2019-2020年高中数学第1讲优穴二单峰函数练习新人教A版选修

2019-2020年高中数学第1讲优穴二单峰函数练习新人教A版选修、基础达标
1. 关于单峰函数，有下列说法：
①在区间［a, b］上的单峰函数就是只有一个极大值点的函数;
②在区间［a，b］上的单调函数不是单峰函数；
③对有关因素的最佳组合进行选择，这样的问题称为优选问题;
④在试验范围内具有极值性的问题称为具有单峰性的问题
其中正确的个数有()
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析①②④错误，只有③正确•
答案B
2. 下列函数在区间［—10, 10］上是单峰函数的为()
1
A. y=
B.y = cos x
x + 1
B.[ —1, 1]
C. 1
2
D.
1
2
解析 因为2为好点，舍去区间［3 , 4］，存优范围为［1 , 3). 答案［1 , 3) 5.
在粉笔加工设计中，每支粉笔都要丢掉一段一定长的粉笔头，单就这一点来说，愈长
愈好，但太长了，使用起来既不方便，也容易折断，每断一次，必然多浪费一个粉笔 头，反而不合适，因而就出现了“粉笔多长最合适”的问题，技术员王工在长度为 10
cm 至15 cm 范围内经过多次尝试，最后发现 12 cm 长的粉笔最合适.根据上述描述，请
回答下列问题：
(1)这个问题的可控因素是 ___________ ； ⑵这个问题的最佳点是 ___________ .
解析 (1)这个问题是优选问题.这个问题是寻找粉笔的合适长度，因此可控因素是粉笔 的长度. ⑵本题是寻找粉笔的合适长度，因此最佳点就是最合适的粉笔长度，即 12 cm.
(1)粉笔的长度 (2)12 cm
t >0,则函数y = t —
： + 1的最佳点为
2
t — 4t + 1 1
y = t
= t +1—4>— 2（t >0）,
当且仅当t = 1时，y min =— 2. 答案 1 、能力提升 7.
说出下列优选问题中的可控因素 .
① 购房者在选择适合自己的房屋时，会从房屋的位置、价格等不同特性进行对比，从中 选择合适的房子.
② 调配葡萄酒时，需用两种原酒调配而成，如由赤霞珠、梅鹿辄组合成的干红葡萄酒， 经过多次试验，确定两种原酒的最佳比例
③ 做馒头，碱放少了馒头会酸，碱放多了馒头会变黄、变绿且带碱味，碱放多少才合适 呢？
④ 为了加强钢的强度，要在钢中加入碳，加入太多太少都不好，究竟加入多少碳，钢才 能达到最咼强度呢？
解(1)中的可控因素是位置、价格等；
⑵ 两种原酒的比例；(3)加入碱的量； ⑷ 加入碳的量.
__
_ 3
2
8. 已知函数 f (x ) = x + 3ax + 3x + 1.
答案 6.已知 解析
⑴若f(x)在［0 ,+^)上单调，求a的取值范围•
(2)若g(x) = f(x) —3x在［—1, 4］上是单峰函数，求a的取值范围•
2 1
解⑴由f '(x) = 3x + 6ax+ 3》0对任意x>0 恒成立，得—2a<x+-?
x —2a<2? a>— 1.
(2)由g'(x) = f '(x) —3= 3x2+ 6ax= 3x( x+ 2a)，由g'(x) = 0 可得x= 0 或x=—2a.
•••0€ ( —1, 4)，所以一2a?( —1, 4),
1
•••—2a<—1 或一2a>4,即卩a>㊁或a w—2.
一 1 、
故a的取值范围是(一a,—2］U (2，+^ .
9. 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为P万元和Q万元.它们
与投入资金x万元的关系有经验公式P= 5x, Q= 5、x.现有3万元资金投入经营甲、乙两
种商品，为获得最大利润，则对甲、乙两种商品的资金投入分别为多少？并说明此优选
问题是否具有单峰性质.
解设对甲种商品投资x万元，则乙种商品投资为(3 —x)万元，又设所获得的利润总额为
y 万元，由题意有y = ~x + 5 -3—x, x€ ［0 , 3］.令3—x = t，贝U x= 3—t2, t € ［0 , 3］，从而y = 5(3 —12)+ 5t = —g t—+ 20, t € ［0, 3］.当t = ［0, ,3］时，y max
21 9 3 3 9
=20.即知x=3—4=4 3—x=3一4=j.
