2018-2019学年福建省宁德市部分一级达标中学高一下学期期中考试数学含答案
福建省宁德市2018-2019学年高一下期末数学试卷(有答案)
2018-2019学年福建省宁德市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知直线l1：x﹣2y+a=0．l2：ax﹣y+1=0．若l1∥l2，则实数a的值为（）A．B．C．﹣2 D．02．在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．=（0，0），=（3，2）B．=（﹣1，2），=（3，﹣2）C．=（6，4），=（3，2）D．=（﹣2，5），=（2，﹣5）3．半径为1，弧长为4的扇形的面积等于（）A．8 B．4 C．2 D．14．如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（））A．=B．•=1 C．≠ D．||=||5．若||=1，||=2，•=1，则和夹角大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°6．棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的表面积为（）A．8πB．16π C．24π D．32π7．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的侧面积为（）A．4πB．8πC．12π D．16π8．已知直线x﹣y+=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长为（）A． B．C．2D．49．设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若l⊥m，m⊥n，则l∥n B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β10．为了得到函数y=sin（x﹣）+1的图象，只需将函数y=sinx图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度B．向左平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度C．向右平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度D．向右平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点，则EF与A1C1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．已知α，β均为锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=﹣，则sinβ的值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．直线x+2y+2=0在y轴上的截距为．14．已知向量=（0，1），=（﹣1，m），=（1，2），若（+）∥，则m=．15．圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0的位置关系是．16．已知函数f（x）=sin（2x+），给出下列判断：①函数f（x）的最小正周期为π；②函数y=f（x+）是偶函数；③函数f（x）关于点（﹣，0）（k∈Z）成中心对称；④函数f（x）在区间[，]上是单调递减函数．其中正确的判断是．（写出所有正确判断的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知直线l的倾斜角α=30°，且过点P（，2）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若直线m过点（1，）且与直线l垂直，求直线m与两坐标轴围成的三角形面积．18．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P为BC的中点，且=λ（λ∈R）．（Ⅰ）试用和表示；（Ⅱ）若•=4时，求λ的值．19．已知锐角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点A（2，1），角β的终边经过点B（3，1）．（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；（Ⅱ）求α+β的大小．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点，AB=2，AA1=AC=CB=2．（Ⅰ）证明：CD⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求三棱锥V的体积．21．已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及其相应的x的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（，m）上单调递减，求实数m的取值范围．22．已知圆E过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心E在直线l：x+y﹣2=0上，直线l′与直线l关于原点对称，过直线l′上点P向圆E引两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（Ⅰ）求圆E的方程；（Ⅱ）求证：直线MN恒过一个定点．2018-2019学年福建省宁德市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知直线l1：x﹣2y+a=0．l2：ax﹣y+1=0．若l1∥l2，则实数a的值为（）A．B．C．﹣2 D．0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用两条直线相互平行与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：直线l1：x﹣2y+a=0，即：y=x+，l2：ax﹣y+1=0，即y=ax+1，若l1∥l2，则a=，故选：A．2．在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．=（0，0），=（3，2）B．=（﹣1，2），=（3，﹣2）C．=（6，4），=（3，2）D．=（﹣2，5），=（2，﹣5）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由定理知可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的，由此关系对四个选项作出判断，得出正确选项．【解答】解：对于A：零向量与任一向量共线，因此与共线，不能作为基底；B：由≠λ，与不共线，可以作为基底；C：=2，因此与共线，不能作为基底；D：=﹣，因此与共线，不能作为基底；故选：B．3．半径为1，弧长为4的扇形的面积等于（）A．8 B．4 C．2 D．1【考点】扇形面积公式．【分析】由扇形面积公式S=lR进行计算即可得解．【解答】解：由题意得：S=×4×1=2．故选：C．4．如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（））A．=B．•=1 C．≠ D．||=||【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的定义结合向量数量积公式以及向量模长的定义分别进行判断即可．【解答】解：A.，是两个单位向量，长度相等，但方向不一定相同，则=错误，B.，向量的夹角不确定，则•=1不一定成立，C.=，故C错误，D．||=||=1，故D正确．故选：D．5．若||=1，||=2，•=1，则和夹角大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量夹角公式，结合向量数量积的运算进行求解即可．【解答】解：∵||=1，||=2，•=1，∴cos＜，＞==，则＜，＞=60°，即向量夹角大小为60°，故选：B6．棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的表面积为（）A．8πB．16π C．24π D．32π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据正方体和内切球半径之间的关系即可求球的表面积．【解答】解：∵棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的直径等于正方体的棱长，∴2r=4，即内切球的半径r=2，∴内切球的表面积为4πr2=16π．故选：B．7．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的侧面积为（）A．4πB．8πC．12π D．16π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱，代入圆柱的侧面积公式，可得答案．【解答】解：由已知可得该几何体为圆柱，且圆柱的底面直径为2，高h=2即圆柱的底面半径r=1，故该几何体的侧面积S=2πrh=4π．故选：A．8．已知直线x﹣y+=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长为（）A． B．C．2D．4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】易得圆的圆心和半径，由距离公式可得圆心到直线的距离d，由勾股定理可得|AB|．【解答】解：∵圆x2+y2=4的圆心为（0，0），半径r=2，∴圆心到直线x﹣y+=0的距离d==1，∴弦长|AB|=2=2故选：C．9．设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若l⊥m，m⊥n，则l∥n B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面、平面与平面垂直、平行的性质与判定，一一判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若l⊥m，m⊥n，则l∥n或相交或异面，故不正确；对于B，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ或相交，故不正确；对于C，利用一条直线垂直与两个平行平面中的一个，则也与另一个平行，正确；对于D，两个平面相交，m与交线平行，也满足条件，故不正确．故选：C．10．为了得到函数y=sin（x﹣）+1的图象，只需将函数y=sinx图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度B．向左平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度C．向右平行移动个单位长度，再向下平行平移1个单位长度D．向右平行移动个单位长度，再向上平行平移1个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=sinx图象上所有的点向右平行移动个单位长度，可得函数y=sin（x ﹣）的图象；再把所的图象向上平行平移1个单位长度，可得函数y=sin（x﹣）+1的图象，故选：D．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点，则EF与A1C1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】如图所示，连接A1B，BC1．利用三角形中位线定理可得：EF∥A1B．因此∠C1A1B 或其补角为异面直线EF与A1C1所成的角．利用△A1BC1为等边三角形即可得出．【解答】解：如图所示，连接A1B，BC1．∵E，F分别为AB，AA1的中点，∴EF∥A1B．∴∠C1A1B或其补角为异面直线EF与A1C1所成的角．∵△A1BC1为等边三角形，∴∠C1A1B=60°即为异面直线EF与A1C1所成的角．故选：C．12．已知α，β均为锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=﹣，则sinβ的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinα和cos（α﹣β）的值，再利用两角差的正弦公式求得sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]的值．【解答】解：∵α，β均为锐角，cosα=，∴sinα==，∵sin（α﹣β）=﹣，∴cos（α﹣β）==，则sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=﹣•（﹣）=，故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．直线x+2y+2=0在y轴上的截距为﹣1．【考点】直线的一般式方程．【分析】通过x=0求出y的值，即可得到结果．【解答】解：直线x+2y+2=0，当x=0时，y=﹣1，直线x+2y+2=0在y轴上的截距为：﹣1故答案为：﹣1．14．已知向量=（0，1），=（﹣1，m），=（1，2），若（+）∥，则m=﹣3．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量的坐标运算性质、向量公式定理即可得出．【解答】解：∵+=（﹣1，1+m），（+）∥，∴1+m+2=0，解得m=﹣3．15．圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0的位置关系是相交．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出|R﹣r|和R+r的值，判断d与|R﹣r|及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．【解答】解：把圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2﹣4x﹣5=0分别化为标准方程得：x2+y2=4，（x﹣2）2+y2=9，故圆心坐标分别为（0，0）和（2，0），半径分别为R=2和r=3，∵圆心之间的距离d=2，R+r=5，|R﹣r|=1，∴|R﹣r|＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故答案为：相交．16．已知函数f（x）=sin（2x+），给出下列判断：①函数f（x）的最小正周期为π；②函数y=f（x+）是偶函数；③函数f（x）关于点（﹣，0）（k∈Z）成中心对称；④函数f（x）在区间[，]上是单调递减函数．其中正确的判断是①②③．（写出所有正确判断的序号）【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=sin（2x+），由于它的周期为=π，故①正确；由于函数y=f（x+）=sin[2（x+）]=sin（2x++）=cos2x 是偶函数，故②正确；由于当x=﹣时，sin（2x+）=sin（kπ﹣+）=sin（kπ）=0，故函数f（x）关于点（﹣，0）（k∈Z）成中心对称，故③正确；在区间[，]上，2x+∈[，]，故函数f（x）在区间[，]上不是单调函数，故④错误，故答案为：①②③．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知直线l的倾斜角α=30°，且过点P（，2）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若直线m过点（1，）且与直线l垂直，求直线m与两坐标轴围成的三角形面积．【考点】直线的一般式方程；待定系数法求直线方程．【分析】（Ⅰ）代入直线的点斜式方程求出l的方程即可；（Ⅱ）求出直线m的斜率，求出直线m的方程，再求出其和坐标轴的交点，从而求出三角形的面积即可．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的倾斜角α=30°，∴直线l的斜率设出，且过点P（，2）．∴直线l的方程是y﹣2=（x﹣），即x﹣y+=0；（Ⅱ）∵直线m与直线l垂直，∴直线m的斜率是﹣，且直线m过点（1，）∴直线m的方程是y﹣=﹣（x﹣1），即y=﹣x+2，直线m与x轴交点坐标是（2，0），与y轴交点坐标是（0，2），∴直线m与两坐标轴围成的三角形面积是：×2×2=2．18．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P为BC的中点，且=λ（λ∈R）．（Ⅰ）试用和表示；（Ⅱ）若•=4时，求λ的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【分析】（Ⅰ）根据平面向量的基本定理即可用和表示；（Ⅱ）若•=4时，利用向量数量积的公式建立方程关系即可求λ的值．【解答】解：（Ⅰ）=+=+=+．（Ⅱ）在矩形ABCD中AD⊥DC，则•=0，∵•=（+）•=（+λ）•=•+λ•2=16λ=4，∴λ=19．已知锐角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点A（2，1），角β的终边经过点B（3，1）．（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；（Ⅱ）求α+β的大小．【考点】两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义．【分析】（Ⅰ）利用任意角的三角函数的定义，求得sinα，cosα，tanα的值．（Ⅱ）先求得tan（α+β）的值，再根据α+β∈（0，π），求得α+β的值．【解答】解：（Ⅰ）∵锐角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点A（2，1），∴x=2，y=1，r=|OA|=，∴sinα===，cosα===，tanα==．（Ⅱ）∵角β的终边经过点B（3，1），∴tanβ=．又tan（α+β）==1，α+β∈（0，π），∴α+β=，20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点，AB=2，AA1=AC=CB=2．（Ⅰ）证明：CD⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求三棱锥V的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由AA1⊥平面ABC得出AA1⊥CD，由AC=BC得出CD⊥AB，故而CD⊥平面AA1B1B；（2）由勾股定理的逆定理得出AC⊥BC，计算S△ACD，于是V=V=．【解答】证明：（I）∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD．∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，又AB⊂平面AA1B1B，AA1⊂平面AA1B1B，AB∩AA1=A，∴CD⊥平面AA1B1B．（II）∵AB=2，AC=CB=2，∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥BC．∵D是AB的中点，∴S△ACD===1．又AA1⊥平面ABC，∴V=V===．21．已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及其相应的x的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（，m）上单调递减，求实数m的取值范围．【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）由二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式化简解析式，由正弦函数的最大值求出答案；（Ⅱ）由正弦函数的减区间求出f（x）的减区间，结合条件求出实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=∴当，即时，f（x）取到最大值为2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，由得，所以，函数法f（x）在区间上单调递减，∵f（x）在区间（，m）上单调递减，∴，即实数m的取值范围是（，]．22．已知圆E过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心E在直线l：x+y﹣2=0上，直线l′与直线l关于原点对称，过直线l′上点P向圆E引两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（Ⅰ）求圆E的方程；（Ⅱ）求证：直线MN恒过一个定点．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法求圆E的方程；（Ⅱ）线段MN为圆F、圆E的公共弦，求出其方程，即可证明：直线MN恒过一个定点．【解答】（Ⅰ）解；设圆E的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由已知得：解得a=b=1，r=2 …∴圆E的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 …（Ⅱ）证明：直线l关于原点对称的直线l′的方程为x+y+2=0…由已知得，∠PME=90°=∠PNE所以以PE为直径的圆F过点M，N，故线段MN为圆F、圆E的公共弦．…设P（a，b），则圆F的方程为=+即x2+y2﹣（a+1）x﹣（b+1）y+a+b=0 ①…又圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0 ②②﹣①得直线MN的方程为（a﹣1）x+（b﹣1）y﹣a﹣b﹣2=0…又点P在直线l≤上，所以a+b+2=0，∴（a﹣1）x+（﹣a﹣3）y=0…∴a（x﹣y）﹣x﹣3y=0，∴，∴x=y=0∴直线MN过定点（0，0）．…。
2018-2019学年福建省宁德市部分一级达标中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)
福建省宁德市中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知点(1,3)A -，(1,33)B，则直线AB 的倾斜角是（ ） A ．60︒ B ．75︒C ．120︒D ．150︒【答案】A【解析】根据题意求出直线AB 的斜率，根据斜率和倾斜角的关系求出倾斜角． 【详解】()1,3A -Q ，()1,33B ∴直线AB 的斜率：3333k -==设直线AB 倾斜角为θ，则tan 3θ= 60θ∴=o 本题正确选项：A 【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的应用问题，是基础题．2．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45︒，上底为1，腰为2的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A ．2B ．12x xC ．42D ．82【答案】C【解析】先计算出该梯形的斜二测直观图的面积，再根据直观图的面积与原图的面积之比为24，求得原图的面积． 【详解】依题意，四边形ABCD 是一个底角为45o ，上底为12的等腰梯形 过C ，D 分别做CF AB ⊥，DE AB ⊥则ADE ∆和BCF ∆2的等腰直角三角形1AE DE BF ∴===，又1EF CD ==，∴梯形ABCD 的面积：()113122S '=⨯+⨯=Q 在斜二测画直观图时，直观图的面积S '与原图的面积S 之比为：4即：4S S '=2S ∴==本题正确选项：C 【点睛】本题考查了斜二测直观图的面积与原图面积的关系，可以还原图形求原图的面积，也可以根据直观图与原图的面积比求原图的面积．属于基础题．3．已知两条直线260x a y ++=和(2)320a x ay a -++=互相平行，则a 等于（ ） A ．0或3或-1 B ．0或3C ．3或-1D ．0或-1【答案】D【解析】利用两直线平行的充要条件构造方程进行求解． 【详解】Q 两条直线260x a y ++=和()2320a x ay a -++=互相平行216232a a a a-∴=≠--，或121k a =-和223a k a -=-同时不存在 解得：1a =-或0a = 本题正确选项：D 【点睛】本题考查两条直线平行的应用，是基础题，解题时易错点是忽略其中一条直线斜率不存在的情况．4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若sin sin sin a A b B c C +<，则ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．正三角形【答案】C【解析】利用正弦定理化简已知不等式，得到222a b c +<，利用余弦定理即可得出cos 0C <，可知C 为钝角，从而得出结论．【详解】由正弦定理得：222a b c +<由余弦定理得：(322)2(32)---()0,C π∈Q C ∴为钝角，则ABC ∆为钝角三角形本题正确选项：C 【点睛】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦定理进行边角互化、余弦定理的应用，熟练掌握正弦定理、余弦定理是解本题的关键．5．一个圆锥的表面积为5π，它的侧面展开图是圆心角为90︒的扇形，该圆锥的母线长为（ ） A ．83B ．4C ．25D ．35【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，利用扇形面积公式和圆锥表面积公式，求出圆锥的底面圆半径和母线长． 【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为lQ 它的侧面展开图是圆心角为90o 的扇形 22r l ππ=⋅∴ 4l r ∴=又圆锥的表面积为5π 2245r rl r r r πππππ∴+=+⋅=，解得：1r =∴母线长为：44l r ==本题正确选项：B 【点睛】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，关键是能够熟练应用扇形面积公式和圆锥表面积公式，是基础题．6．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．203B ．403C ．20D ．40【解析】由三视图得到该几何体为三棱柱，利用棱柱体积公式求得其体积． 【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱柱其底面是高为2，底边长为4的等腰三角形 则底面面积：14242S =⨯⨯=，又棱柱的高5h = 则体积为：4520⨯= 本题正确选项：C 【点睛】本题考查棱柱体积的计算，关键是通过三视图还原几何体，属于基础题． 7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =2b =，sin cos 2B B +=A 的大小为（ ）A ．60︒B ．30︒C ．150︒D ．45︒【答案】B【解析】由sin cos 2B B +=sin 2B ，进而可求得B ；然后利用正弦定理可求出sin A ，根据三角形中大边对大角的原则可求出A . 【详解】 由sin cos 2B B +=12sin cos 2B B +=2sin cos 1B B ∴=，即：sin 21B =()0,B π∈Q 45B ∴=o又2a =2b =22sin 45=o解得：1sin 2A =a b <∵ A B ∴< 30A ∴=o本题正确选项：B本题主要考查了同角平方关系及正弦定理在求三角形中的应用，解题时要注意大边对大角的应用，避免出现增根.8．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若//αβ，//m α，则//m βB ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥C ．若m α⊥，//m n ，n β⊥，则//αβD ．若αβ⊥，m αβ=I ，n m ⊥，则n β⊥【答案】C【解析】在A 中，//m β或m β⊂；在B 中，m 与β相交、平行或m β⊂；在C 中，由面面平行的判定定理得//αβ；在D 中，n 与β相交、平行或n β⊂，从而得到结果． 【详解】由m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，知： 在A 中，若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，故A 错误；在B 中，若αβ⊥，//m α，则m 与β相交、平行或m β⊂，故B 错误；在C 中，若m α⊥，//m n ，n β⊥，则由面面平行的判定定理得//αβ，故C 正确； 在D 中，若αβ⊥，m αβ=I ，n m ⊥，则n 与β相交、平行或n β⊂，故D 错误． 本题正确选项：C 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．如图，三棱锥P ABC -中，M 、N 分别是AP 、AB 的中点，E 、F 分别是PC 、BC 上的点，且2PE BFEC FC==，下列命题正确的是（ ）A ．MN EF =B ．ME 与NF 是异面直线C ．//AC 平面MNFED ．直线ME 、NF 、AC 相交于同一点 【答案】D【解析】根据平行线分线段成比例的性质及平行直线的判定，可以排除,A B ；根据两平面相交有且仅有一条交线，可知ME 、NF 、AC 相交于同一点G ，排除C ． 【详解】依题意，M 、N 分别是AP 、AB 的中点，E 、F 分别是PC 、BC 上的点，且2PE BFEC FC== //MN PB ∴，12MN PB =，//EF PB ，13EF PB =，则//MN EF ，MN EF ≠ 故A 选项错误，B 选项错误；因为,M E ∈平面APC ，,N F ∈平面ABC ，平面APC ⋂平面ABC AC = 则ME NF G =I ，且G AC ∈ ∴直线ME 、NF 、AC 相交于同一点G 故D 选项正确，C 选项错误． 本题正确选项：D 【点睛】本题考查了空间直线的位置关系，考查学生对于此部分公理的掌握，属于基础题． 10．已知直线l 过点(1,1)P ，且点(2,2)A -与点(2,4)B -到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为（ ） A ．1y =B ．3223x x y xy y +--C ．1x =或3223x x y xy y +--D ．1y =或3223x x y xy y +--【答案】C【解析】根据题意，分2种情况讨论：①直线l 经过AB 的中点；②直线l 与AB 平行，分别求出直线l 的方程，综合即可得答案． 