上海市崇明县2021届新高考第四次质量检测数学试题含解析

上海市崇明县2021届新高考第四次质量检测数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（）
A．12个月的PMI值不低于50%的频率为1 3
B．12个月的PMI值的平均值低于50%
C．12个月的PMI值的众数为49.4%
D．12个月的PMI值的中位数为50.3%
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.
【详解】
对A，从图中数据变化看，PMI值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI值不低于50%的频率
为
41
123
=，故A正确；
对B，由图可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正确；
对C，12个月的PMI值的众数为49.4%，故C正确，；
对D，12个月的PMI值的中位数为49.6%，故D错误
故选：D.
【点睛】
本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.
2．函数
()
sin x
y
x
-
=（[),0
xπ
∈-或(]
0,
xπ
∈）的图象大致是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】
【分析】
确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求x π=时的函数值，再排除一个，得正确选项．
【详解】
分析知，函数()sin x y x -=
（[),0x π∈-或(]0,x π∈）为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B ，C ， 当x π=时，
sin 0x x =，排除D ， 故选：A ．
【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论．
3．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ）
A ．()()22211x y -+-=
B ．()()22211x y +++=
C ．()()22
215x y -+-=
D ．()()22215x y +++= 【答案】A
【解析】
【分析】
求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程.
【详解】
圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的半径为1，因此，所求圆的方程为()()22211x y -+-=. 故选：A.
【点睛】
本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.
4．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221n
n N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过
30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( )
A ．215
B ．15
C ．415
D ．13
【答案】B
【解析】
【分析】
基本事件总数15n =，能表示为两个不同费马素数的和只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个，根据古典概型求出概率．
【详解】
在不超过30的正偶数中随机选取一数，基本事件总数15n =
能表示为两个不同费马素数的和的只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个 则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是31155P =
= 本题正确选项：B
【点睛】
本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题．
5．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被
录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）
A ．丙被录用了
B ．乙被录用了
C ．甲被录用了
D ．无法确定谁被录用了 【答案】C
【解析】
【分析】
假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.
【详解】
解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，
若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，
若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，
综上可得甲被录用了，
故选：C.
【点睛】
本题考查了逻辑推理能力，属基础题.
6．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则
1a d
=（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 【答案】A
【解析】
【分析】
根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.
【详解】
由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d
=. 故选：A .
【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.
7．过抛物线()2
:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若
111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】 设直线AB 的方程为2
p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=，由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，从而得到()2||21AB p k =+，同理可得21||2(1)CD p k
=+，再利用111||||4
AB CD +=求得p 的值，当Q ，P ，M 三点共线时，即可得答案. 【详解】 根据题意，可知抛物线的焦点为(0,
)2p ，则直线AB 的斜率存在且不为0， 设直线AB 的方程为2
p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=. 由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，
所以()2||21AB p k =+.
又直线CD 的方程为12p y x k =-
+，同理21||2(1)CD p k =+， 所以221111111||||2(1)242(1)AB C p k p k
D p +=+==++， 所以24p =.故2
4x y =.过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，
则由抛物线的定义可得||||PF PM =.
所以||||||||||3PF PQ PM PQ MQ +=+≥=，当Q ，P ，M 三点共线时，等号成立.
故选：C.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.
8．若集合{}10A x x =-≤≤，01x B x
x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =U （ ） A ．[)1,1-
B ．(]1,1-
C ．()1,1-
D ．[]1,1- 【答案】A
【解析】
【分析】
用转化的思想求出B 中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可．
【详解】 解：由集合01x B x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭
，解得{|01}B x x =<<， 则{}{}{}[)|10|01|111,1A B x x x x x x =-<<=-<=-U U 剟
? 故选：A ．
【点睛】
本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．属于基础题． 9．已知实数0a b <<，则下列说法正确的是（ ）
A ．c c a b >
B ．22ac bc ＜
C ．lna lnb ＜
D ．11()()22a b
< 【答案】C
【解析】
【分析】 A B 、利用不等式性质可判断，C D 、利用对数函数和指数函数的单调性判断.
【详解】
解：对于,A Q 实数0a b <<， 11,c c a b a b
∴
>> ，0c ≤不成立 对于0B c =．不成立．
对于C ．利用对数函数ln y x =单调递增性质，即可得出．
对于.D 指数函数1()2x y =单调递减性质，因此不成立． 故选：C ．
【点睛】
利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
10．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）＝f （x ），当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）＝﹣x ﹣2，则（ ） A ．66f sin f cos ππ⎛
⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞ B ．f （sin3）＜f （cos3） C ．4433f sin
f cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜ D ．f （2020）＞f （2019）
【答案】B
【解析】
【分析】 根据函数的周期性以及x ∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函数f （x ）在定义域上的图象，由此结合选项判断即可.
