计算方法上机题目

《数值计算与FORTRAN》实验讲义基本要求：⑴用C或C++、Java、FORTRAN、Matlab等计算机程序设计语言编写程序。

⑵上机前充分准备，复习相关知识，选用合适的数据结构并详细设计算法，尽量写出具有通用性的程序，反复检查程序。

⑶上机时快速输入程序；首先排除语法错误；然后采用多组数据，详细测试，排除逻辑错误；最后将程序调试成功，运行程序得到准确结果。

⑷完成计算后，反复体会和分析，试着改善计算复杂性，使程序或算法更加完美。

补充内容：C语言绘制图形的主要函数与相关内容如下1．屏幕坐标系坐标原点在屏幕的左上角，x轴水平向右，y轴垂直向下。

2．常用的绘图函数(绘图库函数所在的头文件 graphics.h)初始化图形系统的函数 void initgraph(int *graphdriver,int *graphmode, char *pathtodriver);画点函数 void putpixel(int x,int y,int pixelcolor);移“画笔”函数 void moveto(int x,int y);画直线函数 void line(int x1,int y1,int x2,inty2);void lineto(int x,int y);设置前景颜色函数 void setcolor(int color);设置背景颜色函数 void setbkcolor(int color);设置画线宽度和类型函数 void setlinestyle(int linestyle,unsigned upattern,int thickness);关闭图形系统函数 void closegraph(void);3．绘图程序的设计模式#include "graphics.h"main(){int graphdriver=DETECT,graphmode;initgraph(&graphdriver,&graphmode, "");调用绘图函数进行绘图closegraph(); }实验内容：实验一实验题目：编写程序求多项式0111)(a x a xa x a x p n n nn ++++=--在某一点x 的值。

相关知识：秦九韶算法（递推计算公式）⎩⎨⎧--=+==0,1,,2,1,* n n k a x y y a y k n递推关系的由来：因为)(x p 可以改写为0121)))((()(a x a x a x a x a x p n n n +++++=--此法只用n 次加法和n 次乘法，称此算法为秦九韶（约1202~1261，南宋四川人，著有《数书九章》）算法。

国外称秦九韶算法为Horner(霍纳)规则，其实Horner 于1819年才提出此算法，比秦九韶晚了500多年。

数据结构：一维数组 算法设计：（略） 编写代码：（略） 实验用例：自选实验要求：编写通用程序——能够求任意多项式在任意一点的值。

建议：画出多项式的曲线。

实验二实验题目：Lagrange 插值多项式相关知识：通过n+1个节点的次数不超过n 的Lagrange 插值多项式为：∑==nk k k n x l y x L 0)()(其中，Lagrange 插值基函数∏≠=--=nkj j jk j k x x x x x l 0)(，k=0,1,…,n 。

数据结构：两个一维数组或一个二维数组 算法设计：（略）编写代码：（略）实验用例： 已知函数y=f(x)的一张表：试验要求：利用Lagrange 插值多项式)(x L n 求被插值函数f(x)在点x=65处的近似值。

建议：画出Lagrange 插值多项式)(x L n 的曲线。

实验三实验题目：Newton 插值多项式相关知识：通过n+1个节点的次数不超过n 的Newton 插值多项式为：)())(](,,,[))(](,,[)](,[)()(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N数据结构：两个一维数组或一个二维数组 算法设计：（略） 编写代码：（略）实验用例： 已知函数y=f(x)的一张表(同实验二)实验要求：利用Newton 插值多项式)(x N n 求被插值函数f(x)在点x=65处的近似值。

建议：画出Newton 插值多项式)(x N n 的曲线。

实验四实验题目：Hermite 插值多项式相关知识：通过n+1个节点的次数不超过2n+1的Hermite 插值多项式为：∑=++=nj j j j jn x m x yx H 012)]()([)(βα其中，Hermite 插值基函数)()]()(21[)(2'x l x l x x x j j j j j --=α)()()(2x l x x x j j j -=β∑≠=-=njk k kj j jx x x l 0'1)(n j ,,1,0 =数据结构：三个一维数组或一个二维数组 算法设计：（略） 编写代码：（略）实验用例： 已知函数y=f(x)的一张表(其中)('x f m =)：实验用例：利用Hermite 插值多项式)(12x H n +求被插值函数f(x)在点x=0.55处的近似值。

建议：画出Hermite 插值多项式)(12x H n +的曲线。

实验五实验题目：曲线拟合的最小二乘法相关知识：已知C[a,b]中函数f(x)的一组实验数据（x i ,y i ）（i=0,1,…,m ），其中y i =f(x i )。

