2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析(74)

宝塔区第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数()21
11
x f x x ++=+，则曲线()y f x =在点()()11f ，处切线的斜率为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-
2． 四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四
棱锥的所有顶点都在体积为
24316
π
同一球面上，则PA =（ ）
A ．3
B ．72
C ．
D ．9
2
【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．
3． 已知集合A={y|y=x 2+2x ﹣3}，，则有（ ）
A ．A ⊆B
B ．B ⊆A
C ．A=B
D ．A ∩B=φ
4． 已知函数f （x ）=x 2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a 的取值范围（ ）
A ．[1，+∞）
B ．[0.2}
C ．[1，2]
D ．（﹣∞，2]
5． 下列四个命题中的真命题是（ ）
A ．经过定点()000,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示
B ．经过任意两个不同点()111,P x y 、()222,P x y 的直线都可以用方程
()()()()121121y y x x x x y y --=--
表示
C ．不经过原点的直线都可以用方程1x y
a b
+=表示 D ．经过定点()0,A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示
6． 若将函数y=tan （ωx+）（ω＞0）的图象向右平移
个单位长度后，与函数y=tan
（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 已知复合命题p ∧（￢q ）是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ） A ．（￢p ）∨q B ．p ∨q C ．p ∧q D ．（￢p ）∧（￢q ）
8． 设F 1，F 2分别是椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于P ，
Q 两点，若∠F 1PQ=60°，|PF 1|=|PQ|，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 已知两条直线ax+y ﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，则实数a 等于（ ） A ．1或﹣3 B ．﹣1或3 C ．1或3 D ．﹣1或﹣3
10．如果集合 ,A B ，同时满足{}{}{}{}1,2,3,41,1,1A B B A B =≠≠，A =,就称有
序集对
(),A B 为“ 好集对”. 这里有序集对(),A B 是指当A B ≠时，(),A B 和(),B A 是不同的
集对， 那么
“好集对” 一共有（ ）个
A ．个
B ．个
C ．个
D ．个
11．若a=ln2，b=5
，c=
xdx ，则a ，b ，c 的大小关系（ ）
A ．a ＜b ＜c
B B ．b ＜a ＜c
C C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜b ＜a 12．已知a n =（n ∈N *
），则在数列{a n }的前30项中最大项和最小项分别是（ ）
A ．a 1，a 30
B ．a 1，a 9
C ．a 10，a 9
D ．a 10，a 30
二、填空题
13．设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f （x ）
=其中a ，b ∈R ．若=，则a+3b 的值为 ．
14．已知a=（
cosx ﹣sinx ）dx ，则二项式（x 2﹣）6展开式中的常数项
是 ．
15．若双曲线的方程为4x 2﹣9y 2=36，则其实轴长为 ．
16．已知抛物线1C ：x y 42
=的焦点为F ，点P 为抛物线上一点，且3||=PF ，双曲线2C ：
12
2
22=-b y a x （0>a ，0>b ）的渐近线恰好过P 点，则双曲线2C 的离心率为 .
【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.
17．设所有方程可以写成（x ﹣1）sin α﹣（y ﹣2）cos α=1（α∈[0，2π]）的直线l 组成的集合记为L ，则下列说法正确的是 ； ①直线l 的倾斜角为α；
②存在定点A ，使得对任意l ∈L 都有点A 到直线l 的距离为定值； ③存在定圆C ，使得对任意l ∈L 都有直线l 与圆C 相交； ④任意l 1∈L ，必存在唯一l 2∈L ，使得l 1∥l 2； ⑤任意l 1∈L ，必存在唯一l 2∈L ，使得l 1⊥l 2．
18．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点 ②经过空间任意三点有且只有一个平面 ③过两平行直线有且只有一个平面 ④在空间两两相交的三条直线必共面 其中正确命题的序号是 ．
三、解答题
19．（本题满分13分）已知函数x x ax x f ln 22
1)(2
-+=. （1）当0=a 时，求)(x f 的极值；
（2）若)(x f 在区间]2,3
1[上是增函数，求实数a 的取值范围.
【命题意图】本题考查利用导数知识求函数的极值及利用导数来研究函数单调性问题，本题渗透了分类讨论思想，化归思想的考查，对运算能力、函数的构建能力要求高，难度大.
20．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}．
（1）求A ∪B ；
（2）求（∁U A ）∩B ； （3）求∁U （A ∩B ）．
21．【淮安市淮海中学2018届高三上第一次调研】已知函数()133x x a
f x b
+-+=+.
