江苏省盐城市建湖县上冈高级中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题
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10．若函数 的图像与 轴只有1个公共点，则实数 =_________.
11．函数 在 是减函数，则实数a的取值范围是______
12．已知函数 的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围为______________.
13．已知函数 的定义域是 ，考察下列四个结论：
①若 ，则 是偶函数
②若 ，则 在区间 上不是减函数
（1）写出利润函数 的解析式（利润 销售收入 总成本）；
（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
18．已知奇函数 的定义域为 ，当 时， .
（1）求 的值；
（2）当 时，求 的解析式；
（3）若有 成立，求 的取值范围.
19．已知函数 a－ .
（1）若 ，求a的值；
（2）求证：不论a为何实数 总是为增函数；
时， ，满足 ，是奇函数，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，根据奇偶性定义求解是基本方法，在 存在时， 是函数为奇函数的必要条件．
5．
【解析】
【分析】
利用列举法表示集合 ，再由 即可得.
【详解】
由 得， 或2，故 ， ，
当 时， 或2，
故答案为：
【点睛】
此题考子集的性质，属于简单题.
6．
【解析】
（3）当 为奇函数时，求 的值域.
20．对于定义在区间D上的函数 ，若存在闭区间 和常数 ，使得对任意 ，都有 ，且对任意 ∈D，当 时， 恒成立，则称函数 为区间D上的“平底型”函数.
（Ⅰ）判断函数 和 是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
（Ⅱ）设 是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式 对一切 R恒成立，求实数 的取值范围；
【分析】
利用指数函数 和幂函数 的单调性求解.
【详解】
因为 在R上递减，所以 ，
因为 在 上递增，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查指数，对数，幂的比较大小，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.
7．
【解析】
【分析】
由题意根据自变量的取值代入运算即可得解.
【详解】
因为 >0，所以 ，
故实数 的范围是 . …………………………………………………8分
（Ⅲ）因为函数 是区间 上的“平底型”函数，则
存在区间 和常数 ，使得 恒成立.
所以 恒成立，即 .解得 或 . ……10分
当 时， .
当 时， ，当 时， 恒成立.
此时， 是区间 上的“平底型”函数. ………………12分
当 时， .
当 时， ，当 时， .
【详解】
（1）∵
∴ ，
∴ 或 ；
（2）由 得 ，
，
根据数轴可得 ，
从而
【点睛】
本题主要考查了集合的交集和补集运算，以及利用集合的包含关系求参数的范围，属于中档题.
17．（1） （2）当工厂生产 百台时，可使赢利最大为 万元．
【解析】
【分析】
(1)先求出 ，再根据 求解；（2）先求出分段函数每一段的最大值，再比较即得解.
所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了分段函数函数值的求解，考查了对数运算的应用，属于基础题.
8．
【解析】
【分析】
由对数函数的性质，令 求解．
【详解】
令 ，则 ， ，所以 图象过定点 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查对数函数的图象与性质，属于基础题．
9．3
【解析】
【分析】
先由幂函数定义 ，再代入点的坐标即可求解.
【解析】
【分析】
用换元法求得函数解析式，由解析式求解．
【详解】
设 ，则 ，代入已知式得 ，即 ，
，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查求函数解析式，解题方法是换元法．求函数解析式还有其他方法：待定系数法，配凑法，方程组法等等．
4．2
【解析】
【分析】
由 求得 ，再代入验证即得．
【详解】
因为 是奇函数，所以 ，解得 ，
（Ⅲ）若函数 是区间 上的“平底型”函数，求 和 的值.
.
参考答案
1．
【解析】
【分析】
先求 ，再求解即可.
【详解】
解： ，
故答案为：
【点睛】
考查集合的运算，基础题
2． .
【解析】
【分析】
使表达式有意义，直接解不等式组可得.
【详解】
由 得： ，
故答案为：
【点睛】
此题考函数定义域的求法，属于简单题.
3．
14．5.
【解析】
【分析】
，设 ，解出 即可得.