【详解】根据题意，点()2,2A -与点()2,4B -到直线l 的距离相等，分2种情况讨论： ①直线l 经过AB 的中点，此时AB 中点的坐标为()2,3-直线l 经过点()1,1P 和()2,3-，则直线l 的斜率312213k -==--- 此时直线l 的方程为：()2113y x -=--，即：3223x x y xy y +-- ②直线l 与AB 平行，此时直线l 与x 轴垂直又直线l 过点()1,1P ，此时直线l 的方程为：1x =综合可得：直线l 的方程为1x =或3223x x y xy y +--本题正确选项：C 【点睛】本题考查直线方程的计算，关键是分析,A B 两点到直线l 距离相等的条件，属于基础题． 11．底面边长为3，侧棱长为2的正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影是底面的中心）的外接球的表面积为（ ） A ．163πB ．83π C ．16π D ．8π【答案】A【解析】根据正三棱锥的特点，可确定球心O 必在P 与ABC ∆的中心G 的连线上，根据勾股定理构造关于半径的方程，求出正三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式求解． 【详解】 如图：Q 正三棱锥P ABC -3ABC ∆的中心为G则：22331334AG AD ==-= Q 侧棱长2PA = ∴高22213PG =-设正三棱锥的外接球的球心为O ，连接OA 由球的性质可知，球心O 必在PG 上 则在Rt OAG ∆中，)22231OA OA =+，解得：23OA =∴外接球的表面积：2231643S ππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭本题正确选项：A 【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求解，关键是根据球的性质确定球心的大致位置，从而可利用勾股定理构造方程，是中档题．12．如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，在折起后形成的三棱锥D ABC -中，给出下列四种说法：①DBC ∆是等边三角形；②AC BD ⊥；③AB CD ⊥；④直线AD 和BC 所成的角的大小为60︒．其中所有正确的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②④【答案】D【解析】①取AC 中点E ，连接AC 中点E ，则DE AC ⊥，利用面面垂直的性质定理可证得DE ⊥平面ABC ，利用线面垂直性质可得DE BE ⊥，利用勾股定理求得BD ，可知①正确；对于②，因为BE AC ⊥，DE AC ⊥，利用线面垂直判定定理可知AC ⊥平面BDE ，根据线面垂直性质可知AC BD ⊥；对于③可以采用反证法进行否定；对于④，以E 为坐标原点建立空间坐标系，利用空间向量法求解向量的夹角． 【详解】对于①，因为CD BC AB AD ===，取AC 中点E ，连接BE ，DE 则DE AC ⊥，BE AC ⊥，2DE BE ==Q 平面ACD ⊥平面ABC ，平面ADC ⋂平面ABC AC = DE ∴⊥平面ABCDE BE ∴⊥ 221BD DE BE ∴=+=在DBC ∆中，1DC BC ==，故①正确；对于②，由①，知BE AC ⊥，DE AC ⊥，又DE BE E ⋂= AC ∴⊥平面BDE 又Q BD ⊂平面BDE AC BD ∴⊥，故②正确；对于③，假设AB CD ⊥；又AB BC ⊥，BC CD C =I AB ∴⊥平面BCDBD ⊂Q 平面BCD AB BD ∴⊥又AC BD ⊥，AB ACA ? BD ∴⊥平面ABC这与空间中过一点有且只有一条直线与一个平面垂直矛盾，故③错误；对于④，以E 为坐标原点，EA 为x 轴，EB ，ED 分别为y 轴，z 轴，建立坐标系则22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，20,,02B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，20,0,2D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭所以22,0,22AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，2222BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r 设直线AD 和BC 所成的角为θ，则112cos 112AD BC AD BC θ⋅===⨯⨯u u u r u u u ru u u r u u u r 60θ∴=o ．故④正确．本题正确选项：D 【点睛】本题借助正方形翻折考查了空间距离、空间角、空间位置关系等，涉及到线面垂直、面面垂直、异面直线成角等知识，属于中档题．二、填空题13．已知点(2,1)A ，(2,3)B -，(0,1)C ，在ABC ∆中，BC 边上的中线所在的直线方程是______；【答案】32130x y +-=【解析】求中线的方程，其实质是求直线方程：两点确定直线或是一点和直线的斜率k 确定直线，本题可以求出B ，C 的中点，结合点A 求解直线方程. 【详解】设BC 中点为D （x ，y ）已知B(－2,3)，C(0,1)，则D （-1，2） 因为1212(1)3AD k -==---所以BC 边上中线所在的直线方程为：350x y +-=【点睛】本题考查中点公式和直线方程的求解，确定一条直线一般方法有：1.两点确定一条直线，其中可以利用直线的两点式方程；2.斜率和一点确定一条直线，重点是确定斜率.该题意在考查学生对基础知识的掌握程度.14．在ABC ∆中，3A π=，1b =，a =ABC ∆的面积为______；【解析】由已知利用正弦定理可求sin B 的值，根据大边对大角，特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理可求B ，C ，根据三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】3A π=Q ，1b =，a =∴1sin B =，解得：1sin 2B =b a <Q B A ∴<6B π∴=，可得：2C A B ππ=--=11sin 1sin 2222ABC S ab C π∆∴==⨯=【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15．若长方体1111ABCD A B C D -中，4BA =，13BC BB ==，直线1BA 与平面11BB D D 所成角的正弦值为______； 【答案】1225【解析】先利用面积桥求出1A 到11B D 的距离125h =，根据长方体的特点可知1A 到11B D 的距离即为1A 到平面11BDD B 的距离，再根据线面角的定义可求得结果． 【详解】设1A 到11B D 的距离为h ，则1111111122A B A D B D h ⋅=⋅ 即：435h ⨯= 125h ∴=又1BB ⊥平面111A B D ，可知1A 到11B D 的距离即为1A 到平面11BDD B 的距离∴直线1BA 与平面11BB D D 所成角的正弦值为：112125525hA B == 本题正确结果：1225【点睛】本题考查了直线与平面所成角，关键是能够确定1A 到11B D 的距离即为1A 到平面11BDD B 的距离，从而利用线面角的定义求解．16．在ABC ∆中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，若22a b bc =+，且(60,90)A ∈︒︒，则ab取值范围是______．【答案】【解析】由22a b bc =+及余弦定理可得()12cos c b A =+，从而可得：ab=A 的范围，利用余弦函数的图象和性质可得所求范围． 【详解】ABC ∆Q 中，22a b bc =+由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-2222cos b bc b c bc A ∴+=+-，整理可得：()12cos c b A =+ ()()222212cos 22cos a b b A b A ∴=++=+ab∴=()60,90A ∈o o Q 1cos 0,2A ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭可得：()22cos 2,3A +∈，即：ab∈本题正确结果：【点睛】此题考查了余弦定理，余弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，关键是能够熟练利用余弦定理构造等量关系．三、解答题17．如图所示，在四边形ABCD 中，90DAB ∠=°，120ADC =∠︒，33AB =，2CD =，1AD =，将四边形ABCD 绕AD 旋转一周所形成的一个几何体．（Ⅰ）求这个几何体的表面积； （Ⅱ）求这个几何体的体积．【答案】（Ⅰ）(27183)π+；（Ⅱ）25π.【解析】延长AD ，过C 作CO AD '⊥交AD 于O '；过C 作CE AB ⊥交AB 于E ；过D 作DF CE ⊥交CE 于F ；（Ⅰ）利用旋转体求解圆台圆锥的侧面积以及底面积即可；（Ⅱ）通过O A DO V V V ''=-圆台圆锥，利用公式直接求解即可． 【详解】延长AD ，过C 作CO AD '⊥交AD 于O '；过C 作CE AB ⊥交AB 于E ；过D 作DF CE ⊥交CE 于F（Ⅰ）令1r O C '=，2r AB =，1h O D '=，2h O A '=，1l CD =，2l CB =120ADC ∠=o Q 30CDF ∴∠=o在Rt CDF ∆中，2CD = 1CF ∴=，3DF = 11h ∴=，12l =22h CF DA ∴=+=又23EB AB DF =-= 2224l CE EB ∴+=()2111222DO O A O A S S S S rl r r l r πππ'''∴=++=+++表圆锥侧圆台侧圆台下底((22427πππ=+⋅+=+（Ⅱ）几何体体积：()212111133O ADO h V V V S S S h ''=-=-圆台圆锥(()22211213235πππππ=⨯⋅++-⋅=【点睛】本题考查旋转体的体积以及表面积的求法，关键是能够熟练应用表面积和体积公式，考查转化思想以及计算能力．18．已知过点()1,2P ，斜率为2-的直线1l 与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点． （Ⅰ）求A ，B 两点的坐标；（Ⅱ）若一条光线从A 点出发射向直线2l ：1y x =--，经2l 反射后恰好过B 点，求这条光线从A 到B 经过的路程．【答案】（Ⅰ）()2,0A ，()0,4B ；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用点斜式求得直线AB 的解析式，然后利用解析式求得点A ，B 的坐标即可；（Ⅱ）根据轴对称的性质，求得A 关于直线2l 的对称点A '，从而可求得线段A B '的长，即是这条光线从点A 到点B 经过的路程． 【详解】（Ⅰ）由已知有：()1:221l y x -=--，即：24y x =-+ 当0x =时，4y =；当0y =时，2x =()2,0A ∴，()0,4B（Ⅱ）设A 关于2l 的对称点为A '，设()11,A x y '依题意有：111101202122y x y x -⎧=⎪-⎪⎨++⎪=--⎪⎩，解得：1113x y =-⎧⎨=-⎩ ()1,3A '∴--BA '∴==∴这条光线从A 点到B 点经过的路程为【点睛】本题主要考查直线的点斜式方程、点关于直线对称点的求解，关键是能够明确反射问题实际为对称问题，利用对称点的求解方法来进行求解．19．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相海距4(33)+里的两个观测点，现位于A 点北偏东45︒，B 点北偏西60︒的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60︒且与B 点相距163海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为24海里/小时．（Ⅰ）求BD 的长；（Ⅱ）该救援船到达D 点所需的时间． 【答案】（Ⅰ）83DB =（Ⅱ）1小时.【解析】（Ⅰ）结合图形利用正弦定理转化求解BD 的长；（Ⅱ）利用余弦定理求出CD ，然后求解出该救援船到达D 点所需的时间． 【详解】（Ⅰ）由题意可知：在ADB ∆中，45DAB ∠=o ，30DBA ∠=o ，则105ADB ∠=o由正弦定理sin sin AB DB ADB DAB =∠∠得：(433sin105sin 45DB =o o由()62sin105sin 4560sin 45cos60cos45sin604+=+=+=ooooooo代入上式得：83DB =（Ⅱ）在BCD ∆中，163BC =83DB =60CBD ∠=o 由余弦定理得：2222cos60CD BC BD BC BD =+-⋅⋅o((222116383216383242=+-⨯=24CD ∴= 24124s t v ∴=== 即该救援船到达D 点所需的时间1小时 【点睛】本题考查解三角形的实际应用，正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．20．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，且3PA =1AD =，2PD =.（Ⅰ）证明：DB ⊥平面PAC ； （Ⅱ）若点F 在线段CD 上，且3DFFC=，试问：在PB 上是否存在一点E ，使//EF 面PAD ？若存在，求出PEEB的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）存在E ，当3PEEB=时，使//EF 面PAD . 【解析】（Ⅰ）在PAD ∆中，由勾股定理可证PA AD ⊥，利用线面垂直的判定可得PA ⊥平面ABCD ，利用线面垂直的性质可得PA BD ⊥，又结合在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，利用线面垂直的判断定理可证得BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）在AB 上取一点G ，3AGGB=时，则在PAB ∆中，3PE AG EB GB ==，利用线面平行的判断定理可证//EG 平面PAD ，由3AG DFGB FC==，GF AD //，可证//GF 平面PAD ，利用面面平行的判定定理可证平面//EFG 平面PAD ，利用线面平行的性质即可证明//EF 平面PAD ． 【详解】（Ⅰ）Q 在PAD ∆中，3PA =1AD =，2PD = 222AD PA PD ∴+=PA AD ∴⊥又侧面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD I 平面ABCD AD =，PA ⊂平面PADPA ∴⊥平面ABCD BD ⊂Q 平面ABCD PA BD ∴⊥Q 在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，又PA AC A =IBD ∴⊥平面PAC（Ⅱ）存在E ，当3PEEB=时，使//EF 面PAD 理由如下：在AB 上取一点G ，使3AGGB=则在PAB ∆中，3PE AGEB GB== //EG AP ∴，又EG ⊄平面PAD ，AP ⊂平面PAD //EG ∴平面PADQ 在菱形ABCD 中，3AG DFGB FC== GF AD ∴// 同理，//GF 平面PADFG ⊂Q 平面EFG ，EG ⊂平面EFG ，FG EG G =I∴平面//EFG 平面PAD //FG ∴平面PAD-1?{2?x y ==平面EFG //EF ∴平面PAD【点睛】本题主要考查了勾股定理，线面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理，线面平行的判断定理，面面平行的判定定理，线面平行的性质定理的综合应用，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题．21．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知满足(2)cos cos a c B b C -=.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2b =，求ABC ∆的面积的取值范围． 【答案】（Ⅰ）3B π=；（Ⅱ）(3⎤⎦ 【解析】（Ⅰ）利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可求得1cos 2B =，结合范围(0,)B π∈，可求B 的值；（Ⅱ）根据正弦定理将,a c 表示成sin ,sin A C 的形式，根据三角形的面积公式可求1sin 2ABC S ac B ∆=1sin 262C π⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，结合范围203C π<<，利用正弦函数的图象和性质可求得面积的取值范围． 【详解】（Ⅰ）()2cos cos a c B b C -=Q由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos A C B B C -=()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C B B C B C A ∴=+=+=()0,πA ∈Q sin 0A ∴≠ 1cos 2B ∴= ()0,B π∈Q 3B π∴=（Ⅱ）由正弦定理得：sin sin b A a B=a A∴==同理：3c C =1sin 1s in sin sin 233in 223ABC A C A ac C S B ∆=⨯⨯=∴=⨯21sin sin sin 32C C C C C π⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1112cos 2sin 24462C C C π⎫⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭203C π<<Q 72666C πππ∴-<-< 1sin 2126C π⎛⎫∴-<-≤ ⎪⎝⎭10sin 262C π⎫⎛⎫∴<-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ABC ∆∴的面积的取值范围为：(【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将ACM ∆折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥.（Ⅰ）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（Ⅱ）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且13BP DQ DA ==，求二面角Q PA C --的大小的正切值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）52. 【解析】（Ⅰ）证明AB AC ⊥，结合AB DA ⊥，证明AB ⊥平面ACD ，然后证明平面ACD ⊥平面ABC ；（Ⅱ）过Q 作//QN DC 交AC 于点N ，过N 作NO AP ⊥交AP 于点O ；证明DC ⊥平面ABC ，推出QN AP ⊥，结合NO AP ⊥，推出AP ⊥平面QNO ，即可证明QO AP ⊥，NOQ ∠就是二面角Q PA C --的平面角；通过求解三角形的相关知识即可求解二面角Q PA C --大小的正切值． 【详解】（Ⅰ）Q 平行四边形ABCM 中，90ACM ∠=o 90BAC ∴∠=o ，即AB AC ⊥ 又AB DA ⊥Q ，DA AB A =I AB ∴⊥平面ACDAB ⊂Q 平面ABC ∴平面ACD ⊥平面ABC（Ⅱ）在ACD ∆中，过Q 作//QN DC 交AC 于点N ，过N 作NO AP ⊥交AP 于点O由（Ⅰ）知平面ACD ⊥平面ABC平面ACD ⋂平面ABC AC =，90DCA ∠=o DC ∴⊥平面ABC//QN DC Q QN ∴⊥平面ABC ，AP ⊂平面ABC QN AP ∴⊥又NO AP ⊥Q ，QN NO N =I AP ∴⊥平面QNOQO ⊂Q 平面NQO QO AP ∴⊥ NOQ ∴∠就是二面角Q PA C --的平面角在CAP ∆中，3CA =，23CP CB ==45ACP ∠=o(2222232342co 5s 5AP AC CP AC CP ACP ∴=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯︒=AP ∴=在CAP ∆中，sin sin CP AP CAP ACP =∠∠，即：sin 2CAP=∠sin sin CAP NAO ∴∠==∠ ACD ∆Q 中，//QN DC ，且223DQ AC ==，223QN CD == 在Rt NAO ∆中，sin 2NO AN NAO =∠==. 在Rt NOQ ∆中，2tan 42NQ NOQ NO ∠===∴二面角Q PA C --大小的正切值2【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力；准确找到二面角的平面角是解决本题的关键.。
2018-2019学年福建省宁德市部分一级达标中学高二(下)期中数学试卷(文科)
2018-2019 学年福建省宁德市部分一级达标中学高二 （下）期中数学试卷（文科）副标题题号 一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.在极坐标系中，点与的位置关系是（）A. 关于极轴所在直线对称B. 关于极点对称C. 重合D. 关于直线对称i θ2.欧拉公式 e =cos θ+isin θ（ e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是瑞士著名数学家i π欧拉发明的， e+1=0 是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之 一．根据欧拉公式可知，复数的虚部为（）A.B. C. D.3.用反证法证明命题“设 a ， b ， c 为实数，满足 a+b+c=3，则 a ， b ， c 至少有一个数不小于 1”时，要做的假设是（）A. a ， b ， c 都小于 2B. a ， b ， c 都小于 1C. a ， b ， c 至少有一个小于 2D. a ， b ， c 至少有一个小于 14. 函数 f （ x ） =（ 2ex ） 2+sinx 的导数是（）A. f'（ x ） =4ex+cosxB. f'（ x ） =4ex-cosxC. f'（ x ） =8e 2x+cosxD. f'（ x ） =8e 2x-cosx5. 已知，，， ，依此规律，若，则 a+2b 的值分别是（）A. 79B. 81C. 100D. 986.曲线 2 f 2（）在点（ ，（ ））处的切线与坐标轴围成的三角面积为A. 6B.C. 3D. 127. 函数 f x =3+ xlnx的单调递减区间是（ ）（ ）A. （ ， e ）B. （0， ）C. （-∞， ）D. （ ，+∞）8. 2018 年 4 月，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊．比赛结 束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是（）A.甲B.丁或戊C.乙D.丙A. B.C. D.10.用长为30cm的钢条围成一个长方体形状的框架（即12 条棱长总和为30cm），要求长方体的长与宽之比为3： 2，则该长方体最大体积是（）A. 24B.15C. 12D. 611.若 x1＞ x2＞ 1，则（）A. B.C. x2lnx1＞x1lnx2D. x2lnx1＜ x1l nx212.对 ? x＞0，不等式 lnx≥恒成立，则实数 a 的取值范围为（）A. （）B. （]C. （-∞，2-e）D. （-∞，2-e]二、填空题（本大题共 4 小题，共20.0 分）13.z= m-1 +m+2i x+y+1=0上，则实数m的值是______若复数（）（）对应的点在直线．14.在极坐标系中，已知两点，A B两点间的距离为______．，则，15.ABC的边长为a，P ABC内的任意一点，且P到三边AB、BC、CA的设等边△是△距离分别为d1、d2、d3，则有 d1+d2+d3为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD 的棱长为3，P 是正四面体 ABCD 内的任意一点，且P 到四个面 ABC 、 ABD、 ACD、 BCD 的距离分别为 d1、 d2、 d3、 d4，则有 d1+d2+d3+d4为定值 ______．16.已知函数，其中e是自然对数的底数．若f a +f a2（）（-2）＜ 0，则实数 a 的取值范围是 ______．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.在极坐标系下，已知圆C：ρ =cos θ +sin θ l：x-y+2=0，和直线（Ⅰ）求圆 C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）求圆 C 上的点到直线l 的最短距离．2218. （Ⅰ）已知 m∈R，复数 z=（ m -4m-5） +（ m -2m-15） i 是纯虚数，求m 的值；（Ⅱ）已知复数 z 满足方程 z+（ z-2） i=0，求及||的值．319.设函数f（x）=x -6x+5，x∈R（Ⅰ）求 f（ x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x 的方程 f（ x） =a 有 3 个不同实根，求实数 a 的取值范围．20.已知函数，（Ⅰ）分别求f（0） +f（ 1）， f（ -1） +f（ 2）， f（ -2） +f（ 3）的值；（Ⅱ）由上题归纳出一个一般性结论，并给出证明．21.已知函数 f（ x） =lnx， g（ x） =a（ x2-x）（ a≠0， a∈R）， h（ x） =f（ x） -g（ x）（Ⅰ）若 a=1，求函数 h（ x）的极值；（Ⅱ）若函数y=h（ x）在 [1， +∞）上单调递减，求实数 a 的取值范围．22.设函数 f（ x） =e x-ax-2．（Ⅰ）求 f（ x）的单调区间；（Ⅱ）若 a=1，k 为整数，且当 x＞ 0 时，（ x-k）f′（ x）+x+1＞ 0，求 k 的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：在极坐标系中，点与如图，则点与的位置关系是关于极轴所在直线对称．故选：A．在极坐标系中画出两点得答案．本题考查极坐标系中点的极坐标，是基础题．2.【答案】B【解析】i θ解：根据欧拉公式 e =cosθ +isin，θ可得，=，∴的虚部为：．故选：B．利用欧拉公式直接求解即可．本题考查了欧拉公式和三角函数求值，属基础题．3.【答案】B【解析】解：a，b，c 至少有一个数不小于1 的对立面就是 a，b，c 三个都小于 1．故选：B．根据“至少有一个”的对立面为“一个也没有“可得．本题考查了反证法，属基础题．4.【答案】C22 2解：根据题意，f （）x=（2ex ）+sinx=4e x +sinx ，导 f ′（x 2 2 2其 数 ）=（4e x ）′+（sinx ）′=8ex+cosx ，故选：C ．根据 题 导 计 算公式 计算即可得答案．意，由 数的本 题 考 查导 数的 计 键 导 数的 计 算公式，属于基 础题 ．算，关 是掌握 【答案】 D5.【解析】解：由，，， ，依此规 律 =n，n ≥2，则，可得 b=9，a=92-1=80，故 a+2b=80+18=98， 故选：D ．仔细观察已知等式的数字可 发现：=n，n ≥2，根据此规律解题即可本题是一道找 规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．6.【答案】 A【解析】解：f （x ）=-x 2+1 的导数为 f ′（2）=-3，f （2）=0可得在点点（2，0）处的切线斜率为：-3，即有切线的方程为 y=-3（x-2）．分别令 x=0，y=6 可得 y ，x 轴上的截距 为 6，2．即有围成的三角形的面 积为： ×6×2=6．故选：A ．求出函数的 导数，可得切线的斜率，可得切线的方程，求得 x ，y 轴的截距，运本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及直线方程的运用，正确求导是解题的关键，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：f ′（x）=lnx+1 ，令 f ′（x）＜0，解得：0＜ x＜，故选：B．先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递减区间．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．8.【答案】D【解析】解：假设爸爸的猜测是对的，则冠军是丙；假设妈妈的猜测是对的，不合题意；假设孩子的猜测是对的，则妈妈的猜测也对，不合题意．故选：D．分别假设三个人的猜测是对的，另外两个的猜测是错的，分析可得．本题考查了简单的合情推理，属中档题．9.【答案】C【解析】解：函数y=的导数为，令 y′=0，得x=，时，y′＜0，时，y′＞0，时，y′＜0．∴函数在（-），（递递）减，在（）增．且 x=0 时，y=0，故选：C．利用导数求出单调区间，及 x=0 时，y=0，即可求解．本题考查函数图象问题，函数的导数的应用，考查计算能力．属于中档题，10.【答案】 B【解析】解：设该长方体的宽是 x 米，由题意知，其长是米，高是 =米，（0＜x ＜3）则该长方体的体 积 V （x ）=x?x?（ ）=-x 3+ x 2，V ‘（x ）=- + ，由 V ′（x ）=0，得到x=2，且当 0＜x ＜2 时，V ′（x ）＞0；当 2＜x ＜3 时，V ′（x ）＜0，即体积函数 V （x ）在x=2 处取得极大 值 V （2）=15，也是函数 V （x ）在定义域上的最大 值 ．所以该长方体体积最大值是 15．故选：B ．根据题意知，长方体的所有棱 长和是 30m ，故可设出宽，用宽表示出长和高，将体积表示成宽的函数，用导数来求其最大 值即可．本小题主要考查长方体的体 积及用导数求函数最 值等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理 论证能力和运算求解能力，是中档 题．11.【答案】 A【解析】解：① 令 f （x ）= 则＞ 0，（x ＞1）， f'（x ）=∴f （x ）在（1，+∞）上单调递 增，∴当 x 1＞x 2＞ 1 时， ，即，故A 正确．② 令 g （x ）=则g'（x ）=，（x ＞1）， 令 g （x ）=0，则 x=e ，∴g （x ）在（1，e ）上单调递 增，在（e ，+∞）上单调递 减，易知 C ，D 不正确，故选：A ．构造函数 f （x ）= （x ＞1）和g （x ）= （x ＞ 1）然后根据f （x ）和g （x ）的单调性即可比较大小．