因此，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元.这个优选问题中的目标函数，经过换元之后为有最大值的二
次函数，而二次函数为单峰函数，因此这个优选问题具有单峰性质三、探究与创新
10. 证明：若目标函数为单峰函数，则最佳点与好点必在差点的同侧
证明下面仅对单峰函数f (x)上凸的情形进行证明.
设点c为［a, b］上的单峰函数f (x)的最大值点，m, n €［a, b］，且f( n) >f (n).因为f (x)
(1)设n€［a, c］，如图，因为
为单峰函数，所以f (x)在［a, c］递增，在［c, b］递减.
m€[n, b].因为n€[a, c]，所以c€[n, b].因此，点m c在点n的右侧.
⑵设n€[ c, b].因为m n €[ a, b]，且f (nj > f ( n)，所以n?[ n, b]，即m^[a, n].因
为n€[c, b]，所以c€[a, n].因此，点m c在点n的左侧.由⑴(2)可知点m c始终在点n的同侧. 2019-2020年高中数学第1讲优穴五其他几种常用的优穴一练习新人教A
一、基础达标
1. 下列说法中，正确的个数为()
①分数法在确定下一个试点时，需要对前两个试点的试验结果进行比较；
1
②对分法、分数法、0.618法均做了2次试验后，才舍弃试验范围的3；
③用对分法做试验较0.618法好，因为每次可以舍弃试验范围的一半；
④若做一次试验，根据结果可以决定下次试验的方向，就可以用对分法
A.1
B.2
C.3
D.4
解析①③④正确，所以正确答案有3个，选C.
答案C
2. 下列说法中，不正确的个数为()
①影响盲人爬山法效果的因素为起点与步长；
②盲人爬山法的原理就是单峰函数的最佳点与好点在差点的同侧；
③盲人爬山法在实践中往往采取“两头大，中间小”，即先在各方向上用大步试探开
始；
④盲人爬山法应用于某些可变因素要调到某点，必须经过由小到大或由大到小的连续过
程的问题.
A.0
B.1
C.2
D.3
B.
解析③应为“两头小，中间大”，而①②④正确，所以答案为
答案B
3. 用0.618法和对分法安排试验，找出蒸馒头时合适的放碱量，哪种方法更有效（）
A.0.618法
B.对分法
C. 一样好
D.无法确定
解析对分法更简单，易操作•
答案B
4. 有一条1 000 m长的输电线路出现了故障，在线路的开始端A处有电，在末端B处没有电，现用对分法检查故障所在位置，则第二次检查点在（）
A.500 m 处
B.250 m 处
C.750 m 处
D.250 m 或750 m 处
解析若在AB的中点测试有电，则第二次检查点为750 m处；若AB的中点检查没电，则
第二次检查点为250 m处.
答案D
5. 用对分法进行试验，4次试验后精度为____________ .
|1 4 1
解析精度S 4= = ~.
<2）16
答案1
6. 用对分法寻找最佳点时，达到精度为0.01的要求至少需要_____________ 次试验.
解析由2n三血？心7，
•••至少需要7次.
答案7
二、能力提升
7. 调试仪器中的可变电阻，可变电容常常采用的优选法为_______________ .
答案盲人爬山法
8. 看商品猜价格的具体规则：主持人出示一件物品，参与者每次估算出一个价格，主持
人只能回答：“高了”、“低了”、“正确”.若猜中，则游戏结束，否则在规定时间
内继续猜下去，直到猜中为止.若现在一个价格在范围为[1 000 , 2 000]（价格数为整
数，单位为元）的商品，请你用对分法来猜.
(1) 若第一次就能猜中，则这个商品的价格是多少？
(2) 哪几个价格猜三次就可以猜到？
1 500，故能
解(1)由对分法知，每次都是取因素范围的中点值，第一次的中点值是次就猜中的
价格是 1 500元.
⑵第三次能猜中，即第三次取的试验点就是猜中的价格
由第一次的中点值为 1 500，此时可得存优范围为［1 000，1 500］或［1 500，2 000］，
第二次的中点值取上述两个范围内的中点值，即为 1 250或1 750，此时存优范围为［1
000，1 250］，［1 250，1 500］，［1 500，1 750］，［1 750，2 000］中的任一个.
