山东省淄博市淄川般阳中学高三数学一轮复习 2-1函数的基本概念(1)学案
高考数学一轮复习 第二章函数2.1函数及其表示教学案 理
第二章 函数2.1 函数及其表示考纲要求1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单地应用．(1)函数的定义域、值域．在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，__________叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，__________叫做函数的值域，显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：__________、__________和__________．3．函数的表示方法表示函数的常用方法有__________、__________和__________．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因__________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的__________，其值域等于各段函数的值域的__________，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．1．设f ，g 都是从A 到A则f (g (3))等于( )．A ．1B ．2C ．3D ．不存在2．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )．A ．f ：x →y ＝12x B ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝23x D ．f ：x →y ＝x3．下列各函数中，表示同一个函数的是( )．A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xB ．f (x )＝lg x ＋1x －1，g (x )＝lg(x ＋1)－lg(x －1)C ．f (u )＝1＋u 1－u ，g (v )＝1＋v 1－vD ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2 4．(2012山东高考)函数f (x )＝1ln x ＋1＋4－x 2的定义域为( )． A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x >1，若f (x )＝2，则x 等于( )． A ．log 32B ．－2C ．log 32或－2D ．2一、求简单函数的定义域、值域【例1－1】(2012江苏高考)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为__________．【例1－2】已知函数f (3－2x )的定义域为[－1,2]，求f (x )的定义域．【例1－3】求下列函数的值域：(1)y ＝x 2＋2x ，x ∈[0,3]； (2)y ＝212x -；(3)y ＝log 3x ＋log x 3－1.方法提炼1．求函数定义域的方法(1)函数给 出的方式确定定义域的方法 列表法 表中实数x 的集合图象法 图象在x 轴上的投影所覆盖的实数x 的集合解析法 使解析式有意义的实数x 的集合实际问题 有实际意义及使相应解析式有意义的x 的集合(2)①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．提醒：定义域必须写成集合或区间的形式．2．求值域的方法常见的求值域的方法有：①配方法；②换元法；③基本不等式法；④利用函数的单调性；⑤分离常数法；⑥数形结合法；⑦导数法等．3．若两个函数的定义域与值域相同，它们不一定是同一函数，如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域都为R ，值域都为[－1,1]，显然不是同一个函数．定义域和解析式相同的两个函数是同一个函数．4．分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集；最大(小)值是各段最大(小)值中最大(小)的；图象则是由各段上的图象合成的．请做演练巩固提升1,4二、求函数的解析式【例2－1】若函数f (x )＝x ax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，则f (x )＝__________.【例2－2】若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )．【例2－3】已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋x 2.(1)求x ＞0时，f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝2a 2＋a 有三个不同的解，求a 的取值范围．方法提炼函数解析式的求法：1．凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；2．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；3．换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；4．方程思想：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．提醒：因为函数的解析式相同、定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域，否则会导致错误．请做演练巩固提升2忽略分段函数中自变量的取值范围而致误【典例】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x >0，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，求关于x 的方程f (x )＝x 的解．错解：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c .因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ －22－2b ＋c ＝c ，－12－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝－2. 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －2，x ≤0，2，x >0. 当x ≤0时，由f (x )＝x 得x 2＋2x －2＝x 得x ＝－2或x ＝1.当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2.所以方程f (x )＝x 的解为：－2,1,2.分析：(1)条件中f (－2)，f (0)，f (－1)所适合的解析式是f (x )＝x 2＋bx ＋c ，所以可构建方程组求出b ，c 的值．(2)在方程f (x )＝x 中，f (x )用哪个解析式，要进行分类讨论．正解：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －22－2b ＋c ＝c ，－12－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝－2. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2，x ≤0，2，x >0. 当x ≤0时，由f (x )＝x 得，x 2＋2x －2＝x ，得x ＝－2或x ＝1.由于x ＝1＞0，所以舍去．当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2，所以方程f (x )＝x 的解为－2,2.答题指导：1．对于分段函数问题，是高考的热点．在解决分段函数问题时，要注意自变量的限制条件．2．就本题而言，当x ≤0时，由f (x )＝x 得出两个x 值，但其中的x ＝1不符合要求，错解中没有舍去此值，因而导致了增解．分段函数问题分段求解，但一定注意各段的限制条件．1．已知函数f (x )＝12＋x＋(x －1)0的定义域为M ，g (x )＝ln(2－x )的值域为N ，则M ∩N ＝( )．A ．{x |x ＞－2}B ．{x |x ＜2}C ．{x |－2＜x ＜2}D ．{x |x ＞－2，且x ≠1}2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝( )． A ．lg 1x B ．lg 1x －1C ．lg 2x －1D ．lg 1x －23．(2012陕西高考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x <0，则f (f (－4))＝______.4．设g (x )是定义在R 上、以1为周期的函数．若函数f (x )＝x ＋g (x )在区间[0,1]上的值域为[－2,5]，则f (x )在区间[0,3]上的值域为__________．5．对a ，b ∈R ，记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，函数f (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫12x ，－|x －1|＋2(x ∈R )的最大值为________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．数集 集合 任意 数x 都有唯一确定数f (x ) 任意 元素x 都有唯一确定 元素yf ：A →B f ：A →B2．(1)x 的取值范围A 函数值的集合{f (x )|x ∈A } (2)定义域 值域 对应关系3．解析法 列表法 图象法4．对应法则 并集 并集基础自测1．C 解析：由题中表格可知g (3)＝1，∴f (g (3))＝f (1)＝3.故选C.2．C 解析：依据函数的概念，集合A 中任一元素在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，选项C 不符合．3．C 解析：选项A 和B 定义域不同，选项D 对应法则不同．4．B 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ ln(x ＋1)≠0，x ＋1>0，4－x 2≥0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，x >－1，－2≤x ≤2，所以定义域为(－1,0)∪(0,2]．5．A 解析：当x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；当x ＞1时，－x ＝2，∴x ＝－2(舍去)．∴x ＝log 32.考点探究突破【例1－1】(0，6] 解析：要使函数f (x )＝1－2log 6x 有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧1－2log 6x ≥0，x >0，解得0＜x ≤6，故f (x )的定义域为(0，6]． 【例1－2】解：用换元思想，令3－2x ＝t ，f (t )的定义域即为f (x )的定义域， ∴t ＝3－2x (x ∈[－1,2])．∴－1≤t ≤5.故f (x )的定义域为[－1,5]．【例1－3】解：(1)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ∈[0,3]，结合二次函数的图象，可知y ＝x 2＋2x 在区间[0,3]上是增函数，故当x ＝3时，y max ＝15；当x ＝0时，y min ＝0.故函数的值域为[0,15]．(2)令x 2－1＝t ，则t ≥－1，原函数化为y ＝2t ，t ∈[－1，＋∞)．结合y ＝2t 的单调性得y ＝2t ，t ∈[－1，＋∞)的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (3)原函数即为y ＝log 3x ＋1log 3x－1. 当x ＞1时，log 3x ＞0，因此利用基本不等式得y ≥2－1＝1，当log 3x ＝1log 3x，即x ＝3时取“＝”； 当0＜x ＜1时，log 3x ＜0，因此log 3x ＋log x 3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－log 3x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1log 3x ≤－2， ∴log 3x ＋1log 3x－1≤－3， 当且仅当log 3x ＝1log 3x， 即x ＝13时取“＝”． 