【详解】
，
设 ，
则 ， ，
由 得： ，
所以 ，
故在区间[1，100]内这样的企盼数共有5个，
故答案为：5.
【点睛】
此题考对数与指数的运算，属于简单题.
15．（1） ；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）利用完全平方公式和立方差公式计算．
（2）由对数的运算法则计算．
4．已知函数 是奇函数，则实数 的值为________.
5．若 ，当 时，则实数 的取值集合为________________.
6．设 ，将 从小到大排列为________________.
7．已知函数f(x)= ，则 的值为________.
8．函数 ， 且 必过定点_________.
9．已知幂函数 的图象过点 ，则 =__________.
【解析】
【分析】
（1）计算出 ，再由奇函数定义求值；
（2）根据奇函数定义求解；
（3）根据分段函数的解析式分段解不等式．
【详解】
（1）∵函数 为奇函数，∴ ；
（2）设 ，则－
∴ ，
∵函数 为奇函数
∴当 时, ；
（3）因为由 得 或 ，
所以 或 ，
解得 或 ．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，考查对数函数的性质．掌握函数的奇偶性是解题关键．
【详解】
（1） ，所以 ，
；
（2） ．
．
【点睛】
本题考查幂的运算法则和对数的运算法则，掌握幂与对数运算法则是解题基础．
16．（1） 或 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）首先求出集合 ，与集合 进行交集运算，再求补集即可.
（2）求出 中不等式的解集，确定出集合 ，由 可得 ，从而利用数轴列出关于 的不等式，即可得 的取值范围.
11．
【解析】
【分析】
根据单调性确定二次函数对称轴与定义区间位置关系，解得结果.
【详解】
因为函数 在 上是减函数，
所以对称轴 ，即 .
故答案为：
【点睛】
本题考查根据二次函数单调性求参数取值范围，考查基本分析求解能力，属基础题.
12．
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质（二次方程的分布）求解．
【详解】
由题意 ，解得 ．
，则 在 不是减函数，正确，否则有 ，②正确；
不能保证 在 上至少有一个实根，
函数 在 上可能不连续，③错误；
，不能说明 具有奇偶性，可能是 ，而 ，不符合奇偶性的定义，④错误；
正确的命题是②．
故答案为：②．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性，考查零点存在定理，要注意奇偶性与单调性定义中是对定义域（定义区间）内任意的实数满足相应条件，而不是其中一对数满足相应条件，一对数（或有限个数）不能代表所有、任意的数．
（2）若集合 ，满足 ，求实数 的取值范围.
17．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品 （百台），其总成本为 （万元），其中固定成本为 万元，并且每生产 百台的生产成本为 万元（总成本 固定成本 生产成本）．销售收入 （万元）满足 ，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：
解得： ，∴ ，
又∵ ＋1 1,∴0 1,
∴－1 0,
∴
所以 的值域为 .
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，单调性，掌握奇偶性与单调性定义是解题关键，同时考查了指数函数的性质，指数函数 且 的值域是 ．
20．（1） 不是“平底型”函数（2）实数 的范围是 ⑶m＝1，n＝1
【解析】
【解】（1）对于函数 ，当 时， .
当 或 时， 恒成立，故 是“平底型”函数
……………………………………………………………2分
对于函数 ，当 时， ；
当 时， .
所以不存在闭区间 ，使当 时， 恒成立.
故 不是“平底型”函数. ……………………………………4分
（Ⅱ）若 对一切 R恒成立，则 .
因为 ，所以 .又 ，Βιβλιοθήκη Baidu . ……6分
因为 ，则 ，解得 .
【详解】
解：由幂函数定义知， ，又过 ，所以 ， ，
故答案为：3
【点睛】
考查幂函数定义的应用，基础题.
10．0或 .
【解析】
【分析】
分 和 两种情况讨论即可.
【详解】
当 时， ，与 轴只有1个公共点，符合题意，
当 时，由 得： ，
故答案为：0或 .
