九年级数学下册 课题 1.2反比例函数的图像和性质教案(2) 湘教版【教案】
湘教版九年级数学下册：反比例函数的图象与性质1教案
课题：反比例函数y ＝kx(k ＞0)的图象与性质【学习目标】1．能用描点法画出反比例函数y ＝kx(k>0)的图象．2．通过观察、分析，理解和掌握反比例函数y ＝kx (k>0)的图象与性质．3．体会数形结合的思想方法，学会从函数图象中获取信息．【学习重点】掌握画反比例函数图象的方法，理解反比例函数y ＝kx (k>0)的性质．【学习难点】运用反比例函数的性质解题．一、情景导入 生成问题回顾：(1)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线．(2)当k >0，b >0时，一次函数y ＝kx ＋b 经过第一、二、三象限，y 随x 的增大而增大．(3)画一次函数的图象最少需要确定两个点，我们能用类似的方法画反比例函数y ＝kx(k >0)的图象吗？二、自学互研 生成能力知识模块一 画反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象阅读教材P5～P6，完成下面的内容：1．画反比例函数y ＝6x 的图象时先要列表，列表时自变量x 可取哪些值？(提示：x 是不为零的任何实数，所以可以以零为基准，左右均匀、对称地取值) 2．取值以后再描点．3．描点之后再连线：怎样连线？可在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线把所描的点连接起来．师生合作探究并归纳出y ＝kx的图象特征．归纳：反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象是两支分别分布在一、三象限的光滑曲线．【例1】 作反比例函数y ＝2x的图象．解：(1)列表：由于函数中x≠0，使得函数图象分成了两个部分．(2)描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点．(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到函数y＝2x的图象．(如图)教师点拨：画反比例函数图象时应注意：①列表时，自变量x的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值．这样既可以简化计算，又便于描点；②列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描出一些点，这样方便连线．【变例】 作出反比例函数y ＝12x的图象，并根据图象解答下列问题： (1)当x ＝4时，求y 的值；(2)当y ＝－2时，求x 的值；(3)当y>2时，求x 的范围． 解：列表：由图知：(1)y ＝3；(2)x ＝－6；(3)0<x<6. 知识模块二 反比例函数y ＝kx (k >0)的图象与性质阅读教材P7，完成下面的内容： 反比例函数y ＝6x ，y ＝3x 的共同点有哪些？(1)它们的解析式中比例系数k >0；(2)它们的图象的两个分支都分别位于第一、三象限； (3)在每一象限内，y 随x 的增大而减小； (4)它们的图象的两个分支都与x 轴、y 轴不相交． 师生合作探究并归纳出反比例函数y ＝kx(k >0)的性质．归纳：当k >0时，反比例函数y ＝kx 的图象中两支曲线都与x 轴、y 轴不相交，图象在第一、三象限，在每一象限内，函数值随自变量取值的增大而减小．【例2】 已知反比例函数y ＝2m ＋1x的图象如图所示，求m 的取值范围．解：∵由图象可知，反比例函数y＝2m＋1x的图象位于第一、三象限，∴2m＋1>0，解得m>－12.三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一反比例函数y＝kx(k>0)的图象知识模块二反比例函数y＝kx(k>0)的图象与性质四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
初中数学九年级下册《反比例函数的图象和性质》教案、教学设计
九年级下册数学反比例函数的图象和性质教案、教学设计一、教学目标1．会用描点的方法画反比例函数的图象；(重点)2．理解反比例函数图象的性质．(重点，难点)二、教学过程1、情境导入已知某面粉厂加工出了4000吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B 市．则所需要的时间t(天)和每天运出的面粉总重量m(吨)之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标系中画出这个图形吗？2、合作探究探究点一：反比例函数的图象【类型一】反比例函数图象的画法作函数y＝4x的图象．解析：根据函数图象的画法，进行列表、描点、连线即可．解：列表：x －4－2－112 4y －1－2－442 1描点、连线：方法总结：作图的一般步骤为：①列表；②描点；③连线；④注明函数解析式．【类型二】反比例函数与一次函数图象位置的确定在同一坐标系中(水平方向是x轴)，函数y＝kx和y＝kx＋3的图象大致是( )解析：A.由函数y＝kx的图象可知k＞0与y＝kx＋3的图象中k＞0且过点(0，3)一致，故A选项正确；B.由函数y＝kx的图象可知k＞0与y＝kx＋3的图象中k＞0且过点(0，3)矛盾，故B选项错误；C.由函数y＝kx的图象可知k＜0与y＝kx＋3的图象中k＜0且过点(0，3)矛盾，故C选项错误；D.由函数y＝kx的图象可知k＞0与y＝kx＋3的图象中k＜0且过点(0，3)矛盾，故D选项错误．故选A.方法总结：解答此类问题时，通常先根据双曲线图象所在的象限确定k的符号，再确定一次函数的系数及经过的点是否也符合图案，如果符合，可能正确；如果不符合，一定错误。
【类型三】实际问题中函数图象的确定若按x L/min的速度向容积为20L的水池中注水，注满水池需y min.则所需时间y min与注水速度x L/min之间的函数关系用图象大致可表示为( )解析：∵水池的容积为20L，∴xy＝20，∴y＝20x(x＞0)，故选B。
方法总结：解答此类问题要先根据题意列出反比例函数关系式，然后依据实际情况确定函数自变量的取值范围，从而确定函数图象。
九年级数学下册 第1章反比例函数 1.2 反比例函数的图象与性质第2课时课件 湘教版
则
解得k=3.