本题考查了利用函数的 单调性比较大小，关键是构造函数，属基础题．12.【答案】 B【解析】解：由lnx ≥2（x ＞0）恒成立可得 a ≤xlnx+ex-2x （x ＞ 0）恒成立，令 f （x ）=xlnx+ex 2-2x （x ＞0），则 f ′（x ）=lnx+2ex-1，显然 f ′（x ）在（0，+∞）上单调递增，又 f ′（ ）=-1+2-1=0，∴当 0＜ x ＜ 时，f （′x ）＜0，当x ＞时，f （′x ）＞0，∴当 x=时，f 值f （ ）=- ．（x ）取得最小 ∴a ≤- ．故选：B ．类2导 侧 单调 分 参数得出 a ≤xlnx+ex-2x 数判断右 函数的 性，求出其最小，利用值即可得出 a 的范围．本题考查了导数与函数 单调性的关系，函数恒成立与函数最 值的计算，属于中档题．13.【答案】 -1【解析】解：∵复数 z=（m-1）+（m+2）i 对应的点在直 线 x+y+1=0 上，∴（m-1）+（m+2）+1=0， 解得 m=-1．故答案为：-1．直接把 z 的坐标代入直 线 x+y+1=0 求解实数 m 的值 ．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．14.【答案】5【解析】解：由两点，，得 A ，B 两点的直角坐标分别为 A （，），B（，-2），由两点间的距离公式得：|AB|==．故答案为：5．化 A ，B 的极坐标为直角坐标，再由两点间的距离公式求解．本题考查点的极坐标化直角坐标，考查两点间距离公式的应用，是基础题．15.【答案】【解析】设为则BO=× =解：底面三角形 BCD 的中心O，锥=．，故棱的高 AO=∴正四面体的体积 V==．又V=VP-ABC+VP-ABD+VP-ACD+VP-BCD=×），（d1+d2+d3+d4∴d1+d2+d3+d4=．故答案为：．根据棱锥的体积不变即可求出答案．本题考查了棱锥的体积计算，棱锥的结构特征，属于中档题．16.【答案】（-2，1）【解析】解：函数，则 f（-x）=-f（x），∴函数 f（x）在R 上为奇函数．f ′（x）=9x 2x≥2≥0∴函数 f （x ）在R 上单调递增．∵f （a ）+f （a 2-2）＜0，∴f （a 2-2）＜-f （a ）=f （-a ），∴a 2-2＜ -a ，交点 -2＜a ＜1．则实数 a 的取值范围是（-2，1）．故答案为：（-2，1）．函数，先判断其奇偶性，利用导数研究函数的 单调性即可解出．本题考查了利用导数研究函数的 单调性，方程与不等式的解法、函数的奇偶性，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题．17.【答案】 解：（ Ⅰ ）圆 C ： ρ =cos θ +sin ， θ2即 ρ=ρ cos θ +ρ，sin θ圆 C 的直角坐标方程为：即 x 2+y 2-x-y=0； 直线 l ： x-y+2=0 ，则直线 l 的极坐标方程为x 2+y 2=x+y ，ρ cos θ-ρsin θ+2=0．（ Ⅱ ）由圆 C 的直角坐标方程为 x 2+y 2-x-y=0 可知圆心 C 坐标为，圆心 C 到直线的距离为，因此圆 C 上的点到直线 l 的最短距离为 ．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系求出 结果．（Ⅱ）利用点到直线的距离的公式的 应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐 标方程之间的转换，点到直线的距离公式的 应用，主要考察学生的运算能力和 转换 能力，属于基础题型．18.【答案】 解：（ Ⅰ ） ∵z 为纯虚数，∴，∴m=-1；（Ⅱ），∴，∴【解析】（Ⅰ）根据z 为纯虚数，得 z 的实部为零，虚部不为零，建立方程即可；（Ⅱ）根据方程求出z，然后求出 z 的共轭复数和即可．本题考查了复数的模和复数的运算，属基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）∴当，∴f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是当；当（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，∴当的图象有 3 个不同交点，即方程 f（ x）=α有三解．【解析】（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可y=f知（x）图象的大致形状及走向，可知函数图象的变化情况，可知方程 f （x）=a有 3 个不同实根，求得实数 a 的值．考查利用导数研究函数的单调性和图象，体现了数形结合的思想方法．本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题，需要对参数进行分类讨论．属中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）；同理；．（Ⅱ）由此猜想：当x1+x2=1 时，．证明：设x1+x2=1，则，故猜想成立．【解析】（Ⅰ）利用条件，求f（0）+f（1），f（-1）+f（2），f（-2）+f（3），（Ⅱ）归纳猜想一般性结论，利用指数的性质给出证明．本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳猜想是关键．21.【答案】解：（Ⅰ）根据题意可知y=h（ x）的定义域为（0， +∞），，故当 x∈（ 0， 1）时， h'（x）＞ 0，故 h（ x）单调递增；当 x∈（ 1，+∞）时， h'（ x）＜ 0，故 h（ x）单调递减，所以当 x=1 时， h（ x）取得极大值 h（ 1）=0，无极小值．（Ⅱ）由 h（ x） =lnx-a（ x2-x）得，若函数 y=h（ x）在 [1，+∞）上单调递减，此问题可转化为对 x≥1恒成立；，只需，当 x≥1时， 2x2-x≥1，则，，故 a≥1，即 a 的取值范围为 [1，+∞）．【解析】（Ⅰ）根据题意可知 y=h（x）的定义域为（0，+∞），，可得其单调性与极值．h（x）=lnx-a（x2-x）得，若函数 y=h（x）在[1∞（Ⅱ）由，+）上单调递减，此问题可转化为对 x≥1恒成立；，只需，即可得出范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（I）函数f（x）=e x-ax-2的定义域是R， f′（ x） =e x-a，若 a≤0，则 f′（ x） =e x-a≥0，所以函数f（ x） =e x-ax-2 在（ -∞， +∞）上单调递增．x若 a＞ 0，则当 x∈（ -∞， lna）时， f′（ x） =e -a＜ 0；x当 x ∈（ lna ，+∞）时， f ′（ x ） =e -a ＞ 0；所以， f （ x ）在（ -∞， ln a ）单调递减，在（ lna ，+∞）上单调递增．（ II ）由于 a=1，所以，（ x-k ） f ′（ x ） +x+1=（ x-k ） （ e x -1）+x+1故当 x ＞ 0 时，（ x-k ） f ′（ x ）+x+1＞ 0 等价于 k ＜（ x ＞ 0）①令 g （ x ）=，则 g ′（ x ） =由（ I ）知，当 a=1 时，函数 h （ x ） =e x -x-2 在（ 0 ，+∞）上单调递增， 而 h （ 1）＜ 0， h （2）＞ 0，所以 h （ x ） =e x -x-2 在（ 0，+∞）上存在唯一的零点，故 g ′（ x ）在（ 0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为 α，则有 α∈（ 1， 2）当 x ∈（ 0，α）时， g ′（ x ）＜ 0；当 x ∈（α，+∞）时， g ′（ x ）＞ 0；所以 g （ x ）在（ 0，+∞）上的最小值为g （α）．αg （ α） =α +1∈（2， 3 ）又由 g ′（ α） =0，可得 e =α +2所以 由于①式等价于 k g α k 的最大值为 2 ．＜ （ ），故整数 【解析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母 a ，故应按 a 的取值范围进行分类讨论研究函数的 单调性，给出单调区间；（II ）由题设条件结合（I ），将不等式，x （-k ）f ′（x ）+x+1＞0 在 x ＞ 0 时成立转化为k ＜ （x ＞ 0）成立，由此问题转化为求 g （x ）=在 x ＞ 0 上的最小值问题，求导，确定出函数的最小 值，即可得出 k 的最大值；本题考查利用导数求函数的最 值及利用导数研究函数的 单调性，解题的关键是第一小 题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最小 值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出错．。
福建省宁德市高中同心顺联盟校2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案
宁德市高中同心顺联盟校2018—2019学年第二学期期中考试高一数学试题（考试时间120分钟，满分150分）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡．．．的相应位置填涂．1．直线的倾斜角为（ ）A ．30oB ．150oC ． 120oD ．60o2．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ）A. 三点确定一平面B. 不共线三点确定一平面C. 两条相交直线确定一平面D. 两条平行直线确定一平面3.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM 与BN 所成角的大小为（ ）A ．00B ．090C ．060D ．0454. 已知点)1,3(M 在圆C:0424222=+++-+k y x y x ，则k 的取值范围（ ） A ．216k - B ．216 k k 或- C ．6- k D ．21k 5．对于不同的直线n m l 、、及平面，α下列命题中错误的是（ ） A.若，∥，∥n m m l 则n l ∥ B.若，∥，ααn l ⊥则n l ⊥ C.若，∥，∥ααn l 则n l ∥ D.若，∥，n m m l ⊥则n l ⊥ 6．圆02-22=+x y x 和圆0422=++y y x 的位置关系是( )A ．内切B ．外切C ．相交D ．外离7．在同一直角坐标系中，能正确表示直线y ax =与y x a =+的形状是( )A ．B ．C ．D ．8．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8．若侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面恰好过AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点，当底面ABC 水平放置时，液面高为（ ）A ．6B ．7C ．2D ．49.若圆()()22:514C x y -++=上有n 个点到直线4320x y +-=的距离为1，则n 等于 （ ）A ．2B ．1 C. 4 D ．310．在梯形ABCD 中，∠ABC=90°，AD ∥BC ，BC=2AD=2AB=2．将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．B ．C ．2πD ．11.如图：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，设直线A 1B 与平面A 1DCB 1所成角为θ1，二面角A 1﹣DC ﹣A 的大小为θ2，则θ1，θ2为（ ）A ．30o ，45oB ．45o ，30oC ．30o ，60oD ．60o ，45o12．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成四面体ABCD ，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是（ ）xy Oxy Ox y Ox y OA ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面ABCC ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面BDC 二、填空题：每小题5分，共20分.13.在空间直角坐标系中，设()(),2,3,1,1,1A m B -，且AB =m = ．14. 已知圆C:4)2(22=+-y x ，点P 在圆C 上运动，则OP 的中点M 的轨迹方程 ． （O 为坐标原点）15．一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为16．如图所示，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且，则下列结论中正确的是 ．①EF ∥平面ABCD ；②△AEF 的面积与与△BEF 的面积相等③平面ACF ⊥平面BEF ； ④三棱锥E ﹣ABF 的体积为定值； 三、解答题：要求写出过程，共70分. 17．（本小题满分10分）已知ABC ∆三个顶点是(1,4)A -，(2,1)B --，(2,3)C . （1）求BC 边上的垂直平分线的直线方程； （2）求ABC ∆的面积18．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10，点D 是AB 的中点．（1）求证：AC ⊥BC 1； （2）求证：AC 1∥平面CDB 1；19．（本小题满分12分）已知圆22:()(2)4(0)C x a y a -+-=>及直线3:+=x y l ，直线l被圆C 截得的弦长为（1）求a 的值；（2）求过点M (3,5)并与圆C 相切的切线MT 方程.20．(12分)已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ＝PD ＝2，面ABCD ⊥面PAD ，E 为CD 的中点．(1)求证：PD ⊥平面PAB ； (2)求三棱锥P －ABE 的体积．21．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ， //AB CD ， 90BAD ∠=︒，AD ，22DC AB ==，E 为BC 中点．(1) 求证：平面PBC ⊥平面PDE ；(2)线段PC 上是否存在一点F ，使PA ∥平面BDF ?若存在，求PFPC的值；若不存在，说明理由．22．(12分)已知直线l ：(k －1)x －2y ＋5－3k ＝0(k ∈R )恒过定点P ，圆C 经过点A (4,0)和点P ，且圆心在直线x －2y＋1＝0上．(1) 求圆C 的方程；(2) 已知点P 为圆C 直径的一个端点，若另一端点为点Q ，问y 轴上是否存在一点M (0，m )，使得△PMQ 为直角三角形，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．宁德市高中同心顺联盟校2018—2019学年第二学期期中考试高一数学答案卷（考试时间：120分钟满分：150分 ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.C2. B3. B4. A5.C6. C7.D8. A9. B 10.D 11．A 12.B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1 14. 1)1(22=+-y x 15. 21π 16. ①③④ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知ABC ∆三个顶点是(1,4)A -，(2,1)B --，(2,3)C . （Ⅰ）求BC 边上的垂直平分线的直线方程； （Ⅱ）求ABC ∆的面积 17. （本小题满分10分） 解：（1）(2,1)B --，(2,3)C31122BC k +∴==+， …………………2分 则所求直线的斜率为：1k =- ………………………………3分又BC 的中点D 的坐标为(0,1)，所以BC 边的上的中垂线所在的直线方程为： 10x y +-= ……………………………5分（2）直线BC 的方程为：10x y -+= .。
福建省宁德市部分一级达标中学2018-2019学年高二年下学期期中考试题word版数学(理)试题1
yxO yxO2018-2019学年宁德市部分一级达标中学第二学期期中联合考试高二数学（理科）试题(满分:150分; 时间:120分钟)注意事项：1.答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚.2.每小题选出答案后，填入答案卷中.3.考试结束，考生只将答案卷交回，试卷自己保留.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z 满足(2)43z i i (i 为虚数单位)，则z 为（ ）A ．2i -B ．2iC ．12i -D ．12i + 2．已知函数()sin(2)16f x x，则'(0)f （ ）A ．12B．1 C ．2 D3．用反证法证明命题“设a ，b ，c 为实数，满足3a b c 则a ，b ，c 至少有一个数不小于1”时，要做的假设是（ ）A ．a ，b ，c 都小于2B ．a ，b ，c 都小于1C ．a ，b ，c 至少有一个小于2D ．a ，b ，c 至少有一个小于1 4．已知曲线2ln 22x yx 的一条切线的斜率为32，则切点的横坐标为（ ）A ．1B ．12-C ．2D ．12-或2 5．若不等式22ln 30x x x ax +++≥对(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值是( ) A ．4- B ．0 C ．2D ．46．函数2()xx xf x e +=的大致图象是（ ）A ． C ． D7．下面使用类比推理，得到的结论正确的是（ ）A ．直线,,a b c ,若a //b ，b //c ，则a //c .类比出:向量a ⃗ ,b ⃗⃗ ,c ⃗，若a ⃗//b ⃗⃗,b ⃗⃗//c ⃗，则a ⃗//c ⃗.B ．同一平面内,直线,,a b c ,若,ac b c 则a //b .类比出:空间中,直线,,a b c ,若,a c b c ,则a //b .C ．以点(0,0)为圆心,r 为半径的圆的方程为x 2+y 2=r 2.类比出:以点(0,0,0)为球心,r 为半径的球面的方程为x 2+y 2+z 2=r 2.D ．实数a,b ,若方程x 2+ax +b =0有实数根,则a 2≥4b .类比出:复数a,b ,若方程x 2+ax +b =0有实数根,则a 2≥4b . 8．已知函数322()3f x x ax bx a ，在1x 时有极值0，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．1或39. 已知双曲线C ：22221x y a b (a >0,b >0)的右支与抛物线24x y 交于,A B 两点，F 是抛物线的焦点，O 是坐标原点，且6AF BF OF ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．32B ．2C ．10．有一天，宁德市的某小区发生了一起数额较大的盗窃案．失主报案后，经过侦察，查明作案人肯定是甲、乙、丙、丁四人中的一人．经过审讯，这四个人的口供如下： 甲：被盗的那天，我在福安市，所以我不是罪犯． 乙：丁是罪犯．丙：乙是盗窃犯，当天，我看见他出入小区． 丁：乙同我有仇，有意诬陷我．因口供不一致，无法判断谁是罪犯．经过测谎知道，这四人只有一个人说的是真话，那么罪犯是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 11．已知函数2ln ()xf x x ，若方程()0f x a 恰有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12ae B ．102a e C ．2a e D ．20a e12．设函数()f x 在R 上的导函数是'()f x ，对,'()x R f x x ∀∈<，若1(1)()2f a f a a --≤-，则实数a 的取值范围是（ ） A ． 12a ≤B ．102a ≤≤C ．12a ≥D ．112a ≤≤第II 卷 （非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13．计算22(sin cos )x x dx ππ-+=⎰ .14．“AC 、BD 是菱形ABCD 的对角线，AC 、BD 互相垂直．”以上推理的大前提是________．15．已知函数1()2ax f x x 在区间2,上为减函数，则a 的取值范围是________．16．设f′(x)是函数f(x)的导数，f′′(x)是函数f′(x)的导数，若方程f′′(x)=0有实数解x 0，则对称点(x 0，f(x 0))为函数f(x)的拐点，经过探究发现：任何一个三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx +d(a ≠0)都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数3231()122f x x x x =-++，利用上述探究结果计算：1232019()()()()2020202020202020f f f f ++++= . 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知复数z 1,z 2在复平面内对应的点分别为A(−2,0),B(a,2)．且|z 1−z 2|=2. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若|z |=1，求|z −z 1|的最大值.18． (本小题满分12分)观察以下3个等式11=13211；112+=1335221； 1113++=133557231；（Ⅰ）按照以上式子规律，写出=4n ，=5n 的等式，并猜想第n 个等式*()nN ；（Ⅱ）用数学归纳法证明上述所猜想的第n 个等式成立*()n N .19．(本小题满分12分)宁德市某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费t（百万元），可增加的销售额为25t t （百万元）（03t ）.（Ⅰ）若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？（注：收益=销售额-投入费用）（Ⅱ）现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费x （百万元），可增加的销售额约为32133x x x （百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大.20．(本小题满分12分) 如图，直三棱柱111ABC A B C 中，120ACB 且12ACBCAA ，E 是棱1CC 上的动点，F 是棱AB 的中点.（Ⅰ）当E 是棱1CC 的中点时，证明：CF //平面1AEB ；（Ⅱ）在棱1CC 上是否存在一点E ，使得平面1AEB 与平面ABC 所 成锐二面角为6，若存在，求出CE 的长，若不存在，请说明理由.21．(本小题满分12分)已知椭圆:C )0(12222>>=+b a b y a x 的一个焦点为)0,1(F ，离心率21=e ，定直线4:=x l ，椭圆的左、右顶点分别为A 、B ．过点F 的直线交C 于D 、E 两点，直线AD 、AE 与直线l 分别相交M 、N 两点． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）以MN 为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．22．(本小题满分12分) 已知函数()ln 1x f x me x .1A（Ⅰ）若21()(1)1(0)2xg x me ax a x a ，讨论()()()h x f x g x 的单调性；（Ⅱ）当1m 时，证明：()1f x .2018-2019学年第二学期期中考试高二数学（理科）试题答案一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13． 2 14．菱形对角线互相垂直 15．1-,2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭16．2019 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知复数z 1,z 2在复平面内对应的点分别为A(−2,0),B(a,2)．且|z 1−z 2|=2 （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若|z |=1，求|z −z 1|的最大值.解：（Ⅰ）由复数的几何意义可知：122,2z z a i =-=+ ······································ 1分12222z z a i -=---== ·············································· 4分2a ∴=-. ································································································· 5分 （Ⅱ）法一：设(,)z m ni m n R =+∈ ····························································· 6分 由1z =得221m n +=， ············································································· 7分 故复数z 对应的点轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆 ······································· 8分∴1z z -表示圆上的点到A 的距离 ································································ 9分 ∴1z z -的最大值为3 ·············································································· 10分法二：设(,)z m ni m n R =+∈ ······································································ 6分 由1z =得221(11)m n m +=-≤≤ ································································ 7分∴()12z z m ni -=++，13z z -==≤ ······················· 9分∴1z z -的最大值为3 ·············································································· 10分18． (本小题满分12分)观察以下3个等式11=13211；112+=1335221； 1113++=133557231；（Ⅰ）照以上式子规律，写出=4n ，=5n 的等式，并猜想第n 个等式*()nN ；（Ⅱ）用数学归纳法证明上述所猜想的第n 个等式成立*()n N .解：（Ⅰ）当=4n 时，11114+++=133******** ································ 1分当=5n 时，111115++++=13355779911251······················· 2分 故对任意*nN ,111+++=1335212121nn n n ··························· 4分 （Ⅱ）证明：①当=1n 时，左边=11=133 ，右边=11=2113左边=右边，所以等式成立。
福建省宁德市2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