设);,,1,0)((m n n j x j <= ϕ是C[a,b]上线性无关函数族。

在)}(,),(),({10x x x span n ϕϕϕφ =中找函数f(x) 曲线拟合的最小二乘解∑==nj j jx ax S 0*)()(ϕ，其法方程（组）为：),,1,0(),(0n k d a nj k j j k==∑=ϕϕ其中，∑==mi i k i j ik j x x x0)()()(),(ϕϕωϕϕ∑=≡=mi k i k i ik d x x f xf 0)()()(),(ϕωϕ k=0,1,…,n特别是，求函数f(x) 曲线拟合的线性最小二乘解b ax x S +=)(*的计算公式为：∑∑∑∑∑∑======-+-=mi i mi i mi i i mi i mi i mi ix x m y x x y x b 020202)()1())(())((∑∑∑∑∑=====-+-+=mi i mi i mi i mi i mi i i x x m y x y x m a 0202)()1())(()1(数据结构：两个一维数组或一个二维数组 算法设计：（略） 编写代码：（略）实验用例： 已知函数y=f(x)的一张表：试验要求：利用曲线拟合的线性最小二乘法求被逼近函数f(x)在点x=55处的近似值，并画出实验数据和直线。

实验六实验题目：复化求积公式相关知识：将积分区间[a,b]n 等分，节点x k =a+kh ，k=0,1, …,n,步长na b h -=。

复化梯形公式为：)]()(2)([211b f kh a f a f h T n k n +++=∑-=再将每个小区间二等分，即整个积分区间[a,b]2n 等分，此时复化梯形公式为n T 2。

复化梯形公式的递推关系为 )(212n n n H T T +=其中，∑=-+=ni n hi a f h H 1)2)12((，na b h -=。

数据结构：（略）算法设计： 复化梯形公式的算法如下第一步：n=1,h=b-a ； 第二步：)]()([2b f a f h T n +=；第三步：计算n H ； 第四步：计算n T 2； 第五步：n=2n,h=h/2； 第六步：若ε≥-2nn T T （事先给定的误差精度），则转第三步； 第七步：输出Tn 和等分数n/2，结束算法。

编写代码：（略） 实验用例：⎰=πcos xdx e I x试验要求：利用复化梯形求积公式求⎰=πcos xdx e I x的近似值（积分的精确值I=-12.0703463164， 89793238461415926535.3=π），误差精度610-=ε。

实验七实验题目：Romberg 求积公式相关知识：用两个相邻的近似公式（其中后一个公式是由前一个公式的分半得到的）的线性组合而得到更好的近似公式的方法，就是近代电子计算机上常用的Romberg 求积方法，也叫逐次分半加速（收敛）法。

设以)(0k T 表示二分k 次后求得的梯形值，且以)(j k jT -表示序列{)(0k T }的j 次加速值。

Romberg 求积公式的T 表如下Romberg 求积公式（逐次分半加速公式）如下,2,1,,,2,1,144)]2)12((2[21)]()([2)(1)1(1)(211)1(0)(0)0(01=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+-+=+-=--+---=--∑-k k j T T T a b i a f a b T T b f a f a b T jj k j j k j j j k j i kk k k k 数据结构：一个二维数组算法设计： Romberg 求积公式的算法如下第一步：取k=0，h=b-a ，求)]()([2)0(0b f a f h T +=第二步：令1→k （k 记区间[a,b]的二分次数）⑴求梯形值)(0k T ，按梯形的递推公式；⑵求加速值，按公式逐个求出T 表的第k 行其余各元素)(j k jT -（j=1,2, …,k ）；⑶若ε≥--)0(1)0(k k T T （预先给定的误差精度），k+1→k ，则转⑴； 第三步：输出)0(kT 和等分数k 2（或二分次数k ），结束算法。

编写代码：（略） 实验用例：dx x I ⎰=1)2cos(π实验要求：利用Romberg 求积公式求上述定积分（636619772.02≈=πI ），误差精度610-=ε。

实验八实验题目：用Gauss 消元法求解线性代数方程组相关知识：在做除法运算时，分母的绝对值越小，舍入误差就越大。

因此，消元的每一步都先选取绝对值比较大的元素（称作主元），用它作分母再消元。

这就是主元素消去法的基本思想。

数据结构：用一个二维数组存储线性代数方程组的增广矩阵；线性代数方程组的解最后存储在增广矩阵的最后一列上。

算法设计：用列主元Gauss 消元法求解线性代数方程组（同时求出系数行列式的值det ）的算法为第一步：det ←1;第二步：对于k=1,2,…,n-1⑴按列选取主元，找},,1,{n k k i k +∈，使ik ni k ki a a k ≤≤=max⑵如果0=kik a （最好是ε<k i ka ，ε为预先给定的一个非常小的数），则det=0，计算停止⑶如果k i k >（或k i k ≠），则换行①1,,1,,++=↔n k k j a a j i kj k②det ←-det⑷消元计算，对于i=k+1,k+2,…,n①kkik ik a a a ←②对于j=k+1,k+2,…,n+1 kj ik ij ij a a a a ⨯-← ⑸kk a ⨯←det det第三步：如果0=nn a （最好是ε<nn a ，ε为预先给定的一个非常小的数），则det=0，计算停止，否则，回代求解⑴nnn n n n a a a 1,1,++←⑵对于i=n-1，n-2，…，1① 对于j=i+1,i+2,…,n 1,1,1,+++⨯-←n j ij n i n i a a a a② iin i n i a a a 1,1,++←第四步：nn a ⨯←det det 编写代码：（略）实验用例：线性代数方程组为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----15900001.582012151526099999.23107104321x x x x 实验要求：利用列主元的Gauss 消元法求解上述线性代数方程组（精确解为()T1110-），并同时求出系数行列式的值。