山东省枣庄市第四十二中学九年级数学下册《3.3圆周角和圆心角的关系(第一课时)》教案 北师大版

《3.3圆周角和圆心角的关系（第一课时）》教案 北师大版
教学过程：
一、设计情景，引入新课
师：在上周我们班和九二班的足球友谊赛中，咱们班以二比三险胜，现在说起来还有些小兴奋呢，大家和记不记得这三个球都是谁进的？ 生：是王程、李明亮、李柄桦．
师：感谢他们给我们班带来的胜利，现在有这样的一个游戏是他们三个人参与的． 课件出示：
如果他们三人进行一射门游戏，过球门A 、C 画了一个圆，在球门B 、D 、E 的位置射任意球（直线射），仅从教学的角度考虑，请问站在那个位置射球最有利？
课
时 第三章第三节第1课时 课 题
课 型
新授课
时 间
节 次
第四节
授 课 人
教学 目标
1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用． ．
3.经过圆周角定理的证明，进一步体会思考问题的全面性和合理性．
4.通过辅助线的运用，渗透转化的数学思想．
5.学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般问题的方法，体会分类的数学思想．
重点 圆周角的概念和圆周角定理
难点 圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想 教法 学法 类比教学法、启发式教学法、合作探究法、直观教学法
课前
准备 多媒体课件、几何画板、圆规、三角尺
生：D．
师：为什么呢？
生：因为角度大．
师：你说的角度是这的什么呢？可不可以到黑板上给同学们指一下．
生：（边指边说）连接AD、CD形成的∠ADC．
师：同学们都是这样认为的吗？
生表达意见．
师：我看有好多同学都是想选D，那我们带着这个问题来学习今天的内容：圆周角和圆心角的关系（板书课题），学完以后我们再来看究竟应该怎样选择．
设计意图：由生活实践来创设情境，让学生感受数学与生活的联系．将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻求数学模型、建立数学关系的方法．引导学生对图形的观察、发现激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学生的自信心．
二、师生互动，探究新知
（一）圆周角的定义
师：大家还记得什么叫做圆心角吗？
生：顶点在圆心上的角叫做圆心角．
师：这个图中的∠AOB就是一个圆心角，那我把它的圆心拖到圆周上C点的位置，看一下这
个角有什么特点？
生：这个角的顶点在圆周上，并且角的两边都和圆相交．
师：他观察出了这个角的特征，那同学们能不能仿照圆心角的名字给它起一个名字？
生：圆周角．
师：是根据什么而定的？或者说什么叫做圆周角呢？
生：顶点在圆心上，且角的两边分别与圆还有另一个交点的角，叫做圆周角．
师：对，这就是我们要来掌握的另一种角．
板书：圆周角．
设计意图：采用类比教学法，通过圆心角定义让学生得出圆周角定义，培养学生的观察能力、归纳能力．
师：我们来看一组图片，这里五个角哪些是圆周角？为什么？
A B C D E
生1：A不是，因为它的顶点不在圆周上．
生2：B不是，因为它的顶点不在圆周上．
生3：C是．
生4：D不是，角的两边分别与圆没有另一个交点．
生5：E不是，角的一条边和圆没有另一个交点．
师：那我们判断一个角是不是圆周角时要把握什么？
生：先看这个角的圆心在不在圆周上，再看角的两边与圆还有没有另一个交点．
师：说的很好，我们再来看这道题目：
．
（1）圆周角的顶点一定在圆上．（）
（2）顶点在圆上的角叫做圆周角．（）
（3）圆周角的两边都和圆相交．（）
（4）两边都和圆相交的角是圆周角．（）
学生判断并说明理由．
生1：（1）正确．
生2：（2）错误．还要看角的两边是否和圆还有另外一个交点．
生3：（3）正确．
生4：（4）错误．还有看这个角的顶点是否在圆上．
师：这道题目比较简单，下面我们来看谁能在最短的时间内找出图中所有的圆周角．
课件出示：下列两个圆中，各有几个圆周角？
生1：∠CAD，∠BAD，∠BAC
师：你是怎样找的？
生：我先在圆上找顶点，在确定角．
师：第二幅图呢？
生：∠CAB，∠ABD，∠ABC，∠DBC，∠BCA，∠BCD，∠ACD和∠CDB共8个圆周角．
设计意图：通过练习加深对圆周角定义的理解．
师：非常好，不重与不漏．我们在学习了圆周角的定义以后再来看看刚才的问题．（课件出
示图3-13）球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的X角（∠ABC）有关．当球员在B、D、E处射门时，他所处的位置队球门AC分别形成三个X角∠ABC，∠ADC，∠AEC，我们首先把这个问题转化成数学模型．这三个角有什么特征？
生：这三个角都是圆周角．