福建省宁德市2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）注意事项：1. 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.2. 答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上.3. 全部答案在答题卷完成，答在本卷上无效.第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卷的相应位置. 1.直线0x y -=的倾斜角为（ ）A. 6πB.4π C.3π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】1k = 得到倾斜角为45︒.【详解】01tan 145x y k θθ-=⇒=⇒=⇒=︒ 故答案选B【点睛】本题考查了直线的倾斜角，属于简单题.2.某部门为了了解用电量y （单位：度）与气温x （单位：C ︒）之间的关系，随机统计了某3天的用电量与当天气温如表所示.由表中数据得回归直线方程$$0.8y x a=-+，则$a =（ ）A. 12.6B. 13.2C. 11.8D. 12.8【答案】A 【解析】 【分析】计算数据中心点，代入回归方程得到答案. 【详解】461173x ++== ，104773y ++== ，中心点为(7,7) 代入回归方程$$0.8y x a=-+ $$70.8712.6aa =-⨯+⇒= 故答案选A【点睛】本题考查了回归方程，掌握回归方程过中心点是解题的关键.3.若平面α和直线a ，b 满足a A α=I ，b α⊂，则a 与b 的位置关系一定是（ ）A. 相交B. 平行C. 异面D. 相交或异面 【答案】D 【解析】 【分析】当A b ∈时a 与b 相交，当A b ∉时a 与b 异面. 【详解】当A b ∈时a 与b 相交，当A b ∉时a 与b 异面. 故答案为D【点睛】本题考查了直线的位置关系，属于基础题型.4.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin c a C =，则ABC ∆是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】sin sin sin sin (sin 0)sin 190c a C C A C C A A =⇒=≠⇒=⇒∠=︒ 故答案B【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.5.圆()()22132x y -+-=被y 轴所截得的弦长为（ ）A. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】先计算圆心到y 轴的距离，再利用勾股定理得到弦长.【详解】()()22132x y -+-=，圆心为(1,3) r =圆心到y 轴的距离1d =弦长2l == 故答案选C【点睛】本题考查了圆的弦长公式，意在考查学生的计算能力.6.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，45A =︒，30B =︒，2b =，则a =（ ）B.3C.D.3【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】2sin sin sin 45sin 30a b a a A B =⇒=⇒=︒︒故答案选C【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.7.在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1B C 与直线11A C 所成角是（ ） A. 45︒ B. 60︒C. 90︒D. 120︒【答案】B 【解析】 【分析】直线1B C 与直线11A C 所成角为1B CA ∠，1AB C ∆为等边三角形，得到答案. 【详解】如图所示：连接1,AC AB易知：直线1B C 与直线11A C 所成角为1B CA ∠1AB C ∆为等边三角形，夹角为60︒故答案选B【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力.8.圆224x y +=与圆222440x y x y +-+-=的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 内含【答案】B 【解析】 【分析】计算圆心距，判断与半径和差的关系得到位置关系. 【详解】22222440(1)(2)9x y x y x y +-+-=⇒-++=圆心距d =5,1R r R r +=-=R r d R r +>>-相交故答案选B【点睛】本题考查了两圆的位置关系，判断圆心距与半径和差的关系是解题的关键.9.2021年某省新高考将实行“312++”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件A ：“他选择政治和地理”，事件B ：“他选择化学和地理”，则事件A 与事件B （ ） A. 是互斥事件，不是对立事件 B. 是对立事件，不是互斥事件 C. 既是互斥事件，也是对立事件 D. 既不是互斥事件也不是对立事件【答案】A 【解析】 【分析】事件A 与事件B 不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.【详解】事件A 与事件B 不能同时发生，是互斥事件 他还可以选择化学和政治，不是对立事件 故答案选A【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.10.过点()1,3且与圆()2214x y ++=相切的直线方程为（ ）A. 512310x y -+=B. 3y =或43130x y +-=C. 1x =或512310x y -+=D. 1x =或512410x y +-=【答案】C 【解析】 【分析】分别考虑斜率存在和不存在两种情况得到答案.【详解】如图所示： 当斜率不存在时：1x =当斜率存在时：设25312512310231112k b k y kx b x y k b d b k ⎧=+⎧=⎪⎪⎪=+⇒⇒⇒-+=-+⎨⎨==⎪⎪=+⎩⎪⎩故答案选C【点睛】本题考查了圆的切线问题，忽略掉斜率不存在是容易发生的错误.11.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng ）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF 是一个刍甍.四边形ABCD 为矩形，ADE ∆与BCF ∆都是等边三角形，4AB =，2AD EF ==，则此“刍甍”的表面积为（ ）A. 883+B. 873+C. 83+D. 843+【答案】A 【解析】 【分析】分别计算出每个面积，相加得到答案.【详解】11222(24)222224822ABEF BCF ABCD S S S S =++=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+故答案选A 【点睛】本题考查了图像的表面积，意在考查学生的计算能力.12.定义平面凸四边形为平面上没有内角度数大于180︒的四边形，在平面凸四边形ABCD 中，30A ∠=︒，135B ∠=︒，AB =2AD =，设CD t =，则t 的取值范围是（ ）A. 3⎡⎤⎣⎦B. )3⎡⎣C.12⎤⎢⎥⎣⎦D.12⎫⎪⎪⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】先利用余弦定理计算1DB =，设DCB θ∠=，将CD t =表示为θ的函数，再求取值范围. 【详解】如图所示：2222cos 34611BD AD AB AD AB A BD =+-⋅=+-=⇒=9045DBA DBC ∠=︒⇒∠=︒在DBC ∆中，利用正弦定理：2(15135)sin 45sin sin t BDt θθθ=⇒=︒<<︒︒ 当90θ=︒ 当15θ=︒1 （不能取等号）t 的取值范围是1⎫⎪⎪⎣⎭故答案选D【点睛】本题考查了利用正余弦定理计算长度范围，将CD t =表示为θ的函数是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置. 13.已知直线1l ：230x y -+=与直线2l ：230x ay -+=平行，则a =______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用直线平行公式得到答案.【详解】直线1l ：230x y -+=与直线2l ：230x ay -+=平行44a a -=-⇒=故答案为4【点睛】本题考查了直线平行的性质，属于基础题型.14.如图，为了测量树木AB 的高度，在C 处测得树顶A 的仰角为60︒，在D 处测得树顶A 的仰角为30°，若10CD =米，则树高为______米.【答案】3【解析】 【分析】先计算10AC =，再计算53AB =【详解】在C 处测得树顶A 的仰角为60︒，在D 处测得树顶A 的仰角为30° 则3010DCA AC DC ∠=︒⇒== 在ABC ∆中，53AB = 故答案为53【点睛】本题考查了三角函数的应用，也可以用正余弦定理解答.15.在某校举行的歌手大赛中，7位评委为某同学打出的分数如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为______.【答案】2 【解析】 【分析】去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26，先计算平均值，再计算方差. 【详解】去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26 平均值为：2223242526245++++=方差为：22222(2224)(2324)(2424)(2524)(2624)25-+--+-+-=+故答案为2【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.16.已知三棱锥的底面是腰长为23为______. 【答案】9π2【解析】 【分析】先判断球心在1PO 上，再利用勾股定理得到半径，最后计算体积. 【详解】三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于322AC = 1O 为AC 中点，1O 为ABC ∆外心，连接1PO ，1PO AC ⊥113,21PA AO PO ==⇒=22211111PB PO BO PO BO PO =+⇒⊥⇒⊥平面ABC球心在1PO 上设半径为2223349(1)(2)232r r r r V r ππ⇒-+=⇒=⇒== 故答案为9π2【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.17.在ABC ∆中，已知点()3,2A ，AC 边上的中线BM 所在直线的方程为340x y --=，AB 边上的高所在直线的方程为()172y x =-. （1）求直线AB 的方程； （2）求点B 的坐标.【答案】（1）280x y +-=（2）()4,0 【解析】 【分析】（1）先计算12AB k k=-=-，过点()3,2A ，得到答案. （2）联立直线方程：280340x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得答案.【详解】解：（1）由AB 边上的高所在直线方程为()172y x =-得12k =，则12AB k k=-=-. 又∵()3,2A ，∴直线AB 的方程为()223y x -=--， 即280x y +-=（或28y x =-+）.（2）因为AC 边上的中线过点B ，则联立直线方程：280340x y x y +-=⎧⎨--=⎩.解得：40x y =⎧⎨=⎩， 即点B 坐标为()4,0.【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.18.在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，且4PD AD ==，点E 为线段PA 的中点.（1）求证：PC P 平面BDE ； （2）求三棱锥E BCD -的体积. 【答案】（1）见解析（2）163【解析】 【分析】（1）证明EO PC P 得到PC P 平面BDE .（2）先证明EF 就是三棱锥E BCD -的高，再利用体积公式得到三棱锥E BCD -的体积. 【详解】（1）证明：连结AC 交BD 于O ，连结EO . ∵四边形ABCD 是正方形， 在PAC ∆中，O 为AC 中点， 又∵E 为PA 中点 ∴EO PC P .又∵PC ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE . ∴PC P 平面BDE .（2）解：取AD 中点F ，连结EF .则EF PD P 且122EF PD ==. ∵PD ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ， ∴EF 就是三棱锥E BCD -的高. 在正方形ABCD 中，21482BCD S ∆=⨯=. ∴-111682333BCD E BCD V S EF ∆=⨯⨯=⨯⨯=三棱锥. 【点睛】本题考查了线面平行，三棱锥的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足222a b c bc =+-. （1）求角A ； （2）若2a =，4ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）3A π=（22【解析】 【分析】（1）直接利用余弦定理得到答案.（2）根据面积公式得到1bc =，利用余弦定理得到225b c +=，计算得到答案. 详解】解：（1）由222a b c bc =+-得222b c a bc +-=.∴2221cos 222b c a bc A bc bc +-===.又∵()0,A π∈，∴3A π=.（2）∵1sin 2ABC S bc A ∆==，∴1sin 234bc π=，则1bc =. 把2a =代入222a b c bc =+-得2214b c +-=即225b c +=.∴()2222527b c b c bc +=++=+=，则7b c +=.∴ABC ∆的周长为72+.【点睛】本题考查了余弦定理，面积公式，周长，意在考查学生对于公式的灵活运用.20.据某市供电公司数据，2019年1月份市新能源汽车充电量约270万度，同比2018年增长220%，为了增强新能源汽车的推广运用，政府加大了充电桩等基础设施的投入.现为了了解该城市充电桩等基础设施的使用情况，随机选取了200个驾驶新能源汽车的司机进行问卷调查，根据其满意度评分值（百分制）按照[)50,60，[)60,70，…，[)90,100分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中x 的值并估计样本数据的中位数；（2）已知满意度评分值在[)50,60内的男女司机人数比为3:2，从中随机抽取2人进行座谈，求2人均为女司机的概率.【答案】（1）0.025x =，中位数的估计值为75（2）110【解析】 【分析】（1）根据频率和为1计算x ，再判断中位数落在第三组[)70,80内，再计算中位数. （2）该组男司机3人，女司机2人.记男司机为：1A ，2A ，3A ，女司机为：1B ，2B .排列出所有可能，计算满足条件的个数，相除得到答案.【详解】解：（1）根据频率和为1得()0.00250.02750.040.005101x ++++⨯=. 则0.025x =.第一组和第二组的频率和为0.0250.2750.3+=，则中位数落在第三组[)70,80内.由于第三组的频率为0.4，所以中位数的估计值为75. （2） 设事件A ：随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机.[)50,60的人数为2000.0255⨯=人.∴该组男司机3人，女司机2人.记男司机为：1A ，2A ，3A ，女司机为：1B ，2B .5人抽取2人进行座谈有：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,AB ，()13,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B 共10个基本事件.其中2人均为女司机的基本事件为()12,B B . ∴()110m P A n ==. ∴随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机的概率是110. 【点睛】本题考查了中位数和概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.21.如图1，在Rt PDC ∆中，90D ∠=︒，A ，B ，E 分别是PD ，PC ，CD 中点，4PD =，22CD =.现将PAB ∆沿AB 折起，如图2所示，使二面角P AB C --为120︒，F 是PC的中点.（1）求证：面PCD ⊥面PBC ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成的角的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）66【解析】【分析】（1）证明BF ⊥面PCD 得到面PCD ⊥面PBC .（2）先判断BPC ∠为直线PB 与平面PCD 所成的角，再计算其正弦值.【详解】（1）证明：法一：由已知得：AB PA ⊥且AB AD ⊥，PA AD A ⋂=，∴AB ⊥面PAD . ∵AB CD ∥，∴CD ⊥面PAD .∵PD ⊂面PAD ，∴CD PD ⊥，又∵EF PD P ，∴CD EF ⊥， ∵CD BE ⊥，BE EB E =I ，∴CD ⊥面BEF .BF ⊂面BEF ，∴CD BF ⊥.又∵PB BC =且F 是PC 中点，∴PC BF ⊥，∴PC CD C =I ，∴BF ⊥面PCD . ∵BF ⊂面PBC ，∴面PBC ⊥面PCD . 法二：同法一得CD ⊥面PAD .又∵BE AD P ，AD ⊂面PAD ，BE ⊄面PAD ，∴BE P 面PAD . 同理EF P 面PAD ，BE EF E =I ，BE ⊂面BEF ，EF ⊂面BEF . ∴面PAD P 面BEF .∴CD ⊥面BEF ，BF ⊂面BEF ，∴CD BF ⊥.又∵PB BC =且F 是PC 中点，∴PC BF ⊥，∴PC CD C =I ，∴BF ⊥面PCD . ∵BF ⊂面PBC ，∴面PBC ⊥面PCD .（2）由（1）知BF ⊥面PCD ，∴PF 为直线PB 在平面PCD 上的射影. ∴BPC ∠为直线PB 与平面PCD 所成的角，∵AB PA ⊥且AB AD ⊥，∴二面角P AB C --的平面角是PAD ∠.∵2PA AD ==，∴PD =12EF PD ==又∵BF ⊥面PCD ，∴BF EF ⊥.在Rt BFE ∆中，1BF ==.在Rt PDC ∆中，PC =∴在Rt PFB ∆中，sin 6BF BPC PB ∠==. 【点睛】本题考查了面面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.22.已知过点()0,2M 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()2211x y -+=交于A ，B 两点.（1）求斜率k 的取值范围；（2）O 为坐标原点，求证：直线OA 与OB 的斜率之和为定值. 【答案】（1）34k <-（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据圆心到直线的距离小于半径得到答案.（2）联立直线与圆方程：()22211y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩.韦达定理得12212242141k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩计算OA OB k k +，化简得到答案.【详解】解：（1）直线l 的方程为：()20y k x -=-即20kx y -+=. 由()2211x y -+=得圆心()1,0C ，半径1r =.直线与圆相交得d r <1<.解得34k <-.所以斜率k 的取值范围为34k <-. （2）联立直线与圆方程：()22211y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 消去y 整理得()()2214240k x k x ++-+=.设()11,A x y ，()22,B x y ，根据韦达定理得12212242141k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩.则1212OA OB y y k k x x +=+21212121212284222()22122241k kx kx x x k k k k x x x x x x k --++++=+=++=+=+⋅+2211k k =-+=.∴直线OA 与OB 的斜率之和为定值1.【点睛】本题考查了斜率k 的取值范围，圆锥曲线的定值问题，意在考查学生的计算能力.。
福建省宁德市2018-2019学年高一下学期期末质量检测数学试题 扫描版含答案
宁德市2018—2019学年度第二学期高一期末考试参考答案说明：1．本解答给出了每题要考察的主要知识和能力和一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程 度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算。
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．C 7．B 8．B 9．A 10．C 11．A 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。
本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．4 14． 15．2 16．9π2三、解答题：本大题 共6小题，共70分。
17. 本题主要考查直线方程有关知识。
考查知识应用、运算化简能力。
满分10分。
17.解：（1）由AB 边上的高所在直线方程为1(7)2y x =-得12k =， 则12AB k k=-=- .................................................. 2分 又(3,2)A ,∴直线AB 的方程为22(3)y x -=--....................... 4分 即280x y +-=（或28y x =-+） .................................... 5分（2）因为AC 边上的中线过点B ，则联立直线方程：280340x y x y +-=⎧⎨--=⎩...... 7分 解得：40x y =⎧⎨=⎩.................................................... 9分 即点B 坐标为(4,0) ............................................... 10分18. 本题主要考点线面位置关系和空间几何体的体积公式等基础知识。
福建省宁德市部分一级达标中学高一数学下学期期中联考试题
福建省宁德市部分一级达标中学2019-2019学年高一数学下学期期中联考试题（扫描版）…、逛擇.£本賞电找垃中噩，聊*分.共*0甘・缶博來U蛛阳的西牛盪J1叩，帮HR1T -于遣垃是裕皆JBH整求的・r已*仏右是満豪不旳的HSL a.ArftS^¥W»TW<割下列•■!£・的建4 ??a丄矗#丄”挝恤丄尸強血丄/! 0丄产则®"产<?4命打邸触倂厠k"齐□科a丄禺h丄|2, _个盘平灵晋面弱瞎的料二测血观盟是化油槪誓片洁QD,萌中AH^AD-^C7>-K 且AB^CD. HI遠牛平面槻晤的lilH是5空阐拥枸半甸羸中"己知卢,乂（2.-2卫）和点HdI）・点0'腿血E黃于平甌垠松时驟乩^\r4B f\的长;醍己血蛊址f 方耗址r+*+2 =0, n-^-2h/Al,0).Ul*A丿与ttfit ftiJt 的取也龜出捷A.（-tfj-]}u[4,-H»） EL （-吧-12鼠"）G {74） P-卜】M]E己知H抉人的丹秤是r = mt4■小人的方軽jftj'二砒』咄巾"弄0*E #町・BTF列各IS廉中*B. €,D-«-«^i£R K \fl A 4 A6.若圆&的半径为h同心在强三象限.且与轴都相切*则诗哺的标離方A. (x + 1) + (v + 3)" = \B. (.r- 1)' +(y-3)' =1Cx (x-3)' +(>?-l)； = i D. (r + 3)2 +(_v+1)： = 17.如图，在四[£1* ABCD中，戢而EFM\!是正方形，则在下列选项中・正确的是A. AC=UDB. z7•劭圧lillff"亠EN 用」平曲角C M丄BD D. 界而苜线和水成"1⑷0S.已知頁线:jnx + 2y-1 =0(/, ；2.r + my-i = 0 , 则曲的值対A. 2(I. -2 C” 2i6i.-2 St. 09.喪国古低数学名普€敷书九，章)屮皙“養池盆测雨"曲:在下爾时・用-个圆台形的天池盆接雨朮"天池註41 口直径为二尺八也4£底覚径为一尺二寸*铁探一尺八寸“若盆中积水洙九寸"则平地降甫量是(注：①平地降雨就筹于笛中积水体积除以盆口面积T②—尺等于十寸[③合体的体积公式+ {5'|几+胃卜)"人:. 亠-71 氐2寸U 3寸 D °寸A1心肓程j2-x' = x + A有两个实散根・则密数*的范国足A+fee {^2.2)B. A E (- T/2, Jl) C.衣(-2,2) D* k E[V2,2)n我们把对披相警的四面体称为等腰四血体.已知彗確四面体戶一畀加’申，PA =再卩H=俪”PC =币・则尊旄四面怵P-ABC外接球的表面积为A ”]4打 B. 15兀 C. 1&开 D. 28zr12糊(X +4T)'+(J7)‘"上恰有4牛戊到苴边尸2x的距离为则实加的取值范甩r 亠*R朽 + 2 2-75y/i-2A. —¥<水宁R. -5-— J5-2 V5+2 土迈ex 至 2C —y-sv—y- P 3 3第11卷f非选择题共9iH>)注意事陌：用心弓毫米黑色卷水签字笔在答題卡上节写柞答，在试题卷上柞答，答秦无卄把林填在初卡的相应也・二填空1T本大魁共"W小叭处共加则d的服值砸U.已切匙粘点,呗严十肿吻裤E'，「曲Mi崟轻相第，则圆帷侧曲积与14.若十圆惟的体积与-球的体枫比是1：2,斤圆惟底面半3’球的衰面积之比为__________ ■15.若两砂+卅心和十公曲邮的取值范围是16.如图是正方悴平面握开图.在这个正方体中①她与DE垂直'②CN与所成的甬是60° ；③HN与平面BEM平疔；④月"与平面拆ED垂亘.上述命題中*正确命题的序号是_____________________ __ _三、解答題：本大題共6小题，共70分.解答应写出文字说明•证明过程或演算步鼻.17.（本翹浦分10分）己知宜线£ :2工-$_1 = 0柯岂线片：耳+即+ 7= 0相交于点F” 0是坐标原点.直线人经过点P且与O尸垂賣.（1 ）求宜线人的方粽；cn）求臥o点为80右io为半轻的圆与直线人的交点（?的坐标•18.｛本趣穡分12分）如图是幕直三棱柱］侧棧与底面垂直的三梭柱）按削去部分后的血观開与三视图中的侧视图、俯视图才在直观图中，E龜PC的中点・侧视阳是直角梯賂，俯观图足零鷹宜甬三角形，有关敌据如图所示.（I）求出该几何体的体秩：（ID^A是/K'的中点，求证：BF〃平面川DE.19.（本题满分12分）高一数学试划第3页共4贡「I ）若JltJU 与相切.求圆C 的方理；（11｝桔亢践『与圆厂相交于F 、0荫点.的中点为M （£】）求KF 的方程*20 （本題满欝12分）如图所示・在怏方^ABCD-A^C^中池Q 分别是和£D 中虬 PC = Pf ） = ^2, ZC^D-90（［）若底面ABCIJ^正方瞎*琳直蚁円与平而WD 所感 第的余弦值；fin 若四 Mr~QJ ］CD 的ft 枳为2,说异疏直线与 PD 所成轴前大小.31. ｛半題渦分吃分）如图所示，四棱锥P-A&CD 関證阳丄虑面ASCD ・底面为宜宦梯理・PD^AD = Aii^ 丄 CD".2（I ）尸D 上是杏存在--点M*使？1M 卅乎面PECt < n ）求点o 到詈面PHC 的距离•22. f 本亶満好I?分）已知圆G （x-4）\（y^）2=4r 直恥尸也一小直如与圆C 馭于P 、Q 稠昆刈为 线段尸0的中点• ⑴若|陀卜習・求直线/的方程；［心若直如与氏财："尸2"交于点叭査衆过定点乩求证：训为定值髀一钗学试翅第4页挞4贡2OJ M2019— 2019学年宁德市部分一级达标中学第一学期期中联合考试高一数学试题参考答案及评分标准（1） 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答 案的评分标准的精神进行评分.（2） 解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数 .（3） 评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分. 一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分1. D 2 . B 3 . C 4 . C 5 . D 6 . A 7 . C 8 . B 9 . C 10 . D 11.A 12.D 二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分. 13. 0, .. 5 1 14..5:4 15.[-5,-3丨一.1-1,1 1 16. 三、解答题：本大题共 6小题，共70分. 17 .（本题满分10分）19 .（本题满分12分） 解：（1）由直线l 与圆C 相切，可得圆C a,0到直线l:3x 2ay ^0的距离的 丄2x — y — 1 = 0 /曰 解:(1，得彳 、x+2y+7=0—3—0 ■ kop 3 一1 一0 1.直线丨3的方程y+3二-—X 1 ,即x 3y 10 =0 3 设Q -3y —10,y ，因为点Q 在圆x 2 y 2 =100上(2) 所以(—3y —10$+ y 2 =100，即 9y 2+60y+100 + y 2 = 100 .................... 所以y y • 6 =0,所以y =0或y 6 当 y =0时，Q -10,0，当 y 6 时，Q 8,-6 所以Q 的坐标-10,0或8-6 18 .（本题满分12分） AC _ 平面 ABDP VC 从BDP底.AC32+4 2 22=42分3分 5分7分9分 10分3分6分①②③④d =f=3,.9 4a2 2 2化为 a 3 = 9 4a ，即卩 a-2a =0，所以 a = 2或 a =0(舍).所以圆C 的方程为：X-2 2 y 2 =91_3(2)因为 CM _ PQ ，所以 K CM L K PQ = -1，即1,化为 2a 2 -7a *3=0,7-a 2a 21解得a =3或a...................... 7分220.(本题满分12分)解：(1)在长方体 ABCD -ABQD j 中，AD _平面CDD 1C 1■ - APD 是直线PA 与平面PCD 所成角底面ABCD 是正方形，.AD =2在 Rt I ADP 中，PD =吁2 , AD=2 PA =煜6近73----一 PA 一，6 一 3⑵ 解：取CD 中点E,连接PE,；PC 二PD ・PE —CD21.(本题满分12分)证明：(1)存在，M 为PD 的中点；M 取PD 的中点，N 为PC 的中点，连结AM ,M N,NB ,当a =3时，直线 l: X 2y 3=0, 圆心C 3,0到直线l 的距离d 二:::3，符合题意;1当时，直线l:3x y^，圆心C320到直线1的距离d=',3，不符合题意；11分综上，满足题意的直线l 的方程为X 2y ^012分PDcos_APD1由MN //— CD =AB，有L AMNB，故AM // BN , ............... 3 分2又BN 平面PBC , AM二平面PBC ，所以AM //平面PBC ................................. 4分(2)过点D作PB的垂线DE E为垂足，连结BD由BD2 BC2=BC2，有BC_BD，....................... 5 分由PD _ 底面ABCD，有PD _ BC因此BC _平面PBD ,平面PBD _平面PBC , ........................... 7分又平面PBD"平面PBC=PB , DE _ PB所以DE _平面PBC ，即DE就是点D到平面PBC的距离，............ 9分在Rt PBD中由PB[DE 二BD_PD , , 3DE =1 .211分点D到平面PBC的距离为—3主：用等积法求得点6D到平面PBC的距离为—同样给分322.（本题满分12分）12分4k —3 — k解：（1）圆心C到直线I的距离d二2 43 化为12k -25k+12=0，解得k 或k 二一3 4 所以直线I的方程为4x-3y -4=0或3x-4y-3=0(2)法1 由CM _1，知k CM k，由'y 二k x-11 j y _3 x _4 kk2+3k +4 3k2+3k k2 +1 ' k2+1」2分4分5分7分又A 1,0故即AM AN |是定值9法2连结CA ，并延长交「于点D ，由于k Ac L k yu -1，所以AD _「,又CM 丄I ，所以RUAMC s RUADN ，因此如=俎，即AM [AN =| AC 」ADAC AN...................... 8分又 l:y=k x -1 , l:x y 2=0, A 1,0 , C 4,3所以 AM [AN =|AC ]AD| =3血汇莘=9V 2由八C ，得N 口x y 2 =0k 1—3k 12分因此 AC = J(4 —1 2 +(3—0 2 =3旋,AD1+0+2 32 1210分12分。
福建省宁德市部分一级达标中学2018-2019学年高一上学期期中联考试题+数学
b 3x 1 a 3x 是奇函数 .
（Ⅰ）求实数 a, b 的值；
（Ⅱ）判断 f (x) 的单调性，并用定义证明 .
