2013年秋期初一数学培优资料11
初一数学资料培优汇总精华
第一讲 数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成m n （0,,n m n ≠互质）。
4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】：1、若||||||0,a b ab ab a b ab+-则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。
4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（A.2aB.2a -C.0D.2b5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ）A.2B.3C.9D.66、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a，b 的形式，求20062007a b +。
8、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。
初一数学资料培优汇总(精华)
第一讲 数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成m n（0,,n m n ≠互质）。
4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】： 1、若||||||0,a b ab ab a b ab+- 则的值等于多少？2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求22006200()()()x a b c d x a b c d -+++++-的值。
4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ b ） A.2a B.2a - C.0 D.2b5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ c ） A.2 B.3 C.9 D.66、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c ab c c a a b------中有几个负数？7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a，b 的形式，求20062007a b +。
8、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c abbcac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。
初中数学培优辅导资料(11—20讲)
初中数学竞赛辅导资料（11）二元一次方程组解的讨论甲内容提要1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）乙例题例1. 选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+cy ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10, c=14。
② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。
解得a=10, c ≠14。
③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解，即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=23152331a y a x ∵⎩⎨⎧>>00y x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-0231502331a a 解不等式组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><531331a a 解集是6311051<<a 答：当a 的取值为6311051<<a 时，原方程组的解是正数。
七年级数学培优班讲义(教师版)
初一数学根底知识讲义一、 第一讲 和绝对值有关的问题知识结构框图：二、 绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：〔Ⅰ〕|a|≥0即|a|是一个非负数；〔Ⅱ〕|a|概念中蕴含分类讨论思想。
典型例题例1．〔数形结合思想〕a 、b 、c 在数轴上位置如图：那么代数式 | a | + | a+b | +|c-a|-|b-c| 的值等于〔 A 〕A ．-3aB ． 2c －aC ．2a －2bD ．b解：| a | + |a+b |+|c-a|-|b-c|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。
脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。
这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值〔 C 〕A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如下图：所以 )()(--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x1111++++分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。
虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3．〔分类讨论的思想〕甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；假设数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧〞意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。
初一数学下学期培优训练小专题10 平行线中的角平分线综合问题
初一数学下学期培优训练小专题10 平行线中的角平分线综合问题【例题讲解】如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．（1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系：________；（2）若∠BEF＝12∠BAK，求∠AHE；（3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE 边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值．解：（1）∵AB∥CD∴∠KEH=∠AFH∵∠AHE=∠AFH+∠FAH∴∠AHE=∠KEH+∠FAH故答案为：∠AHE=∠KEH+∠FAH（2）设∠BEF=x∵∠BEF= 12∠BAK，∠BEC=2∠BEF∴∠BAK=∠BEC=2x∵AK平分∠BAG∴∠BAK=∠KAG=2x由（1）的结论可得：∠AME=2x+2x=4x，∠AHE=2x+3x=5x∵AG⊥BE∴∠G=90°∴∠AME+∠KAG=2x+4x=90°∴x=15°∴∠AHE=5x=75°；（3）由（2）可得，∠KHE=105°，∠BEF=15°，∠HEK=45°，∠NEG=30°，∠ENG=60°①当KH∥NG时5°×t=60°-30°=30°∴t=6②当KE∥GN时5°×t=60°∴t=12③当HE∥GN时5°×t=45°+60°=105°∴t=21④当HK∥EG时，5°×t=180°-30°-30°=120°∴t=24⑤当HK∥EN时，5t=150°∴t=30综上所述，t的值为：6或12或21或24或30．【综合演练】1．如图，直线PQ∥MN，一副直角三角板ABC、DEF中∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE ＝30°，∠DEF ＝60°．(1)若△ABC ，△DEF 如图1摆放时，则∠PDE ＝ ．(2)若图1中△ABC 固定，将△DEF 沿着AC 方向平移，边DF 与直线PQ 相交于点G ，作∠FGQ 和∠GF A 的角平分线GH 、FH 相交于点H （如图2），求∠GHF 的度数．(3)若图1中△DEF 固定，（如图3）将ABC 绕点A 顺时针旋转，30秒转半圈，旋转至AC 与直线AN 首次重合的过程中，当线段BC 与DEF 的一条边平行时，求旋转的时间．2．已知，直线AB ∥CD ，AD 与BC 交于点E ．(1)如图1，100AEC ∠=︒，则ABC ADC ∠+∠=_________°；(2)如图2，ABC ADC ∠∠，的平分线交于点F ，则F ∠与AEC ∠有怎样的数量关系，请说明理由；(3)如图3，(),3AEC ABC αβαβ∠=∠=>，在ADC ∠的平分线上任取一点P ，连接PB ，当12ABP PBC ∠=∠时，请直接写出BPD ∠的度数（用含有αβ、的式子表示）．