甘肃省白银市靖远县第四中学2025届高中毕业班数学试题第三次模拟试题

甘肃省白银市靖远县第四中学2025届高中毕业班数学试题第三次模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．观察下列各式：2x y ⊗=，2
2
4x y ⊗=，3
3
9x y ⊗=，4
4
17x y ⊗=，5
5
31x y ⊗=，6
6
54x y ⊗=，7
7
92x y ⊗=，，根据以上规律，则10
10
x y ⊗=（ ）
A ．255
B ．419
C ．414
D ．253
3．数列{}n a 满足：3111
,25n n n n a a a a a ++=-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为 A ．
10
21
B ．2021
C ．919
D ．1819
4．设实数满足条件
则
的最大值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．若31n
x x ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ）
A ．85
B ．84
C ．57
D ．56
6．已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB |﹣2|MN |，则（ ） A ．λ＜﹣16 B ．λ＝﹣16
C ．﹣12＜λ＜0
D ．λ＝﹣12
7．设复数z 满足z i
i z i
-=+，则z =（ ） A ．1
B ．-1
C ．1i -
D ．1i +
8．设非零向量a ，b ，c ，满足||2b =，||1a =，且b 与a 的夹角为θ，则“||3b a -=”是“3
π
θ=”的（ ）．
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．设直线l 过点()0,1A
-，且与圆C ：2220x y y +-=相切于点B ，那么AB AC ⋅=（ ）
A ．3±
B ．3
C
D ．1
10．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（ ） A ．3d =
B ．1012a =
C ．20280S =
D ．14a =-
11．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在过F 且垂
直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）
A ．22
122x y -=
B ．2
2
13
y x -=
C ．2
213
x y -=
D ．22
144
x y -=
12．在复平面内，复数2
1(1)i
i +-对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．过圆2
2
240x y x y ++-=的圆心且与直线230x y +=垂直的直线方程为__________.
14．已知不等式组20202x y x y x -≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
所表示的平面区域为Ω，则区域Ω的外接圆的面积为______．
15．若函数2()1(x
f x mx e e =-+为自然对数的底数）在1x x =和2x x =两处取得极值，且212x x ≥，则实数m 的取
值范围是______．
16．某校高三年级共有800名学生参加了数学测验（满分150分），已知这800名学生的数学成绩均不低于90分，将这800名学生的数学成绩分组如下：[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是________（填序号）． ①0.045a =；
②这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为160； ③这800名学生数学成绩的中位数约为121.4； ④这800名学生数学成绩的平均数为125．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的短轴长为31F ，2F ，点B 是椭圆上位于第一
象限的任一点，且当2120BF F F ⋅=时，23
2
BF =. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若椭圆C 上点A 与点B 关于原点O 对称，过点B 作BD 垂直于x 轴，垂足为D ，连接AD 并延长交C 于另一点
M ，交y 轴于点N .
（ⅰ）求ODN △面积最大值；
（ⅱ）证明：直线AB 与BM 斜率之积为定值.
18．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-.数列{}n b 满足2log n n b a =，其前n 项和为n T . （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设1
n n n
c a T =+
，求数列{}n c 的前n 项和n C . 19．（12分）已知数列{}n a 满足()12
122
n n n a a a +⋅⋅⋅⋅=（*n N ∈），数列{}n b 的前n 项和()
12
n n n b b S +=
，（*n N ∈），且11b =，22b =．
（1）求数列{}n a 的通项公式： （2）求数列{}n b 的通项公式． （3）设1
11n n n n c a b b +=
-⋅，记n T 是数列{}n c 的前n 项和，求正整数m ，使得对于任意的*n N ∈均有m n T T ≥． 20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，5PA PC ＝＝，点,M N 分别是,AB PC 的中点．
（1）求证：//MN 平面PAD ； （2）若4
,605
cos PCD DAB ︒∠=
∠＝，求直线AN 与平面PAD 所成角的正弦值． 21．（12分）在四棱椎P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，5PA =，43PB =，6AB =，PO AD ⊥，O ，E
分别为AD ，AB 中点.60BAD ∠=︒.