3.(2013·六盘水中考)下列图形中,阴影部分面积最大的 是( )
【解析】选C.A,B中阴影部分的面积均为 3 3 C3中； 延长MN
22
交x轴于点P,直线MN的解析式y=-x+4,直线MN与x轴的交点P的
坐标(4,0),则C中阴影部分的面积为S△MOP-S△NOP=12 ×4×3-
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.∵点B的横坐标为1，
∴纵坐标为y= 2 =2,
1
∴AB=2，BC=1，∴S矩形OABC=2×1=2.
2.(2013·内江中考)如图，反比例函数
y＝ k (x＞0)的图象经过矩形OABC对角
x
线的交点M，分别与AB，BC相交于点D，
E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为( )
1 ×4×1=4;D中的阴影部分的面积为 ×1 1×6=3;可见,C中阴
2
2
影部分的面积最大.故选C.
4.(2013·永州中考)如图，两个反比例函数 y 4和y 2 在
x
x
第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，
交C2于点B，则△POB的面积为_____．
【解析】根据反比例函数中k的几何意义,得△POA和△BOA的 面积分别为2和1,所以阴影部分的面积为1. 答案:1
【总结提升】反比例函数的性质总结
对于反比例函数 y (kk≠0)，k的符号、图象所经过的象限、
x
函数的增减性这三者，知其一则可知其二，即：
知识点 2 反比例函数中k的几何意义
【例2】(2013·孝感中考)如图，函数y=-x与函数 y 4 的图
x
反比例函数的图象与性质教案
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反比例函数的图象与性质教案篇1教学目标知识与技能：1、进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象。
2、体会函数的三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合。
3、培养学生从函数图象中获取信息的能力，初步探索反比例函数的性质。
过程与方法：通过学生自己动手列表,描点,连线,提高学生的作图能力;通过观察图象,概括反比例函数图象的有关性质,训练学生的概括总结能力、情感、态度与价值观：让学生积极参与到数学学习活动中去,增强他们对数学学习的好奇心和求知欲。
教学重难点1) 重点：画反比例函数图象并认识图象的特点。
2)难点：画反比例函数图象。
教学关键：教师画图中要规范，为学生树立一个可以学习的模板。
教学方法：激发诱导,探索交流,讲练结合三位一体的教学方式。
教学手段：教师画图，学生模仿。
教具：三角板，小黑板。
学法：学生动手、动眼,、动耳、采用自主,合作、探究的学习方法。
教学过程一：课前检测：1、什么叫做反比例函数;(一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y= (k为常数，k0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
)2、反比例函数的定义中需要注意什么?(1)k为常数，k0(2)从y= 中可知x作为分母，所以x不能为零。
二：激发兴趣导入新课问题1：对于一次函数 y = kx + b ( k 0 )的图象与性质，我们是如何研究的?y=kx+b y=kxK0 一、二、三一、三b0 一、三、四K0 一、二、四二、四b0 二、三、四问题2：对于反比例函数 y=k/x ( k是常数,k 0 )，我们能否象一次函数那样进行研究呢?可以问题3：画图象的步骤有哪些呢?(1)列表(2)描点(3)连线(教学片断：师：上一节课我们研究了反比例函数，今天我们继续研究反比例函数，下面哪位同学说一下自己对反比例函数的了解。
1.2 反比例函数的图象与性质 第2课时湘教版九年级下册
在一个反比例函数图象上任意取 两点P、Q，过点P、Q分别作x轴和y轴 的平行线，与坐标轴围成的矩形面积 分别记为S1和S2，则S1和S2之间有什 么关系？说明理由． ?