3．已知AB ∥CD ，∠ABE 的角分线与∠CDE 的角分线相交于点F ．（1）如图1，若BM 、DM 分别是∠ABF 和∠CDF 的角平分线，且∠BED ＝100°，求∠M 的度数；（2）如图2，若∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，∠BED ＝α°，求∠M 的度数； （3）若∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1n∠CDF ，请直接写出∠M 与∠BED 之间的数量关系．4．阅读下面材料：小亮遇到这样问题：如图1，已知AB CD ∥，EOF 是直线AB 、CD 间的一条折线．判断CFO ∠、BEO ∠、DFO ∠三个角之间的数量关系．小亮通过思考发现：过点O 作OP AB ∥，通过构造内错角，可使问题得到解决．(1)请回答：EOF ∠、BEO ∠、DFO ∠三个角之间的数量关系是__________．(2)如图2，将ABC 沿BA 方向平移到DEF （B 、D 、E 共线），50B ∠=︒，AC 与DF 相交于点G ，GP 、EP 分别平分CGF ∠、FEA ∠相交于点P ，求P ∠的度数；(3)如图3，直线m n ∥，点B 、F 在直线m 上，点E 、C 在直线n 上，连接FE 并延长至点A ，连接BA 、BC 和CA ，做CBF ∠和CED ∠的平分线交于点M ，若ADC α∠=，则M ∠=__________（直接用含α的式子表示）．5．如图1，已知两条直线AB ，CD 被直线EF 所截，分别交于点E ，点F ，EM 平分∠AEF 交CD 于点M ，且∠FEM ＝∠FME ．(1)判断直线AB 与直线CD 是否平行，并说明理由；(2)如图2，点G 是射线MD 上一动点（不与点M ，F 重合），EH 平分∠FEG 交CD 于点H ，过点H 作HN ⊥EM 于点N ，设∠EHN ＝α，∠EGF ＝β．①当点G 在点F 的右侧时，若β＝56°，求α的度数；②当点G 在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．6．已知AB CD ∥，连接A ，C 两点．(1)如图1，CAB ∠与ACD ∠的平分线交于点E ，则AEC ∠等于__________度；(2)如图2，点M 在射线AB 反向延长线上，点N 在射线CD 上．AMN ∠与ACN ∠的平分线交于点E ．若45AMN ∠=︒，70ACN ∠=︒，求MEC ∠的度数；(3)如图3，图4，M ，N 分别为射线AB ，射线CD 上的点，AMN ∠与ACN ∠的平分线交于点E ．设AMN α∠=，()ACN βαβ∠=≠，请直接写出图中MEC ∠的度数（用含α，β的式子表示）．7．（1）【问题情境】小明翻阅自己数学学习笔记时发现，数学老师在讲评七下《伴你学》第6页“迁移应用”第1题时，曾做过如下追问：如图1，已知AB CD ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，点G 为平面内一点，当点G 在AB 、CD 之间，且在线段EF 左侧时，连接EG 、FG ，则一定有AEG CFG G ∠+∠=∠，为什么？请帮助小明再次说明理由；（2）【变式思考】如图2，当点G 在AB 上方时，且90EGF ∠=︒，请直接写出BEG ∠与DFG ∠之间的数量关系______；（3）【迁移拓展】①如图3，在（2）的条件下，过点E 作直线HK 交直线CD 于K ，使HEG ∠与GEB ∠互补，作EKD ∠的平分线与直线GE 交于点L ，请你判断FG 与KL 的位置关系，并说明理由；②在①的条件下，第一次操作；分别作∠BEL 和∠DKL 的平分线，交点为L 1；第二次操作，分别作∠BEL 1和∠DKL 1的平分线，交点为L 2；……第n 次操作，分别作∠BEL n-1和∠DKL n-1的平分线，交点为L 、则∠L n =______．8．已知：直线AB ∥CD ，一块三角板EFH ，其中∠EFH =90°，∠EHF =60°．(1)如图1，三角板EFH 的顶点H 落在直线CD 上，并使EH 与直线AB 相交于点G ，若∠2=2∠1，求∠1的度数；(2)如图2，当三角板EFH 的顶点F 落在直线AB 上，且顶点H 仍在直线CD 上时，EF 与直线CD 相交于点M ，试确定∠E 、∠AFE 、∠MHE 的数量关系；(3)如图3，当三角板EFH 的顶点F 落在直线AB 上，顶点H 在AB 、CD 之间，而顶点E 恰好落在直线CD 上时得△EFH ，在线段EH 上取点P ，连接FP 并延长交直线CD 于点T ，在线段EF 上取点K ，连接PK 并延长交∠CEH 的角平分线于点Q ，若∠Q -∠HFT =15°，且∠EFT =∠ETF ，求证：PQ ∥FH ． 9．对于平面内的M ∠和N ∠，若存在一个常数0k >，使得360M k N ∠+∠=︒，则称N ∠为M ∠的k 系补周角，若90,45M N ∠=∠=︒︒，则N ∠为M ∠的6系补周角．(1)若80H ∠=︒，则H ∠的4系补周角的度数为__________︒．(2)在平面内AB CD ，点E 是平面内一点，连接BE DE 、．①如图1，60D ∠=︒，若B ∠是E ∠的3系补周角，求B ∠的度数．②如图2，ABE ∠和CDE ∠均为钝角，点F 在点E 的右侧，且满足ABF n ABE ∠=∠，CDF n CDE ∠=∠（其中n 为常数且1n >），点P 是ABE ∠角平分线BG 上的一个动点，在P 点运动过程中，请你确定一个点P 的位置，使得BPD ∠是F ∠的k 系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k 值（用含n 的式子表示）． 10．如图，直线,AB CD EF CD ⊥∥分别交AB 、CD 于点E 、F ，射线EP 、EQ 分别从EC 、EF 同时开始绕点E 顺时针旋转，分别与直线AB 交于点M 、N ，射线EP 每秒转10︒，射线EQ 每秒转5︒，点O 是PMN ∠、MNQ ∠角平分线的交点．设旋转时间为t 秒（08t <<）．(1)①用含t 的代数式表示：AMP ∠=___________︒，QNB ∠=__________︒；②当4t =时，OMN ∠=____________︒；(2)试探索MON ∠与ONM ∠的数量关系，并说明理由；(3)MEF ∠的角平分线与直线MO 交于点K ，直接写出MKE ∠的度数为___________．11．已知点C 在线段AE 上，AB CD ∥，EAB ∠的角平分线交CD 于点F ，M 为线段CF 上一动点，连接EM ．(1)如图①，当40FAB ∠=︒，25E ∠=︒时，求EMF ∠的度数．(2)如图②，N 为射线AB 上一动点，连接FN ，使得FN EM ∥，作CFN ∠的角平分线交AB 于点G ，猜想E ∠与AFG ∠的数量关系，并说明理由．(3)如图③，在（2）的条件下，作GH GF ⊥，并延长FN 交GH 于点H ，已知3426E AFG ∠-∠=︒，求EAF GHF ∠+∠的度数．12．已知：AB //CD ，点E 在直线AB 上，点F 在直线CD 上．（1）如图①，EM 平分∠BEF ， FN 平分∠CFE ，试判断EM 与FN 的位置关系，并说明理由；（2）如图②，EG平分∠MEF，EH平分∠AEM，试判断∠GEH与∠EFD的数量关系，并说明理由；答案与解析【例题讲解】如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．（1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系：________；（2）若∠BEF＝12∠BAK，求∠AHE；（3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE 边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值．解：（1）∵AB∥CD∴∠KEH=∠AFH∵∠AHE=∠AFH+∠FAH∴∠AHE=∠KEH+∠FAH故答案为：∠AHE=∠KEH+∠FAH（2）设∠BEF=x∵∠BEF= 12∠BAK，∠BEC=2∠BEF∴∠BAK=∠BEC=2x∵AK平分∠BAG∴∠BAK=∠KAG=2x由（1）的结论可得：∠AME=2x+2x=4x，∠AHE=2x+3x=5x∵AG⊥BE∴∠G=90°∴∠AME+∠KAG=2x+4x=90°∴x=15°∴∠AHE=5x=75°；（3）由（2）可得，∠KHE=105°，∠BEF=15°，∠HEK=45°，∠NEG=30°，∠ENG=60°①当KH∥NG时5°×t=60°-30°=30°∴t=6②当KE∥GN时5°×t=60°∴t=12③当HE∥GN时5°×t=45°+60°=105°∴t=21④当HK∥EG时，5°×t=180°-30°-30°=120°∴t=24⑤当HK∥EN时，5t=150°∴t=30综上所述，t的值为：6或12或21或24或30．【综合演练】1．如图，直线PQ∥MN，一副直角三角板ABC、DEF中∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE ＝30°，∠DEF ＝60°．