(北京专用)高考数学一轮复习第二章函数第三节函数的奇偶性与周期性课件文

考点(kǎo diǎn)突破
命题(mìng tí)角度一 函数奇偶性的判断
典例1 (1)(2017北京西城期末)下列函数中,定义域为R的奇函数是
() A.y=x2+1 B.y=tan x C.y=2x D.y=x+sin x (2)(2017北京石景山一模)下列函数中为偶函数的是 ( )
A. f(x)=2x- 1
2.(2017北京朝阳期中(qī zhōnɡ))下列四个函数中,在其定义域上既是奇函数又是
单调递增函数的是 ( C)
A.y=x-1 B.y=tan x
C.y=x3
D.y=2 x
答案 C A.y=x-1是非奇非偶函数,不符合题意. B.y=tan x是奇函数,但在定义域上不是单调函数,不符合题意. C.y=x3是奇函数,在定义域上为增函数,符合题意.
10
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方法技巧 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值 将待求值利用奇偶性转化到已知区间上求解. (2)求解析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求解,或充 分利用奇偶性,构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式. (3)求函数解析式中参数的值 利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系 数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值. (4)画函数图象和判断单调性
(4)若f(x+a)= ,则函1 数的周期为2|a|; (5)若函数f(x)的图f (象x)关于直线x=a与x=b对称,则函数f(x)的周期为2|b-a|; (6)若函数f(x)的图1象既关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)
f (x)
的周期(zhōuqī)是2|b-a|; (7)若函数f(x)的图象既关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x) 的周期(zhōuqī)是4|b-a|; (8)若函数f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期(zhōuqī)为2|a|; (9)若函数f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期(zhōuqī)为4|a|.
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方法技巧 判断函数奇偶性的常用方法 (1)定义法.首先判断定义域是否关于原点对称(duìchèn),然后判断f(-x)与f(x)的关 系. (2)图象法.若图象关于原点对称(duìchèn),则函数为奇函数;若图象关于y轴对称(duìchèn), 则函数为偶函数. (3)性质法.“奇±奇”是奇,“奇·奇”“奇÷奇”是偶;“偶±偶”是偶, “偶·偶”“偶÷偶”是偶;“奇·偶”是奇,“奇÷偶”是奇.
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命题角度二 函数奇偶性的应用 典例2 已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,函数g(x)=f(|x|),若g(lg
x)>g(1),则x的取值范围是 ( )D
A.(0,10) B.(10,+∞)
C.
1 10
,10
D.
∪(01,011,0+∞)
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答案(dáàn) D 解析 ∵g(x)=f(|x|), ∴g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x), ∴g(x)为偶函数. 又∵f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴g(x)在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数, 当|x|越大时,g(x)越大, 若g(lg x)>g(1),则|lg x|>1. ∴lg x>1或lg x<-1, 故x>10或0<x< 1 .故选D.
f(x2)]<0,则f(1C-x)<
0的解集是( ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,2) D.(2,+∞)
答案 C 由于函数f(x-1)是R上的奇函数,故有f(-x-1)=-f(x-1),令x=0,则 有f(-1)=-f(-1),于是(yúshì)有f(-1)=0. ∀x1,x2∈R,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则函数f(x)在R上单调递减,不等式f(1-x)<0 等价于f(1-x)<f(-1),则有1-x>-1,解得x<2,故选C.
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有关周期函数(zhōu qī hán shù)的几个常用结论 周期函数(zhōu qī hán shù)y=f(x)满足: (1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2|a|; (2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2|a|; (3)若f(x+a)=- ,则函数的周期为2|a|;
∴f(-x)=x2-4,又f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-x2+4; 当x<0时,f(x)=x2-4<0, ∴-2<x<2,∴-2<x<0; 当x>0时,f(x)=-x2+4<0, ∴x<-2或x>2,∴x>2, ∴不等式f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).
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考点一 函数奇偶性
D.y=- 2 是奇函数,在定义域上不是单调函数,不符合题意.
x
故选C.
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3.(2016北京(běi jīnɡ)东城二模)已知函数g(x)=f(x)-x是偶函数,且f(3)=4,则f(-3)=
(B)
A.-4 B.-2 C.0 D.4
答案(dáàn) B ∵g(x)=f(x)-x是偶函数, ∴g(x)=g(-x). ∵g(3)=f(3)-3=4-3=1, ∴g(-3)=f(-3)-(-3)=1. ∴f(-3)=-2.
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3.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果(rúguǒ)存在一个非零常数T,使 得当x取定义 域内的任何值时,都有f(x+T)= f(x) ,那么就称函数y=f(x)为 周期函 数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果(rúguǒ)在周期函数f(x)的所有周期中 存 在一个最小 的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
与函数奇偶性有关的结论 (1)如果(rúguǒ)函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其中定 义域D是关于原点对称的非空数集. (3)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自 变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数, 取最值时的自变量也互为相反数.
