垂直平分线与将军饮马练习题(带答案

的平分线上 的垂直平分线上
B. 点 在 D. 点 在边
的平分线上 的垂直平分线上
【答案】 D
【解析】 因为 点 在边
，根据垂直平分线的判定可知： 的垂直平分线上．故选 ．
【标注】【知识点】线段的垂直平分线的判定定理
5. 如图，在
中， 、 的垂直平分线 、 相交于点 ．
求证：点 在 的垂直平分线上．
思考：要证点 在 的垂直平分线上，
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
为锐角，
∴
．
14
2 如图 ．
图
∵线段 的垂直平分线为 ，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【标注】【知识点】过一点作已知直线的垂线 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
3. 将军饮马问题
19. 如图 ，在 接写出 解：
中，
，
的最小值，回答
的最小值为
，
，
， 垂直且平分 ，点 在直线
取最小值时点 的位置并在图中标出来；
，
；
则
．
【标注】【知识点】三角形的周长与面积问题 【知识点】轴对称的性质 【能力】推理论证能力
22. 如图，在
的内部有一点 ，点 、 分别是点 关于 ，
于 ， 点，若
的周长为 ，则线段 的长为
的对称点， ．
分别交 ，
【答案】
【解析】 ∵点 关于 、 的对称点分别为 、 ，
∴
，
，
∴
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】轴对称的性质 【能力】推理论证能力
的两边 和 的垂直平分线分别交线段 于 、 两点（ 在 左边），若 边
，则
的周长为
．
【答案】
【解析】 边 和 的垂直平分线分别交线段 于 、 两点，
∴
，
，
∴
的周长
，
故答案为： ．
1
【标注】【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
3. 如图，在
中， 、 分别垂直平分 和 ，交 于 、 ．
（ 1 ）若 （ 2 ）若
于，
5
∴ （ 2 ）在
．
和
中，
，
∴
≌
．
∴
，
∴点 在 的垂直平分线上．
同理，点 在 的垂直平分线上，
故 是 的垂直平分线．
【标注】【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 【知识点】线段的垂直平分线的判定定理 【知识点】HL 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】角分线性质定理
9. 如图，点 是 的中点， 垂直平分 ，垂足为 ， 是 的中点，求证： 是 的垂直平 分线．
23. 如图，已知点 是锐角
内的一点．
（ 1 ）按要求画图：（不写作法，尺规作图，保留作图痕迹）
①分别作点 关于 ， 的对称点 ， ．
②试分别在 、 上确定点 ，点 ，使
的周长最小．
（ 2 ）若
时，试判断
的形状，并说明理由．
17
【答案】（ 1 ）如图所示：
（2）
是直角三角形．
【解析】（ 1 ）如图所示：
，垂足为点 ．
1 当垂足 在线段 上时，直接写出
度数的取值范围．
2 请你画出一个垂足 在线段 延长线上时的图形，并求证
．
【答案】（ 1 ）作图见解析．
（ 2 ）1
．
2 证明见解析．
【解析】（ 1 ）如图所示： 即为所求作的直线．
（ 2 ）1 连接
，当
． 时，垂足 在线段 上．
图
∵ 垂直平分 ，
∴
，
∴
【答案】（ 1 ）相等，证明见解析． （ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ） 在
．
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
（ 2 ）∵
，
∴
，
由（ ）可知
，
7
∴
，
∴
，
∵
，
∴点 、 均在线段 的垂直平分线上，
即直线 垂直平分线段 ．
【标注】【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 【知识点】SAS 【知识点】全等三角形的对应边与角 【能力】推理论证能力
16. 已知
，点 是边 上一点．
11
（ 1 ）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． ①作线段 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ．②在 ，连接 、 ．
（ 2 ）判断 和 的位置关系，并给出证明．
上截取
，使
【答案】（ 1 ）如图所示．
（2）
．
【解析】（ 1 ）如图所示．
（ 2 ）∵ 垂直平分 ．
∴
，
2. 垂直平分线相关的尺规作图
11. 如下图，在暑假期间，某学校对其校内的高中楼（图中的点 ），临建楼（图中的点 ）和图书馆 （图中的点 ）进行装修，装修工人小明需要放置一批装修物资，使得装修物资到点 ，点 和点 的距离相等，则装修物资应该放置在（ ）． （ 高中楼 ）
A. 在 、 两边高线的交点处 B. 在 、 两边中线的交点处 C. 在 、 两内角平分线的交点处 D. 在 、 两边垂直平分线的交点处
（ 2 ）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴
是 边上的中垂线， ， ， ，
平分
， ．
【标注】【能力】推理论证能力 【知识点】作线段的垂直平分线 【知识点】角平分线判定定理
，
， ，
18. 已知：线段 ． （ 1 ）尺规作图：作线段
的垂直平分线 ，与线段
交于点 ．（保留作图痕迹，不写作法）
13
（ 2 ）在（ ）的基础上，点 为 上一个动点（点 不与点 重合），连接 ，过点 作
只需要证明
=
．
【答案】 ;
【解析】 连接 、 、 ．
∵ 垂直平分 ．
∴
．
同理
．
∴
．
∴点 在 的垂直平分线上．
3
【标注】【知识点】线段的垂直平分线的判定定理
6. 如图，
中，
， 垂直平分 ，交 于点 ，交 于点 ，且
．
（ 1 ）若 （ 2 ）若
，求 的度数．
周长 ，
，求
长．
【答案】（ 1 ） （2）
． ．
垂直平分线与将军饮马 题集
1. 垂直平分线的性质与判定
1. 如图，点 在
的边 上，且
，则点 在线段（ ）．
A. 的垂直平分线上 C. 的垂直平分线上
B. 的垂直平分线上 D. 不能确定
【答案】 B
【解析】 ∵
，
∴
，
∴点 在 的垂直平分线上．
故选 ．
【标注】【知识点】线段的垂直平分线的判定定理
2. 如图， 的长为
取最小值时点 ，直线 与 边的交点． 【解析】 ，直线 与 边的交点． 【标注】【知识点】轴对称的性质