【详解】
由f （x+2）＝f （x ），得f （x ）是周期函数且周期为2，
先作出f （x ）在x ∈[﹣3，﹣2]时的图象，然后根据周期为2依次平移，
并结合f （x ）是偶函数作出f （x ）在R 上的图象如下，
选项A ，130sin cos 1626
π
π<=<=<， 所以66f sin f cos ππ⎛
⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，选项A 错误； 选项B ，因为
334ππ＜＜，所以20331sin cos -＜＜＜， 所以f （sin3）＜f （﹣cos3），即f （sin3）＜f （cos3），选项B 正确；
选项C ，434144sin ,10323233
cos sin cos ππππ=-=->->->， 所以4433f sin f cos π
π⎛
⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，即4433f sin f cos ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
选项C 错误；
选项D ，(2020)(0)(1)(2019)f f f f =<=，选项D 错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数性质的综合运用，考查函数值的大小比较，考查数形结合思想，属于中档题.
11．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）
A ．4
B
C ．2
D ．5
【答案】D
【解析】
【分析】 先化简得31i,55
z =
+再求||z 得解. 【详解】 2i 2i(13i)31i,13i 1055
z -===++
所以||z =
. 故选：D
【点睛】
本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．已知集合A={x|x<1}，B={x|31x <}，则
A ．{|0}A
B x x =<I
B ．A B R =U
C ．{|1}A B x x =>U
D ．A B =∅I
【答案】A
【解析】
∵集合{|31}x B x =<
∴{}|0B x x =<
∵集合{|1}A x x =<
∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=<
故选A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知22
2,1()5,13log ,3x x f x x x x x +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩，则[](4)f f 的值为______.
【答案】1-
【解析】
【分析】
先求()4f ，再根据()4f 的范围求出()4f f ⎡⎤⎣⎦即可.
【详解】
由题可知()24log 42f ==，
故()()2
42251f f f ⎡⎤==-=-⎣⎦. 故答案为：1-.
【点睛】
本题考查分段函数函数值的求解，涉及对数的运算，属基础题.
14．等差数列{}n a （公差不为0），其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为_____.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据等差数列关系，用首项和公差表示出2216a a a =，解出首项和公差的关系，即可得解.
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
由题意得: 2216a a a =，则2111(+)(5)a d a a d =+整理得13d a =，2114a a d a =+=，所以21
=4a a 故答案为：4
【点睛】
此题考查等差数列基本量的计算，涉及等比中项，考查基本计算能力.
15．已知2()log (4)a f x x =+（0a >且1a ≠）有最小值，且最小值不小于1，则a 的取值范围为__________.
【答案】(1,4]
【解析】
【分析】
真数24x +有最小值，根据已知可得a 的范围，求出函数()f x 的最小值，建立关于a 的不等量关系，求解即可.
【详解】
244x +≥Q ，且2()log (4)a f x x =+（0a >且1a ≠）有最小值，
min 1,()log 41,4,14a a f x a a ∴>=≥≤∴<≤，
a ∴的取值范围为(1,4].
故答案为：(1,4].
【点睛】
本题考查对数型复合函数的性质，熟练掌握基本初等函数的性质是解题关键，属于基础题.
16．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为60︒，侧面积为，则该棱锥的体积为__________．
【解析】
【分析】
如图所示，正四棱锥P ABCD -，O 为底面的中心，点M 为AB 的中点，则60PAO ∠=o ，设AB a =，根据正四棱锥的侧面积求出a 的值，再利用勾股定理求得正四棱锥的高，代入体积公式，即可得到答案.
【详解】
如图所示，正四棱锥P ABCD -，O 为底面的中心，点M 为AB 的中点，
则60PAO ∠=o ，设AB a =，
∴
2
OA a =，∴PA =，∴PM ==，
∴14()22a a ⨯⋅=⇒=，
∴2
PO a ==，
∴2133
V a PO =⨯⨯=.
故答案为：3
.
【点睛】
本题考查棱锥的侧面积和体积，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在四棱锥P ABCD -P ABCD -中，PAB △是等边三角形，BC ⊥AB ，23BC CD ==，2AB AD ==.
（1）若3PB BE =，求证：AE P 平面PCD ；
（2）若4PC =，求二面角A PC B --的正弦值．
【答案】（1）详见解析（225 【解析】
【分析】
【详解】 （1）如图，作EF PC ∥，交BC 于F ，连接AF .
因为3PB BE =，所以E 是PB 的三等分点，可得23BF =因为2AB AD ==，23BC CD ==AC AC =，所以ABC ADC △≌△，
因为BC ⊥AB ，所以90ABC ∠=︒，
因为3tan 323AB ACB BC ∠===，所以30ACB ACD ∠=∠=︒，所以60BCD ∠=︒，。