S1、S2有什么关系？ 为什么？ S1、S2 、S3有什么关 系？为什么？ S1=S2 S1=S2=S3 R
S1
k y P x
1.反比例函数的性质: 反比例函数 y
k (k为常数， x
k≠0)的图象，当k>0时,图象位于第一、三象限，在每 一象限内，y的值随x的增大而减小； 当k<0时，图象位 于第二、四象限，在每一象限内，y的值随x的增大而增
大．
2.双曲线的两条分支逼近坐标轴但不可能与坐标轴相交．
3.反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称 图形．
k 双曲线y (k为常数，k 0)的性质： x
2.双曲线的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不会
与x轴和y轴相交．
3.图象的两个分支关于原点中心对称． y y
0
x
0
x
1.下列函数中，其图象位于第一、三象限内的有 （1）（2）（3） __________________;
(4) 在其所在的象限内，y随x的增大而增大的有_____.
每个象限内，y随x 的增大而增大
1.（甘肃·中考）如图，矩形ABOC的面积为3，反比例 函数 y
k 的图象过点A，则k=（ ） x
y
A B
C
（A）3
（B）1.5
O
x
（C）3
（D）6
【解析】选C.矩形的面积等于系数k的绝对值，由图象 在第二、四象限，可知k<0，所以k= -3.
2.若正比例函数y k1 x(k1 0)与反比例函数 y
湘教版九年级数学 1.2 反比例函数的图象与性质(学习、上课课件)
知3－讲
已知函数 y＝kx (k ≠ 0).
感悟新知
知3－讲
特别提醒
◆在利用反比例函数y＝kx(k ≠ 0)中k的几何性质确定k的值 时，不仅要注意矩形面积的大小，还要注意函数图象 的位置.
感悟新知
k 值与矩形面积的关系 k 值与三角形面积的关系知3－讲
图形
条件
过图象上任意一点 P 分别作PM ⊥ x 轴于
2-2. [ 中考·天门] 在反比 例函数 y= 4－x k的图象上有两
点 A( x1，y1)， B( x2， y2)，当 x1 ＜0 ＜ x2 时，有 y1 ＜ y2，则 k 的取值范围是( C )
A. k ＜ 0
B. k ＞ 0
C. k ＜ 4
D. k ＞ 4
感悟新知
知识点 3 反比例函数 y＝kx (k ≠ 0)中k的几何性质
过图象上任意一点 E 作 M，EF ⊥ y 轴于 F，连接 OE
PN ⊥ y 轴于 N
结论
S 矩形 OMPN=|k|
S
△
OEF=
|k| 2
感悟新知
知3－讲
矩形 OMPN 的面积S=PM·PN=|yP|·|xP|= |xPyP|.所以 S=|k|.同理，S △ OEF= |k2|.
感悟新知
知3－练
示意图(如图1.2-1).
知1－讲
感悟新知
活学巧记 点越多，越精确， 平滑曲线把点过， 两个分支不能少， 对称关系很奇妙.
知1－讲
感悟新知
知1－练
例1 [母题 教材 P7 探究]在同一平面直角坐标系中画出反
比例函数y＝8x和y＝－8x的图象.
解题秘方：紧扣画图象的“一列、二描、三连” 的步骤作图.
湘教版数学九年级下册教学设计：1.2 二次函数的图象与性质
湘教版数学九年级下册教学设计：1.2 二次函数的图象与性质一. 教材分析湘教版数学九年级下册第1.2节“二次函数的图象与性质”是学生在学习了二次函数的定义、标准式、顶点式等基础知识后，进一步研究二次函数图象与性质的重要内容。
教材通过实例分析，引导学生探究二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数的增减性、对称性、最值等性质。
这部分内容既是中考的重点，也是难点，对于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的基本知识，具备了一定的观察、分析、解决问题的能力。
但部分学生对二次函数图象与性质的理解仍存在困难，尤其是对二次函数的增减性、对称性、最值等性质的运用。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习需求，针对不同学生的实际情况进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.理解二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数的增减性、对称性、最值等性质。
2.能够运用二次函数的性质解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的数学思维能力和团队合作精神。
四. 教学重难点1.教学重点：二次函数的图象与系数的关系，二次函数的增减性、对称性、最值等性质。
2.教学难点：二次函数性质在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳、总结等方式自主学习。
2.运用多媒体教学手段，展示二次函数的图象与性质，增强学生的直观感受。
3.小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的团队合作精神。
4.注重练习，及时反馈，帮助学生巩固所学知识。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件、教案、练习题等教学资源。