综上可知，y ＝log 3x ＋log x 3－1的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．【例2－1】2x x ＋2 解析：由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2； 由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ， 变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0， 解此方程得x ＝0或x ＝1－b a ，又∵方程有唯一解，∴1－b a＝0，解得b ＝1， 代入2a ＋b ＝2得a ＝12， ∴f (x )＝2x x ＋2. 【例2－2】解：∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ，得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1.即有⎩⎪⎨⎪⎧ 2f (x )－f (－x )＝x ＋1，2f (－x )－f (x )＝－x ＋1.解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x 3＋1. 【例2－3】解：(1)任取x ＞0，则－x ＜0，∴f (－x )＝－2x ＋(－x )2＝x 2－2x .∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝2x －x 2.故x ＞0时，f (x )＝2x －x 2.(2)∵方程f (x )＝2a 2＋a 有三个不同的解，∴－1＜2a 2＋a ＜1.∴－1＜a ＜12. 演练巩固提升1．D 解析：∵M ＝{x |x ＞－2，且x ≠1}，N ＝R ，∴M ∩N ＝M ＝{x |x ＞－2，且x ≠1}．2．C 解析：令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1， ∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1， 故选C.3．4 解析：∵f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16，∴f(f(－4))＝f(16)＝16＝4.4．[－2,7] 解析：设x1∈[0,1]，f(x1)＝x1＋g(x1)∈[－2,5]．∵函数g(x)是以1为周期的函数，∴当x2∈[1,2]时，f(x2)＝f(x1＋1)＝x1＋1＋g(x1)∈[－1,6]．当x3∈[2,3]时，f(x3)＝f(x1＋2)＝x1＋2＋g(x1)∈[0,7]．综上可知，当x∈[0,3]时，f(x)∈[－2,7]．5．1 解析：y＝f(x)是y＝12x与y＝－|x－1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最大值为1.。
(新人教)高三数学第一轮复习教案2.2.1函数(1)函数概念
一．课题：函数（1）——函数概念二．教学目的：1. 能用映射的概念理解函数的概念，掌握函数符号“()y f x =”，掌握区间的概念；2. 培养学生理解抽象概念的能力。
三．教学重点、难点：函数的概念 四．教学过程： （一）复习：（提问）1．什么映射？一一映射？2．下列对应是不是从A 到B 的映射？（1）A R =，{|0}B x R x =∈>，f ：||x y x →=； （不是） （2）A B N ==，f ：|3|x y x →=-； （是）（3）{|0}A x R x =∈>，B R =，f ：x y →= （不是） （4）{|06}A x x =≤≤，{|03}B y y =≤≤，f ：12x y x →=f ：13x y x →= f ：x y x →= f ：16x y x →= （是） （是） （不是） （是） （二）新课讲解： 1．函数的定义：（1）传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的一个值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数，自变量x 的取值的集合叫做定义域，自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）近代定义：（从映射的观点定义函数）如果,A B 都是非空的数集，那么A 到B 的映射f ：A B →就叫做A 到B 的函数，记作()y f x =，其中x A ∈，y B ∈，原象的集合叫做函数()y f x =的定义域，象的集合C （C B ⊆）叫做函数()y f x =的值域。
说明：①映射f ：A B →，,A B 都是非空的数集；②函数的三要素：定义域、值域、对应法则；③函数符号()y f x =表示“y 是x 的函数”，可简记为函数()f x ，有时也用(),()g x F x 。
④()f a 的意义：自变量x 取确定的值a 时，对应的函数值用符号()f a 表示； ⑤定义域：自变量x 的取值的集合， 值域：函数值y 的集合； ⑥两个函数相同：当且仅当函数的三要素全相同。
高考数学一轮复习教学案函数及其表示(含解析)
第一节函数及其表示[知识能否忆起]1．函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A 到集合B的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题能否全取]1．(教材习题改编)设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于()A．－2x＋1B．2x－1C．2x－3 D．2x＋7解析：选D f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.2．(·江西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.139解析：选D f (3)＝23，f (f (3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139. 3．已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x解析：选D 按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．4．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝____________. 解析：令t ＝1x ，则x ＝1t .所以f (t )＝1t 2＋5t .故f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)．答案：5x ＋1x2(x ≠0)5．(教材习题改编)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.即f (x )＝x 2－4x ＋3.所以f (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8. 答案：81.函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射．(2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．3．求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．函数的基本概念典题导入[例1] 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．[自主解答] 对于(1)，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)(3)． [答案] (2)(3)由题悟法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．以题试法1．试判断以下各组函数是否表示同一函数．(1)y＝1，y＝x0；(2)y＝x－2·x＋2，y＝x2－4；(3)y＝x，y＝3t3；(4)y＝|x|，y＝(x)2.解：(1)y＝1的定义域为R，y＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，故它们不是同一函数．(2)y＝x－2·x＋2的定义域为{x|x≥2}．y＝x2－4的定义域为{x|x≥2，或x≤－2}，故它们不是同一函数．(3)y＝x，y＝3t3＝t，它们的定义域和对应关系都相同，故它们是同一函数．(4)y＝|x|的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，故它们不是同一函数．求函数的解析式典题导入[例2] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． [自主解答] (1)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．由题悟法函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式(如例(1))；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；(4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )(如A 级T6)．以题试法2．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：(1)法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.分 段 函 数典题导入[例3] (·广州调研考试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞)，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．[自主解答] 当x <1时，由f (x )>4，得2－x >4，即x <－2；当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2， 由于x ≥1，所以x >2. 综上可得x <－2或x >2.[答案] (－∞，－2)∪(2，＋∞)若本例条件不变，试求f (f (－2))的值． 解：∵f (－2)＝22＝4， ∴f (f (－2))＝f (4)＝16.由题悟法求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．以题试法3.(·衡水模拟)已知f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________． 解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝⎛⎭⎫1，32和⎝⎛⎭⎫1，32，(2,0)分别代入， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎨⎧32x ，0≤x ≤1，3－32x ，1≤x ≤21．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2 B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100答案：D2．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：选D 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}．3．(·安徽高考)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C 对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x ＜0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos (πx )，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．1 C ．2D ．3解析：选D f ⎝⎛⎭⎫43＝12，f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝52，f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3. 