2025届福建省五校高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2025届福建省五校高三第二次诊断性检测数学试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设双曲线22
221x y a b
-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C
分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a （ ） A ．(1,0)(0,1)-
B ．(,1)(1,)-∞-+∞
C ．((0,2)
D ．(,(2,)-∞+∞
2．已知抛物线2
:6C y x =的焦点为F ，准线为l ，A 是l 上一点，B 是直线AF 与抛物线C 的一个交点，若3FA FB =，则||BF =（ ）
A ．
7
2
B ．3
C ．
52
D ．2
3．设复数z 满足12
z z
z +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =-
D ．221y x =-
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．83π
1633
+
B ．4π1633
+
C ．
16343π
3
+
D ．43π
1633
+
5．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个
B ．3个
C ．4个
D ．7个
6．如图，已知平面αβ⊥，l αβ⋂=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，
3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D
--的余弦值的最小值是（ ）
A ．
55
B ．
32
C ．
12
D ．1
7．已知数列
满足：.若正整数使得成立，则
( ) A ．16
B ．17
C ．18
D ．19
8．已知平面向量,,a b c ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+且21λμ+=，若对每一个确定的向量a ，记||c 的最小值为m ，则当a 变化时，m 的最大值为（ ） A ．
14
B ．
13
C ．
12
D ．1
9．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．抛物线2
3x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ）
A ．34
-
B ．
34
C ．43
-
D ．
43
11．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）
A ．(722+π
B ．(1022+π
C ．(1042+π
D ．(1142+π
12．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°
(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A ． 3
B ．
2 C ． 33D ． 22
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若实数,x y 满足约束条件43
y x
x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
，设32z =x y -的最大值与最小值分别为,m n ，则m
n =_____．
14．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动，服务活动共有“走进社区”、“环境监测”、“爱心义演”、“交通宣传”等四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“4名同学所报项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学一人报走进社区项目”，则()|P A B 的值为______.
15．在平面五边形ABCDE 中，60A ∠=︒，63AB AE ==BC CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120︒，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积是______.
16．已知向量a =（－4，3），b =（6，m ），且a b ⊥，则m =__________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）等差数列{}(
)*
N n a n ∈中，1
a ，2a ，3
a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数
不在下表的同一列.
（1）请选择一个可能的{}123,,a a a 组合，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）记（1）中您选择的{}n a 的前n 项和为n S ，判断是否存在正整数k ，使得1a ，k a ，+2k S 成等比数列，若有，请求出k 的值；若没有，请说明理由.
18．（12分）已知{}n a 是递增的等比数列，11a =，且22a 、33
2
a 、4a 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2123
1
log log n n n b a a ++=
⋅，n *∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S .
19．（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：
(1)若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成答题卡中的22⨯列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？ (2)若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．视频率为概率．
①在我市所有“环保达人”中，随机抽取3人，求抽取的3人中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率； ②为了鼓励市民关注环保，针对此次的调查制定了如下奖励方案：“环保达人”获得两次抽奖活动；其他参与的市民获得一次抽奖活动．每次抽奖获得红包的金额和对应的概率.如下表：
概率
34 14
现某市民要参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加间卷调查获得的红包金额，求X 的分布列及数学期望．
附表及公式：2
2
(),()()()()
n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=
=+++++++ ()2P K k
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．（12分）如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，CB 2GF,BF CF ==.
（1）求证：AB CG ⊥；
（2）若BC CF =，求直线AE 与平面BEG 所成角的正弦值.
21．（12分）甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是
23，乙班三名同学答对的概率分别是23，23，1
2
，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响．
（1）记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件A ，求事件A 发生的概率； （2）用X 表示甲班总得分，求随机变量X 的概率分布和数学期望．
22．（10分）设a 为实数,在极坐标系中,已知圆2sin a ρθ=（0a >）与直线cos 14πρθ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
相切,求a 的值． 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解析】 由题意
,
根据双曲线的对称性知D 在x 轴上，设,0)D
x （，则由 BD AB ⊥得：
，
因为D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，所以
，
即01b a
<<，所以双曲线渐近线斜率1,0)(0,1)b
k a =±∈-⋃（，故选A ． 2、D
【解析】
根据抛物线的定义求得6AF =，由此求得BF 的长. 【详解】
过B 作BC l ⊥，垂足为C ，设l 与x 轴的交点为D .根据抛物线的定义可知BF BC =.由于3FA FB =，所以
2AB BC =，所以6
CAB π
∠=
，所以26AF FD ==，所以1
23
BF AF =
=. 故选：D
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 3、B 【解析】
根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 【详解】
z 在复平面内对应的点的坐标为
(),x y ，则z x yi =+，
z x yi =-，
∵12
z z
z +=
+， 221x y x +=+， 解得2
21y x =+. 故选：B. 【点睛】
本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.