21． (本小题满分 12 分 )
-3-
D． ( , 1)
3．下列各组函数中，表示同一函数的是 A. f ( x) x2 , g( x) x3
B. f (x) x2 , g( x) ( x) 2
C. f ( x)
x2 ,
g(x)
x
x
D． f ( x) x , g( x)
x, x 0 x, x 0
4．已知函数 f ( x)
2 x 1, x 0 , 若 f ( x) 3, 则实数 x 的值为
x, x 0
A． 3
B． 1
5．下列函数是奇函数且在 (0,
C． 3或 1 ) 上单调递减的是
D． 3或 1或 3
A. y x2
B. y x
C. y log 1 x
2
1 D. y
x
6．函数 f (x) 3x 2x 7 的零点所在的区间为
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2, 3)
7． 三个数 a 30.6, b log3 0.6, c 0.63 的大小顺序是
D. (3, 4)
A． a>c>b
B． a>b>c
C． b>a>c
D． c>a>b
8．函数 f (x) ax 与 g( x) log 1 x （ a 0且 a 1）在同一坐标系中的图象可以是
a
-1-
y
1
1
x
o
y
1
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2018～2019学年宁德市部分一级达标中学第二学期期中联合考试高二数学试题(文科) (满分:150分; 时间:120分钟)注意事项：1.答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚.2.每小题选出答案后，填入答案卷中.3.考试结束，考生只将答案卷交回，试卷自己保留.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在极坐标系中，点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭与2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的位置关系是A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．重合D ．关于直线(R)2πθρ=∈对称2．欧拉公式cos sin i e i θ=θ+θ（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的，10i e π+=是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根据欧拉公式可知，复数3i e π的虚部为3. 用反证法证明命题“设a ，b ，c 为实数，满足3a b c ++=，则a ，b ，c 至少有一个数不小于1”时，要做的假设是A ．a ，b ，c 都小于2B ．a ，b ，c 都小于1C ．a ，b ，c 至少有一个小于2D ．a ，b ，c 至少有一个小于14．函数()2()2sin f x ex x =+的导数是A ．()4cos f x ex x '=+B ．()4cos f x ex x '=-C ．2()8cos f x e x x '=+D ．2()8cos f x e x x '=-5. ====2a b +的值分别是A ．79B ．81C ．100D ． 986．曲线312()33f x x x =-++在点(2,(2))f 处的切线与坐标轴围成的三角面积为A ． 6B ．32C ．3D ．127．函数()3ln f x x x =+的单调递减区间是A ．1(,)e eB ．1(0,)eC ．1(,)e -∞D ．1(,)e+∞8. 2018年4月,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:爸爸:冠军是甲或丙；妈妈:冠军一定不是乙和丙；孩子:冠军是丁或戊. 比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是A ．甲B ．丁或戊C ．乙D ．丙9．函数2()x x xf x e+=的大致图象是A ．B ．C ．D ．10. 用长为30 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架（即12条棱长总和为30cm ），要求长方体的长与宽之比为3：2，则该长方体最大体积是A ．24B ．15C ．12D ．611．若12>>1x x ，则A. 1221x x x e x e >B. 1221x x x e x e <C. 2112ln ln x x x x >D.2112ln ln x x x x <12．对0x ∀>，不等式ln 2ax ex x≥-+恒成立，则实数a 的取值范围为 A.2(,)e-∞-B.(,2)e -∞-C.2(,]e-∞-D. (,2]e -∞-第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13．若复数(1)(2)z m m i =-++对应的点在直线10x y ++=上，则实数m 的值是_______．14．在极坐标系中，已知两点(3,)3A π，(4,)6B π-，则A ，B 两点间的距离为_______．15．设等边ABC 的边长为a ，P 是ABC 内的任意一点，且P 到三边AB 、BC 、CA 的距离分别为1d 、2d 、3d ，则有123d d d ++为定值2a ；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD 的棱长为3，P 是正四面体ABCD 内的任意一点，且P 到四个面ABC 、ABD 、ACD 、BCD 的距离分别为1d 、2d 、3d 、4d ，则有1234d d d d +++为定值_______．16．已知函数31()32x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数．若2()(2)0f a f a +-<，则实数a 的取值范围是_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)在极坐标系下，已知圆C ：θθρsin cos +=和直线:20l x y -+=， （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程； （Ⅱ）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．18．(本小题满分12分)（Ⅰ）已知m R ∈，复数22(45)(215)z m m m m i =--+--是纯虚数，求m 的值；（Ⅱ）已知复数z 满足方程(2)=0z z i +-，求z 及2i z +的值．19．(本小题满分12分)设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3， （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围.20．(本小题满分12分)已知函数1()42xf x =+， （Ⅰ）分别求(0)(1)f f +，(1)(2)f f -+，(2)(3)f f -+的值； （Ⅱ）由上题归纳出一个一般性结论，并给出证明．21．(本小题满分12分)已知函数()ln f x x =，2()()(0,)g x a x x a a R =-≠∈，()()()h x f x g x =- （Ⅰ）若1a =，求函数()h x 的极值；（Ⅱ）若函数()y h x =在[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围．22．(本小题满分12分)设函数()2x f x e ax =--． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，'()()10x k f x x -++>，求k 的最大值．2018--2019学年宁德市部分一级达标中学第二学期期中联合考试高二数学（文科）试题答案一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．12．解析：分离参数得x ex x x a 2ln 2-+≤，令x ex x x x h 2ln )(2-+=，12ln )(-+='ex x x h 在),0(+∞∈x 单调递增，且0)1(=eh ，所以)(x h 在)1,0(e x ∈单调递减，),1(+∞∈e x 单调递增，e x h 2)(min -=，ea 2-≤，选C二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1- 14．5 15 16．(2,1)-三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)解：（Ⅰ）圆C ：=cos sin ρθθ+，即2=cos sin ρρθρθ+，圆C 的直角坐标方程为：22x y x y +=+，即220x y x y +--=； ··· 3分直线:20l x y -+=，则直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+=． · 6分（Ⅱ）由圆C 的直角坐标方程为220x y x y +--=可知圆心C 坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， 圆心C= ············· 8分因此圆C 上的点到直线l的最短距离为2． ············10分 18．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）当2245051532150m m m m m m m m ⎧--===-⎧⎪⇒⎨⎨≠≠---≠⎪⎩⎩或且， ……………………………4分解得1m =-时，z 为纯虚数. ……………………………………………………… 6分 （Ⅱ）2i 21i 1i (1i)(1i)z -===+++-， ………………………………………………… 8分 从而1i z =-， ………………………………………………………… 10分 所以2i z +=………………………………………… 12分19．(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）2()3(2),f x x '=-令()0,f x '= 得12x x =， ……………………… 2分∴当x <或x >时，()0f x '>；当x <<时，()0f x '<；…………… 4分∴)(x f 的单调递增区间是(,-∞，)+∞；单调递减区间是)2,2(-. ……… 6分（Ⅱ） 当x =()f x 有极大值5+；当x =()f x 有极小值5- 9分∴由)(x f y =的图像性质可知：当55a -<<+直线y a =与()y f x =的图象有3个 不同交点，即方程α=)(x f 有三解. …………………………………………………… 12分 20．(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）0111111(0)(1)=+=+=4242362f f +++； ………………………………… 2分 同理-11(142f f-+++； ………………………………… 4分-23111611(2)(3)=+=+=424233662f f -+++． ………………………………… 6分 （Ⅱ）由此猜想：当12+=1x x 时，121()()=2f x f x +． ………………………………… 8分证明：设12+=1x x ，则1112111111121-111114241()()=+=+=+=+42424242424242(422(422x x x x x x x x x x f x f x +=++++++⨯⨯+⨯+））， 故猜想成立． ……………………………… 12分21．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）根据题意可知y h x =()的定义域为+∞(0,)， ······ 1分1()21h x x x '=-+=2分故当x ∈(0,1)时，h x '>()0,故h x ()单调递增； 3分 当x ∈+∞(1,)时，h x '<()0,故h x ()单调递减， 4分 所以当x =1时，h x ()取得极大值h =(1)0，无极小值．（极小值未写扣1分） ·················· 6分 （Ⅱ）由h x x a x x =--2()ln ()得h x a x x'=--1()(21)， ·· 7分 若函数y h x =()在+∞[1,)上单调递减， 此问题可转化为h x a x'=--≤1()(21)8分 x a x x x ≥==--1121(21)9分 当x ≥1时，x x -≥221，则x x <≤-21012，x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭2max112， ···11分 故a ≥1，即a 的取值范围为[)+∞1,． 12分 22．(本小题满分12分)．解：（Ⅰ）由于'()x f x e a =-， ·············· 1分当0a ≤时，'()0f x >恒成立，故()f x 在R 上单调递增； 2分 当0a >时，令'()0f x >，得ln x a >；令'()0f x <，得ln x a <，所以()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增． 4分 （Ⅱ）解法一：由于1a =，所以'()()1()(1)1x x k f x x x k e x -++=--++． 故当0x >时，()(1)10x x k e x --++>等价于()1x x k e k ->--． · 5分 设()()x g x x k e =-，则'()()(1)x x x g x e x k e x k e =+-=-+， · 6分 令'()0g x >，得1x k >-；令'()0g x <，得1x k <-，所以，()g x 在(0,1)k -上单调递减，在(1,)k -+∞上单调递增． ··· 7分 又0x >，当1k ≤时，()g x 在(0,)+∞上单调递增，故(0,)x ∈+∞时，()(0)g x g k >=-，这时显然有()1g x k >--成立； 8分 当1k >时，()g x 在(0,1)k -上单调递减，在(1,)k -+∞上单调递增， 故(0,)x ∈+∞时，()g x 在1x k =-处取得最小值1(1)k g k e --=-．要使得()1x x k e k ->--（0x >）成立，需11k e k -->--，即11k e k -<+． 9分 由（Ⅰ）知，函数()2x h x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >，所以()h x 在(0,)+∞存在唯一的零点， ·····10分 故'()g x 在(0,)+∞存在唯一的零点．设此零点为0x ，则0(1,2)x ∈． ··11分 因为k 为整数，且1k >，故2k ≤，即整数k 的最大值为2． ···12分解法二：由于1a =，所以'()()1()(1)1xx k f x x x k e x -++=--++． 故当0x >时，()(1)10x x k e x --++>等价于11x x k e +<-（0x >）． ·· 6分 令1()1x x g x x e +=+-，则'221(2)()1(1)(1)x x x xx xe e e x g x e e ----=+=--． ···· 7分 由（Ⅰ）知，函数()2x h x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >，精品 教育 试卷 习题 文档11 所以()h x 在(0,)+∞存在唯一的零点，故'()g x 在(0,)+∞存在唯一的零点． 8分 设此零点为0x ，则0(1,2)x ∈．当0(0,)x x ∈时，'()0g x <，()g x 单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，'()0g x >，()g x 单调递增． ······ 9分 所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为00001()1x x g x x e +=+-． ·······10分 又由'0()0g x =，可得002x e x =+， 所以000001()1(2,3)(2)1x g x x x x +=+=+∈+-． ·········11分 又由11x x k e +<-（0x >）等价于0()k g x <，故整数k 的最大值为2． ··12分。
2018-2019学年福建省宁德市部分一级达标中学高二下学期期中考试数学(文)(含答案)
宁德部分一级达标中学2018-2019学年下学期期期中联合考试高二数学试卷（文科）(满分:150分; 时间:120分钟)注意事项：1.答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚.2.每小题选出答案后，填入答案卷中.3.考试结束，考生只将答案卷交回，试卷自己保留.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在极坐标系中，点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭与2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的位置关系是 A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．重合D ．关于直线(R)2πθρ=∈对称2．欧拉公式cos sin i e i θ=θ+θ（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是瑞士著名数学家 欧拉发明的，10i e π+=是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根 据欧拉公式可知，复数3i e π的虚部为3. 用反证法证明命题“设a ，b ，c 为实数，满足3a b c ++=，则a ，b ，c 至少有一个数不小于1”时，要做的假设是A ．a ，b ，c 都小于2B ．a ，b ，c 都小于1C ．a ，b ，c 至少有一个小于2D ．a ，b ，c 至少有一个小于1 4．函数()2()2sin f x ex x =+的导数是A ．()4cos f x ex x '=+B ．()4cos f x ex x '=-C ．2()8cos f x e x x '=+D ．2()8cos f x e x x '=-5. ====2a b +的值分别是A ．79B ．81C ．100D ． 986．曲线312()33f x x x =-++在点(2,(2))f 处的切线与坐标轴围成的三角面积为 A ． 6 B ．32C ．3D ．127．函数()3ln f x x x =+的单调递减区间是A ．1(,)e e B ．1(0,)e C ．1(,)e -∞ D ．1(,)e+∞8. 2018年4月,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:爸爸:冠军是甲或丙；妈妈:冠军一定不是乙和丙；孩子:冠军是丁或戊. 比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是A ．甲B ．丁或戊C ．乙D ．丙9．函数2()xx xf x e +=的大致图象是A ．B ．C ．D ．10. 用长为30 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架（即12条棱长总和为30cm ），要求长方体的长与宽之比为3：2，则该长方体最大体积是A ．24B ．15C ．12D ．6 11．若12>>1x x ，则A. 1221x x x e x e >B. 1221x xx e x e < C. 2112l n l n x x x x > D. 2112ln ln x x x x <12．对0x ∀>，不等式ln 2ax ex x≥-+恒成立，则实数a 的取值范围为 A.2(,)e-∞-B.(,2)e -∞-C.2(,]e-∞-D. (,2]e -∞-第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 13．若复数(1)(2)z m m i =-++对应的点在直线10x y ++=上，则实数m 的值是_______． 14．在极坐标系中，已知两点(3,)3A π，(4,)6B π-，则A ，B 两点间的距离为_______．15．设等边ABC 的边长为a ，P 是ABC 内的任意一点，且P 到三边AB 、BC 、CA 的距离分别为1d 、2d 、3d ，则有123d d d ++；由以上平面图形的特性类比 空间图形：设正四面体ABCD 的棱长为3，P 是正四面体ABCD 内的任意一点，且P 到四个面ABC 、ABD 、ACD 、BCD 的距离分别为1d 、2d 、3d 、4d ，则有1234d d d d +++为定值_______．16．已知函数31()32x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数．若2()(2)0f a f a +-<，则实数a 的取值范围是_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)在极坐标系下，已知圆C ：θθρsin cos +=和直线:20l x y -+=， （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程； （Ⅱ）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．18．(本小题满分12分)（Ⅰ）已知m R ∈，复数22(45)(215)z m m m m i =--+--是纯虚数，求m 的值；（Ⅱ）已知复数z 满足方程(2)=0z z i +-，求z 及2i z +的值．19．(本小题满分12分)设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3， （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围.20．(本小题满分12分)已知函数1()42x f x =+， （Ⅰ）分别求(0)(1)f f +，(1)(2)f f -+，(2)(3)f f -+的值； （Ⅱ）由上题归纳出一个一般性结论，并给出证明．21．(本小题满分12分)已知函数()ln f x x =，2()()(0,)g x a x x a a R =-≠∈，()()()h x f x g x =- （Ⅰ）若1a =，求函数()h x 的极值；（Ⅱ）若函数()y h x =在[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围．22．(本小题满分12分)设函数()2xf x e ax =--． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，'()()10x k f x x -++>，求k 的最大值．2018--2019学年宁德市部分一级达标中学第二学期期中联合考试高二数学（文科）试题答案一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．12．解析：分离参数得x ex x x a 2ln 2-+≤，令x ex x x x h 2ln )(2-+=，12ln )(-+='ex x x h 在),0(+∞∈x 单调递增，且0)1(=eh ，所以)(x h 在)1,0(e x ∈单调递减，),1(+∞∈e x 单调递增，e x h 2)(min -=，ea 2-≤，选C二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1- 14．5 15 16．(2,1)-三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)解：（Ⅰ）圆C ：=cos sin ρθθ+，即2=cos sin ρρθρθ+，圆C 的直角坐标方程为：22x y x y +=+，即220x y x y +--=； ···················3分 直线:20l x y -+=，则直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+=．············6分（Ⅱ）由圆C 的直角坐标方程为220x y x y +--=可知圆心C 坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭， 圆心C = ················································8分因此圆C 上的点到直线l ． ············································· 10分 18．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）当2245051532150m m m m m m m m ⎧--===-⎧⎪⇒⎨⎨≠≠---≠⎪⎩⎩或且， ……………………………4分解得1m =-时，z 为纯虚数. ……………………………………………………… 6分（Ⅱ）2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===+++-，………………………………………………… 8分从而1i z =-， ………………………………………………………… 10分所以2i (1i)2i 1i z +=-+=+ ………………………………………… 12分19．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）2()3(2),f x x '=-令()0,f x '= 得12x x == ……………………… 2分∴当x <x >()0f x '>；当x <<()0f x '<；……………4分∴)(x f 的单调递增区间是(,-∞，)+∞；单调递减区间是)2,2(-. ……… 6分（Ⅱ） 当x =()f x 有极大值5+当x =()f x 有极小值5-；………… 9分∴由)(x f y =的图像性质可知：当55a -<<+y a =与()y f x =的图象有3个不同交点，即方程α=)(x f 有三解. …………………………………………………… 12分20．(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）0111111(0)(1)=+=+=4242362f f +++； ………………………………… 2分同理-1211411(1)(2)=+=+=42429182f f -+++； …………………………………4分-23111611(2)(3)=+=+=424233662f f -+++． ………………………………… 6分（Ⅱ）由此猜想：当12+=1x x 时，121()()=2f x f x +． …………………………………8分证明：设12+=1x x ，则1112111111121-111114241()()=+=+=+=+42424242424242(422(422x x x x x x x x x x f x f x +=++++++⨯⨯+⨯+）），故猜想成立． ……………………………… 12分21．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）根据题意可知y h x =()的定义域为+∞(0,)， ·······························1分··········2分故当x ∈(0,1)时，h x '>()0,故h x ()单调递增； ············3分 当x ∈+∞(1,)时，h x '<()0,故h x ()单调递减， ·······4分 所以当x =1时，h x ()取得极大值h =(1)0，无极小值．（极小值未写扣1分） ····································································6分（Ⅱ）由h x x a x x =--2()ln ()得h x a x x'=--1()(21)， ········7分 若函数y h x =()在+∞[1,)上单调递减，此问题可转化为h x a x x'=--≤1()(21)0对x ≥1恒成立； ······························8分x a x x x ≥==--1121(21)x x ≥-max 21()2 ·········9分 当x ≥1时，x x -≥221，则x x <≤-21012，x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭2max112， ··············· 11分 故a ≥1，即a 的取值范围为[)+∞1,． ········ 12分 22．(本小题满分12分)．解：（Ⅰ）由于'()xf x e a =-， ····················································1分当0a ≤时，'()0f x >恒成立，故()f x 在R 上单调递增； ············2分 当0a >时，令'()0f x >，得ln x a >；令'()0f x <，得ln x a <，所以()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增． ······4分 （Ⅱ）解法一：由于1a =，所以'()()1()(1)1x x k f x x x k e x -++=--++．故当0x >时，()(1)10x x k e x --++>等价于()1x x k e k ->--． ·····5分 设()()x g x x k e =-，则'()()(1)x x x g x e x k e x k e =+-=-+， ·····6分 令'()0g x >，得1x k >-；令'()0g x <，得1x k <-，所以，()g x 在(0,1)k -上单调递减，在(1,)k -+∞上单调递增． ················7分 又0x >，当1k ≤时，()g x 在(0,)+∞上单调递增，故(0,)x ∈+∞时，()(0)g x g k >=-，这时显然有()1g x k >--成立； ·····8分 当1k >时，()g x 在(0,1)k -上单调递减，在(1,)k -+∞上单调递增， 故(0,)x ∈+∞时，()g x 在1x k =-处取得最小值1(1)k g k e --=-．要使得()1x x k e k ->--（0x >）成立，需11k e k -->--，即11k e k -<+．·······9分 由（Ⅰ）知，函数()2x h x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >，所以()h x 在(0,)+∞存在唯一的零点， ················ 10分 故'()g x 在(0,)+∞存在唯一的零点．设此零点为0x ，则0(1,2)x ∈． ········· 11分 因为k 为整数，且1k >，故2k ≤，即整数k 的最大值为2． ············· 12分解法二：由于1a =，所以'()()1()(1)1xx k f x x x k e x -++=--++． 故当0x >时，()(1)10xx k e x --++>等价于11xx k e +<-（0x >）． ·········6分 令1()1x x g x x e +=+-，则'221(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----=+=--． ··············7分 由（Ⅰ）知，函数()2xh x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >，所以()h x 在(0,)+∞存在唯一的零点，故'()g x 在(0,)+∞存在唯一的零点． ·····8分 设此零点为0x ，则0(1,2)x ∈．当0(0,)x x ∈时，'()0g x <，()g x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，'()0g x >，()g x 单调递增． ·····························9分 所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为00001()1x x g x x e +=+-． ····························· 10分 又由'0()0g x =，可得002x e x =+， 所以000001()1(2,3)(2)1x g x x x x +=+=+∈+-． ································· 11分 又由11xx k e +<-（0x >）等价于0()k g x <，故整数k 的最大值为2． ··············· 12分。
2018-2019学年宁德市部分一级达标中学第二学期期中联合考试高一数学【含答案】
正视图俯视图侧视图2018-2019学年宁德市部分一级达标中学第二学期期中联合考试高一数学试卷(满分:150分; 时间:120分钟)注意事项：1.答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚。
2.每小题选出答案后，填入答案卷中。
