2016年当代中学生报泄露天机卷(数学理科)

2016年当代中学生报泄露天机卷（数学理科）编审：本报数学研究中心一、选择题1. 复数z 为纯虚数，若()3i z a i -⋅=+（i 为虚数单位），则实数a 的值为（ ）. A ．13 B ．3 C ．13- D ．3- 2. 已知{}{}222|,|2M y R y x N x R x y =∈==∈+=，则M N = （ ）.A ．{}(1,1),(1,1)- B．⎡⎣ C ．[]0,1 D ．{}13. 已知命题3:00p x x ∀>>，，那么p ⌝是（ ）.A ．300x x ∀>，≤B ．30000x x ∃，≤≤ C ．300x x ∀<，≤ D ．30000x x ∃>，≤ 4. 若非零向量,a b()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（ ）. A. π B.2πC.34π D. 4π 5. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）.俯视图侧视图正视图12222A ．π220+B ．π320+C ．π224+D ．π324+6. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32132S S -=，则数列{}n a 的公差d 等于（ ）.A ．1B ．2C ．4D ．67. 直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥则k的取值范围是（ ）.A ．3[,0]4-B ．3(,][0,)4-∞-+∞C ．[33-D ．2[,0]3-8.已知函数()()cos 24f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，将()y f x =的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移ϕ个单位长度，所得的图象关于原点对称，则ϕ的一个值是（ ）. A.316π B.516π C.34π D.38π9. 中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人所站的位置不做要求，那么不同的站法共有（ ）.A.1818A 种B.2020A 种C.231031810A A A 种D.218218A A 种10.函数]),[()(cos ππ-∈=x xe x f x 的图象大致是（ ）.11. 如图，为了测量A C 、两点间的距离，选取同一平面上B D 、两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km ）：5,8,3,5A B B CC D D A ====，且B ∠与D ∠互补，则AC 的长为（ ）．A ．7kmB ．8kmC ．9kmD ．6km12. 我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与下面的程序框图相似．执行该程序框图，若输入的,a b 分别为14，18，则输出的a 等于（ ）.A ．2B ．4C ．6D ．813. 下列说法正确的是（ ）.A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．{}n a 为等比数列，则“123a a a <<”是“45a a <”的既不充分也不必要条件C ．()0,0x ∃∈-∞，使0034xx<成立D ．“t a n α≠3πα≠”14. 设正实数a ，b 满足1a b +=，则（ ）.A.11a b+有最大值有最小值1422a b +有最小值215. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.A ．3π+B ．23π+ C ．2π D ．π16. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，给出以下结论： ① 直线1A B 与1B C 所成的角为60︒；②若M 是线段1AC 上的动点，则直线CM 与平面1BC D 所成角的正弦值的取值范围是；③ 若P Q ，是线段AC 上的动点，且1PQ =，则四面体11B D PQ 其中，正确结论的个数是（ ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个17. 设k 是一个正整数，在1+)k xk （的展开式中，第四项的系数为116，记函数2y x =与y kx =的图象所围成的阴影部分面积为S ，任取[0,4]x ∈，[0,16]y ∈，则点(,)x y 恰好落在阴影区域S 内的概率是（ ）. A ．23 B ．13 C ．25D ．1618. 已知数列{}n a 中，()()12212121,1,2*kk k k k k a a a a a k N -+==+-=+∈，则{}n a 的前60项的和60S =（ ）.A ．312154-B ．312124-C ．32294- D ．322124-19. 抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A B 、是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠＝．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是( )．A ．23B ．32C ．1D ． 1620.已知函数()2()e x f x x ax b =++，当1b <时，函数()f x 在(),2-∞-，()1,+∞上均为增函数，则2a ba +-的取值范围是（ ）.A ．22,3⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题21. 执行下面的程序框图，若输出的结果为21，则输入的实数x 的值是________．22. 某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩()2~100,X N a （0a >，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的35，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有___________人．