4、D 【解析】
结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可. 【详解】
由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆
锥的体积1
114π233
V =⨯⨯⨯=
,下半部分的正三棱柱的体积21442V =⨯⨯=故该几何体的体积
12V V V =+=
+故选:D. 【点睛】
本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题. 5、B 【解析】
由题意，结合集合,A B ，求得集合M ，得到集合M 中元素的个数，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，集合{2,1,1},{4,6,8}A B =--=，,x A ∈ 则{}{|,,,}4,6M x x a b x A b B x B ==+∈∈∈=， 所以集合M 的真子集的个数为2213-=个，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合M ，再由真子集个数的公式21n -作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 6、B 【解析】
PBA ∠为所求的二面角的平面角，由DAP CPB ~得出
PA
PB
，求出P 在α内的轨迹，根据轨迹的特点求出PBA ∠的最大值对应的余弦值 【详解】
DA l ⊥，αβ⊥，l αβ⋂=，AD β⊂
AD α∴⊥，同理BC α⊥
DPA ∴∠为直线PD 与平面α所成的角，CPB ∠为直线PC 与平面α所成的角
DPA CPB ∴∠=∠，又90DAP CBP ∠=∠=︒
DAP CPB ∴~，
1
2
PA DA PB BC == 在平面α内，以AB 为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系
则()()3030A B -，
，，，设()()0P x y y >， ()
()
2
2
222
33x y x y ∴++=
-+，整理可得：()2
2
516x y ++=
P ∴在α内的轨迹为()50M -，
为圆心，以4为半径的上半圆 平面PBC ⋂平面BC β=，PB BC ⊥，AB BC ⊥
PBA ∴∠为二面角P BC D --的平面角，
∴当PB 与圆相切时，PBA ∠最大，cos PBA ∠取得最小值
此时4843PM MB MP PB PB ==⊥=，，，
433cos 82
PB PBA MB ∠=
==
故选B 【点睛】
本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果． 7、B 【解析】 由题意可得，
，
时，
，将换为
，两
式相除，，
，
累加法求得即有
，结合条件，
即可得到所求值． 【详解】
解：，
即
，，
时，
，
，
两式相除可得， 则，， 由
， ，
，
，
， 可得
，
且，
正整数时，要使得
成立，
则，
则
，
故选：． 【点睛】
本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题. 8、B 【解析】
根据题意,建立平面直角坐标系.令,OP a OB b ==OC c =.E 为OB 中点.由
1a b +=即可求得P 点的轨迹方程.将
c a b λμ=+变形,结合21λμ+=及平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线.由圆切线的性质可知||c 的最小值m 即
为O 到直线PE 的距离最小值,且当PE 与圆M 相切时,m 有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为m 的最大值. 【详解】
根据题意,||2,b =设()(),,2,0OP a x y OB b ====,(),1,0OC c E =
则2
b OE =
由
1a b +=代入可得
()2
221x y ++=
即P 点的轨迹方程为2
22
1x y
又因为c a b λμ=+,变形可得22b c a λμ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
,即2OC OP OE λμ=+,且21λμ+=
所以由平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线,如下图所示:
所以||c 的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值 根据圆的切线性质可知,当PE 与圆M 相切时,m 有最大值 设切线PE 的方程为()1y k x =-,化简可得kx y k 0--=
由切线性质及点M 2
211
k k k --=+,化简可得281k =
即2k = 所以切线方程为
22044x y --=或22044
x y +-= 所以当a 变化时, O 到直线PE 的最大值为()2
2
2
4
1
3214m -
=
=
⎛⎫+± ⎪⎝⎭
即m 的最大值为13
故选:B
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题. 9、A 【解析】
试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，由于“α∥β，
则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立， ∴“α∥β是“l ∥β”的充分不必要条件． 故选A ．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定． 10、C 【解析】
根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】
因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43
a =-. 故选：C 【点睛】
本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题. 11、C 【解析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可， 【详解】
由题意可知几何体的直观图如图：
上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥,
几何体的表面积为：1
442223(1042)2
ππππ+⨯⨯+⨯=+， 故选：C 【点睛】
本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键. 12、C 【解析】
直线过定点，直线y=kx+1与圆x 2+y 2=1相交于P 、Q 两点，且∠POQ=120°（其中O 为原点），可以发现∠QOx 的大小，求得结果． 【详解】
如图，直线过定点（0，1），
∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°， ∴由对称性可知k=±3 故选C ． 【点睛】
本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
72
【解析】
画出可行域，平移基准直线320x y -=到可行域边界位置，由此求得最大值以及最小值，进而求得m
n
的比值. 【详解】
画出可行域如下图所示，由图可知，当直线32z x y =-过点()3,1时，z 取得最大值7；过点()2,2时，z 取得最小值
2，所以
72
m n =.