(1)若△ABC ，△DEF 如图1摆放时，则∠PDE ＝ ．(2)若图1中△ABC 固定，将△DEF 沿着AC 方向平移，边DF 与直线PQ 相交于点G ，作∠FGQ 和∠GF A 的角平分线GH 、FH 相交于点H （如图2），求∠GHF 的度数．(3)若图1中△DEF 固定，（如图3）将ABC 绕点A 顺时针旋转，30秒转半圈，旋转至AC 与直线AN 首次重合的过程中，当线段BC 与DEF 的一条边平行时，求旋转的时间． 【答案】(1)15°(2)67.5°(3)5秒或15秒或20秒【分析】（1）如图2，过点E 作EK MN ⊥，利用平行线性质即可求得答案；（2）如图3，分别过点F 、H 作//FL MN ，//HR PQ ，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （3）设旋转时间为t 秒，由题意旋转速度为30s 转半圈，即每秒转6︒，分三种情况：①当//BC DE 时，②当//BC EF 时，③当//BC DF 时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．（1）如图2，过点E 作//EK MN ，45BAC ∠=︒，45KEA BAC ∴∠=∠=︒，//PQ MN ，//EK MN ，//PQ EK ∴，PDE DEK DEF KEA ∴∠=∠=∠-∠，又60DEF ∠=︒．604515PDF ∴∠=︒-︒=︒；故答案为：15︒；（2）解：如图3，分别过点F 、H 作//FL MN ，//HR PQ ，45LFA BAC ∴=∠=︒，RHG QGH ∠=∠，//FL MN ，//HR PQ ，//PQ MN ，////∴FL PQ HR ，180QGF GFL ∴∠+∠=︒，RHF HFL HFA LFA ∠=∠=∠-∠，FGQ ∠和GFA ∠的角平分线GH 、FH 相交于点H ，12QGH FGQ ∴∠=∠，12HFA GFA ∠=∠，30DFE ∠=︒，180150GFA DFE ∴∠=-∠=︒，1752HFA GFA ∴∠=∠=︒，754530RHF HFL HFA LFA ∴∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒，15045105GFL GFA LFA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，()1118010537.522RHG QGH FGQ ∴∠=∠=∠=︒-︒=︒，37.53067.5GHF RHG RHF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒； （3）解：设旋转时间为t 秒，由题意旋转速度为30秒转半圈，即每秒转6︒，分三种情况：当//BC DE 时，如图5，此时//AC DF ，30CAE DFE ∴∠=∠=︒，630t =，解得：5t =；②当//BC EF 时，如图6，//BC EF ，45BAE B ∴∠=∠=︒，454590BAM BAE EAM ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，690t =，解得：15t =；③当//BC DF 时，如图7，延长BC 交MN 于K ，延长DF 交MN 于R ，453075DRM EAM DFE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，75BKA DRM ∴∠=∠=︒，18090ACK ACB ∠=︒-∠=︒，9015CAK BKA ∴∠=︒-∠=︒，1801804515120CAE EAM CAK ∴∠=-∠-∠=︒-︒-︒=︒，6120t ∴=，解得：20t =，综上所述，ABC 绕点A 顺时针旋转的时间为5s 或15s 或20s 时，线段BC 与DEF 的一条边平行．【点评】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键．2．已知，直线AB ∥CD ，AD 与BC 交于点E ．(1)如图1，100AEC ∠=︒，则ABC ADC ∠+∠=_________°；(2)如图2，ABC ADC ∠∠，的平分线交于点F ，则F ∠与AEC ∠有怎样的数量关系，请说明理由；(3)如图3，(),3AEC ABC αβαβ∠=∠=>，在ADC ∠的平分线上任取一点P ，连接PB ，当12ABP PBC ∠=∠时，请直接写出BPD ∠的度数（用含有αβ、的式子表示）．【答案】(1)100；(2)∠F =12AEC ∠，理由见解析； (3)∠BPD =1126αβ-，证明见解析． 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠BAD =∠ADC ，结合图象及三角形外角的性质即可得出结果；（2）设AD 与BF 的交点为G ，BC 与DF 的交点为H ，根据三角形内角和定理及对顶角相等得出∠BAD +∠ABF =∠F +∠ADF ①，∠BCD +∠CDF =∠F +∠CBF ②，结合角平分线可得∠BAD +∠BCD =2∠F ，找准图中各角之间的数量关系即可得出结果；（3）利用三角形外角的性质得出∠ADC=α-∠BCD，由平行线的性质可得∠ABC=∠BCD=β，结合角平分线及各角之间的数量关系进行等量代换求解即可得出结果．(1)解：∵AB∥CD，∴∠BAD=∠ADC，∵∠AEC是∆ABE的一个外角，∴∠AEC=∠ABC+∠BAD，∴∠AEC=∠ABC+∠ADC，∵∠AEC=100°，∴∠ABC+∠ADC=100°，故答案为：100；(2)解：∠F=12AEC，理由如下：设AD与BF的交点为G，BC与DF的交点为H，∵∠BAD+∠ABF+∠AGB=180°，∠AGB=∠DGF，∠F+∠ADF+∠DGF=180°，∴∠BAD+∠ABF=∠F+∠ADF①，∵∠BCD+∠CDF+∠CHD=180°，∠F+∠CBF+∠BHF=180°，∠BHF=∠CHD，∴∠BCD+∠CDF=∠F+∠CBF②，①+②得：∠BAD+∠ABF+∠BCD+∠CDF=2∠F+∠CBF+∠ADF，∵BF平分∠ABC，DF平分∠ACD，∴∠ABF=∠CBF，∠CDF=∠ADF，∴∠BAD+∠BCD=2∠F，∵∠BAD=∠AEC-∠ABC，∠BCD=∠AEC-∠ADC，∴∠BAD+∠BCD=2∠AEC-∠AEC=∠AEC，∴2∠F=∠AEC，∴∠F =12∠AEC ； (3)解：∠BPD =1126αβ-，理由如下： 如图所示，DF 平分ADC ∠，且12ABP PBC ∠=∠，连接AP ，∵∠AEC 是∆ECD 的一个外角，∠AEC =α，∴∠AEC =∠BCD +∠ADC =α，∴∠ADC =α-∠BCD ，∵AB ∥CD ，∠ABC =β，∴∠ABC =∠BCD =β，∴∠ADC =∠DAB =α-β，∵DP 是∠ADC 的角平分线，∴∠ADP =12∠ADC =()12αβ-， ∵∠ABP =12∠PBC ， ∴∠PBC =2∠ABP ，∵∠ABP +∠PBC =∠ABC =β，∴∠ABP +2∠ABP =β，即3∠ABP =β，在∆ADP 中，∠APD +∠DAP +∠ADP =180°，即∠BPD +∠APB +∠DAP +∠ADP =180°，在∆ABP 中，∠BAP +∠APB +∠ABP =180°，即∠DAP +∠DAB +∠APB +∠ABP =180°，∴∠BPD +∠APB +∠DAP +∠ADP =∠DAP +∠DAB +∠APB +∠ABP ，∴∠BPD +∠ADP =∠DAB +∠ABP ，∴∠BPD +()1123αβαββ-=-+， ∴∠BPD =1126αβ-． 【点评】题目主要考查平行线的性质，三角形内角和与外角的性质，角平分线的定义等，理解题意，找准图中各角之间的数量关系是解题关键．3．已知AB ∥CD ，∠ABE 的角分线与∠CDE 的角分线相交于点F ．（1）如图1，若BM 、DM 分别是∠ABF 和∠CDF 的角平分线，且∠BED ＝100°，求∠M 的度数；（2）如图2，若∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，∠BED ＝α°，求∠M 的度数； （3）若∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1n∠CDF ，请直接写出∠M 与∠BED 之间的数量关系．【答案】（1）65°（2）3606α︒-︒（3）2n ∠M +∠BED =360° 【分析】（1）首先作EG ∥AB ，FH ∥AB ，利用平行线的性质可得∠ABE +∠CDE =260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF +∠CDF =130°，从而得到∠BFD 的度数，再根据角平分线的定义可求∠M 的度数；（2）先由已知得到∠ABE =6∠ABM ，∠CDE =6∠CDM ，由（1）得∠ABE +∠CDE =360°-∠BED ，∠M =∠ABM +∠CDM ，等量代换即可求解；（3）先由已知得到ABF n ABM ∠=∠，CDF n CDM ∠=∠，由（2）的方法可得到2n ∠M +∠BED =360°．