23.已知函数()f x 定义域为()0,+∞，其图象是连续不断的，且导数存在，若()()f x xf x '>，则不等式()210x f f x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的解集为________．24.并排的5个房间，安排给5个工作人员临时休息，假设每个人可以进入任一房间，且进入每个房间是等可能的，则每个房间恰好进入一人的概率是 .25.已知y 与x 之间具有很强的线性相关关系，现观测得到),(y x 的四组观测值并制作了相应的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为 60y bx =+，其中b 的值没有写上．当x 等于5-时，预测y 的值为 ．26.设)(x f 是定义域在R 上的偶函数，对x R ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，且当[]2,0x ∈-时，1)21()(-=x x f ，若在区间(]2,6-内关于x 的方程)1(0)2(log )(>=+-a x x f a 至少有两个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 ．27. 设12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，P 是C 的右支上的点，射线PT 平分12F PF ∠,过原点O 作PT 的平行线交1PF 于点M ,若121||||3MP F F =,则C 的离心率为 ． 28. 设G 为三角形ABC 的重心，且0AG BG =，若11tan tan tan A B Cλ+=，则实数λ的值为 ．29. 若(]0,1x ∀∈，不等式3ln 1mx x -≥恒成立，则实数m 的取值范围是 .30. 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5…………2013 2014 2015 2016 3 5 7 9 ……………… 4027 4029 4031 8 12 16 …………………… 8056 8060 20 28 ……………………………16116 …………………………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 ．三、解答题31. 已知向量,cos ),(cos ,cos ),m x x n x x x R ==∈ ，设()f x m n =⋅． （1）求函数()f x 的解析式及单调增区间；（2）在△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且1,2,()1a b c f A =+==，求△ABC的面积．32. 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（1）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[)45,75内的产品件数为X ，求X 的分布列与数学期望．33. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD .PA BD ⊥（1）求证：PB PD =；（2）若E ，F 分别为PC ，AB 的中点，EF ⊥平面PCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．34.自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望．35. 如图，已知四边形ABCD 内接于抛物线2x y =，点(3,9)C ，AC 平行于x 轴，BD 平行于该抛物线在点C 处的切线，90BAD ∠= ．（1）求直线BD 的方程； （2）求四边形ABCD 的面积．36.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA BE ，4AB PA ==，2BE =．（1）求证：CE 平面PAD ；（2）求PD 与平面PCE 所成角的正弦值；（3）在棱AB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ⊥平面PCE ？如果存在，求AFAB的值；如果不存在，说明理由．37. 设数列{}n a 的前n 项和为()()1,1,31,,2n n n S a S na n n n N n ==--∈≥． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）是否存在正整数n ，使得()23123120161232n S S S S n n +++⋅⋅⋅+--=？若存在，求出n 值；若不存在，说明理由．38. 已知函数(1)()ln ()a x f x x a R x-=-∈． （1）若1a =,求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间； （3）求证：不等式111ln 12x x -<-对一切的(1,2)x ∈恒成立． 39. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．40. 已知函数()()2ln 12x f x mx mx =++-，其中0m >. （1）当1m =时，求证：若10x -<≤，则()33x f x ≤；（2）试讨论函数()y f x =的零点个数.2016年当代中学生报泄露天机卷（数学理科）参考答案与解析1.A 由题()3i z a i -⋅=+，得i a a i i a z 10310133++-=-+=，又z 为纯虚数，则 1310,3a a -==，检验符合题意.2.B 由题意，知{|0}M y y =≥，{|N x x =≤，所以M N = ⎡⎣．3.D 全称命题的否定为特称命题，并将结论加以否定，所以p ⌝是30000x x ∃>，≤.4.D cos )23()(b a b a b a -=-⋅-=+⋅-α，其中α为a 与b 的夹角，因为()(32)a b a b -⊥+ ，所以有0cos =-α代入，求得422cos παα=⇒=. 