( )
A ．不共面
B ．共面
C ．不一定共面
D ．无法判断 【解析】 ∵34＋18＋1
8＝1，
∴点P 、A 、B 、C 四点共面． 【答案】 B
4. (2014·莱州高二期末)在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，用向量
AB →，AD →，AA 1→表示向量BD 1→
的结果为( )
图3­1­9
A.BD 1→＝AB →－AD →＋AA 1→
B.BD 1→＝AD →＋AA 1→－AB →
C.BD 1→
＝AB →＋AD →－AA 1→
D.BD 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→
【解析】 BD 1→＝BA →＋AA 1→＋A 1D 1→＝－AB →＋AA 1→＋AD →
.故选B. 【答案】 B 二、填空题
5．如图3­1­10，已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →
＝
5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E 、F ，则EF →
＝________(用向量a ，b ，c 表示)．
图3­1­10
【解析】 设G 为BC 的中点，连接EG ，FG ，则EF →＝EG →＋GF →
＝12AB →＋12
CD → ＝12(a －2c ))＋1
2(5a ＋6b －8c ) ＝3a ＋3b －5c . 【答案】 3a ＋3b －5c
6．(2014·XX 高二检测)已知O 为空间任一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →
，则2x ＋3y ＋4z 的值为________．
【解析】 由题意知A ，B ，C ，D 共面的充要条件是：对空间任意一点O ，存在实数x 1，y 1，z 1，使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →
，且x 1＋y 1＋z 1＝1，因此，2x ＋3y ＋4z ＝－1.
【答案】 －1
7．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →
＝2e 1＋ke 2，CB →
＝
e 1＋3e 2，CD →
＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.
【解析】 由已知可得：BD →＝CD →－CB →
＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1
－4e 2，∵A ，B ，D 三点共线，
∴AB →与BD →共线，即存在λ∈R 使得AB →＝λBD →
. ∴2e 1＋ke 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2， ∵e 1，e 2不共线，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝2，k ＝－4λ，
解得k ＝－8. 【答案】 －8 三、解答题
8．已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面
ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点．求下
列各式中x 、y 的值．
(1)OQ →
＝PQ →
＋xPC →
＋yPA →
； (2)PA →
＝xPO →
＋yPQ →
＋PD →
. 【解】 如图所示，
(1)∵OQ →＝PQ →－PO →
＝PQ →
－12(PA →＋PC →
)
＝PQ →－12PA →－12PC →
，
∴x ＝y ＝－1
2.
(2)∵PA →
＋PC →
＝2PO →
， ∴PA →
＝2PO →
－PC →
. 又∵PC →
＋PD →
＝2PQ →
， ∴PC →
＝2PQ →
－PD →
.
从而有PA →
＝2PO →
－(2PQ →
－PD →
)＝2PO →
－2PQ →
＋PD →
. ∴x ＝2，y ＝－2.
9. 如图3­1­11，四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形，且不共面，M 、N 分别是AC 、BF 的中点，判断CE →
与MN →
是否共线．
图3­1­11
【解】 ∵M 、N 分别是AC 、BF 的中点， 又四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形，
∴MN →
＝MA →
＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →
.
又∵MN →
＝MC →
＋CE →
＋EB →
＋BN →
＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴12
CA →＋AF
→
＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12
FB →.∴CE →＝CA →
＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)， ∴CE →
＝2MN →
，∴CE →
∥MN →
，即CE →
与MN →
共线．
[能力提升层次]
1．(2014·XX 高二检测)若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →
＝αPB →
＋βPC →
，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 若α＋β＝1，则PA →
－PB →
＝β(PC →
－PB →
)，即BA →
＝βBC →
，显然，A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有AB →
＝λBC →
，故PB →
－PA →
＝λ(PC →
－PB →
)，整理得PA →
＝(1＋λ)PB →
－λPC →
，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.
【答案】 C
2．(2014·雅礼高二月考)已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →
＝PB 1→
＋7BA →
＋6AA 1→
－4A 1D 1→
，那么M 必
( )
A ．在平面BAD 1内
B ．在平面BA 1D 内
C ．在平面BA 1
D 1内 D ．在平面AB 1C 1内
【解析】 由于PM →
＝PB 1→
＋7BA →
＋6AA 1→
－4A 1D 1→
＝PB 1→
＋BA →
＋6BA 1→
－4A 1D 1→
＝PB 1→
＋B 1A 1→
＋6BA 1→
－4A 1D 1→
＝PA 1→
＋6(PA 1→
－PB →
)－4(PD 1→
－PA 1→
)＝11PA 1→
－6PB →
－4PD 1→
，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面，故选C.
【答案】 C
3．已知两非零向量e 1、e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．
①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．
【解析】 当λ＝0时，a ＝μe 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μe 2知，a 与e 1、e 2共面．
【答案】①②③
4. 如图3­1­12所示，M ，N 分别是空间四边形ABCD 的棱AB ，
CD 的中点．
图3­1­12
试判断向量MN →
与向量AD →
，BC →
是否共面． 【解】由图形可得：MN →
＝MA →
＋AD →
＋DN →
，① ∵MN →
＝MB →
＋BC →
＋→
，②
又MA →＝－MB →，DN →
＝－→
， 所以①＋②得， 2MN →＝AD →＋BC →
，
即MN →
＝12AD →＋12BC →
，故向量MN →与向量AD →，BC →共面．。