【解析】解：（1）如图1，作//EG AB ，//FH AB ，∵AB CD ∥，∴EG AB FH CD ∥∥∥，∴ABF BFH ∠=∠，CDF DFH ∠=∠，180ABE BEG ∠+∠=︒，180GED CDE ∠+∠=︒，4．阅读下面材料：小亮遇到这样问题：如图1，已知AB CD ∥，EOF 是直线AB 、CD 间的一条折线．判断CFO ∠、BEO ∠、DFO ∠三个角之间的数量关系．小亮通过思考发现：过点O 作OP AB ∥，通过构造内错角，可使问题得到解决．(1)请回答：EOF ∠、BEO ∠、DFO ∠三个角之间的数量关系是__________．(2)如图2，将ABC 沿BA 方向平移到DEF （B 、D 、E 共线），50B ∠=︒，AC 与DF 相交于点G ，GP 、EP 分别平分CGF ∠、FEA ∠相交于点P ，求P ∠的度数；(3)如图3，直线m n ∥，点B 、F 在直线m 上，点E 、C 在直线n 上，连接FE 并延长至点A ，连接BA 、BC 和CA ，做CBF ∠和CED ∠的平分线交于点M ，若ADC α∠=，则M ∠=__________（直接用含α的式子表示）． 【答案】(1)EOF BEO DFO ∠=∠+∠(2)65︒(3)1902α︒- 【分析】（1）根据平行线的性质求出∠EOM=∠BEO ，∠FOM=∠DFO ，即可求出答案；（2）由DF ∥BC ，AC ∥EF ，推出∠EDF =∠B =50°，∠F=∠CGF ,推出∠DEF +∠F =180°-50°=130°，再由三角形内角和定理可得∠P +∠FGP =∠F +∠FEP ,由此即可解决问题；（3）由()1111180902222M FBM CEM FBC CEM αα∠=∠+∠=∠+∠=︒-=︒-即可解决问题． (1)如图1中，∵AB ∥OP ，∴∠EOP =∠BEO ，∵AB ∥CD ，∴OP ∥CD ，∴∠FOP =∠DFO ，∴∠EOP +∠FOP =∠BEO +∠DFO ，即∠EOF =∠BEO +∠DFO ．故答案为：∠EOF =∠BEO +∠DFO ．(2)如图2中，∵DF ∥BC ，AC ∥EF ，∴∠EDF =∠B =50°，∠F =∠CGF ，∴∠DEF +∠F =180°-50°=130°∵GP 、EP 分别平分CGF ∠、FEA ∠∴12FEP DEF ∠=∠,12FGP FGC ∠=∠ ∴∠P =∠F +∠FEP -∠FGP =11112222F DEF FGC F DEF F ∠+∠-∠=∠+∠-∠, ∴()11165222P F DEF DEF P ∠=∠+∠=∠+∠=︒． (3)如图3中，由（1）易知∠M =∠FBM +∠CEM ,∵BF ∥EC ，∴∠DCE=∠DBF ，∵∠DEC +∠DCE =180°-α，BM 和EM 平分CBF ∠和CED ∠,∴12FBM FBC ∠=∠,12CEM CED ∠=∠, ∴()1111122222FBM CEM FBC CED DCE CED DCE CED ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠ ∴()111809022FBM CEM αα∠+∠=︒-=︒-. ∴1902M α∠=︒-. 故答案为：1902α︒-． 【点评】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．如图1，已知两条直线AB ，CD 被直线EF 所截，分别交于点E ，点F ，EM 平分∠AEF 交CD 于点M ，且∠FEM ＝∠FME ．(1)判断直线AB 与直线CD 是否平行，并说明理由；(2)如图2，点G 是射线MD 上一动点（不与点M ，F 重合），EH 平分∠FEG 交CD 于点H ，过点H 作HN ⊥EM 于点N ，设∠EHN ＝α，∠EGF ＝β．①当点G 在点F 的右侧时，若β＝56°，求α的度数；②当点G 在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】(1)AB ∥CD ，理由见解析；(2)①28α=︒；②当点G 在点F 的右侧时，12αβ=；当点G 在点F 的左侧时， 1902βα︒=-；理由见解析【分析】（1）依据角平分线，可得∠AEF =∠FME ，根据∠FEM =∠FME ，可得∠AEF =∠FEM ，进而得出AB ∥CD ；（2）①依据平行线的性质可得∠AEG =124°，再根据EH 平分∠FEG ，EM 平分∠AEF ，即可得到∠MEH =12∠AEG =62°，再根据HN ⊥ME ，即可得到Rt △EHN 中，∠EHN =90°-62°=28°；②分两种情况进行讨论：当点G 在点F 的右侧时，12αβ=．当点G 在点F 的左侧时， 1902βα︒=-． （1）解：∵EM 平分∠AEF ，∴∠AEM =∠MEF ，又∵∠FEM =∠FME ，∴∠AEM =∠EMF ，∴AB ∥CD ；（2）解：①如图2，∵AB∥CD，β=56°，∴∠AEG=124°，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF=12∠FEG，∠MEF=12∠AEF，∴∠MEH=12∠AEG=62°，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-62°=28°，即α=28°；②分两种情况讨论：如图2，当点G在点F的右侧时，α=12β．证明：∵AB∥CD，∴∠AEG=180°-β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF=12∠FEG，∠MEF=12∠AEF，∴∠MEH=12∠AEG=12（180°-β），又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-∠MEH=90°1 2（180°-β）=12β，即α=12β；如图3，当点G在点F的左侧时，α=90°-12β．证明：∵AB ∥CD ，∴∠AEG =∠EGF =β，又∵EH 平分∠FEG ，EM 平分∠AEF ，∴∠HEF =12∠FEG ，∠MEF =12∠AEF ，∴∠MEH =∠MEF -∠HEF=12（∠AEF -∠FEG ） =12∠AEG =12β，又∵HN ⊥ME ，∴Rt △EHN 中，∠EHN =90°-∠MEH ，即α=90°12-β． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；利用角的和差关系进行推算．6．已知AB CD ∥，连接A ，C 两点．(1)如图1，CAB ∠与ACD ∠的平分线交于点E ，则AEC ∠等于__________度；(2)如图2，点M 在射线AB 反向延长线上，点N 在射线CD 上．AMN ∠与ACN ∠的平分线交于点E ．若45AMN ∠=︒，70ACN ∠=︒，求MEC ∠的度数；(3)如图3，图4，M ，N 分别为射线AB ，射线CD 上的点，AMN ∠与ACN ∠的平分线交于点E ．设AMN α∠=，()ACN βαβ∠=≠，请直接写出图中MEC ∠的度数（用含α，β的式子表示）． 【答案】(1)90；(2)57.5MEC ∠=︒；(3)18022αβ︒-+或18022αβ︒+-【分析】（1）根据平行线的性质可得180CAB ACD ︒∠+∠=，根据角平分线的定义可得90CAE ACE ︒∠+∠=，从而可求出AEC ∠；（2）过E 作EF ∥AB ，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可．（3）分两种情况，过E 作EF ∥AB ，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可．（1）,AB CD ∥180,CAB ACD ︒∴∠+∠=∵CAB ∠与ACD ∠的平分线交于点E ，11,,22CAE CAB ACE ACD ∴∠=∠∠=∠ 1()902CAE ACE CAB ACD ︒∴∠+∠=∠+∠= 180()90AEC CAE ACE ︒︒∴∠=-∠+∠=即90AEC ︒∠=故答案为：90︒（2）如图，过点E 作EF AB ∥，∴FEM AME ∠=∠．∵AB CD ∥，∴EF CD ∥．∴FEC ECN ∠=∠．∴MEC FEM FEC AME ECN ∠=∠+∠=∠+∠．∵ME 平分AMN ∠，CE 平分ACN ∠，∴114522.522AME AMN ︒∠=∠=⨯=︒， 11703522ECN ACN ∠=∠==︒⨯︒． ∴22.53557.5MEC ∠=︒+︒=︒；（3）过点E 作,EF AB ∥如图3，∵∠AMN 与∠ACN 的平分线交于点E ，∠,(),AMN ACN αβαβ=∠=≠∴11,22AME AMN α∠=∠=∠1122DCE ACN β=∠= ,B EF A ∥180,MEF AME ︒∴∠+∠=11801802MEF AME α︒︒∴∠=-∠=- ,AB CD ∥,EF CD ∴∥1,2CEF DCE β∴∠=∠= 1118022MEC MEF CEF αβ︒∴∠=∠+∠=-+ 如图4，∵AB //CD,EF CD ∴∥1,2MEF AME α∴∠=∠= ∵AB //CD,EF CD ∴∥180,CEF DCE ︒∴∠+∠=11801802CEF DCE β︒︒∴∠=-∠=- 1118022MEC MEF CEF αβ︒∴∠=∠+∠=+- 综上，MEC ∠的度数为18022αβ︒-+或18022αβ︒+-【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，作出适当的辅助线，结合图形等量代换是解答此题的关键．