3.考试结束，考生只将答案卷交回，试卷自己保留。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知点A (1-，B (1，，则直线AB 的倾斜角是A ．60°B ．75°C ．120°D ．150°2．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，上底为1, 梯形，那么原平面图形的面积是 AB． C． D ．3．已知直线260x a y ++=与直线()2320a x ay a -++=平行，则a 的值为A. 0或3或1-B. 0或 3C. 1-D. 0或1-4．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin sin sin a A b B c C +<，则ABC ∆的形状是A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D.正三角形5．一个圆锥的表面积为5π，它的侧面展开图是圆心角为90︒的扇形，该圆锥的母线长为A. 83B. 4C.D ．6．一个几何体的三视图及尺寸如图所示， 则该几何体的体积为 A ．203 B. 403 C ．20D ． 407．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2b =，sin cos B B +=则角A 的大小为C AA ．15° B. 30° C ．30°或150° D ．15°或150° 8．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是 A ．若//,//,m αβα 则//m β B. 若α⊥β, m ∥α 则 m ⊥β C ．若m ⊥α , //m n , n ⊥β， 则α∥β D. 若α⊥β, , α∩β=m , n ⊥m , 则n ⊥β 9．如图，三棱锥P ABC -中, N M 、分别是AP AB 、的中点，E F 、分别是PC BC 、 上的点，且=2PE BF=EC FC，下列命题正确的是A ．MN =EFB. ME 与NF 是异面直线C. AC//平面MNFE D ．直线ME 、NF 、AC 相交于同一点10．已知直线l 过点(1,1)P , 且点(2,2)A -与点(2,4)B -到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为A ．1y = B. 2350x y +-= C ．1x =或2350x y +-= D ．1y =或2350xy +-=112的正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影是底面的中心）的 外接球的表面积为 A. 16π3 B. 8π3C. 16πD. 8π12．如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起， 使得平面ADC ⊥平面ABC ，在折起后形成的三棱锥D -ABC 中，给出下列四种说法： ①△DBC 是等边三角形;②AC ⊥BD ; ③AB ⊥CD ； ④直线AD 和BC 所成的角的大小为60°. 其中所有正确的序号是A ．①③ B. ②④ C ． ①②③ D ．①②④第II 卷 （非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 13. 已知点(2,1)A , (2,3)B -, (0,1)C , 在△ABC 中, BC 边上的中线所在的直线方程是 ___________；14. 在ABC∆中，3A π=，1,b a ==ABC ∆的面积为___________；15. 若长方体1111ABCD A B C D -中,14,3BA BC BB ===, 直线1BA 与平面11BB D D 所成角的正弦值为_____；16. 在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a、b 、c ，若22a b bc =+，且(60,90)A ∈, 则ab取值范围是_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）如图所示，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝120°，AB =，2CD =，1AD =， 将四边形ABCD 绕AD 旋转一周所形成的一个几何体. （Ⅰ）求这个几何体的表面积 ; （Ⅱ）求这个几何体的体积． 18．（本小题满分12分）已知点(1,2)P ，斜率为2-的直线1l 与x 轴和y 轴分别交于 A, B 两点.（Ⅰ）求A, B 两点的坐标；（Ⅱ）若一条光线从A 点出发射向直线2l ：1y x =--, 经2l 反射后恰好过B 点，求这条光线从A 到B 经过的路程. 19． (本小题满分12分)如图, A , B 是海面上位于东西方向相海距4(3+里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距往营救，其航行速度为24海里/小时. （Ⅰ）求BD 的长;（Ⅱ）该救援船到达D 点所需的时间.20．(本小题满分12分)已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，侧面PAD ⊥平面且PA 1AD =，2PD =. （Ⅰ）证明：DB ⊥平面PAC ; （Ⅱ）若点F 在线段CD 上，且3,DFFC= 试问： 在PB 上是否存在一点E ，使//EF 面PAD ？若存在，求出PEEB的值 ；若不存在，请说明理由. 21．(本小题满分12分) B在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知满足(2)cos cosa c Bb C-=（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b＝2，求△ABC的面积的取值范围．22．（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC；（Ⅱ）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=13DA，求二面角Q PA C--的大小的正切值．OAD2018-2019学年宁德市部分一级达标中学第二学期期中联合考试高一数学试卷评分标准及参考答案一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2. C 3.D 4.B 5. B 6.C 7. B 8.C 9.D 10.C 11. A 12.D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13. x+3y-5=0 14.15. 122516.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）解析：如图延长AD ，过C 作'CO AD ⊥交AD 于'O ;过C 作CE AB ⊥交AB 于E ；过D 作DF CE⊥交CE 于F ；令'1r O C =，2r AB =,'1h O D =,'2h O A =,1l CD =,2l CB =.120ADC ∠=︒Q 30CDF ∴∠=︒在Rt CDF V 中，2CD =1,CF DF ∴== 11h ∴=.12l =22h CFDA ∴=+= ………………………………………………………………………1分EB AB DF =-=24l ∴= ……………………………………………………………………2分'''DO O A O A S S S S τ∴=++表圆锥侧圆台侧圆台下底2111222()rl r r lr πππ=+++224ππ=+⋅+ ………………………………………………………5分 (27π=+ ……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）''O A DO V V V τ-体积圆台圆锥＝ …………………………………………………………7分 2121111()33h ss s h =-222112()133ππππ=⋅⋅++-⋅……………9分25π= …………………………………………………………………………………10分 18．（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）由已知有：1:22(1)l y x -=-- ………………………………………………………1分 得，1l 方程：24y x =-+ …………………………………………………………………3分 0,4;0,2x y y x ====当当(2,0),(0,4)A B ∴ ……………………………………………………………………………5分（Ⅱ）设A 关于2l 的对称点为'A ，'11(,)A x y ………………………………………..6分依题意有：111101202122y x y x -⎧=⎪-⎪⎨++⎪=--⎪⎩ ……………8分解得：1113x y =-⎧⎨=-⎩'(1,3)A ∴-- ……………10分'BA ∴=∴这条光线从A 点到B 点经过的路程为……………………………………………………12分19． (本小题满分12分)解：（Ⅰ）在ADB ∆中，45,30DAB DBA ∠=︒∠=︒,则105ADB ∠=︒.………………1分 由正弦定理得sin sin AB DBADB DAB=∠∠sin 45DB=︒3分 由sin105sin 75︒=︒4分 代入上式得DB =……………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）在BCD ∆中60BC DB CBD ==∠=︒ ……………………………………7分 由余弦定理得2222cos60CD BC BD BC BD =+-⋅⋅︒22122=+-⋅ 224=……………………………………………9分24CD ∴=………………………………………………………………………………10分24v 所以该救援船到达D 点所需的时间1小时. …………………………………………12分 20．(本小题满分12分)（Ⅰ）在△P AD 中， ,PA =1,2A D P D ==∴222+A D P A P D=, ∴90PAD ∠= ∴PA AD ⊥…………………………………………….1分侧面PAD ⊥平面ABCD , 侧面PAD 平面=ABCD AD , PA PAD ⊂平面∴PA ⊥平面ABCD …………………………………………………………………………2分BD ABCD ⊂平面 P A B D∴⊥…………………………………………………………3分 在菱形ABCD 中，A C ⊥…………………………………………4分 又PA AC A =∴BD PAC ⊥平面………………………………5分（Ⅱ）存在E,当=3PEEB 时，使//EF 面PAD .………………………………………6分理由如下：在AB 上取一点G ，使=3AGGB 时，则 在PAB 中,=3//,PE AGEG AP EB GB =∴，,EG PAD AP PAD ⊄⊂平面平面//EG PAD ∴平面……………………………………9分在菱形ABCD 中，=3//,AG DFGF AD GB FC==∴，同理，//GF PAD 平面…………………………………10分 ,,FG EG EFG FGEG G ⊂⊂=平面EFG 平面//EFG PAD ∴平面平面…………………………………………11分 ∴//FG PAD 平面 E F E F G⊂平面 //EF PAD ∴平面…………………………12分 21．(本小题满分12分)解（Ⅰ）(2)cos cos a c B b C -=Q(2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-= ……………………………………………………1分 2sin cos sin cos sin cos A B C B B C ∴⋅=⋅+⋅2sin cos sin A B A ∴= ……………………………………………………………………2分 (0,),sin 0A A π∈∴≠Q …………………………………………………………………3分 1cos 2B ∴=………………………………………………………………………………4分 (0,)B π∈Q ………………………………………………………………………………5分3（Ⅱ）由正弦定理得：sin sin ba A B=⋅， sina A A ∴==………………………………………………………………7分 同理：c C =.1sin2ABC S ac B ∆= 1sin sin 2A C =sin A C =⋅ 2sin()sin 3CC π=- …………………………………………………………………………8分1sin )sin2C C C =+ 112cos2)44C C =-+ ……………………………9分1))62C π=-+ ………………………………………………………………………10分203C π<<Q 72666C πππ∴-<-<1sin(2)126C π∴-<-≤ ……………………………………………………………………11分10))62C π∴<-+≤ 所以△ABC 的面积的取值范围为 ……………………………………………………12分22．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：平行四边形ABCM 中，90ACM ∠=︒,90BAC ∴∠=︒即AB AC ⊥………1分 又,AB DA DA AB A ⊥=Q IAB ∴⊥平面ACD …………………………………………………………………………3分 AB ⊂Q 平面ABC∴ 平面ACD ⊥平面ABC …………………………………………………………………4分 （Ⅱ）在ACD V 中，过Q 作//QN DC 交AC 于点N ，过N 作NO AP ⊥交AP 于点O .Q 由（Ⅰ）知平面ACD ⊥平面ABC ， 平面ACD I 平面ABC AC =,90DCA ∠=︒ DC ∴⊥平面ABC//QN DC Q QN ∴⊥平面ABCAP ⊂平面ABC QN AP ∴⊥ ………………………………………………………………6分 又,NO AP QN NO N ⊥=Q I AP ∴⊥平面QNOQO ⊂Q 平面NQO QO AP ∴⊥ …………………………………………………………7分 NOQ ∴∠就是二面角QPA C --的平面角. ……………………………………………8分在CAP V 中，23,453CA CP CB ACP ===∠=︒2222cosAP AC CP ACCP ACP ∴=+-⋅⋅∠ 22323cos 455=+-⋅⋅︒=AP ∴……………………………………………………………………………………9分在CAP V 中,sin sin CP APCAP ACP=∠∠=sin sin CAP NAO ∴∠==∠ ………………………………………………………………10分22//,2233ACD QN DC DQ AC QN CD ====中，且，QV 在Rt NAO V 中,sin 2NO AN NAO =∠=………………………………………11分在Rt NOQ V 中,2tan 4NQ NOQNO ∠===所以二面角Q PA C --.……………………………………………………12分解法二： 连接DP ，则二面角Q PA C -- 即为二面角D AP C -- ,过C 点作CO AP ⊥交AP 于点O ，连接DO ， ………………………………………………………………………………………7分AP DC ⊥Q (见解法一)DC CO C =I AP ∴⊥平面DCO DO ⊂Q 平面DCO AP DO ∴⊥COD ∴∠就是所求二面角D AP C --的平面角………………………………………………9分 11sin 22ACP S AP COAC PC ACP =⋅=⋅⋅∠V Q ， 13452CO =⋅⋅︒ CO ∴= (11)分在Rt DCOV中3 tan6DCDOCCO∠===所以二面角Q PA C-- (12)分。
2018-2019学年宁德市部分一级达标中学第二学期期中联合考试(文数)答案
2018--2019学年宁德市部分一级达标中学第二学期期中联合考试高二数学（文科）试题答案一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．12．解析：分离参数得x ex x x a 2ln 2-+≤，令x ex x x x h 2ln )(2-+=，12ln )(-+='ex x x h 在),0(+∞∈x 单调递增，且0)1(=eh ，所以)(x h 在)1,0(e x ∈单调递减，),1(+∞∈e x 单调递增，e x h 2)(min -=，ea 2-≤，选C二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1- 14．5 15 16．(2,1)-三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)解：（Ⅰ）圆C ：=cos sin ρθθ+，即2=cos sin ρρθρθ+，圆C 的直角坐标方程为：22x y x y +=+，即220x y x y +--=； ···················· 3分 直线:20l x y -+=，则直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+=． ············ 6分（Ⅱ）由圆C 的直角坐标方程为220x y x y +--=可知圆心C 坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭， 圆心C = ···················································· 8分因此圆C 上的点到直线l 的最短距离为2．················································· 10分 18．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）当2245051532150m m m m m m m m ⎧--===-⎧⎪⇒⎨⎨≠≠---≠⎪⎩⎩或且， …………………………… 4分解得1m =-时，z 为纯虚数. ……………………………………………………… 6分（Ⅱ）2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===+++-， ………………………………………………… 8分 从而1i z =-， ………………………………………………………… 10分所以2i (1i)2i 1i z +=-+=+ ………………………………………… 12分 19．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）2()3(2),f x x '=-令()0,f x '= 得12x x == ……………………… 2分∴当x <x >()0f x '>；当x <时，()0f x '<；…………… 4分∴)(x f 的单调递增区间是(,-∞，)+∞；单调递减区间是)2,2(-. ……… 6分（Ⅱ） 当x =()f x 有极大值5+x =()f x 有极小值5-；………… 9分∴由)(x f y =的图像性质可知：当55a -<<+y a =与()y f x =的图象有3个 不同交点，即方程α=)(x f 有三解. …………………………………………………… 12分 20．(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）0111111(0)(1)=+=+=4242362f f +++； ………………………………… 2分 同理-1211411(1)(2)=+=+=42429182f f -+++； ………………………………… 4分 -23111611(2)(3)=+=+=424233662f f -+++． ………………………………… 6分 （Ⅱ）由此猜想：当12+=1x x 时，121()()=2f x f x +． ………………………………… 8分证明：设12+=1x x ，则1112111111121-111114241()()=+=+=+=+42424242424242(422(422x x x x x x x x x x f x f x +=++++++⨯⨯+⨯+）），故猜想成立． ……………………………… 12分 21．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）根据题意可知y h x =()的定义域为+∞(0,)， ·································· 1分··········· 2分故当x ∈(0,1)时，h x '>()0,故h x ()单调递增； ············· 3分 当x ∈+∞(1,)时，h x '<()0,故h x ()单调递减， ······· 4分 所以当x =1时，h x ()取得极大值h =(1)0，无极小值．（极小值未写扣1分） ········································································· 6分（Ⅱ）由h x x a x x =--2()ln ()得h x a x x'=--1()(21)， ········ 7分 若函数y h x =()在+∞[1,)上单调递减， 此问题可转化为h x a x'=--≤1()(21)0对········· 8分 x a x x x ≥==--1121(21)≥········· 9分 当x ≥1时，x x -≥221，则x x <≤-21012，x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭2max112， ················ 11分 故a ≥1，即a 的取值范围为[)+∞1,． ········· 12分 22．(本小题满分12分)．解：（Ⅰ）由于'()xf x e a =-， ························································· 1分 当0a ≤时，'()0f x >恒成立，故()f x 在R 上单调递增； ············· 2分 当0a >时，令'()0f x >，得ln x a >；令'()0f x <，得ln x a <，所以()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增． ······ 4分 （Ⅱ）解法一：由于1a =，所以'()()1()(1)1xx k f x x x k e x -++=--++．故当0x >时，()(1)10xx k e x --++>等价于()1xx k e k ->--． ····· 5分 设()()xg x x k e =-，则'()()(1)xxxg x e x k e x k e =+-=-+， ······ 6分 令'()0g x >，得1x k >-；令'()0g x <，得1x k <-，所以，()g x 在(0,1)k -上单调递减，在(1,)k -+∞上单调递增． ················· 7分 又0x >，当1k ≤时，()g x 在(0,)+∞上单调递增，故(0,)x ∈+∞时，()(0)g x g k >=-，这时显然有()1g x k >--成立； ····· 8分 当1k >时，()g x 在(0,1)k -上单调递减，在(1,)k -+∞上单调递增， 故(0,)x ∈+∞时，()g x 在1x k =-处取得最小值1(1)k g k e--=-．要使得()1xx k e k ->--（0x >）成立，需11k e k -->--，即11k e k -<+． ······· 9分 由（Ⅰ）知，函数()2xh x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >，所以()h x 在(0,)+∞存在唯一的零点， ·················· 10分故'()g x 在(0,)+∞存在唯一的零点．设此零点为0x ，则0(1,2)x ∈． ········· 11分 因为k 为整数，且1k >，故2k ≤，即整数k 的最大值为2． ·············· 12分解法二：由于1a =，所以'()()1()(1)1xx k f x x x k e x -++=--++． 故当0x >时，()(1)10xx k e x --++>等价于11xx k e +<-（0x >）． ··········· 6分 令1()1x x g x x e +=+-，则'221(2)()1(1)(1)x x x xx xe e e x g x e e ----=+=--． ··············· 7分 由（Ⅰ）知，函数()2xh x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >，所以()h x 在(0,)+∞存在唯一的零点，故'()g x 在(0,)+∞存在唯一的零点． ····· 8分 设此零点为0x ，则0(1,2)x ∈．当0(0,)x x ∈时，'()0g x <，()g x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，'()0g x >，()g x 单调递增． ······························ 9分 所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为00001()1x x g x x e +=+-．······························· 10分 又由'0()0g x =，可得002x ex =+，所以000001()1(2,3)(2)1x g x x x x +=+=+∈+-． ··································· 11分又由11x x k e +<-（0x >）等价于0()k g x <，故整数k 的最大值为2． ················ 12分。
2018-2019福建省宁德市高中高一下学期期中考试数学试题（解析版）
2018-2019学年福建省宁德市高中同心顺联盟校高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．直线320x y +-=的倾斜角为（ ） A ．30 B ．150C ．120D ．60【答案】C【解析】由直线方程求出直线的斜率，再利用倾斜角的正切值等于斜率即可求得． 【详解】设直线320x y +-=的倾斜角是θ，0180θ≤<．直线320x y +-=化为32y x =-+，∴tan 3θ=-，120θ=． 故选：C ． 【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．2．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ） A ．三点确定一平面B ．不共线三点确定一平面C ．两条相交直线确定一平面D ．两条平行直线确定一平面【答案】B【解析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定,此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上. 【详解】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定. 故选B 项. 【点睛】本题考查不共线的三个点确定一个平面，属于简单题.3．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM 与BN 所成角的大小为（ ）A ．0B ．90C ．60D ．45【答案】B【解析】把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE ﹣CMFB ，由此能求出AM 与BN 所成角的大小． 【详解】如图所示，把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE ﹣CMFB ， ∵CD ∥BN ，CD ⊥AM ，∴AM ⊥BN ，∴在这个正方体中，AM 与BN 所成角的大小为90°． 故选：B ．【点睛】本题考查异面直线所成角的大小的求法，也考查数形结合与数学转化思想方法，属于基础题．4．已知点(3,1)M 在圆22C :24240x y x y k +-+++=外，则k 的取值范围（ ） A ．162k -<< B ．6k <-或12k >C ．6k >-D ．12k <【答案】A【解析】求出圆的标准方程，结合点与圆的位置关系建立不等式关系进行求解即可． 【详解】∵圆22C :24240x y x y k +-+++=，∴圆的标准方程为()()221212x y k -++=-，∴圆心坐标()1,2-，半径12r k =-若(3,1)M 在圆22C :24240x y x y k +-+++=外，()()22311212k -++>-，且120k ->，即1312k >-且1k <，即16k -<<故选：A 【点睛】本题主要考查点和圆的位置关系的应用，求出圆的标准方程是解决本题的关键，属于基础题．5．已知直线,,l m n 及平面α，下列命题中错误的是（ ） A ．若l ∥m ，l ∥n ，则m ∥n B ．若l ⊥α，n ∥α，则l ⊥n C ．若l ⊥m ，m ∥n ，则l ⊥n D ．若l ∥α，n ∥α，则l ∥n【答案】D【解析】在A 中，由平行公理得m ∥n ；在B 中，由线面垂直、线面平行的性质定理得l ⊥n ；在C 中，平行线的性质定理得l ⊥n ；在D 中，l 与n 相交、平行或异面． 【详解】由直线l ，m ，n 及平面α，知：在A 中，若l ∥m ，l ∥n ，则由平行公理得m ∥n ，故A 正确；在B 中，若l ⊥α，n ∥α，则由线面垂直、线面平行的性质定理得l ⊥n ，故B 正确； 在C 中，若l ⊥m ，m ∥n ，则平行线的性质定理得l ⊥n ，故C 正确； 在D 中，若l ∥α，n ∥α，则l 与n 相交、平行或异面，故D 错误． 故选：D ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查化归与转化思想，属于中档题．6．圆2220x y x +-=和圆2240x y y ++=的位置关系是( ) A ．内切 B ．外切 C ．相交 D ．外离【答案】C【解析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，求出两圆心的距离d ，然后求出R ﹣r 和R+r 的值，判断d 与R ﹣r 及R+r 的大小关系即可得到两圆的位置关系． 【详解】把圆x 2+y 2﹣2x ＝0与圆x 2+y 2+4y ＝0分别化为标准方程得：（x ﹣1）2+y 2＝1，x 2+（y+2）2＝4，故圆心坐标分别为（1，0）和（0，﹣2），半径分别为R ＝2和r ＝1，∵圆心之间的距离d ==R+r ＝3，R ﹣r ＝1，∴R ﹣r ＜d ＜∴两圆的位置关系是相交． 故选：C ． 【点睛】本题考查两圆的位置关系，比较两圆的圆心距，两圆的半径之和，之差的大小是关键，属于基础题.7．如图所示，在同一直角坐标系中，正确表示直线y ax =与y x a =+的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】利用直线斜率与截距的意义即可得出． 【详解】假设0a >，则A 中的y x a =+的截距0a <与0a >矛盾，同理B 也与0a >矛盾． 假设0a <，则D 中的y x a =+斜率小于零，与斜率大于零相矛盾，故C 符合条件． 故选：C ． 【点睛】本题考查了直线斜率与截距的意义，考查了数形结合的思想方法，属于基础题． 8．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱18AA =．若侧面11AA B B 水平放置时，液面恰好过1111AC BC AC B C ，，，的中点，当底面ABC 水平放置时，液面高为（ ）A ．6B ．7C ．2D ．4【答案】A【解析】根据题意，当侧面AA 1B 1B 水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求体积可以用三角形的面积直接表示出，计算即可得答案． 【详解】根据题意，当侧面AA 1B 1B 水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形， 设△ABC 的面积为S ，则S 梯形＝34S ，水的体积V 水＝34S×AA 1＝6S ， 当底面ABC 水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h ， 则有V 水＝Sh ＝6S ，故h ＝6. 故选：A ． 【点睛】本题考点是棱柱的体积计算，考查用体积公式来求高，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．9．若圆22:(5)(1)4C x y -++=上有n 个点到直线4320x y +-=的距离为1，则n 等于（ ） A ．2 B ．1C ．4D ．3【答案】B【解析】确定圆心和半径，求出圆心到直线的距离，与半径比较，即可得出结论． 【详解】圆C ：（x ﹣5）2+（y+1）2＝4是一个以（5，﹣1）为圆心，以2为半径的圆． 圆心到4x+3y ﹣2＝0的距离为|2032|d 35--==，所以圆C ：（x ﹣5）2+（y+1）2＝4上有1个点到直线4x+3y ﹣2＝0的距离为1. 故选：B ． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．在梯形ABCD 中，90,//,222ABC AD BC BC AD AB ︒∠====．将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．23πB ．43π C ．2πD ．53π 【答案】D【解析】判断旋转后的几何体的形状，然后求解几何体的体积即可． 【详解】的曲面所围成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积：2215121133πππ⋅⋅-⨯⨯=． 故选：D ．【点睛】本题考查旋转几何体的体积的求法，判断旋转后几何体的形状是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.11．如图所示：在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，设直线1A B 与平面11A DCB 所成角为1θ，二面角1A DCA ﹣﹣的大小为2θ，则12θθ，为（ ）A ．3045o o ，B ．4530o o ，C ．3060o o ，D ．6045o o ，【答案】A【解析】连结BC 1，交B 1C 于O ，连结A 1O ，则∠BA 1O 是直线A 1B 与平面A 1DCB 1所成角θ1，由BC ⊥DC ，B 1C ⊥DC ，知∠BCB 1是二面角A 1﹣DC ﹣A 的大小θ2，由此能求出结果． 【详解】连结BC 1，交B 1C 于O ，连结A 1O ，∵在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BC 1⊥B 1C ，BC 1⊥DC ，∴BO ⊥平面A 1DCB 1，∴∠BA 1O 是直线A 1B 与平面A 1DCB 1所成角θ1， ∵BO ＝12A 1B ，∴θ1＝30°；∵BC ⊥DC ，B 1C ⊥DC ，∴∠BCB 1是二面角A 1﹣DC ﹣A∵BB 1＝BC ，且BB 1⊥BC ，∴θ2＝45°． 故选：A ．【点睛】本题考查线面角、二面角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．12．如图，四边形ABCD 中，//4590AD BC AD AB BCD BAD ∠︒∠︒，＝，＝，＝，将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成四面体ABCD ，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是（ ）A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面ABC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面BDC 【答案】B【解析】由题意推出CD ⊥AB ，AD ⊥AB ，从而得到AB ⊥平面ADC ，又AB ⊂平面ABC ，可得平面ABC ⊥平面ADC ． 【详解】∵在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，∴BD ⊥CD 又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD∩平面BCD ＝BD ，CD ⊂平面BCD. 故CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB ，又AD ⊥AB ，CD∩AD=D ，∴AB ⊥平面ADC ， 又AB ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ADC ． 故选：B ．本题考查平面与平面垂直的判定和性质定理，考查逻辑思维能力，属于中档题．二、填空题13．在空间直角坐标系中，设(,2,3),(1,1,1)A m B -，且||AB =m =____________．【答案】1 【解析】1AB m == .14．已知圆22:(2)4C x y -+=，点P 在圆C 上运动，则OP 的中点M 的轨迹方程_____．（O 为坐标原点） 【答案】22(1)1x y -+=【解析】设M (),x y ，得(2,2)P x y 代入已知圆C 的方程，能求出线段OP 的中点M 的轨迹方程． 【详解】设M (),x y ，∵O 为坐标原点，且M 是线段OP 的中点，得(2,2)P x y ， 当点P 在圆22:(2)4C x y -+=上运动时，把(2,2)P x y 代入圆C 得：22(22)44x y -+=.整理得线段OP 的中点M 的轨迹方程为：22(1)1x y -+=． 故答案为：22(1)1x y -+= 【点睛】本题考查线段的中点的轨迹方程的求法，考查相关点法、中点坐标公式等基础知识，属于中档题．15．一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为________ 【答案】21π【解析】设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O ，则球心O 为线段12O O 的中点，利2【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的球面上， ∴设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O ，则球心O 为线段12O O 的中点，设球O 的半径为R ，则2223232132324R ⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴球O 的表面积2S 4R 21ππ== . 故答案为：21π．【点睛】本题考查球的表面积的求法，空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、属于中档题．16．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E F 、，且2EF =，则下列结论中正确的是_____．①EF ∥平面ABCD ； ②平面ACF ⊥平面BEF ； ③三棱锥E ABF -的体积为定值；④存在某个位置使得异面直线AE 与BF 成角30°． 【答案】①②③④AC ⊥DD 1，可知AC ⊥面BDD 1B 1，从而得到面ACF ⊥平面BEF ；在③中，三棱锥E ﹣ABF 的体积与三棱锥A ﹣BEF 的体积相等，从而三棱锥E ﹣ABF 的体积为定值；在④中，令上底面中心为O ，得到存在某个位置使得异面直线AE 与BF 成角30°． 【详解】由正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且2EF =，知：在①中，由EF ∥BD ，且EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得EF ∥平面ABCD ，故①正确；在②中，连接BD ，由AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，可知AC ⊥面BDD 1B 1， 而BE ⊂面BDD 1B 1，BF ⊂面BDD 1B 1，∴AC ⊥平面BEF ， ∵AC ⊂平面ACF ，∴面ACF ⊥平面BEF ，故②正确；在③中，三棱锥E ﹣ABF 的体积与三棱锥A ﹣BEF 的体积相等，三棱锥A ﹣BEF 的底面积和高都是定值，故三棱锥E ﹣ABF 的体积为定值，故③正确； 在④中，令上底面中心为O ，当E 与D 1重合时，此时点F 与O 重合， 则两异面直线所成的角是∠OBC 1，可求解∠OBC 1＝300， 故存在某个位置使得异面直线AE 与BF 成角30°，故④正确． 故答案为：①②③④．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．三、解答题17．已知ABC ∆三个顶点是(1,4),(2,1),(2,3)A B C --- （1）求BC 边上的垂直平分线的直线方程； （2）求ABC ∆的面积【答案】（1）10x y +-=；（2）8S =【解析】（1）由题意可得BC 的中点和BC 的斜率，由垂直关系可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得方程，化为一般式即可；（2）由（1）得BC 的方程，可得A 到BC 的距离，再求得BC 的长度，代入三角形的面积公式可得答案．【详解】（1）(2,1),(2,3)B C --，31122BC k +∴==+，则所求直线的斜率为：1k =- 又BC 的中点D 的坐标为(0,1)，所以BC 边的上的中垂线所在的直线方程为：10x y +-=；（2）直线BC 的方程为：10x y -+=，则点(1,4)A -到直线:10BC x y -+= 的距离为：222d ==，42BC =，182ABC S BC d ∆=⨯⨯=. 【点睛】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积，及点到直线的距离，属于基础题． 18．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C －中，6810AC BC AB ＝，＝，＝,点D 是AB 的中点．