江苏省邳州市第二中学高中数学1.2《余弦定理(2)》教案北师大版必修5
北师大版数学高二-必修5教案 2.1.2《余弦定理》
2.1.2《余弦定理》教学设计【学习目标】1.了解向量知识应用；掌握余弦定理推导过程；会利用余弦定理证明简单三角形问题；2.利用余弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；3.通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.【导入新课】上一节，我们一起研究了正弦定理及其应用，在体会向量应用的同时，解决了在三角形已知两角一边和已知两边和其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决.如图(1)在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.新授课阶段一、引入问题的解决在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b，c，A来表示a.分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理用CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用AB—AD转化为AD，进而在Rt△ADC内求解.解：二、余弦定理的内容：余弦定理内容：形式一：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .形式二：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 在余弦定理中，令C ＝90°，这时，cos C ＝0，所以c 2＝a 2＋b 2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进一步体会向量知识的工具性作用.三、向量法证明余弦定理如图，在△ABC 中，设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b .由向量法证明：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .四、余弦定理解决的问题类型利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：(1) ；(2) .例1在△ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C (精确到1°).分析：解：例2 在△ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个三角形(边长保留四个有效数字，角度精确到1′) .解：例3在△ABC中：(1)已知b＝8，c＝3，A＝60°，求a；(2)已知a＝20，b＝29，c＝21，求B；(3)已知a＝3 3 ，c＝2，B＝150°，求b；(4)已知a＝2，b＝ 2 ，c＝ 3 ＋1，求A解：例4根据下列条件解三角形(角度精确到1°)(1)a ＝31，b ＝42，c ＝27；(2)a ＝9，b ＝10，c ＝15解：课堂小结1. ；2. ；3. .作业见同步练习部分拓展提升1. 在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，则∆ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形2. 在△ABC 中，a ＝1，b ＝7 ，B ＝60°，则边c 的长度为（ ）A. 3B. 2C.D. 53.在△ABC 中，已知：c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，则角C 的大小为4. 在△ABC 中，已知A ＞B ＞C 且A ＝2C ，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，又2b ＝a ＋c 成等差数列，且b ＝4，求a 、c 的长.5.在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝ 2 ，A ＝45°，解此三角形.6.在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A7. 在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形参考答案新授课阶段一、引入问题的解决在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b，c，A来表示a.分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理用CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用AB—AD转化为AD，进而在Rt△ADC内求解.解：过C作CD⊥AB，垂足为D，则在Rt△CDB中，根据勾股定理可得：a2＝CD2＋BD2∵在Rt△ADC中，CD2＝b2－AD2又∵BD2＝(c－AD)2＝c2－2c·AD＋AD2∴a2＝b2－AD2＋c2－2c·AD＋AD2＝b2＋c2－2c·AD又∵在Rt△ADC中，AD＝b·cos A∴a2＝b2＋c2－2bc cos A类似地可以证明b2＝a2＋c2－2ac cos Bc2＝a2＋b2－2ab cos C另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时a2＝b2＋c2也符合上述结论，这也正是我们这一节将要研究的余弦定理.二、余弦定理的内容：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.形式二：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 在余弦定理中，令C ＝90°，这时，cos C ＝0，所以c 2＝a 2＋b 2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进一步体会向量知识的工具性作用.三、向量法证明余弦定理如图，在△ABC 中，设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b .由向量加法的三角形法则可得AC →＝AB →＋BC →，∴AC →·AC →＝(AB →＋BC →)·(AB →＋BC →)＝AB →2＋2AB →·BC →＋BC →2＝｜AB →｜2＋2｜AB →｜｜BC →｜cos(180°－B )＋｜BC →｜2＝c 2－2ac cos B ＋a 2即b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B由向量减法的三角形法则可得：BC →＝AC →－AB →∴BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝｜AC →｜2－2｜AC →｜｜AB →｜cos A ＋｜AB →｜2＝b 2－2bc cos A ＋c 2即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A由向量加法的三角形法则可得AB →＝AC →＋CB →＝AC →－BC →∴AB →·AB →＝(AC →－BC →)·(AC →－BC →)＝AC →2－2AC →·BC →＋BC →2＝｜AC →｜2－2｜AC →｜｜BC →｜cos C ＋｜BC →｜2＝b 2－2ba cos C ＋a 2即c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C评述：(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定，AC →与AB →属于同起点向量，则夹角为A ；AB →与BC →是首尾相接，则夹角为角B 的补角180°－B ；AC →与BC →是同终点，则夹角仍是角C .