5.B 根据三视图的特征，得到该几何体是一个半圆柱和正方体的组合体．其底面积22282S ππ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭；底面周长6C π=+；侧面面积为()62122ππ+⨯=+．所以几何体的表面积等于()()8122203πππ+++=+．6.B 等差数列的前n 项和为d n n na S n )1(211-+=，所以有d n a n S n )1(211-+=，代入32132S S -=中，即d d a d a S S 21])12(21[-)13(212-31123=-+-+=，所以有2=d .7.A 圆心的坐标为(3,2)，设圆心到直线的距离为d ，则由点到直线距离公式，有d =，∴||MN = |MN |≥ 2860k k +≤，解得3[,0]4-.8.A 将()y f x =的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，可得函数()cos 44f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象；再把所得的图象向右平移ϕ个单位长度，可得函数[||]444|4|4y cos x cos x ππϕϕ=-+=+-（）（）的图象．结合所得的图象关于原点对称，可得||442k ππϕπ-=+，即,4||16k k Z ππϕ=--∈， 则ϕ的一个值是316π．9.D 21国领导人中，除了中美俄三国需要指定位置外，其余18国领导人可以任意排序，虽然分前后两排，但不影响排序结果，所以有1818A 种站法，而中美俄三国领导人根据要求则有22A 种站法，因为这两个事件互不影响，所以共有181822A A 种站法.10.B 易得]),[()(cos ππ-∈=x xe x f x 为奇函数，图象关于原点对称，故排除A ，C ，cos cos cos '()(sin )(1sin )x x x f x e xe x e x x =+⋅-=-，显然存在0(0,)x π∈，使得当0(0,)x x ∈时，'()0f x >，0(,)x x π∈时，'()0f x <，即()f x 在[0,]π上先增后减，故排除D ，故选B ．11.A 在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos AC AB BC AB BC B =+- ，即22564AC =+－258cos B ⨯⨯＝8980cos B -．在ADC ∆中，由余弦定理，得2222cos AC AD DC AD DC D =+- ，即2259253cos 3430cos AC D D =+-⨯⨯=-．因为B ∠与D ∠互补，所以cos cos B D =-，所以2234893080AC AC ---=，解得7AC =.12.A 第一次循环，得=b 18-14=4，14=a ；第二次循环，得14410,4a b =-==；第三次循环，得1046,4a b =-==；第四次循环，得642,4a b =-==；第五次循环，得422,2b a =-==，此时2a b ==，不满足循环条件，退出循环，输出2a =.13.D A 中的否命题没有否定条件，所以A 错误；B 中由123a a a <<可知，10,1a q >>或10,01,a q <<<任何情况都能保证{}n a 为递增数列，所以恒有45a a <，反之若45a a <，可能存在0q <，这时就不能保证123a a a <<，所以“123a a a <<”是“45a a <”的充分而不必要条件，所以B 错误；C 中(),0x ∀∈-∞，34x x>，所以C 错误.14.C 0,0>>b a ，由基本不等式得ab b a 21≥+=，21≤∴ab ，41≤∴ab ， 4111≥=+=+abab b a b a ，因此ba 11+的最小值为4，()ab b a b a 2222-+=+2112-1-≥=ab =21， ()ab b a ba 22++=+1121+≤+=ab =215.A 由三视图知该几何体是一个组合体，下面是圆柱，上面是三棱锥，如图三棱锥D ABC -中，AC 是圆柱底面直径，B 在底面圆周上，DO ⊥平面ABC ，O 是圆心，尺寸见三视图，则211111232V π=⨯⨯+⨯⨯⨯π=+． ODCBA16.D ①在1A BD ∆中，每条边都是2，即为等边三角形，∴1A B 与1A D 所成角为60°，又1B C ∥1A D ，∴直线1A B 与1B C 所成的角为60°，正确；②由正方体可得平面1BDC ⊥平面1ACC ，当M 点位于1AC 上，且使CM ⊥平面1BDC 时，直线CM 与平面1BDC 所成角的正弦值最大为1，当M 与1C 重合时，连接CM 交平面1BDC 所得斜线最长，直线CM 与平面1BDC所成角的正弦值最小等于3，∴直线CM 与平面1BDC 所成角的正弦值的取值范围是，正确；③连接1B P ，1B Q ，设1D 到平面1B AC 的距离为h ，则h=3，1B 到直线AC的距离为11PQB D的体积111326V =⨯⨯=，正确．∴正确的命题是①②③．17.D 由二项展开式的通项公式，得1()r rr k x T C k+=，令3r =，则33211(1)(2)1416616k k k C k k k --⋅=⇒=⇒=，∴4223400132(4)(2)|33S x x dx x x =-=-=⎰，所求概率32134166P ==⨯．18.C 由题意，得214365605910,1,1,,1a a a a a a a a =-==+=-=+ ，所以S S =奇偶．