2.确保多媒体设备正常运行，便于展示二次函数的图象与性质。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习二次函数的基本知识，引导学生回顾二次函数的定义、标准式、顶点式等，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）利用多媒体展示二次函数的图象与性质，引导学生观察、分析，总结二次函数的增减性、对称性、最值等性质。
湘教版九年级上数学第一章 反比例函数 1.2反比例函数的图像和性质(2)教案
个案修改
分析：⑴设此反比例函数的解析式为 y
3 k 2
k （k 0 ） ，则 x
6 ∴ k 6 ∴此反比例函数的解析式为 y 。 x ⑵∵A 点也在正比例函数 y k ' x 的图象上
∴ 3 k ' 2
则k'
3 2
3 ∴此正比例函数的解析式为 y x ∴此正比例函数的图象经过二、四象 2
k (k＜0)的图象特点及性质的探究。 x
课型 教具
电脑、课件
分析法、讨论法、 讲授法、练习法
教学设计： 一、复习：1．反比例函数 的图象经过点（－1，2） ，那么这 个反比例函数的解析式为 ，图象在第 象限，它的图象 关于 成中心对称． 2．反比例函数 的图象与正比例函数 的图象，交 于点 A（1，m） ，则 m＝ ，反比例函数的解析式为 ， 这两个图象的另一个交点坐标是 ． 二、讲授新课 x1，y1 ） 例题 1．已知（ ， （x2，y2 ） ， （ x3，y3 ）是反比例函数的图象上的三 y y y 0 个点，并且 1 ，则 x1，x2，x3 的大小关系是（ ） 2 3 x x x ； x3 x1 x2； 2 3 （A）1 （B） x x x ； （C） 1 （D）x1 x3 x2 . 2 3 归纳小结： （1）自变量 t 不仅要符合反比例函数自身的式子有意义，而且要符合实际 问题中的具体意义及附加条件。 （2）对于在自变量的取值范围内画函数的图像映注意图像的纯粹性。 （3）一般有；两种方法求自变量的取值范围：一是利用函数的增减性，二 是利用图解法。 例题 2：已知反比例函数的图象经过点 A（-2，3） 。⑴求出这个反比例 函数的解析式；⑵经过点 A 的正比例函数 y k ' x 的图象与此反比例函数还 有其他交点吗？若有，求出交点坐标；若没有，请说明理由。
湘教版九年级数学导学案-反比例函数的图像和性质
1.2反比例函數的圖像和性質（3）學習目標：1.鞏固反比例函數圖像和性質，通過對圖像的分析，進一步探究反比例函數的增減性。
2.掌握反比例函數的增減性，能運用反比例函數的性質解決一些簡單的實際問題。
3.培養學生的好奇心與求知欲，增進同學之間的友誼，體會與他人合作的重要性。
學習重點：通過對反比例函數圖像的分析，探究反比例函數的增減性。
學習難點：由於受小學反比例關係增減性知識的負遷移，又由於反比例函數圖像分成兩條分支，給研究函數的增減性帶來複雜性。
學習方法：類比 啟發教學輔助：多媒體教學過程：一、復習：1．反比例函數xy 6=的圖象經過點（－1，2），那麼這個反比例函數的解析式為______，圖象在第________象限，它的圖象關於_________-成中心對稱．2．反比例函數xk y =的圖象與正比例函數Y=3X 的圖象，交於點A （1，m ），則m ＝________，反比例函數的解析式為__________，這兩個圖象的另一個交點座標是_________.3．用“＞”或“＜”填空：（1）已知11,y x 和22,y x 是反比例函數x y 3=的兩對引數與函數的對應值．若120x x <<，則120y y（2）已知11,y x 和22,y x 是反比例函數x y 3-=的兩對引數與函數的對應值．若120x x >>，則120___________y y ．4．已知（11x y ，），（22x y ，），（33x y ，）是反比例函數2y x-=的圖象上的三個點，並且1230y y y >>>，則123x x x ，，的大小關係是（ ）（A ）123x x x <<； （B ）312x x x ><； （C ）123x x x >>； （D ）132.x x x ><二、合作交流，解讀探究1．平面直角坐標系中象限的分佈概括及做一做：（課件演示）2．通過觀察，探究反比例函數的圖象與性質做一做：完成教材P9的“做一做” 引 導：（課件演示）觀察反比例函數y=x 2,y=x 4,y=x 6的形式，它們有什麼共同點?（交流討論總結）總結：反比例函數的圖象的性質（課件演示）做一做：完成教材P11練習第2題三、應用遷移，鞏固提高（課件演示例題）1．類型之一 ----平面直角坐標系象限知識的運用例：在平面直角坐標系內，已知點A （7-2m,5-m ）在第2象限，且m 為整數，求過點A 的反比例函數的解析式。
九年级数学教案九年级数学下册《二次函数的图像与性质(2)》教学教案(湘教版)_0456文档
【知识与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＜0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＜0)的图象与性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2(a＜0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2(a≠0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性.【教学重点】①会画y=ax2(a<0)的图象；②理解、掌握图象的性质.【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.
