湖北省公安县博雅中学高三数学二轮复习 第9课时《函数的性质及其应用》学生用书 (1)

湖北省公安县博雅中学高三数学二轮复习 第9课时《函数的性质及
其应用》学生用书 （1）
★高考趋势★
纵观近年来高考试题，特别是2008年高考试题，函数试题有如下特点：近几年来的高考题中，函数的所有知识点都考过，虽然近几年不强调知识的覆盖率，但每一年函数知识点的覆盖率依然没有减小. 在每年高考题中，函数题低档、高档难度都有，且填空、解答题型齐全；低档难度题一般仅涉及函数本身的内容，诸如定义域、值域、单调性、周期性、图象，且对能力的要求不高；中、高档难度题多为综合程度较大的问题，或者函数与其他知识结合，或者是多种方法的渗透.在系统复习阶段，我们分别研究了函数的性质(单调性、奇偶性、最值等)和图象(画图、识图、用图)，本轮复习的重点是函数图象和性质综合问题的解法.在函数的诸多性质中，单调性和最值是复习的重点，也是高考的频考点.函数的图象可以全面反映函数的性质，而熟练掌握函数的性质有助于准确地画出函数的图象，从而自觉地养成用数形结合的思想方法解题的习惯.
一 基础再现
1. （07辽宁卷）设,0.(),0.
x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________ 2. 函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤,则实数a 的取值范围是
3.若011log 22<++a
a a ，则a 的取值范围是 4. (07全国Ⅰ改)若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为
5.定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(3)f -=
6. （08山东卷）已知2(3)4log 3233x f x =+，则8(2)(4)(8)(2)f f f f ++++的值
等于 ．
7.已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则 当),0(∞+∈x 时，=)(x f .
8.定义在R 上的偶函数()f x 满足：(2)()f x f x -=-，且在[]1,0-上是增函数，下面关于()f x 的判断：①()f x 是周期函数；②(5)f =0；③()f x 在[]1,2上是减函数；④()f x 在[]2,1--上是减函数.其中正确的判断是 （把你认为正确的判
断都填上）
二 感悟解答
1. 答案：1ln 2111(())(ln )222
g g g e ===.点评：本题考察分段函数的表达式、指对数的运算. 2.答案：当0a >时，∵函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，∴
()y f x =在(0,)+∞上是减函数，
所以若()(2)f a f ≤，则2a ≥，当0a <时，函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上增函数，且(2)(2)f f -=，∴实数a 的取值范围是2a ≤- 评析：本小题主要考查利用函数的单调性的来解函数不等式的问题。

3.解：当1212a a >⇒>时，若011log 22<++a a a ，则21011a a +<<+01a ⇒<<，∴112
a << 当112002a a >>⇒<<时，若011log 22<++a a a ，则2111a a
+>+⇒1a >，此时无解！ 所以a 的取值范围是112
a << 4.答案：∵01a <<，∴()f x 是定义域上的减函数，所以max ()log 1a f x a ==，
min ()log 2a f x a =，∴32213log 2(2)814
a a a a a a =⇒=⇒=⇒=5. 解：令0(0)0x y f ==⇒=，令1(2)2(1)26x y f f ==⇒=+=；
令2,1(3)(2)(1)412x y f f f ==⇒=++=，再令3,3x y ==-得
0(33)(3)(3)18(3)18(3)6f f f f f =-=+--⇒-=-=
7.解：当x ∈(0,+∞) 时，有-x ∈(-∞,0)，注意到函数f(x) 是定义在 (-∞,+∞)上的偶函数，于是，有f(x)=f(-x)=-x-(-x)4=-x-x 4 ．从而应填-x-x 4．
6. 解析：本小题考查对数函数问题。

22(3)4log 32334log 3233,x x f x =+=+
2()4log 233,f x x =+8(2)(4)(8)(2)f f f f ∴+++
+= 222282334(log 22log 23log 28log 2)186********.⨯+++++=+=
8. 【解】：∵(2)()f x f x -=- ∵()f x 有对称中心()1,0，
又∵()f x 为偶函数 ∴可知()f x 图象可如图所示：
从而由图象可知其中正确的判断是①、②、③
注：∵(2)()f x f x -=- ∴()(2)f x f x =--∴()()(4)242f x f x f x +=--+=--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
又∵()f x 为偶函数 ∴()(4)2f x f x +=-+ ∴()()()(4)22f x f x f x f x +=-+=-=⎡⎤⎣⎦ ∴()f x 的周期为5；
三 范例剖析
例１.(1)已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(1
2x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式
(2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求f (x )的表达式
辨析：设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≤－1时，y =f (x )的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y =f (x )的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f (x )的表达式，并在图中作出其图象
例2. 已知函数f (x )=x a x x ++22,x ∈［1,+∞)，(1)当a =2
1时，求函数f (x )的最小值 (2)若对任意x ∈［1,+∞), f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围
辨析：设m 是实数，记M ={m |m >1},f (x )=log 3(x 2－4mx +4m 2
+m +1
1-m ) (1)证明 当m ∈M 时，f (x )对所有实数都有意义；反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则m ∈M
(2)当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值
(3)求证 对每个m ∈M ,函数f (x )的最小值都不小于1
例3.设函数y =f (x )定义域为R ,当0x <时,()1f x >,且对于任意的,x y ∈R 都有 ()()()f x y f x f y +=成立,数列{}n a 满足1(0)a f =且11()(2)n n f a f a +=
--． (1) 求f (0)的值,并证明函数y =f (x )在R 上是减函数；
(2) 求数列{}n a 的通项公式；
(3) 是否存在正数k ,
使121
111(1)(1)(1)n a a a ++++≥n *∈N 都成立,若存在,求出k 的最大值,并证明,否则说明理由．
辨析：设函数()y f x =定义在R 上，对任意实数m 、n ，恒有()()()f m n f m f n +=且当0,0()1x f x ><<
（1）求证：f （0）=1，且当x ＜0时，f （x ）＞1；
（2）求证：f （x ）在R 上递减；
（3）设集合A ={（x ，y ）|f （x 2）·f （y 2
）＞f （1）}，B ={（x ，y ）|f （ax －y +2）=1， a ∈R }，若A ∩B =∅，求a 的取值范围.
四 巩固训练
1.（07浙江卷）函数2
2()1
x y x R x =∈+的值域是______________． 2.（08湖北卷文6）已知()f x 在R 上是奇函数，且(4)(),(0,2)f x f x x +=∈当时， 2()2,f x x =(7)f =则
3.已知函数()f x 满足：()()()f a b f a f b +=⋅，(1)2f =，则
2222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)(1)(3)(5)(7)
f f f f f f f f f f f f +++++++= 。

4.(06重庆卷)设0,1a a >≠，函数2lg(23)()x x f x a -+=有最大值，则不等式()2lo
g 570a x x -+>的解集为 。

5.（06浙江卷）对a,b ∈R,记max|a,b |=⎩⎨
⎧≥b
a b b a a ＜,,函数f （x ）＝max||x+1|,|x-2||(x ∈R)的最小值是 .
6.（08辽宁卷理12）设()f x 是连续的偶函数，且当x >0时()f x 是单调函数，则满足3()4x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭
的所有x 之和为 7.已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >的解集为(1,3)-.
（1）若方程()7f x a =-有两个相等的实数根，求)(x f 的解析式；
（2）若函数()g x x =)(x f 在区间,
3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
内单调递减，求a 的取值范围； （3）当1a =-时，证明方程()321f x x =-仅有一个实数根.。