又121222k k k a a ---=+(2)k ≥，代入221(1)kk k a a -=+-，得12222(1)k kk k a a --=++-(2)k ≥，所以20a =，12422(1)a a =++-，23642(1)a a =++-，34862(1)a a =++-，…，12222(1)k kk k a a --=++-，将上式相加，得21232222(1)(1)(1)k k k a -=++++-+-++-＝111(1)3(1)22222k k kk----+--+=-， 所以S 偶＝2329301(22222)(152154)2+++++-⨯+⨯ ＝302(12)4512--- ＝31247-，所以31602(247)S =-＝32294-.19.C 如图，过点G l AG A 与作⊥，过点E l BE B 与作⊥，由抛物线的性质可知BF BE AF AG ==,，AB M 是中点，所以AGEB MN 是梯形的中位线，则)(21)(21BF AF BE AG MN +=+=，在三角形ABF 中， BF AF BF AF BF AF BF AF AB ⋅-+=⋅-+=22223cos2π，则22222221()314(1)4AF BF MN AF BF AB AF BF AF BF AF BF AF BF+⋅==++-⋅+-⋅ 1313(1)(1)1442-1-1AF BFBF AF=+≤+=+，当且仅当BF AF =时，不等式取等号.20.A )()2(e [2]x x f x a x a b e '=++++,因为函数()f x 在(),2-∞-，()1,+∞上均为增函数，所以()0f x '≥在(),2-∞-，()1,+∞上恒成立，即()2[2]0x x a x a b e ++++≥在(),2-∞-，()1,+∞上恒成立，令2()(2)h x x a x a b =++++，则()0h x ≥在(),2-∞-，()1,+∞上恒成立，所以有2(2)(2)(2)(2)h a a b -=-++⨯-++=0a b -+≥，(1)1(2)230h a a b a b =++++=++≥，2212a +-≤-≤,即,a b 满足0230142a b a b b a -+≥⎧⎪++≥⎪⎨<⎪⎪-≤≤⎩, 在直角坐标系内作出可行域，2221222a b a b b a a a +-+++==+---，其中22b k a +=-表示的几何意义为点(2,2)P -与可行域内的点(,)Q a b 两点连线的斜率，由图可知<3-k 31-≤，所以<-2k +132≤，即2a ba +-的取值范围为2(2,]3-.21.2． 当1x >时，21log 2y x ==，所以x =1x ≤时，112y x =-=，所以32x =，不符合题意．故应填2． 22.120 因为成绩()2~100,X N a ，所以其正态曲线关于直线100x =对称，又成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的35，由对称性知，成绩在120分以上的人数约为总人数的1311255-=（），所以数学考试成绩不低于120分的学生约有16001205⨯=人． 23.)1,0( 令)0()()(>=x xx f x g ，因为()()f x xf x '>， 所以2()()()0xf x f x g x x '-'=<，则)(x g 在()0,+∞上单调递减， 将()210x f f x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭化为x x f xx f )(1)1(<，即)()1(x g x g <，则x x >1， 解得10<<x ． 24.62524依题意可知，每一个人入住的方法都是5种，所以5人入住的方法总数为553152=种，而每个房间恰好进入一人的方法数是55120A =种，因此，每个房间恰好进入一人的概率是5551202453125625A ==.25.70 由已知，1813101104x ++-==，24343864404y +++==，所以401060,2b b =+=-， ˆ260yx =-+，当5x =-时，ˆ70y =． 26.)2 因为对x R ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，所以()()4,4,f x f x T =+∴=作出函数()log (2)a y f x y x ==+与的图象，如图所示，由图象可知log 43,log 83a a ≤⎧⎨>⎩2a ≤<.设PT交x轴于点T ，OM∥PT，得即123m c cm FT-=，则123mcFTm c=-，所以2223mcF T cm c=--，又PT是12F PF∠的角平分线，则有1122F P FTF P F T=，代入整理得423m a m c-=-，所以离心率为32cea==.28.12如图，连接CG，延长交AB于D，由于G为重心，故D为中点，因为AG BG⊥，所以12DG AB=，由重心的性质得3CD DG=，即32CD AB=，由余弦定理得2222cosAC AD CD AD CD ADC=+-⋅⋅∠,2222cosBC BD CD BD CD BDC=+-⋅⋅∠，因为,ADC BDC AD BDπ∠+∠==，所以222222AC BC AD CD+=+，所以2222219522AC BC AB AB AB+=+=，又11tan tan tanA B Cλ+=，所以c o s c o s c o ss i n s i n s i nA B CA B Cλ+=，所以22(sin cos cos sin)sin sin22sin sin cos2sin sin cos2cosA B A B C C ABA B C A B C BC AC Cλ+===⋅⋅2222ABBC AC AB=+-222154ABAB AB==-，所以12λ=．29.2[,)3e+∞由3ln1mx x-≥，得3ln1mx x-≥或3ln1mx x-≤-，即3l n1m x x≥+或3ln1mx x≤-.又(]0,1x∈，所以3ln1xmx+≥或3ln1xmx-≤，所以3maxln1xmx⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭或3minln1xmx⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭.(1)令3ln 1()x f x x+=，则3261(ln 1)3()x x x x f x x ⋅-+⋅'=2632(1l n )2x x x -+=，令()0f x '=，得231x e -=<，当230x e -<<时，()0f x '>；当231ex -<≤时，()0f x '<.所以()f x 在23(0,)e -上是增函数，在23(,1]e -是减函数.