（1）当1a b ==时，求满足()3x
f x =的x 的取值；
（2）若函数()f x 是定义在R 上的奇函数
①存在t R ∈，不等式()(
)2222f t t f t k -<-有解，求k 的取值范围； ②若函数()g x 满足
()()()
123
3
3x
x
f x
g x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦，若对任意x R ∈，不等式()()211g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值.
22．2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政7080100位，得到数据如表：
70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由． 2.072
2.706
3.841
5.024
（参考公式：，其中n=a+b+c+d ）
23．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值．
（Ⅰ）求c的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，求d的取值范围．
24．已知函数f（x）=x2﹣ax+（a﹣1）lnx（a＞1）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a=2，数列{a n}满足a n+1=f（a n）．
（1）若首项a1=10，证明数列{a n}为递增数列；
（2）若首项为正整数，且数列{a n}为递增数列，求首项a1的最小值．
宝塔区第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考
答案）
一、选择题
1． 【答案】A 【解析】
试题分析：由已知得()2112x f x x x -==-，则()21
'f x x
=，所以()'11f =． 考点：1、复合函数；2、导数的几何意义. 2． 【答案】B
【解析】连结,AC BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连结OE ，则O E P A ，所以OE ⊥
底面ABCD ，则O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 球心，均为
12PC ==
34243316ππ=
，解得7
2
PA =，故选B ．
3． 【答案】B 【解析】解：∵y=x 2+2x ﹣3=（x+1）2
﹣4，
∴y ≥﹣4． 则A={y|y ≥﹣4}． ∵x ＞0，
∴x+≥2
=2（当x=，即x=1时取“=”），
∴B={y|y ≥2}， ∴B ⊆A ． 故选：B ．
【点评】本题考查子集与真子集，求解本题，关键是将两个集合进行化简，由子集的定义得出两个集合之间的关系，再对比选项得出正确选项．
4． 【答案】C
【解析】解：f （x ）=x 2﹣2x+3=（x ﹣1）2
+2，对称轴为x=1．
所以当x=1时，函数的最小值为2．
当x=0时，f（0）=3．
由f（x）=3得x2﹣2x+3=3，即x2﹣2x=0，解得x=0或x=2．
∴要使函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则1≤a≤2．
故选C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决二次函数的基本方法．
5．【答案】B
【解析】
考点：直线方程的形式.
【方法点晴】本题主要考查了直线方程的表示形式，对于直线的点斜式方程只能表示斜率存在的直线；直线的斜截式方程只能表示斜率存在的直线；直线的饿两点式方程不能表示和坐标轴平行的直线；直线的截距式方程不能表示与坐标轴平行和过原点的直线，此类问题的解答中熟记各种直线方程的局限性是解答的关键.111]
6．【答案】D
【解析】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan
（ωx+）
∴﹣ω+kπ=
∴ω=k+（k∈Z），
又∵ω＞0
∴ωmin=．
故选D．
7．【答案】B
【解析】解：命题p∧（￢q）是真命题，则p为真命题，￢q也为真命题，
可推出￢p为假命题，q为假命题，
故为真命题的是p∨q，
故选：B．
【点评】本题考查复合命题的真假判断，注意p∨q全假时假，p∧q全真时真．
8． 【答案】 D
【解析】解：设|PF 1|=t ， ∵|PF 1|=|PQ|，∠F 1PQ=60°， ∴|PQ|=t ，|F 1Q|=t ，
由△F 1PQ 为等边三角形，得|F 1P|=|F 1Q|， 由对称性可知，PQ 垂直于x 轴，
F 2为PQ 的中点，|PF 2|=，
∴|F 1F 2|=
，即2c=
，
由椭圆定义：|PF 1|+|PF 2|=2a ，即2a=t
=t ，
∴椭圆的离心率为：e===．
故选D ．
9． 【答案】A
【解析】解：两条直线ax+y ﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，
所以=
≠
，
解得 a=﹣3，或a=1． 故选：A ．
10．【答案】B 【解析】 试题分析：因为{}{}{}{}1,2,3,41,1,1A
B B A B =≠≠，A =，所以当{1,2}A =时，
{1,2,4}B =；当{1,3}A =时，{1,2,4}B =；当{1,4}A =时，{1,2,3}B =；当{1,2,3}
A =时，{1,4}
B =；当{1,2,4}A =时，{1,3}B =；当{1,3,4}A =时，{1,2}B =；所以满足条件的“好集对”一共有个，故选B.
