2018-2019学年高中数学人教A版选修1-2教学案：第一章1.1回归分析的基本思想及其初步应用-含答案
【数学】新课标人教A版选修1-2第一章统计案例教案
4
选修 1—2 第一章统计案例
若Ｈ0成立 , 则Ｋ2应该很小 . 把表中数据代入公式
2
K2 = 9965 7775 49-42 2099
56.632
7817 2148 9874 91
在Ｈ0成立的情况下 . 统计学家估算出如下概率
P K2 6.635 0.01
即在Ｈ0成立的情况下 ,K 2的值大于 6.635 的概率非常小． 如果Ｋ2 6.635, 就断定Ｈ 0不成立 , 出错的可能性有多大？ 出现Ｋ2=56.632 6.635 的概率不超过 1% .
周围 .
令 z=lny , a=lnc1 , b=c2 则 z=bx+a
此时可用线性回归来拟合 z=0.272x-3.843
因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为 Y=e0.272x-3.843
1、1 回归分析的基本思想及其初步应用（习题课） (第五课时 )
目标 ：通过习题巩固所学知识
过程 ：1、复习有关知识
教学重点： 独立性检验的步骤。 例 2。 教学难点： 对临界值的理解。 教学过程 ：1、复习独立性检验的步骤。
2、可信程度。 3、举例。 例 2。略。 补充例题： 对 196 个接受心脏搭桥手术的病人和 196 个接受血管清 障手术的病人进行 3 年跟踪研究， 调查他们是否又发作过心脏病， 调查结果如下 表所示：
尿汞含量 x
2
消光系数 y
64
4
6
8
10
138
205
285
360
连山高级中学高二数学备课组
3
选修 1—2 第一章统计案例
（1）求回归方程。（ 2）求相关指数 R2。
解：略 。
3. 练习：选择、填空用小黑板给出。 （题来源于数学天地报） 。 4. 小结。 5. 作业。
2018-2019学年人教A版 选修1-2 回归分析的基本思想及其初步应用(一) 教案
一、复习准备：
1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？
2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据作散点图求回归直线方程利用方程进行预报.
二、讲授新课：
1. 教学例题：
①例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：
1 2 3 4 5 6 7 8
编
号
165 165 157 170 175 165 155 170 身高
/cm
体重 48 57 50 54 64 61 43 59
/kg
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.
（分析思路教师演示学生整理）
第一步：作散点图
第二步：求回归方程
第三步：代值计算
②提问：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？
不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右.
③解释线性回归模型与一次函数的不同
一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.
2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义.
3、小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.
板
书
教学
反思。
2018-2019学年人教A版 选修1-2 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(一) 教案
[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 2～P 8的内容，回答下列问题．(1)在数学《必修3》中，我们利用回归分析的方法对两个具有线性相关关系的变量进行了研究，其步骤是什么？所求出的线性回归方程是什么？提示：步骤为：画出两个变量的散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报．线性回归方程为^y ＝^b x ＋^a .(2)所有的两个相关变量都可以求回归方程吗？ 提示：不一定． 2．归纳总结，核心必记 (1)回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)回归直线方程方程^y ＝^b x ＋^a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中^a ，^b是待定参数，其最小二乘估计分别为：，x其中－x ＝n 1x n i ，－y ＝n 1y n i ，(－x ，－y)称为样本点的中心． (3)线性回归模型线性回归模型用y ＝bx ＋a ＋e 来表示，其中a 和b 为模型的未知参数，e 称为随机误差． (4)刻画回归效果的方式(1)通过教材P 2中的例1计算出的回归方程^y＝0.849x －85.712可以预报身高为172 cm 的女大学生的体重为60.316 kg.请问，身高为172 cm 的女大学生的体重一定是60.316 kg 吗？为什么？提示：不一定．从散点图可以看出，样本点散布在一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y ＝bx ＋a 表示．(2)下列说法正确的有哪些？①在线性回归模型中，e 是bx ＋a 预报真实值y 的随机误差，它是一个可观测的量；②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；③用R 2来刻画回归效果，R 2越小，拟合的效果越好；④在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．提示：e 是一个不可观测的量，故①不正确；R 2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差，故③不正确；②④是正确的．[课前反思](1)回归分析的定义是什么？如何求回归直线方程？(2)线性回归模型是什么？(3)残差、残差图的定义是什么？如何作残差图？(4)残差平方和和相关指数R 2的定义是什么？它们与回归效果有什么关系？[思考] 求线性回归方程的步骤是什么？ 名师指津：(1)列表表示x i ，y i ，x i y i ，x i 2； (2)计算，，x n i 2，x ni y i ； (3)代入公式计算^a ，^b的值； (4)写出线性回归方程． 讲一讲1．(链接教材P 2－例1)某种产品的广告费用支出x 与销售额y (单位：百万元)之间有如下的对应数据：(1)画出散点图； (2)求线性回归方程；(3)试预测广告费用支出为10百万元时的销售额． [尝试解答] (1)散点图如图所示：(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：所以，＝525＝5，＝5＝50，x i ＝145， x 5i y i ＝1 380. 于是可得^b ＝22＝145－5×521 380－5×5×50＝6.5， ^a ＝－y －^b －x＝50－6.5×5＝17.5.所以所求的线性回归方程为^y＝6.5x ＋17.5.(3)根据(2)中求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时， ^y＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元．