基于微孔限流孔板的超临界流体流量计量方法研究
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许多学者都对用在测量圆截面管路中的普通节流装置做 了大量研究并已形成规范的计算公式。 ＧＢＴ ２６２４—２００６ 和 ＢＳ
基 金 项 目：国 家 自 然 科 学 基 金 项 目 （ ５１２７３０１９） 收 稿 日 期 ：２０１５ －０２ －０５ 收 修 改 稿 日 期 ：２０１５ －０６ －１０
２０１５ 年 第 １１ 期
仪表技术与传感器
Ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ａｎｄ Ｓｅｎｓｏｒ
２０１５ Ｎｏ畅１１
基于微孔限流孔板的超临界流体流量计量方法研究
李忠鹏，闫宝瑞，信春玲，何亚东
（ 北京化工大学机电工程学院，北京 100029）
摘要：文中介绍了应用微孔限流孔板进行限流的超临界流体输送系统的流体流量计量方法，详细阐述了用于计量的 数学模型，并通过实验和 ＭＡＴＬＡＢ 拟合确定出模型中的相应系数。 通过这一数学模型建立了输送超临界流体的体积流 量与输送压力、出口背压和限流孔板孔径之间的数学关系，这样在限流孔板固定和已知出口背压的情况下可通过设定超 临界流体的输送压力获得预期的输送流量。 关键词：超临界流体；输送系统；微孔孔板；数学模型；流量计量 中图分类号：ＴＰ２１６ 文献标识码： Ｂ 文章编号：１００２－１８４１（２０１５）１１－０１０５－０３
度为 １２６．１ Ｋ；临界压力为 ３．４ ＭＰａ；标况下的密度为 １．２５ ｇ ／Ｌ。 实验中 Ｎ２ 的温度取室温 １５ ℃。 输送压力在 １０ ＭＰａ 以上，处 于超临界状态。
第 １１ 期
李忠鹏等：基于微孔限流孔板的超临界流体流量计量方法研究
１ ０７
实验中分别更换 ４ 种不同限流孔径的限流孔板，并改变背 压和气体输送压力实现改变限流元件在不同压差下测定气体 流量的目的。 针对每一种孔径的限流孔板出口背压分别选取 １３ ＭＰａ、１５ ＭＰａ 和 １７ ＭＰａ，再根据不同的背压调节气体输送压 力使得限流元件的前后压差在 ０～４ ＭＰａ 内均匀变化，对每组背 压测定 ７ 组不同压差下的气体流量，因此对于每一种限流孔径 的限流孔板取 ３ 组背压，共可以取得 ２１ 组不同压差下的体积 流量。 通过这些实测数据便可以通过数据拟合确定式（ ８） 中的 系数 K１ 和 K２ 。 3 数据拟合及分析
经这一限流元件的流量。
2 实验验证部分
2．1 实验装置说明
为了验证上文得出模型的正确性，本文设计了实验装置用
于 ＳＣＦ 的产生和输送，系统原理图如图 ２ 所示。 其中 p１ 是限流
元件上游气体压力，p２ 为限流元件下游气体压力。
图 2 实验装置原理图
2．2 实验材料及内容 实验中的发泡剂选择普通 Ｎ２ ，基本物理性质如下：临界温
（ ２） 假设在流动的过程中没有能量损耗；
（ ３） 假设管路中输送的常用发泡剂是理想气体。
1．3 数学模型的推导
１．３．１ 气体在限流孔板前后的流动状态
气体在限流孔板前后的流动状态［３］ 如图 １ 所示，气体在界
面 １ 以前以某一速度流动，管道的直径为 D。 当流体流经限流
１ ０６
Ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ａｎｄ Ｓｅｎｓｏｒ
的流速；p２ 、ρ２ 和 v２ 分别为截面 ２ 处的气体压力、气体密度和气
体的流速。
对截面 １ 和截面 ２ 依据质量守恒定律列出连续性方程如
式（ ３） 所示：
ρ１ S１ v１ ＝ρ２ S２ v２
（ ３）
式中：S１ 和 S２ 分别为气体流经截面 １ 和截面 ２ 处的截面积。
式（２） 和式（３）联立可以得到截面 １ 处的气体流速 v１ 的表
达式如式（ ４） 所示：
v１ ＝
２
p１ ρ１
ｌｎp１
p２ －
ρ２
ｌｎp２
ρ１ S１
２
－１
