数值计算方法上机实习题答案(最新整理)
计算方法上机实习题
数值计算方法上机实习题1． 设⎰+=105dx xx I nn ， （1） 由递推公式nI I n n 151+-=-，从0=0.1822I , 0=0.1823I 出发，计算20I ； （2） 20=0I ，20=10000I , 用nI I n n 51511+-=-，计算0I ；（3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。
解：（1）程序如下: clear all clc I=0.1822; %题中的已知数据 for n=1:20; I=(-5)*I+1/n; %由递推公式所得 end fprintf('I20=%f\n',I) M=0.1823; %与I 的计算结果形成对比 for i=1:20; M=(-5)*M+1/i; %由递推公式所得 end fprintf('M20=%f\n',M) 输出结果为： I20=-11592559237.912731 M20=-2055816073.851284 （2）程序如下: clear all clc I=0; %赋予I20的初始值 for n=0:19; I=(-1/5)*I+1/(5*(20-n)); %有递推公式得 end fprintf('I0=%f\n',I) M=10000; for i=0:19; M=(-1/5)*M+1/(5*(20-i));%有递推公式得 end fprintf('M0=%f\n',M) 输出结果为： I0=0.182322 M0=0.182322（3）由输出结果可看出第一种算法为不稳定算法，第二中算法为稳定算法。
由于误差*000***21111120115(5)5()555nn n n n n n n n n e I I e I I I I I I e e e n n------=-=-=-+--+=-===第一种算法为正向迭代算法，每计算一步误差增长5倍，虽然所给的初始值很接近，随着n 的增大，误差也越来越大。
（完整版）数值计算方法上机实习题答案
（完整版）数值计算⽅法上机实习题答案1．设?+=105dx xx I nn ，（1）由递推公式nI I n n 151+-=-，从0I 的⼏个近似值出发，计算20I ；解：易得：0I =ln6-ln5=0.1823, 程序为：I=0.182; for n=1:20I=(-5)*I+1/n; end I输出结果为：20I = -3.0666e+010 （2）粗糙估计20I ，⽤nI I n n 515111+-=--，计算0I ；因为 0095.056 0079.01020201020≈<<≈??dx x I dx x 所以取0087.0)0095.00079.0(2120=+=I 程序为：I=0.0087; for n=1:20I=(-1/5)*I+1/(5*n); end I0I = 0.0083（3）分析结果的可靠性及产⽣此现象的原因(重点分析原因)。
⾸先分析两种递推式的误差；设第⼀递推式中开始时的误差为000I I E '-=，递推过程的舍⼊误差不计。
并记nn n I I E '-=，则有01)5(5E E E n n n -==-=-Λ。
因为=20E 20020)5(I E >>-，所此递推式不可靠。
⽽在第⼆种递推式中n n E E E )51(5110-==-=Λ，误差在缩⼩，所以此递推式是可靠的。
出现以上运⾏结果的主要原因是在构造递推式过程中，考虑误差是否得到控制，即算法是否数值稳定。
2．求⽅程0210=-+x e x的近似根，要求41105-+?<-k k x x ，并⽐较计算量。
（1）在[0，1]上⽤⼆分法；程序：a=0;b=1.0;while abs(b-a)>5*1e-4 c=(b+a)/2;if exp(c)+10*c-2>0 b=c; else a=c; end end c结果：c =0.0903（2）取初值00=x ，并⽤迭代1021x k e x -=+；程序：x=0; a=1;while abs(x-a)>5*1e-4 a=x;x=(2-exp(x))/10; end x结果：x =0.0905（3）加速迭代的结果；程序：x=0; a=0;b=1;while abs(b-a)>5*1e-4 a=x;y=exp(x)+10*x-2; z=exp(y)+10*y-2;x=x-(y-x)^2/(z-2*y+x); b=x; end x结果：x =0.0995（4）取初值00=x ，并⽤⽜顿迭代法；程序：x=0; a=0;b=1;while abs(b-a)>5*1e-4 a=x;x=x-(exp(x)+10*x-2)/(exp(x)+10); b=x; end x结果： x =0.0905（5）分析绝对误差。
数值计算方法上机实习题NEW
数值计算方法上机实习题1． 设⎰+=105dx x x I nn ， （1） 由递推公式nI I n n 151+-=-，从0I 的几个近似值出发，计算20I ； （2） 粗糙估计20I ，用n I I n n 51511+-=-，计算0I ； （3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。
2． 求方程0210=-+x e x 的近似根，要求41105-+⨯<-k k x x ，并比较计算量。
（1） 在[0，1]上用二分法；（2） 取初值00=x ，并用迭代1021x k e x -=+； （3） 加速迭代的结果；（4） 取初值00=x ，并用牛顿迭代法；（5） 分析绝对误差。
3．钢水包使用次数多以后，钢包的容积增大，数据如下：（注：增速减少，用何种模型） 4．设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------------=410100141010014101101410010141001014A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=625250b ，b x =A 分析下列迭代法的收敛性，并求42110-+≤-k k x x 的近似解及相应的迭代次数。
（1） JACOBI 迭代；（2） GAUSS-SEIDEL 迭代；（3） SOR 迭代（95.0,95.1,334.1=ω）。
5．用逆幂迭代法求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111123136A 最接近于11的特征值和特征向量，准确到310-。
6．用经典R-K 方法求解初值问题（1）⎩⎨⎧-+-='++-='x x y y y x y y y sin 2cos 22sin 22212211，]10,0[∈x ， ⎩⎨⎧==3)0(2)0(21y y ； （2）⎩⎨⎧-+-='++-='x x y y y x y y y sin 999cos 999999998sin 22212211，]10,0[∈x ， ⎩⎨⎧==3)0(2)0(21y y 。
数值计算方法试题和答案解析
数值计算方法试题和答案解析(总22页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x x k k n k k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
上机数值计算练习题及答案.docx
习题31、在MATLAB 中,先运行指令A=magic(3), B=[l,2,l;3,4,3;5,6,7], C=reshape(l:6,3,2)生成阵列A 珂，B3X2,C3X2 ,然后根据运行结果回答以下问题：(1)计算A*B,B*A,这两个乘积相同吗？(2)计算A\B, B/A,左除、右除结果相同吗？(3)计算B(:,[1,2]).*C和C.*B(:, [1,2]),这两个乘积相同吗?(4)计算A\A和AAA,这两个计算结果相同吗？(5)计算A\eye(3)和inv(A),这两个计算结果相同吗？(提示：根据对计算结果的目测回答问题)解答如下：运行指令：A=magic(3), B=[l,2,l;3,4,3;5,6,7], C=reshape(l:6,3,2)得到结果：8 1 63 5 74 9 2B =1 2 13 4 35 6 7C =1 42 53 6(1)计算A*B,并得到结果如下：» A*Bans =41 56 5353 68 6741 56 45计算B*A, 并得到结果如下：»B*Aans =18 20 2248 50 5286 98 86从以上计算结果可以得出结论：A*BJ (2)计算A\B ，并得到结果如下：» A\Bans =0.0333 0.1000 0.16110.5333 0.6000 0.74440.0333 0.1000 -0.1722计算B/A, 并得到结果如下：B/Aans =0.0056 0.0889 0.17220.1389 0.2222 0.30560.2333 0.7333 0.2333 与B*A这两个乘积不同。
从以上计算结杲可以得出结论：左除、右除结杲不同。
(3)计算B(:,[1,2]).弋，并得到结果如下：A =» B(:,[1,2]).*C ans =1 8 6 20 15 36计算C.*B(:, [1,2]),并得到结果如下: » CFB(:, [1,2]) ans =1 6 20 15 36从以上计算结果可以得出结论:B(: J1,2]).*C 和C ・*B(:, [1,2])的两个乘积相同。