(1)求线性回归方程前必须判断两个变量是否线性相关，如果两个变量本身不具备相关关系，或者它们之间的相关关系不显著，那么即使求出回归方程也是毫无意义的．(2)写出回归直线方程^y ＝^b x ＋^a，并用回归直线方程进行预测说明：当x 取x 0时，由线性回归方程可得^y0的值，从而可进行相应的判断．练一练1．某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(1)(2)求物理成绩y 对数学成绩x 的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩． 解：(1)如图所示．(2)因为＝51×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2， ＝51×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8，x 5i y i ＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61 ＝25 054，x 5i 2＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174. 所以^b ＝22＝27 174－5×73.2225 054－5×73.2×67.8≈0.625，^a ＝－^b －x≈67.8－0.625×73.2＝22.05. 故y 对x 的回归直线方程是^y＝0.625x ＋22.05. (3)x ＝96，则^y＝0.625×96＋22.05≈82， 即可以预测他的物理成绩是82.[思考] 如何用残差图、残差平方和、相关指数R 2分析拟合效果？名师指津：残差图的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高；残差平方和越小，模型拟合效果越好；R 2越接近于1，模型拟合效果越好．讲一讲2．假定小麦基本苗数x 与成熟期有效穗y 之间存在相关关系，今测得5组数据如下：(1)以x (2)求y 与x 之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗； (3)计算各组残差，并计算残差平方和；(4)求R 2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几？ [尝试解答] (1)散点图如下．(2)由(1)中散点图看出，样本点大致分布在一条直线的附近，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．设回归方程为^y ＝^b x ＋^a.＝30.36，＝43.5， x 5i 2＝5 101.56，y 5i 2＝9 511.43. －x －y＝1 320.66，2＝921.729 6， x 5i y i ＝6 746.76.则^b ＝22≈0.29，^a ＝－^b≈34.70.故所求的回归直线方程为^y＝0.29x ＋34.70. 当x ＝56.7时，^y＝0.29×56.7＋34.70＝51.143. 估计成熟期有效穗为51.143.(3)由于^y i ＝^b x i ＋^a ，可以算得^e i ＝y i －^y i 分别为^e 1＝0.35，^e 2＝0.718，^e 3＝－0.5，^e4＝－2.214，^e 5＝1.624，残差平方和： 5^e i 2≈8.43.(4) 5(y i －)2＝50.18， 故R 2＝1－50.188.43≈0.832.所以解释变量小麦基本苗数对总效应约贡献了83.2%，残差变量贡献了约1－83.2%＝16.8%.(1)利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后通过残差^e 1，^e 2，…，^en 来判断模型拟合的效果．(2)若残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合度越高，回归方程预报精确度越高．练一练2．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：(1)作出散点图； (2)求出线性回归方程；(3)作出残差图，并说明模型的拟合效果； (4)计算R 2，并说明其含义．解：(1)作出该运动员训练次数x 与成绩y 之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)∵＝39.25，＝40.875，x 8i 2＝12 656， y 8i 2＝13 731，x 8i y i ＝13 180， ∴^b ＝8＝22≈1.041 5， ^a ＝－^b≈－0.003 875，∴线性回归方程为^y＝1.041 5x －0.003 875. (3)残差分析计算得^e 1≈－1.24，^e 2≈－0.366，^e 3≈0.551，^e 4≈0.468，^e 5≈1.385，^e 6≈0.178，^e 7≈0.095，^e 8≈－1.071.作残差图如图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．(4)计算相关指数R 2计算相关指数R 2≈0.985 5，说明了该运动员成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的.讲一讲3．(链接教材P 6－例2)某地区六年来轻工业产品利润总额y 与年次x 的试验数据如下表所示：0，b 均为正数，求y 关于x 的回归方程．[思路点拨] 解答此题可根据散点图选择恰当的拟合函数，而本题已经给出，只需将其转化为线性函数，利用最小二乘法求得回归直线方程，再将其还原为非线性回归方程即可．[尝试解答] 对y ＝ab x e 0两边取自然对数，得ln y ＝ln ae 0＋x ln b ，令z ＝ln y ，则z 与x 的数据如下表：由z ＝ln ae 0＋x ln b 及最小二乘法公式，得 ln b ≈0.047 7，ln ae 0＝2.378，即^z ＝2.378＋0.047 7x ，故^y＝10.8×1.05x .非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步骤为：练一练3．某电容器充电后，电压达到100 V ，然后开始放电，由经验知道，此后电压U 随时间t 变化的规律用公式U ＝A e bt (b <0)表示，现测得时间t (s)时的电压U (V)如下表：回归分析问题)．解：对U ＝A e bt 两边取对数得ln U ＝ln A ＋bt ， 令y ＝ln U ，a ＝ln A ，x ＝t ， 则y ＝a ＋bx ，y 与x 的数据如下表：根据表中数据画出散点图，如图所示，从图中可以看出，y 与x 具有较好的线性相关关系， 由表中数据求得＝5，≈3.045，由公式计算得^b ≈－0.313，^a ＝－^b －x＝4.61， 所以y 对x 的线性回归方程为^y＝－0.313x ＋4.61.所以ln ^U＝－0.313t ＋4.61， 即^U＝e －0.313t ＋4.61＝e －0.313t ·e 4.61，因此电压U 对时间t 的回归方程为^U＝e －0.313t ·e 4.61.————————————[课堂归纳·感悟提升]————————1．本节课的重点是线性回归方程的求法及线性回归分析，难点是残差分析和非线性回归分析问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)线性回归分析，见讲1；(2)残差分析，见讲2；(3)非线性回归分析，见讲3.。