7．（1）【问题情境】小明翻阅自己数学学习笔记时发现，数学老师在讲评七下《伴你学》第6页“迁移应用”第1题时，曾做过如下追问：如图1，已知AB CD ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，点G 为平面内一点，当点G 在AB 、CD 之间，且在线段EF 左侧时，连接EG 、FG ，则一定有AEG CFG G ∠+∠=∠，为什么？请帮助小明再次说明理由；（2）【变式思考】如图2，当点G 在AB 上方时，且90EGF ∠=︒，请直接写出BEG ∠与DFG ∠之间的数量关系______；（3）【迁移拓展】①如图3，在（2）的条件下，过点E 作直线HK 交直线CD 于K ，使HEG ∠与GEB ∠互补，作EKD ∠的平分线与直线GE 交于点L ，请你判断FG 与KL 的位置关系，并说明理由；②在①的条件下，第一次操作；分别作∠BEL 和∠DKL 的平分线，交点为L 1；第二次操作，分别作∠BEL 1和∠DKL 1的平分线，交点为L 2；……第n 次操作，分别作∠BEL n-1和∠DKL n-1的平分线，交点为L 、则∠L n =______．【答案】（1）理由见解析；（2）90BEG DFG ∠-∠=︒；（3）①FG ∥KL ，理由见解析，②902n︒ 【分析】（1）过点G 作GH AB ∥，则AB CD GH ∥∥，根据平行线的性质即可求解；（2）过点G 作GH AB ∥，则AB CD GH ∥∥，根据平行线的性质即可求解；（3）①根据HEG ∠与GEB ∠互补，可得AEG HEG ∠=∠，即GL 平分BEK ∠，根据角平分线的定义，进而可得90BEL LKD ELK ∠+∠=∠=︒，即可得出FG KL ⊥；②根据①的结论，求得12,L L 发现规律，即可求解．【解析】（1）如图，过点G 作GH AB ∥，则AB CD GH ∥∥，,AEG EGH HGF CFG ∠=∠∠=∠，AEG CFG EGH FGH EGF ∴∠+∠=∠+∠=∠；（2）如图，过点G 作GH AB ∥，则AB CD GH ∥∥，180,180BEG EGH HGF DFG ∠+∠=︒∠+∠=︒，180,180BEG EGH DFG FGH ∴∠=︒-∠∠=︒-∠，FGH FGE HGE ∠=∠+∠，()()180180BEG DFG EGH FGH ∴∠-∠=︒-∠-︒-∠180180EGH FGE HGE =︒-∠-︒+∠+∠FGE =∠，90EGF ∠=︒，∴90BEG DFG ∠-∠=︒；（3）①HEG ∠+GEB ∠=180°，180GEB AEG ∠+∠=︒，AEG HEG ∴∠=∠，GE ∴是AEH ∠的角平分线，BEK AEH ∠=∠，EL ∴平分BEK ∠，BEL KEL ∴∠=∠，又KL 平分EKD ∠，EKL DKL ∴∠=∠，AB CD ∥，180BEK EKD ∴∠+∠=︒，同（1）可得ELK BEL DKL ∠=∠+∠1122BEK EKD =∠+∠ 11802=⨯︒ 90=︒，又∵∠EGF =90°，∴∠EGF =∠ELK ,∴FG ∥KL ；②根据题意可得11111902222L BEL DKL ELK ∠=∠+∠=∠=⨯︒ 同理可得21112111119090222222L BEL DKL L ︒∠=∠+∠=∠=⨯⨯︒= ……902n nL ︒∴∠=．故答案为：902n︒ 【点评】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的性质，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．8．已知：直线AB ∥CD ，一块三角板EFH ，其中∠EFH =90°，∠EHF =60°．(1)如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2=2∠1，求∠1的度数；(2)如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；(3)如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD 上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK 并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q-∠HFT=15°，且∠EFT=∠ETF，求证：PQ∥FH．【答案】(1)∠1=40°(2)∠AFE=∠E+∠MHE，理由见解析(3)见解析【分析】（1）利用两直线平行，同位角相等和平角的意义解答即可；（2）利用平行线的性质和三角形内角和定理的推论解答即可；（3）设∠AFE=x，利用平行线的性质和角平分线的定义在△QEP中，通过计算∠QPE=60°，利用同位角相等，两直线平行判定即可得出结论．（1）解：∵AB∥CD，∴∠1=∠CHG．∵∠2=2∠1，∴∠2=2∠CHG．∵∠CHG+∠EHF+∠2=180°，∴3∠CHG+60°=180°．∴∠CHG=40°．∴∠1=40°；（2）9．对于平面内的M ∠和N ∠，若存在一个常数0k >，使得360M k N ∠+∠=︒，则称N ∠为M ∠的k 系补周角，若90,45M N ∠=∠=︒︒，则N ∠为M ∠的6系补周角．(1)若80H ∠=︒，则H ∠的4系补周角的度数为__________︒．(2)在平面内AB CD ，点E 是平面内一点，连接BE DE 、．①如图1，60D ∠=︒，若B ∠是E ∠的3系补周角，求B ∠的度数．②如图2，ABE ∠和CDE ∠均为钝角，点F 在点E 的右侧，且满足ABF n ABE ∠=∠，CDF n CDE ∠=∠（其中n 为常数且1n >），点P 是ABE ∠角平分线BG 上的一个动点，在P 点运动过程中，请你确定一个点P 的位置，使得BPD ∠是F ∠的k 系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k 值（用含n 的式子表示）． 【答案】(1)70︒(2)①75°；②当BG 上的动点P 为CDE ∠的角平分线与BG 的交点时，满足BPD ∠是F ∠的k 系补周角，此时2k n =【分析】（1）根据题中新定义列出方程求解，即可得出答案．（2）①过点E 作EF ∥AB ，得B D BED ∠+∠=∠，由60D ∠=︒，B ∠是E ∠的3系补周角，列出B ∠的方程，即可求出B ∠的度数．②根据k 系补周角的定义先确定点P 的位置，再结合ABF n ABE ∠=∠，CDF n CDE ∠=∠求解与n 的关系即可求解．（1）解：设H ∠的4系补周角为x ，根据题意，有80＋4x ＝360解得x ＝70°．故答案为：70°．（2）①解：如图，过点E 作EF AB ∥，∴B BEF ∠=∠，∵,AB CD EF AB ∥∥∴EF CD ，∵60D ∠=︒，∴60D DEF ∠=∠=︒，∵60B BEF DEF ∠+︒=∠+∠，即60B BED ∠+︒=∠∵B ∠是BED ∠的3系补周角，∴3360BED B ∠+∠=︒，∴603360B B ∠+︒+∠=︒，∴75B ∠=︒．②解：当BG 上的动点P 为CDE ∠的角平分线与BG 的交点时，满足BPD ∠是F ∠的k 系补周角，此时2k n =．若BPD ∠是F ∠的k 系补周角，则F ∠＋k BPD ∠=360°，∴k BPD ∠=360°－F ∠，由图可知360ABF CDF F ∠+∠+∠=︒，即360ABF CDF F ∠+∠=︒-∠，∴k BPD ∠＝ABF CDF ∠+∠，又∵ABF n ABE ∠=∠，CDF n CDE ∠=∠，∴k BPD ∠＝n ABE ∠＋n CDE ∠，∵BPD ∠＝PHD ∠＋PDH ∠，ABCD ，PG 平分ABE ∠，PD 平分CDE ∠， ∴PHD ∠＝ABH ∠＝12ABE ∠，PDH ∠＝12CDE ∠，∴2k ＝()ABE CDE ∠+∠＝n ()ABE CDE ∠+∠ ∴2k n =．【点评】本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义，理解题意是解题的关键． 10．如图，直线,AB CD EF CD ⊥∥分别交AB 、CD 于点E 、F ，射线EP 、EQ 分别从EC 、EF 同时开始绕点E 顺时针旋转，分别与直线AB 交于点M 、N ，射线EP 每秒转10︒，射线EQ 每秒转5︒，点O 是PMN ∠、MNQ ∠角平分线的交点．设旋转时间为t 秒（08t <<）．(1)①用含t 的代数式表示：AMP ∠=___________︒，QNB ∠=__________︒；②当4t =时，OMN ∠=____________︒；(2)试探索MON ∠与ONM ∠的数量关系，并说明理由；(3)MEF ∠的角平分线与直线MO 交于点K ，直接写出MKE ∠的度数为___________． 