5.一次函数与二次函数
一次函数 二次函数
一次函数与二次函数一次函数和二次函数是初等数学中最基本的函数类型，它们在现实生活中有着广泛的应用。
本文将对一次函数和二次函数的定义、性质、图像以及应用进行详细的介绍。
一、一次函数1. 定义：一次函数是指形如y = ax + b（a≠0）的函数，其中a和b为常数，x为自变量，y为因变量。
一次函数又称为线性函数。
2. 性质：（1）一次函数的图像是一条直线，且斜率为a，截距为b。
（2）当a>0时，一次函数的图像从左到右呈上升趋势；当a<0时，一次函数的图像从左到右呈下降趋势。
（3）当a>0且b>0时，一次函数的图像在第一象限；当a>0且b<0时，一次函数的图像在第四象限；当a<0且b>0时，一次函数的图像在第二象限；当a<0且b<0时，一次函数的图像在第三象限。
3. 图像：一次函数的图像是一条直线，其斜率和截距可以通过公式y = ax + b计算得出。
4. 应用：一次函数在实际生活中有很多应用，例如速度与时间的关系、距离与时间的关系、价格与数量的关系等。
二、二次函数1. 定义：二次函数是指形如y = ax² + bx + c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
二次函数又称为抛物线函数。
2. 性质：（1）二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标为（-b/2a, f(-b/2a)），对称轴为x = -b/2a。
（2）当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
（3）当Δ= b² - 4ac > 0时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ= b² - 4ac = 0时，二次函数有两个相等的实根；当Δ= b² - 4ac < 0时，二次函数没有实根。
3. 图像：二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标、对称轴和判别式可以通过公式y = ax² + bx + c计算得出。
二次函数与一次函数
二次函数与一次函数一、二次函数的定义与性质二次函数是指函数的自变量为二次方的多项式函数，一般的二次函数可以表示为：\[f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0) \]其中，a、b、c为实数，且a不等于0。
在这个函数中，x是自变量，f(x)是函数的值。
1. 定义二次函数中的平方项\(ax^2\)是二次项，一次项\(bx\)是一次项，常数项c是常数。
对于二次函数，它的图像通常是一个开口向上或者开口向下的抛物线。
2. 函数图像：开口方向和顶点位置根据二次函数的形式，可以得知函数的开口方向和顶点位置：- 如果a大于0，表明抛物线的开口向上；- 如果a小于0，表明抛物线的开口向下。
而抛物线的顶点位置可以通过一定的方法求解，其中，顶点的横坐标为\(x_v = \frac{-b}{2a}\)，纵坐标为\(y_v = f(x_v)\)。
3. 对称轴对于二次函数的图像，存在一条对称轴，即抛物线左右两侧的图像关于该直线对称。
对称轴的方程可以表示为\(x = \frac{-b}{2a}\)。
4. 判别式与根的情况对于二次函数的解析式\(f(x) = ax^2 + bx + c\)，其中判别式为\(D =b^2 - 4ac\)。
根据判别式可以判断二次函数的根的情况：- 当D大于0时，函数有两个不相等的实根；- 当D等于0时，函数有两个相等的实根；- 当D小于0时，函数无实根。
5. 求根公式当二次函数存在实根时，可以根据求根公式得到实根的解析表达式：\[ x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \quad x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \]二、一次函数的定义与性质一次函数是指函数的自变量是一次方的多项式函数，一般的一次函数可以表示为：\[ f(x) = kx + b \]其中，k和b为实数。
1. 定义一次函数是指只有一次方的函数，它的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，b表示直线与y轴的交点。
一次函数与二次函数综合题
一次函数与二次函数综合题1. 一次函数与二次函数的定义和特点：一次函数是指形如y = ax + b的函数，其中a和b是常数，a不等于0。
一次函数的图像是一条直线，具有恒定的斜率。
二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是常数，a不等于0。
二次函数的图像是一个抛物线，具有顶点和对称轴。
2. 一次函数与二次函数的图像和图像性质：一次函数的图像是一条直线，可以通过两个点确定。
一次函数的图像是线性的，斜率代表了直线的倾斜程度，截距代表了直线与y轴的交点。
二次函数的图像是一个抛物线，可以通过顶点和对称轴确定。
二次函数的图像的开口方向由二次项的系数a的正负决定，开口向上为正，开口向下为负。
3. 一次函数与二次函数的解和零点：一次函数的解是指使得函数等于零的x值，即解方程ax + b = 0。
一次函数的解只有一个，可以通过解方程求得。
二次函数的解是指使得函数等于零的x值，即解方程ax^2 + bx + c = 0。
二次函数的解可能有两个，可以通过求根公式或配方法求得。
4. 一次函数与二次函数的最值：一次函数没有最值，因为直线是无限延伸的。
二次函数的最值是指抛物线的最高点（最大值）或最低点（最小值），可以通过求顶点的坐标来确定。
5. 一次函数与二次函数的应用：一次函数的应用广泛，例如在物理学中描述匀速直线运动的位移与时间的关系，经济学中描述成本与产量的关系等。
二次函数的应用也很多，例如在物理学中描述抛体运动的轨迹，经济学中描述成本与产量的关系中存在固定成本和变动成本等。
综上所述，一次函数与二次函数在定义、图像、解、最值和应用等方面有着不同的特点和性质。
它们在数学和实际问题中都有重要的应用价值。
5 一次函数与二次函数-函数的最值--李惟峰
5.函数的最值对于一次函数,)(b kx x f y +==当k>0时，y 随着x 的增大而增大，则在给定的b x a ≤≤上，有最大值f (b)，最小值f （a ）．当k<0时，y 随着x 的增大而减小，则在给定的b x a ≤≤上，有最大值f(a)，最小值f(b)．对于二次函数),0()(2=/++==a c bx ax x f y 取最值的情况如下．1．若自变量为任意实数，则有两种情况：(1)当abx a 2,0-=>时，有 ⋅-⋅=ab ac y 442最小值(2)当abx a 2,0-=<时，有⋅-=ab ac y 442最大值2．若自变量x 的取值范围为).(n m n x m =/≤≤时，则要结合二次函数的对称轴与给定范围的三种位置来分析：(1)对于a>0．①当abn m 2-≤<时，因对称轴的左侧y 是随x 的增大而减小的，即单调递减，所以最大值为f(m)，最小值为f(n)；②当n a b m <-<2时，因范围过了抛物线的对称轴，所以最小值为),2(abf -而最大值为)()(n f m f 、的较大者；③当n m ab<≤-2时，因对称轴的右侧y 是随x 的增大而增大的．即单调递增，所以最大值为f(n)，最小值为f （m ）． (2)对于a<0．①当a bn m 2-≤<时，对称轴的左侧是单调递增的，所以最大值为f(n)，最小值f (m)； ②当n a b m <-<2时，最大值为),2(a bf -最小值为f(m)、f(n)的较小者；③当n m ab<≤2-时，对称轴的右侧是单调递减的，所以最大值为f(m)，最小值为f(n)． 