【点睛】
此题考二次函数和一次函数的图像，属于简单题.
此时， 不是区间 上的“平底型”函数. ………………13分
综上分析，m＝1，n＝1为所求. ………………………………………14分
③若 ，则方程 在区间 内至少有一个实根；
④若 , ，则 是奇函数或偶函数
其中正确的是_________.
14．已知函数 ，定义使 为整数的数 叫做企盼数，则在区间[1，100]内这样的企盼数共有________个.
15．（1）若 ，求 和 的值；
（2）计算 的值.
16．设全集 ，集合 ， .
（1）求 ；
故答案为： ．
【点睛】
本题考查二次方程根的分布，掌握二次函数的性质是解题关键．
13．②
【解析】
【分析】
①由偶函数定义说明命题错误；
②由减函数的定义说明，用反证法思路；
③零点存在定理中要求函数在区间 上是连续的，因此结论不一定正确；
④由奇偶性定义说明．
【详解】
不能说明 是偶函数，例如可能有 ，①错误；
江苏省盐城市建湖县上冈高级中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．如果全集 ， ， ，那么( )=________.
2．函数 的定义域为________.
3．已知 ,且f(m)=6，则实数m=______________.
19．（1）1；（2）证明见解析；（3） .
【解析】
【分析】
（1）直接代入计算即可；
（2）根据增函数的定义证明；
（3）由奇函数的定义求得 ，然后利用指数函数性质求值域．
【详解】
（1）由 = ,代入得 ，解得a=1
（2）∵ =的定义域为R，设 ，
则f
∵ ，∴
∴
即 ，所以不论a为何实数 总为增函数；
（3）∵f(x)为奇函数，∴ ，即
【详解】
解：（1）由题意得 ．
，
（2）当 时，
函数 递减，
（万元）．
当 时，函数 ，
当 时， 有最大值为 （万元）．
所以当工厂生产 百台时，可使赢利最大为 万元．
【点睛】
本题主要考查函数的解析式的求法，考查分段函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18．（1） ；（2） 时， ；（3） 或 .
11．函数 在 是减函数，则实数a的取值范围是______
12．已知函数 的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围为______________.
13．已知函数 的定义域是 ，考察下列四个结论：
①若 ，则 是偶函数
②若 ，则 在区间 上不是减函数
（1）写出利润函数 的解析式（利润 销售收入 总成本）；
（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
18．已知奇函数 的定义域为 ，当 时， .
（1）求 的值；
（2）当 时，求 的解析式；
（3）若有 成立，求 的取值范围.
19．已知函数 a－ .
（1）若 ，求a的值；
（2）求证：不论a为何实数 总是为增函数；
时， ，满足 ，是奇函数，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，根据奇偶性定义求解是基本方法，在 存在时， 是函数为奇函数的必要条件．
5．
【解析】
【分析】
利用列举法表示集合 ，再由 即可得.
【详解】
由 得， 或2，故 ， ，
当 时， 或2，
故答案为：
【点睛】
此题考子集的性质，属于简单题.
6．
【解析】
（3）当 为奇函数时，求 的值域.
20．对于定义在区间D上的函数 ，若存在闭区间 和常数 ，使得对任意 ，都有 ，且对任意 ∈D，当 时， 恒成立，则称函数 为区间D上的“平底型”函数.
（Ⅰ）判断函数 和 是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
（Ⅱ）设 是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式 对一切 R恒成立，求实数 的取值范围；
【分析】
利用指数函数 和幂函数 的单调性求解.
【详解】
因为 在R上递减，所以 ，
因为 在 上递增，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查指数，对数，幂的比较大小，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.
7．
【解析】
【分析】
由题意根据自变量的取值代入运算即可得解.
【详解】
因为 >0，所以 ，
故实数 的范围是 . …………………………………………………8分
（Ⅲ）因为函数 是区间 上的“平底型”函数，则
存在区间 和常数 ，使得 恒成立.
所以 恒成立，即 .解得 或 . ……10分
当 时， .