（1）求证：1AC BC ⊥；（2）求证：1AC ∥平面1CDB ；【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）利用111ABC A B C －为直三棱柱，得1CC AC ⊥，利用222AB AC BC =+，说明AC BC ⊥，得AC ⊥平面11BCC B ，推出1AC BC ⊥．（2）设12CB BC E ⋂=，得E 为1C B 的中点，证得1DE AC ∥，即可证明1AC ∥平面1CDB ．【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C －中，底面三边长68AC BC ＝，＝，10AB =，且222AB AC BC =+，AC BC ⊥，又11BC C AC C C CC ⋂⊥=．，BC ⊂平面11BCC B ，1C C ⊂平面11BCC B .AC ∴⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面1BCC B ，1AC BC ∴⊥；（2）设1CB 与1C B 的交点为E ，连接DE ，又四边形11BCC B 为正方形．∵D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点，1DE AC ∴DE ⊂平面11CDB AC ⊄，平面1CDB ，∴1AC ∥平面1CDB ．【点睛】本题考查直线与平面垂直，直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，考查逻辑推理能力，属于中档题．19．已知圆22:()(2)4(0)C x a y a -+-=>及直线:3l y x =+，直线l 被圆C 截得的弦长为12x x . （1）求a 的值；（2）求过点(3,5)M 并与圆C 相切的切线MT 方程.【答案】（1）；（2）或【解析】试题分析：（1）根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l 的距离d ，然后根据垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径成直角三角形，利用勾股对了列出关于a 的方程，求出方程的解即可得到a 的值，然后由a 大于0，得到满足题意a 的值；（2）把（1）求出a 的值代入圆的方程中确定出圆的方程，即可得到圆心的坐标，并判断得到已知点在圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到3x =为圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k ，由()3,5和设出的k 写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，让d 等于圆的半径即可列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值，把k 的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程.试题解析：（1）根据题意可得圆心(),2C a ，半径2r =，则圆心到直线:30l x y -+=的距离()22231211a a d --+==+-，由勾股定理可以知道222222d r ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，代入化简得12a +=， 解得1a =或3a =-，又0a >，所以1a =．（2）由（1）知圆()()22:124C x y -+-=，圆心为()1,2，半径2r =， 点()3,5到圆心的距离为49132r +=>=，故点()3,5在圆外，当切线方程的斜率存在时，设方程为()53y k x -=-，则圆心到切线的距离22321k d r k -+===+，化简得：125k =，故512k =． ∴切线方程为()55312y x -=-， 即512450x y -+=，当切线方程斜率不存在时，直线方程为3x =与圆相切，综上，过点()3,5P 并与圆相切的切线方程为512450x y -+=或3x =．20．已知四棱锥P ABCD －中，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA PD ==，面ABCD ⊥面PAD ，E 为CD 的中点．(1)求证：PD ⊥平面PAB ；(2)求三棱锥P ABE －的体积．【答案】（1）见解析；（2）23. 【解析】分析：（1）首先利用勾股定理可求得PD PA ⊥，应用平行垂直关系得到AB PD ⊥，利用线面垂直的判定定理证得PD ⊥平面PAB ；（2）作出垂线段，求得结果，应用体积公式求得结果.详解：（1）证明：底面ABCD 是正方形，∴AB//CD 又CD PD ⊥，AB PD ∴⊥2PA PD == 2AD =，222PA PD AD ∴+=PD PA ∴⊥ 又PA AB A ⋂= PD ∴⊥平面 PAB（2）,AB AD AB PD ⊥⊥且AD PD D ⋂=，AB ⊥ 平面 PAD又AB ABCD ⊂平面，PAD ABCD ∴⊥平面平面P 过作 PO AD ⊥ O 于，ABCD PO ⊥则平面∴ PO 为三棱锥P ABE -的 高，13P ABE ABE V S PO -∆∴=⋅ =112122323⨯⨯⨯⨯= (另可以以PAB ∆为底，PD 为高计算. )点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定以及椎体体积的求解，在解题的过程中，注意应用勾股定理也是证明线面垂直的方法，再者就是在求三棱锥的体积的时候可以应用顶点和底面转换达到简化求解的目的.21．如图，在四棱锥P ABCD -中， PD ⊥平面ABCD ，//,90,AB CD BAD ︒∠=3AD =，22DC AB ==，E 为BC 中点．(1)求证：平面PBC ⊥平面PDE ；(2)线段PC 上是否存在一点F ，使//PA 平面BDF ?若存在，求PF PC 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在一点F ，且13PF PC =. 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；（2）借助题设条件运用线面平行的性质定理推证求解.试题解析：（1）连接DB ，在Rt DAB ∆中，()22312DB =+=， 又∵E 为BC 中点，2DC =，∴DE BC ⊥∵PD ⊥平面,ABCD BC ⊂平面ABCD ，∴PD BC ⊥，∵PD DE D ⋂=，∴BC ⊥平面PDE ，又∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PDE（2）线段PC 上存在一点F ，且13PF PC =时，//PA 平面BDF 证明如下：连接AC 交BD 于点O ，在平面PAC 中过点O 作//OF PA ，则交PC 于F 又∵OF ⊂平面,BDF PA ⊄平面BDF∴//PA 平面BDF ，∵四边形,//,22ABCD AB CD DC AB ==，∴12AO AB OC DC == ∵//OF PA ，∴12PF AO FC OC == ∴当13PF PC =时，//PA 平面BDF【考点】面面垂直和线面平行的性质等定理的综合运用．22．已知直线:(1)2530()l k x y k k R --+-=∈恒过定点P ，圆C 经过点()4,0A 和定点P ，且圆心在直线210x y =-+上．(1)求圆C 的方程；(2)已知点P 为圆C 直径的一个端点，若另一端点为点Q ，问y 轴上是否存在一点()0M m ，，使得PMQ ∆为直角三角形，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）22148400x y x y +--+=；（2）见解析【解析】（1）先求出直线l 过定点()3,1P ，设圆的一般方程，由题意列方程组，即可求圆的方程；（2）由（1）可知：求得直线CP 的斜率，根据对称性求得点Q 坐标，由M 在圆外，所以点M 不能作为直角三角形的顶点，分类讨论，即可求得m 的值．【详解】(1)直线l 的方程可化为(3)(25)0k x x y --+-=，由30250x x y -=⎧⎨+-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩∴定点P 的坐标为()3,1． 设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则圆心,22D E C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 则依题意有222440313021022D F D E F D E ⎧⎪++=⎪⎪++++=⎨⎪⎛⎫⎪--⨯-+= ⎪⎪⎝⎭⎩ 解得14840D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴圆C 的方程为22148400x y x y +--+=；(2)由(1)知圆C 的标准方程为22(7)(4)25x y -+-=,∴圆心()7,4C ，半径5r ＝. ∵,P Q 是直径的两个端点，∴圆心()7,4C 是()3,1P 与Q 的中点，()11,7Q ∴ ∵y 轴上的点()0M m ，在圆外，∴PMQ ∠是锐角，即M 不是直角顶点． 若P 是PMQ ∆的直角顶点，则171103113m --⨯=---，得5m =； 若Q 是PMQ ∆的直角顶点，则7711011113m --⨯=---，得653m =. 综上所述，在y 轴上存在一点()0M m ，，使PMQ ∆为直角三角形，5m =或653m =. 【点睛】本题考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想，属于中档题．。
2018-2019学年福建省宁德市部分一级达标中学高二下学期期中联考数学(文)试题Word版含解析
绝密★启用前福建省宁德市部分一级达标中学2018-2019学年高二下学期期中联考数学（文)试题一、单选题1．在极坐标系中，点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭与2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的位置关系是（ ）A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．重合D ．关于直线()2R πθρ=∈对称【答案】A 【解析】 【分析】结合坐标系确定两点位置关系. 【详解】在极坐标系中，点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭与2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭如图，则点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭与2,6π⎛⎫-⎪⎝⎭的位置关系是关于极轴所在直线对称． 故选：A ． 【点睛】本题考查极坐标中点的位置关系，考查基本分析判断能力，属基础题.2．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的，10i e π+=是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根据欧拉公式可知，复数3i e π虚部为（ ）A ．BC ． D【答案】B 【解析】 【分析】根据题意代入化简即得复数3i e π，再根据虚部概念得结果 【详解】根据欧拉公式cos sin i e i θθθ=+，可得3cossin33ie i πππ=+122i =+，∴3i e π故选：B ． 【点睛】本题考查复数运算以及概念，考查基本分析求解能力，属基础题.3．用反证法证明命题“设a ，b ，c 为实数，满足3a b c ++=，则a ，b ，c 至少有一个数不小于1”时，要做的假设是（ ） A ．a ，b ，c 都小于2 B ．a ，b ，c 都小于1C ．a ，b ，c 至少有一个小于2D ．a ，b ，c 至少有一个小于1【答案】B 【解析】 【分析】假设就是求结论的否定. 【详解】a ，b ，c 至少有一个数不小于1的对立面就是a ，b ，c 三个都小于1．故选：B ． 【点睛】本题考查反证法以及命题的否定，考查基本分析判断能力，属基础题. 4．函数()()22sin f x ex x =+的导数是（ ） A ．()'4cos f x ex x =+ B ．()'4cos f x ex x =- C ．()2'8cos f x e x x =+D ．()2'8cos f x e x x =-【答案】C 【解析】 【分析】根据导数运算法则求解即可. 【详解】根据题意，()()2222sin 4sin f x ex x e x x =+=+， 其导数()()()222'4'sin '8cos f x e x x e x x =+=+，故选：C ． 【点睛】本题考查导数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.5====2+a b 的值分别是（） A ．79 B ．81C ．100D ．98【答案】D 【解析】 【分析】先根据规律确定,a b ，再计算即得结果. 【详解】====，2n ≥=9b =，29180a =-=，故2801898a b +=+=， 故选：D ． 【点睛】本题考查归纳类比，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．曲线()31233f x x x =-++在点()()2,2f 处的切线与坐标轴围成的三角面积为（ ） A ．6 B ．32C ．3D ．12【答案】A先求导数得切线斜率，再根据点斜式得切线方程，最后求切线与坐标轴交点，计算面积. 【详解】()21f x x =-+的导数为()'23f =-，()20f =，可得在点()2,0处的切线斜率为：-3，即有切线的方程为()32y x =--. 分别令0x =，0y =可得切线在y ，x 轴上的截距为6，2． 即有围成的三角形的面积为：16262⨯⨯=． 故选：A ． 【点睛】本题考查导数几何意义以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．函数()3ln f x x x =+的单调递减区间是（ ） A ．1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭, B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】先求导数，再解不等式得结果. 【详解】()'ln 1f x x =+，令()'0f x <，解得：10x e<<，故选：B ． 【点睛】本题考查利用导数求单调区间，考查基本分析求解能力，属基础题.8．2018年4月，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊．比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是（ ） A ．甲 B ．丁或戊C ．乙D ．丙【答案】D根据猜测分类讨论确定冠军取法. 【详解】假设爸爸的猜测是对的，即冠军是甲或丙，则妈妈的猜测是错的，即乙或丙是冠军，孩子的猜测是错的，即冠军不是丁与戊，所以冠军是丙；假设妈妈的猜测是对的，即冠军一定不是乙和丙；孩子的猜测是错的，即冠军不是丁与戊，则冠军必为甲，即爸爸的猜测是对的，不合题意； 假设孩子的猜测是对的，则妈妈的猜测也对，不合题意． 故选：D ． 【点睛】本题考查利用合情推理，考查基本分析判断能力，属基础题.9．函数2xx xy e+=的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】()()()()()222222111x xxxxxx e x x e x x e x x y e e e +-+-++-+'+===，则函数在⎝⎭上单调递增，在⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减， 且()()110f f -== 故选C10．用长为30cm 的钢条围成一个长方体形状的框架（即12条棱长总和为30cm ），要求长方体的长与宽之比为3:2，则该长方体最大体积是（）A ．24B ．15C ．12D ．6【答案】B 【解析】 【分析】设该长方体的宽是x 米，根据题意得长与宽，根据体积公式列函数关系式，最后根据导数求最值. 【详解】设该长方体的宽是x 米，由题意知，其长是32x米，高是301015542x x --=米，（03x <<）则该长方体的体积()32315515452244x V x x x x x -⎛⎫=⋅⋅=-+ ⎪⎝⎭， ()24590'44V x x x =-+，由()'0V x =，得到2x =， 且当02x <<时，()'0V x >； 当23x <<时，()'0V x <，即体积函数()V x 在2x =处取得极大值()215V =，也是函数()V x 在定义域上的最大值．所以该长方体体积最大值是15． 故选：B ． 【点睛】本题考查利用导数求函数最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 11．若121x x >>，则（ ） A ．1221xxx e x e > B ．1221x xx e x e < C ．2112ln ln x x x x > D ．2112ln ln x x x x <【答案】A 【解析】 【分析】根据条件构造函数，再利用导数研究单调性，进而判断大小. 【详解】①令()()1x e f x x x =>，则()()21'0x x e f x x-=>，∴()f x 在()1,+?上单调递增，∴当121x x >>时，1212x x e e x x >，即1221x xx e x e >，故A 正确．B 错误. ②令()()ln 1x g x x x =>，则()21ln 'xg x x-=，令()0g x =，则x e =， 当1x e <<时，()'0g x >；当x e >时，()'0g x <，∴()g x 在()1,e 上单调递增， 在(),e +∞上单调递减，易知C ，D 不正确， 故选：A ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题. 12．对0x ∀>，不等式ln 2ax ex x ≥-+恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．2,e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．(),2e -∞-D ．(],2e -∞-【答案】B 【解析】 【分析】先分离变量，再利用导数研究新函数单调性与最值，即得结果. 【详解】 由()ln 20ax ex x x≥-+>恒成立可得()2ln 20a x x ex x x ≤+->恒成立， 令()()2ln 20f x x x ex x x =+->，则()'ln 21f x x ex =+-， 显然()'f x 在()0,+?上单调递增，又1'1210f e ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭，∴当10x e<<时，()'0f x <，当1x e >时，()'0f x >，∴当1x e=时，()f x 取得最小值12f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.∴2a e ≤-.故选：B ． 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查基本分析求解能力，属中档题.第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．若复数()()12z m m i =-++对应的点在直线10x y ++=上，则实数m 的值是______． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据复数几何意义得点坐标，代入直线方程解得结果. 【详解】∵复数()()12z m m i =-++对应的点在直线10x y ++=上， ∴()()1210m m -+++=，解得1m =-． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．在极坐标系中，已知两点3,3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,6B π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则A ，B 两点间的距离为______． 【答案】5 【解析】 【分析】先化直角坐标，再根据两点间距离求解. 【详解】由两点3,3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,6B π⎛⎫- ⎪⎝⎭，得A ，B 两点的直角坐标分别为3,22A ⎛ ⎝⎭，()2B -，由两点间的距离公式得：AB=5==. 故答案为：5．【点睛】本题考查极坐标化直角坐标以及两点间的距离公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．设等边ABC ∆的边长为a ，P 是ABC ∆内的任意一点，且P 到三边AB 、BC 、CA的距离分别为1d 、2d 、3d ，则有123d d d ++；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD 的棱长为3，P 是正四面体ABCD 内的任意一点，且P 到四个面ABC 、ABD 、ACD 、BCD 的距离分别为1d 、2d 、3d 、4d ，则有1234d d d d +++为定值______．【解析】 【分析】根据类比思想以及正四面体体积公式，结合分割法求结果. 【详解】设底面三角形BCD 的中心为O ，则23BO ==，故棱锥的高AO =∴正四面体的体积1934V ==又P ABC P ABD P ACD P BCD V V V V V ----=+++()1234193d d d d =⨯+++，∴1234d d d d +++=．【点睛】本题考查类比思想、正四面体体积公式以及分割法求体积，考查综合分析求解能力，属中档题.16．已知函数()3132xx f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数．若()()220f a f a +-<，则实数a 的取值范围是______．【答案】()2,1- 【解析】 【分析】先研究函数奇偶性与单调性，再根据函数性质化简不等式，最后解一元二次不等式得结果. 【详解】因为函数()3132xxf x x x e e =-+-， ()33113232x xx xf x x x e x x e e e---=-++-=-++- 则()()f x f x -=-，∴函数()f x 在R 上为奇函数． 因为()221'929220xx f x x e x e=-++≥-+≥. ∴函数()f x 在R 上单调递增．∵()()220f a f a +-<，∴()()()22f a f a f a -<-=-，∴22a a -<-，交点21a -<<.则实数a 的取值范围是()2,1-． 故答案为：()2,1-． 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性以及利用导数解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题17．在极坐标系下，已知圆C ：cos sin ρθθ=+和直线l ：20x y -+=. （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程； （Ⅱ）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．【答案】（Ⅰ）C :220x y x y +--=，l :cos sin 20ρθρθ-+=；（Ⅱ）2【解析】【分析】（Ⅰ）根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+=进行直角坐标与极坐标互化，（Ⅱ）根据圆心到直线距离减去半径得结果.【详解】（Ⅰ）圆C ：cos sin ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+，圆C 的直角坐标方程为：22x y x y +=+，即220x y x y +--=；直线l ：20x y -+=，则直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+=. （Ⅱ）由圆C 的直角坐标方程为220x y x y +--=可知圆心C 坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为2，因为圆心C=C上的点到直线l 的22=. 【点睛】本题考查直角坐标与极坐标互化以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.18．（Ⅰ）已知m R ∈，复数()()2245215z m m m m i =--+--是纯虚数，求m 的值； （Ⅱ）已知复数z 满足方程()20z z i +-=，求z 及2z i +的值． 【答案】（Ⅰ）1m =-；（Ⅱ）1z i =-【解析】【分析】（Ⅰ）根据纯虚数概念列方程，解得结果，（Ⅱ）解复数方程的z ，再根据共轭复数概念以及模的定义的结果.【详解】（Ⅰ）∵z 为纯虚数， ∴2251450532150m m m m m m m m ⎧==-⎧--=⇒⎨⎨≠≠---≠⎩⎩或且，∴1m =-；（Ⅱ）()()()2121111i i i z i i i i -===+++-，∴1z i =-，∴()2121z i i i i +=-+=+=【点睛】 本题考查纯虚数、共轭复数以及复数运算，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．设函数()365f x x x =-+，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x 的方程()f x a =有3个不同实根，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）55a -<<+【解析】【分析】（1）求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间，根据单调性可求得函数的极值；（2）根据单调性与极值画出函数的大致图象，则关于x 的方程()f x a =有三个不同的实根等价于直线y a =与()y f x =的图象有三个交点，结合图象从而可求出a 的范围.【详解】（1）()()2'32f x x =-，令()'0f x =，得12x x ==，x ∴<x >()'0f x >；当x <<时，()'0f x <， ()f x 的单调递增区间(,-∞和)+∞，单调递减区间(，当x =()f x 有极大值5+当x =()f x 有极小值5-.（2）由（1）可知()y f x =的图象的大致形状及走向如图所示，∴当55a -<+y a =与()y f x =的图象有三个不同交点，即当55a -<<+()f x a =有三解.【点睛】单本题主要考查利用导数研究函数的调性与极值，以及函数的零点与函数图象交点的关系，属于中档题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点. 20．已知函数()142x f x =+， （Ⅰ）分别求()()01f f +，()()12f f -+，()()23f f -+的值；（Ⅱ）由上题归纳出一个一般性结论，并给出证明．【答案】详见解析.【解析】 试题分析：通过计算发现每两个数的和都是12，故猜想()()112f x f x +-=，通过计算证明上式是成立的.试题解析： ()()11101362f f +=+=；同理()()()()1112,2322f f f f -+=-+=⋯ 由此猜想()()112f x f x +-= 证明：()()()()11114142411424242424422224224x x x x x x x x x x f x f x -++-=+=+=+==++++⋅+++故猜想成立.21．已知函数()ln f x x =，()()()20,g x a x x a a R =-≠∈，()()()h x f x g x =-. （Ⅰ）若1a =，求函数()h x 的极值；（Ⅱ）若函数()y h x =在[)1,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）极大值()10h =，无极小值；（Ⅱ）[)1,+∞【解析】【分析】（Ⅰ）先求导数，再求导函数零点，根据导函数符号变化规律确定极值，（Ⅱ）根据题意得()'0h x ≤对1x ≥恒成立，再利用变量分离法转化为对应函数最值，最后根据函数最值得结果.【详解】（Ⅰ）根据题意可知()ln f x x =的定义域为()0,+?，()()()2111'21x x h x x x x+-=-+=-， 故当()0,1x ∈时，()'0h x >，故()h x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()'0h x <，故()h x 单调递减，所以当1x =时，()h x 取得极大值()10h =，无极小值．（Ⅱ）由()()2ln h x x a x x =--得()()1'21h x a x x=--， 若函数()y h x =在[)1,+∞上单调递减，此问题可转化为()()1'210h x a x x=--≤对1x ≥恒成立； ()211121212x a x x x x x≥==---，只需2max 12a x x ⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭， 当1x ≥时，221x x -≥，则21012x x <≤-，2max 112x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 故1a ≥，即a 的取值范围为[)1,+∞．【点睛】本题考查利用导数研究函数极值以及利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题.22．设函数()2x f x e ax =--. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()'10x k f x x -++>，求k 的最大值．【答案】（1）若0a ≤，()f x 在（-∞，+∞）上单调递增；若0a >，()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增；（2）2【解析】(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝e x －a.若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x ∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f′(x)>0.所以，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)由于a ＝1时，(x －k)f′(x)＋x ＋1＝(x －k)(e x －1)＋x ＋1.故当x>0时，(x －k)f′(x)＋x ＋1>0等价于 k<11x x e +-＋x(x>0) ① 令g(x)＝11x x e +-＋x ，则g′(x)＝()()211x x x e e ---＋1＝()()221x x x e e x e ---.由(1)知，函数h(x)＝e x －x －2在(0，＋∞)上单调递增，又h(1)＝e －3<0，h(2)＝e 2－4>0.所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点．故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x ∈(0，α)时，g′(x)<0；当x ∈(α，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．又由g′(α)＝0，得e α＝α＋2, 所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．由于①式等价于k<g(α)，故整数k 的最大值为2.。
福建省宁德市部分一级达标中学20182018学年高一数学下学期期中联考试题
福建省宁德市部分一级达标中学20182018学年高一数学下学期期中联考试题2019—2019学年宁德市部分一级达标中学第一学期期中联合考试高一数学试题参考答案及评分标准（1）本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的评分标准的精神进行评分．（2）解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数.（3）评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．A 7．C 8． B 9．C 10．D 11.A 12.D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.[]5,0 14.4:5 15.[][]--⋃- 16.5,31,1①②③④___.三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(本题满分10分)()()21011,,1,32703x y x P x y y --==-⎧⎧∴--⎨⎨++==-⎩⎩解：由得 ……………………2分30310op k --∴==--……………………3分()311,31003x x y ∴+++=直线l 的方程y+3=-即 ……………………5分（2）设()-310,Q y y -，因为点Q 在圆22100x y +=上所以()22310100y y --+=，即22960100100y y y +++= …………………7分所以()60y y +=，所以06y y ==-或 当0y =时，()10,0Q -，当6y =-时，()8,6Q - ……………………9分所以Q的坐标()()10,08-6-或，……………………10分 18．(本题满分12分)AC ABDP∴⊥平面……………………3分()2+4211=2=4332C ABDP V S AC -⨯∴=•⨯⨯底 ……………………6分 19．(本题满分12分)解：（1）由直线l 与圆C 相切，可得圆()C ,0a 到直线:3290l x ay ++=的距离239394a d a+==+，…………………2分 化为()22394a a +=+，即220a a -=，所以2a =或0a =(舍)． ……………4分 所以圆C的方程为：()2229x y -+= ……………………5分（2）因为CM PQ ⊥，所以1CMPQ K K =-，即131722aa -=--，化为22730a a -+=，解得3a =或12a =……………………7分当3a =时，直线:230l x y ++=，圆心C ()3,0到直线l 的距离35d =<，符合题意；……………………9分当12a =时，直线:390l x y ++=，圆心C 1,02⎛⎫⎪⎝⎭到直线l 的距离392310d +=>，不符合题意；……………………11分综上，满足题意的直线l的方程为230x y ++= ……………………12分20．(本题满分12分)解：（1）在长方体1111ABCD A BC D -中，11AD CDD C ⊥平面APD∴∠是直线PA 与平面PCD 所成角 ……………………1分 底面ABCD 是正方形，2AD ∴= 在RtADP中，2PD ，AD=26PA ∴=……………………3分23cos 6PD APD PA ∴∠===……………………4分 (2),,CD E PE PC PD PE CD=∴⊥解：取中点连接21．(本题满分12分)证明：（1）存在，M 为PD 的中点；M 取PD 的中点，N为PC的中点，连结,M ,AM N NB，……………………1分 由12MN CD AB=∥，有AMNB，故AM BN∥， ……………………3分又BN PBC AM PBC⊂⊄平面，平面 ，所以AM∥平面PBC………………4分（2）过点D 作PB 的垂线DE ，E 为垂足，连结BD 由222BD BC BC +=，有BC BD⊥， ……………………5分由 PD ⊥底面ABCD ，有PD BC ⊥ 因此BC PBD⊥平面，PBD CPB ⊥平面平面， ……………………7分 又PBDC=PBPB 平面平面，DE PB ⊥所以DE PBC ⊥平面 ，即DE 就是点D 到平面PBC 的距离， …………………9分 在Rt PBD ∆中 由PB DE BD PD =312DE =故63DE =……………………11分 点D 到平面PBC的距离为6……………………12分注：用等积法求得点D 到平面PBC 6给分22．(本题满分12分) 解：（1）圆心C到直线l的距离222439132551k k d k ⎛⎫--==-= ⎪ ⎪+⎝⎭，………………2分化为21225+120k k -=，解得43k =或34k =……………………4分所以直线l的方程为4340x y --=或3430x y --= ……………………5分（2）法1 由CM l ⊥，知1CMkk=-，由()()1134y k x y x k =-⎧⎪⎨-=--⎪⎩得22223433,11k k k k M k k ⎛⎫+++ ⎪++⎝⎭；……………………7分 由()120y k x x y =-⎧⎪⎨++=⎪⎩，得23,11k k N k k --⎛⎫ ⎪++⎝⎭ ， ……………………9分 又()1,0A 故 即AM AN是定值9 ……………………12分法2 连结CA ，并延长交l '于点D ，由于1ACl k k '=-，所以AD l '⊥， …………6分又CM l ⊥，所以Rt AMC ∆∽Rt ADN ∆，因此AM ADAC AN=，即AM AN AC AD=……………………8分又():1l y k x =-，:20l x y '++=，()1,0A ，()4,3C 因此()()22413032AC =-+-=，10222AD ++==…………………10分所以3292AM AN AC AD ==⨯= ……………………12分。
