2020年高考理科数学 《二项式定理》题型归纳与训练

2020年高考理科数学 《二项式定理》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 二项式定理展开的特殊项
例 在二项式5
21⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A ．10- B ．10
C ．5-
D ．5
【答案】B
【解析】对于()()r r r r
r r r x C x x
C T 3105525111--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，对于2,4310=∴=-r r ，则4x 的项的系数是()101225=-C 【易错点】公式记错，计算错误。

【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，知道什么是系数，会求每一项的系数．
题型二 求参数的值
例 若二项式n x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+21的展开式中,第4项与第7项的二项式系数相等,则展开式6x 的系数为________.(用数字作答)
【答案】9
【解析】根据已知条件可得: 96363=+=⇒=n C C n n , 所以n
x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+21的展开式的通项为23999912121C r r r
r r x C x x T --+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=,令26239=⇒=-r r ,所以所求系数为921292=⎪⎭⎫ ⎝⎛C . 【易错点】分数指数幂的计算
【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，并用其公式求参数的值．
题型三 展开项的系数和
例 已知()()()()10
102210101...111x a x a x a a x -++-+-+=+，则8a 等于( ) A ．180-
B ．180
C ．45
D ．45-
【答案】B
【解析】由于()()[]1010121x x --=+，又()[]10
12x --的展开式的通项公式为： ()[]()()r
r r r r r r r x C x C T -⋅⋅⋅-=--⋅⋅=--+12112101010101，在展开式中8a 是()81x -的系数，所以应取8=r ，
∴()1802128108
8=⋅⋅-=C a . 【易错点】对二项式的整体理解
【思维点拨】本题主要对二项式定理展开式的综合考查，学会构建模型
题型四 二项式定理中的赋值
二项式()932y x -的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和．
【答案】（1）9
2 （2）-1 （3）2
159- 【解析】设()9927281909...32y a y x a y x a x a y x ++++=+ (1)二项式系数之和为9992919
092...=++++C C C C . (2)各项系数之和为()132 (9)
9210-=-=++++a a a a (3)由(2)知1...9210-=++++a a a a ，令1,1-==y x ，得992105...=++++a a a a ，将两式相加，得2
15986420-=++++a a a a a ，即为所有奇数项系数之和． 【思维点拨】本题主要学会赋值法求二项式系数和、系数和，难点在于赋值
【巩固训练】
题型一 二项式定理展开的特殊项
1.在 ()10
2-x 的展开式中，6x 的系数为（ ） A ．41016C B ．41032C C ．6108C - D ．61016C -
【答案】A
【解析】解：()4,610,210101==-∴-=-+r r x C T r r r r ，6x 的系数为()4104
410162C C =- 2．8
22⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中4x 的系数是________ 【答案】1120
【解析】解：r r r r r r r x C x
x C T 316--88281+2=)2()(=，4=316∴r -，解得4=r ，所以4x 的系数为11202484=C
3.在()()6
321x x +-的展开式中，5x 的系数是________ ． （用数字作答） 【答案】228-
【解析】解：()()6
321x x +-的展开式中，5x 的系数是2282226456-=-C C 题型二 求参数的值
1.已知()n
x 31+的展开式中含有2x 的系数是54，则n =________ ． 【答案】4
【解析】解：()n x 31+的展开式中通项公式：()r
r n r n r x C T 311-+= ∵含有2x 的系数是54，∴r =2． ∴ 54322=n C ，可得 62=n
C ，∴()*,621N n n n ∈=÷- ，解得4=n ． 2.在 6
⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x ()0>a 的展开式中常数项的系数是60，则a 的值为________ ． 【答案】2
【解析】解：r r r r r r
r x C a x a x C T 2336661+=)()(=--，令0=2
33r -，解得r=2． ∴ 60262=C a ，a ＞0，解得a=2．
3.在()52x +的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答）
【答案】40
【解析】利用通项公式，,2551r r r r x C T -+=，令3=r ，得出3x 的系数为40235
2=C
题型三 展开项的系数和
1.在 n x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+3的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则 的系数为（ ）
A ．135
B ．405
C ．15
D ．45
【答案】A 【解析】由题意可得6424=n n ，6=∴n 。

r r r r r r r x C x x C T 2366661+3=)3(=--，32
36=-∴r ，2=r ，则3x 的系数为1353262=C
2.若二项式n
x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中各项的系数和为32，则该展开式中含x 的系数为（ ） A ．1 B ．5 C ．10 D ．20
【答案】B
【解析】解：令1=x ，则5,322==n n ， ∴r r r r r r x C x
x C T 23255551+=)1()(=-- 令
1,12
325==-r r ，．∴该展开式中含x 的系数为515=C 3.n x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-2 的二项展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则各项的系数和为________ ．
【答案】-1
【解析】解：因为n
x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-2的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大 所以n =9 令()121,19-=-=x
题型四 二项式定理中的赋值
1.已知()6626
...1211x a bx x ax ++++=+，则实数b 的值为（ ）
A ．15
B ．20
C ．40
D ．60
【答案】D
【解析】解：其展开式的通项为()r
r r ax C T 61=+ ， 则x 的系数为12116=a C ，解得2=a ， 则602226==C b
2.若()6622106
...1x a x a x a a mx ++++=+，且63...621=+++a a a ，则实数m 的值为 ( ) A ．1或3
B ．－3
C ．1
D ．1或－3
【答案】D 【解析】令x ＝0，得()10160=+=a ，令x ＝1，得()62106
...1a a a a m ++++=+，又64...6210=++++a a a a ，∴()66
2641==+m ，∴m ＝1或m ＝－3. 3.的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．
【答案】3
【解析】由已知得()432446411x x x x x ++++=+，故()()4
1x x a ++的展开式中x 的奇数次冥项分别为533,6,,4,4x x x ax ax ，其系数之和为3216144=++++a a ，解得a =3
4()(1)a x x ++a =。