考点：元素与集合的关系的判断.
【方法点晴】本题主要考查了元素与集合关系的判断与应用，其中解答中涉及到集合的交集和集合的并集运算与应用、元素与集合的关系等知识点的综合考查，着重考查了分类讨论思想的应用，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中正确的理解题意是解答的关键.1111]
11．【答案】C
【解析】解：∵ a=ln2＜lne 即，
b=5=，
c=
xdx=
，
∴a ，b ，c 的大小关系为：b ＜c ＜a ． 故选：C ．
【点评】本题考查了不等式大小的比较，关键是求出它们的取值范围，是基础题．
12．【答案】C
【解析】解：a
n ==1+
，该函数在（0，
）和（
，+∞）上都
是递减的， 图象如图， ∵9＜
＜10．
∴这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a 10，a 9．
故选：C ．
【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了数形结合的解题思想，解答的关键是根据数列通项公式画出图象，是基础题．
二、填空题
13．【答案】 ﹣10 ．
【解析】解：∵f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，f （x ）=，
∴f （）=f （﹣）=1﹣a ，f （）=；又=，
∴1﹣a=
①
又f （﹣1）=f （1）， ∴2a+b=0，②
由①②解得a=2，b=﹣4； ∴a+3b=﹣10．
故答案为：﹣10．
14．【答案】 240 ．
【解析】解：a=
（
cosx ﹣sinx ）dx=（
sinx+cosx ）
=﹣1﹣1=﹣2，
则二项式（x 2﹣）6=（x 2+）6
展开始的通项公式为T r+1=
•2r •x 12﹣3r ，
令12﹣3r=0，求得r=4，可得二项式（x 2
﹣）6
展开式中的常数项是•24=240，
故答案为：240．
【点评】本题主要考查求定积分，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
15．【答案】 6 ．
【解析】解：双曲线的方程为4x 2﹣9y 2
=36，即为：
﹣
=1，
可得a=3， 则双曲线的实轴长为2a=6．
故答案为：6． 【点评】本题考查双曲线的实轴长，注意将双曲线方程化为标准方程，考查运算能力，属
于基础题．
16．【答案】3
17．【答案】②③④
【解析】解：对于①：倾斜角范围与α的范围不一致，故①错误；
对于②：（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1，（α∈[0，2π）），
可以认为是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的切线系，故②正确；
对于③：存在定圆C，使得任意l∈L，都有直线l与圆C相交，
如圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=100，故③正确；
对于④：任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2，作图知④正确；
对于⑤：任意意l1∈L，必存在两条l2∈L，使得l1⊥l2，画图知⑤错误．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意直线方程、圆、三角函数、数形结合思想等知识点的合理运用．
18．【答案】③．
【解析】解：①两个相交平面的公交点一定在平面的交线上，故错误；
②经过空间不共线三点有且只有一个平面，故错误；
③过两平行直线有且只有一个平面，正确；
④在空间两两相交交点不重合的三条直线必共面，三线共点时，三线可能不共面，故错误，
故正确命题的序号是③，
故答案为：③
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）函数的定义域为),0(+∞，因为x x ax x f ln 22
1)(2
-+=
，当0=a 时，x x x f ln 2)(-=，则x x f 12)('-=.令012)('=-=x x f ，得2
1
=x .…………2分
所以当2
=
x 时，)(x f 的极小值为2ln 1)21
(+=f ，函数无极大值.………………5分
20．【答案】
【解析】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}．
（1）A ∪B={1，2，3，4，5，7} （2）（∁U A ）={1，3，6，7} ∴（∁U A ）∩B={1，3，7}
（3）∵A ∩B={5}
∁U （A ∩B ）={1，2，3，4，6，7}．
【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的
关键．
21．【答案】（1）1x =-（2）①()1,-+∞，②6
【
解
析
】
试题解析：（1）由题意，131331x x x +-+=+，化简得()2332310x
x ⋅+⋅-=
解得()1
3133
x x =-=舍或，
所以1x =-
（2）因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以1
133033x x x x a a
b b
-++-+-++=++ 化简并变形得：()()
333260x x a b ab --++-=
要使上式对任意的x 成立，则30260a b ab -=-=且 解得：11{
{ 33a a b b ==-==-或，因为()f x 的定义域是R ，所以1
{ 3
a b =-=-舍去 所以1,3a b ==，所以()131
33
x x f x +-+=+