（ ４）
ρ２ S２
根据等温过程下的理想气体的状态方程：
p１ V１ ＝p２ V２ 式中：V１ 、V２ 分别为不同状态下气体的体积。
可以对式 （ ４） 化简可得计算体积流量 Qｖ 的计算式如式 （ ５） 所示：
Qｖ ＝S１ v１ ＝S１
Ｍａｔｌａｂ 提供了许多功能强大的数据拟合函数，本文中使用 的是“ｎｌｉｎｆｉｔ（）” 多元非线性曲线拟合函数，对于给定的数据，根 据基本流体力学方程推导的数学模型拟合出模型中的待定常 数。
图 1 气体在限流孔板前后的流动状态
１．３．２ 通过限流孔板的通用数学模型
对图 １ 中的截面 １ 和截面 ２ 列出理想气体等温过程的伯努
利方程如式（ ２） 所示：
p１ ρ１
ｌｎp１
v２１ ＋
２
p２ ＝
ρ２
ｌｎp２
v２２ ＋
２
（ ２）
式中：p１ 、ρ１ 和 v１ 分别为截面 １ 处的气体压力、气体密度和气体
Abstract：Ａ ｍｅｔｅｒｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｒａｔｅ ｉｎ ｔｈｅ ｓｕｐｅｒｃｒｉｔｉｃａｌ ｆｌｕｉｄ ｔｒａｎｓｐｏｒｔｉｎｇ ｓｙｓｔｅｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍｉｃｒｏ －ｐｅｒｆｏｒａｔｅｄ ｏｒｉｆｉｃｅ ｐｌａｔｅ ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ．Ａ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｗａｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ａｎｄ ｉｔｓ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｗｅｒｅ ｆｉｔｔｅｄ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ｄａｔａ ａｎｄ ＭＡＴＬＡＢ．Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ａｍｏｎｇ ｖｏｌｕｍｅ ｆｌｏｗ ｒａｔｅ ｏｆ ｓｕｐｅｒｃｒｉｔｉｃａｌ ｆｌｕｉｄ ，ｄｅｌｉｖｅｒｙ ｐｒｅｓｓｕｒｅ，ｂａｃｋ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ａｎｄ ｄｉａｍｅｔｅｒ ｏｆ ｍｉ － ｃｒｏ－ｐｅｒｆｏｒａｔｅｄ ｏｒｉｆｉｃｅ ｐｌａｔｅ ｗａｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ．Ｂｙ ｔｈｉｓ ｗａｙ，ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｒａｔｅ ｏｆ ｓｕｐｅｒｃｒｉｔｉｃａｌ ｆｌｕｉｄ ｃａｎ ｂｅ ｏｂ － ｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ｄｅｌｉｖｅｒｙ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｂａｃｋ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ａｎｄ ｄｉａｍｅｔｅｒ ｏｆ ｍｉｃｒｏ －ｐｅｒｆｏｒａｔｅｄ ｏｒｉｆｉｃｅ ｐｌａｔｅ ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ． Key words：ｓｕｐｅｒｃｒｉｔｉｃａｌ ｆｌｕｉｄ；ｔｒａｎｓｐｏｒｔｉｎｇ ｓｙｓｔｅｍ；ｍｉｃｒｏ－ｐｅｒｆｏｒａｔｅｄ ｏｒｉｆｉｃｅ；ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ；ｆｌｏｗ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ
Research of Method on Measuring Supercritical Fluid Flow Based on Micro－perforated Orifice Plate
ＬＩ Ｚｈｏｎｇ－ｐｅｎｇ，ＹＡＮ Ｂａｏ－ｒｕｉ，ＸＩＮ Ｃｈｕｎ－ｌｉｎｇ，ＨＥ Ｙａ－ｄｏｎｇ （School of Mechanical and Electrical Engineering，Beijing University of Chemical Technology，Beijing 100029，China）
Ｎｏｖ畅２０１５
孔板时，流体的截面会突然收缩，因为质量守恒流体的流速也 会突然增大。 当气体流过限流小孔后，在惯性的作用下，流体 截面会沿着流动方向继续收缩一定的距离至流体的截面最小 处，既图中截面 ２。 流体流动截面最小处称为缩脉，气体流过缩 脉以后流动截面积逐渐扩大，流至图中截面 ３ 处，截面积恢复 至管道截面积。
立统一的数学模型进行描述。 即使数学模型相同的情况下。
也要通过大量的实验数据去拟合其中的关键系数。
1．2 数学模型建立的基本假设
基于以下假设，可以得出 ＳＣＦ 在管路中的流动满足理想气
体在等温过程中的伯努利方程，并且满足连续性方程。
（１）假设 ＳＣＦ 在管路中的流动是等温过程，既 ＳＣＦ 的温度
不发生变化且处处相等；
ＥＮ ＩＳＯ ５１６７ 中均可以查得相应条件下的参数值和计算公式，
对于限流孔板的流量计算公式如式（１）所示。 这两个标准要求
圆形管道的公称直径必须在 ５０ ～１ ２００ ｍｍ 之间，同时，节流孔
直径必须大于 １２．５ ｍｍ。 而超出以上范围的节流元件，标准中
给出的公式及计算方式均不适用。
qｍ ＝
C ε
0 引言 超临界流体（ ｓｕｐｅｒｃｒｉｔｉｃａｌ ｆｌｕｉｄ，ＳＣＦ），指在临界压力（ Pｃ ）
及临界温度（Tｃ ）以上并具备气体和液体双重性质的流体，它不 仅有液体对溶质有较大溶解度的特点，而且还有气体易于扩散 和运动的特性，传质速率远远高于液相过 程， 因 为 这 些 特 点 ＳＣＦ 技术得到了广泛应用 ［１］ ，例如超临界 Ｎ２ 或 ＣＯ２ 可以作为 物理发泡剂用于制备力学性能无明显下降或优异而重量明显 降低并且尺寸更加稳定的泡沫塑料［２］ 。 当前国内在这方面的 研究处于起步阶段，制约该技术快速发展的因素诸多，对 ＳＣＦ 的稳定输送和注入量的精确计量便是其中关键因素之一。
１－β４
πd２ ４
２Δpρ１
（ １）
式中：qｍ 为质量流量，ｋｇ ／ｓ；C 为流出系数；β为直径比 d ／D；ε 为膨 胀系数；d 为节流孔径，ｍ；Δp 为压差，Ｐａ；ρ１ 为流体密度，ｋｇ ／ｍ３。
因此，限流元件的限流特性受自身机械尺寸的影响很大并
且影响因素很多，不同机械尺寸的限流元件的流量特性难以建
QｖＬ
＝
２
T０ p０ T１
K１
Sp２ｄ
p０ ρ０
T１ T０
（
ｌｎp１
－ｌｎK２
p２ｄK２ 。
式（ ８） 中其余物理量均可实际测 得， 因 此只 要 通过 实 验测
定在不同的 p１ 和 p２ｄ 下的气体体积流量 QｖＬ ，便可以通过数据拟 合的方法得到式（８） 中的无法直接测的系数 K１ 和 K２ 。 这样， 在限流孔径定以后，就可以根据限流元件上下游压差来计算流
度 ρ１ 转换为标况下的气体密度 ρ０ ，同样将压力为 p１ 状态下的
体积流量 Qｖ 转化为标况下的体积流量 QｖＬ ，则最终得到在实际
工作条件下标况下的体积流量 QｖＬ 的表达式如式（７） 所示：
QvＬ
＝
２
T０ p０ T１
S２
p２
p０ ρ０
T１ T０
（
ｌｎp１
－ｌｎp２
）
（ ７）
式中：p０ 、ρ０ 和 T０ 分别为标况下的气体压力、密度和温度；T１ 为