故第三次的中点值可分别为 1 125，1 375，1 625，1 875，
即猜三次就猜中的价格是 1 125元，1 375元，1 625元，1 875元中的一个.
9. 某同学在借助计算器求“方程lg x = 2-x的
近拟解(精确度为0.1) ”时，设f(x) = lg x
+ x —2，算得f(1)<0 , f(2)>0 ;在以下过程中，他用“对分法”又取了4个x的值，计
算了其函数值的正负，并得出判断，方程的近似解x-1.8，那么他取的x的4个值分别
依次是_________ .
解析••• f(1)<0 , f(2)>0 ,
•••方程的根x € (1 , 2).
1 + 2
X1= — = 1.5，贝U f (1.5)<0，故方程的根x € (1.5 , 2).
1 5 + 2
X2= 2= 1.75，贝y f (1.75)<0，故方程的根x € (1.75 , 2).
1.75 + 2
X3= ~ = 1.875，贝U f (1.875)>0，故方程的根x € (1.75 , 1.875).
1.75 + 1.875
X4= = 1.812 5，贝U f(1.812 5)>0 ，故方程的根x€ (1.75 , 1.812 5).
又|1.812 5 — 1.75|<0.1 ，故可把x-1.8作为其近似值
答案 1.5 , 1.75 , 1.875 , 1.812 5
三、探究与创新
10. 程序设计中有一种折半查找检索算法，其原理与对分法类似，也有所不同，如查找范
围［a, b］内某一值c(c€［a, b］, b> a)，且a, b, c都是正整数，先取m=，芦^ k式子
［x］表示不超过x的最大整数)为试验点，比较c与m的大小，如果相等，则查找成功；
如果c v m则查找范围为［a, n—1］;若c > m,则查找范围为［m^ 1, b］，按此下去,
直至c= m为止.每比较一次称为查找一次，设找到c的查找总次数记为f (c).
此时查找的次数为
n 次，如f (1) = f (2n — 1) = n ,即卩f (x ) max = n .
⑴若查找范围是［1 , 7］，求f ⑷，f (3) , f (7)的值.
⑵ 设x € ［1 , 2n - 1］，你能得出f (x )的最大值与最小值吗?
解
⑴易知查找范围是［1，7］时，第一个试验点m r
- ［4］ = 4,所以f (4) =1.
求f (3)，由于第一次比较后的查找范围为 ［1 , 3］，接着第二个试验点为 呼2V 3,
同理查找f (7)的查找范围依次为［1 , 7］ , ［5 , 7］ , ［7 , 7］，在［7 , 7］中找得第三个试验
点为7,所以f (7) = 3.
易知第一次查找的范围内的个数值为
2n — 1个,
第二次查找的范围是［1 , 2n — 1— 1］或［2 n — 1+ 1 , 2n — 1］，不论哪种情况，此时范围内的个 数为2n —1 — 1个.即查找一次，如果不成功，则查找范围变为原来的一半减半个 第三次查找的范围的个数是
2n —2— 1个.
最后到了 22— 1 = 3个时，比如此时存优范围是 ［1 , 3］，取中值m = 2,考虑查找次数最大 值的情况，再得到存优范围
［1 , 1］或［3 , 3］.
所以此时范围为［3 , 3］.由第三个试验点值为 73+ 3 I 2
=［3］ = 3，查找结束，所以 f (3) = 3.
(2)由(1)知，当x =
1 +( 2n — 1)
2
=2n — 1 时, f (x )取最小值，此时 f ( X ) min = 1.
再对范围为［1 , 1］或［3 , 3］再取一次就是.
1
C.y= 2x
D.y = §x1 * 3- x2—3x
解析根据单峰函数的定义及规定知只有y = 2x在区间［—10, 10］上为单峰函数.
答案C
3. 已知f(x) = 2x3—6x2+ m在区间［—3 , 2］上是单峰函数，则下列哪个存优范围最小
( )
A.[ —2, 2]
2
解析由f '( x) = 6x —12x= 0，知X1= 0, X2= 2,
所以最佳点是x= 0，所以C选项排除，由A, B, D的区间范围可知D的范围最小，故选D
项.
答案D
4. 若某单峰函数的存优范围是［1 , 4］，现在区间［1 , 4］上任取两点2, 3，通过比较，2与
3相比，2是好点，则此时的存优范围是 _____________ .
此时查找的次数为n次，如f(1) = f (2n—1) = n,即卩f (x) max= n.。