所以2233m a x 2232321l ()()(n 133)e f x e e ee f -----++====，所以23e m ≥.(2)令3ln 1()x g x x-=，则3261(ln 1)3g ()x x x x x x ⋅--⋅'=22643ln x x x x -=，因为(]0,1x ∈，所以ln 0x ≤，所以易知g ()0x '>，所以g()x 在(]0,1上是增函数.易知当0x →时，g()x →-∞，故g()x 在(]0,1上无最小值，所以3ln 1x m x-≤在(]0,1上不能恒成立.综上所述，23e m ≥，即实数m 的取值范围是2[,)3e +∞.30.201420172⨯ 第一行为1、2、3的三角形，最后一行的数为()1312+⨯；第一行为1、2、3、4的三角形，最后一行的数为()2412+⨯；第一行为1、2、3、4、5的三角形最后一行的数为()3512+⨯；…，可猜想第一行为1、2、3，…，2016最后一行的数为()2014201420161220172+⨯=⨯.三、解答题31.解：（1）211()cos cos 2cos 222f x m n x x x x =⋅=+=++ 1sin(2)62x π++=， 由Z k k x k ∈+≤+≤+-,226222πππππ可得ππππk x k +≤≤+-63，所以函数的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.（2）21)62sin(,1)(=+∴=πA A f ， 130,2666A A ππππ<<∴<+<，52,663A A πππ∴+=∴=. 由,cos 2222A bc c b a -+=得1,343cos2122=∴-=-+=bc bc bc c b π，43sin 21==∴∆A bc S ABC . 32.解：（1）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =. 所以区间[]75,85内的频率为0.05．（2）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验， 所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+，将频率视为概率得0.6p =．因为X 的所有可能取值为0，1，2，3，且0033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，1123(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=， 2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，3303(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．所以X 的分布列为：X 服从二项分布(),B n p ，所以X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．33. 解：（1）连接AC ，交BD 于点O ，∵底面ABCD 是正方形， ∴BD AC ⊥，且O 为BD 的中点，又∵PA BD ⊥，PA AC A = ， ∴⊥BD 平面PAC ，由于⊂PO 平面PAC ，故⊥BD PO ， 又∵DO BO =，故PD PB =；（2）设PD 的中点为Q ，连接AQ ，EQ ，EQ //12CD ， ∴AFEQ 为平行四边形，//EF AQ ，∵⊥EF 平面PCD ，Q∴AQ ⊥平面PCD ，∴AQ PD ⊥，PD 的中点为Q ，∴AP AD ==AQ ⊥平面PCD ，又可得AQ CD ⊥， 又∵AD CD ⊥，AQ AD A = ，∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD PA ⊥，又∵BD PA ⊥，∴PA ⊥平面ABCD ，由题意，AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，向量AB，AD ， AP的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A，B，(0,)22Q，D，P ，(0,22AQ =，PB = ，而AQ 为平面PCD 的一个法向量，设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，1sin 2||||PB AQ PB AQ θ⋅==⋅ ，∴直线PB 与平面PCD 所成角为6π. 34.解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为当产假为16（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有2510C =（种）， 其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．因而ξ的分布列为所以()290.1300.1310.2320.2330.2340.1350.132E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.35.解：（1）由(3,9)C 及AC 平行于x 轴知(3,9)A -，设211(,)B x x ，222(,)D x x ；由题意知，过点C 的切线斜率存在，故设切线的方程为9(3)y k x -=-，联立229(3)390.y k x x kx k y x -=-⎧⇒-+-=⎨=⎩22()4(39)0(6)0 6.k k k k ∆=---=⇒-=⇒=从而 6.BD k k ==从而设直线BD 的方程为6y x m =+，22660.y x mx x m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩ 则126,x x += 12x x m =-， 又因为90BAD ∠=，所以221212121212991(3)(3)13()9 1.33AB ADx x k k x x x x x x x x --⋅=-⇒⋅=--=-⇒-++=-++即36918.m m --⨯+=-⇒=- 故直线BD 的方程为68.y x =-（2）解方程2680x x -+=，可得 (2,4)B ，(4,16)D ，四边形ABCD 面积ACD ACB S S S ∆∆=+1116(75)36222D C B C AC y y AC y y =⨯⨯-+⨯⨯-=⨯⨯+=． 