数值计算方法总结计划试卷试题集及答案
一、选择题（每题2分，共20分）1.数值计算的基本思想是（）。
A.精确求解B.近似求解C.解析表达D.图像显示2.下列哪种方法不属于数值计算方法？（）A.有限差分法B.有限元法C.插值法D.微积分3.在数值计算中，为避免数值计算误差，通常采用（）方法。
A.精确计算B.误差分析C.误差校正D.舍入运算4.下列哪种数值方法适用于求解偏微分方程？（）A.欧拉法B.龙格-库塔法C.有限差分法D.牛顿法5.下列哪种方法不属于求解线性方程组的数值方法？（）A.高斯消元法B.追赶法C.迭代法D.矩阵分解法二、填空题（每题2分，共20分）6.数值计算方法是利用计算机求解科学和工程问题的_______方法。
7.数值计算的主要目的是将_______问题转化为_______问题。
8.在数值计算中，通常需要对实际问题进行_______，以简化计算过程。
9.有限差分法的核心思想是将偏微分方程转化为_______方程。
10.牛顿法是一种_______方法，适用于求解非线性方程组。
三、判断题（每题2分，共20分）11.数值计算方法只能解决线性问题。
（）12.在数值计算中，误差只能通过增加计算精度来减小。
（）13.迭代法求解线性方程组时，需要预先知道方程组的解。
（）14.数值计算方法在实际应用中具有较高的可靠性。
（）15.有限元法适用于求解所有类型的偏微分方程。
（）四、简答题（每题10分，共30分）16.请简要说明数值计算的基本思想及其应用范围。
17.请简要介绍有限差分法的原理及应用。
18.请简要说明牛顿法求解非线性方程组的原理。
五、计算题（每题10分，共50分）2x+3yz=14xy+5z=2-x+2y+z=3y'=-y+e^x，初始条件y(0)=1答案：一、选择题1.B2.D3.B4.C5.A二、填空题6.近似7.连续离散8.简化9.差分10.迭代三、判断题11.×12.×13.×14.√15.×四、简答题16.数值计算的基本思想是将实际问题转化为数学问题，再通过计算机求解。
数值计算方法上机实习题考证
数值计算⽅法上机实习题考证--------------------------------------------------- 此⽂档包含我们计算⽅法的经典算法包含（数值计算⽅法上机实习题）1．设?+=105dx xx I nn ，（1）由递推公式n I I n n 151+-=-，从0I 的⼏个近似值出发，计算20I ；（2）粗糙估计20I ，⽤nI I n n 51511+-=-，计算0I ；（3）分析结果的可靠性及产⽣此现象的原因(重点分析原因)。
(1) 解答：n=0，0.1823)05ln()15ln()5(51515101010=+-+=++=+=+=x d xdx x dx x x I nn这⾥可以⽤for 循环，while 循环，根据个⼈喜好与习惯：for 循环程序： While 循环程序： I=0.1823; I=0.1823; for n=1:20 i=1;I=(-5)*I+1/n; while i<21 End I=(-5)*I+1/i; I i=i+1; fprintf('I20=%f',I) end I = -2.0558e+009 >> II20=-2055816073.851284>> I = -2.0558e+009 (2) 粗略估计I 20： Mathcad 计算结果： for 循环程序： While 循环程序： >> I=0.007998; I=0.007998; >> for n=1:20 n=1;I=(-0.2)*I+1/(5*n); while n<21End I=(-0.2)*I+1/(5*n); >> I n=n+1; I =0.0083 end >> II =0.0083(3) 算法误差分析：计算在递推过程中传递截断误差和舍⼊误差第⼀种算法：（从1——>20）1x x 205x +d 7.998103-?=*000e I I =-*115(5)5()555n n n n n n n n n n e I I I I I I e e e n n------=-=-+--+=-===误差放⼤了5n倍，算法稳定性很不好；第⼆种算法：（从20——>1）*n n ne I I =-***111111111()()555555n n n n n n nn e I I I I I I e n n ---=-=-+--+=-=0111...()55n ne e e ===误差在逐步缩⼩，算法趋近稳定，收敛。
数值计算方法答案
数值计算方法答案(总71页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，9习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）++； （2）+（+）哪个较精确 解：（1）++ ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl ⨯+ =210⨯ （2）+（+） 21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯= 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯=210⨯易见++=210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些为什么（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x -=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A ）y=，（B ）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x=，（B ）1cos 2xy x -=；（4）（A）9y =B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
数值分析计算实习题答案
数值分析计算实习题答案数值分析计算实习题答案数值分析是一门研究如何利用计算机对数学问题进行近似求解的学科。
在数值分析的学习过程中，实习题是一种重要的学习方式，通过实践来巩固理论知识，并培养解决实际问题的能力。
本文将为大家提供一些数值分析计算实习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握数值分析的相关知识。
一、插值与拟合1. 已知一组数据点，要求通过这些数据点构造一个一次插值多项式，并求出在某一特定点的函数值。
答案：首先，我们可以根据给定的数据点构造一个一次插值多项式。
假设给定的数据点为(x0, y0), (x1, y1)，我们可以构造一个一次多项式p(x) = a0 + a1x，其中a0和a1为待定系数。
根据插值条件，我们有p(x0) = y0，p(x1) = y1。
将这两个条件代入多项式中，可以得到一个方程组，通过求解这个方程组，我们就可以确定a0和a1的值。
最后，将求得的多项式代入到某一特定点，就可以得到该点的函数值。
2. 已知一组数据点，要求通过这些数据点进行最小二乘拟合，并求出拟合曲线的表达式。
答案：最小二乘拟合是一种通过最小化误差平方和来找到最佳拟合曲线的方法。
假设给定的数据点为(x0, y0), (x1, y1)，我们可以构造一个拟合曲线的表达式y =a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n，其中a0, a1, ..., an为待定系数。
根据最小二乘拟合原理，我们需要最小化误差平方和E = Σ(yi - f(xi))^2，其中yi为实际数据点的y值，f(xi)为拟合曲线在xi处的函数值。
通过求解这个最小化问题，我们就可以确定拟合曲线的表达式。
二、数值积分1. 已知一个函数的表达式，要求通过数值积分的方法计算函数在某一区间上的定积分值。
答案：数值积分是一种通过将定积分转化为数值求和来近似计算的方法。
假设给定的函数表达式为f(x)，我们可以将定积分∫[a, b]f(x)dx近似为Σwi * f(xi)，其中wi为权重系数，xi为待定节点。
计算方法与实习上机题答案