【点睛】
本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题. 14、
29
【解析】
根据条件概率的求法，分别求得()(),P B P AB ，再代入条件概率公式求解. 【详解】
根据题意得()()333443276
,42564256
A P
B P AB ====
所以()()()2
|9
P AB P A B P B =
= 故答案为：29
【点睛】
本题主要考查条件概率的求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
【解析】
设ABE ∆的中心为1O ，矩形BCDE 的中心为2O ，过1O 作垂直于平面ABE 的直线1l ，过2O 作垂直于平面BCDE 的直线2l ，得到直线1l 与2l 的交点O 为几何体ABCDE 外接球的球心，结合三角形的性质，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解. 【详解】
设ABE ∆的中心为1O ，矩形BCDE 的中心为2O ，
过1O 作垂直于平面ABE 的直线1l ，过2O 作垂直于平面BCDE 的直线2l ， 则由球的性质可知，直线1l 与2l 的交点O 为几何体ABCDE 外接球的球心， 取BE 的中点F ，连接1O F ，2O F ，
由条件得123O F O F ==，12120O FO ∠=︒，连接OF ， 因为12OFO OFO ∆≅∆，从而133OO =， 连接OA ，则OA 为所得几何体外接球的半径，
在直角1AOO ∆中，由16O A =，133OO =，可得222
11273663OA OO O A =+=+=，
即外接球的半径为63R OA ==，
故所得几何体外接球的表面积为24252S R ππ==. 故答案为：252π.
【点睛】
本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及多面体的外接球的表面积的计算，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力与运算求解能力，属于中档试题. 16、8.
利用a b ⊥转化得到0a b •=加以计算，得到m . 【详解】
向量4,36,a b m a b =-=⊥（），（），， 则•046308a b m m =-⨯+==，，. 【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析，44n a n =+或2n a n =；（2）存在，6k =. 【解析】
（1）满足题意有两种组合：①18a =，212a =，316a =，②12a =，24a =，36a =，分别计算即可；
（2）由（1）分别讨论两种情况，假设存在正整数k ，使得1a ，k a ，+2k S 成等比数列，即2
12k k a a S +=⋅，解方程是否
存在正整数解即可. 【详解】
（1）由题意可知：有两种组合满足条件：
①18a =，212a =，316a =，此时等差数列{}n a ，18a =，4d =， 所以其通项公式为44n a n =+.
②12a =，24a =，36a =，此时等差数列{}n a ，12a =，2d =， 所以其通项公式为2n a n =.
（2）若选择①，2
26n S n n =+.
则()()2
22226221420k S k k k k +=+++=++.
若1a ，k a ，2k S +成等比数列，则2
12k k a a S +=⋅，
即()()
2
2
44821420k k k +=++，整理，得2221710k k k k ++=++，即59k =-，
此方程无正整数解，故不存在正整数k ，使1a ，k a ，2k S +成等比数列. 若选则②，2n S n n =+，
则()()2
222256k S k k k k +=+++=++，
若1a ，k a ，2k S +成等比数列，则2
12k k a a S +=⋅，
即()()
2
2
2256k k k =++，整理得2560k k --=，因为k 为正整数，所以6k =.
故存在正整数6k =，使1a ，k a ，2k S +成等比数列. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式及前n 项和，涉及到等比数列的性质，是一道中档题. 18、（Ⅰ）12n n a ；（Ⅱ）()()
323
4212n n S n n +=
-++. 【解析】
（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题中条件求出q 的值，结合等比数列的通项公式可得出数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求得11122n b n n ⎛⎫
- ⎪+⎝⎭
=，然后利用裂项相消法可求得n S . 【详解】
（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由题意及11a =，知1q >.
22a 、33
2
a 、4a 成等差数列成等差数列，34232a a a ∴=+，2332q q q ∴=+，
即2
320-+=q q ，解得2q
或1q =（舍去），2q ∴=.
∴数列{}n a 的通项公式为1112n n n a a q --==；
（Ⅱ）
()212311111log log 222n n n b a a n n n n ++⎛⎫
=
==- ⎪⋅++⎝⎭
，
1111111
1111232435112n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=
-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()
13113232212442123111212n n n n n n n ⎛⎫=-=⎭+⎛-+ +⎫-=- ⎪+++⎝⎭⎝++⎪
. 【点睛】
本题考查等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题. 19、 (1)不能；(2) ①18
25
；②分布列见解析，754. 【解析】
（1）根据题目所给的数据可求2×2列联表即可；计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．（2）由相
互独立事件的概率可得男“环保达人”又有女“环保达人”的概率：P ＝1﹣（25）3﹣（3
5）31825
=，解出X 的分布列及数学期望E （X ）75
4
=即可； 【详解】
(1)由图中表格可得22⨯列联表如下:
将22⨯列联表中的数据代入公式计算得K”的观测值
22
2
()100(45153010) 3.030 3.841()()()()25755545
n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯，
所以在犯错误的概率不超过0. 05的前提下，不能认为是否为“环保关注者”与性别有关. (2)视频率为概率,用户为男“环保达人”的概率为
35.为女“环保达人”的概率为2
5
， ①抽取的3名用户中既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率为
33
231815525
P ⎛⎫⎛⎫=--=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
②X 的取值为10，20，30，40.