例1 设),0)(1(1)(>-+=a x aax x f 求f(x)在10≤≤x 时的最小值g （a ）．分析 函数f (x)是一次函数，而⋅-=a a k 1由于aa 1-不知是大于O ，还是小于0，故需对其进行分段讨论，解 原函数化为⋅+-=ax a a x f 1)1()( 当a>l 时，,01>-aa 则函数f(x)为单调递增，这时f(x)在≤≤x 01上的最小值应在0=x 处取到，即;1)0(af =当O<a<l 时，,01<-aa 则函数f(x)为单调递减，这时f(x)在≤01≤x 上的最小值应在x=l 处取到，即;)1(a f =当1=a 时，ax f 1)(=是常量函数， 所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧<<⋅≥=).10(),1(1)(a aa aa g例2 已知函数4)2.(2)3()(2--+-=x a x a x f 的最大值小于,21a 的取值范围， 解 4)2(2)3()(2--+-=x a x a x f⋅-+-+----=3168)32)(3(22a a a a a x a因为f(x)有最大值，且最大值小于,21故有 ⎪⎩⎪⎨⎧<-+-<-,23168,032i a a a a解得.527<<a 例3 设m 是不小于-1的实数，使得关于X 的方程+-+x m x )2(220332=+-m m 有两个不相等的实数根⋅21x x 、(1)若,62221=+x x 求m 的值；(2)求22212111x mx x mx -+-的最大值． （全国初中数学竞赛）解 因为方程有两个不相等的实数根，所以)33(4)2(422+---=∆m m m44+-=m,0>则 ,1<m 结合题设知 .11<≤-m(1) 因为 2221x x +212212)(x x x x -+=)33(2)2(422+---=m m m ,101022+-=m m所以 ,6101022=+-m m 即 ,041022=+-m m解得 ⋅±=2175m 由于 ,11<≤-m 所以 ⋅-=2175m (2)因为 22212111x mx x mx -+- )1)(1()]1()1([21122221x x x x x x m ---+-=212121212221)(1)]([x x x x x x x x x x m ++-+-+=)33()42(1)]42)(33()10102[(222+-+-+-+-++-=m m m m m m m m m m m m m m m --+-=223)2882( ,)1()13)(1(22-+--=m m m m m m可设 )13(22+-=m m y,25)23(22--=m由y 在-1≤m<l 上是递减的，所以当1-=m 时，原式有最大值为10.例4 设p 是实数，二次函数P Px x y --=22的图象与x 轴有两个不同的交点).0,()0,(21x B x A 、(1)求证：;032221>++P x Px(2)若A 、B 两点之间的距离不超过｜2p-3 ｜，求p 的最大值．（全国初中数学联赛）解 (1)因为二次函数与x 轴有两个不同的交点，则,044)(4)2(22>+=---=∆P P P P所以 P x Px 32221++P P Px Px 32221+++= P x x P 4)(221++=P P P 4)2(2+= .0442>+=P P(2)因为 ||||21x x AB -=212214)(x x x x -+=,442P P +=由题意得 |,32|44-≤+P P P 两边平方得 ,91244422+-≤+P P P P所以 ,169≤P 即p 的最大值为⋅169 例5 a 、b 是正数，并且抛物线b ax x y 221++=和++=bx x y 222a 都与x 轴有公共点，求22b a+ 的最小值， 解 由题意得⎪⎩⎪⎨⎧≥-=∆≥-=∆,044,082221a b b a 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥.,822a b b a又因为a 、b 都为正数，所以有,646424a b a ≥≥ 即 .4≥a同理有 ,42≥≥a b即 .2≥b因此 ,2,4min min ==b a故 .20416)(22=+=+n m r b a例6 已知a 、b 为实数，求b a b ab a 2.22--++的最小值．解 设,222b a b ab a y --++=整理成关于a 的一元二次方程为.02)1(22=--+-+y b b a b a因为a 为实数，即方程有实根，则,0)2(4)1(22≥----=∆y b b b整理得 .014632≤---y b b上式表示函数 14632---=y b b u 有非正值，于是函数的判别式应大于或等于O ，即,0)14(3436≥+⨯+y解得 .1-≥y当1-=y 时，得,1=b 从而求得.0=a所以当1,0==b a 时,有最小值-1．说明 注意列式子中含有ab 项，所以通常可考虑换元．令,v u a +=,v u b -=则可消去ab 项，转化为u 、v 的式子，即)(2)()())(()(22zJ u v u v u zJ u v u v u y --+--+-+++=v u v u +-+=33221)21()21(322-++-=v u,1-≥当且仅当21=u 且21-=v 时，有最小值-1． 例7 求函数x x y 21-+=的最大值，解 令,21x t -=则,0,212≥-=t t x 于是有t t y +-=212),0(21212≥++-=t t t对称轴为t=l ，由函数的图象知，当t=l 时，即x=0时，y 有最大值1．评注 形如e dx c b ax y +++=的函数，通常设,0≥+=e dx t 化原函数为关于t 的一元二次函数形式，再配方求最值．例8 求函数|]211[1|)(+-=x x x f 的最大值，并求此时的x 值，其中[a]表示不超过a 的最大整数． 解 设211,]211[+=+ x n x 的小数部分为a(O≤a<1)，则有 ,211α+=+n x由题意得⋅-=-⋅=+-=|21||1||]211[1|)(αn x x x x f 又因为 ,212121<-≤-α所以 ⋅≤21)(x f故当a=0，即122-=k e x (k∈Z)时，f(x)的最大值为⋅21例9 已知1)(2-+=ax x x f 在区间[0，3]上有最小值-2，求a 的值，分析 因函数的对称轴为,2ax -=区间[0，3]和对称轴的位置关系不知，故应根据图象，分三种情况加以讨论．解 由题意，对称轴为⋅-=2a x (1)当02⋅≤-a时，即a≥0时，区间[0，3]在对称轴的右侧，则f(x)的最小值为 ,1)0(-=f不合题意，舍去．(2)当320<-<a时，即06<<-a 时，则f(x)的最小值为 ,21)2()()2(2-=--+-=-aa a f解得 .2±=a因为,06<<-a 所以取.2-=a(3)当32≥-a时，即6-≤a 时，区间在对称轴的左侧，则f(x)的最小值为 ,2139)3(-=-+=a f解得 ,310-=a 又因为,6-≤a 故舍去．综上所述，得.2-=a 例10 若函数21321)(2+-=x x f 在区间[a ，b]上的最小值为2a ，最大值为2b.