实习题11用两种不容的顺序计算644834.1100012≈∑=-n n，分析误差的变化（1）顺序计算 源代码：#include<stdio.h> #include<math.h> void main() { double sum=0; int n=1; while(1) { sum=sum+(1/pow(n,2)); if(n%1000==0)printf("sun[%d]=%-30f",n,sum); if(n>=10000)break; n++; } printf("sum[%d]=%f\n",n,sum); }结果：（2）逆序计算 源代码：#include<stdio.h> #include<math.h> void main() { double sum=0; int n=10000; while(1) { sum=sum+(1/pow(n,2));if(n%1000==0) printf("sum[%d]=%-30f",n,sum); if(n<=1)break; n --;} printf("sum[%d]=%f\n",n,sum);}结果：2已知连分数))//(.../(322101n n b a a b a b a b f ++++=利用下面的方法计算f:11)0,...,2,1(,d f n n i d a b d b d i i i i n n =--=+==++写一个程序，读入n,n n b a ,,计算并打印f 源代码：#include<stdio.h> #include<math.h> void main() { int i=0,n; float a[1024],b[1024],d[1024]; printf("please input n,n="); scanf("%d",&n); printf("\nplease input a[1] to a[n]:\n"); for(i=1;i<=n;i++) { printf("a[%d]=",i); scanf("%f",&a[i]);} printf("\nplease input b[0] to b[n]:\n"); for(i=0;i<=n;i++) { printf("b[%d]=",i); scanf("%f",&b[i]); } d[n]=b[n]; for(i=n -1;i>=0;i --) d[i]=b[i]+a[i+1]/d[i+1]; printf("\nf=%f\n",d[0]); } 结果：3给出一个有效的算法和一个无效的算法计算积分⎰=+=10)10,...1,0(14n dx x x y n n源代码：#include<stdio.h> #include<math.h> main() { double y_0=(1/4.0)*log(5),y_1; double y_2=(1.0/55.0+1.0/11.0)/2,y_3; int n=1,m=10; printf("有效算法输出结果：\n"); printf("y[0]=%-20f",y_0);while(1) { y_1=1.0/(4*n)+y_0/(-4.0); printf("y[%d]=%-20f",n,y_1); if(n>=10) break; y_0=y_1; n++; if(n%3==0) printf("\n"); }printf("\n 无效算法的输出结果：\n"); printf("y[10]=%-20f",y_2); while(1) { y_3=1.0/n -4.0*y_2; printf("y[%d]=%-20f",m -1,y_3); if(m<=1) break; y_2=y_3; m --; if(m%2==0) printf("\n"); }}结果：4设∑=-=Nj N j S 2211，已知其精确值为)11123(21+--N N （1）编制按从小到大顺序计算N S 的程序 （2）编制按从小达到的顺序计算N S 的程序（3）按两种顺序分别计算30000100001000,,S S S ,并指出有效位数源代码：#include<stdio.h> main() { int N; double SN[30000]; SN[30000]=(3.0/2.0-1.0/30000.0-1/30001.0)/2.0; for(N=30000;N>=2;N --) SN[N -1]=SN[N]-1.0/(N*N -1); printf("从大到小顺序计算：\nSN[1000]=%f\nSN[10000]=%f\nSN[30000]=%f\n",SN[1000],SN[10000],SN[30000]); SN[2]=(3.0/2-1.0/2.0-1/3.0)/2.0; for(N=3;N<=30000;N++) SN[N]=SN[N -1]+1.0/(N*N -1); printf("从小到大顺序计算：\nSN[1000]=%f\nSN[10000]=%f\nSN[30000]=%f\n",SN[1000],SN[10000],SN[30000]); } 结果：实习题2 1.用牛顿法求下列方程的根2=-x e x01=-x xe 02lg =-+x x源代码：#include <stdio.h> #include <math.h>typedef float (*p)(float ); float ff1(float x) { return x*x -exp(x); }float ff2(float x) { return x*exp(x)-1; }float ff3(float x) { return log(x)+x -2; }float answer(float(*p)(float)) { int k=2; float m=1,n=-1,x2,a,b,c; if (p==ff3)n=2; printf("x[0] = %.4f, x[1] = %.4f, ",m,n); while (1) { if (fabs(m -n)<1e -4) break; a=p(n)*(n -m); b=p(n)-p(m); c=a/b; x2=n -c; m = n; n = x2; printf("x[%d] = %.4f, ",k,x2); k++; if (k%3==0) printf("\n"); }if (k%3!=0) printf("\n");printf("iteration times: %d, roots: %.4f\n ",k-2,n);return 0;}main(){printf("x*x-exp(x),\n");answer(ff1);printf("x*exp(x)-1,\n");answer(ff2);printf("lg(x)+x-2,\n");answer(ff3);return 0;}结果：2.编写一个割线法的程序，求解上述各方程源代码：#include<stdio.h>#include<math.h>float gexian(float,float);float f(float);main(){int i,j;float x1=2.2;float x2=2,x3;scanf("%d",&i);if(i==1)printf("%f",x1); else if(i==2) printf("%f",x2); else { for(j=3;j<=i;j++) { x3=gexian(x1,x2); x1=x2; x2=x3; } printf("%f",gexian(x1,x2)); } }float f(float x) { return (x*x -exp(x)); }float gexian(float x1,float x2) { return (x2-(f(x2)/(f(x2)-f(x1)))*(x2-x1)); }结果：实习题3 1用列主元消去法解下列方程组；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-++--=+--=--+43443233312)1(421432143214321x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++--=++-=-+--=-+-4341220332282)2(432132143214321x x x x x x x x x x x x x x x 源程序：#include<stdio.h>#include<math.h>void ColPivot(float*,int,float[]);void ColPivot(float*c,int n,float x[]){int i,j,t,k;float p;for(i=0;i<=n-2;i++){k=i;for(j=i+1;j<=n-1;j++)if(fabs(*(c+j*(n+1)+i))>(fabs(*(c+k*(n+1)+i))))k=j;if(k!=i)for(j=i;j<=n;j++){p=*(c+i*(n+1)+j);*(c+i*(n+1)+j)=*(c+k*(n+1)+j);*(c+k*(n+1)+j)=p;}for(j=i+1;j<=n-1;j++){p=(*(c+j*(n+1)+i))/(*(c+i*(n+1)+i));for(t=i;t<=n;t++)*(c+j*(n+1)+t)-=p*(*(c+i*(n+1)+t));}}for(i=n-1;i>=0;i--){for(j=n-1;j>=i+1;j--)(*(c+i*(n+1)+n))-=x[j]*(*(c+i*(n+1)+j));x[i]=*(c+i*(n+1)+n)/(*(c+i*(n+1)+i));}}void main(){int i;float x[4];float c[4][5]={1,1,0,3,4,2,1,-1,1,1,3,-1,-1,3,-3,-1,2,3,-1,4};ColPivot(c[0],4,x);for(i=0;i<=3;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);}结果：第（1）题第（2）题2、源代码：#include<stdio.h>void main(){float x[4];int i;float a[4][5]={48,-24,0,-12,4,-24,24,12,12,4,0,6,20,2,-2,-6,6,2,16,-2};void