高中数学人教a版选修1-2课件：第一章 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
(3)线性回归模型 线性回归模型用 y＝bx＋a＋e 来表示，其中 a 和 b 为模型 的 未知参数，e 称为随机误差． (4)刻画回归效果的方式 残差 把随机误差的估计值^ e i 称为相应 于点(xi，yi)的残差 作图时纵坐标为 残差 ，横坐标 残差图 可以选为样本编号，或身高数 据，或体重估计值等，这样作出 的图形称为残差图
(2)所有的两个相关变量都可以求回归 方程吗？
Hale Waihona Puke 提示：不一定．2．归纳总结，核心必记 (1)回归分析 回归分析是对具有 相关关系 的两个变量进行统计分 析的一种常用方法． (2)回归直线方程 方程^ y ＝^ b x＋^ a 是两个具有线性相关关系的变量的一 组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中^ a， ^ b 是待定参数，其最小二乘估计分别为：
xiyi 60 160 300 300 560 1 380
5 25 250 所以， x ＝ ＝5， y ＝ ＝50， x2 i ＝145， 5 5 i＝ 1
xiyi＝1 380.
i＝ 1
5
x－ y xiyi－5－ 于是可得^ b＝
i＝ 1 5 2 x2 i －5 x i＝ 1
5
1 380－5×5×50 ＝ ＝6.5， 2 145－5×5 ^ a ＝－ y －^ b－ x ＝50－6.5×5＝17.5. 所以所求的线性回归方程为^ y ＝6.5x＋17.5.
n 2 (2)计算 x ， y ， xi ， xiyi； i＝ 1 i＝ 1
n
(3)代入公式计算^ a ，^ b 的值； (4)写出线性回归方程．
讲一讲 1．(链接教材 P2－例 1)某种产品的广告费用支出 x 与 销售额 y(单位：百万元)之间有如下的对应数据： x/百万元 2 4 5 6 8
高中数学人教A版选修1-2教学案第一章 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用 Word版含答案
预习课本～，思考并完成以下问题．什么是回归分析？．什么是线性回归模型？．求线性回归方程的步骤是什么？．回归分析()回归分析相关关系回归分析是对具有的两个变量进行统计分析的一种常用方法．()回归方程的相关计算对于两个具有线性相关关系的变量的一组数据(，)，(，)，…，(，)．设其回归直线方程为＝＋，其中，是待定参数，由最小二乘法得＝＝，＝－．()线性回归模型线性回归模型(\\(＝＋＋，((＝，((＝σ))，其中，为模型的未知参数，通常为随机变随机误差．量称为，称为变量，称为变量．预报解释[点睛]对线性回归模型的三点说明()非确定性关系：线性回归模型＝＋＋与确定性函数＝＋相比，它表示与之间是统计相关关系(非确定性关系)，其中的随机误差提供了选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最佳估计值，的工具．()线性回归方程＝＋中，的意义是：以为基数，每增加个单位，相应地平均增加个单位．．线性回归分析()残差：对于样本点(，)(＝，…，)的随机误差的估计值＝－称为相应于点(，)的残差，(－)称为残差平方和．()残差图：利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图．()＝－越接近，表示回归的效果越好．．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)()残差平方和越小，线性回归方程的拟合效果越好．( ) ()在画两个变量的散点图时，预报变量在轴上，解释变量在轴上．( )()越小，线性回归方程的拟合效果越好．( )答案：()√()×()×．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为．答案：正相关．在残差分析中，残差图的纵坐标为．答案：残差．如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上，则残差平方和等于，解释变量和预报变量之间的相关系数等于．答案：或－[典例] 某研究机构对高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得下表数据()()请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程＝＋；()试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为的同学的判断力．[解]()散点图如图：()＝×＋×＋×＋×＝，＝＝，＝＝，。
人教A版高中数学选修1-2《一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用》优质课教案_7
1.1回归分析的基本思想及其初步应用教学设计一．教学目标设计： (1).知识与技能：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用 (2).过程与方法：通过本课程德尔学习，使学生了解回归分析的基本思想、方法及初步应用 (3).情感,态度与价值观：充分利用图形的直观性，简捷巧妙的解题 二．教学重点设计：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析. 三，教学难点设计：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 四．教学过程设计： （一）、复习探究：设计例1，既复习了以前的知识，又做好了前后知识的衔接，承上启下。
再通过三个思考设问，引出新课。
（二）、讲授新课：1. 通过散点图，让学生直观感受线性回归模型与一次函数的不同。
2. 通过散点图，让学生体会预报身高与实际身高的关系，进而得到线性回归模型y bx a e =++，引出残差变量e 。
求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报身高为172cm的女大学生的体重。
例1. 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重如下：3. 作残差分析。
（1）介绍残差的概念和计算方法。
（2）作残差图，使学生了解，通过残差图可以直观的观测出两变量相关性的强弱。
同时感受残差图的优势和不足。
顺势引出相关系数2R4. 相关系数2R（1）介绍相关系数2R的计算公式（2）解释相关系数2R的意义及与r的关系。
5. 例题的设计通过例题的讲述，是学生掌握：（1）样本数据的中心点与回归直线的位置关系（2）回顾模型的建立方法。
（3）回归分析的思想和方法，用残差图与相关系数判断拟合效果的方法和步骤。
6. 归纳出回顾模型的建立方法（三）、课堂小结设计：由学生归纳出本节课的知识点和思想方法。
人教A版高中数学选修1-2《一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用》优质课教案_28
3.1回归分析的基本思想及其初步应用的教学设计（1）
一、教学任务分析
通过例1的教学，使学生进一步了解与线性回归模型有关的一些统计思想，1、引入残差变量的必要性，2、残差分析和相关指数R2的作用，3、对于模型预报结果的正确认识。
二、教学重点与难点
重点：1、了解回归模型与函数模型的区别2、了解任何模型只能近似描述实际问题
3、模型拟合效果的分析工具：残差分析和指标R2.
