第八章第4课时知能演练轻松闯关

1．(2010·高考广东卷)若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是( )
A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
解析：选D.设圆心O(a,0)(a<0)，则＝⇒|a|＝5，得a＝－5，∴圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5.
2．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．
解析：∵点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，∴过点A与圆O相切的切线方程为x ＋2y＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为.
答案：
3．(2011·高考湖北卷)过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为________．
解析：由题意知直线要与圆相交，必存在斜率，设为k，则直线方程为y ＋2＝k(x＋1)，又圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，
∴圆心到直线的距离d＝＝，
解得k＝1或.
答案：1或
4．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.
解析：由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为y＝，利用圆心(0,0)到直线的距离d＝＝＝1(a>0)，解得a＝1.
答案：1
一、选择题
1．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋m2＝4，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＝8
－m2(m>3)，则两圆的位置关系是( )
A．相交 B．内切
C．外切 D．相离
解析：选D.将两圆方程分别化为标准式
圆C1：(x－m)2＋y2＝4，
圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝9，
则|C1C2|＝＝
>＝5＝2＋3，
∴两圆相离．
2．若直线x＋y＋2n＝0与圆x2＋y2＝n2相切，其中n∈N*，则n的值等于( )
A．1 B．2
C．4 D．1或2
解析：选D.圆心(0,0)到直线的距离为：
d＝＝2n－1.
由n＝2n－1，综合选项，得n＝1或2.
3．已知直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围为( )
A. B.
C．[，2] D.
解析：选A.若|MN|≥2，则圆心(3,2)到直线y＝kx＋3的距离小于等于1，即≤1，解得k∈.
4．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是( )
A．3－1 B．2
C．5 D．4
解析：选D.因为点A(－1,1)关于x轴的对称点坐标为(－1，－1)，圆心坐标为(2,3)，所以从点A(－1,1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程为－1＝4.
5．(2012·黄冈调研)已知函数f(x)＝x2－4x＋3，集合M＝{(x，y)|f(x)
＋f(y)≤0}，集合N＝{(x，y)|f(x)－f(y)≥0}，则集合M∩N的面积是( ) A. B.
C．π D．2π
解析：选C.由已知可得
M＝{(x，y)|f(x)＋f(y)≤0}
＝{(x，y)|(x－2)2＋(y－2)2≤2}，N＝{(x，y)|f(x)－f(y)≥0}
＝{(x，y)|(x－y)(x＋y－4)≥0}．则M∩N＝，
作出其交集部分可得如图所示，其面积为圆面积的一半，
即为π·()2＝π，故应选C.
二、填空题
6．若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围为________．
解析：圆方程可化为(x－a)2＋y2＝3－2a，
由已知可得，解得a<－3或1<a<.
答案：(－∞，－3)∪(1，)
7．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A、B两点，则线段AB的中垂线方程为________．
解析：AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2，又
C1(3,0)，C2(0,3)，∴C1C2的方程为x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
8．从原点向圆x2＋y2－12y＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．
解析：设过原点的圆的切线是y＝kx，由x2＋(y－6)2＝9，容易求得k＝±.∴两切线的夹角为2×＝.
∴两条切线间的劣弧所对圆心角为π－＝，劣弧长为l＝αR＝×3＝π.
答案：π
三、解答题
9．(2012·洛阳质检)求过点P(4，－1)且与圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0切于点M(1,2)的圆的方程．
解：设所求圆的圆心为A(m，n)，半径为r，
则A，M，C三点共线，且有|MA|＝|AP|＝r，因为圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0的圆心为C(－1,3)，
则，
解得m＝3，n＝1，r＝，
所以所求圆的方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝5.
10．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．
(1)求过点A的圆的切线方程；
(2)O点是坐标原点，求△AOC的面积S.
解：(1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.
当切线的斜率不存在时，有直线x＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件．
当k存在时，设直线为y－5＝k(x－3)，即y＝kx＋5－3k，＝1，解得k＝.∴直线方程为x＝3或y＝x＋.
(2)|AO|＝＝，
l AO：5x－3y＝0，点C到直线OA的距离d＝，
∴S＝d|AO|＝.
11．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
解：(1)设圆A的半径为R，
由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴R＝＝2.
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.
连接AQ，则AQ⊥MN.
∵|MN|＝2，
∴|AQ|＝＝1，
则由|AQ|＝＝1，得k＝，
∴直线l：3x－4y＋6＝0.
故直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.。