（1）求证：AC PE ⊥；
（2）求平面POE 与平面PBD 所成锐二面角的余弦值.
22．（10分）已知首项为2的数列{}n a 满足1
1221
n n n na a n +++=
+. （1）证明：数列2n n na ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列． （2）令n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B
【解题分析】
求出复数z ，得出其对应点的坐标，确定所在象限． 【题目详解】 由题意i i(1i)11i 1i (1i)(1i)22z +=
==-+--+,对应点坐标为11(,)22
- ，在第二象限． 故选：B ． 【题目点拨】
本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题． 2、B 【解题分析】
每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算． 【题目详解】
以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92
，
构成一个数列{}n a ，可得数列{}n a 满足
12n n n a a a n --=++()*3,n n ≥∈N ，
则876854928154a a a =++=++=，
9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．
故选：B ． 【题目点拨】
本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项． 3、A 【解题分析】
分析：通过对a n ﹣a n+1=2a n a n+1变形可知
111
2n n a a +-=，进而可知121
n a n =-，利用裂项相消法求和即可． 详解：∵112n n n n a a a a ++-=，∴
111
2n n
a a +-=， 又∵3
1
a =5，
∴
()311
2n 32n 1n a a =+-=-，即121
n a n =-，
∴()111111222121n n n n a a a a n n ++⎛⎫
=
-=- ⎪-+⎝⎭
，
∴数列{}1n n a a +前10项的和为1111
111110112335
192122121
⎛⎫⎛⎫-+-++
-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选A ．
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子
的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
；
（2） 1n k n ++ (
)
1
n k n k
=
+-； （3）
()()1
111212122121n n n n ⎛⎫
=- ⎪-+-+⎝⎭
；（4）()()11122n n n =++ ()()()11
112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦
；此外，需注意裂项
之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 4、C 【解题分析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【题目详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即
，表示直线在轴的截距加上1， 根据图像知，当时，且
时，
有最大值为.
故选：.
【题目点拨】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键. 5、A 【解题分析】
先求n ，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和. 【题目详解】
解：31n
x x ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256 故2256n =，8n =
8843
3
18
8
r r r r
r r T C x
x
C x
---+==
要求展开式中的有理项，则258r =，，
则二项式展开式中有理项系数之和为：2
5
8
888++=85C C C 故选：A 【题目点拨】
考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题. 6、D 【解题分析】
分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得244AB k =+，2
4
4AB k =+，然后计算，可得结果. 【题目详解】
设()()1122,,,A x y B x y ， 联立()
22222
12404y k x k x k x k y x
=-⎧⇒-++=⎨
=⎩（
） 则21222
244
2k x x k k ++==+
， 因为直线()1y k x =-经过C 的焦点， 所以122
4
4x x k A p B =++=+. 同理可得2
28MN k =+
， 所以41612λ=-=- 故选：D. 【题目点拨】
本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。

7、B 【解题分析】
利用复数的四则运算即可求解. 【题目详解】 由
()(1)11z i
i z i i z i i z i z z i
-=⇒-=+⇒-=-⇒=-+. 故选：B 【题目点拨】
本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题. 8、C 【解题分析】
利用数量积的定义可得θ，即可判断出结论． 【题目详解】
解：||3b a -=，∴2223b a a b +-=，221221cos 3θ∴+-⨯⨯⨯=，
解得1cos 2
θ=
，[0θ∈，]π，解得3πθ=，
∴ “||3b a -=”是“3
π
θ=
”的充分必要条件．
故选：C ． 【题目点拨】
本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 9、B 【解题分析】
过点()0,1A -的直线l 与圆C ：2
2
20x y y +-=相切于点B ，可得0BA BC ⋅=.因此
()
2
AB AC AB AB BC AB AB BC ⋅=⋅+=+⋅222AB AC r ==-，即可得出.
【题目详解】
由圆C ：22
20x y y +-=配方为()2
211x y +-=，
()0,1C ，半径1r =.