难点： 1.残差变量的解释与分析，2、相关指数R2的理解
三、教学基本流程
四、教学情境设计。
人教A版高中数学选修1-2《一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用》优质课教案_12
教学设计一、教学目标【知识与技能】了解线性回归模型与函数模型的区别；正确理解回归方程的预报结果；能从残差分析和相关指数2R的角度分析回归模型的拟合效果。
【过程与方法】在对典型案例探究过程中，学会借助计算机中的Excel软件处理数据及作图，充分经历“做数学”的过程。
【情感、态度与价值观】通过对典型案例的探究，进一步体会回归分析的基本思想，了解回归分析的实际应用，感受数学“源于生活，用于生活”，提高学习兴趣。
经历数据处理的全过程，培养对数据的直观感觉，养成科学严谨、认真仔细的学习态度，同时也不断增强应用现代化技术手段处理数据的能力。
二、教学重、难点【重点】了解回归模型和函数模型的区别；了解模型拟合效果的分析工具——残差分析和相关指数2R。
【难点】解释、分析残差变量；理解2R的含义.三、教学过程（一）知识链接1、两个变量间的关系分为：__________、__________、_________.2、如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的_________，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系.3、回归分析的步骤：①_______________②_______________③______________4、求回归直线方程：____________________(其中ˆˆ,ab 是待定参数) 由最小二乘法公式得：5、回归直线方程恒过点__________________.【设计意图】课前通过智慧课堂平台给学生分享一个微视频，并要求结合微视频完成学案上的知识链接。
课上，学生对照课件自主订正。
目的是通过有效的复习回顾，为本节课的学习打下坚实的基础。
（二） 情境引入1、观看一段新闻报道——广东省紫金县多人感染丙肝事件.2、从高二9、10班的所有女生中随机选取8名，其身高和体重数据如下表：160cm 的女生的体重.1122211()()ˆ,()ˆ_________________________n ni i i i i i n ni i i i x x y y x y nx y b x x x nx a ====⎧---⎪==⎪⎨--⎪⎪=⎩∑∑∑∑【设计意图】短视频的链接是为了引入课题，同时也能有效的激发学生的好奇心和求知欲，调动学生的学习热情。
人教A版高中数学选修1-2《一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用》优质课教案_26
1.1回归分析的基本思想及其初步应用教学目标：(1).知识与技能：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用。
(2).过程与方法：了解回归分析的基本思想、方法及初步应用。
了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法，了解可用残差分析的方法，比较两种模型的拟合效果.(3).情感,态度与价值观：充分利用图形的直观性，简捷巧妙的解题 教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析.教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想.教学方法:讲解法,引导法一、复习准备：1、复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报.2例题：① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：编 号 12 3 4 5 6 7 8 身高/cm165165 157 170 175 165 155 170 体重/kg4857 50 54 64 61 43 59 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm 的女大学生的体重.（分析思路→教师演示→学生整理）② 提问：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60.316kg 吗？不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg 左右.二、新课探究1、真实值和预测值之间有误差的，造成这个误差的原因是什么？2、随机误差和残差y y e -=3、残差分析：①残差图：分布在带状区域，可以检验某些样本点是否合理②相关指数R 2=1- ∑∑==--ni i n i i i y yy y 1212)()( R 2越接近1，拟合效果越好 三、课堂总结：用回归方程探究线性回归问题的方法、步骤、残差分析。
四、作业: 五、板书设计1.1回归分析的基本思想及其初步应用复习线性回归分析的步骤：1 例1234新课残差分析 5课后反思:。
人教A版高中数学选修1-2《一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用》优质课教案_22
§1.1 回归分析的基本思想及其初步（第一课时）教学目标1、让学生明确用统计方法解决实际应用问题的思路；2、了解线性回归模型与函数模型的差异，理解用最小二乘法求回归模型的步骤；3、了解判断两变量间的线性相关关系的强度——相关系数。
理解只有两个变量相关性显著时，回归方程才具有实际意义；4、了解随机误差e的认识5、通过典型案例的探究，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析，明确解决回归模型的基本步骤，体会回归分析在生产实际和日常生活中的广泛应用．教学重点1、了解线性回归模型与函数模型的差异；2、了解任何模型只能近似描述实际问题；3、通过典型案例的探究，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析。
教学难点1、了解线性回归模型与一次函数模型的差异；2、了解随机误差e的认识教学准备课件教学过程1、问题一：一般情况下，体重与身高有一定的关系，个子较高的人体重比较大，你认为这种说法一定正确吗？学生思考、讨论，教师引导学生判断体重与身高之间的关系（函数关系、相关关系）问题二：什么是回归分析？用回归分析的方法对两个具有线性相关关系的变量进行研究的基本步骤是怎样的？（学生回忆、交流，教师点评）回归分析的基本过程：⑴画出两个变量的散点图；⑵判断是否线性相关⑶求回归直线方程（利用最小二乘法）⑷并用回归直线方程进行预报2、例题讲解：例1：从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表所示。
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm 的女大学生的体重。
审题：提问引导学生理解题意①数据体重与身高之间是一种不确定性的关系，它们是否具有线性相关关系？如何判断？②数据体重与身高谁是自变量，谁是因变量？你能求出求出用身高预报体重的回归方程吗？学生根据以前所学的知识，自主解答后，讨论、交流展示。
解：①画出散点图，以身高为自变量x ，体重为因变量y 画出散点图。
从散点图中可以看出样本点呈条状分布，身高与体重之间具有较好的线性相关关系，可以用回归直线来近似刻画它们之间的关系。
高中数学 第一章回归分析的基本思想及其初步应用教案1 新人教A版选修1-2