【知识点】轴对称的定义
15
20. 如图，直线 是
中 边的垂直平分线，点 是直线 上的一动点．若
，
，
，则
周长的最小值是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】 ∵直线 垂直平分 ， ∴ 、 关于直线 对称， 设直线 交 于 ，
，
∵
，
∴
．
【标注】【能力】推理论证能力 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 【知识点】角分线性质定理
8. 已知： 是
的平分线上一点，
，
， ，垂足分别为 、 ．
（ 1 ）求证：
．
（ 2 ）求证： 是 的垂直平分线．
【答案】（ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析
【解析】（ 1 ）∵ ∴
平分
，
，
于，
的周长为 ，则
，则
． 度．
【答案】（ 1 ） （2）
【解析】（ 1 ）∵ 、 分别垂直平分 和 ，
∴
，
，
∵
的周长为 ，
即
，
∴
．
∴
．
（ 2 ）∵ 垂直平分 ，
∴
，
∵ 垂直平分 ，
∴
，
又∵
，
则
，
，
∴
．
【标注】【知识点】三角形内角和的应用
4. 如图，点 是
内的一点，若
，则下列结论一定成立的（ ）．
2
A. 点 在 C. 点 在边
小红的作法如下：
如图，
①分别以点 和点 为圆心，大于
的长为半
径作弧，两弧相交于点 ；
②再分别以点 和点 为圆心，大于
的长为
半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点
，使点 与点 在直线 的同侧；
A
③作直线 ．
老师说：“小红的作法正确．”
请回答：小红的作图依据是
．
B
C D
B
【答案】 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线． 【解析】 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线． 【标注】【知识点】作线段的垂直平分线
【解析】（ 1 ）∵ 垂直平分 ， 垂直平分 ，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
（ 2 ）∵
周长 ，
，
∴
，
即
，
∴
．
【标注】【知识点】作三角形的高，中线和角平分线
4
7. 已知
中， 是 ．
的平分线， 的垂直平分线交 的延长线于 ．求证：
【答案】 证明见解析．
【解析】 ∵ 是
的平分线，
∴
，
∵ 是 的垂直平分线，
∴
，
∴当 和 重合时，
∴
周长的最小值是
故选 ．
的值最小，最小值等于 ．
的长，
【标注】【知识点】轴对称的性质 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
21. 如图，点 关于 、 ，则
的对称点分别为 、 ，连接
的周长为
．
，交
于 ，交
于 ，若
【答案】
16
【解析】 根据题意点 关于 、 的对称点分别为 、 ，
故有
的周长为 ，
的周长 ，则
为
．
【答案】
【解析】 由作图的过程知，直线 为线段
故
，
∵
的周长为 ，
∴
，
的垂直平分线，
10
∵
，
∴
，
，
∵
的周长为 ，
∴
，
∴
．
【标注】【知识点】三角形的周长与面积问题
15. 阅读下面材料：
数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作一条线段的垂直平分线．
已知：线段 ．
A
求作：线段 的垂直平分线．
【答案】 证明见解析．
【解析】 连接 ， ∵ 垂直平分 ，
∴
，
∵点 是 的中点，
∴
，
∴
，
在
与
中，
6
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴ 是 的垂直平分线．
【标注】【知识点】SSS
10. 如图，已知等腰三角形 、 ，交于点 ．
中，
，点 、 分别在边 、 上，且
，连接
（ 1 ）判断
与
的数量关系，并说明理由．
（ 2 ）求证：过点 、 的直线垂直平分线段 ．
的长为半径作
弧，两弧相交于点 ， ；②作直线 交 于点 ，连接 ．若
，
，则
的度数为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】 依题可知，尺规画图作的 是线段 的垂直平分线，
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
．
【标注】【知识点】作线段的垂直平分线
13.
9
如图，在
中，分别以点 和点 为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧相交于点 ，
（2）
是直角三角形，理由如下：
由（ ）可知：
，
，
∴
，
，
∴
∴
∴
是直角三角形．
【标注】【知识点】利用轴对称设计图案 【知识点】作轴对称变换 【知识点】轴对称的性质 【知识点】轴对称的定义 【知识点】等腰直角三角形的判定
，
，
， ，
，
18
【答案】 D 【解析】 到 ， ， 的距离相等，
（ 临建楼 ） （ 图书馆 ）
8
（高中楼）
（临建楼）
（图书馆）
物资应放在 ， ， 的垂直平分线上， 且画出其中的两线段的垂直平分线即可． 故选 ．
【标注】【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
12. 如图，在已知的
中，按以下步骤作图：①分别以 ， 为圆心，以大于
作直线 ，交 于点 ，连接 ，若
的周长为 ，
，则 的长为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】 由题意可知， 是 的中垂线，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
故选 ．
【标注】【知识点】三角形的周长与面积问题
14. 如图，在
中，分别以点 和点 为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧相交于点 ，
，作直线 ，交 于点 ，连接 ．若
．
∴
．
∴
．
∴
，
．
∴
．
∵
，
．
∴
≌
．
∴
．
∴
．
12
【标注】【知识点】AAS
17. 如图，
中，
，
．
（ 1 ）用尺规作图作 边上的垂直平分线
要求写作法和证明）
（ 2 ）连接 ，求证： 平分
．
，交
于点 ，交
于点 ．（保留作图痕迹，不
【答案】（ 1 ）画图见解析． （ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）如图所示， 就是要求作的 边上的中垂线．