∵过点()0,1A -的直线l 与圆C ：2
2
20x y y +-=相切于点B ，
∴0AB BC ⋅=；
∴()
2
AB AC AB AB BC AB AB BC ⋅=⋅+=+⋅22
23AB AC r ==-=； 故选：B . 【题目点拨】
本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题. 10、C 【解题分析】 由()()1101056105
402
a a S a a +⋅=
=+=，和65a =，可求得53a =，从而求得d 和1a ，再验证选项.
【题目详解】 因为()()1101056105
402
a a S a a +⋅=
=+=，65a =，
所以解得53a =， 所以652d a a =-=，
所以10645813a a d =+=+=，154385a a d =-=-=-，20120190100380280S a d =+=-+=， 故选：C. 【题目点拨】
本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题. 11、A 【解题分析】
点P 的坐标为()2,m ()0m >，()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案. 【题目详解】
不妨设点P 的坐标为()2,m ()0m >，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，APB ∆的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值， 因为2tan a APF m +∠=
，2tan a
BPF m
-∠=， 所以(
)2222tan tan 221a a
a a m m APB APF BPF a a
b b m m m m +--
∠=∠-∠==≤=+-+⋅+， 当且仅当2
b m m
=()0m >，即当m b =时，等号成立，
此时APB ∠最大，此时APB 的外接圆面积取最小值，
点P 的坐标为()2,b ，代入22
221x y a b
-=
可得a =
b
所以双曲线的方程为22
122
x y -=．
故选：A 【题目点拨】
本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 12、B 【解题分析】
化简复数为a bi +的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案. 【题目详解】
2
11(1)(1)22i i i i
i i i i
+++==---⋅ 111
222
i i -+=
=-+ ∴对应的点的坐标为11,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
在第二象限
故选：B. 【题目点拨】
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3270x y -+= 【解题分析】
根据与已知直线垂直关系，设出所求直线方程，将已知圆圆心坐标代入，即可求解. 【题目详解】
22240x y x y ++-=圆心为(1,2)-，
所求直线与直线230x y +=垂直，
设为320x y C -+=，圆心(1,2)-代入，可得7C =， 所以所求的直线方程为3270x y -+=. 故答案为：3270x y -+=. 【题目点拨】
本题考查圆的方程、直线方程求法，注意直线垂直关系的灵活应用，属于基础题. 14、
254
π 【解题分析】
先作可行域，根据解三角形得外接圆半径，最后根据圆面积公式得结果. 【题目详解】
由题意作出区域Ω，如图中阴影部分所示，
易知1
232tan 14122
MON -
∠==+⨯，故sin MON ∠= 35，又3MN =，设OMN 的外接圆的半径为R ，则由正弦定理得2sin MN R MON =∠，即52R =，故所求外接圆的面积为2
525
24ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭
. 【题目点拨】
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离、可行域面积、可行域外接圆等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
15、12ln ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
， 【解题分析】
先将函数()f x 在1x x =和2x x =两处取得极值，转化为方程(0)2x
e
m x x
=≠有两不等实根12,x x ，且212x x ≥，再令
()(0)2x e h x x x
=≠，将问题转化为直线y m =与曲线()2x
h x x e
=有两交点，且横坐标满足212x x ≥，用导数方法研究
()2x
h x x
e =单调性，作出简图，求出212x x =时，m 的值，进而可得出结果. 【题目详解】 因为
2()1x f x mx e =-+，所以()2x f x mx e '=-，
又函数()f x 在1x x =和2x x =两处取得极值，
所以12,x x 是方程20x mx e -=的两不等实根，且212x x ≥，
即(0)2x
e m x x
=≠有两不等实根12,x x ，且212x x ≥，
令()(0)2x
e h x x x
=≠，
则直线y m =与曲线()2x h x x
e
=有两交点，且交点横坐标满足212x x ≥，
又22
()42(22)(1)
x x e e h x x x
x x =-'=-， 由()0h x '=得1x =，
所以，当1x >时，()0h x '>，即函数()2x