2020
九年级数学教案九年级数学下册《二次函数的图像与性质（2）》教学教案（湘教版）_0456文档
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九年级数学教案九年级数学下册《二次函数的图像与性质（2）》教学教案（湘教版）_045功能的最重要的一个独立出来的过程。其目的，就是把之前无数个人有价值的观察、体验、思考中的精华，以浓缩、系统化、易于理解记忆掌握的方式，传递给当下的无数个人，让个人从中获益，丰富自己的人生体验，也支撑整个社会的运作和发展。
九年级下册数学教案《反比例函数的图象和性质》
九年级下册数学教案《反比例函数的图象和性质》教学分析函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，更是初中数学的核心内容之一，是实现代数与几何沟通的桥梁。
反比例函数是最基本的初等函数之一，是后续高中学习各类函数的基础，反比例函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想。
首先，反比例函数的图象和性质，本身就是“数”与“形”的统一体，通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质，体现了数形结合的思想方法。
在学习数轴、平面直角坐标系时，学生已经接触过函数，结合本节课的内容，可以进一步加强学生对数形结合思想方法的理解，发挥从“数”和“形”两个方面，共同分析解决问题的优势。
其次，对反比例函数图象和性质的学习，是继一次函数后，知识与方法上的一次拓展，理解与认识上的一次升华，也是思维上的一次飞跃。
图象由“一条”到“两支”，形态由“直”到“曲”，由“连续”到“间断”，由与坐标轴“相交”到“渐近”，无不折射出对函数概念本质属性认识的进一步深化。
因此，学好本节课内容将为今后的函数学习夯实基础。
学情分析九年级学生已初步具有探究数学活动的能力，但分析思考的能力参差不齐，个别差异相对明显，通过对函数概念的再认识，学生对一次函数、二次函数的学习，对解决数学问题具备了一定的能力，但仍需教师启发引导。
例如在画反比例函数图象时，表中自变量的取值应该怎样选取，是部分学生感到困惑的地方，而对于反比例函数的增减性，前提是“在每个象限内”的理解不够透彻。
教学时注重提示函数解析式与函数图象之间的本质联系，要让学生明确“y随x的增大而增大（减小）”的代数分析法和图象分析法，并通过数形结合加深对知识的理解，搭建好数向形转化的桥梁。
教学目标1、进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象，提高从函数图象中获取信息的能力，总结反比例函数的主要性质。
2、在反比例函数图象与性质的探究过程中，渗透从特殊到一般、分类讨论、数形结合的思想。
3、通过反比例函数的学习，培养探索精神，发展观察、分析、判断能力和理性思维能力。
湘教版九年级下册 第一章 反比例函数 1.2 反比例函数的图像与性质 (2)
于是今后画反比例函数
y k k 的0图 象时，不用先画
的图象，y 然 后k沿x轴翻折，而只是“x 列表、描点、连线”三
x
个步骤就可以了．
画反比例函数
y4 x
的图象．
我们按，列表，描点， 连线方法画出这个函数图象
x
－6 －5
－4
－3
－2
－1
1 2
1 2
1
2
34
5
6
y4
2
0.8
1
x3
2
2
的图象，y 2 如图． x
－6 －4 －2
－4
－2
2
4
24 6
－2 －2
－4
－4
y 2 －6
x
⑦你能说出 y 2 图象的性质吗？
x
在二、四象限的两条曲线 组合，它们与x轴、y轴都不 相交，
函数值随自变量取值的增大 而增大
4
－4
－2
2
2
4
－2
当k ＜0时，反比例函数
yk x
具有与
－4
用两种方法画反比例函数y 3 的图象
x
我们按列表，描点， 连线方法画出这个函数图象
列表
x
－4 －3 －2 －1 1
1
1
2
3
4
22
y3 x
0.75
1
1.5
3
6 －6 －3 －1.5 －1 －0.75
描点 连线
6 4 2
－6 －4 －2
24 6 －2
－4
－6
32 4
4
8
－8
－4－24 －1 3－0.82 3
【最新湘教版精选】湘教初中数学九下《1.2 二次函数的图像与性质》word教案 (12).doc
九年级数学下册2.2二次函数的图象与性质教案一湘教版教学目标:1．使学生掌握用描点法画出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象。
2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质。
重点难点：重点：用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。
难点：理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x ＝－b 2a 、(－b 2a ，4ac －b 24a )是教学的难点。
教学过程：一、提出问题1．你能说出函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？2．函数y ＝－4(x －2)2＋1图象与函数y ＝－4x 2的图象有什么关系?3．函数y ＝－4(x －2)2＋1具有哪些性质?4．不画出图象，你能直接说出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 5．你能画出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗? 二、解决问题由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y ＝－12x 2＋x －52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象，进而观察得到这个函数的性质。
说明：列表时，应根据对称轴是x ＝1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。
相应的函数值是相等的。