【答案】(1)①10t ，(90−5t )；70(2)MON ∠=ONM ∠，理由见解析(3)45°【分析】（1）①由平行线的性质及垂直关系、旋转关系即可求得结果；②由①得∠AMP 的度数，再由互补关系、角平分线的意义即可求得；（2）两者相等，由（1）中①可得∠PMN 及∠QNM ，再由角平分线的性质可得∠OMN 、∠ONM ，由三角形内角和得∠MON ，即可判断∠MON 与∠ONM 的数量关系；（3）由题意可求得∠MEK 与∠KME 的度数，由三角形内角和即可求得∠MKE 的度数．(1)①由题意得：∠CEP =10°t =(10t )°，∠FEQ =5°t ．∵AB ∥CD ，∴∠AMP =∠CEP = (10t )°，∠QNB =∠DEQ ．∵EF ⊥CD ，∴∠DEQ =90°−∠FEQ =90°−5°t =(90−5t )°．∴∠QNB =(90−5t )°．故答案为：10t ，（90-5t ）；②当t =4时，由①得：∠AMP =10°×4=40°，∴∠PMN =180°−∠AMP =140°．∵MO 平分∠PMN ，∴111407022OMN PMN ∠=∠=⨯︒=︒． 故答案为：70；(2)MON ∠=ONM ∠，理由如下：由（1）中①知：∠AMP = (10t )°，∠QNB =(90−5t )°，∴∠PMN =180°−∠AMP =(180−10t )°，∠QNM =180°−∠QNB =(90+5t )°．∵MO 平分∠PMN ， NO 平分∠MNQ ，∴1(905)2OMN PMN t ∠=∠=-︒，11(905)22ONM QNM t ∠=∠=+︒． ∴1180(905)2MON OMN ONM t ∠=︒-∠-∠=+︒． ∴∠MON =∠ONM ．(3)∵EF ⊥CD ，∠CEP = (10t )°，∴∠MEF =90°−∠CEP =(90-10t )°．∵EK 平分∠MEF ，∴11(9010)45(5)22MEK MEF t t ∠=∠=-︒=︒-︒． ∵()(905)1090(5)KME OMN EMF OMN AMP t t t ∠=∠+∠=∠+∠=-︒+︒=︒+︒，∴在△EMK 中，18045MKE KME MEK ∠=︒-∠-∠=︒．故答案为：45°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的意义，垂直的意义，三角形内角和定理，关键是熟练掌握它们并灵活运用．11．已知点C 在线段AE 上，AB CD ∥，EAB ∠的角平分线交CD 于点F ，M 为线段CF 上一动点，连接EM ．(1)如图①，当40FAB ∠=︒，25E ∠=︒时，求EMF ∠的度数．(2)如图②，N 为射线AB 上一动点，连接FN ，使得FN EM ∥，作CFN ∠的角平分线交AB 于点G ，猜想E ∠与AFG ∠的数量关系，并说明理由．(3)如图③，在（2）的条件下，作GH GF ⊥，并延长FN 交GH 于点H ，已知3426E AFG ∠-∠=︒，求EAF GHF ∠+∠的度数． 【答案】(1)105︒(2)2E AFG ∠=∠，理由见解析(3)77︒【分析】（1）先由AF 平分EAB ∠得出80EAB ∠=︒，再根据平行线的性质得出80ECD EAB ∠=∠=︒，进而根据EMF E ECM ∠=∠+∠得出答案．（2）首先设CAF FAG x ∠=∠=，得2ECF x ∠=，再设CFG GFN y ∠=∠=，得2EMF CFN y ∠=∠=，最后根据三角形外角定理用x ，y 的代数式表示出E ∠和AFG ∠即可得出答案．（3）设AFG α∠=，则E ∠为2α，根据题目所给条件得出13AFG ∠=︒，进而由（2）中条件得出答案．（1）∵AF 平分EAB ∠，∴224080EAB FAB ∠=∠=⨯︒=︒，∵AB CD ∥，∴80ECD EAB ∠=∠=︒，∵在ECM ∆中，EMF E ECM ∠=∠+∠，∴8025105EMF ∠=︒+︒=︒．（2）猜想：2E AFG ∠=∠理由：设CAF FAG x ∠=∠=，∴2ECF x ∠=，∵GF 平分CFN ∠，∴设CFG GFN y ∠=∠=，∵AB CD ∥，∴FGN CFG y ∠=∠=，∵EM FN ∥，∴2EMF CFN y ∠=∠=，在ECM ∆中，()222E EMF ECF y x y x ∠=∠-∠=-=-，在AGF ∆中，AFG FGN FAG y x ∠=∠-∠=-，∴2E AFG ∠=∠．（3）设AFG α∠=，则E ∠为2α，∵3426E AFG ∠-∠=︒，∴6426αα-=︒，∴13α=︒，∴13AFG ∠=︒，由（2）得()90909077EAF GHF x y y x AFG ∠+∠=+-=--=-∠=︒．【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质以及三角形外角定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外角定理并能灵活运用．12．已知：AB //CD ，点E 在直线AB 上，点F 在直线CD 上．（1）如图①，EM 平分∠BEF ， FN 平分∠CFE ，试判断EM 与FN 的位置关系，并说明理由；（2）如图②，EG 平分∠MEF ，EH 平分∠AEM ，试判断∠GEH 与∠EFD 的数量关系，并说明理由；【答案】（1）//EM FN ，见解析；（2）2EFD GEH ∠=∠，见解析【分析】（1）由平行线的性质可得∠BEF =∠CFE ，再根据角平分线的定义得到∠MEF =∠EFN ，则EM //FN ；。
初一数学培优专题讲义
初一数学基础知识讲义第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成：()()() ||0a aa aa a⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。
脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。
这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。
虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。
初一数学竞赛培优讲义 含答案 全册 共15讲 改好98页
装订线初一数学竞赛培优第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。
5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0； 2．带余形式：a=bq+r ；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数。
例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。
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第一讲 数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成（互质）。
m n 0,,n m n ≠4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：① ② 非负性 (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩2(||0,0)a a ≥≥③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】： 1、若的值等于多少？||||||0,a b ab ab a b ab+- 则 2． 如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（ ）m m A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求a b c d x的值。
220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图a b 所示，那么化简的结果等于（||||a b a b -++ A. B. C.0 D.2a 2a -2b5、已知，求的值是（ ）2(3)|2|0a b -+-=b a A.2 B.3 C.9 D.66、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么中有几个负数？,,a b b c c a b c c a a b------ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示,a b a +为0，，的形式，求。
b ab 20062007a b +8、三个有理数的积为负数，和为正数，且,,a b c 则的值是多少？||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++321ax bx cx +++9、若为整数，且，试求的,,a b c 20072007||||1a b c a -+-=||||||c a a b b c -+-+-值。