求a 、b 的值， 解 函数的对称轴为x-0，下面分三种情况加以讨论：(1)若b a <≤0时，即函数f(x)在区间[a ，b]上单调递减，有⎩⎨⎧==,2)(,2)(a b f b a f即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-,221321,22132122a b b a解得 ⎩⎨⎧⋅==.3,1b a(2)若a<O<b 时，则由函数图象知，f(x)在[a ，0]上单调递增，在[O ，b]上单调递减，即区间过了对称轴，因此f(x)在0=x 处有最大值2b,即,2132=b 得 ⋅=413b而函数的最小值在a x =或b x =处取得，又由于a<O ，并且,03239213)413(21)(2>=+-=b f故函数的最小值在a x =处取得，即,2)(a a f =则有,2132122+-=a a解得 172--=a 或172+-=a （舍去）．从而 ⎪⎩⎪⎨⎧⋅=--=413,172b a (3)当a<b≤O 时，即f(x)在区间[a, b]上单调递增，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-.221321,22132122b b a a 由于a 、b 是方程x x 2213212=+-的两个根，又因为两根之积为负数，即两根异号，这与 0≤<b a 矛盾，故不存在，综合上述，得⎩⎨⎧==,3,1b a 或⎪⎩⎪⎨⎧⋅=--=413,172b a 例11 已知函数,1)1(2)2(22+--+=x a x a y 其中自变量x 为正整数，a 也是正整数，求x 为何值时，函数值最小．解 由题意，得,2)1(1)21)(2(2222+--++--+=a a a a x a y其对称轴为 ,212+-=a a x 即 ⋅++-=23)2(a a x 因为a 为正整数，故,1230≤+<a ,12122-≤+-<-a a a a因此，函数的最小值只可能在x 取21,1,22+---a a a a 时达到．(1)当1212-=+-a a a 时，即,1=a 此时1=x 时函数取得最小值． (2)当12122-<+-<-a a a a 时，即a>l ，由于x 为正整数，而212+-a a 为小数，故212+-=a a x 不能达到最小值．当2-=a x 时，则;1)2)(1(2)2)(2(22+----+=a a a a y i当1-=a x 时，则.1)1)(1(2)1)(2(222+----+=a a a a y故 .421a y y -=-(i)当,04>-a 即,.41<<a 且a 为正整数时，x 取,1-a y 有最小值;2y (ii)当,04=-a 即4=a 时，有,21y y =此时x 取2或3，y 有最小值； (iii)当,04<-a 即4>a 时，且a 为正整数时，x 取y a ,2-有最小值⋅1y 综上可得，当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅-=<<-==)4(2),4(32),41(1),1(1a a a a a a x 或（其中a 为正整数）时，函数值最小．习 题 51 如果,22||≤x 求函数12++-=x x y 的最小值， 2 设x 、y 、z 为三个非负实数，且满足.132,523=-+⋅=++z y x z y x 求x y x u 73-+=的最大值和最小值．3 二次函数x a x y )1(22++=的图象永远在二次函数b x x y -+=2的图象的上方，求点（a ，b ）所处的范围．4 求函数132)(+-+=x x x f 的值域．5 已知二次函数42)3(22++++=a x a x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为α、β，当实数α变动时，求22)1()1(-+-βα的最小值．6 已知,1222=+y x 求252y x +的最大值和最小值.7 求143322++++=x x x x y 的最大值，8 已知函数),0(12)(2=/+-=a ax ax x f 求f(x)在闭区间[-1，2]上的最值． 9 已知不等式b x x a ≤+-≤642的解为a≤x≤b，求a 与b 的值．10 已知函数)(x f y =表示 1-x 与|34|2+-x x 两者中较大的一个，求在50≤≤x 内函数x x f -)(的取值范围．11 把一张边长为a 的正方形纸ABCD 折起来，使B 点落在AD 上，问B 点落在AD 什么位置上时，使折起来的面积最小，并求出这最小面积的值．12 设x 、y 都是正整数，且使⋅=++-y x x 110116求y 的最大值．13 已知函数.42)4()(2+--+=k x k x x f(1)若对于任意0)(],1,1[>-∈x f k 恒成立，求x 的取值范围； (2)若对于任意0)(],1,1[>-∈x f x 恒成立，求k 的取值范围．参考答案。
二次函数与一次函数
二次函数与一次函数二次函数和一次函数是数学中两个重要的函数类型。
它们在各个领域有着广泛的应用和独特的特性。
本文将对二次函数和一次函数进行介绍和比较，并探讨它们之间的关系。
一、二次函数的定义和特点二次函数是指形如y = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
其主要特点如下：1. 首先，二次函数的最高次幂是2，所以其图像是平面上的一个曲线。
2. 二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。
3. 当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
4. 二次函数的图像在抛物线的顶点处取得极值，也是函数的最值点。
二、一次函数的定义和特点一次函数是指形如y = kx + b的函数，其中k、b为常数且k≠0。
一次函数的图像通常是一条直线。
其主要特点如下：1. 首先，一次函数的最高次幂是1，所以其图像是平面上的一条直线。
2. 一次函数的图像没有对称轴。
3. 一次函数的斜率k决定了直线的倾斜方向和角度。
4. 一次函数的截距b决定了直线与y轴的交点位置。
三、二次函数与一次函数的比较二次函数和一次函数在很多方面都有所区别，可以从以下几个方面进行比较：1. 形状：二次函数的图像是抛物线，而一次函数的图像是一条直线。
2. 对称性：二次函数的图像是关于抛物线的对称轴对称的，而一次函数的图像没有对称轴。
3. 极值点：二次函数的图像在抛物线的顶点处取得极值，而一次函数的图像没有极值点。
4. 斜率：二次函数的斜率是不断变化的，而一次函数的斜率是固定的。
5. 变化趋势：二次函数的图像可以开口向上或向下，而一次函数的图像斜率唯一确定了变化的方向。
虽然二次函数和一次函数有着不同的特点，但是它们之间也存在一定的联系和应用。
例如，在物理学中，二次函数可以描述物体的运动轨迹；而一次函数可以描述常量速度的直线运动。
在经济学中，二次函数可以描述成本和收益的关系；而一次函数可以用来描述线性的需求和供给关系。
二次函数与一次函数的比较
二次函数与一次函数的比较在数学中，函数是一种用于描述变量之间关系的工具。
二次函数和一次函数是其中两种常见的函数类型。
本文将探讨二次函数与一次函数之间的比较，并讨论它们在数学和现实生活中的应用。
一、函数定义与特性1. 二次函数二次函数是指最高次项为二次的多项式函数。
一般形式为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于零。
二次函数的图像为抛物线，可以是开口向上或向下的。
如果a大于零，抛物线开口向上，如果a小于零，抛物线开口向下。
2. 一次函数一次函数是指最高次项为一次的多项式函数。
一般形式为f(x) = mx + n，其中m和n为常数，且m不等于零。
一次函数的图像为直线，斜率m决定了直线的倾斜方向和斜率的大小，截距n决定了直线与y轴的交点。
二、图像比较1. 直线与抛物线的区别一次函数的图像是一条直线，其斜率代表了该直线的特性。
斜率为正的一次函数图像向右上方倾斜，斜率为负的一次函数图像向右下方倾斜。