四、余弦定理解决的问题类型利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；这类问题由于三边确定，故三角也确定，解唯一；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.这类问题第三边确定，因而其他两个角唯一，故解唯一，不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.例1分析：此题属于已知三角形三边求角的问题，可以利用余弦定理，意在使学生熟悉余弦定理的形式二解：∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝102＋62－722×10×6＝0.725，∴A ≈44° ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋102－622×7×10 ＝113140＝0.8071，∴C ≈36° ∴B ＝180°－(A ＋C )≈180°－(44°＋36°)＝100°.例2 在△ABC 中，已知a ＝2.730，b ＝3.696，C ＝82°28′，解这个三角形(边长保留四个有效数字，角度精确到1′)解：由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝2.7302＋3.6962－2×2.730×3.696×cos82°28′得c ＝4.297.∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3.6962＋4.2972－2.73022×3.696×4.297＝0.7767，∴A ＝39°2′ ∴B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(39°2′＋82°28′)＝58°30′例3解：(1)由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得a 2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a ＝7(2)由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca得 cos B ＝202＋212－2922×20×21＝0，∴B ＝90° (3)由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得b 2＝(3 3 )2＋22－2×3 3 ×2cos150°＝49，∴b ＝7(4)由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc得 cos A ＝（ 2 ）2＋（ 3 ＋1）2－222 2 （ 3 ＋1）＝ 2 2 ，∴A ＝45° 例4解：(1)由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc得 cos A ＝422＋272－3122×42×27≈0.6691，∴A ≈48° 由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca≈0.0523，∴B ≈93° ∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(48°＋93°)≈39°(2)由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc得 cos A ＝102＋152－922×10×15＝0.8090，∴A ≈36° 由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca得 cos B ＝92＋152－1022×9×15＝0.7660，∴B ≈40° ∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(36°＋40°)≈104°课堂小结1.余弦定理的证明方法；2.余弦定理所能解决的两类有关三角形问题：已知三边求任意角；已知两边一夹角解三角形；3. 余弦定理的灵活运用.拓展提升1. C 【解析】由余弦定理可知222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）222753>+，即222a b c >+，∴ABC 是钝角三角形∆.2.A 【解析】由余弦定理得 (7 )2＝12＋c 2－2c cos60°，∴c 2－c －6＝0，解得c 1＝3，c 2＝－2(舍去).∴c ＝33.60120οο或【解析】∵c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，∴［c 2－(a 2＋b 2)］2－a 2b 2＝0，∴c 2－(a 2＋b 2)＝±ab ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±12，∴C ＝120°或C ＝60° 4．解：由a sin A ＝c sin C且A ＝2C 得 a 2sin C cos C ＝c sin C ，cos C ＝a 2c又∵2b ＝a ＋c 且b ＝4，∴a ＋c ＝2b ＝8， ① ∴cos C ＝a 2＋42－c 28a ＝a ＋2－c a ＝5a －3c 4a ＝a 2c∴2a ＝3c ②由①②解得a ＝245 ，c ＝1655.解：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A得22＝( 2 )2＋c 2－2 2 c cos45°，c 2－2c －2＝0解得c ＝1＋ 3 或c ＝1－ 3 (舍去)∴c ＝1＋ 3 ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝22＋（1＋ 3 ）2－（ 2 ）22×2×（1＋ 3 ）＝ 3 2 ∴B ＝30°C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105° 6.解：∵2222cos =+-b a c ac B=222+-⋅cos 045=2121)+-=8∴=b求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：印刷版高中数学 ⑵解法一：∵cos 2221,22+-=b c a A bc ∴060.=A解法二：∵sin 0sin sin45,=a A B b2.4 1.43.8,+=21.8 3.6,⨯=∴a ＜c ，即00＜A ＜090,∴060.=A7.解：由余弦定理的推论得：cos 2222+-=b c a A bc 22287.8161.7134.6287.8161.7+-=⨯⨯0.5543,≈05620'≈A ； cos 2222+-=c a b B ca 222134.6161.787.82134.6161.7+-=⨯⨯0.8398,≈03253'≈B ； 0000180()180(56203253)''=-+≈-+C A B 09047.'=。