第一章 统计案例第一课时1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析.教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想.教学过程：一、复习准备：1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报.二、讲授新课：1. 教学例题：的体重. （分析思路→教师演示→学生整理）第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算 ② 提问：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60.316kg 吗？不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg 左右.③ 解释线性回归模型与一次函数的不同事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y 和身高x 之间的关系并不能用一次函数y bx a =+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm 的3名女大学生的体重分别为48kg 、57kg 和61kg ，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm 的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e （即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e =++，其中残差变量e 中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义.3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.。
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回归分析的基本思想及其初步应用一、教学内容解析回归分析，是一种从事物因果关系出发进行预测的方法．操作中，是在掌握大量观察数据的基础上，利用数理统计方法建立因变量与自变量之间的回归关系函数表达式（称回归方程式），预测今后事物发展的趋势．本节课是人教A版高中数学教材选修1-2第一章第一节的内容，安排在数学必修3之后，学生已经学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图，用最小二乘法求线性回归方程、利用回归方程预报等内容．在本节开始借助微视频通过案例“女中学生的身高与体重的关系”回顾回归分析相关内容，从而引出了线性回归模型与学生熟悉的函数关系的不同之处，解释了随机误差项产生的原因，使学生正确理解回归方程预报值的意义．通过案例“红铃虫的产卵数和温度的关系”，让学生在图形计算器的统计模式下，经历整个知识的生成过程，得到三种不同的拟合模型，学会用残差平方和和相关指数2R来衡量不同模型拟合效果，体会统计方法的特点：统计学关心各种方法的适用范围，以寻求最有效的数据处理方法，以及统计思维与确定性思维的区别与联系.在本节课的教学中，教师引导学生借助图形计算器，经历知识的生成过程，体会回归分析的核心思想，为今后进一步深造奠定了基础，同时培养了学生的动手能力．二、教学目标1．知识技能目标：了解回归分析的基本思想；会建立回归模型，认识随机误差e；了解随机误差的效应即残差，了解残差平方和、残差分析的意义；了解相关指数的概念与作用．2．过程方法目标：（1）会使用图形计算器求回归方程；（2）能正确理解回归方程的预报结果.3．情感态度，价值观目标：通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，理解处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神.培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力.教学中引导学生之间合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性.三、教学重难点重点：线性回归模型与函数模型的差异，衡量模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法．难点：理解数学模型的作用，以及统计学在建模时追求的目标．四、教法与教具选择：1．教学方法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论.2．教学手段：运用电子白板、多媒体、CASIO fx-CG20CN图形计算器.3．理论根据：心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动.”思维永远是从问题开始的，因此，本节课采用了逐步设疑、诱导、解疑，指导学生去发现的方法，使学生始终处于兴奋的状态之中．观察、归纳是发现知识、获得知识的基本思维形式，回归分析是统计学中的一个重要问题，在教学过程中，通过微视频、问题设疑、CASIO fx-CG20CN图形计算器实际操作等教学措施，创设问题情境，引导学生通过收集数据，画散点图，求回归方程，利用残差分析和相关指数衡量模型拟合效果等经历回归分析的整个过程．五、教学过程（一）、创设情景，导入新课函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，在数学必修三中，我们利用回归分析的方法对两个具有线性相关关系的变量进行了研究，下面我们通过一个实际案例回忆一下相关内容．微视频，学生随机测量本班八名女同学的身高和体重，画散点图，用最小二乘法求回归系数，预测身高为172cm的女中学生体重为60.316kg．问题1 身高为172cm 的女中学生的体重一定是60.316kg 吗？如果不是，这是由什么原因引起的呢？学生思考讨论：不一定，体重不仅和身高有关系，还和遗传基因、饮食习惯、生长环境有关．老师引导，借助散点图来分析，样本点散布在一条直线的附件，而不是在这条直线上，所以不能用一次函数y bx a =+来描述它们之间的关系．我们引入线性回归模型y bx a e =++来表示，其中a 和b 为模型的未知参数，e 称为随机误差．这就是我们本节课要探究的内容．（二）、启发诱导，探求规律1、线性回归模型：y bx a e =++其中a 和b 为模型的未知参数，e 称为随机误差．注：线性回归模型中，因变量y 的值由自变量x 和随机误差项e 共同确定，即自变量x 只能解释部分y 的变化，在统计中，称自变量x 为解释变量，因变量y 为预报变量。
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非线性回归教学设计知识目标：通过典型案例的探究，进一步学习非线性回归模型的回归分析。
能力目标：会将非线性回归模型通过降次和换元的方法转化成线性化回归模型。
情感目标：体会数学知识变化无穷的魅力。