h x x
e
=在(1,)+∞上单调递增；
当0x <，01x <<时，()0h x '<，即函数()2x h x x
e
=在(,0)-∞和(0,1)上单调递减；
当212x x =时，由121222x x e e x x =得1ln 2x =，此时1112ln 2
x e m x ==， 因此，由212x x ≥得1
ln 2
m >
. 故答案为12ln ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
，
【题目点拨】
本题主要考查导数的应用，已知函数极值点间的关系求参数的问题，通常需要将函数极值点，转化为导函数对应方程的根，再转化为直线与曲线交点的问题来处理，属于常考题型. 16、②③
【解题分析】
由频率分布直方图可知0.01020.0250.0150.00511)0(a ⨯++++⨯=，解得0.035a =，故①不正确；这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为800⨯0.0100.01010)16(0+⨯=，故②正确；设这800名学生数学成绩的中位数为x ，则0.010100.010100.0251012()00.0350.5x ⨯+⨯+⨯+-⨯=，解得121.4x ≈，故③正确；④这800名学生数学成绩的平均
数为950.010101050.01010115⨯⨯+⨯⨯+⨯
0.025101250.035101350.015101450.00510120⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故④不正确．综上，说法正确的序号是②③．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）22143x y +=；
（2）（ⅰ）4
；（ⅱ）证明见解析. 【解题分析】
（1）由23
2
b a =，2b =
（2）（ⅰ）设()11,B x y ，()22,M x y ，则()11,A x y --，()1,0D x ，易得1114ODN
S x y =△，注意到22
11143
x y +=，利用基本不等式得到11x y 的最大值即可得到答案；（ⅱ）设直线AB 斜率为()1
10y k k x =>，直线AD 方程为()12
k y x x =-，联立椭圆方程得到M 的坐标，再利用两点的斜率公式计算即可. 【题目详解】
（1）设()2,0F c ，由2120
BF F F ⋅=，得212BF F F ⊥. 将x c =代入22221x y a b +=，得2b
y a
=，即2
232b BF a ==，
由b =
2a =，
所以椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=.
（2）设()11,B x y ，()22,M x y ，则()11,A x y --，()1,0D x （ⅰ）易知ON 为ABD △的中位线，所以10,2y N ⎛
⎫-
⎪⎝⎭
， 所以111111111
2244
ODN y S x x y x y =
⋅-=⋅=△，
又()11,B x y 满足22
143
x y +=，所以
2211112432x y x +=≥⋅=
，得11x y ≤
故11144ODN S x y =
≤
△
，当且仅当12x =
1x =
，12
y =时取等号， 所以ODN △
（ⅱ）记直线AB 斜率为()11
0y k k x =>，则直线AD 斜率为1122y k x =，
所以直线AD 方程为()12
k
y x x =
-. 由()122
214
3k y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()22222
1132120k x k x x k x +-+-=， 由韦达定理得()2112223k x x x k -+=+，所以()
2211212233233k x k x x x k k
+=+=++， 代入直线AD 方程，得3122
3k x y k
=+， 于是，直线BM 斜率()31
122122111
2
332333BM
k x kx y y k k x x k
k x x k --+===--+-+，
所以直线AB 与BM 斜率之积为定值32
-. 【题目点拨】
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆中的最值及定值问题，在解椭圆与直线的位置关系的答题时，一般会用到根与系数的关系，考查学生的数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.
18、（1）2n n a =，n b n =；（2）1
2
21
n n C n +=-
+. 【解题分析】
（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥，由22n n S a =-得出1122n n S a --=-，两式相减可推导出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式，再利用对数的运算性质可得出数列{}
n b
的通项公式；
（2）运用等差数列的求和公式，运用数列的分组求和和裂项相消求和，化简可得n T . 【题目详解】
（1）当1n =时，1122S a =-，所以12a =；
当2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=---，得12n n a a -=，即1
2n
n a a -=， 所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2 的等比数列，1
22
2n n n a -∴=⨯=.