当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝1时，函数取得最大值，最大值y ＝－2三、做一做1．请你按照上面的方法，画出函数y ＝12x 2－4x ＋10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质吗?2．通过配方变形，说出函数y ＝－2x 2＋8x －8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；y ＝ax 2＋bx ＋c＝a(x 2＋b ax)＋c ＝a[x 2＋b a x ＋(b 2a )2－(b 2a)2]＋c ＝a[x 2＋b a x ＋(b 2a )2]＋c －b 24a ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a当a ＞0时，开口向上，当a ＜0时，开口向下。
【最新湘教版精选】湘教初中数学九下《1.2 二次函数的图像与性质》word教案 (2).doc
精品【初中语文试题】补充课题：二次函数的性质（1）教学目标：1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质.2.了解二次函数与二次方程的相互关系.3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性教学重点：二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法.教学难点：二次函数的性质的应用.教学过程：复习引入二次函数: y =ax2 +bx + c (a ≠ 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢?补充: 当a 的绝对值相等时,其形状完全相同,当a 的绝对值越大,则开口越小,反之成立.二,新课教学:1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x 2的顶点坐标是 ,对称轴是 ， 在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减小. 当x= 时，函数y 最大值是____. 当x____0时,y<0.2. 探索填空:：据上边已画好的函数图象填空： 抛物线y= 2x 2的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减少；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大. 当x= 时，函数y 最小值是____. 当x____0时,y>03.归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象和性质(1).顶点坐标与对称轴(2).位置与开口方向(3).增减性与最值当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大；当 时，函数y 有最小值 。
当a ﹤0时，在对称轴的 左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小。
当 时，函数y 有最大值 a 2b x -=a 2b x -=a 4ac 4b2-精品【初中语文试题】4.探索二次函数与一元二次方程二次函数y=x 2+2x,y=x 2-2x+1,y=x 2-2x+2的图象如图所示.(1).每个图象与x 轴有几个交点？(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?归纳: (3).二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点有三种情况:①有两个交点,②有一个交点,③没有交点.当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和x 轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.当b 2-4ac ﹥0时，抛物线与x 轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0=ax 2+bx+c 的两个根x 1与 x 2；当b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点；当b 2-4ac ﹤0时，抛物线与x 轴没有交点。
反比例函数的图象和性质(第2课时)教案 湘教版九年级下
第2课时（一）创设情境，导入新课老师在黑板上写了这样一道题：“已知点（2，5）在反比例函数y=?x的图象上，•试判断点（-5，-2）是否也在此图象上．”题中的“？•”是被一个同学不小心擦掉的一个数字，请你分析一下“？”代表什么数，并解答此题目． （二）合作交流，解读探究探究 点（2，5）在反比例函数图象上，其坐标当然满足函数解析式，因此，代入后易求得？=10，即反比例函数关系式为y=10x，再当x=-5时，代入易求得y=-2，说明点（-5，•-2）适合此函数解析式，进而说明点（-5，-2）一定在其函数图象上． 交流 与同学们分享成功的喜悦． （三）应用迁移，巩固提高例1已知反比例函数的图象经过点A （2，6）（1）这个函数的图象分布在哪些象限？y 随x 的增大而如何变化？（2）点B （3，4）、C （-212，-445）和D （2，5）是否在这个函数的图象上？ 解：（1）设这个反比例函数为y=k x ，因为它过点A （2，6），所以把坐标代入得6=2k，•解得k=12，此反比例函数式为y=12x，又因k=12>0，所以图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小．（2）把点B 、C 、D 的坐标分别代入y=12x，知点B 、C 的坐标满足函数关系式，点D •的坐标不满足函数关系式，所以点B 、C 在函数y=12x的图象上，点D 不在这个函数的图象上．