当 时， ，当 时， 恒成立.
此时， 是区间 上的“平底型”函数. ………………12分
当 时， .
当 时， ，当 时， .
【详解】
（1）∵
∴ ，
∴ 或 ；
（2）由 得 ，
，
根据数轴可得 ，
从而
【点睛】
本题主要考查了集合的交集和补集运算，以及利用集合的包含关系求参数的范围，属于中档题.
17．（1） （2）当工厂生产 百台时，可使赢利最大为 万元．
【解析】
【分析】
(1)先求出 ，再根据 求解；（2）先求出分段函数每一段的最大值，再比较即得解.
所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了分段函数函数值的求解，考查了对数运算的应用，属于基础题.
8．
【解析】
【分析】
由对数函数的性质，令 求解．
【详解】
令 ，则 ， ，所以 图象过定点 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查对数函数的图象与性质，属于基础题．
9．3
【解析】
【分析】
先由幂函数定义 ，再代入点的坐标即可求解.
【解析】
【分析】
用换元法求得函数解析式，由解析式求解．
【详解】
设 ，则 ，代入已知式得 ，即 ，
，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查求函数解析式，解题方法是换元法．求函数解析式还有其他方法：待定系数法，配凑法，方程组法等等．
4．2
【解析】
【分析】
由 求得 ，再代入验证即得．
【详解】
因为 是奇函数，所以 ，解得 ，
（Ⅲ）若函数 是区间 上的“平底型”函数，求 和 的值.
.
参考答案
1．
【解析】
【分析】
先求 ，再求解即可.
【详解】
解： ，
故答案为：
【点睛】
考查集合的运算，基础题
2． .
【解析】
【分析】
使表达式有意义，直接解不等式组可得.
【详解】
由 得： ，
故答案为：
【点睛】
此题考函数定义域的求法，属于简单题.
3．
14．5.
【解析】
【分析】
，设 ，解出 即可得.
【详解】
，
设 ，
则 ， ，
由 得： ，
所以 ，
故在区间[1，100]内这样的企盼数共有5个，
故答案为：5.
【点睛】
此题考对数与指数的运算，属于简单题.
15．（1） ；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）利用完全平方公式和立方差公式计算．
（2）由对数的运算法则计算．
4．已知函数 是奇函数，则实数 的值为________.
5．若 ，当 时，则实数 的取值集合为________________.
6．设 ，将 从小到大排列为________________.
7．已知函数f(x)= ，则 的值为________.
8．函数 ， 且 必过定点_________.
9．已知幂函数 的图象过点 ，则 =__________.
【解析】
【分析】
（1）计算出 ，再由奇函数定义求值；
（2）根据奇函数定义求解；
（3）根据分段函数的解析式分段解不等式．
【详解】
（1）∵函数 为奇函数，∴ ；
（2）设 ，则－
∴ ，
∵函数 为奇函数
∴当 时, ；
（3）因为由 得 或 ，
所以 或 ，
解得 或 ．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，考查对数函数的性质．掌握函数的奇偶性是解题关键．
【详解】
（1） ，所以 ，
；
（2） ．
．
【点睛】
本题考查幂的运算法则和对数的运算法则，掌握幂与对数运算法则是解题基础．
16．（1） 或 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）首先求出集合 ，与集合 进行交集运算，再求补集即可.
（2）求出 中不等式的解集，确定出集合 ，由 可得 ，从而利用数轴列出关于 的不等式，即可得 的取值范围.
11．
【解析】
【分析】
根据单调性确定二次函数对称轴与定义区间位置关系，解得结果.
【详解】
因为函数 在 上是减函数，
所以对称轴 ，即 .
故答案为：
【点睛】
本题考查根据二次函数单调性求参数取值范围，考查基本分析求解能力，属基础题.