而二次函数的图像为抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。
2. 变化速率的差异一次函数的变化速率恒定，即图像为直线。
而二次函数的变化速率不断改变，因为抛物线的斜率随着x的变化而变化。
在二次函数图像上，导数代表了函数的变化速率，导数值的变化对应了函数图像的曲率。
三、数学应用比较1. 方程解的个数一次函数和二次函数的解个数存在差异。
一次函数只有一个解，因为它的图像是一条直线，直线与x轴交于一个点。
而二次函数的解可以有0个、1个或2个，这取决于二次函数图像与x轴的交点个数。
2. 曲线的凸凹性一次函数图像在整个定义域上都是直线，不具备凸凹性。
而二次函数图像的凹凸性取决于二次项系数a的正负。
若a>0，则抛物线开口向上，图像凹向上；若a<0，则抛物线开口向下，图像凸向上。
四、现实生活应用比较1. 运动轨迹描述一次函数可以用来描述匀速运动的轨迹，因为匀速运动的速度变化不大。
二次函数可以用来描述自由落体的轨迹，因为自由落体过程中重力加速度恒定，速度变化较大。
教学知识点二次函数与一次函数的比较
教学知识点二次函数与一次函数的比较二次函数与一次函数是高中数学中的重要知识点之一。
它们在数学以及实际问题中的应用广泛而又深远。
本文将就二次函数与一次函数的定义、性质、图像以及应用等方面进行比较和分析。
一、定义与性质1. 二次函数的定义：二次函数是指具有形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。
2. 一次函数的定义：一次函数是指具有形如f(x) = ax + b的函数，其中a、b为实数且a≠0。
3. 关系式：可以看出，二次函数和一次函数的定义中都有类似的构造。
而不同之处在于二次函数多了一个x²的项。
4. 推广性质：二次函数是一次函数的推广，即一次函数是二次函数当a=0时的特殊情况。
这也就意味着，一次函数是二次函数的一种特例。
二、图像比较1. 二次函数的图像：二次函数的图像是一个抛物线，其开口的方向取决于系数a的正负。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点是二次函数的最值点。
2. 一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，具有恒定的斜率k。
当k>0时，直线向上倾斜；当k<0时，直线向下倾斜。
直线和x轴的交点为一次函数的零点。
三、性质比较1. 增减性：一次函数的增减性一直保持一致，即要么递增，要么递减。
而二次函数由于开口方向的不同，其增减性在顶点处有转折，即开口向上时，顶点为最小值点，增减性转折为递增；开口向下时，顶点为最大值点，增减性转折为递减。
2. 最值点：一次函数没有最值点，因为它没有曲线。
而二次函数有顶点，顶点即为其最值点。
当抛物线开口向上时，顶点为最小值点；开口向下时，顶点为最大值点。
3. 零点：一次函数和二次函数都有零点，即函数与x轴相交的点。
不同的是，一次函数只有一个零点，而二次函数可以有两个或零个零点。
二次函数的零点个数取决于其判别式，即b²-4ac的正负。
四、应用比较1. 一次函数的应用：一次函数在现实生活中有许多应用，如速度和时间的关系、直线运动问题等。
一次函数与二次函数
一次函数与二次函数一次函数与二次函数是高中数学中常见的重要概念。
它们在实际生活和各个领域中有广泛的应用。
本文将介绍一次函数和二次函数的定义、特点以及它们的应用。
一、一次函数一次函数又称为线性函数，其定义为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a≠0。
一次函数的图像是一条直线，其斜率为a，截距为b。
一次函数的特点如下：1. 斜率：斜率代表了函数图像上的每一单位自变量变化所对应的因变量的变化。
斜率为正时，函数图像上升，斜率为负时，函数图像下降。
斜率为0时，函数图像水平。
2. 截距：截距表示了直线与纵轴的交点在纵轴上的坐标。
当x=0时，f(x)=b，即截距为b。
3. 变化趋势：一次函数的图像是一条直线，其变化趋势是线性的，即斜率不变。
当斜率为正时，函数图像上升；当斜率为负时，函数图像下降。
一次函数有许多实际应用，如直线运动问题、成本问题等。
例如，在直线运动问题中，一次函数可以描述物体的位置随时间的变化。
在成本问题中，一次函数可以描述成本与生产量的关系。
二、二次函数二次函数的定义为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a≠0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或开口向下的抛物线。
二次函数的特点如下：1. 零点：二次函数的图像与x轴的交点称为零点。
根据一元二次方程的求解方法，可以求得二次函数的零点。
2. 极值点：二次函数的图像的最高点或最低点称为极值点。
当抛物线开口向上时，最低点为极小值点；当抛物线开口向下时，最高点为极大值点。
3. 对称轴：二次函数的图像关于一条垂直于x轴的直线对称。
对称轴的方程为x = -b/2a。
4. 变化趋势：二次函数的图像是一个平滑的曲线，变化趋势会向上或向下。
二次函数有许多实际应用，如弓箭的抛物线轨迹、天文学中的天体运动等。
例如，在弓箭的抛物线轨迹问题中，二次函数可以描述弓箭的轨迹；在天文学中的天体运动问题中，二次函数可以描述行星或彗星的轨迹。
一次函数与二次函数的认识知识点总结
一次函数与二次函数的认识知识点总结一、一次函数的定义和特点：一次函数亦称为线性函数，在数学中表示为y = kx + b的形式，其中k和b为常数。
1. 定义：一次函数是一种变量之间的线性关系，其中x为自变量，y为因变量，k为斜率，b为截距。
2. 斜率：斜率k代表函数曲线的倾斜程度，其定义为曲线上任意两点之间的纵向变化量与横向变化量的比值。
斜率越大，曲线越陡峭，斜率为正表示曲线上升，斜率为负表示曲线下降。
3. 截距：截距b表示函数曲线与y轴的交点，即当x=0时，对应的y值。
4. 图像特点：一次函数的图像是一条直线，特点是直线上的所有点都满足y = kx + b的方程。
二、二次函数的定义和特点：二次函数是一类非线性函数，其中数学表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
1. 定义：二次函数是变量之间的二次关系，其中x为自变量，y为因变量，a、b、c为常数。
2. 平移：二次函数可以通过将一般形式y = ax^2 + bx + c表示为标准形式y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
此变换称为平移，它可以使得二次函数图像在坐标平面上上下左右移动。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点和开口方向确定的，对称轴与平移后顶点的横坐标相等。
4. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定，a > 0时，开口向上；a < 0时，开口向下。
5. 最值点：当二次函数开口向上时，二次函数的最小值为顶点坐标；开口向下时，二次函数的最大值为顶点坐标。
三、一次函数与二次函数的比较：1. 变化速率：一次函数的斜率是恒定的，代表了以恒定速率变化；而二次函数的斜率是不断变化的，代表了以不同速率变化。
2. 图像形状：一次函数的图像是一条直线，而二次函数的图像是一个抛物线。
3. 极值点：一次函数没有极值点，而二次函数有极值点（最大值或最小值）。
4. 开口方向：一次函数没有开口方向的区别，而二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