5．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )解析：选C 从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．6．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：选B 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.① 将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1.7．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 解析：由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋p ＋q ＝0，22＋2p ＋q ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝2.故f (x )＝x 2－3x ＋2.所以f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 答案：68．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．解析：由函数的定义，对定义域内的每一个x 对应着唯一一个y ，据此排除①④，③中值域为{y |0≤y ≤3}不合题意．答案：②10．若函数f (x )＝xax ＋b (a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．解：由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ，又因方程有唯一解，故1－ba ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以f (x )＝2x x ＋2. 11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解：当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝115，b 1＝0.即y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2； 当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝110，b 2＝－2.即y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎨⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈(30，40)，110x －2，x ∈[40，60].12．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．1．(·北京高考)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D 因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以cA＝15，① 所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.2．(·江西红色六校联考)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.3．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x . ∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1>2x ＋5，即x 2－3x －4>0， 解得x >4或x <－1.故原不等式解集为{x |x >4，或x <－1}．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.解析：∵f (0)＝3×0＋2＝2，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a＝2.答案：22．若函数的定义域为{x|－3≤x≤6，且x≠4}，值域为{y|－2≤y≤4，且y≠0}，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象．解：本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示．3．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式．解：(1)因为对任意x∈R有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，又f(2)＝3，从而f(1)＝1.若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.在上式中令x＝x0，有f(x0)－x20＋x0＝x0.又因为f(x0)＝x0，所以x0－x20＝0，故x0＝0或x0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易证该函数满足题设条件．综上，所求函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.。
山东省淄博市淄川般阳中学高中数学 数列概念学案 新人教A版必修5
1山东省淄博市淄川般阳中学高中数学 数列概念学案 新人教A 版必修5 课题：§2.1.1数列的概念与简单表示法学习目标：1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.学习过程：【学情调查 情境导入】课题导入:4，5，6，7，8，9，10． ①1，21，31，41，51，…. ②1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…. ③1，1.4，1.41，1.414，…. ④-1，1，-1，1，-1，1，…. ⑤2，2，2，2，2，…. ⑥观察这些例子，看它们有何共同特点？上述例子的共同特点是:⑴________________；⑵________________.【问题展示 合作探究】探究任务：数列的概念⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列.⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项.反思：⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？3. 数列的一般形式：123,,,,,n a a a a L L ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第 项.4. 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与n 之间的关系可以用来表示，那么 就叫做这个数列的通项公式反思：⑴所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是唯一？⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？5．数列的分类：1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列， 数列和 数列.【达标训练 巩固提升】例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴ 1，－12，13，－14；⑵ 1， 0， 1， 0.变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴12，45，910，1617；⑵ 1，－1， 1，－1；例2已知数列2，74，2，…的通项公式为2nan bacn+=，求这个数列的第四项和第五项.变式：已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第项. ※动手试试练1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴ 1，13，15，17；⑵ 1，2，3，2 .练2. 写出数列2{}n n-的第20项，第n＋1项.【课堂演练】1. 下列说法正确的是（）.A. 数列中不能重复出现同一个数B. 1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列C. 1，1，1，1…不是数列D. 两个数列的每一项相同，则数列相同2. 下列四个数中，哪个是数列{(1)}n n+中的一项（）.A. 380B. 392C. 321D. 2323. 在横线上填上适当的数：3，8，15，，35，48.4.数列(1)2{(1)}n n--的第4项是 .5. 写出数列121-⨯，122⨯，123-⨯，124⨯的一个通项公式 .【知识梳理归纳总结】数列概念及通向公式的应用。
高三数学一轮复习教案(函数全)
函数（一）函数1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。
3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。
4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。
5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值.6．会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）指数函数1．了解指数函数模型的实际背景。
2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。
4．知道指数函数是一类重要的函数模型。
（三）对数函数1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。
2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.3．知道对数函数是一类重要的函数模型.4．了解指数函数与对数函数互为反函数（）。
（四）幂函数1．了解幂函数的概念。
2．结合函数的图像，了解它们的变化情况。
（五）函数与方程1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。
2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。
能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.（六）函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。
知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。
3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。
定义定义域区间对应法则值域一元二次函数一元二次不等式映射函数性质奇偶性单调性周期性指数函数根式分数指数指数函数的图像和性质指数方程对数方程反函数互为反函数的函数图像关系对数函数对数对数的性质积、商、幂与根的对数对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.函数概念（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →: ，f 表示对应法则 注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
高考数学一轮复习总教案：2.1函数的概念及表示法