实际中使用的是微孔限流孔板，因此节流比较大，既（p１ S１ ／
p２ S２ ） ２ 冲１，分母可以简化为（ p１ S１ ／p２ S２ ） ２ ，则体积流量的表达式 可以简化为式（ ６） ：
Qｖ ＝ ２ S２
p２ p１
p１ ρ１
（ ｌｎp１
－ｌｎp２
）
（ ６）
根据理想气体状态方程将式（６） 中的 p１ 状态下的气体密
在实际工业生产中，气体流量计往往造价昂贵，尤其小流 量气体计量更是如此，因此工业上的 ＳＣＦ 输送系统是不会加设 气体流量计的。 这样要实现对限流式 ＳＣＦ 输送系统中的气体 流量的测量和控制，需要对该低速流动的高压气体进行计量， 并能够根据系统中容易获取的参数（ 如发泡剂输送压力和背 压）计算流体输送流量，从而实现对 ＳＣＦ 的精确计量，满足工业 生产的不同需求。 1 数学模型的推导 1．1 流量限制元件的研究现状
２
p１ ρ１
（ｌｎp１ －ｌｎp２ ）
p１ S１
２
－１
（ ５）
p２ S２
１畅３畅３ 实际条件下数学模型的化简
式（５）是通用的经过限流孔板的体积流量的数学模型。 本
文根据实际限流需求设计加工了 ４ 种不同孔径的微孔限流孔
板，这四种限流孔板的孔长均为 ０．５ ｍｍ，孔径依次为 ０．０３３ ｍｍ、
０．０４８ ｍｍ、０．０５７ ｍｍ 和 ０．０７０ ｍｍ。
工作状态下的热力学温度；p１ 为截面 １ 处的气体压力；p２ 为截
面 ２ 处的气体压力；S２ 为缩脉处的气体横截面积；QｖＬ 的单位为
ｍ３ ／ｓ。
式（７） 中 T１ 、p１ 和 QｖＬ 可以通过实验测得；而 S２ 指的是缩 脉处的气体横截面积，设孔板限流孔的面积为 S，令 μ＝S２ ／S，则 μ称为流束收缩系数，流束收缩系数主要由流体本身的性质、限
流元件前后压差、限流孔板微孔几何结构等因素决定［４］ ，而 μ
只能通过实验方法间接测得；压力 p２ 指的是缩脉处的气体压 力，但是缩脉的实际位置不易判断，只能测定缩脉下游的压力
p２ｄ ，因此需要对实测压力 p２ｄ 进行修正，令 p２ ＝K２ p２ｄ ，这样通过 修正系数 K２ 修正由于测量点偏差带来的误差。 综上所述，最 终应用于实际中的数学模型如式（ ８） 所示：
基 金 项 目：国 家 自 然 科 学 基 金 项 目 （ ５１２７３０１９） 收 稿 日 期 ：２０１５ －０２ －０５ 收 修 改 稿 日 期 ：２０１５ －０６ －１０
２０１５ 年 第 １１ 期
仪表技术与传感器
Ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ａｎｄ Ｓｅｎｓｏｒ
２０１５ Ｎｏ畅１１
基于微孔限流孔板的超临界流体流量计量方法研究
李忠鹏，闫宝瑞，信春玲，何亚东
（ 北京化工大学机电工程学院，北京 100029）
摘要：文中介绍了应用微孔限流孔板进行限流的超临界流体输送系统的流体流量计量方法，详细阐述了用于计量的 数学模型，并通过实验和 ＭＡＴＬＡＢ 拟合确定出模型中的相应系数。 通过这一数学模型建立了输送超临界流体的体积流 量与输送压力、出口背压和限流孔板孔径之间的数学关系，这样在限流孔板固定和已知出口背压的情况下可通过设定超 临界流体的输送压力获得预期的输送流量。 关键词：超临界流体；输送系统；微孔孔板；数学模型；流量计量 中图分类号：ＴＰ２１６ 文献标识码： Ｂ 文章编号：１００２－１８４１（２０１５）１１－０１０５－０３
度为 １２６．１ Ｋ；临界压力为 ３．４ ＭＰａ；标况下的密度为 １．２５ ｇ ／Ｌ。 实验中 Ｎ２ 的温度取室温 １５ ℃。 输送压力在 １０ ＭＰａ 以上，处 于超临界状态。
第 １１ 期
李忠鹏等：基于微孔限流孔板的超临界流体流量计量方法研究
１ ０７