36.解：（1）设PA 中点为G ，连结EG DG ，，因为PA //BE ，且42PA BE ==，， 所以BE //AG 且BE AG =， 所以四边形BEGA 为平行四边形， 所以EG //AB ，且EG AB =．因为正方形ABCD ，所以CD //AB CD AB =，， 所以EG //CD ，且EG CD =， 所以四边形CDGE 为平行四边形， 所以CE //DG ．因为DG ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ， 所以CE //平面PAD ．（2）如图，建立空间坐标系，则()4,0,0B ，()4,4,0C ，()4,0,2E ，()0,0,4P ，()0,4,0D ，所以()4,4,4PC =- ，()4,0,2PE =- ，()0,4,4PD =-．设平面PCE 的一个法向量为(),,m x y z = ，所以00200m PC x y z x z m PE ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩． 令1x =，则112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()1,1,2m = ．设PD 与平面PCE 所成角为α，则sin cos ,m PDm PD PD mα⋅=<>===所以PD 与平面PCE所成角的正弦值是6． （3）假设存在点(),0,0F a 满足题意，则()4,0,2FE a =- ，()4,4,2DE =-．设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z = ，则()22004200x y z n DE a x z n FE ⎧-+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⋅=⎪⎩⎩，令2x =，则224x a y z a =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以2,,42a n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ．因为平面DEF ⊥平面PCE ，所以0m n ⋅= ，即22802aa ++-=，所以1245a =<， 故存在点12,0,05F ⎛⎫⎪⎝⎭满足题意，且35AF AB =． 37.解：（1）3(1)n n S na n n =--，(N,2)n n ∈≥， 所以3n ≥时，11(1)3(1)(2)n n S n a n n --=----，两式相减，得11(1)3(1)[(2)]n n n n n a S S na n a n n n --=-=------， 即1(1)(1)6(1)n n n a n a n --=-+-，也即16n n a a --=（3n ≥）， 又由3(1)n n S na n n =--，(N,2)n n ∈≥，得216a a -=， 所以{}n a 是公差为6的等差数列，且11a =， 所以65n a n =-.（2）23(1)=(65)3(1)32n n S na n n n n n n n n =-----=-(N )n *∈，所以32nS n n=-， 23123(1)31...3(123...)22123222n S S S S n n n n n n n n +++++=++++-=-=-， 所以222312331353...(1)(1)2016123222222n S S S S n n n n n n ++++--=---=-=， 所以54035n =，所以807n =，即当807n =时，23123...(1)20161232n S S S S n n ++++--=. 38.解：（1）1a =时，1()ln 1f x x x=+-，所以21()x f x x-'=，(1)0f '=，又(1)0f =，所以切线方程为0y =.（2）()f x 的定义域为(0,)+∞，2()x af x x -'=， ①若0,()0a f x '≤>则，()f x 在(0,)+∞上单调递增 ，②若0a >，则当(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 在(0,)a 单调递减． 当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(,)a +∞单调递增．（3）1111 2 ln 12x x x <<∴-<- 等价于(1)ln 2(1)0x x x +-->， 令()(1)ln 2(1)F x x x x =+--，则(1)1()ln 2ln 1x F x x x x x+'=+-=+-， 由（2）知，当1a =时，min ()(1)0f x f ==，()(1)f x f ∴>，即1ln 10x x+-≥， 所以()0F x '≥，则()F x 在(1,2)上单调递增， 所以()(1)0F x F >=， 即11112ln 12x x x <<-<-有时，成立. 39.解：（1） 设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=，因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b +=，解得a =2b =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=． （2）因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --， 联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得22812x k =+，所以0x =0y =所以直线AE的方程为y x =+，因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ， 令0x =，得y =M ⎛⎫ ⎝，同理可得点N ⎛⎫ ⎝，所以MN ==设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为0,P ⎛ ⎝⎭． 