福建省宁德市六校2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题 含解析
2018-2019学年福建省宁德市六校高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列图形中不一定是平面图形的是（ ） A. 三角形 B. 平行四边形 C. 梯形 D. 四边相等的四边形【答案】D 【解析】 【分析】利用平面基本性质及推论求解．【详解】利用公理2可知：三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形， 而四边相等的四边形可能是空间四边形不一定是平面图形． 故选D ．【点睛】本题考查图形是否是平面图形有判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．2.ABC ∆的斜二侧直观图如图所示，则ABC ∆的面积为（ ）A.2B. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】用斜二侧画法的法则，可知原图形是一个两边分别在x 、y 轴的直角三角形，x 轴上的边长与原图形相等，而y 轴上的边长是原图形边长的一半，由此不难得到平面图形的面积. 【详解】∵1OA =，2OB =，45ACB ∠=︒ ∴原图形中两直角边长分别为2，2， 因此，Rt ACB ∆的面积为12222S =⨯⨯=．故选D ．【点睛】本题要求我们将一个直观图形进行还原，并且求出它的面积，着重考查了斜二侧画法和三角形的面积公式等知识，属于基础题．3.已知a 、b 是两条异面直线，//c a ，那么c 与b 的位置关系（ ） A. 一定是异面 B. 一定是相交C. 不可能平行D. 不可能垂直【答案】C 【解析】 【分析】由平行公理，若//c b ，因为//c a ，所以//a b ，与a 、b 是两条异面直线矛盾，异面和相交均有可能．【详解】a 、b 是两条异面直线，//c a ，那么c 与b 异面和相交均有可能，但不会平行． 因为若//c b ，因为//c a ，由平行公理得//a b ，与a 、b 是两条异面直线矛盾． 故选C ．【点睛】本题主要考查空间的两条直线的位置关系的判断、平行公理等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题.4.在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】利用直线斜率与截距的意义即可得出．【详解】假设0a >，则A 中的y x a =+的截距0a <与0a >矛盾，同理B 也与0a >矛盾．假设0a <，则D 中的y x a =+斜率小于零，与斜率大于零相矛盾，故C 符合条件． 故选：C ．【点睛】本题考查了直线斜率与截距的意义，考查了数形结合的思想方法，属于基础题． 5.直线134x y+=与x ，y 轴所围成的三角形的周长等于（ ） A. 6 B. 12C. 24D. 60【答案】B 【解析】该直线在x 轴、y 轴上的截距分别为3和4， 因为直线与x 轴、y 轴围成的三角形为直角三角形， 所以两个直角边分别为3和4，所以斜边为5， 故周长为3+4+5=12.6.下列说法正确的是（ ） A. ////a b b a αα⊂⇒， B. a b b a αα⊥⊂⇒⊥， C. //a b a b αα⊥⊥⇒， D. a a αββα⊥⊂⇒⊥，【答案】C 【解析】由线面垂直的性质定理可知，若a α⊥，b α⊥，则a b ∥， 本题选择C 选项.7.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，PA ⊥平面ABC ，则四面体P ABC ﹣的四个面中，直角三角形的个数有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】A【解析】 【分析】由题意得出三角形ABC 是直角三角形，根据线面垂直的性质定理得出PA 垂直于AC ，BC ，从而得出两个直角三角形，又可证明BC 垂直于平面PAC ，从而得出三角形PBC 也是直角三角形，从而问题解决．【详解】∵AB 是圆O 的直径∴∠ACB ＝90°即BC ⊥AC ，三角形ABC 是直角三角形 又∵PA ⊥圆O 所在平面， ∴△PAC ，△PAB 是直角三角形． 且BC 在这个平面内，∴PA ⊥BC 因此BC 垂直于平面PAC 中两条相交直线， ∴BC ⊥平面PAC ， ∴△PBC 是直角三角形．从而△PAB ，△PAC ，△ABC ，△PBC 中，直角三角形的个数是：4． 故选：A ．【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质定理的应用，要注意转化思想的应用，将线面垂直转化为线线垂直．8.若圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为（ ）A. 1B.12C.2D.34【答案】D 【解析】设圆柱底面半径为R ，圆锥底面半径r ，高都为h ，由已知得2Rh ＝rh ，∴r ＝2R ，V 柱︰V 锥＝πR 2h ︰13πr 2h ＝3︰4，故选D ．9.直线123102110L ax y L x a y ++=+++=：，：（），若12//L L ，则a 的值为（ ） A. ﹣3 B. 2C. ﹣3或2D. 3或﹣2【答案】C 【解析】试题分析：由()16a a +=，解得a=-3或a=2，当a=-3时，直线1l ：-3x+3y+1=0，直线2l ：2x-2y+1=0，平行；当a=2时，直线1l ：2x+3y+1=0，直线2l ：2x+3y+1=0，重合 所以两直线平行，a=-3考点：本题考查两直线的位置关系点评：解决本题的关键是掌握两直线平行或重合的充要条件为1221A B A B =10.若点()0k ，与()0b ，的中点为()1,0-，则直线y kx b =+必定经过点（ ） A. ()1,2- B. ()1,2C. ()1,2-D. ()1,2--【答案】A 【解析】试题分析：由中点坐标公式可得2k b +=-，所以直线y kx b =+化为()212y k x k k x y =--∴-=+，令10,201,2x y x y -=+=∴==-，定点(1,2)- 考点：1．中点坐标公式；2．直线方程11.下列四个命题中的真命题是（ ）A. 经过定点000P x y （，）的直线都可以用方程00y y k x x ﹣＝（﹣）表示B. 经过任意两个不同点111222P x y P x y （，）、（，）的直线都可以用方程121121y y x x x x y y （﹣）（﹣）=（﹣）（﹣）表示C. 不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示 D. 经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b +＝表示 【答案】B 【解析】试题分析：A 中只有斜率存在的直线才可以表示；B 中直线方程正确；C 中只有两轴上截距都存在且不为零的直线可以用截距式；D 中只有斜率存在的直线才可以表示 考点：直线方程12.如图，正方体ABCD A B C D ''''﹣的棱长为4，动点E ，F 在棱AB 上，且2EF ＝，动点Q 在棱D′C′上，则三棱锥A EFQ '﹣的体积（ ）A. 与点E ，F 位置有关B. 与点Q 位置有关C. 与点E ，F ，Q 位置有关D. 与点E ，F ，Q 位置均无关，是定值 【答案】D 【解析】试题分析：'11'''32A EFQ Q A EF V V EF AA A D '-==⨯⨯⨯⨯－，所以其体积为定值，与点E ，F ，Q 位置均无关，故选D ． 考点：柱锥台体的体积二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13.已知三点(2,2)A ，(5,1)B ，(4,2)C a -在同一条直线上，则a =___________． 【答案】2 【解析】 【分析】由三点在同一条直线上，根据斜率相等列出等式，解出即可. 【详解】三点(2,2)A ，(5,1)B ，(4,2)C a -在同一条直线上，21222542a --=---，解得2a =． 故答案为2．【点睛】本题主要考查了两点间斜率计算公式的应用，属于基础题.14.在边长为a 的等边三角形ABC 中，AD BC ⊥于D ，沿AD 折成二面角B AD C ﹣﹣后，2aBC =，这时二面角B AD C --的大小为_______．【答案】60° 【解析】 ∵AD BC ⊥，∴沿AD 折成二面角B AD C --后，AD BD ⊥，AD CD ⊥， 故BDC ∠即为二面角B AD C --的平面角， 又∵2a BD CD BC ===， ∴60BDC ∠=︒， 故答案为：60︒．15.已知直线l 与直线4350x y -+=关于y 轴对称，则直线l 的方程为 。
福建省宁德市部分一级达标中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)含答案
2018-2019学年宁德市部分一级达标中学第二学期期中联合考试高二数学（理科）试题(满分:150分; 时间:120分钟)注意事项：1.答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚.2.每小题选出答案后，填入答案卷中.3.考试结束，考生只将答案卷交回，试卷自己保留.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数满足(为虚数单位)，则为（）z (2)43z i i -=+i z A ． B ． C ． D ．2i -2i 12i -12i+2．已知函数，则（）()sin(216f x x p =++'(0)f =A ．B ．CD 1213．用反证法证明命题“设，，为实数，满足则，，至少有一个数不小于”时，要做a b c 3a b c ++=a b c 1的假设是（）A ．，，都小于B ．，，都小于a b c 2a b c 1C ．，，至少有一个小于D ．，，至少有一个小于a b c 2a b c 14．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）2ln 22x y x =-32A ． B ． C ． D ．或112-212-25．若不等式对恒成立，则实数的最小值是( )22ln 30x x x ax +++≥(0,)x ∈+∞aA ．B ．0C ．2D ．44-6．函数的大致图象是（ ）2()xx x f x e +=A 7．下面使用类比推理，得到的结论正确的是（）A ．直线,若//，//，则//.类比出:向量，若，则.,,a b c a b b c a c a ,b ,c a //b ,b //c a //c B ．同一平面内,直线,若则//.类比出:空间中,直线,若,则//.,,a b c ,a c b c ^^a b ,,a b c ,a c b c ^^a b C ．以点为圆心,为半径的圆的方程为.类比出:以点为球心,为半径的球面的方程为(0,0)r x 2+y 2=r 2(0,0,0)r .x 2+y 2+z 2=r 2D ．实数,若方程有实数根,则.类比出:复数,若方程有实数根,则a ,b x 2+ax +b =0a 2≥4b a ,b x 2+ax +b =0.a 2≥4b 8．已知函数，在时有极值，则的值为（）322()3f x x ax bx a =+++1x =-0a A ． B ． C ．或D ．或1212139.已知双曲线：的右支与抛物线交于两点，是抛物线的焦点，C 22221x y a b-=(a >0,b >0)24x y =,A B F 是坐标原点，且，则双曲线的离心率为（）O6AF BF OF +=C A ．B D 3210．有一天，宁德市的某小区发生了一起数额较大的盗窃案．失主报案后，经过侦察，查明作案人肯定是甲、乙、丙、丁四人中的一人．经过审讯，这四个人的口供如下：甲：被盗的那天，我在福安市，所以我不是罪犯．乙：丁是罪犯．丙：乙是盗窃犯，当天，我看见他出入小区．丁：乙同我有仇，有意诬陷我．因口供不一致，无法判断谁是罪犯．经过测谎知道，这四人只有一个人说的是真话，那么罪犯是（）A.甲B.乙C.丙D.丁11．已知函数，若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（）2ln ()x f x x=()0f x a -=a A ． B ． C ． D ．12a e <102a e <<2a e <20a e<<12．设函数在上的导函数是，对，若，则实数的()f x R '()f x ,'()x R f x x ∀∈<1(1)()2f a f a a --≤-a 取值范围是（）A ．B ．C ．D ．12a ≤102a ≤≤12a ≥112a ≤≤第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13．计算.22(sin cos )x x dx ππ-+=⎰14．“、是菱形的对角线，、互相垂直．”以上推理的大前提是________．AC BD ABCD AC \BD 15．已知函数在区间上为减函数，则的取值范围是________．1()2ax f x x +=+()2,-+¥a 16．设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则对称点f'(x)f(x)f''(x)f'(x)f''(x)=0x 0为函数的拐点，经过探究发现：任何一个三次函数都有拐(x 0，f(x 0))f(x)f(x)=ax 3+bx 2+cx +d(a ≠0)点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数，利用上述3231()122f x x x x =-++探究结果计算：.1232019((()()2020202020202020f f f f ++++=三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知复数在复平面内对应的点分别为．且.z 1,z 2A(‒2,0),B(a,2)|z 1‒z 2|=2（Ⅰ）求的值；a （Ⅱ）若，求的最大值.|z |=1|z ‒z 1|18． (本小题满分12分)观察以下个等式3；11=13211´´+；112+=1335221´´´+；1113++=133557231´´´´+（Ⅰ）按照以上式子规律，写出，的等式，并猜想第个等式；=4n =5n n *()n N Î（Ⅱ）用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立.n *()n N Î19．(本小题满分12分)宁德市某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费（百万元），可增加的销售额为（百万元）（）.t 25t t -+03t ££（Ⅰ）若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？（注：收益=销售额-投入费用）（Ⅱ）现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费（百万元），可增加的销售额约为（百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由x 32133x x x -++这两项共同产生的收益最大.20．(本小题满分12分)如图，直三棱柱中，且，是棱上的动点，是棱111ABC A B C -120ACB Ð= 12AC BC AA ===E 1CC F 的中点.AB （Ⅰ）当是棱的中点时，证明：//平面；E 1CC CF 1AEB （Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所1CC E 1AEB ABC 成锐二面角为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.6pCE 21．(本小题满分12分)已知椭圆的一个焦点为，离心率，定直线，椭圆的左、:C )0(12222>>=+b a by a x )0,1(F 21=e 4:=x l 右顶点分别为、．过点的直线交于、两点，直线、与直线分别相交、两A B F C D E AD AE l M N 点．1（Ⅰ）求的方程；C （Ⅱ）以为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．MN 22．(本小题满分12分)已知函数.()ln 1xf x me x =--（Ⅰ）若，讨论的单调性；21()(1)1(0)2x g x me ax a x a =+-+->()()()h x f x g x =-（Ⅱ）当时，证明：.1m ³()1f x >。
福建省宁德市2019年高一下学期期中数学试卷(I)卷
福建省宁德市2019年高一下学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共12题；共13分)1. （1分）已知f（x）=x3+ln，且f（3a﹣2）+f（a﹣1）＜0，则实数a的取值范围是________2. （1分）已知tanx=2，则 =________．3. （1分）若a＞0且a≠1，函数y=ax﹣3+1的反函数图象一定过点A，则A的坐标是________．4. （1分） (2016高三上·无锡期中) 已知f（x）=cos（﹣），若f（α）= ，则sinα=________．5. （1分） (2016高三上·思南期中) 已知cosα=﹣且α∈（，π），则tan（α+ =）________．6. （1分） (2016高一上·新疆期中) 已知f（x）= 是R上的增函数，则a的取值范围________．7. （1分）△ABC中，若 sin（π-A）=， tan（π+B）=，则cosC ________．8. （1分）(2017·重庆模拟) 已知函数f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是减函数，若f（a）≥f （2），则实数a的取值范围是________．9. （1分） (2019高一上·阜阳月考) 已知，函数，若的图像与轴恰好有2个交点，则的取值范围是________.10. （1分）(2019高一下·嘉定月考) 若（为第四象限角），则________.11. （1分）以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1．③在回归直线=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2单位．④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确的命题是________12. （2分）(2018高一下·平原期末) 中，分别是三个内角的对边，若，则 ________，边 ________．二、选择题 (共4题；共8分)13. （2分） (2016高一下·延川期中) 372°所在象限是（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限14. （2分）已知条件k=，条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充分必要条件D . 既非充分也非必要条件15. （2分） (2017高一下·荔湾期末) 若cos2α= ，则sin4α+cos4α的值是（）A .B .C .D .16. （2分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则等于（）A .B .C .D .三、解答题： (共5题；共40分)17. （5分）已知α是第二象限角，且，求cos2α的值；18. （15分）(2013·陕西理) 已知函数f（x）=ex ，x∈R．（1）若直线y=kx+1与f （x）的反函数g（x）=lnx的图象相切，求实数k的值；（2）设x＞0，讨论曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．（3）设a＜b，比较与的大小，并说明理由．19. （5分）已知函数f（x）=ax的图象经过点，其中a＞0且a≠1，（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若函数，解关于t的不等式g（2t﹣1）＜g（t+1）．20. （10分）已知函数 .（1）当a=-1时，求函数的最大值和最小值；（2）若函数在区间上是单调函数，求a的取值范围.21. （5分） (2018高一上·台州期末) 已知是第一象限的角，且 .(Ⅰ)求 ,的值；(Ⅱ) 求 ,的值.参考答案一、填空题 (共12题；共13分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、选择题 (共4题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共5题；共40分) 17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、。
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正视图俯视图侧视图2018-2019学年福建省宁德市部分一级达标中学高一下学期期中考试 数学(满分:150分; 时间:120分钟)注意事项：1.答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚。
2.每小题选出答案后，填入答案卷中。
3.考试结束，考生只将答案卷交回，试卷自己保留。
第I卷（选择题 共60分）一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知点A (1-，B (1，，则直线AB 的倾斜角是A ．60°B ．75°C ．120°D ．150°[2．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，上底为1, 梯形，那么原平面图形的面积是 AB ．C ．D ．3．已知直线260x a y ++=与直线()2320a x ay a -++=平行，则a 的值为A. 0或3或1-B. 0或 3C. 1-D. 0或1-4．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若s i n s i n s i n a A b B c C +<，则ABC∆的形状是A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形D.正三角形5．一个圆锥的表面积为5π，它的侧面展开图是圆心角为90︒的扇形，该圆锥的母线长为A. 83B. 4C. D ．6．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为A ．203 B. 403C AC ．20D ． 407．在ABC ∆中，角,,AB C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2b =，sin cos B B +=则角A 的大小为 A ．15° B. 30° C ．30°或150° D ．15°或150° 8．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是A ．若//,//,m αβα 则//m β B. 若α⊥β, m ∥α 则 m ⊥β C ．若m ⊥α , //m n , n ⊥β， 则α∥β D. 若α⊥β, , α∩β=m , n ⊥m , 则n ⊥β 9．如图，三棱锥P ABC -中, N M 、分别是AP AB 、的中点，E F 、分别是PC BC 、 上的点，且=2PE BF=EC FC，下列命题正确的是A ．MN =EFB. ME 与NF 是异面直线C. AC//平面MNFE D ．直线ME 、NF 、AC 相交于同一点10．已知直线l 过点(1,1)P , 且点(2,2)A -与点(2,4)B -到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为A ．1y = B. 2350x y +-= C ．1x =或2350x y +-= D ．1y =或2350x y +-=112的正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影是底面的中心）的 外接球的表面积为 A. 16π3 B. 8π3C. 16πD. 8π12．如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，在折起后形成的三棱锥DABC 中，给出下列四种说法： ①△DBC 是等边三角形;②AC ⊥BD ; ③AB ⊥CD ； ④直线AD 和BC 所成的角的大小为60°.其中所有正确的序号是A ．①③ B. ②④ C ． ①②③ D ．①②④第II 卷 （非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 13. 已知点(2,1)A , (2,3)B -, (0,1)C , 在△ABC 中, BC 边上的中线所在的直线方程是 ___________；14. 在ABC ∆中，3A π=，1,b a ==ABC ∆的面积为___________；15. 若长方体1111ABCD A B C D -中,14,3BA BC BB ===, 直线1BA 与平面11BB D D 所成角的正弦值为_____；16. 在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，若22a b bc =+，且(60,90)A ∈, 则ab取值范围是_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）如图所示，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝120°，AB =，2CD =，1AD =， 将四边形ABCD 绕AD 旋转一周所形成的一个几何体. （Ⅰ）求这个几何体的表面积 ; （Ⅱ）求这个几何体的体积．18．（本小题满分12分）已知点(1,2)P ，斜率为2-的直线1l 与x 轴和y 轴分别交于 A, B 两点.（Ⅰ）求A, B 两点的坐标；（Ⅱ）若一条光线从A 点出发射向直线2l ：1y x =--, 经2l 反射后恰好过B 点，求这条光线从A 到B 经过的路程. 19． (本小题满分12分)如图, A , B 是海面上位于东西方向相海距4(3里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为24海里/小时.（Ⅰ）求BD的长;（Ⅱ）该救援船到达D 点所需的时间.B20．(本小题满分12分)已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，侧面PAD ⊥平面ABCD ,且PA = 1AD =，2PD =. （Ⅰ）证明：DB ⊥平面PAC ; （Ⅱ）若点F 在线段CD 上，且3,DFFC= 试问： 在PB 上是否存在一点E ，使//EF 面PAD ？若存在，求出PEEB 的值 ；若不存在，请说明理由. 21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知满足(2)cos cos a c B b C -= （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b ＝2，求△ABC 的面积的取值范围．22．（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCM 中，AB =AC =3，∠ACM =90°，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA ． （Ⅰ）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（Ⅱ）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP =DQ =13DA ，求二面角Q PA C--的大小的 正切值．OABD2018-2019学年宁德市部分一级达标中学第二学期期中联合考试高一数学试卷评分标准及参考答案一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．A 2. C 3.D 4.B 5. B 6.C 7. B 8.C 9.D 10.C 11. A 12.D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13. x+3y-5=0 14.15. 122516.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 解析：如图延长AD ，过C 作'CO AD ⊥交AD 于'O ;过C 作CE AB ⊥交AB 于E ；过D 作DF CE ⊥交CE 于F ；令'1r O C =，2r AB =,'1h O D =,'2h O A =,1l CD =,2l CB =.120ADC ∠=︒Q 30CDF ∴∠=︒在Rt CDF V 中，2CD =1,CF DF ∴= 11h ∴=. 12l =22h CF DA∴=+= ………………………………………………………………………1分EB AB DF =-=24l ∴= ……………………………………………………………………2分'''DO O A O A S S S S τ∴=++表圆锥侧圆台侧圆台下底2111222()rl r r l r πππ=+++224ππ=+⋅+ ………………………………………………………5分 (27π=+……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）''O A DO V V V τ-体积圆台圆锥＝ …………………………………………………………7分2121111()33h ss s h =- 222112()133ππππ=⋅⋅++-⋅……………9分 25π= …………………………………………………………………………………10分18．（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）由已知有：1:22(1)l y x -=-- ………………………………………………………1分 得，1l 方程：24y x =-+ …………………………………………………………………3分 0,4;0,2x y y x ====当当(2,0),(0,4)A B ∴ ……………………………………………………………………………5分（Ⅱ）设A 关于2l 的对称点为'A ，'11(,)A x y ………………………………………..6分依题意有：111101202122y x y x -⎧=⎪-⎪⎨++⎪=--⎪⎩ ……………8分解得：1113x y =-⎧⎨=-⎩ '(1,3)A ∴-- ……………10分'BA ∴∴这条光线从A 点到B 点经过的路程为……………………………………………………12分19． (本小题满分12分)解：（Ⅰ）在ADB ∆中，45,30DAB DBA ∠=︒∠=︒,则105ADB ∠=︒.………………1分 由正弦定理得sin sin AB DBADB DAB=∠∠ sin 45DB=︒3分 第19题图由sin105sin 75︒=︒………………………………………………………………4分 代入上式得DB =……………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）在BCD ∆中60BC DB CBD ==∠=︒ ……………………………………7分 由余弦定理得2222cos60CD BC BD BC BD=+-⋅⋅︒22122=+-⋅ 224=……………………………………………9分24CD ∴=………………………………………………………………………………10分24124s t v ∴=== ………………………………………………………………………11分 所以该救援船到达D 点所需的时间1小时. …………………………………………12分 20．(本小题满分12分)（Ⅰ）在△PAD 中， ,PA =1,2A D P D ==∴222+A D P A P D=, ∴90PAD ∠= ∴PA AD ⊥…………………………………………….1分侧面PAD ⊥平面ABCD , 侧面PAD 平面=ABCD AD , PA PAD ⊂平面∴PA ⊥平面ABCD …………………………………………………………………………2分BD ABCD ⊂平面 P A B D∴⊥…………………………………………………………3分 在菱形ABCD 中，AC BD ⊥…………………………………………4分 又PAAC A =∴BD PAC ⊥平面………………………………5分（Ⅱ）存在E,当=3PEEB 时，使//EF 面PAD .………………………………………6分理由如下：在AB 上取一点G ，使=3AGGB 时，则在PAB 中,=3//,PE AG EG AP EB GB =∴，,EG PAD AP PAD ⊄⊂平面平面//EG PAD ∴平面……………………………………9分在菱形ABCD 中，=3//,AG DFGF AD GB FC==∴， 同理，//GF PAD 平面…………………………………10分 ,,FG EG EFG FGEG G ⊂⊂=平面EFG 平面//EFG PAD ∴平面平面…………………………………………11分∴//FG PAD 平面E F E F G⊂平面 //EF PAD ∴平面…………………………12分21．(本小题满分12分)解（Ⅰ）(2)cos cos a c B b C -=Q(2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-= ……………………………………………………1分2sin cos sin cos sin cos A B C B B C ∴⋅=⋅+⋅2sin cos sin A B A ∴= ……………………………………………………………………2分(0,),sin 0A A π∈∴≠Q …………………………………………………………………3分 1cos 2B ∴=………………………………………………………………………………4分 (0,)B π∈Q ………………………………………………………………………………5分 3B π∴=…………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由正弦定理得：sin sin ba A B=⋅，sin a A A ∴==………………………………………………………………7分同理：c C =. 1sin 2ABC S ac B ∆=1sin sin 2A C =sin A C =⋅2sin()sin 3C Cπ=- …………………………………………………………………………8分1sin )sin2C C C =+ 112cos2)44C C =-+ ……………………………9分1))62C π=-+ ………………………………………………………………………10分203C π<<Q 72666C πππ∴-<-<1sin(2)126C π∴-<-≤ ……………………………………………………………………11分10))62C π∴<-+≤ 所以△ABC 的面积的取值范围为 ……………………………………………………12分22．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：平行四边形ABCM 中，90ACM ∠=︒,90BAC ∴∠=︒即AB AC ⊥………1分 又,AB DA DA AB A ⊥=Q IAB ∴⊥平面ACD …………………………………………………………………………3分 AB ⊂Q 平面ABC∴ 平面ACD ⊥平面ABC …………………………………………………………………4分（Ⅱ）在ACD V 中，过Q 作//QN DC 交AC 于点N ， 过N 作NO AP ⊥交AP 于点O . Q 由（Ⅰ）知平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD I 平面ABC AC =,90DCA ∠=︒DC ∴⊥平面ABC//QN DC Q QN ∴⊥平面ABCAP ⊂平面ABC QN AP ∴⊥ ………………………………………………………………6分又,NO AP QN NO N ⊥=Q I AP ∴⊥平面QNOQO ⊂Q 平面NQO QO AP ∴⊥ …………………………………………………………7分NOQ ∴∠就是二面角QPA C --的平面角. ……………………………………………8分 在CAP V 中，23,453CA CP CB ACP ===∠=︒2222cos AP AC CP ACCP ACP ∴=+-⋅⋅∠ 22323cos 455=+-⋅⋅︒=AP ∴=……………………………………………………………………………………9分在CAP V 中,sin sin CP APCAP ACP=∠∠=sin sin CAP NAO ∴∠=∠ ………………………………………………………………10分22//,2233ACD QN DC DQ AC QN CD====中，且，QV 在Rt NAO V 中,sin 2NO AN NAO =∠== ………………………………………11分在Rt NOQ V 中,2tan 4NQNOQ NO ∠== 所以二面角Q PA C --……………………………………………………12分 解法二：连接DP ，则二面角Q PA C -- 即为二面角D AP C -- ,过C 点作CO AP ⊥交AP 于点O ，连接DO ， ………………………………………………………………………………………7分AP DC ⊥Q (见解法一)DC CO C =I AP ∴⊥平面DCO DO ⊂Q 平面DCO AP DO ∴⊥COD ∴∠就是所求二面角D AP C --的平面角………………………………………………9分11sin 22ACPS AP COAC PC ACP =⋅=⋅⋅∠V Q ， 13452CO =⋅⋅︒CO ∴ (11)分在Rt DCOV中3 tan6DCDOCCO∠==所以二面角Q PA C-- (12)分。