DirectLU(float*,int,float[]);DirectLU(a[0],4,x);for(i=0;i<=3;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);}void DirectLU(float*u,int n,float x[]){int i,r,k;for(r=0;r<=n-1;r++){for(i=r;r<=n;i++)for(k=0;k<=r-1;k++)*(u+r*(n+1)+i)-=*(u+r*(n+1)+k)*(*(u+k*(n+1)+i));for(i=r+1;i<=n-1;i++){for(k=0;k<=r-1;k++)*(u+i*(n+1)+r)-=*(u+i*(n+1)+k)*(*(u+k*(n+1)+r));*(u+i*(n+1)+r)/=*(u+r*(n+1)+r);}}for(i=n-1;i>=0;i--){for(r=n-1;r>=i+1;r--)*(u+i*(n+1)+n)-=*(u+i*(n+1)+r)*x[r];x[i]=*(u+i*(n+1)+n)/(*(u+i*(n+1)+i));}}实习题41、源代码：#include<stdio.h>float Lagrange(float x[],float y[],float xx,int n) //n为（n+1）次插值；{int i,j;float *a,yy=0;a=new float[n];for(i=0;i<=n-1;i++){a[i]=y[i];for(j=0;j<=n-1;j++)if(j!=i)a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]);yy+=a[i];}delete a;return yy;}void main(){float x[5]={-3.0,-1.0,1.0,2.0,3.0};float y[5]={1.0,1.5,2.0,2.0,1.0};float xx1=-2,xx2=0,xx3=2.75,yy1,yy2,yy3;yy1=Lagrange(x,y,xx1,3);yy2=Lagrange(x,y,xx2,3);yy3=Lagrange(x,y,xx3,3);printf("x1=%-20f,y1=%f\n",xx1,yy1);printf("x2=%-20f,y2=%f\n",xx2,yy2);printf("x3=%-20f,y3=%f\n",xx3,yy3);}结果：2、源代码：#include<stdio.h>float Lagrange(float x[],float y[],float xx,int n) //n为（n+1）次插值；{int i,j;float *a,yy=0;a=new float[n];for(i=0;i<=n-1;i++){a[i]=y[i];for(j=0;j<=n-1;j++)if(j!=i)a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]);yy+=a[i];}delete a;return yy;}void main(){float x[6]={0.30,0.42,0.50,0.58,0.66,0.72};float y[6]={1.04403,1.08462,1.11803,1.15603,1.19817,1.23223};float xx1=0.46,xx2=0.55,xx3=0.60,yy1,yy2,yy3;yy1=Lagrange(x,y,xx1,6);yy2=Lagrange(x,y,xx2,6);yy3=Lagrange(x,y,xx3,6);printf("x1=%-20f,y1=%f\n",xx1,yy1);printf("x2=%-20f,y2=%f\n",xx2,yy2);printf("x3=%-20f,y3=%f\n",xx3,yy3);}结果：源代码：#include<stdio.h>#define N 3void Difference(float y[],float f[4][4],int n){int k,i;f[0][0]=y[0];f[1][0]=y[1];f[2][0]=y[2];f[3][0]=y[3];for(k=1;k<=n;k++)for(i=0;i<=(N-k);i++)f[i][k]=f[i+1][k-1]-f[i][k-1];return;}void main(){int i,k=1;float a,b=1,m=21.4,t=1.4,f[4][4]={0};float x[5]={20,21,22,23,24};float y[5]={1.30103,1.32222,1.34242,1.36173,1.38021};Difference(y,f,N);a=f[0][0];for(i=1;i<=N;i++){k=k*i;b=b*(t-i+1);a=a+b*f[0][i]/k;}printf("x(k)\n");for (i=0;i<=4;i++)printf( "%-20f",x[i]);printf("\ny(k)\n");for (i=0;i<=4;i++)printf("%-20f",y[i]);for(k=1;k<=3;k++){printf("\nF(%d)\n ",k);for(i=0;i<=(3-k);i++){printf("%-20f",f[i][k]);}}printf ("\n");printf("f(%f)=%-20f",m,a);printf ("\n");结果：实习题52、源代码：#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){int i,n;float a[2];float x[15]={1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5,7,7.5,8},z[15];floaty[15]={33.4,79.50,122.65,159.05,189.15,214.15,238.65,252.50,267.55,280.50,296.65,301.40,310 .40,318.15,325.15};for(n=0;n<=14;n++) //增加了数组z；{z[n]=log(y[n]/x[n]);}void Approx(float[],float[],int,int,float[]);Approx(x,z,15,1,a); //变成一次拟合；//for(i=0;i<=1;i++)//printf("a[%d]=%f\n",i,a[i]);printf("a=exp(a[0])=%f\n",exp(a[0]));printf("b=-a[1]=%f\n",-a[1]); }void Approx(float x[],float y[],int m,int n,float a[]){int i,j,t;float *c=new float[(n+1)*(n+2)];float power(int,float);void ColPivot(float *,int,float[]);for(i=0;i<=n;i++){for(j=0;j<=n;j++){*(c+i*(n+2)+j)=0;for(t=0;t<=m-1;t++)*(c+i*(n+2)+j)+=power(i+j,x[t]);}*(c+i*(n+2)+n+1)=0;for(j=0;j<=m-1;j++)*(c+i*(n+2)+n+1)+=y[j]*power(i,x[j]);}ColPivot(c,n+1,a);delete c;}void ColPivot(float *c,int n,float x[]){int i,j,t,k;float p;for(i=0;i<=n-2;i++){k=i;for(j=i+1;j<=n-1;j++)if(fabs(*(c+j*(n+1)+i))>(fabs(*(c+k*(n+1)+i))))k=j;if(k!=i)for(j=i;j<=n;j++){p=*(c+i*(n+1)+j);*(c+i*(n+1)+j)=*(c+k*(n+1)+j);*(c+k*(n+1)+j)=p;}for(j=i+1;j<=n-1;j++){p=(*(c+j*(n+1)+i))/(*(c+i*(n+1)+i));for(t=i;t<=n;t++)*(c+j*(n+1)+t)-=p*(*(c+i*(n+1)+t));}}for(i=n-1;i>=0;i--){for(j=n-1;j>=i+1;j--)(*(c+i*(n+1)+n))-=x[j]*(*(c+i*(n+1)+j));x[i]=*(c+i*(n+1)+n)/(*(c+i*(n+1)+i));}float power(int i,float v){float a=1;while(i--)a*=v;return a;}结果：实习题61、源代码：（1）#include<stdio.h>#include<math.h>float Cotes(float(*f)(float),float a,float b,int n){int k;float c,c1=0,c2,c3,c4;float h=(b-a)/n;c2=(*f)(a+h/4);c3=(*f)(a+h/2);c4=(*f)(a+3*h/4);for(k=1;k<=n-1;k++){c1+=(*f)(a+k*h);c2+=(*f)(a+k*h+h/4);c3+=(*f)(a+k*h+h/2);c4+=(*f)(a+k*h+3*h/4);}c=h/90*(7*((*f)(a)+(*f)(b))+14*c1+32*c2+12*c3+32*c4);return