例2（2005年中考·河南）三个反比例函数（1） y=1k x （2）y=2kx （3）y=3k x在x 轴上方的图象如图所示，由此推出k 1，k 2，k 3的大小关系【分析】 由图象所在的象限可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0；在（2）（3）中，为了比较k 2与k 3的大小，可取x=a>0，作直线x=a ，与两图象相交，找到y=2k x 与y=3k x的对应函数值b •和c ，由于k 2=ab ，k 3=ac ，而c>b>0，因而k 3>k 2>k 1． 【答案】 k 3>k 2>k 1．例3直线y=kx 与反比例函数y=-6x的图象相交于点A 、B ，过点A 作AC 垂直于y 轴于点C ，求S △ABC ．解：反比例函数的图象关系原点对称，又y=kx 过原点，故点A 、B 必关于原点对称，从而有OA=OB ，所以S △AOC =S △BOC ． 设点A 坐标为（x 1，y 1），则xy=-6，且由题意AC=│x 1│，OC=│y 1│． 故S △AOC =12AC ·OC=12│x 1y 1│=12×6=3， 从而S △ABC =2S △AOC =6．备选例题1．（2005年中考·兰州）已知函数y=-kx （k ≠0）和y=-4x的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为C ，则S △BOC =_________． 2．（2005年中考·常德）已知正比例函数y=kx 和反比例函数y=3x的图象都过点A （m ，1），求此正比例函数解析式及另一交点的坐标． 【答案】 1．2； 2．y=13x ，（-3，-1） （四）总结反思，拓展升华 反比例函数的性质及运用（1）k 的符号决定图象所在象限．（2）在每一象限内，y 随x 的变化情况，在不同象限，不能运用此性质． （3）从反比例函数y=kx的图象上任一点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形面积S △=12│k │． （4）性质与图象在涉及点的坐标，确定解析式方面的运用． （五）课堂跟踪反馈 夯实基础1．判断下列说法是否正确（1）反比例函数图象的每个分支只能无限接近x 轴和y 轴，•但永远也不可能到达x 轴或y 轴．（∨） （2）在y=3x中，由于3>0，所以y 一定随x 的增大而减小．（×）（3）已知点A （-3，a ）、B （-2，b ）、C （4，c ）均在y=-2x的图象上，则a<b<c ．（×） （4）反比例函数图象若过点（a ，b ），则它一定过点（-a ，-b ）．（∨） 2．设反比例函数y=3mx的图象上有两点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），且当x 1<0<x 2时，有y 1<y 2，则m 的取值范围是 m<3 ． 3．点（1，3）在反比例函数y=kx的图象上，则k= 3 ，在图象的每一支上，y 随x •的增大而 减小 ．4．正比例函数y=x 的图象与反比例函数y=kx的图象有一个交点的纵坐标是2，求（1）x=-3时反比例函数y 的值；（2）当-3<x<-1时，反比例函数y 的取值范围． 【答案】 （1）-43， （2）-4<9-43提升能力5．（2005年中考·资阳）已知正比例函数y=k 1x （k 1≠0）与反比例函数y=2k x（k 2≠0）•的图象有一个交点的坐标为（-2，-1），则它的另一个交点的坐标是（A ） A ．（2，1） B ．（-2，-1） C ．（-2，1） D ．（2，-1） 6．（2005年中考·沈阳）如图所示，已知直线y 1=x+m 与x 轴、y •轴分别交于点A 、B ，与双曲线y 2=kx（k<0）分别交于点C 、D ，且C 点坐标为（-1，2）． （1）分别求直线AB 与双曲线的解析式； （2）求出点D 的坐标；（3）利用图象直接写出当x 在什么范围内取何值时，y 1>y 2．【答案】 （1）直线：y=x+3，双曲线：y=-2x； （2）（-2，1）； （3）-2<x<-1 7．画出y=-2x 与y=-2||x 的图象，并加以区别．【答案】 略开放探究8．（2005年中考·湖州）两个反比例函数y=3x ，6x，在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2005在反比例函数y=6x图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，…，x2005，纵坐标分别1，3，5，…，共2005年连续奇数，过点P1，P2，P3，…，P2005分别作y轴的平行线，与y=3x的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2005（x2005，y2005），则y2005= 2004.5 ．。
九年级数学下册《二次函数的图像与性质(2)》教学教案(湘教版)
九年级数学下册《二次函数的图像与性质（2）》教学教案（湘教版）【知识与技能】.会用描点法画函数y=ax2的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2的图象与性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性.【教学重点】①会画y=ax2的图象；②理解、掌握图象的性质.【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.【知识与技能】.会用描点法画函数y=ax2的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2的图象与性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性.【教学重点】①会画y=ax2的图象；②理解、掌握图象的性质.【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.【知识与技能】.会用描点法画函数y=ax2的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2的图象与性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性.【教学重点】①会画y=ax2的图象；②理解、掌握图象的性质.【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.。