教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法.教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学方式：合作探究 教学过程：一、复习准备：对于非线性回归问题,并且没有给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修模块《数学1》中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量代换,把问题转化为线性回归问题,使其得到解决. 二、讲授新课：1. 探究非线性回归方程的确定：1. 给出例1：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间的/y 个2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模.② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量.③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+，再令ln z y=，则21ln z c x c =+，可以用线性回归方程来拟合.④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为0.272 3.843z x =-，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为0.272 3.843x y e -=.⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行.其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 三、合作探究例 2.：炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,在使用过程中,由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀,使其容积不断增大,请根据表格中的数据找出使用次数x 与增大的容积y 之间的关系.【解】先根据试验数据作散点图,如图所示：z ＝a ′＋bt ，t 、z 的数值对应表为：【题后点评】作出散点图，由散点图选择合适的回归模型是解决本题的关键，在这里线性回归模型起了转化的作用.例2：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间的回归方程./y 个 2、讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量呈非线性相关关系，所以不能直接．．．．用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型．．．．．．．来建模. ② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量.z ＝a ′＋bt ，t 、z 的数值对应表为：从图中可以看出x 与y 之间不存在线性相关关系． 但仔细分析一下，知道钢包开始使用时侵蚀速度快， 然后逐渐减慢．显然，钢包容积不会无限增大，它必 有一条平行于x 轴的渐近线．于是根据这一特点，我们试设指数型函数曲线y ＝a e bx.对它两边取对数得ln y ＝ln a ＋bx .令z ＝ln y ，t ＝1x，a ′＝ln a ，则上式可写为线性方程：③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+，再令ln z y =，则21ln z c x c =+，而z 与x 间的关系如下：观察z 与x以用线性回归方程来拟合.④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为0.272 3.843z x =-，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为0.272 3.843x y e -=.⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 2. 小结：用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤. 3、常见的非线性回归模型 ⑴ 幂函数曲线 y=ax b处理方法：两边取自然对数得：lny=lna+blnx; 再设{yy x x ln ln ,,==则原方程变成 y ′=lna+bx ′,再根据一次线性回归模型的方法得出lna 和b ⑵ 指数曲线 y=ae bx处理方法: 两边取自然对数得：lny=lna+bx; 再设{yy x x ln ,,==则原方程变成 y ′=lna+bx ′,再根据一次线性回归模型的方法得出lna 和b⑶ 倒指数曲线 xb ae y =处理方法：两边取自然对数得：lny=lna+x b; 再设⎩⎨⎧==y y xx ln 1,,则原方程变成 y ′=lna+bx ′,再根据一次线性回归模型的方法得出lna 和b ⑷ 对数曲线 y=a+blnx 处理方法：设{yy xx ==,,ln 则原方程变成 y ′=a+bx ′,再根据一次线性回归模型的方法得出a 和b课后反思：在前几年高考题中出现非线性回归以后，我们开始重视起非线性回归问题。
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回归分析的基本思想及其初步应用预习课本P2～8，思考并完成以下问题 1．什么是回归分析？2．什么是线性回归模型？3．求线性回归方程的步骤是什么？[新知初探]1．回归分析 (1)回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)回归方程的相关计算对于两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )．设其回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中a ^，b ^是待定参数，由最小二乘法得b ^＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －nx y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x ． (3)线性回归模型线性回归模型⎩⎪⎨⎪⎧y ＝bx ＋a ＋e ，E (e )＝0，D (e )＝σ2，其中a ，b 为模型的未知参数，通常e 为随机变量，称为随机误差．x 称为解释变量，y 称为预报变量．[点睛] 对线性回归模型的三点说明(1)非确定性关系：线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e 与确定性函数y ＝a ＋bx 相比，它表示y 与x 之间是统计相关关系(非确定性关系)，其中的随机误差e 提供了选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最佳估计值a ，b 的工具．(2)线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中a ^，b ^的意义是：以a ^为基数，x 每增加1个单位，y 相应地平均增加b ^个单位．2．线性回归分析(1)残差：对于样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )的随机误差的估计值 e ^i ＝y i －y ^i 称为相应于点(x i ，y i )的残差，∑i ＝1n(y i －y ^i )2称为残差平方和．(2)残差图：利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差， 横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图．(3)R 2＝1－∑i ＝1n(y i －y ^i )2∑i ＝1n(y i －y )2越接近1，表示回归的效果越好．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)残差平方和越小， 线性回归方程的拟合效果越好．( )(2)在画两个变量的散点图时， 预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上．( ) (3)R 2越小， 线性回归方程的拟合效果越好．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内， 两个变量的这种相关关系称为________．