①()131********x x x f x +-+⎛⎫
==-+ ⎪++⎝⎭
对任意1212,,x x R x x ∈<有：
()()()()
21
12
12121222333313133131x x x x x
x f x f x ⎛⎫-⎛⎫
⎪-=-=
⎪ ⎪++++⎝⎭
⎝
⎭
因为12x x <，所以21330x x
->，所以()()12f x f x >， 因此()f x 在R 上递减．
因为()()
2222f t t f t k -<-，所以2222t t t k ->-， 即220t t k +-<在
时有解
所以440t ∆=+>，解得：1t >-， 所以的取值范围为()1,-+∞
②因为()()()
12333x x
f x
g x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦，所以()()
3323x x g x f x --=-
即()33x
x
g x -=+
所以()()
2
22233332x x x x
g x --=+=+-
不等式()()211g x m g x ≥⋅-恒成立， 即()
()
2
3323311x x
x x m --+-≥⋅+-，
即：9
3333x x x x
m --≤++
+恒成立
令33,2x x
t t -=+≥，则9m t t
≤+在2t ≥时恒成立
令()9h t t t =+，()29
'1h t t
=-，
()2,3t ∈时，()'0h t <，所以()h t 在()2,3上单调递减
()3,t ∈+∞时，()'0h t >，所以()h t 在()3,+∞上单调递增
所以()()min 36h t h ==，所以6m ≤ 所以，实数m 的最大值为6
考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题
【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。

22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知得该市70后“生二胎”的概率为=，且X ～B （3，），
P （X=0）==
，
P （X=1）==，
P （X=2）==，
P （X=3）==，
∴E（X）=3×=2．
（Ⅱ）假设生二胎与年龄无关，
K2==≈3.030＞2.706，
所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．
23．【答案】
【解析】解（Ⅰ）∵f（x）=x3﹣x2+cx+d，
∴f′（x）=x2﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，
从而△=1﹣4c＞0，
∴c＜．
（Ⅱ）∵f（x）在x=2处取得极值，
∴f′（2）=4﹣2+c=0，
∴c=﹣2．
∴f（x）=x3﹣x2﹣2x+d，
∵f′（x）=x2﹣x﹣2=（x﹣2）（x+1），
∴当x∈（﹣∞，﹣1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（﹣1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减．
∴x＜0时，f（x）在x=﹣1处取得最大值，
∵x＜0时，f（x）＜恒成立，
∴＜，即（d+7）（d﹣1）＞0，
∴d＜﹣7或d＞1，
即d的取值范围是（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）．
【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵，
∴（x＞0），
当a=2时，则在（0，+∞）上恒成立，
当1＜a＜2时，若x∈（a﹣1，1），则f′（x）＜0，若x∈（0，a﹣1）或x∈（1，+∞），则f′（x）＞0，
当a＞2时，若x∈（1，a﹣1），则f′（x）＜0，若x∈（0，1）或x∈（a﹣1，+∞），则f′（x）＞0，
综上所述：当1＜a＜2时，函数f（x）在区间（a﹣1，1）上单调递减，
在区间（0，a﹣1）和（1，+∞）上单调递增；
当a=2时，函数（0，+∞）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞2时，函数f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（0，1）和（a﹣1，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）若a=2，则，由（Ⅰ）知函数f（x）在区间（0，+∞）上
单调递增，
（1）因为a1=10，所以a2=f（a1）=f（10）=30+ln10，可知a2＞a1＞0，
假设0＜a k＜a k+1（k≥1），因为函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
∴f（a k+1）＞f（a k），即得a k+2＞a k+1＞0，
由数学归纳法原理知，a n+1＞a n对于一切正整数n都成立，
∴数列{a n}为递增数列．
（2）由（1）知：当且仅当0＜a1＜a2，数列{a n}为递增数列，
∴f（a1）＞a1，即（a1为正整数），
设（x≥1），则，
∴函数g（x）在区间上递增，
由于，g（6）=ln6＞0，又a1为正整数，
∴首项a1的最小值为6．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，同时考查函数的零点存在定理和数学归纳法的运用，考查运算能力，属于中档题．
选做题：本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分7分．如果多做，则按所做的前两题计分．【选修4-2：矩阵与变换】。