第二章 函 数高考导航 考试要求重难点击 命题展望1.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际生活中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单运用.4.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.5.会运用函数的图象理解和研究函数的性质.6.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.7.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数通过的特殊点.8.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.9.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数通过的特殊点.10.了解指数函数y ＝ax 与对数函数y ＝logax (a ＞0且a≠1)互为反函数.11.了解幂函数的概念，结合函数y ＝x ， y ＝x2， y ＝x3 ,y ＝x 1， y ＝21x 的图象，了解它们的变化情况.12.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性和根的个数.13.根据具体函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解. 14.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征；知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 15.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用. 本章重点：1.函数的概念及其三要素； 2.函数的单调性、奇偶性及其几何意义；3.函数的最大(小)值；4.指数函数与对数函数的概念和性质；5.函数的图象及其变换；6.函数的零点与方程的根之间的关系；7.函数模型的建立及其应用. 本章难点：1.函数概念的理解；2.函数单调性的判断；3.函数图象的变换及其应用；4.指数函数与对数函数概念的理解及其性质运用；5.研究二次函数的零点与一元二次方程的根的关系；6.函数模型的建立及求解.高考对函数的考查，常以选择题和填空题来考查函数的概念和一些基本初等函数的图象和性质，解答题则往往不是简单地考查概念、公式和法则的应用，而是常与导数、不等式、数列、三角函数、解析几何等知识及实际问题结合起来进行综合考查，并渗透数学思想方法，突出考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法.知识网络2.1函数的概念及表示法典例精析题型一 求函数的解析式【例1】 (1)已知f(x ＋1)＝x2＋x ＋1，求f(x)的表达式； (2)已知f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x ＋3，求f(x)的表达式. 【解析】(1)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，代入得f(x)＝(t －1)2＋(t －1)＋1＝t2－t ＋1，所以f(x)＝x2－x ＋1. (2)由f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x ＋3，x 换成－x ，得f(－x)＋2 f(x)＝3x2－5x ＋3，解得f(x)＝x2－5x ＋1.【点拨】已知f(x)，g(x)，求复合函数f[g(x)]的解析式，直接把f(x)中的x 换成g(x)即可，已知f[g(x)]，求f(x)的解析式，常常是设g(x)＝t ，或者在f[g(x)]中凑出g(x)，再把g(x)换成x.【变式训练1】已知f(x x+-11)＝2211x x +-，求f(x)的解析式.【解析】设x x +-11＝t ，则x ＝t t +-11，所以f(t)＝22)11(1)11(1t t t t +-++--＝212t t +， 所以f(x)＝212x x+(x≠－1).题型二 求函数的定义域【例2】(1)求函数y ＝229)2lg(x x x --的定义域；(2)已知f(x)的定义域为[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域. 【解析】(1)要使函数有意义，则只需要⎩⎨⎧>->-,09,0222x x x 即⎩⎨⎧<<-<>,33,02x x x 或解得－3＜x ＜0或2＜x ＜3，故所求的定义域为(－3,0)∪(2,3). (2)依题意，只需－2≤x2－3x≤4，解得－1≤x≤1或2≤x≤4，故f(x2－3x)的定义域为[－1,1]∪[2,4]. 【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式组求解.对于抽象函数f[g(x)]的定义域要把g(x)当作f(x)中的x 来对待. 【变式训练2】已知函数f(2x)的定义域为[－1,1]，求f(log2x)的定义域.【解析】因为y ＝f(2x)的定义域为[－1,1]，即－1≤x≤1时2－1≤2x≤21，所以y ＝f(x)的定义域为[12，2].令12≤log2x≤2，所以2≤x≤22＝4，故所求y ＝f(log2x)的定义域为[2，4].题型三 由实际问题给出的函数【例3】 用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x ，求此框围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域.【解析】由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB ＝2x ，设宽为a ，则有2x ＋2a ＋πx ＝l ，即a ＝2l －2πx －x ，半圆的半径为x ， 所以y ＝22πx ＋(2l －π2x －x)·2x ＝－(2＋π2)x2＋lx.由实际意义知2l －π2x －x ＞0，因x ＞0，解得0＜x ＜π+2l.即函数y ＝－(2＋π2)x2＋lx 的定义域是{x|0＜x ＜π+2l}.【点拨】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.如本题使函数解析式有意义的x 的取值范围是x ∈R ，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x 表示的，这就是实际问题对变量的制约.【变式训练3】一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y ＝f(x)，则y ＝f(x)的图象是( ) 【解析】由题意得y ＝10x(2≤x≤10)，选A. 题型四 分段函数【例4】 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧≥+<+).0(1),0(32x x x x(1)求f(1)＋f(－1)的值； (2)若f(a)＝1，求a 的值；(3)若f(x)＞2，求x 的取值范围.【解析】(1)由题意，得f(1)＝2，f(－1)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝4. (2)当a ＜0时，f(a)＝a ＋3＝1，解得a ＝－2；当a≥0时，f(a)＝a2＋1＝1，解得a ＝0.所以a ＝－2或a ＝0. (3)当x ＜0时，f(x)＝x ＋3＞2，解得－1＜x ＜0； 当x≥0时，f(x)＝x2＋1＞2，解得x ＞1. 所以x 的取值范围是－1＜x ＜0或x ＞1.【点拨】分段函数中，x 在不同的范围内取值时，其对应的函数关系式不同.因此，分段函数往往需要分段处理.【变式训练4】已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<.10,621,100|,lg |x x x x 若a ，b ，c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc 的取值范围是( )A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)【解析】不妨设a ＜b ＜c ，由f(a)＝f(b)＝f(c)及f(x)图象知110＜a ＜1＜b ＜10＜c ＜12，所以－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6，所以ab ＝1，所以abc 的范围为(10,12)，故选C.总结提高1.在函数三要素中，定义域是灵魂，对应法则是核心，因为值域由定义域和对应法则确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件.2.若一个函数在其定义域不同的子集上，解析式不同，则可用分段函数的形式表示.3.函数的三种表示法各有利弊，一般情况下，研究函数要求出函数的解析式，通过解析式来解题.求函数解析式的方法有：配方法、观察法、换元法和待定系数法等.。
山东省淄博市淄川般阳中学高三数学一轮复习 251指数函数(1)学案 新人教A版
山东省淄博市淄川般阳中学高三数学一轮复习 2-5-1指数函数（1）学案 新人教A 版授课时间 年 月 日第 周星期编号 课题 指数函数（一）课型复习学习目标1、 理解指数式及指数式的运算2、 掌握指数函数的有关概念及性质3、 熟练运用公式及性质进行运算和解题 学习重点 指数是的运算，指数函数的性质 学习难点指数函数性质的运用一.学情调查，情景导入1、指数与指数幂的运算：（1）如果存在实数x ，使得),1,(+∈>∈=N n n R a a x n，则x 叫做a 的________。
___________没有偶次方根。
()()+∈>=N n n a a nn,1()⎩⎨⎧=为偶数为奇数n n a nn______________（2）分数指数幂=nma =-nm a（3）幂的运算性质()R y x b a ∈>>,,0,0 ①x a ·=y a ___； ②x a ÷=ya ___；③()=yxa ______； ④()=xab ______；2、指数函数的图象和性质： 解析式定义域值域图象1>a10<<a函数值函数的图象恒过____________点。
单调性 在()+∞∞-,上是______函数。
在()+∞∞-,上是______函数。
二.问题展示，合作探究 探究一、指数幂的运算例1、 化简：（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-；（2）3322114423()a b ab ba b a⋅（a ＞0，b ＞0）；探究二、指数函数性质应用 例2、比较大小（1）2.05.05.0,5.0 （2）2.02.02.0,5.0 （3）33,2例3、若函数1-+=b a y x ()10≠>a a 且的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ） A 、10<<a 且0>b B 、1>a 且0>b C 、10<<a 且0<b D 、1>a 且0<b 三. 达标训练，巩固提升 A1. 化简下列各式 （1）3278·41681 （2）a a a （3）23425-⎪⎭⎫ ⎝⎛ （4)21111332265()a b a ba b--•A 2.下列运算结果中错误的是 （ ） A.532aa a =⋅ B.()632a a= C.()a a=212 D.()()2332a a -=-A 3.下列函数中是指数函数的为 （ ）A.()3xy =- B.3x y =- C.13x y -= D.13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭A 4. 已知1a π⎛⎫ ⎪⎝⎭＞1bπ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列不等关系中正确的是 （ ）A.1＞a ＞b ＞0B.a ＜bC.a ＞bD.1＞b ＞a5.已知4323)21(2--<x x，则x 的取值范围是 ________四．知识梳理，归纳总结 1. 2.这一节课我们学到了什么？ 五、预习指导，新课链接指数函数的性质及其应用。
山东省淄博市淄川般阳中学高三数学一轮复习 1-1集合学案 新人教A版
四．知识梳理，归纳总结
1.集合的概念表示方法，集合的基本关系。
2.集合的基本运算。
这一节课我们学到了什么？再想一想
五、预习指导，新课链接
复习函数的概念、表示方法。
山东省淄博市淄川般阳中学高三数学一轮复习1-1集合学案新人教A版
授课时间
20年9月日
第1周
星期天
编号
课题
集合
课型
复习
知识目标
掌握集合的表示方法，基本关系及基本运算。
能力目标
能识别给定集合的子集，能进行基本的集合运算。
情感态度与价值观
1、感受集合语言的意义和作用。
2、体会直观图示对理解抽象概念的作用。
学习重点
元素的互异性， 子 集的含义及个数问题，集合运算。
学习难点
与不等式、方程相结合的一类较综合的集合问题。
导学设计
一.学情调查，情景导入
一、集合
1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象就成为一个集合，简称．集合具 有：
(1) ________；(2)； (3)．
例1设集合 ， ， ，求实数a的值.