二次函数与一次函数
二次函数与一次函数二次函数和一次函数是高中数学中的常见函数类型。
本文将从图像、性质和应用三个方面介绍二次函数和一次函数。
一、图像1. 二次函数的图像二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为实数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，可以分为三种情况：情况一：a > 0时，抛物线开口朝上。
此时抛物线的顶点是最小值点。
情况二：a < 0时，抛物线开口朝下。
此时抛物线的顶点是最大值点。
情况三：a = 0时，二次函数退化为一次函数。
2. 一次函数的图像一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k和b为实数且k ≠ 0。
一次函数的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，截距b表示直线与y轴的交点。
二、性质1. 二次函数的性质（1）顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
其中f(x)为二次函数。
（2）对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。
（3）开口方向：二次函数开口方向由系数a的正负决定。
（4）最值：当抛物线开口朝上时，最小值点为顶点；当抛物线开口朝下时，最大值点为顶点。
2. 一次函数的性质（1）斜率：斜率k表示直线的倾斜程度。
当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为0时，直线平行于x 轴。
（2）截距：截距b表示直线与y轴的交点，当x=0时，函数值为b。
三、应用1. 二次函数的应用（1）物体抛体运动：考虑到重力的作用，物体在抛体运动中的轨迹可以由二次函数的图像表示。
（2）开口朝上的喷水池：喷水池的喷水高度可以用二次函数来描述，根据喷水池的造型可以确定二次函数的系数。
2. 一次函数的应用（1）成本与效益分析：通常情况下，成本与效益之间呈线性关系，可以用一次函数进行建模与分析。
（2）人口增长预测：根据过去的人口数据可以用一次函数对未来的人口增长进行预测。
综上所述，二次函数和一次函数在数学中具有重要地位。
二次函数与一次函数的比较与分析
二次函数与一次函数的比较与分析二次函数和一次函数是数学中常见的两种函数类型。
它们在图像上表现出不同的特征和数学性质。
本文将对二次函数和一次函数进行比较与分析，探讨它们的共同点和差异。
一、定义和表达式1. 二次函数：二次函数是一个以自变量的平方作为最高次项的函数。
它的标准形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
2. 一次函数：一次函数又称为线性函数，是一个以一次方程形式表示的函数。
它的标准形式为f(x) = mx + n，其中m和n为常数，且m ≠ 0。
二、图像特征比较1. 二次函数图像：二次函数的图像通常是一个拱形曲线，称为抛物线。
根据二次函数的a的正负，可以判断抛物线的开口方向。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
2. 一次函数图像：一次函数的图像通常是一条直线。
直线的斜率m决定了图像的倾斜方向和变化率。
当m > 0时，直线向上倾斜；当m < 0时，直线向下倾斜。
三、解析式特征比较1. 二次函数解析式：二次函数的解析式中含有二次项、一次项和常数项。
其中，二次项ax²决定了函数的曲率；一次项bx决定了函数的斜率；常数项c决定了函数的纵向平移。
2. 一次函数解析式：一次函数的解析式中只包含一次项和常数项。
其中，一次项mx决定了函数的斜率；常数项n决定了函数的纵向平移。
四、性质比较1. 二次函数性质：a) 零点：二次函数可以有零、一个或两个零点，也就是函数与x轴的交点。
通过求解函数f(x) = 0，可以得到二次函数的零点。
b) 极值点：对于抛物线开口向上的二次函数，最低点称为最小值点；对于抛物线开口向下的二次函数，最高点称为最大值点。
c) 函数的对称轴：二次函数的对称轴是通过最低点或最高点并垂直于x轴的一条直线。
2. 一次函数性质：a) 零点：一次函数只能有一个零点，也就是函数与x轴的交点。
二次函数与一次函数的比较
二次函数与一次函数的比较一次函数和二次函数是高中数学中常见的两种函数形式。
它们在数学模型的建立和分析中扮演着重要的角色。
本文将对二次函数和一次函数进行比较，从函数的定义、图像、性质和应用等方面进行综合分析。
一、函数的定义1. 一次函数：一次函数又称为线性函数，其定义可以表示为f(x) = ax + b，其中a 和b为常数，a称为斜率，b称为截距。
一次函数是二次函数的特例，其二次项系数为零。
一次函数的定义域和值域都是整个实数集，没有任何限制。
一次函数的图像是一条直线，斜率决定了直线的斜率和方向，截距决定了直线与y轴的交点位置。
2. 二次函数：二次函数的定义可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于零。
二次函数的图像是一个抛物线。
二次函数的定义域是整个实数集，因为平方项的平方根没有定义问题。
二次函数的值域取决于二次项系数a的正负情况，若a大于零，则值域是大于等于顶点纵坐标的所有实数；若a小于零，则值域是小于等于顶点纵坐标的所有实数。
二、图像的比较1. 一次函数：一次函数的图像是一条直线。
直线具有明显的斜率和方向，斜率决定了直线的陡峭程度，斜率为正表示直线向上倾斜，斜率为负表示直线向下倾斜。
截距决定了直线与y轴的交点位置，通过截距可以确定直线与y轴的交点坐标。
2. 二次函数：二次函数的图像是一个抛物线。
抛物线的开口方向由二次项系数a的正负决定，若a大于零，则抛物线开口向上，若a小于零，则抛物线开口向下。
抛物线的顶点是函数的最值点，对于开口向上的情况，顶点是函数的最小值点；对于开口向下的情况，顶点是函数的最大值点。
三、性质的比较1. 一次函数：一次函数是一阶多项式函数，其函数图像是直线。
一次函数的增减性与斜率的正负有关，若斜率为正，则函数递增；若斜率为负，则函数递减。
一次函数的解析式中只有一项是x的幂次项，因此其次数为一。
2. 二次函数：二次函数是二阶多项式函数，其函数图像是抛物线。
一次函数与二次函数的关系
一次函数与二次函数的关系一次函数和二次函数是数学中常见的两种函数类型，在数学中起到了重要的作用。
它们之间存在着密切的联系和关系。
本文将就一次函数与二次函数的关系展开讨论。
一、定义和特点1. 一次函数：一次函数又称为线性函数，其定义为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a≠0。
一次函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。
一次函数的图像呈现线性关系，随着x的变化，y的值也会按一定比例的变化。
2. 二次函数：二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，开口的方向取决于二次项的系数a的正负。
二次函数的图像一般呈现非线性关系，具有曲线的特点。
二、图像关系一次函数和二次函数的图像具有不同的形态，但它们之间存在着一些关系。
1. 平移关系：一次函数和二次函数可以通过平移来相互转换。
通过对一次函数的图像进行水平、垂直方向的平移，可以得到二次函数的图像，反之亦然。
这种平移关系体现了一次函数和二次函数之间的相似性和联系。
2. 变换关系：一次函数和二次函数的图像在作一些变换时也存在关系。