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1.(2018北京东城期末)下列(xiàliè)函数中为偶函数的是 ( D)
A.y=(x-2)2 B.y=|ln x| C.y=x·cos x D.y=e-|x
答案 D 偶函数需具备(jùbèi):①定义域关于原点对称;②满足f(-x)=f(x),只有 D项符合,故选D.
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1-2 (2015北京海淀一模)已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时, f(x)=ex,则
f(-1)= ( D )
A. 1 B.-1 C.e D.-e
e
e
答案(dáàn) D ∵函数f(x)是奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-e.
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1-3 函数(hánshù)f(x-1)是R上的奇函数(hánshù),∀x1,x2∈R,(x1-x2)·[f(x1)-
f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 016)=
.
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答案(dáàn) (1)D (2)1 008
解析 (1)因为f(x)是周期为3的周期函数,
所以f
5 2
=f
=1f
2
3
=4×
1 2
-2=-1,
1 2
2
第三节 函数(hánshù)的奇偶性与周期性
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总纲
教材
(zǒnggāng)
(jiàocái)研
目录
读 1.函数(hánshù)的奇偶性
2.奇（偶）函数的性质
3.周期性
考点突破
考点一 函数奇偶性 考点二 函数周期性的判断与应用
考点三 函数性质的综合问题
第二页，共31页。
教材
(jiàocái)
1-1 (2018北京海淀期中)下列函数(hánshù)中,既是偶函数(hánshù)又在(0,+∞)上
单调递 C
增的是 ( ) A.f(x)=-x2 B.f(x)=3-x C.f(x)=ln|x| D.f(x)=x+sin x
答案 C 符合偶函数的只有(zhǐyǒu)A,C,函数f(x)=-x2在(0,+∞)上单调递减,故 选C.
3
0.
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6.(2015北京东城一模)已知函数(hánshù)f(x)是定义在R上的奇函数(hánshù),当x<0
时,f(x)
=x2-4,则x>0时, f(x)的解析式为
,不等式 f(x)<0的解集为
. 答案(dáàn) f(x)=-x2+4;(-2,0)∪(2,+∞)
解析(jiě xī) 当x>0时,-x<0,
2x
C. f(x)=excos x
B. f(x)=xsin x D. f(x)=x2+sin x
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答案(dáàn) (1)D (2)B 解析 (1)A,y=x2+1是偶函数,不满足(mǎnzú)条件.B,y=tan x是奇函数,但函数的 定义域不是R,不满足(mǎnzú)条件.C,y=2x为增函数,为非奇非偶函数,不满足(mǎnzú) 条 件.D,y=x+sin x是R上的奇函数,满足(mǎnzú)条件,故选D. (2)四个函数的定义域均为R.对于A,易判断是奇函数;对于B, f(-x)=(-x)· sin(-x)=x·sin x=f(x),是偶函数;对于C, f(-x)=e-x·cos(-x)=e-x·cos x,既不是奇 函数也不是偶函数;对于D, f(-x)=(-x)2+sin(-x)=x2-sin x,既不是奇函数也 不是偶函数.
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2.奇(偶)函数的性质 (1)奇(偶)函数的定义域关于原点对称. (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性⑤ 相同 ,偶函 数在关 于原点对称的区间上的单调性⑥ 相反(xiāngfǎn) . (3)在公共定义域内 (i)两个奇函数的和是⑦ 奇函数 ,两个奇函数的积是⑧ 偶 函数 . (ii)两个偶函数的和、积都是⑨ 偶函数 . (iii)一个奇函数,一个偶函数的积是⑩ 奇函数 . (4)若函数f(x)是奇函数且在x第=四页0，共处31页。有定义,则f(0)=0.
研读
1.函数(hánshù)的奇偶性
奇偶性
定义
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ① f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)是偶函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ③ f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)是奇函数
图象特点 关于② y轴 对称
关于④ 原点 对称
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4.(2018北京海淀期中)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当
0<x<1时, f(x)= 1x ,则f 52+f(0)=
答案(dáàn) -2
-2
.
解析 ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,
f
5=2 -f
.52
∵函数f(x)的周期为2,
∴f
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考点二 函数周期性的判断与应用
典例3 (1)设f(x)是定义在R上的周期为3的函数,当x∈[-2,1)时, f(x)=
4则x2 f 2,= 2 ( x 0),
x,0 x 1,
5 2
A.0 B.1 C. 1 D.-1
(2)设定义在R上的函2 数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时, f(x)=2x-x2,则
5 2
=f
12=2.
∴f
52+f(0Hale Waihona Puke =-2.第十一页，共31页。
5.若函数(hánshù)f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数(hánshù),定义域为[a-1,2a],则
a=
,b=
答案
1
. ;0
3
解析 因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a= 1.
3
由函数f(x)= 1 x2+bx+b+1为偶函数,结合偶函数图象的特点(图略),易得b=
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.
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1-1 (2018北京海淀期中)下列(xiàliè)函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递 增的是 ( ) A.f(x)=-x2 B.f(x)=3-x C.f(x)=ln|x| D.f(x)=x+sin x
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