例2已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}.
（1 ） 若A是空集，求m的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求m的值；
（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围.
例3已知 集合A={ ,B={ ,若B ,试求a的值。
三.达标训练，巩固提升
A1..若a,b R,集合 求b-a的值
7．相等：若集合A中都是集合B的元素，同时集合B中都是集合A的元素，就说集合A等于集合B，记作．
山东省淄博市淄川般阳中学高中数学 第1章《三角函数》1.2.1任意角三角函数1学案新人教A版必修4
山东省淄博市淄川般阳中学高中数学 第1章《三角函数》1.2.1任意角三角函数1学案新人教A 版必修4 学习目标1. 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
2.会利用角终边上的任意一点的坐标求三角函数。
学习过程课前预习（预习教材P11~ P13，找出疑惑之处）用角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：（1） 叫做α的正弦，记做sin α，即 。
（2） 叫做α的余弦，记做cos α，即 。
（3） 叫做α的正切，记做tan α，即 。
课中一、学情调查，情景导入复习：初中锐角三角函数如何定义？引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?二、问题展示，合作探究探究一: 任意角的三角函数新知：单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以 为圆心,以 为半径的圆. 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：（1） 叫做α的正弦，记做sin α，即 。
（2） 叫做α的余弦，记做cos α，即 。
（3） 叫做α的正切，记做tan α，即 。
注：1、当α= 时，tan α无意义，为什么？2、对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的，所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的 为函数值的函数，我们将它们统称为 。
3、因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数. 探究二:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?新知：α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为22r x y =+，则：sin α=；cos α= ； tan α= 。
典型例题求53π的正弦、余弦和正切值.例2．已知角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.三、达标检测，巩固提升A 17P 第1,2,3题1、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为（ ）A ．－55B ．－ 5C ．552D ．25B2、已知角θ的终边在直线y = 33x 上，则sin θ= ；θtan = 。
山东省淄博市淄川般阳中学高三数学一轮复习 2-3-2函数的基本性质(2)学案
若f(－x) =f(x)或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x)或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数
3）简单性质：
①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件；一个函数是偶函数的充要条件；
②设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：
授课时间
年月日
第周
星期
编号
课题
函数基本性质(二)
课型
知识目标
掌握函数的奇偶性、周期性及应用
能力目标
会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性，周期性
情感态度与价值观
学习重点
函数的奇偶性、周期性应用
学习难点
.学情调查，情景导入
1．奇偶性定义：
1）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是。
A. B.
C. D.
a2.已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0
b3.已知函数 是定义在 上的周期函数，周期 ，函数 是奇函数又知 在 上是一次函数，在 上是二次函数，且在 时函数取得最小值 。
1证明： ；②求 的解析式
四．知识梳理，归纳总结
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性。
五、预习指导，新课链接
奇+奇=，奇 奇=，偶+偶=，偶 偶=，奇 偶=
2．周期性定义
函数的奇偶性是函数的整体性质
二.问题展示，合作探究
探究：判断函数的奇偶性
例1．讨论下述函数的奇偶性：
变式：
探究：函数奇偶性应用
山东省淄博市淄川般阳中学高三数学一轮复习 101简单随
授课时间年月日第周星期编号课题随机抽样课型学习目标了解随机抽样的意义．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样学习重点分层抽样和系统抽样方法学习难点分层抽样和系统抽样方法导学设计一.学情调查，情景导入1：在统计里，我们把所有考察对象的全体叫____，其中总体中每一个考察的对象叫_____，从总体中抽取的部分个体叫一个______，样本中包含个体的数目叫____．2：一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做_______抽样．两种常见的实施简单随机抽样的办法是：________法和________法．3：当总体中的个体数较多时，将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样叫做_____抽样．系统抽样的操作步骤：第一步，；第二步，将总体的编号分段，要确定分段间隔k，当Nn是整数时，k＝____；当Nn不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数N′能被n整除，这时k ＝______ ；第三步，在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l，再按事先确定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个编号______，将(l＋k)加上k，得到第3个编号_________，这样继续下去，直到获取整个样本4：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫______抽样．二.问题展示，合作探究探究类型一：抽样方法的运用1．今用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本．问：①总体中的某一个体a在第一次抽取时被抽到的概率是________②个体a不是在第1次未被抽到，而是在第2次被抽到的概率是_______③在整个抽样过程中，个体a被抽到的概率是_______例1．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法例2．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样探究类型二：分层抽样和系统抽样例3．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％．登山组的职工占参加活动总人数的41，且该组中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％．为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定（Ⅰ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； （Ⅱ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．例4．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（ ）A ．30人，30人，30人B ．30人，45人，15人C ．20人，30人，10人D ．30人，50人，10人 三. 达标训练，巩固提升1．为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是 ( ) A ．1000名运动员是总体 B ．每个运动员是个体 C ．抽取的100名运动员是样本 D ．样本容量是1002 要从已经编号(1～60)的60枚最新研制的某种型号导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选的6枚导弹的编号可能是 ( )A ．5,10,15,20,25,30B ．2,12,22,32,42,52C ．6,13,38,31,45,58D ．5,10,23,33,43,593．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( ) A ．26,16,8 B ．25,17,8 C ．25,16,9 D ．24,17,94．某企业三月中旬生产A 、B 、C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别 A B C 产品数量(件) 1300 样本容量(件)130由于不小心，表格中A 、C 产品的数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 产品的数量是___件． 5．某校有300名老师与3719名学生，为参加2010—2011年CHBL(全国高中篮球联赛)选拔赛的运动员加油助威，学校决定从中抽取40人组成啦啦队，规定采用下列方法选取：先利用简单随机抽样方法，从3719名学生中剔除19人，然后用分层抽样在老师与学生中确定样本数，再按系统抽样方法抽取，下列对于这4019人中，每人入选的可能性叙述正确的是 ( ) A ．都相等，且为1100 B ．都相等，且为404019C ．剔除的19人中入选的可能性为0D ．老师入选的可能性大6．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是 A ．12,24,15,9 B ．9,12,12,7 C ．8,15,12,5 D ．8,16,10,6 四．知识梳理，归纳总结我们学到了什么？ 五、预习指导，新课链接。
山东省淄博市淄川般阳中学高三数学一轮复习 5-2-1平面向量基本定理学案
(3)平面向量的坐标表示
①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个_______作为基底.对于平面内的向量 ，有且只有一对实数x,y，使得________.把有序数对叫做向量 的坐标,记作 =,
2设OA=x +y ,则就是终点A的坐标,即若 =(x,Байду номын сангаас),则A点坐标为,反之亦成立(O是坐标原点).