例如，通过改变二次函数的二次项系数a的大小和正负可以改变抛物线的开口方向，使其与直线的趋势更接近，从而与一次函数的图像相似。
三、求解方法1. 交点求解：一次函数和二次函数的图像在某些情况下会相交，求解它们的交点有着重要的意义。
通过联立一次函数和二次函数的表达式，可以得到方程 ax + b = cx^2 + dx + f。
通过解这个方程，可以求得一次函数和二次函数的交点坐标，进而研究它们之间的关系。
2. 最值求解：一次函数和二次函数都有其定义域范围内的最值。
通过求解一次函数的最值和二次函数的最值，比较它们的大小关系，可以进一步研究二者之间的关系。
四、应用场景1. 经济学：一次函数和二次函数可以用来描述经济学中的一些现象。
例如，成本函数和收入函数可以分别为一次函数和二次函数，通过研究它们之间的关系，可以得到经济学中的重要结论，如均衡价格、利润最大化等。
一次函数与二次函数的比较与应用
一次函数与二次函数的比较与应用一、引言在数学中，一次函数和二次函数是常见的代数函数类型。
它们在数学应用和实际问题中起着重要的作用。
本文将比较一次函数和二次函数，并探讨它们的应用领域。
二、一次函数概述一次函数又称为一次方程，其一般形式为y = ax + b，其中a和b为常数，且a不为0。
一次函数的图像为一条直线，斜率为a，截距为b。
一次函数的特点包括线性增长，通常用来表示一元线性关系。
三、二次函数概述二次函数是一个关于变量的二次方程，一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不为0。
二次函数的图像为一个抛物线，开口方向取决于a的正负，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的特点包括非线性增长和拥有极值点。
四、一次函数与二次函数的比较1. 增长速度一次函数的增长速度是恒定的，斜率决定了该函数的斜率的大小。
二次函数的增长速度是非恒定的，由于存在平方项，二次函数在x轴两侧的增长速度不同。
2. 极值点一次函数没有极值点。
二次函数的抛物线在开口方向上具有一个极小值或极大值点，称为顶点。
3. 函数图像一次函数的图像是一条直线，直线的特点是方向和斜率。
二次函数的图像是一个抛物线，抛物线的特点是开口方向、顶点位置和对称轴等。
4. 解析式一次函数的解析式只有两个常数项a和b，可以通过求解方程得到函数的值。
二次函数的解析式有三个常数项a、b和c，通常可通过配方法、求解方程或顶点法来获得函数的值。
五、一次函数与二次函数的应用1. 经济学一次函数和二次函数在经济学中的应用非常广泛。
例如，成本函数、利润函数、需求函数等可以使用一次函数或二次函数来进行建模和分析。
2. 物理学在物理学中，一次函数和二次函数可以用来描述各种物理量之间的关系。
例如，速度和时间之间的关系可以由一次函数表示，而自由落体高度和时间之间的关系可以由二次函数表示。
3. 工程学在工程学中，一次函数和二次函数常用于建模和解决实际问题。
二次函数与一次函数
二次函数与一次函数二次函数和一次函数都是高中数学课程中的重要内容，它们在代数学中有着广泛的应用。
本文将详细介绍二次函数和一次函数的定义、特征以及它们之间的关系。
一、二次函数的定义和特征二次函数是一个非常常见的函数形式，其一般表达式为 f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
二次函数的图像通常为一个开口朝上或朝下的抛物线。
1. 零点和解析式二次函数的零点是指使函数等于零的 x 值。
对于二次函数 f(x) = ax²+ bx + c，其零点可以通过求解二次方程 ax² + bx + c = 0 来获得。
一般情况下，二次函数有两个零点，除非该函数没有实数解。
2. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是垂直于函数图像的一条直线，它通过抛物线的最高点或最低点，也称为顶点。
对称轴的方程可以通过将二次函数的 x 换成 -b/2a 来得到。
3. 开口和凹凸性二次函数的开口方向由 a 的正负决定。
当 a > 0 时，抛物线开口朝上；当 a < 0 时，抛物线开口朝下。
凹凸性是指在对应开口的一侧，抛物线的曲率是向上还是向下，与开口的方向相反。
4. 函数图像二次函数的图像形状是一个抛物线。
根据 a 的正负和顶点的位置，抛物线的形态可以有所不同。
当 a > 0 时，抛物线开口朝上，顶点位于图像的最低点；当 a < 0 时，抛物线开口朝下，顶点位于图像的最高点。
二、一次函数的定义和特征一次函数也被称为线性函数，其一般表达式为 f(x) = kx + b，其中 k 和 b 是常数，且k ≠ 0。
一次函数的图像通常是一条直线。
1. 斜率和截距一次函数的斜率 k 表示函数图像的倾斜程度。
斜率可以表示为两个不同点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
截距 b 表示函数图像与 y轴的交点的纵坐标。
2. 与二次函数的关系一次函数与二次函数在数学中有着密切的联系。
一次函数与二次函数的基本性质
一次函数与二次函数的基本性质一次函数和二次函数是数学中常见的两类函数。
它们在数学建模、物理学、经济学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍一次函数和二次函数的基本性质，并比较它们之间的异同点。
一、一次函数的基本性质1. 定义：一次函数又称为线性函数，其定义为f(x) = ax + b，其中a 和b为常数，且a≠0。
一次函数的图像是一条直线。
2. 斜率：一次函数的斜率表示函数图像的倾斜程度，计算方法为斜率k = Δy / Δx = (f(x₂)-f(x₁)) / (x₂-x₁)。
斜率为正时，函数图像向上倾斜，斜率为负时，函数图像向下倾斜，斜率为0时，函数图像水平。
3. 截距：一次函数的截距是函数图像与坐标轴的交点。
当x=0时，函数图像与y轴的交点为y-intercept，即为函数的纵截距。
当y=0时，函数图像与x轴的交点为x-intercept，即为函数的横截距。
4. 性质：一次函数图像是一条直线，其特点是斜率恒定。
另外，一次函数的定义域和值域都是实数集。
二、二次函数的基本性质1. 定义：二次函数又称为抛物线，其定义为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数，且a≠0。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的曲线。
2. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，也就是使得f(x) = 0的x值。
零点可以通过求解二次方程ax² + bx + c = 0来得到。
3. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，其横坐标x = -b / 2a 可以通过公式来计算得到。
4. 对称轴：二次函数的对称轴是函数图像的对称线，过顶点且垂直于x轴。
对称轴的方程为x = -b / 2a。
5. 性质：二次函数的图像是一个开口向上或向下的曲线。
当a>0时，图像开口向上，函数有最小值；当a<0时，图像开口向下，函数有最大值。
二次函数的定义域是实数集，而值域则依赖于a的正负情况。
二次函数与一次函数的比较
二次函数与一次函数的比较二次函数和一次函数是高中数学中常见的两类函数，二次函数是一元二次方程的图像，而一次函数则是一元一次方程的图像。
本文将通过比较二次函数和一次函数在形式、性质和应用等方面的差异，帮助读者更好地理解这两类函数并应用于实际问题中。
一、形式比较1. 二次函数的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