实验中分别更换 ４ 种不同限流孔径的限流孔板，并改变背 压和气体输送压力实现改变限流元件在不同压差下测定气体 流量的目的。 针对每一种孔径的限流孔板出口背压分别选取 １３ ＭＰａ、１５ ＭＰａ 和 １７ ＭＰａ，再根据不同的背压调节气体输送压 力使得限流元件的前后压差在 ０～４ ＭＰａ 内均匀变化，对每组背 压测定 ７ 组不同压差下的气体流量，因此对于每一种限流孔径 的限流孔板取 ３ 组背压，共可以取得 ２１ 组不同压差下的体积 流量。 通过这些实测数据便可以通过数据拟合确定式（ ８） 中的 系数 K１ 和 K２ 。 3 数据拟合及分析
经这一限流元件的流量。
2 实验验证部分
2．1 实验装置说明
为了验证上文得出模型的正确性，本文设计了实验装置用
于 ＳＣＦ 的产生和输送，系统原理图如图 ２ 所示。 其中 p１ 是限流
元件上游气体压力，p２ 为限流元件下游气体压力。
图 2 实验装置原理图
2．2 实验材料及内容 实验中的发泡剂选择普通 Ｎ２ ，基本物理性质如下：临界温
（ ２） 假设在流动的过程中没有能量损耗；
（ ３） 假设管路中输送的常用发泡剂是理想气体。
1．3 数学模型的推导
１．３．１ 气体在限流孔板前后的流动状态
气体在限流孔板前后的流动状态［３］ 如图 １ 所示，气体在界
面 １ 以前以某一速度流动，管道的直径为 D。 当流体流经限流
１ ０６
Ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ａｎｄ Ｓｅｎｓｏｒ
的流速；p２ 、ρ２ 和 v２ 分别为截面 ２ 处的气体压力、气体密度和气
体的流速。
对截面 １ 和截面 ２ 依据质量守恒定律列出连续性方程如
式（ ３） 所示：
ρ１ S１ v１ ＝ρ２ S２ v２
（ ３）
式中：S１ 和 S２ 分别为气体流经截面 １ 和截面 ２ 处的截面积。
式（２） 和式（３）联立可以得到截面 １ 处的气体流速 v１ 的表
达式如式（ ４） 所示：
v１ ＝
２
p１ ρ１
ｌｎp１
p２ －
ρ２
ｌｎp２
ρ１ S１
２
－１
（ ４）
ρ２ S２
根据等温过程下的理想气体的状态方程：
p１ V１ ＝p２ V２ 式中：V１ 、V２ 分别为不同状态下气体的体积。
可以对式 （ ４） 化简可得计算体积流量 Qｖ 的计算式如式 （ ５） 所示：
Qｖ ＝S１ v１ ＝S１
Ｍａｔｌａｂ 提供了许多功能强大的数据拟合函数，本文中使用 的是“ｎｌｉｎｆｉｔ（）” 多元非线性曲线拟合函数，对于给定的数据，根 据基本流体力学方程推导的数学模型拟合出模型中的待定常 数。
图 1 气体在限流孔板前后的流动状态
１．３．２ 通过限流孔板的通用数学模型
对图 １ 中的截面 １ 和截面 ２ 列出理想气体等温过程的伯努
利方程如式（ ２） 所示：
p１ ρ１
ｌｎp１
v２１ ＋
２
p２ ＝
ρ２
ｌｎp２
v２２ ＋
２
（ ２）
式中：p１ 、ρ１ 和 v１ 分别为截面 １ 处的气体压力、气体密度和气体
Abstract：Ａ ｍｅｔｅｒｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｒａｔｅ ｉｎ ｔｈｅ ｓｕｐｅｒｃｒｉｔｉｃａｌ ｆｌｕｉｄ ｔｒａｎｓｐｏｒｔｉｎｇ ｓｙｓｔｅｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍｉｃｒｏ －ｐｅｒｆｏｒａｔｅｄ ｏｒｉｆｉｃｅ ｐｌａｔｅ ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ．Ａ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｗａｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ａｎｄ ｉｔｓ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｗｅｒｅ ｆｉｔｔｅｄ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ｄａｔａ ａｎｄ ＭＡＴＬＡＢ．Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ａｍｏｎｇ ｖｏｌｕｍｅ ｆｌｏｗ ｒａｔｅ ｏｆ ｓｕｐｅｒｃｒｉｔｉｃａｌ ｆｌｕｉｄ ，ｄｅｌｉｖｅｒｙ ｐｒｅｓｓｕｒｅ，ｂａｃｋ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ａｎｄ ｄｉａｍｅｔｅｒ ｏｆ ｍｉ － ｃｒｏ－ｐｅｒｆｏｒａｔｅｄ ｏｒｉｆｉｃｅ ｐｌａｔｅ ｗａｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ．Ｂｙ ｔｈｉｓ ｗａｙ，ｔｈｅ ｆｌｏｗ ｒａｔｅ ｏｆ ｓｕｐｅｒｃｒｉｔｉｃａｌ ｆｌｕｉｄ ｃａｎ ｂｅ ｏｂ － ｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ｄｅｌｉｖｅｒｙ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｂａｃｋ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ａｎｄ ｄｉａｍｅｔｅｒ ｏｆ ｍｉｃｒｏ －ｐｅｒｆｏｒａｔｅｄ ｏｒｉｆｉｃｅ ｐｌａｔｅ ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ． Key words：ｓｕｐｅｒｃｒｉｔｉｃａｌ ｆｌｕｉｄ；ｔｒａｎｓｐｏｒｔｉｎｇ ｓｙｓｔｅｍ；ｍｉｃｒｏ－ｐｅｒｆｏｒａｔｅｄ ｏｒｉｆｉｃｅ；ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ；ｆｌｏｗ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ
Research of Method on Measuring Supercritical Fluid Flow Based on Micro－perforated Orifice Plate
ＬＩ Ｚｈｏｎｇ－ｐｅｎｇ，ＹＡＮ Ｂａｏ－ｒｕｉ，ＸＩＮ Ｃｈｕｎ－ｌｉｎｇ，ＨＥ Ｙａ－ｄｏｎｇ （School of Mechanical and Electrical Engineering，Beijing University of Chemical Technology，Beijing 100029，China）
Ｎｏｖ畅２０１５
孔板时，流体的截面会突然收缩，因为质量守恒流体的流速也 会突然增大。 当气体流过限流小孔后，在惯性的作用下，流体 截面会沿着流动方向继续收缩一定的距离至流体的截面最小 处，既图中截面 ２。 流体流动截面最小处称为缩脉，气体流过缩 脉以后流动截面积逐渐扩大，流至图中截面 ３ 处，截面积恢复 至管道截面积。
立统一的数学模型进行描述。 即使数学模型相同的情况下。
也要通过大量的实验数据去拟合其中的关键系数。
1．2 数学模型建立的基本假设
基于以下假设，可以得出 ＳＣＦ 在管路中的流动满足理想气
体在等温过程中的伯努利方程，并且满足连续性方程。
（１）假设 ＳＣＦ 在管路中的流动是等温过程，既 ＳＣＦ 的温度
不发生变化且处处相等；
ＥＮ ＩＳＯ ５１６７ 中均可以查得相应条件下的参数值和计算公式，
对于限流孔板的流量计算公式如式（１）所示。 这两个标准要求
圆形管道的公称直径必须在 ５０ ～１ ２００ ｍｍ 之间，同时，节流孔
直径必须大于 １２．５ ｍｍ。 而超出以上范围的节流元件，标准中
给出的公式及计算方式均不适用。
qｍ ＝
C ε
0 引言 超临界流体（ ｓｕｐｅｒｃｒｉｔｉｃａｌ ｆｌｕｉｄ，ＳＣＦ），指在临界压力（ Pｃ ）