c;}float f(float x){return 1/sqrt(1+x*x*x);}void main()int i,n=4;float c;for(i=0;i<=4;i++){c=Cotes(f,0,1,n);printf("C(%d)=%f\n",n,c);n*=2;}}（2）#include<stdio.h>#include<math.h>float Cotes(float(*f)(float),float a,float b,int n){int k;float c,c1=0,c2,c3,c4;float h=(b-a)/n;c2=(*f)(a+h/4);c3=(*f)(a+h/2);c4=(*f)(a+3*h/4);for(k=1;k<=n-1;k++){c1+=(*f)(a+k*h);c2+=(*f)(a+k*h+h/4);c3+=(*f)(a+k*h+h/2);c4+=(*f)(a+k*h+3*h/4);}c=h/90*(7*((*f)(a)+(*f)(b))+14*c1+32*c2+12*c3+32*c4);return c;}float f(float x){ // return 1/sqrt(1+x*x*x);if (x==0)return 1;else return sin(x)/x;}void main(){int i,n=4;float c;for(i=0;i<=4;i++){// c=Cotes(f,0,1,n);c=Cotes(f,0,5,n);printf("C(%d)=%f\n",n,c);n*=2;}}结果：（1）（2）实习题7一、改进欧拉法1、#include<stdio.h>#include<iostream>double Adams (double (*f)(double x, double y),double x0,double y0,double h,int N) {for(int n=0; n<N; ++n) {double x1=x0+h;double yp=y0+h*f(x0,y0);double y1=y0+h*f(x1,yp);y1=(yp+y1)/2.0;printf("ty=%f\n",y1);x0=x1;y0=y1;}}int main(void){double f(double x, double y); double x0=0,y0=0;double x,y,step;long i;step=0.1;Adams(f,x0,y0,0.1,10);}double f(double x, double y) {double r;r=x*x+y*y;return(r);}2、int main(void){double f(double x, double y); double x0=0,y0=0;double x,y,step;long i;step=0.1;Adams(f,x0,y0,0.1,10);}double f(double x, double y) {double r;r=1/(1+y*y);return(r);}3、int main(void){double f(double x, double y); double x0=0,y0=1;double x,y,step;long i;step=0.1;Adams(f,x0,y0,0.1,10);}double f(double x, double y) {double r;r=y-2*x/y;}四阶龙格库塔法1、#include<iostream>#include<stdio.h>using namespace std;//f为函数的入口地址，x0、y0为初值，xn为所求点，step为计算次数double Runge_Kuta( double (*f)(double x, double y), double x0, double y0, double xn, long step ){double k1,k2,k3,k4,result;double h=(xn-x0)/step;if(step<=0)return(y0);if(step==1){k1=f(x0,y0);k2=f(x0+h/2, y0+h*k1/2);k3=f(x0+h/2, y0+h*k2/2);k4=f(x0+h, y0+h*k3);result=y0+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;}else{double x1,y1;y1=Runge_Kuta(f, x0, y0, xn-h,step-1);k1=f(x1,y1);k2=f(x1+h/2, y1+h*k1/2);k3=f(x1+h/2, y1+h*k2/2);k4=f(x1+h, y1+h*k3);result=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;}printf("%lg\n",result);return(result);}int main(void){double f(double x, double y);double x0=0,y0=0,k;double x,y,step;long i;step=0.1;cout.precision(10);//for(i=0;i<=10;i++)//{// x=x0+i*step;// cout<<x<<" - "<<Runge_Kuta(f,x0,y0,x,i)<<endl; //}//cout<<Runge_Kuta(f,x0,y0,1,10);k= Runge_Kuta(f,x0,y0,1,10);}double f(double x, double y){double r;r=x*x+y*y;return(r);}2、int main(void){double f(double x, double y);double x0=0,y0=0,k;double x,y,step;long i;step=0.1;cout.precision(10);//for(i=0;i<=10;i++)//{// x=x0+i*step;// cout<<x<<" - "<<Runge_Kuta(f,x0,y0,x,i)<<endl; //}//cout<<Runge_Kuta(f,x0,y0,1,10);k= Runge_Kuta(f,x0,y0,1,10);}double f(double x, double y){double r;r=1/（1+y*y）;return(r);}3、int main(void){double f(double x, double y);double x0=0,y0=0,k;double x,y,step;long i;step=0.1;cout.precision(10);//for(i=0;i<=10;i++)//{// x=x0+i*step;// cout<<x<<" - "<<Runge_Kuta(f,x0,y0,x,i)<<endl; //}//cout<<Runge_Kuta(f,x0,y0,1,10);k= Runge_Kuta(f,x0,y0,1,10);}double f(double x, double y){double r;r=1/（1+y*y）;return(r);}二、int main(void){double f(double x, double y);double x0=0,y0=1,k;double x,y,step;long i;step=0.1;cout.precision(10);//for(i=0;i<=10;i++)//{// x=x0+i*step;// cout<<x<<" - "<<Runge_Kuta(f,x0,y0,x,i)<<endl;//}//cout<<Runge_Kuta(f,x0,y0,1,10);k= Runge_Kuta(f,x0,y0,1,10);}double f(double x, double y){double r;r=y-2*x/y;return(r);}三、1、void Runge_Kutta(float(*f)(float x,float y),float a,float b,float y0,int N,float yy[]) {float x=a,y=y0,K1,K2,K3,K4;float h=(b-a)/N;int i;for(i=1;i<=3;i++){K1=(*f)(x,y);K2=(*f)(x+h/2,y+h*K1/2);K3=(*f)(x+h/2,y+h*K2/2);K4=(*f)(x+h/2,y+h*K3);y=y+h*(K1+2*K2+2*K2+2*K3+K4)/6;x=a+i*h;yy[i-1]=y;}}void Adams (float a,float b,int N,float(*f)(float x,float y),float y0){int i;float