2log 2n n b n ∴==；
（2）由（1）知数列{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列，
()1(1)
1122
n n n n n T n -+∴=⨯+
⨯=
. ()11212221n n n n n c n n ⎛⎫+- ⎪+=+⎝=+
⎭
∴，
()12
111
112212222121223
1121n n
n C n n n +-⎛⎫⎛⎫∴=++
++-+-+
+-=+- ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭
1221n n +=-+. 所以1
2
2
1
n n C n +=-
+. 【题目点拨】
本题考查数列的递推式的运用，注意结合等比数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：分组求和法和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．
19、（1）2n
n a =（n *∈N ）．（2）n b n =，n *∈N ．（3）4m =
【解题分析】
（1）依题意先求出12a =,然后根据 121121
n n
n n a a a a a a a a --⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅,求出{}n a 的通项公式为2n
n a =,再检验1n =的情况即可;
（2）由递推公式()
12
n n n b b S +=,得()12n n S n b b =+, 结合数列性质1n n n a S S -=-可得数列相邻项之间的关系,从而可求出结果;
（3）通过（1）、（2）可得()()11112n n
n n c n n +⎡⎤=
-⎢⎥+⎣⎦,所以10c =,20c >,30c >,40c >,50c <．记()()12n
n n f n +=,
利用函数单调性可求()f n 的范围,从而列不等式可解. 【题目详解】
解：（1）因为数列{}n a 满足()12
122
n n n a a a +⋅⋅⋅⋅=（*n N ∈）
①122
1
2
2a ⨯==；
②当2n ≥时,()
()12
1211121
2
222n n n n n n n n n a a a a a a a a +---⋅⋅⋅===⋅⋅⋅．
检验当1n =时, 1
122a ==成立.
所以,数列{}n a 的通项公式为2n
n a =（n *∈N ）．
（2）由()
12
n n n b b S +=
,得()12n n S n b b =+, ① 所以()()11121n n S n b b --=-+,2n ≥． ② 由①-②,得()1121n n n b b nb n b -=+--,2n ≥, 即()()11210n n b n b n b -+---=,2n ≥, ③ 所以,()()112320n n b n b n b --+---=,3n ≥． ④ 由③-④,得()()()1222220n n n n b n b n b -----+-=,3n ≥, 因为3n ≥,所以20n ->,上式同除以()2n -,得
1220n n n b b b ---+=,3n ≥,
即11211n n n n b b b b b b +--=-=⋅⋅⋅=-=, 所以,数列{}n b 时首项为1,公差为1的等差数列, 故n b n =,n *∈N ． （3）因为()()()1111111
12112n n n n n n n n c a b b n n n n ++⎡⎤=
-=-=-⎢
⎥⋅++⎣⎦
． 所以10c =,20c >,30c >,40c >,50c <． 记()()12
n
n n f n +=
,
当5n ≥时,()()()()()()()1
1
1211022221n n n
n n n n n n f n f n ++++++-+-=
-=<．
所以,当5n ≥时,数列()f n 为单调递减,当5n ≥时,()()556
512
f n f ⨯≤=<． 从而,当5n ≥时,()()11
1012n n n n c n n +⎡⎤=
-<⎢
⎥+⎣⎦
． 因此1234T T T T <<<,456T T T >>>．
所以,对任意的n *∈N ,4n T T ≥． 综上,4m =． 【题目点拨】
本题考在数列通项公式的求法、等差数列的定义及通项公式、数列的单调性,考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力以及化归与转化思想、分类讨论思想.