及临界温度（Tｃ ）以上并具备气体和液体双重性质的流体，它不 仅有液体对溶质有较大溶解度的特点，而且还有气体易于扩散 和运动的特性，传质速率远远高于液相过 程， 因 为 这 些 特 点 ＳＣＦ 技术得到了广泛应用 ［１］ ，例如超临界 Ｎ２ 或 ＣＯ２ 可以作为 物理发泡剂用于制备力学性能无明显下降或优异而重量明显 降低并且尺寸更加稳定的泡沫塑料［２］ 。 当前国内在这方面的 研究处于起步阶段，制约该技术快速发展的因素诸多，对 ＳＣＦ 的稳定输送和注入量的精确计量便是其中关键因素之一。
１－β４
πd２ ４
２Δpρ１
（ １）
式中：qｍ 为质量流量，ｋｇ ／ｓ；C 为流出系数；β为直径比 d ／D；ε 为膨 胀系数；d 为节流孔径，ｍ；Δp 为压差，Ｐａ；ρ１ 为流体密度，ｋｇ ／ｍ３。
因此，限流元件的限流特性受自身机械尺寸的影响很大并
且影响因素很多，不同机械尺寸的限流元件的流量特性难以建
QｖＬ
＝
２
T０ p０ T１
K１
Sp２ｄ
p０ ρ０
T１ T０
（
ｌｎp１
－ｌｎK２
p２ｄK２ 。
式（ ８） 中其余物理量均可实际测 得， 因 此只 要 通过 实 验测
定在不同的 p１ 和 p２ｄ 下的气体体积流量 QｖＬ ，便可以通过数据拟 合的方法得到式（８） 中的无法直接测的系数 K１ 和 K２ 。 这样， 在限流孔径定以后，就可以根据限流元件上下游压差来计算流
度 ρ１ 转换为标况下的气体密度 ρ０ ，同样将压力为 p１ 状态下的
体积流量 Qｖ 转化为标况下的体积流量 QｖＬ ，则最终得到在实际
工作条件下标况下的体积流量 QｖＬ 的表达式如式（７） 所示：
QvＬ
＝
２
T０ p０ T１
S２
p２
p０ ρ０
T１ T０
（
ｌｎp１
－ｌｎp２
）
（ ７）
式中：p０ 、ρ０ 和 T０ 分别为标况下的气体压力、密度和温度；T１ 为
实际中使用的是微孔限流孔板，因此节流比较大，既（p１ S１ ／
p２ S２ ） ２ 冲１，分母可以简化为（ p１ S１ ／p２ S２ ） ２ ，则体积流量的表达式 可以简化为式（ ６） ：
Qｖ ＝ ２ S２
p２ p１
p１ ρ１
（ ｌｎp１
－ｌｎp２
）
（ ６）
根据理想气体状态方程将式（６） 中的 p１ 状态下的气体密
在实际工业生产中，气体流量计往往造价昂贵，尤其小流 量气体计量更是如此，因此工业上的 ＳＣＦ 输送系统是不会加设 气体流量计的。 这样要实现对限流式 ＳＣＦ 输送系统中的气体 流量的测量和控制，需要对该低速流动的高压气体进行计量， 并能够根据系统中容易获取的参数（ 如发泡剂输送压力和背 压）计算流体输送流量，从而实现对 ＳＣＦ 的精确计量，满足工业 生产的不同需求。 1 数学模型的推导 1．1 流量限制元件的研究现状
２
p１ ρ１
（ｌｎp１ －ｌｎp２ ）
p１ S１
２
－１
（ ５）
p２ S２
１畅３畅３ 实际条件下数学模型的化简
式（５）是通用的经过限流孔板的体积流量的数学模型。 本
文根据实际限流需求设计加工了 ４ 种不同孔径的微孔限流孔
板，这四种限流孔板的孔长均为 ０．５ ｍｍ，孔径依次为 ０．０３３ ｍｍ、
０．０４８ ｍｍ、０．０５７ ｍｍ 和 ０．０７０ ｍｍ。
工作状态下的热力学温度；p１ 为截面 １ 处的气体压力；p２ 为截
面 ２ 处的气体压力；S２ 为缩脉处的气体横截面积；QｖＬ 的单位为
ｍ３ ／ｓ。
式（７） 中 T１ 、p１ 和 QｖＬ 可以通过实验测得；而 S２ 指的是缩 脉处的气体横截面积，设孔板限流孔的面积为 S，令 μ＝S２ ／S，则 μ称为流束收缩系数，流束收缩系数主要由流体本身的性质、限
流元件前后压差、限流孔板微孔几何结构等因素决定［４］ ，而 μ
只能通过实验方法间接测得；压力 p２ 指的是缩脉处的气体压 力，但是缩脉的实际位置不易判断，只能测定缩脉下游的压力
p２ｄ ，因此需要对实测压力 p２ｄ 进行修正，令 p２ ＝K２ p２ｄ ，这样通过 修正系数 K２ 修正由于测量点偏差带来的误差。 综上所述，最 终应用于实际中的数学模型如式（ ８） 所示：