A. a＋ bB. a＋ bC. a＋ bD. a＋ b
C5．如图对于平行四边形 ，点 是 的中点，点 在 上，且 ，求证： 三点共线
四．知识梳理，归纳总结
我们学到了什么？
五、预习指导，新课链接
预习平面向量的坐标表示（见学案），理解坐标运算和共线的坐标表示
三.达标训练，巩固提升
A1．在 中， ，若点 满足 ，则 =（）．
A. B. C. D.
A2．已知 ，则（）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
B3．在 中，点 在 上，且 ，则 =
B4.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若 ＝a， ＝b，则 ＝()
授课时间
年月日
第周
星期
编号
课题
平面向量基本定理
课型
复习
学习目标
理解平面向量基本定理的推导过程
理解正交分解和向量的坐标表示。
学习重点
理解平面向量基本定理的内容和坐标表示
学习难点
运用平面向量基本定理解决共线问题
导学设计
一.学情调查，情景导入
1.两个向量的夹角
(1)定义：已知两个向量 和 ，作OA= ,OB= ，则∠AOB=θ叫做向量 与 的夹角(如图).
山东省淄博市淄川般阳中学高三数学一轮复习 22函数的
山东省淄博市淄川般阳中学高三数学一轮复习 2-2函数的基本概念（2）学案 新人教A 版授课时间 年 月 日第 周星期编号 课题 函数的基本概念（二）课型复习学习目标 1、 熟练掌握函数解析式的求解方法2、 能够求解常见函数的值域，掌握函数值域求解的方法 学习重点 函数的解析式和值域的求解 学习难点值域的求解一.学情调查，情景导入 1. 常见函数的值域1.)0(≠+=k b kx y2.)0(2≠++=a c bx ax y 3. )0(≠=k xky 4.)10(≠>=a a a y x 且 5.)10(log ≠>=a a x y a 且6. x y x y cos sin ==和7. x y tan = 2、解析式的求解方法二.问题展示，合作探究 1.求下列函数的值域：（1）232y x x =-+； （2）265y x x =---； （3）312x y x +=-；（4）41y x x =+-；（5）2211()212x x y x x -+=>- （6）|1||4|y x x =-++。
变式训练：求函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域2.求函数的解析式(1)若32)3(2+-=+x x x f ，求)(x f(2)若)(23)()(2x f x x f x f ，求+=-+(3)已知)(x f 为二次函数,若0)0(=f ,且1)()1(++=+x x f x f ,试求)(x f 的表达式三. 达标训练，巩固提升A1下列函数中，值域是R +的是（ ） A ．y=122+-x x B ．()()+∞∈++=,012x x x y C ．()N x x x y ∈++=1212 D ．11+=x y B2设且，则( ) A ．B ．C ．D ．C3已知函数是R 上的奇函数，当的解析式。
B5设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且f(x)＝0的两实根平方和为10，图象过点(0，3)，求f(x)的解析式。
山东省淄博市淄川般阳中学2020届高三数学一轮复习 2-3-1函数的基本性质(1)学案
授课时间 年 月 日 第 周 星期 编号 课题 函数的基本性质(一)课型学习目标掌握函数的单调性、最大值、最小值及几何意义，会运用图像研究单调性最值 情感态度与价值观学习重点 函数的单调性、最值 学习难点 导数研究函数性质单调性导学设计一.学情调查，情景导入 1.单调函数的定义归纳一下单调函数的等价形式: 2.单调区间的定义质疑;如果一个函数在定义域的几个区间上都是增（减）函数，能不能说在定义域上是增 减函数，几个增区间能用并连接么 3.最值定义：最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ① 对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；② 存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。
最小值：略 注意：○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。
二.问题展示，合作探究 探究:函数的单调性及应用 自主练习：1.若函数()1+=ax x f 在R 上递减，则函数()()342+-=x x a x g 的增区间是----2. 若()ax x x f 22+-=与()1+=x a x g 在区间【1,2】上都是减函数，则a的取值范围是例 1.已知函数()x f 对于任意x ，y ∈R ，总有()()()y x f y f x f +=+，且当x>0时,()().321,0-=f x f π1) 求证:()x f 在R 上是减函数2) 求()x f 在[-3,3]上的最大值和最小值解题分析:1.审条件,2.抽象函数单调性的判断及求最值根据定义,3.证明单调性的基本方法定义法、导数法,探究：复合函数的单调性例2.已知函数()()a ax x x f 3log 22+-=，对于任意,2≥x 当0φx ∆时，恒有()()x f x x f φ∆+，则实数a 的取值范围分析：1.分析条件2.分析复合函数3.分析对数定义域具三. 达标训练，巩固提升1. 已知f(x) , g(x)定义在同一区间上，f(x)是增函数，g(x)是减函数，且g(x)≠0，则（ ）A. f(x) + g(x) 为减函数B. f(x) - g(x)为增函数C ．f(x)·g(x)是减函数 D. f(x)g(x) 是增函数2. 函数y=f(x) 在R 上单调递增，且f(m 2)>f(-m)，则实数m 的取值范围是（ ） A. (-∞,-1 ) B. ( 0,+∞) C.(-1,0 ) D. (-∞,-1 )∪( 0,+∞) 3.已知x ∈[0,1]，则函数y=2x+2-1-x 的最大值为 ，最小值为 。
山东省淄博市淄川般阳中学高三数学一轮复习 24二次函数、幂函数学案
1授课时间 2011 年 月 日 第 周 星期 编号 课题二次函数、幂函数课型复习知识目标 1、 理解并掌握二次函数的图像、性质，会求二次函数的最值。
2、 能用二次函数、二次方程与二次不等式的关系解决有关问题。
3、 了解幂函数的概念，掌握5个幂函数的的图像与性质。
学习重点 二次函数的图像与性质，三个二次的关系 学习难点 应用三个二次的关系解决有关问题导学设计一. 学情调查，情景导入1、 二次函数的表示形式： （1）、一般式：__________________ （2）、顶点式：______________________；其中顶点是_________。
(3)、零点式：___________________，其中x 1、x 2是图像与x 轴的交点的横坐标。
2、二次函数图像与性质 a 0 a 0 图像定义域 值域对称轴 顶点坐标单调性 最值探究：二次函数、二次方程与二次不等式的关系？ 3、五种幂函数图像与性质 y=x y=x 2y=x 3y=x 21 y=x 1- 定义域 值域 奇偶性 单调性二. 问题展示，合作探究例1、当x )1(02--=-∞+∈m m y ，幂函数）时，（x 35--m 为减函数，则实数m 的值为：A 、m=2B 、 m=-1C 、m=-1 或 m=2D 、 m 251±≠例2、已知函数f(x)=[]6,4,322-∈++x ax x（1）、当a=-2时，求f(x)的最值。
（2）、求实数a 的值，使y=f(x)在区间[]6,4-上是单调函数。
（3）、当a=1时，求f(x )的单调区间。
三. 达标训练，巩固提升1、 二次函数y=-x 2+bx+c 图像的最高点为（-1，-3）b 与c 的值为__________。
2、 若不等式ax 2+ax+10 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是A 、（0,4）B 、[0,4]C 、[)4,0D 、(]4,03、已知函数y=x 2-2x+3在区间[]m ，0上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是A 、[)∞+，1B 、[]2,0C 、[]2,1D 、(]2-，∞4、二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a 0≠)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1(1) 求f(x)的解析式。
山东省淄博市淄川般阳中学高中数学 3.3.1函数的单调性