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第一讲 数系扩张-—有理数（一)一、【典型例题解析】：1、若||||||0,a b ab ab a b ab+-则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B 。
倒数 C.绝对值 D 。
平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2,求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。
4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所示,那么||||a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D 。
2b5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C 。
9 D 。
66、 有3个有理数a ，b ，c,两两不等，那么,,a b b c c ab c c a a b------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数,既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，ba，b 的形式，求20062007a b +。
8、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=,试求||||||c a a b b c -+-+-的值. 三、课堂备用练习题。
1、计算：1+2-3—4+5+6-7-8+…+2005+20062、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1）3、计算：59173365129132********+++++- 4、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=,求,a b 的所有可能值。
5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=，求||abc abc第二讲 数系扩张-—有理数(二）二、【典型例题解析】：1、 (1）若20a -≤≤,化简|2||2|a a ++-（2）若0x，化简|||2||3|||x x x x ---2、设0a,且||ax a ≤,试化简|1||2|x x +-- 3、a 、b 是有理数,下列各式对吗？若不对，应附加什么条件?(1)||||||;a b a b +=+ （2）||||||;ab a b = （3）||||;a b b a -=- （4）若||a b =则a b = （5）若||||a b ，则a b （6）若a b ，则||||a b4、若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。
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第一讲 数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成m n（0,,n m n ≠互质）。
4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】：1、若||||||0,a b ab ab a b ab+-则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。
4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（A.2aB.2a -C.0D.2b5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ）A.2B.3C.9D.66、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a，b 的形式，求20062007a b +。
8、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。
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第一讲数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成（互质）。
4、性质：①顺序性（可比较大小）；②四则运算的封闭性（0不作除数）；③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：①②非负性③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。
ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】：1、若的值等于多少？2．如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的值。
4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图所示，那么化简的结果等于（A. B. C.0 D.5、已知，求的值是（）A.2B.3C.9D.66、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么中有几个负数？7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示为0，，的形式，求。
8、三个有理数的积为负数，和为正数，且则的值是多少？9、若为整数，且，试求的值。
三、课堂备用练习题。
1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+20062、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)3、计算：4、已知为非负整数，且满足，求的所有可能值。
5、若三个有理数满足，求的值。
第二讲数系扩张--有理数（二）一、【能力训练点】：1、绝对值的几何意义①表示数对应的点到原点的距离。
②表示数、对应的两点间的距离。
2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。
二、【典型例题解析】：1、（1）若，化简（2）若，化简2、设，且，试化简3、、是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）（2）（3）（4）若则（5）若，则（6）若，则4、若，求的取值范围。
5、不相等的有理数在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果，那么B点在A、C的什么位置？6、设，求的最小值。
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第一讲 数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成m n（0,,n m n ≠互质）。
4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】：1、若||||||0,a b ab ab a b ab+-f 则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。
4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（A.2aB.2a -C.0D.2b5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ）A.2B.3C.9D.66、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a，b 的形式，求20062007a b +。
8、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。
人教版数学七年级上册培优强化训练11
培优强化训练111、(10分)小明从A 处向北偏东0'7238方向走10m 到达B 处，小亮也从A 处出发向南偏西0'1538方向走15m 到达C 处,则∠BAC 的度数为 度。
2、(10分）平面内三条直线两两相交，最多有a 个交点,最少有b 个交点，则a+b=_____、3、（10分)某水果公司以2元／千克的单价新进了10000千克柑橘，为了合理定出销售价格，水果公司需将运输中损坏的水果成本折算到没有损坏的水果售价中.销售人员从柑橘中随机抽取若干柑橘统计柑橘损坏情况,结果如下表.如果公司希望全部售完这批柑橘能够获得5000元利润,那么在出售柑橘时,每千克大约定价 元.柑橘质量(千克)50 200500损坏的质量（千克）5、5019、42 51、54 4、(10分)计算2a －3（a －b ）的结果是 ( ） Ａ.－a －3bＢ。