y1,y2,y,yp,yc,yy[3],h,x;printf("x[0]=%f\ty[0]=%f\n",a,y0);Runge_Kutta(f,a,b,y0,N,yy);y1=yy[0];y2=yy[1];y=yy[2];h=(b-a)/N;for(i=1;i<=3;i++)printf("x[%d]=%f\ty[%d]=%f\n",i,a+i*h,i,yy[i-1]);for(i=3;i<N;i++){x=a+i*h;yp=y+h*(55*f(x,y)-59*f(x-h,y2)+37*f(x-2*h,y1)-9*f(x-3*h,y0))/24;yc=y+h*(9*(*f)(x+h,yp)+19*(*f)(x,y)-5*(*f)(x-h,y2)+(*f)(x-2*h,y1))/24;printf("x[%d]=%f\ty[%d]=%f\n",i+1,x+h,i+1,yc);y0=y1;y1=y2;y2=y;y=yc;}}float f(float x,float y){return y*y;void Runge_Kutta(float(*f)(float x,float y),float a,float,float b,float y0,int N,float yy[]); void Adams (float a,float b,int N,float(*f)(float x,float y),float y0);float f(float x,float y);int main (void){float a=0,b=1,y0=1;int N=10;Adams(a,b,N,f,y0);}2、#include<stdio.h>void Runge_Kutta(float(*f)(float x,float y),float a,float b,float y0,int N,float yy[]){float x=a,y=y0,K1,K2,K3,K4;float h=(b-a)/N;int i;for(i=1;i<=3;i++){K1=(*f)(x,y);K2=(*f)(x+h/2,y+h*K1/2);K3=(*f)(x+h/2,y+h*K2/2);K4=(*f)(x+h/2,y+h*K3);y=y+h*(K1+2*K2+2*K2+2*K3+K4)/6;x=a+i*h;yy[i-1]=y;}}void Adams (float a,float b,int N,float(*f)(float x,float y),float y0)int i;float y1,y2,y,yp,yc,yy[3],h,x;printf("x[0]=%f\ty[0]=%f\n",a,y0);Runge_Kutta(f,a,b,y0,N,yy);y1=yy[0];y2=yy[1];y=yy[2];h=(b-a)/N;for(i=1;i<=3;i++)printf("x[%d]=%f\ty[%d]=%f\n",i,a+i*h,i,yy[i-1]);for(i=3;i<N;i++){x=a+i*h;yp=y+h*(55*f(x,y)-59*f(x-h,y2)+37*f(x-2*h,y1)-9*f(x-3*h,y0))/24;yc=y+h*(9*(*f)(x+h,yp)+19*(*f)(x,y)-5*(*f)(x-h,y2)+(*f)(x-2*h,y1))/24;printf("x[%d]=%f\ty[%d]=%f\n",i+1,x+h,i+1,yc);y0=y1;y1=y2;y2=y;y=yc;}}float f(float x,float y){return 0.1*(x*x*x+y*y);}void Runge_Kutta(float(*f)(float x,float y),float a,float,float b,float y0,int N,float yy[]); void Adams (float a,float b,int N,float(*f)(float x,float y),float y0);float f(float x,float y);int main (void){float a=0,b=1,y0=1;int N=10;Adams(a,b,N,f,y0);}。
数值计算方法上机实习题
数值计算方法上机实习题(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数值计算方法上机实习题1．设⎰+=105dx xx I nn ， （1） 由递推公式nI I n n 151+-=-，从I 0=0.1824, 0=0.1823I 出发，计算20I ； （2） 20=0I ，20=10000I , 用nI I n n 515111+-=--，计算0I ；（3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。
答：第一个算法可得出e 0=|I 0−I 0∗| e n =|I n −I n ∗|=5n |e 0|易知第一个算法每一步计算都把误差放大了5倍，n 次计算后更是放大了5n 倍，可靠性低。
第二个算法可得出e n =|I n −I n ∗| e 0=(1)n|e n |可以看出第二个算法每一步计算就把误差缩小5倍，n 次后缩小了5n 倍，可靠性高。
2．求方程0210=-+x e x 的近似根，要求41105-+⨯<-k k x x ，并比较计算量。
（1） 在[0，1]上用二分法； (1) [0，1]上的二分法二分法子程序：function [root,n]=EFF3(f,x1,x2) %第二题(1)二分法f1=subs(f,symvar(f),x1);%函数在x=x1的值 f2=subs(f,symvar(f),x2);%x=x2 n=0;%步数er=5*10^-4;%误差 if(f1==0) root=x1; return; elseif(f2==0) root=x2; return;elseif(f1*f2>0)disp('两端点函数值乘积大于0！'); return; elsewhile(abs(x1-x2)>er)%循环 x3=(x1+x2)/2;f3=subs(f,symvar(f),x3); n=n+1; if(f3==0) root=x3; break;elseif(f1*f3>0) x1=x3; elsex2=x3; end endroot=(x1+x2)/2;%while 循环少一步需加上 end计算根与步数程序：fplot(@(x) exp(x)+10*x-2,[0,1]); grid on; syms x;f=exp(x)+10*x-2; [root,n]=EFF3(f,0,1);fprintf('root=% ,n=%d \n',root,n);计算结果显示：root= ,n=11（2） 取初值00=x ，并用迭代1021x k e x -=+；(2) 初值x 0=0迭代 迭代法子程序：function [root,n]=DDF(g,x0,err,max) （接下页） %root 根，n+1步数，g 函数，x0初值，err 误差，max 最大迭代次数 X(1)=x0; for n=2:maxX(n)=subs(g,symvar(g),X(n-1)); c=abs(X(n)-X(n-1)); root=X(n); if(c<err)计算根与步数程序：syms x;f=(2-exp(x))/10; （接下页） x0=0;err=5*10^(-4); max=100;[root,n]=DDF(f,x0,err,max); fprintf('root=% ,n=%d \n',root,n);计算结果显示： root= ,n=4（3） 加速迭代的结果;（4） 取初值00 x ，并用牛顿迭代法；（5） 分析绝对误差。
数值计算方法上机实习题答案.doc
1．设I n 1 x ndx ，0 5 x（ 1）由递推公式 I n 5I n 11，从 I 0的几个近似值出发，计算I 20；n解：易得： I 0 ln6-ln5=0.1823, 程序为：I=0.182;for n=1:20I=(-5)*I+1/n;endI输出结果为： I 20= -3.0666e+010（ 2）粗糙估计 I 20，用 I n 1 1I n 1 1 ，计算 I 0；5 5n0.0079 1 x 20 1 x 200.0095因为dx I 20dx 6 5所以取 I 20 1(0.0079 0.0095) 0.0087 2程序为： I=0.0087;for n=1:20I=(-1/5)*I+1/(5*n);endII 0= 0.0083（ 3）分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因 )。
首先分析两种递推式的误差；设第一递推式中开始时的误差为E0 I 0 I 0，递推过程的舍入误差不计。
并记 E n I n I n，则有 E n 5E n 1 ( 5) n E0。
因为 E20( 5) 20 E0 I 20，所此递推式不可靠。
而在第二种递推式中E0 1E1 (1)n E n，误差在缩小，5 5所以此递推式是可靠的。
出现以上运行结果的主要原因是在构造递推式过程中，考虑误差是否得到控制，即算法是否数值稳定。
2．求方程e x10x 2 0 的近似根，要求x k 1x k 5 10 4，并比较计算量。