山东省淄博市淄川般阳中学高中数学 3.3.1函数的单调性与导数2学案新人教A版选修1-1学习目标：1.结合实例，借助几何直观探索函数的单调性与导数的关系；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法。
重点难点：利用导数求函数的单调区间和判断函数的单调性。
教学模式：“三五五”教学模式教学资源：多媒体、课本Ⅰ、课前：预案：基本初等函数的导数公式='C；()='n x；()='sin x；；()='x a；()='x e；()='log xa；()='ln x.2．利用导数的符号来判断函数单调性:一般地，设函数()y f x=在某个区间可导，如果在这个区间内'()0f x>，则()y f x=为这个区间内的；如果在这个区间内'()0f x<，则()y f x=为这个区间内的。
利用导数解释函数增减快慢一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内___________________________，这时，函数的图像比较_________________；反之，函数的图像比较____________________。
【学情调查情境导入】函数()x fy=在给定区间()b a,上，当()b axx,,21∈且21xx<时（1）都有()()21xfxf<，则()x f在()b a,上是________________；（2）都有()()21xfxf>，则()x f在()b a,上是________________。
2、是否有其他判断函数单调性的方法？【问题展示合作探究】探究一：函数的导数与函数单调性的关系下图（1）是高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数()105.69.42++-=ttth的图像，图（2）是速度v随时间变化的函数是()()5.68.9'+-==ttht v的图像。
山东省淄博市淄川般阳中学高中数学《2.1.1 平面》导学
山东省淄博市淄川般阳中学2014高中数学《2.1.1 平面》导学案 新人教A 版必修2学习目标：1. 了解平面的描述性概念； 2. 掌握平面的表示方法和基本画法；3. 掌握平面的基本性质；4. 能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系. 学习过程：【学情调查 情境导入】平面是构成空间几何体的基本要素.那么什么是平面呢?平面如何表示呢?平面又有哪些性质呢? 【问题展示 合作探究】 探究1：平面的概念与表示平面的概念：平面的表示法：如图所示平面可以表示为○1 ; ○2 ;○3 ; 问题：点动成线、线动成面.联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系怎么表示？直线和平面呢? 点、线与平面位置关系的表示法：⑴点A 在平面α内，记作 ；点A 在平面α外，记作 .⑵点P 在直线l 上，记作 ，点P 在直线外，记作 .⑶直线l 上所有点都在平面α内,则直线l 在平面α内(平面α经过直线l ),记作 ；否则直线就在平面外，记作 . 探究2：平面的性质问题：直线l 与平面α有一个公共点P ,直线l 是否在平面α内?有两个公共点呢?公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.用集合符号表示为：问题：两点确定一直线，两点能确定一个平面吗？任意三点能确定一个平面吗？公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 如上图,三点确定平面ABC .问题：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于点B ?为什么?公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 如下图所示：平面α与平面β相交于直线l ，记作l αβ=I .公理3用集合符号表示为 例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系例2 如图在正方体ABCD A B C D ''''-中，判断下列命题是否正确， 并说明理由：⑴直线AC 在平面ABCD 内；⑵设上下底面中心为,O O '，则平面AA C C ''与平面BB 'D D '的交 线为OO '；⑶点,,A O C '可以确定一平面； ⑷平面AB C ''与平面AC D '重合.【达标训练 巩固提升】1. 下面说法正确的是（ ）.①平面ABCD 的面积为210cm ②100个平面重合比50个平面重合厚③空间图形中虚线都是辅助线④平面不一定用平行四边形表示.A.①B.②C.③D.④ 2. 下列结论正确的是（ ）.①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面②经过两条相交直线，可以确定一个平面③经过两条平行直线，可以确定一个平面④经过空间任意三点可以确定一个平面 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3. 如图在四面体中，若直线EF 和GH 相交，则它们的交点一定（ ）. A.在直线DB 上B.在直线AB 上C.在直线CB 上D.都不对4. 直线12,l l 相交于点P ，并且分别与平面γ相交于点,A B 两点，用符号表示为____________________. 【知识梳理 归纳总结】（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？【预习指导 新课链接】空间直线与直线之间的位置关系O 'OB 'C 'D 'A 'DCBAH G D CFEB A。
山东省淄博市淄川般阳中学高中数学 第1章《三角函数》
山东省淄博市淄川般阳中学高中数学第1章《三角函数》1.4.2正弦函数、余弦函数的图象和性质1学案新人教A版必修4学习目标1、掌握正弦函数、余弦函数的周期性，周期，最小正周期。
2、掌握正弦函数，余弦函数的奇偶性。
学习过程课前预习（预习教材P34~ P38，找出疑惑之处）1、(1) 正弦函数的图象是有规律____ __出现的；(2) 规律是：每隔___ _重复出现一次（或者说每隔___ _重复出现）；(3) 这个规律由诱导公式___ ______ 可以说明.结论：象这样一种函数叫做周期函数.2、正弦函数，余弦函数都是周期函数，周期是_________，最小正周期是________。
3、由诱导公式_________________________可知正弦函数是奇函数；由诱导公式_______________________可知，余弦函数是偶函数。
4、正弦函数图象关于直线_______ ____轴对称，关于点_______ ___中心对称；余弦函数图象关于直线________________轴对称，关于点_______ ___中心对称。
5、正弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间_________________上都是减函数，其值从1减少到－1。
6、余弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间______________上都是减函数，其值从1减少到－1。
7、正弦函数当且仅当x＝___________时，取得最大值1,当且仅当x=_________________时取得最小值－1。
8、余弦函数当且仅当x＝______________时取得最大值1；当且仅当x=______ ____时取得最小值－1。
课中一、学情调查，情景导入任作出函数y=sinx与y=cosx，x∈R的图象，图象的分布有什么特点？正弦、余弦函数的图象关键的五点是哪些？二、问题展示，合作探究探究一：例1. 求下列三角函数的周期：（1）y=3cosx,x∈R (2)y=sin2x,x∈R (3)12cos()26y xπ=-x∈R一般结论: ：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈的周期T=_________ 例2求出下列函数的最大值、最小值，并写出取最大值、最小值时自变量x 的集合。
高考数学一轮总复习 第二单元 函数 课时1 函数及其表示教案 文(含解析)
即为2－(x＋1)＜2－2x，即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当 时，不等式组无解．
③当 即－1＜x≤0时，f(x＋1)＜f(2x)，
即1＜2－2x，解得x＜0.因此不等式的解集为(－1,0)．
④当 即x＞0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ，其值域等于各段函数的值域的 并集 .