师：还有呢？
生：它们都对着AC．
师：那这三个角谁大谁小？
生大胆猜测：一样大．
师：为什么？
生有些茫然．
师：我们上节课学习了圆心角的有关知识，那么我们的这个问题是不是能转化成圆周角和圆心角的关系，然后再来说明这三个角的大小呢？这是我们这节课要研究的主要内容．（二）探究活动一．
师：下面请各个组进行探究活动一，拿出探究活动纸：
探究一：一条弧所对的圆周角和圆心角的位置关系．
（1）在圆中任取一弧AC．
（2）画AC所对的圆心角∠AOC．
（3）画AC所对的圆周角∠ABC（要求画出的圆周角与圆心角有不同的位置关系，尽量不重不漏每个操作图画一种关系）．
学生开始探究活动，教师进行巡视指导．
师：现在我们请每一个小组派一位组员上来，我们汇总一下结果．
各个小组利用实物投影仪进行汇报，教师引导学生进行汇总，最后分为三类：
教师利用几何画板固定∠AOC的位置，拖动点B使其落在不同的位置上，是同学们再次形象的并且连续性的认识上面的问题．
师：如图①O点在∠ABC的一条边上；拖动O点如图②，O点在∠ABC的内部；继续拖动如图③，O点在∠ABC的外部．所以我们把圆周角和圆心角的位置关系分为三种，我们在分类时一定要做到不重不漏．下面我们进行探究二．
设计意图：引导学生发现问题、提出问题、分析问题、并能解决问题．展示的设计：教师利用几何画板从动态的角度进行演示，目的是用运动变化的观点来研究问题，在运动变化的过程中寻求不变的关系．
（三）探究二
师：我们要研究一条弧所对的圆周角∠ABC与它所对的圆心角∠AOC的大小关系．我们先来看一下用电脑测量出来的这两个角是什么关系？
找一位学生利用电脑上的几何画板软件进行操作：每拖动一次B点的位置就测量一次圆周角和圆心角．
①
B
②
③
师：同学们计算一下∠AOC 与∠ABC 的大小有什么关系？ 生：两倍关系．
师感谢学生的操作，然后利用几何画板改变AC
的位置引导学生发现，∠AOC 依然是∠ABC 的两倍．
师：那现在同学们能不能猜测一下同一条弧所对的圆周角和圆心角的大小关系呢？ 生：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆角心的12
． 师板书结论．
设计意图：让学生亲自动手，利用度量工具（几何画板）进行猜想、实验、探究，得出结论．激发学生的求职欲望，调动学生学习的积极性．
师：刚才我们是通过观察、猜想得到了一条弧所对的圆周角和圆心角的大小关系，下面我们就来尝试证明一下，看看哪个小组能最快的把这三种情况的证明的出来．
学生利用探究纸进行小组探究，师巡视指导，抽时间将这三组图画在黑板上以方便随后的展示．
师：好，先停一下．下面我们将小组已经探究的结果来展示一下．我们从那一幅图开始？
生：第一幅图．
师：谁来说一下？
生1：如图（1），圆心在∠ABC的边上∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A
∵OA=OB
∴∠A=∠B
∴∠AOC=2∠B
即∠ABC=1
2
∠AOC
师：那第二幅图谁来说一下？
生2：如图，连接BO并延长交圆于D点，则将这幅图转化成图（1）的形式．
由（1）可知，∠ABD=1
2
∠AOD
∠CBD=1
2
∠COD
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD
=1
2
（∠AOD +∠COD）
=1
2
∠AOC
师：我刚才发现，很多组的同学在探究第三幅图的时候被卡住了，那第三幅图形是不是也可以通过做一些辅助线转化成第一幅图的形式呢？再给同学们两分钟的时间快速的思考一下．小组讨论，教师巡视并作出适时适当的指导．
师：现在谁来说一下第三种情况你们是怎样证明的？
生3：还是连接BO并延长交圆于D点，我们就可以得到两
组基本图形：∠ABD和∠AOD；∠CBD和∠COD．由（1）可知
∠ABD=1
2
∠AOD
∠CBD=
1
2
∠COD
∴∠ABC=∠ABD-∠CBD
A
B
C
O
D
=1
2
（∠AOD -∠COD）
=1
2
∠AOC
师：在证明的过程中，我们把第二种和第三种情况通过添加辅助线把它们转化成第一种情况，这就运用了我们数学中化归思想，同时在这道题的证明中我们也应用了分类讨论的方法以及完全归纳的证明方法．对于这个定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．”我们也可以这样理解：一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．
设计意图：让学生对所发现的结论进行证明，培养学生严谨的治学态度．学生通过合作探索学会运用分类讨论的数学思想研究问题，培养学生思维的深刻性．同时让学生学会一种分析问题、解决问题的方式方法：从特殊到一般．学会用化归思想将问题转化，体验数学建模思想．同时也解决了难点、突出了重点．