a －3bＣ。
a+3bＤ。
－a+3b5、（10分）汽车以72千米/时的速度在公路上行驶,开向寂静的山谷,驾驶员揿一下喇叭,4秒后听到回响,这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340米/秒.设听到回响时,汽车离山谷x 米,根据题意,列出方程为 ( ) Ａ。
24204340x +⨯=⨯ Ｂ。
24724340x -⨯=⨯ Ｃ。
24724340x +⨯=⨯Ｄ.24204340x -⨯=⨯6、（10分）有一个商店把某件商品按进价加20%作为定价，可是总卖不出去;后来老板按定价降价20％以96元出售,很快就卖掉了、则这次生意的赢亏情况为 ( ） A.亏4元 B 、亏24元 C 、赚6元 D 、不亏不赚、7、(每题10分,共20分)(1）计算(－10)3+[]2)31()4(22⨯--- ； (2）解方程：6751413-=--y y 。
8、 (20分）某市水果批发部门欲将A 市的一批水果运往本市销售,有火车和汽车两种运输方式,运输过程中的损耗均为200元/时.其它主要参考数据如下: 运输工具途中平均速度 （千米/时）运费 (元/千米） 装卸费用 （元) 火车 100 15 2000 汽车8020900（1）如果选择汽车的总费用比选择火车费用多1100元，你知道本市与A 市之间的路程是多少千米吗?请你列方程解答。
初一数学资料培优汇总(精华整理版)
第一讲 数系扩张-—有理数（一） 一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成mn（0,,n m n ≠互质）。
4、性质：① 顺序性（可比较大小)； ② 四则运算的封闭性(0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质:① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a≥≥③ 非负数的性质: i)非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0,则他们都为0。
二、【典型例题解析】：1、若||||||0,a b ab aba b ab+-则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数,那么m 一定小于它的（ )A 。
相反数B 。
倒数C 。
绝对值 D.平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2，求220062007()()()xa b cd x a b cd -+++++-的值.4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示,那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B 。
2a - C 。
0 D.2b5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ）A 。
2B 。
3 C.9 D.66、 有3个有理数a ，b,c ，两两不等,那么,,a b b c c ab c c a a b------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数,既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a，b 的形式，求20062007ab +。
8、 三个有理数,,a b c 的积为负数,和为正数,且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。
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行知辅教2013年秋期初一数学培优资料（11）
——一元一次方程提高练习
一、典型例题
例1、解下列方程：
（1）
2121136
x x -+=- （2）32122234x x ⎡⎤⎛⎫--=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；
（3）0.30.2 1.550.70.20.5x x --+=
例2、已知1x =是方程11322
mx x =-的解，求代数式22007(79)m m -+的值。
例3、关于x 的方程(21)6k x -=的解是正整数，求整数k 的值。
例4、解方程 532=+++x x
例5、一项工程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？
例6、某商店将彩电按原价提高40%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍可获利270元，那么每台彩电原价是多少？
例7、某校初三年级学生参加社会实践活动，原计划租用30座客车若干辆，但还有15人无座位。
（1）设原计划租用30座客车x辆，试用含x的代数式表示该校初三年级学生的总人数；（2）现决定租用40座客车，则可比原计划租30座客车少一辆，且所租40座客车中有一辆没有坐满，只坐35人。
请你求出该校初三年级学生的总人数。
过关检测：
1、下列各式中是一元一次方程的是( )。
A 、1232x y -=-
B 、2341x x x -=-
C 、1123y y -=+
D 、1226x x
-=+ 2、根据“x 的3倍与5的和比x 的
13多2”可列方程( )。
A 、3525x x +=
- B 、3523x x +=+ C 、3(523x x +=-） D 、3(523x x +=+） 3、解方程20.250.1x 0.10.030.02
x -+=时，把分母化为整数，得( )。
A 、200025101032x x -+= B 、20025100.132
x x -+= C 、20.250.10.132x x -+= D 、20.250.11032
x x -+= 4、三个正整数的比是1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是( )。
A 、56
B 、48
C 、36
D 、12
5、方程2152x kx x -+=-的解为-1时，k 的值为( )。
A 、10
B 、-4
C 、-6
D 、-8
6、国家规定工职人员每月工资超出800元以上部分缴纳个人所得税的20%，小英的母亲10月份交纳了45.89的税，小英母亲10月份的工资是( )。
A 、8045.49元
B 、1027.45元
C 、1227.45元
D 、1045.9元
7、某市举行的青年歌手大奖赛今年共有a 人参加，比赛的人数比去年增加 20%还多3人，设去年参赛的人数为x 人，则x 为( )。
A 、3120%a ++
B 、(120%)3a ++
C 、 3120%
a -+ D 、(120%)3a +- 8、某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服，一件赚25%，一件赔25%，在这次交易中，该商人( )。
A 、赚16元
B 、赔16元
C 、不赚不赔
D 、无法确定
9、完成一项工程甲需要a 天，乙需要b 天，则二人合做需要的天数为( )。
A 、a b +
B 、2a b +
C 、ab a b +
D 、a b ab
+ 10、一个长方形的长是宽的4倍多2厘米，设长为x 厘米，那么宽为( )厘米。
A 、2x - B 、42x - C 、
42x - D 、24x -
12、若27133m m -+与互为相反数，则m =( )。
A 、10 B 、－10 C 、43 D 、43
- 二、填空题
1、今年母女二人年龄之和53,10年前母女二人年龄之和是 ，已知10年前母亲的年龄是女儿年龄的10倍，如果设10年前女儿的年龄为x ，则可将方程 。
2、如果a 、b 分别是一个两位数的十位上的数和个位上的数，那么把十位上的数与个位上的数字对调后的两位数是 。
3、方程456,x y -=用含x 的代数式表示y 得 ，用含y 的代数式表示x 得 。
4、如果方程340x +=与方程3418x k +=是同解方程，则k= 。
5、单项式1414
x a b +与9a 2x-1b 4是同类项，则x= 。
6、若52x +与29x -+是相反数，则x-2的值为 。
三、解答题
1、方程23(1)0x -+=的解与关于x 的方程
3222k x k x +--=的解互为倒数，求k 的值。
2、已知x=-1是关于x 的方程328490x x kx -++=的一个解，求23159k k --5的值。
3、某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时，不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件？
4、甲、已两个团体共120人去某风景区旅游。
风景区规定超过80人的团体可购买团体票，已知每张团体比个人票优惠20%，而甲、已两团体人数均不足80人，两团体决定合起来买 团体票，共优惠了 480元，则团体票每张多少钱？。