答案：正相关3．在残差分析中， 残差图的纵坐标为________． 答案：残差4．如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上， 则残差平方和等于________， 解释变量和预报变量之间的相关系数等于________．答案：0 1或－1[典例] 某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据x 6 8 10 12 y2356(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程 y ^＝b ^x ＋a ^； (3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力． [解] (1)散点图如图：(2)∑i ＝1nx i y i ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x ＝6＋8＋10＋124＝9，y ＝2＋3＋5＋64＝4，∑i ＝1nx 2i ＝62＋82＋102＋122＝344． b ^＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0．7，a ^＝y －b ^x ＝4－0．7×9＝－2．3， 故线性回归方程为y ^＝0．7x －2．3．(3)由(2)中线性回归方程知，当x ＝9时，y ^＝0．7×9－2．3＝4，故预测记忆力为9的同学的判断力约为4．求线性回归方程的三个步骤(1)画散点图：由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系． (2)求回归系数：若存在线性相关关系，则求回归系数．(3)写方程：写出线性回归方程，并利用线性回归方程进行预测说明． [活学活用]某工厂1～8月份某种产品的产量与成本的统计数据见下表：(1)画出散点图；(2)y 与x 是否具有线性相关关系？若有，求出其回归方程． 解：(1)由表画出散点图，如图所示．(2)从上图可看出，这些点基本上散布在一条直线附近，可以认为x 和y 线性相关关系显著，下面求其回归方程，首先列出下表．计算得x ＝6．85，y ＝157．25．∴b ^＝∑i ＝18x i y i －8xy∑i ＝18x 2i －8x2＝8 764.5－8×6.85×157.25382.02－8×6.852≈22．17，a ^＝y －b ^x ＝157．25－22．17×6．85≈5．39，故线性回归方程为y ^＝22．17x ＋5．39．1．在一段时间内，某种商品的价格x 元和需求量y 件之间的一组数据为：求出y 对x 解：x ＝15(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y ＝15(12＋10＋7＋5＋3)＝7．4．∑i ＝15x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， ∑i ＝15x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，可得回归系数b ^＝∑i ＝15x i y i －5xy∑i ＝15x 2i －5x2＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－1．15．所以a ^＝7．4＋1．15×18＝28．1所以回归直线方程：y ^＝－1．15x ＋28．1． 列出残差表：则∑i ＝15(y i －y ^i )2＝0．3，∑i ＝15(y i －y )2＝53．2． R 2＝1－∑i ＝15(y i －y ^i )2∑i ＝15(y i －y )2≈0．994．所以回归模型的拟合效果很好．题点二：非线性回归分析2．为了研究某种细菌随时间x变化繁殖个数y的变化，收集数据如下时间x/天12345 6繁殖个数y 612254995190(1)(2)求y与x之间的回归方程．解：(1)散点图如图所示：(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y1＝c1e c2x的周围，于是令z＝ln y，则x 12345 6z 1．792．483．223．894．555．25由计算器算得，z＝0．69x＋1．112，则有y＝e0．69x＋1．112．(1)当两个变量已明显呈线性相关关系时，则无需作散点图，就可直接求回归直线方程，否则要先判定相关性再求回归方程．判断拟合效果的好坏需要利用R2确定，R2越接近1，说明拟合效果越好．(2)非线性回归方程的求法①根据原始数据(x，y)作出散点图；②根据散点图，选择恰当的拟合函数；③作恰当的变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程；④在③的基础上通过相应的变换，即可得非线性回归方程．层级一学业水平达标1．在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：①对所求出的回归直线方程作出解释；②收集数据(x i，y i)，i＝1,2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可行性要求能够作出变量x，y具有线性相关的结论，则在下列操作顺序中正确的是()A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①解析：选D对两个变量进行回归分析时，首先收集数据(x i，y i)，i＝1,2，…，n；根据所搜集的数据绘制散点图．观察散点图的形状，判断线性相关关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后依据所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是②⑤④③①，故选D．2．有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；②R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好；③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选D①选用的模型是否合适与残差点的分布有关；对于②③，R2的值越大，说明残差平方和越小，随机误差越小，则模型的拟合效果越好．3．下图是根据变量x，y的观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有相关关系的图是()A．①②B．①④C．②③D．③④解析：选D根据散点图中点的分布情况，可判断③④中的变量x，y具有相关的关系．4．(重庆高考)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3．5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )A ．y ^＝0．4x ＋2．3B ．y ^＝2x －2．4 C ．y ^＝－2x ＋9．5 D ．y ^＝－0．3x ＋4．4解析：选A 依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C ，D ．且直线必过点(3,3．5)代入A ，B 得A 正确．5．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0．76，a ＝y －b x ．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11．4万元B ．11．8万元C ．12．0万元D ．12．2万元解析：选B 由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0．