a称为二次项的系数，b称为一次项的系数，c称为常数项。
2. 一次函数的一般形式为：f(x) = kx + m，其中k和m都是常数，且k ≠ 0。
k称为斜率，表示函数直线的倾斜程度；m称为截距，表示函数直线与y轴交点的纵坐标。
二、性质比较1. 增减性：二次函数的增减性由二次项的系数a决定。
若a > 0，则函数图像开口向上，呈现开口向上的抛物线形状，函数值随x的增大而增大；若a < 0，则函数图像开口向下，呈现开口向下的抛物线形状，函数值随x的增大而减小。
一次函数的斜率k决定了其增减性。
若k > 0，则函数图像从左到右递增，函数值随x的增大而增大；若k < 0，则函数图像从左到右递减，函数值随x的增大而减小。
2. 平移性：二次函数和一次函数均可通过平移改变其位置。
二次函数的平移可通过调整顶点坐标来实现，平移后保持抛物线的形状不变；一次函数的平移可通过调整截距来实现，同时保持直线斜率不变。
3. 零点：二次函数和一次函数的零点分别对应方程 f(x) = 0的解。
二次函数可以有0、1或2个不同的零点，而一次函数只有一个零点。
4. 最值：二次函数具有极值，最值的位置由顶点坐标决定。
若a > 0，则抛物线的顶点是最小值点；若a < 0，则抛物线的顶点是最大值点。
而一次函数没有最值，因为其图像为一条直线。
三、应用比较1. 二次函数的应用：二次函数广泛应用于抛物线的研究、物理和工程问题中。
例如，抛物线的运动轨迹、物体的抛射高度、天桥的设计等均可以建模为二次函数来计算和分析。
一次函数与二次函数
一次函数与二次函数一、引言在数学中，一次函数和二次函数是代数学中常见的函数类型。
它们在数学和实际应用中有着广泛的应用和重要性。
本文将分别介绍一次函数和二次函数的定义、性质、图像以及实际应用，并着重探讨它们的区别和联系。
二、一次函数1. 定义一次函数又被称为线性函数，它的定义可以表示为：f(x) = ax + b其中，a和b为常数。
2. 性质（1）斜率和截距：一次函数的斜率用a表示，表示直线与x轴正向所成角的正切值。
截距用b表示，表示直线与y轴交点的纵坐标。
（2）图像：一次函数的图像是一条直线，斜率为正表示向上斜，斜率为负表示向下斜。
（3）特殊情况：当a为0时，一次函数化为常数函数f(x) = b，图像为水平直线。
3. 实际应用（1）经济学：一次函数可以用来描述市场需求曲线、供应曲线以及成本函数等经济学中的关系模型。
（2）物理学：一次函数可以用来描述匀速直线运动的位移、速度、加速度等物理量之间的关系。
三、二次函数1. 定义二次函数是指形如下式的函数：f(x) = ax² + bx + c其中，a、b、c为常数且a ≠ 0。
2. 性质（1）顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))，其中，b为一次项系数，a为二次项系数，f表示函数。
（2）开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定，当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下。
（3）图像：二次函数的图像通常是一个抛物线。
3. 实际应用（1）物理学：二次函数可以用来描述自由落体运动的位置、速度等物理量之间的关系。
（2）金融学：二次函数可以用来模拟金融衍生品的价格变动曲线、风险管理模型等。
四、一次函数与二次函数的区别和联系1. 区别（1）定义：一次函数是一次多项式，二次函数是二次多项式。
（2）图像形状：一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线。
（3）解的个数：一次函数的解只有一个，即一次方程的根；而二次函数可以有零个、一个或两个解，即二次方程的根。
二次函数与一次函数的比较
二次函数与一次函数的比较一、介绍二次函数与一次函数是数学中的两种常见函数形式。
二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c是常数，且a≠0；而一次函数的一般形式为y=mx+n，其中m和n也是常数。
本文将从图像特点、方程式、导数与斜率、应用等多个角度对二次函数和一次函数进行比较。
二、图像特点的比较1. 二次函数的图像特点二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
抛物线关于其对称轴对称。
2. 一次函数的图像特点一次函数的图像通常是一条直线，其斜率决定了直线的倾斜方向和程度。
斜率m>0时，直线向上倾斜；斜率m<0时，直线向下倾斜。
三、方程式的比较1. 二次函数的方程式二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c。
二次函数的方程式有多种变形，如顶点形式y=a(x-h)²+k和因式分解形式y=a(x-p)(x-q)等。
不同形式的方程式可以通过变换和平移得到。
2. 一次函数的方程式一次函数的一般形式为y=mx+n。
一次函数的方程式较为简单，通过斜率和截距可以确定直线的位置和倾斜程度。
四、导数与斜率的比较1. 二次函数的导数与斜率二次函数的导数是一次函数。
对于二次函数y=ax²+bx+c，其导数为y'=2ax+b。
二次函数的导数表示了二次函数曲线在某点处的切线斜率。
2. 一次函数的斜率一次函数的斜率就是一次函数的导数，即斜率为m。
一次函数的斜率恒定，表示了直线的倾斜程度和方向。
五、应用的比较1. 二次函数的应用二次函数在物理学、经济学等领域有广泛应用。
例如，抛物线的形状可以用来描述自由落体运动的轨迹，二次函数也可以用来建模和预测经济增长等。
2. 一次函数的应用一次函数在线性方程组、经济学等领域有广泛应用。
例如，一次函数可以用来描述两个变量之间的线性关系，也可以用来预测和分析经济数据等。
一次函数与二次函数的图像与性质
一次函数与二次函数的图像与性质一次函数和二次函数是数学中常见的函数类型。
它们在图像和性质上有着明显的区别。
本文将分别对一次函数和二次函数的图像及性质进行介绍。
一、一次函数的图像与性质一次函数又称为线性函数，它的表达式为y = ax + b，其中a和b是常数，且a ≠ 0。
一次函数的图像是一条直线，具有以下性质：1. 斜率：一次函数的斜率代表了直线的倾斜程度。
斜率为正值时，直线向右上方倾斜；斜率为负值时，直线向右下方倾斜；斜率为零时，直线为水平线。
2. 截距：一次函数的截距代表了直线与y轴的交点。
当x=0时，直线与y轴的交点为截距b。
3. 线性关系：一次函数的图像是一条直线，表示了两个变量之间的线性关系。
直线方程中的斜率a表示了自变量x单位增加时因变量y的增加量。
二、二次函数的图像与性质二次函数的一般形式为y = ax² + bx + c，其中a、b和c是常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像是一条抛物线，具有以下性质：1. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，也就是函数的根。
零点也是方程y=0的解。
3. 极值点：二次函数的极值点是指函数图像的最高点或最低点。
当抛物线开口向上时，极值点是最低点；开口向下时，极值点是最高点。
4. 对称轴：二次函数的对称轴是指抛物线的中心线，对称轴的方程为x=-b/(2a)。
对称轴把抛物线分为两个对称的部分。
5. 最值：二次函数的最值是指函数图像的最低点或最高点的纵坐标值。
总结：一次函数和二次函数在图像与性质上具有明显的区别。
一次函数的图像是一条直线，具有斜率和截距，表示了线性关系。
而二次函数的图像是一条抛物线，具有开口方向、零点、极值点、对称轴和最值等性质。