（1）在 [0， 1]上用二分法；程序： a=0;b=1.0;while abs(b-a)>5*1e-4c=(b+a)/2;if exp(c)+10*c-2>0b=c;else a=c;endendc结果： c =0.0903（ 2）取初值x0 0，并用迭代 x k 1 2 e x ；10程序： x=0;a=1;while abs(x-a)>5*1e-4a=x;x=(2-exp(x))/10;endx结果： x =0.0905（3）加速迭代的结果；程序： x=0;a=0;b=1;while abs(b-a)>5*1e-4a=x;y=exp(x)+10*x-2;z=exp(y)+10*y-2;x=x-(y-x)^2/(z-2*y+x);b=x;endx结果： x =0.0995（ 4）取初值x00 ，并用牛顿迭代法；程序： x=0;a=0;b=1;while abs(b-a)>5*1e-4a=x;x=x-(exp(x)+10*x-2)/(exp(x)+10); b=x;end x 结果： x =0.0905（ 5） 分析绝对误差。
数值计算方法上机实习题NEW
数值计算方法上机实习题1． 设，（1） 由递推公式，从 , 出发，计算 ； 程序如下：function I=myhs(I0,n) if n>=1I=myhs(I0,n-1)*(-5)+1/n; elseif n==0 I=I0; end命令行窗口输入： I0=0.1822;I1=myhs(I0,20); I0=0.1823;I2=myhs(I0,20);运行结果：当I0=0.1822时，I20=-1.1593e+10。
当I0=0.1823时，I20= -2.0558e+9。
（2） ，20=10000I , 用，计算0I ； 程序如下：function I=myhs2(I20,n) if (n<20)I=myhs2(I20,n+1)*(-1)/5+1/(5*(n+1)); elseif n==20 I=I20; end命令行窗口输入：I20=0;I1=myhs2(I20,20); I20=10000;I2=myhs2(I20,20);运行结果：当I 20=0时，I 0=0.182321556793955。
当I 20=10000时，I 0= 0.182321556898812。
（3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。
根据上式，假设I n 的真值为I*，误差为e n ，即e=I*-I n 。
综合递推式，有e n =-5*e n-1，这意味着哪怕开始只有一点点误差，只要n 足够大，按照这种计算一步误差增长5倍的方式，所得的结果总是不可信的，因此整个算法是不稳定的。
根据上式，假设I n 的真值为I*，误差为e n ，即e=I*-I n 。
综合递推式，有e n-1. =(-1/5)*e n ，按照这种计算误差会以每步缩小到1/5的方式进行，根据（2）得到的结果而言，该算法是相对稳定的。
2． 求方程0210=-+x e x 的近似根，要求41105-+⨯<-k k x x ，并比较计算量。
数值计算方法上机实验题
数值计算方法上机实验实验内容：1.要求:分别用复化梯形法,复化Simpson 法和 Romberg 公式计算.2．给定积分dx e x⎰31和dx x ⎰311 ,分别用下列方法计算积分值要求准确到510- ,并比较分析计算时间. 1）变步长梯形法; 2）变步长 Simpson 法; 3) Romberg 方法.算法描述：1、复合梯形法：⎰=tdt t a t V 0)()( ))()(2)((211∑-=++=n k k n b f x f a f hT输入 被积函数数据点t,a. 输出 积分值.n T复合Simpson 法：⎰=tdt t a t V 0)()( ))()(2)(4)((6101121∑∑---=++++=n k n k k k n b f x f x f a f hS输入 被积函数f(x),积分区间[a,b]和n 输出 复合Simpson 积分值n S步1 .);()(;a x b f a f S nab h n ⇐-⇐-⇐ 步2 对n k ,,2,1 =执行).(2;2);(4;2x f S S hx x x f S S h x x n n n n +⇐+⇐+⇐+⇐步3 n n S hS ⨯⇐6步4 输出n SRomberg 积分法：根据已知数据对其进行多项式拟合得出p(x);f(x)⇐p(x); 输入 被积函数f(x)，积分区间端点a,b,允许误差ε 输出 Romberg 积分值n R 2 步1 .0;0;0;0));()((2;1111⇐===+⇐-⇐k R C S b f a f hT a b h 步2 反复执行步3→步9. 步3 .2;0h a x S +⇐⇐ 步4 反复执行步5→步6. 步5 ;);(h x x x f S S +⇐+⇐步6 若x ≥b,则退出本层循环. 步7 执行.6316364;1511516;3134;2212212212212C C R S S C T T S S h T T -⇐-⇐-⇐+⇐步8 执行.1;;;;;2;2121212112+⇐⇐⇐⇐⇐⇐-⇐k k R R C C S S T T hh R R e 步9 若e ≤ε且k ≥5,则退出循环. 步10 .22R R n ⇐ 步11 输出.2n R2、变步长梯形算法：功能 求积分⎰ba)(dx x f ，允许误差为ε。
数值分析上机题答案
数值分析上机题答案【篇一：数值分析上机试题对应参考答案】么是近似值x* 有效数字？若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n位，就说x*有n位有效数字。
它可表示为2、数值计算应该避免采用不稳定的算法，防止有效数字的损失. 因此，在进行数值运算算法设计过程中主要注意什么？（1）简化计算过程，减少运算次数；（2）避免两个相近的数相减；（3）避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值；（4）防止大数“吃掉”小数的现象；（5）使用数值稳定的算法，设法控制误差的传播。
3、写出“n 阶阵a 具有n 个不相等的特征值”的等价条件（至少写3 个）(1)|a|不为零(2)n阶矩阵a的列或行向量组线性无关(3)矩阵a为满秩矩阵(4)n阶矩阵a与n阶可逆矩阵b等价4、迭代法的基本思想是什么？就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解得方法。
其基本思想为：先任取一组近似解初值x0，然后按照某种迭代原则，由x0计算新的近似解x1，以此类推，可计算出x2,x3，…xk，。
,如果｛x｝收敛，则取为原方程组的解。
5、病态线性方程组的主要判断方法有哪些？（1）系数矩阵的某两行（列）几乎近似相关（2）系数矩阵的行列式的值很小（3）用主元消去法解线性方程组时出现小主元（4）近似解x*已使残差向量r=b-ax*的范数很小，但该近似解仍不符合问题要求。
6、lagrange 插值的前提条件是什么？并写出二次lagrange 插值的基函数。
1，j?i?（x)? 前提条件是：l i ,j?0,1,2?，n.?ij0，j?i?二次lagrange 插值的基函数： (x?x)(x?x)12??lx0(xx)(xx) 0?10?2 (x?x)(x?x)02?? lx1(xx)(xx)1?01?2(x?x)(x?x)01?? lx2(x?x)(x?x)20217、什么是数值积分的代数精度？如果某一个求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度（或代数精确度）。
数值计算方法上机实习题考证
---------------------------------------------------此文档包含我们计算方法的经典算法包含（数值计算方法上机实习题）1． 设⎰+=105dx x x I nn ， （1） 由递推公式nI I n n 151+-=-，从0I 的几个近似值出发，计算20I ； （2） 粗糙估计20I ，用n I I n n 51511+-=-，计算0I ； （3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。
(1) 解答：n=0，0.1823)05ln()15ln()5(51515101010=+-+=++=+=+=⎰⎰⎰x d x dx x dx x x I nn 这里可以用for 循环，while 循环，根据个人喜好与习惯：for 循环程序： While 循环程序：I=0.1823; I=0.1823;for n=1:20 i=1;I=(-5)*I+1/n; while i<21End I=(-5)*I+1/i;I i=i+1;fprintf('I20=%f',I) endI = -2.0558e+009 >> II20=-2055816073.851284>> I = -2.0558e+009(2) 粗略估计I 20： Mathcad 计算结果： for 循环程序： While 循环程序： >> I=0.007998; I=0.007998;>> for n=1:20 n=1;I=(-0.2)*I+1/(5*n); while n<21End I=(-0.2)*I+1/(5*n);>> I n=n+1;I =0.0083 end>> II =0.0083(3) 算法误差分析：计算在递推过程中传递截断误差和舍入误差第一种算法：（从1——>20）01x x 205x +⎛⎜⎜⎜⎠d 7.998103-⨯=*000e I I =-***21111120115(5)5()555n n n n n n n n n n e I I I I I I e e e n n------=-=-+--+=-===误差放大了5n 倍，算法稳定性很不好；第二种算法：（从20——>1）*n n ne I I =- ***111111111()()555555n n n n n n n n e I I I I I I e n n ---=-=-+--+=-=0111...()55n n e e e === 误差在逐步缩小，算法趋近稳定，收敛。