20、（1）见解析；（2）11
. 【解题分析】
（1）取PD 的中点H ，连接,NH AH ，通过证明//MN AH ，即可证得； （2）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示即可得解. 【题目详解】
（1）证明：取PD 的中点H ，连接,NH AH ．
N 是PC 的中点，1//2NH DC ∴=，又1
//,2
AM DC AM DC =，
//,NH AM ∴=∴四边形AMNH 是平行四边形．
//MN AH ∴，又MN ⊄平面,PAD AH ⊂平面PAD ，
//MN ∴平面PAD ．
（2）
45,4,cos 5
PC DC PCD ∠=
＝＝，222
,3,PD PC PD CD PD DC ∴+∴⊥＝＝， 同理可得：PD AD ⊥，又,AD CD D PD ⋂∴⊥＝平面ABCD ． 连接,AC BD ，设AC
BD O =，
则AC BD ⊥，建立空间直角坐标系O xyz -．
()()
()()323,0,0,23,0,0,0,2,0,0,2,3,3,1,2A C D P N ⎛
⎫---- ⎪⎝
⎭
()
()333,1,,23,2,0,0,0,32AN AD DP ⎛
⎫=--=--= ⎪⎝
⎭
设平面PAD 的法向量为，(),,n x y z =
则0n AD n DP ==，则2320,30x y z --==，取()
1,3,0n =-．
2323
sin cos ,22
AN n θ∴==
=⨯
∴直线AN 与平面PAD 23．
【题目点拨】
此题考查证明线面平行，求线面角的大小，关键在于熟练掌握线面平行的证明方法，法向量法求线面角的基本方法，根据公式准确计算. 21、（1）证明见解析；（2）891
91
. 【解题分析】
（1）证明PO AC ⊥，AC OE ⊥得到AC ⊥平面POE ，得到证明.
（2）以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，平面POE 的一个法向量为(3,1,0)m =-，平面PBD 的一个法向量为(43,4,33)n =-，计算夹角得到答案. 【题目详解】
（1）因为四边形ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，所以ABD ∆是等边三角形，
又因为O 是AD 的中点，所以BO AD ⊥，又因为6AB =，3AO =，所以33BO =， 又4PO =，43PB =
，222BO PO PB +=，所以PO OB ⊥，
又PO AD ⊥，AD OB O ⋂=，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO AC ⊥， 又因为ABCD 是菱形，//OE BD ，所以AC OE ⊥，又PO OE O =，
所以AC ⊥平面POE ，所以AC PE ⊥.
（2）由题意结合菱形的性质易知OP OA ⊥，OP OB ⊥，OA OB ⊥， 以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
则(0,0,4)P ，(0,33,0)B ，(0,0,0)O ，333,022E ⎛⎫
⎪⎝⎭
，(3,0,0)D -， 设平面POE 的一个法向量为()111,,m x y z =，则：11140
33
3022m OP z m OE x ⎧⋅==⎪
⎨⋅==⎪⎩
， 据此可得平面POE 的一个法向量为(3,1,0)m =-，
设平面PBD 的一个法向量为()222,,n x y z =，则：22223330
340
n BD x n PD x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，
据此可得平面PBD 的一个法向量为(43,4,33)n =-，
16891
cos ,|||291
m n m n m n ⋅-〈〉=
==
平面POE 与平面PBD
. 【题目点拨】 本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
22、（1）见解析；（2）12112
222n n S n n +=++- 【解题分析】
（1）由原式可得11(1)22n n n n a na +++=+,等式两端同时除以12n +,可得到11(1)122
n n n n n a na +++=+,即可证明结论; （2）由（1）可求得
2
n n na 的表达式,进而可求得,n n a b 的表达式,然后求出{}n b 的前n 项和n S 即可. 【题目详解】 （1）证明:因为11221
n n n na a n +++=+,所以11(1)22n n n n a na +++=+, 所以11(1)122n n n n n a na +++=+,从而11(1)122n n n n n a na +++-=,因为12a =,所以112
a =, 故数列2n n na ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. （2）由（1）可知()112
n n na n n =+-=,则2n n a =,因为n n b a n =+,所以2n n b n =+, 则123n n S b b b b =+++⋯+()()()23(21)22232n n =++++++++
()232222(123)n n =+++
++++++()212(1)122n n n ⨯-+=+-12112222
n n n +=++-. 【题目点拨】 本题考查了等差数列的证明,考查了等差数列及等比数列的前n 项和公式的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.。