热身练习
1．考察下列图象：
其中能够作为函数图象的是 A，B，C .
抓住函数的定义进行判断．对每一个x，都有唯一确定的y与之对应才构成函数关系，表现在图象上为在定义域范围内与x轴垂直的直线与图象有且只有1个交点，由此可知，A，B，C都能作为函数图象，D不能作为函数图象．
所以f(x＋1)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x(x≥0)．
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
由f(8)＝15，得8a＋b＝15，①
又f(14)，f(5)，f(2)成等比数列，
所以[f(5)]2＝f(2)·f(14)，
得(5a＋b)2＝(14a＋b)(2a＋b) 3a2＋6ab＝0.
因为a≠0，所以a＝－2b，②
若0<a<1，a＋1>1，由f(a)＝f(a＋1)得
＝2(a＋1－1)，所以a＝ ，
所以f( )＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
若a≥1，a＋1>1，由f(a)＝f(a＋1)得
2(a－1)＝2(a＋1－1)，此方程无解．
综上，f( )＝6.
C
(1)分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则．
C．[－1,2] D．(－2,1]
山东省淄博市淄川般阳中学高中数学 函数的奇偶性学案 新人教A版必修1
函数的奇偶性 学习目标 1. 理解函数的最大（小）值及其几何意义；2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.学习过程一、学情调查、情境导入复习1：指出下列函数的单调区间及单调性.（1）2()1f x x =-； （2）1()f x x =复习2：对于f (x )＝x 、f (x )＝x 2、f (x )＝x 3、f (x )＝x 4分别比较f (x )与f (－x )的关系.二、问题展示、合作探究探究1：在同一坐标系作出:函数的图象： 2()f x x =、()||f x x =.问题：(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？(2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？1. 偶函数的定义一般地，如果对于函数f(x)的 ，都有 ，那么f(x)就叫做偶函数 偶函数的图象关于 对称.探究1：在同一坐标系作出:函数的图象：（1）()f x x =、1()f x x =问题：(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？(2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？2. 奇函数的定义一般地，如果对于函数f(x)的 ，都有 ，那么f(x)就叫做奇函数 奇函数的图象关于 对称思考1: ① 函数2)(x x f = )31(≤≤-x 是偶函数吗?②奇函数、偶函数的定义域必须具有什么特点？③若是奇函数，则有0)0(=f 恒成立么？④若奇函数在x=0有意义，则有0)0(=f 恒成立么？⑤偶函数有类似的结论吗？例1 判别下列函数的奇偶性：(1)4)(x x f = (2)5)(x x f = (3)x x x f 1)(+= (4)21)(x x f =小结：判别方法，先看定义域 对称，再计算 ，并与()f x 进行比较. 思考2：课本 35P 中间的思考题(在书上完成)三、达标训练、巩固提升 （时量：5分钟 满分：10分）计分：A1.P36页练习1A2.判别下列函数的奇偶性：（1）f (x )＝|x ＋1|+|x －1|； （2）f (x )＝x ＋1x ；（3）f (x )＝21xx +； （4）f (x )＝x 2, x ∈[-2,3].B1.P36页练习3B 2. 对于定义域是R 的任意奇函数()f x 有（ ）.A ．()()0f x f x --=B ．()()0f x f x +-=C ．()()0f x f x -=gD ．(0)0f ≠C1. 已知()f x 是定义(,)-∞+∞上的奇函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数. 下列关系式中正确的是（） A. (5)(5)f f >- B.(4)(3)f f >C. (2)(2)f f ->D.(8)(8)f f -=四、知识梳理、归纳总结1、两个定义：2、两个性质： 一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称3、用定义判断函数奇偶性的步骤是四、预习指导、新课链接复习函数的基本性质并完成习题1.2。
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C
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（B） [3,)
A2. 下列各组函数表示同一函数的是（ A． f ( x) C． f x
x 2 , g ( x) ( x ) 2
x x 0 , g t t xx 0
B． f ( x) 1, g ( x) x0 D． f ( x) x 1 , g ( x)
（3）已知 f ( x ) 是一次函数，且满足 3 f ( x 1) 2 f ( x 1) 2 x 17 ，求 f ( x ) ；
一.学情调查，情景导入 1. 函数的有关概念 (1)函数的定义和映射的定义， 构成要素： _________、 _________和____________ (2)相等函数:两个函数的________相同，并且________完全一致 （3）函数的表示方法：___________、___________和___________。 （4）分段函数:若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个 不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。 2、确定函数定义域的依据 （1）若 f(x)是整式，则定义域为________； （2）若 f(x)是分式，则定义域为使分式的__________的 x 取值的集合； （3）当 f(x)是偶次根式时，定义域是使_____________的 x 取值的集合； （4）当 f(x)是 0 的指数幂时，定义域是使_________的 x 取值的集合； （5）若 f(x)的定义域为[a,b]，则函数 f(g(x))定义域由不等式 a≤g(x)≤b 解出; (6)若函数 f(g(x))的定义域为[a,b]， 则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a,b]时的值域。 二.问题展示，合作探究 一、求函数的定义域 例 1：求下述函数的定义域：
授课时间 课题 学习目标
年
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第
周
星期
编号 课型 复习
（1）已知 f ( x 1) x 2 x ，求 f ( x ) ；
2 f ( 1) lg x （2）已知 x ，求 f ( x ) ；
函数的基本概念（一）
学习重点 学习难点
1、 了解构成函数的要素，会求函数的定义域和值域，了解映射的概念 2、 在实际运用中，会根据需要选择适当的方法表示函数 3、 了解简单的分段函数，并能简单运用 函数的定义域和解析式的求解 分段函数的运用
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三. 达标训练，巩固提升 A1. 函数
f ( x) log2 x 2
的定义域是 （C） (4,) ）
（ （D） [4,)
）
（A） (3,)
x2 1 x 1
e x , x 0, 1 g ( x) g ( g ( )) ln x , x 0 , 2 B1. 设 则 ____________
B2 已知 f ( x) 是二次函数,若 f (0) 0 ,且 f ( x 1) f ( x) x 1 ,求 f ( x) 解析式 四．知识梳理，归纳总结 1. 2. 五、预习指导，新课链接 函数的解析式的求解和函数值域的求法 这一节 课我们 学到了 什么？
）
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三．分段函数 设 f ( x) A
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x 2, ( x 10) 则 f (5) 的值为（ f [ f ( x 6)],( x 10)
B
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2x x 2 2 （1） f ( x) （2） f ( x) lg( x 3) lg( x 16). (3 2 x) 0 ； lg(2 x 1)
2 例 2：函数 f ( x) 的定义域为（0,1） ，求 f ( x ) 的定义域
二、求函数的解析式