133
(10)248
P X ==⨯=,
1113313
(20)2424432P X ==⨯+⨯⨯=,
12
1133
(30)C 24416P X ==⨯⨯⨯=, 1111
(40)24432
P X ==⨯⨯=,
所以X 的分布列为
()1020304083216324
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.
【点睛】
本题考查了独立性检验的应用问题，考查了概率分布列和期望，计算能力的应用问题，是中档题目．
20、（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）4
【解析】
（Ⅰ）取BC 的中点为D ，连结DF ，易证四边形CDFG 为平行四边形，即//CG DF ，由于BF CF =，D 为BC 的中点，可得到DF BC ⊥，从而得到CG BC ⊥，即可证明CG ⊥平面ABC ，从而得到CG AB ⊥；（Ⅱ）易证DB ，DF ，
DA 两两垂直，以DB ，DF ，DA 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，求出平面BEG 的
一个法向量为(),,n x y z =，设AE 与平面BEG 所成角为θ，则sin cos ,AE n AE n AE n
θ⋅=〈〉=⋅，即可得到答案．
【详解】
解：（Ⅰ）取BC 的中点为D ，连结DF .
由ABC EFG -是三棱台得，平面//ABC 平面EFG ，从而//BC FG . ∵2CB GF =，∴//CD GF ，
∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点， ∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.
∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ， ∴CG ⊥平面ABC ，而AB 平面ABC ，
∴CG AB ⊥. （Ⅱ）连结AD .
由ABC ∆是正三角形，且D 为中点，则AD BC ⊥. 由（Ⅰ）知，CG ⊥平面ABC ，//CG DF ， ∴DF
AD ⊥，DF BC ⊥，
∴DB ，DF ，DA 两两垂直.
以DB ，DF ，DA 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.
设2BC =，则(00A ,，12E ⎛-
⎝⎭
，()1,0,0B ，()
G -，
∴12AE ⎛=-
⎝⎭，()
BG =-，32
BE ⎛=- ⎝⎭.
设平面BEG 的一个法向量为(),,n x y z =.
由0
{0BG n BE n ⋅=⋅=可得，230
{3330
22
x y x y z -+=-++=. 令3x =，则2y =，1z =-，∴(
)
3,2,1n =
-.
设AE 与平面BEG 所成角为θ，则6
sin cos ,4
AE n AE n AE n
θ⋅=〈〉=
=⋅.
【点睛】
本题考查了空间几何中，面面垂直的性质，线线垂直的证明，及线面角的求法，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于中档题． 21、（1）16
243
（2）分布列见解析，期望为20 【解析】
()1利用相互独立事件概率公式求解即可;
()2由题意知,随机变量X 可能的取值为0，10，20，30,分别求出对应的概率,列出分布列并代入数学期望公式求解即
可. 【详解】
（1）由相互独立事件概率公式可得,22222116
()()()333332243
P A =⨯
⨯⨯⨯⨯= （2）由题意知,随机变量X 可能的取值为0，10，20，30.
()3
03
2101327
P X C ⎛⎫==-=
⎪⎝⎭， ()2
13
222101339
P X C ⎛⎫⎛⎫
==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，
()22
3224201339
P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3
332830327
P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 所以，X 的概率分布列为
所以数学期望()010203020279927
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】 本题考查相互独立事件概率公式和离散型随机变量的分布列及其数学期望;考查运算求解能力;确定随机变量可能的取值,求出对应的概率是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
22、2a =+【解析】
将圆2sin a ρθ=和直线cos 14πρθ
⎛⎫+
= ⎪⎝⎭化成普通方程.再根据相切,圆心到直线的距离等于半径,列等式方程,解方程即可.
【详解】
解:将圆2sin
a ρθ=化成普通方程为222x y ay +=
,整理得()2
22x y a a +-=． 将直线cos 14πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
化成普通方程为0x y -=． 因为相切,所以圆心到直线的距离等于半径,a =
解得2a =+
【点睛】
本题考查极坐标方程与普通方程的互化,考查直线与圆的位置关系,是基础题.。