76×10＝0．4，∴当x ＝15时，y ^＝0．76×15＋0．4＝11．8(万元)． 6．以下是某地区的降雨量与年平均气温的一组数据：或“不具有”)解析：画出散点图，观察可知，降雨量与年平均气温没有相关关系．答案：不具有7．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．解析：根据样本相关系数的定义可知， 当所有样本点都在直线上时， 相关系数为1． 答案：18．下列说法正确的命题是________(填序号)． ①回归直线过样本点的中心(x ，y )；②线性回归方程对应的直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过其样本数据点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越宽，其模型拟合的精度越高； ④在回归分析中，R 2为0．98的模型比R 2为0．80的模型拟合的效果好． 解析：由回归分析的概念知①④正确，②③错误． 答案：①④9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)x ＝16(8＋8．2＋8．4＋8．6＋8．8＋9)＝8．5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，从而a ^＝y ＋20x ＝80＋20×8．5＝250, 故y ^＝－20x ＋250．(2)由题意知， 工厂获得利润z ＝(x －4)y ＝－20x 2＋330x －1 000＝－20⎝⎛⎭⎫x －3342＋361．25，所以当x ＝334＝8．25时，z max ＝361．25(元)．即当该产品的单价定为8．25元时，工厂获得最大利润．10．关于x 与y 有以下数据：已知x 与y 线性相关，由最小二乘法得b ^＝6．5， (1)求y 与x 的线性回归方程；(2)现有第二个线性模型：y ^＝7x ＋17，且R 2＝0．82．若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由． 解：(1)依题意设y 与x 的线性回归方程为y ^＝6．5x ＋a ^． x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋60＋50＋705＝50，∵y ^＝6．5x ＋a ^经过(x ，y )， ∴50＝6．5×5＋a ^，∴a ^＝17．5，∴y 与x 的线性回归方程为y ^＝6．5x ＋17．5． (2)由(1)的线性模型得y i －y ^i 与y i －y 的关系如下表：所以∑i ＝15(y i －y ^i )2＝(－0．5)2＋(－3．5)2＋102＋(－6．5)2＋0．52＝155．∑i ＝15(y i －y )2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000．所以R 21＝1－∑i ＝15(y i －y ^i )2∑i ＝15(y i －y )2＝1－1551 000＝0．845．由于R 21＝0．845，R 2＝0．82知R 21>R 2，所以(1)的线性模型拟合效果比较好．层级二 应试能力达标1．在建立两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择4个不同模型，求出它们相对应的R 2如表，则其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1B ．模型2C ．模型3D ．模型4 解析：选B 线性回归分析中，相关系数为r ，|r |越接近于1, 相关程度越大； |r |越小， 相关程度越小，故其拟合效果最好． 故选B ．2．如果某地的财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y ＝bx ＋a ＋e (单位：亿元)，其中b ＝0．8，a ＝2，|e |≤0．5，如果今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过( )A ．10亿B ．9亿C ．10．5亿D ．9．5亿解析：选C ∵x ＝10时，y ＝0．8×10＋2＋e ＝10＋e ， 又∵|e |≤0．5，∴y ≤10．5．3．某咖啡厅为了了解热饮的销售量y (个)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：由表中数据，得线性回归方程y ＝－2x ＋a ．当气温为－4 ℃时，预测销售量约为( ) A ．68 B ．66 C ．72D ．70解析：选A ∵x ＝14(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14(24＋34＋38＋64)＝40，∴40＝－2×10＋a ，∴a ＝60，当x ＝－4时，y ＝－2×(－4)＋60＝68．4．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A ，B 两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和i ＝1n (y i －y ^i )2如下表：哪位同学的试验结果体现拟合A ，B 两变量关系的模型拟合精度高( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁解析：选D 根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据，R 2的表达式中 i ＝1n(y i －y )2为确定的数，则残差平方和越小，R 2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．故选D ．5．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y ＝e bx＋a的周围，令z ^＝ln y ，求得回归直线方程为z ^＝0．25x －2．58，则该模型的回归方程为________．解析：因为z ^＝0．25x －2．58，z ^＝ln y ，所以y ＝e 0．25x －2．58． 答案：y ＝e 0．25x －2．586．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0．254x ＋0．321．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：以x ＋1代x ，得y ^＝0．254(x ＋1)＋0．321，与y ^＝0．254x ＋0．321相减可得，年饮食支出平均增加0．254万元．答案：0．2547．下表是某年美国旧轿车价格的调查资料．解：设x 表示轿车的使用年数，y 表示相应的平均价格，作出散点图．由散点图可以看出y与x具有指数关系，令z＝ln y，变换得作出散点图：由图可知各点基本上处于一直线，由表中数据可求出线性回归方程：^＝8．166－0．298x．z因为旧车的平均价格与使用年数具有指数关系，其非线性回归方程为y^＝e8．166－0．298x．8．某公司利润y(单位：千万元)与销售总额x(单位：千万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图；(2)求回归直线方程；(3)估计销售总额为24千万元时的利润．解：(1)散点图如图：(2)列下表，并利用科学计算器进行有关计算．于是b^＝346.3－7×21×2.13 447－7×212≈0．104．a^＝2．1－0．104×21＝－0．084，因此回归直线方程为y^＝0．104x－0．084．(3)当x＝24时，y＝0．104×24－0．084＝2．412(千万元)．。