了解和掌握一次函数和二次函数的图像与性质，对于数学问题的解决和实际应用具有重要意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(五)一次函数与二次函数
（一）知识归纳
1.一次函数：)0(≠+=a b ax y ，当0>a 时，是增函数；当0<a 时，是减函数；
2..二次函数：
一般式：)0(2
≠++=a c bx ax y ；对称轴方程是x=-a b 2；顶点为（-a b 2，a b ac 442-）； 两点式：))((21x x x x a y --=；对称轴方程是x=
221x x +与x 轴交点（x 1，0）（x 2，0）； 顶点式：h k x a y +-=2)(；对称轴方程是x=k ；顶点为（k ，h ）；
①二次函数的单调性：
当0>a 时：(-
+∞,2a b ）为增函数；（-a
b 2,-∞）为减函数； 当0<a 时：（-a b 2,-∞）为增函数；(-+∞,2a b ）为减函数； ②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为h k x a y +-=2
)(的形式，
有三个类型题型：(1)顶点固定，区间也固定。
如：]1,1[,12-∈++=x x x y
(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。
(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．]1,[,12+∈++=a a x x x y ③二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程0)(2=++=c bx ax x f 的两根为21,x x
(二)练习题:
1.方程a 2x 2+ax-2=0 (|x|≤1)有解，则 （ ）
A.|a |≥1
B.|a|＞2
C.|a |≤1
D.a ∈R
2.已知函数f(x)=4x 2-mx+5在区间［-2，+∞）上是增函数，则f(1)的范围是 （ ）
A.f (1)≥25
B.f(1)=25
C.f (1)≤25
D.f(1)＞25
3.若函数f(x)=ax 2+bx+c 满足f(4)=f(1),那么 （ ）
A.f(2）＞f(3)
B.f(3)＞f(2)
C.f(3)=f(2)
D.f(3)与f(2)的大小关系不能确定
4.若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,则f(x)的表达式为 （ ） A.f(x)=-x 2-x-1 B.f(x)=-x 2+x-1 C.f(x)=x 2-x-1 D.f(x)=x 2-x+1
5.已知函数f （x ）=x 2+2x+a ，f （bx ）=9x 2-6x+2，其中x ∈R ，a ，b 为常数，则方程f （ax+b ）=0
的解集为 .
6. 已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间［0，1］内有最大值-5，求a的值及函数表达式f(x).
7.设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程f(x)-x=0的两根x1和x2满足0＜x1＜x2＜1.
1的大小，并说明理由.
（1）求实数a的取值范围； （2）试比较f(0)f(1)-f(0)与
16
8.已知二次函数y=f(x)的图象与x轴交于A，B两点，且|AB|=23，它在y轴上的截距为4,又对任意的x都有f(x+1)=f(1-x).（1）求二次函数的表达式；
（2）若二次函数的图象都在直线l:y=x+c的下方，求c的取值范围.
9.已知二次函数f（x）同时满足条件：
（1）f（1+x）=f（1-x）；
（2）f（x）的最大值为15；
（3）f（x）=0的两根的立方和等于17，求f（x）的解析式.
10.已知函数f(x)=|x2-2ax+b| (x∈R).给出四个命题：①f(x)必是偶函数；②若f(0)=f(2),则f(x)的图象必
关于直线x=1对称；③a2-b≤0，则f(x)在［a，+∞）上是增函数；④f(x)有最小值|a2-b|.
其中正确命题的序号是 . 11.已知a 、b 、c 、d 是不全为零的实数，函数f(x)=bx 2+cx+d,g(x)=ax 3+bx 2+cx+d,方程f(x)=0有实数根，且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根，反之，g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根. （1）求d 的值；（2）若a=0，求c 的取值范围.
12.若函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2在区间（-∞，4］上是减函数，那么实数a 的取值范围是 （ ）
A.a ≥3
B.a ≤-3
C.a ＜5
D.a ≥-3 13.设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤++),0(,2),0(,2x x c bx x 若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x 的方程f(x)=x 的解的个数 为 （ ）
A.1
B.2
C.3
D.4 14.对于任意k ∈［-1，1］,函数f(x)=x 2+(k-4)x-2k+4的值恒大于零，则x 的取值范围是 （ ）
A.x ＜0
B.x ＞4
C.x ＜1或x ＞3
D.x ＜1 15.已知二次函数f （x ）=x 2+x+a （a ＞0），若f （m ）＜0，则f （m+1）的值为 （ ）
A.正数
B.负数
C.零
D.符号与a 有关 16.已知函数f(x)=2mx 2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任一实数x,f （x ）与g （x ）的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 （ ）
A.（0，2）
B.（0，8）
C.（2，8）
D.（-∞，0）
17.已知t 为常数，函数y=|x 2-2x-t|在区间［0，3］上的最大值为2，则t= .
18.设函数f(x)=lg(x 2+ax-a-1),给出下述命题：
①f(x)有最小值；
②当a=0时，f(x)的值域为R ；
③当a ＞0时，f(x)在区间［2，+∞）上有反函数；
④若f(x)在区间［2，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是a ≥-4.
则其中正确的命题的序号是 .
19.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x ）的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.
20.已知f （x ）=x 2+ax+3-a ，若x ∈［-2，2］时，f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围.
21.f(x)=-x 2+ax+21-
4
a 在区间［0，1］上的最大值为2，求a 的值.
22.设关于x 的一元二次方程ax 2+x+1=0（a ＞0）有两个实根x 1,x 2.
（1）求(1+x 1)(1+x 2)的值；
（2）求证：x 1＜-1且x 2＜-1;
（3）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈10,10121x x ,试求a 的最大值.。