(四)解决问题
师：现在让我们再回到到个问题上（多媒体出示画面），在B、D、E这三个点上，在那个点上射门是最有利的呢？
生：一样的．
师：为什么？
生：因为∠ABC、∠ADC、∠AEC所对的弧都是AC，AC所对的圆心角的度数是固定的，这三个角的度数等于这个角度数的一半，所以这三个角的度数是相等的．
师：从而我们就能得到这样的结论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．(五)联系实生活实际
师：在生活中还有那些运用圆周角的实例，有没有同学想出来啊？只要我们善于观察就会发现我们的生活中处处有数学．比如（课件出示）：我们有团圆吧，团徽、团旗中有没有圆周角啊？
生：有．
师：还有许多歌剧院、大剧院的座位排列都是呈圆弧状的，这是为什么呢？
生：这样可以保证在同排的观众视角是相同的．
师：非常好．（学生鼓掌）
设计意图：通过回归生活实践，将数学知识与现实生活相联系起来，让学生在解决实际问题中获得成功的体验．
三、巩固应用，开拓创新
师：现在请同学们看大屏幕，快速的完成这两道题．
多媒体出示：
1、如图1，在⊙O中，∠BOC=50°，则∠A=．
2、如图2，A,B,C,D是⊙O上的四点，且∠BCD=100°，则∠BOD= °，∠BAD= °．
图1 图2
学生完成后，老师安排学生到大屏幕前讲解自己的做法．
设计意图：练习层层推进，难易结合，考查学生对定理的理解和运用，使学生很好地进行知识的迁移，让学生在练习中加深对本节知识的理解．老师通过练习及时发现问题，评价教学效果．
四、课堂小结
师：刚才同学们的表现都非常好．现在我们请一位同学来谈一谈这节课的收获．
生：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆角心的1
2
；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的
圆周角相等．
师：还有要补充的吗？
生：一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．
师：我们这节课学习了圆周角定理以及圆周角定理的推论，在圆周角定理的证明中，运用了数学中分类讨论和化归的思想以及完全归纳的证明方法．
设计意图：小结使学生归纳、梳理总结本节课的知识、技能、方法，将本节课所学知识与以前所学知识进行紧密联接，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感．
五、课堂检测
1、⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（）．
（A）30°
（B）150°
（C）30°或150°
（D）60°
2、△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=123，则BE的度数为（）．
（A）60°（B）80°（C）100°（D）120°
3、一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？
4、已知AB为⊙O的直径，AC和AD为弦，AB=2，AC=2，AD=1，
求∠CAD 的度数．
六、布置作业
作业题：课本112页，数学理解，第2、3题．
思考题：在航海时，船长常常通过测定角度来确定是否遇到暗礁，你知道其中的奥妙吗？ 设计意图：课后作业是对课堂所学知识的检验，是让学生巩固、提高、发展，同时关注不同层次学生对所学内容的理解和掌握．
师：最后再送给同学们一句话：要养成用数学的语言去说明道理，用数学的思维去解读世界的习惯．
下课．
七、板书设计
§3.3圆周角和圆心角的关系（一）
一、圆周角定义
顶点在圆心上，且角的两
边分别与圆还有另一个交
点的角，叫做圆心角．
二、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
(1) (2) (3)
设计意图：让本节课的学习内容及重难点一目了然．
教学反思：
收获：研究圆周角和圆心角的关系，应该说，学生解决这一问题是有一定难度的，尽管如此，教学时仍应给学生留有时间和空间，让他们进行思考．让学生经历观察、想象、推理、操作、描述、交流等过程，多种角度直观体验数学模型，而这也正符合本章学习的主要目标． 问题：在探究一中，学生画图表示圆周角和圆心角的关系的位置关
B A O
C A B
C O D
系时，有一个小组是这样画的：
我说这也属于“圆心角的顶点在圆周角的内部”，当时就有一些同学不认可，或者说是不能很好地理解，我当时对这个问题没有重视一带而过了，现在想想这说明同学们对优角和优弧的概念还是很陌生，不能灵活的加以应用．
改进：这对圆周角定理完成证明后，可以把上面这幅图在呈现出来，让同学们来验证一下．。