数学九年级下册《反比例函数的图像和性质(2)》教案
4．反比例函数y= 的图象上任取一点，过这一点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形的面积是________．
二、讲授新课：
问题：【例3】已知反比例函数的图象经过点A（2，6）．
进一步熟悉由数得到形的特点，由形得到数的特点，渗透数形结合的思想．当堂检测 课本p8练习
【总结提炼，知识升华】
1、本节课学习的知识点2、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ节课学习的方法和数学思想
【课后作业】教材习题26.1P94、5、6
板书设计
17．1．2反比例函数的图象和性质（二）
1．反比例函数
①定义②图象③主要性质
2．反比例函数的图象和性质的应用
数学九年级下册《反比例函数的图像和性质（2）》教案
章节课题
反比例函数的图象和性质（2）
课时
3
主备教师
参备教师
教
学
目
标
知识技能
1、能用反比例函数的定义和性质解决相关的数学问题。
2、进一步认识数形结合的思想和待定系数法。
过程方法
通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．
1）这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化？
教
学
过
程
（2）点B（3，4），C（-2 ，-4 ）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？
问题：【例4】如下图是反比例函数y= 的图象的一支，根据图象回答下列问题：
（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？
（2）如上图的图象上任取点A（a，b）和点B（a′，b′）如果a>a′，那么b和b′有怎样的大小关系？
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课题：1.2反比例函数的图像和性质（2）
教学目标：
1、巩固反比例函数图像和性质，通过对图像的分析，进一步探究反比例函数的增减性。
2、掌握反比例函数的增减性，能运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题。
教学重点：
通过对反比例函数图像的分析，探究反比例函数的增减性。
教学难点：
由于受小学反比例关系增减性知识的负迁移，又由于反比例函数图像分成两条分支，给研究函数的增减性带来复杂性。
教学设计： 一、复习：
1．反比例函数 的图象经过点（－1，2），那么这个反比例函数的解析式为 ，图象在第 象限，它的图象关于 成中心对称．
2．反比例函数 的图象与正比例函数 的图象，交于点A （1，m ），则m ＝ ，反比例函数的解析式为 ，这两个图象的另一个交点坐标是 ． 3、画出函数x
6
y 6-==和x y 的图像 二、讲授新课
1、引导学生观察函数x
6
y 6-==和x y 的表格和图像说出y 与x 之间的变化关系； (1)x
y 6
= X … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … y
… -1 -1.2 -1.5 -2 -3 -6 6
3
2
1.5 1.2 1
…
(2)x
y 6-
= X … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … y … 1 1.2 1.5 2 3 6 -6 -3 -2 -1.5 1.2 -1 …
2、做一做：
1．用“＞”或“＜”填空：
（1）已知 11,y x 和 22,y x 是反比例函数 x
y 3
=
的两对自变 量与函数的对应值．若 ，则 ．
（2）已知11,y x 和22,y x 是反比例函数 x y 3-= 的两对自变 量与函数的对应值．若 ，则 ． 2．已知（ ），（ ），（ ）是反比例函数 的图象上的三个点，并且 ，则 120x x <<120y y 120x x >>120y y 11x y ，22x y ，33
x y ，2y x
-=
1230
y y y >>>123
x x x ，，
的大小关系是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 3．已知（ ），（ ），（ ）是反比例函数 的图象上的三个点，则 的大小关系是 ．
4．已知反比例函数 ．（1）当x ＞5时，0 y 1； （2）当x ≤5时，则y 1,或y ＜ （3）当y ＞5时，x 的范围是 。
3、讲解例题
例 下图是浙江省境内杭甬铁路的里程示意图。
设从杭州到余姚一段铁路线上的列车行驶的时间为 时，平均速度为 千米/时，且平均速度限定为不超过160千米/时。
（1）求v 关于t 的函数解析式和自变量t 的取值范围；
（2）画出所求函数的图象
（3）从杭州开出一列火车，在40分内（包括40分）到达余姚 可能吗？在50分内（包括50分）呢？如有可能，那么此时对列车的行驶速度有什么要求？ 小结：（1）自变量t 不仅要符合反比例函数自身的式子有意义，而且要符合实际问题中的具体意义及附加条件。
（2）对于在自变量的取值范围内画函数的图像映注意图像的纯粹性。
（3）一般有；两种方法求自变量的取值范围：一是利用函数的增减性，二是利用图解法。
练习：课本第16页课内练习第3题 三、 小结：
本节课我学到了…… 我的困惑…… 四、比较正比例函数和反比例函数的性质 正比例函数 反比例函数
解析式
图像 直线
双曲线
位置
k ＞0，一、三象限； k ＜0，二、四象限
k ＞0，一、三象限 k ＜0，二、四象限
增减性
k ＞0，y 随x 的增大而增大 k ＜0，y 随x 的增大而减小 k ＞0，在每个象限y 随x 的增大而减小
123x x x <<；312x x x ><；123x x x >>；
132.x x x ><11y ，23y ，3
2y -，2y x
-=123y y y ，，5y x
=
(0)y kx k =≠(0)
k y k x
=≠
k＜0，在每个象限y随x的增
大而增大
五、布置作业：书P12 A组 3，4 B组 1，2，3
教学后记：。