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y=
数值计算方法上机作业
热能工程
2.0000 1.5775 1.1802 0.2406 -0.7202 -0.9454 -0.2745 0.6589 0.9901 0.4124 -0.5440
3.0000 1.2758 -0.1457 -0.8903 -0.6170 0.2971 0.9652 0.7557 -0.1449 -0.9109 -0.8389
for n=1:20
I=(-1/5)*I+1/(5*n);
end
I
I 0 = 0.0083
（3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。
首先分析两种递推式的误差；设第一递推式中开始时的误差为
E0
I0
I
0
，递推过程的舍入误差不计。
并记 En I n I n ，则有 En 5En1 (5)n E0 。因为 E20
数值计算方法上机作业
热能工程
1． 设 I n
1 xn dx ，
0 5 x
（1）
由递推公式 I n
5I n1
1 n ，从 I 0 的几个近似值出发，计算 I20 ；
解：易得： I0 ln6-ln5=0.1823,
程序为： I=0.182; for n=1:20
I=(-5)*I+1/n; end I
x0=y; y=lw*x0+f;n=n+1; end y n 以文件名 sor.m 保存。 程序： a=[4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4]; b=[0 5 -2 5 -2 6]'; x0=[0 0 0 0 0 0]'; c=[1.334 1.95 0.95]; for i=1:3 w=c(i); sor(a,b,w,x0); end 运行结果分别为： y=
（1） 在[0，1]上用二分法； 程序：a=0;b=1.0; while abs(b-a)>5*1e-4
c=(b+a)/2;
数值计算方法上机作业
if exp(c)+10*c-2>0 b=c;
else a=c; end end c 结果：c =
0.0903
（2）
取初值 x0
0 ，并用迭代 xk1
2 ex 10
数值计算方法上机作业
运行结果为: y=
1.0000 2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000
热能工程
n=
28
（2） GAUSS-SEIDEL 迭代； 程序： function y=seidel(a,b,x0) D=diag(diag(a)); U=-triu(a,1); L=-tril(a,-1); G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; y=G*x0+f;n=1; while norm(y-x0)>10^(-4)
热能工程
特征向量： my =
0.3845 -1.0000 0.7306 6．用经典 R-K 方法求解初值问题
（1）
y1 y2
2 y1
y1
y2 2sin x 2 y2 2 cos x
2
sin
x
，
x
[0,10]
，
y1 y2
(0) (0)
2 3
；
程序：function ydot=lorenzeq(x,y) ydot=[-2*y(1)+y(2)+2*sin(x);y(1)-2*y(2)+2*cos(x)-2*sin(x)] 以文件民 lorenzeq.m 保存。 主窗口输入：[x,y]=ode45('lorenzeq',[0:10],[2;3]) 运行结果为： x=
x0=y; y=G*x0+f;n=n+1; end y n 以文件名 deisel.m 保存。 程序： a=[4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4]; b=[0 5 -2 5 -2 6]'; x0=[0 0 0 0 0 0]'; jacobi(a,b,x0); 运行结果为： y=
1.0000 2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000
n=
数值计算方法上机作业 13
热能工程
y=
1.0000 2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000
n= 241
y=
1.0000 2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000
b
设 y=f(x)具有指数形式 y ae x （a>0,b<0）。对此式两边取对数，得 ln y ln a b 1 。记 A=lna，B=b，
x
并引入新变量 z=lny，t=1/x。引入新变量后的数据表如下
x
2
3
4
5
6
7
t=1/x 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429
程序：
t=[0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.0769 0.0714 0.0667
0.0625];
z=[1.8594 2.1041 2.2597 2.2513 2.2721 2.3026 2.2956 2.3016 2.3504 2.3599 2.3609 2.3795 2.3609 2.3888
2.3758];
polyfit(t,z,1)
结果：
ans = -1.1107 2.4578
由此可得 A=2.4578，B=-1.1107， a e A 11.6791 ，b=B=-1.1107
1.1107
方程即为 y 11.6791e x
数值计算方法上机作业
热能工程
计算均方差编程： x=[2:16]; y=[6.42 8.2 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.8 10.6 10.9 10.76]; f(x)=11.6791*exp( -1.1107./x); c=0; for i=1:15
（2）
y1 y2
2 y1 y2 2 sin 998 y1 999 y2
x 999
cos
x
999
sin
x
，
x
[0,10]
，
y1 (0) y2 (0)
2 3
。
和精确解
y1
(
x)
y2 (x)
2e x 2e x
sin x cos x
比较，分析结论。
程序：function ydot=lorenzeq1(x,y)
输出结果为： I20 = -3.0666e+010
（2）
粗糙估计 I 20
，用 I n1
1 5
I n1
1 5n
，计算 I 0 ；
因为
0.0079
1 0
x 20 dx
6
I 20
1 0
x 20 dx 0.0095 5
所以取 I 20
1 (0.0079 0.0095) 2
0.0087
程序为：I=0.0087;
z=lny 1.8594 2.1041 2.2597 2.2513 2.2721 2.3026
8 0.1250 2.2956
9 0.1111 2.3016
10
11
12
13
14
15
16
0.1000 0.0909 0.0833 0.0769 0.0714 0.0667 0.0625
2.3504 2.3599 2.3609 2.3795 2.3609 2.3888 2.3758
fprintf(' x y(1) y1
%norm(v-v0)>ep k=k+1;
数值计算方法上机作业
q=v; u=v/norm(v,inf) v=B*u; v0=q; end mt=1/norm(v,inf)+p my=u 主界面中输入：A=[1 -2 -3]; maxtr(A,11,0.001) 结果为： 特征值： mt =
11.0919
a=y(i); b=x(i); c=c+(a-f(b))^2;
end averge=c/15 结果：averge =
0.0594
4 1 0 1 0 0
0
1 4 1 0 1 0
54．设A014
1
0
1
，
b
2
，
Ax
b
1 0 1 4 1 0
5
0 0
1 0
0 1
1 0
4 1
41
2 6
分析下列迭代法的收敛性，并求 xk1 xk 2 104 的近似解及相应的迭代次数。
1.0000 2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000
数值计算方法上机作业
热能工程
n=
15
（3） SOR 迭代（ 1.334, 1.95, 0.95 ）。
程序： function y=sor(a,b,w,x0) D=diag(diag(a)); U=-triu(a,1); L=-tril(a,-1); lw=(D-w*L)\((1-w)*D+w*U); f=(D-w*L)\b*w; y=lw*x0+f;n=1; while norm(y-x0)>10^(-4)