则以MN 为直径的圆的方程为22x y k ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭2， 即224x y y +=． 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．40.解：（1）当1m =时，令()()()3103x g x f x x =--<≤，则()31x g x x -'=+， 当10x -<≤时，30x -≥，10x +>，∴()0g x '≥，函数()g x 递增，∴当10x -<≤时，()()00g x g ≤=，即当10x -<≤时，()33x f x ≤…① .（2）()11mx x m m f x mx⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=+ …② ，令()0f x '=，得10x =，21x m m =-，（a ）当1m =时，120x x ==，由②得()21x f x x'=+…③∴当1x >-时，10x +>，20x ≥， ∴()0f x '≥，此时，函数()f x 为增函数，∴10x -<<时，()()00f x f <=，0x >时，()()00f x f >=， 故函数()y fx =在1x >-时有且只有一个零点0x = ；(b)当01m <<时，10m m -<，且11m m m-<-， 由②知，当11,x m m m ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，10mx +>，0mx <，10x m m ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭， 此时，()0f x '≥；同理可得，当1,0x m m ⎛⎤∈-⎥⎝⎦，()0f x '≤；当0x ≥时，()0f x '≥；∴函数()y fx =的增区间为11,m m m ⎛⎤-- ⎥⎝⎦和()0,+∞，减区间为1,0m m ⎛⎤- ⎥⎝⎦，故当10m x m-<≤时，()()00f x f ≥=，当0x >时，()()00f x f >=， ∴函数()y fx =，1,x m m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭有且只有一个零点0x =； 又222111ln 2f m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数()11ln 2t t t t ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，01t <<，则()()222111112t t t t tϕ--⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭ …④，易知，()0,1t ∀∈，)t （ϕ'﹤0， ∴函数()y t ϕ=(01t <<)为减函数，∴()()10t ϕϕ>=，由01m <<，知201m <<，∴()222111=ln 02f m m m m m ⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…⑤， 构造函数()()ln 10k x x x x =-+>，则()1xk x x-'=，当01x <≤时，()0k x '≥，当1x >时，()0k x '<，∴函数()y k x =的增区间为(]0,1，减区间为()1,+∞，∴()()10k x k ≤=，∴有222111ln 11m m m≤-<+，则2112m e m --<，∴21111mem mm ---<-，当21111m e x m m----<<时，()21ln 11mx m +<--…⑥而222112x mx x mx m-<-<+…⑦， 由⑥⑦知()()22211ln 11102x f x mx mx m m=++-<--++=…⑧， 又函数()y fx =在11,m m m ⎛⎤-- ⎥⎝⎦上递增，1111m e m m m ---->， 由⑤⑧和函数零点定理知，2011,m x m m ⎛⎫-∃∈- ⎪⎝⎭，使得()00f x =，综上，当01m <<时，函数()()2ln 12x f x mx mx =++-有两个零点， （c ）当1m >时，10m m ->，由②知函数()y f x =的增区间是1,0m ⎛⎤- ⎥⎝⎦， 和1,m m ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，减区间是10,m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭…⑨， 由④知函数()y t ϕ=，当1t >为减函数，∴当1t >时()()10t ϕϕ<=， 从而10f m m⎛⎫-< ⎪⎝⎭；当2x m >时，12m m m ⎛⎫>-⎪⎝⎭其中，11mx +>， ()()()()2ln 1ln 12022x xf x mx mx mx x m =++-=++->…⑩，又1x m m >-时，函数()y f x =递增，∴01,2x m m m ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭使得()00f x =， 根据⑨知，函数1,0x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，有()0f x <；10,x m m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x <，而f (0)=0，∴函数)(x f y =在)1,1(mm m --上有且只有一个零点0x =, ∴1m >时，函数()y fx =有两个零点.综上所述：当01m <<和1m >时，函数()y fx =有两个零点，当1m =时，函数()y fx =有且仅有一个零点．。