12．
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质（二次方程的分布）求解．
【详解】
由题意 ，解得 ．
，则 在 不是减函数，正确，否则有 ，②正确；
不能保证 在 上至少有一个实根，
函数 在 上可能不连续，③错误；
，不能说明 具有奇偶性，可能是 ，而 ，不符合奇偶性的定义，④错误；
正确的命题是②．
故答案为：②．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性，考查零点存在定理，要注意奇偶性与单调性定义中是对定义域（定义区间）内任意的实数满足相应条件，而不是其中一对数满足相应条件，一对数（或有限个数）不能代表所有、任意的数．
（2）若集合 ，满足 ，求实数 的取值范围.
17．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品 （百台），其总成本为 （万元），其中固定成本为 万元，并且每生产 百台的生产成本为 万元（总成本 固定成本 生产成本）．销售收入 （万元）满足 ，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：
解得： ，∴ ，
又∵ ＋1 1,∴0 1,
∴－1 0,
∴
所以 的值域为 .
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，单调性，掌握奇偶性与单调性定义是解题关键，同时考查了指数函数的性质，指数函数 且 的值域是 ．
20．（1） 不是“平底型”函数（2）实数 的范围是 ⑶m＝1，n＝1
【解析】
【解】（1）对于函数 ，当 时， .
当 或 时， 恒成立，故 是“平底型”函数
……………………………………………………………2分
对于函数 ，当 时， ；
当 时， .
所以不存在闭区间 ，使当 时， 恒成立.
故 不是“平底型”函数. ……………………………………4分
（Ⅱ）若 对一切 R恒成立，则 .
因为 ，所以 .又 ，Βιβλιοθήκη Baidu . ……6分
因为 ，则 ，解得 .
【详解】
解：由幂函数定义知， ，又过 ，所以 ， ，
故答案为：3
【点睛】
考查幂函数定义的应用，基础题.
10．0或 .
【解析】
【分析】
分 和 两种情况讨论即可.
【详解】
当 时， ，与 轴只有1个公共点，符合题意，
当 时，由 得： ，
故答案为：0或 .
【点睛】
此题考二次函数和一次函数的图像，属于简单题.
此时， 不是区间 上的“平底型”函数. ………………13分
综上分析，m＝1，n＝1为所求. ………………………………………14分
③若 ，则方程 在区间 内至少有一个实根；
④若 , ，则 是奇函数或偶函数
其中正确的是_________.
14．已知函数 ，定义使 为整数的数 叫做企盼数，则在区间[1，100]内这样的企盼数共有________个.
15．（1）若 ，求 和 的值；
（2）计算 的值.
16．设全集 ，集合 ， .
（1）求 ；
故答案为： ．
【点睛】
本题考查二次方程根的分布，掌握二次函数的性质是解题关键．
13．②
【解析】
【分析】
①由偶函数定义说明命题错误；
②由减函数的定义说明，用反证法思路；
③零点存在定理中要求函数在区间 上是连续的，因此结论不一定正确；
④由奇偶性定义说明．
【详解】
不能说明 是偶函数，例如可能有 ，①错误；
江苏省盐城市建湖县上冈高级中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．如果全集 ， ， ，那么( )=________.
2．函数 的定义域为________.
3．已知 ,且f(m)=6，则实数m=______________.
19．（1）1；（2）证明见解析；（3） .
【解析】
【分析】
（1）直接代入计算即可；
（2）根据增函数的定义证明；
（3）由奇函数的定义求得 ，然后利用指数函数性质求值域．
【详解】
（1）由 = ,代入得 ，解得a=1
（2）∵ =的定义域为R，设 ，
则f
∵ ，∴
∴
即 ，所以不论a为何实数 总为增函数；
（3）∵f(x)为奇函数，∴ ，即
【详解】
解：（1）由题意得 ．
，
（2）当 时，
函数 递减，
（万元）．
当 时，函数 ，
当 时， 有最大值为 （万元）．
所以当工厂生产 百台时，可使赢利最大为 万元．
【点睛】
本题主要考查函数的解析式的求法，考查分段函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18．（1） ；（2） 时， ；（3） 或 .