高中数学第二章余弦定理教案1北师大版必修5
1.2 余弦定理教课目的1．知识与技术: 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法 : 利用向量的数目积推出余弦定理及其推论，并经过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．神态与价值：培育学生在方程思想指导下办理解三角形问题的运算能力；经过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的广泛联系与辩证一致。
教课要点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教课难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
学法：第一研究把已知两边及其夹角判断三角形全等的方法进行量化，也就是研究怎样从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数目积比较容易地证了然余弦定理。
进而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确立三角形的角教课假想[创建情形 ]C如图 1． 1-4 ，在ABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c,已知 a,b 和C，求边 c b aA c B[ 探究研究 ]( 图 1． 1-4)联系已经学过的知识和方法，可用什么门路来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、 B 均未知，因此较难求边c。
因为波及边长问题，进而能够考虑用向量来研究这个问题。
A如图 1． 1-5 ，设CB a ， CA b ， AB c ，那么 c a b ，则b cC a Bc 2c c a b a ba ab b a b222( 图 1． 1-5)a ba b2进而c2a2b22ab cos C同理可证a2b2c22bc cos A b2a2 c22ac cos B余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其余两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即c2a2b22ab cos Ca2 b2 c22bc cos A b2 a2 c22ac cos B思虑：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知此中三个量，能够求出第四个量，可否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可获得以下推论：cos A b2c2a2a2c2b2b2a2c2cosB2accos C2ba 2bc[ 理解定理 ] 进而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的随意两边及它们的夹角就能够求出第三边；②已知三角形的三条边就能够求出其余角。
2.1第2课时余弦定理教案(北师大版必修五)
知能目标解读
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理，理解用数量积推导余弦定
理的过程，并体会向量在解决三角形的度量问题时的作用
.
2.了解余弦定理的几种变形公式及形式 .
3.会从方程的角度来理解余弦定理的作用及适用范围，并会用余弦定理解决“已知三边
求三角形的三角”及“已知两边及其夹角求三角形中其他的边和角”等问题
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由两点间的距离公式得
BC2=（
b
cosA-c）
2
+(bsin
A-0)
2
,
即 a2=b2+c2-2bccosA.
同理可证 b2=a 2+c2-2accosB,
222
c =a +b -2ab cosC.
方法 2：（几何法）如图 .当△ ABC为锐角三角形时，过
C 作 CD⊥ AB 于 D，则 CD=bsinA,
.
4.能熟练应用余弦定理解三角形以及现实生活中的实际问题
.
重点难点点拨
重点：余弦定理的证明及其应用 .
难点：处理三角形问题恰当地选择正弦定理或余弦定理
.
学习方法指导
一、余弦定理
1.余弦定理：在△ ABC 中，∠ A，∠ B，∠ C 的对边分别为 a，b，c，那么有如下结论： a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.
则 AD=bcosA,CD=bsinA.
BD=AD-AB=bcosA-c. 在 Rt△BCD中 ,BC2=CD2+BD2,即 a2=b2sin2 A+（b cosA-c）2. 所以 a2=b2+c2-2bccosA. 同理可证： b2=a2 +c2-2accosB,c2=a2+b2 -2abcosC.
江苏省邳州市第二中学高中数学 1.2.4《解三角形应用举
江苏省邳州市第二中学高二数学 1.2.4《解三角形应用举例》教案 ●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。
另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。
只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。
情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验●教学重点推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目●教学难点利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题●教学过程 Ⅰ.课题导入[创设情境]师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。
在 ∆ABC 中，边BC 、CA 、AB 上的高分别记为h a 、h b 、h c ，那么它们如何用已知边和角表示？生：h a =bsinC=csinBh b =csinA=asinCh c =asinB=bsinaA 师：根据以前学过的三角形面积公式S=21ah,应用以上求出的高的公式如h a =bsinC 代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=21absinC ，大家能推出其它的几个公式吗？ 生：同理可得，S=21bcsinA, S=21acsinB 师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解Ⅱ.讲授新课[范例讲解] 例1、在∆ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5︒;（2）已知B=62.7︒,C=65.8︒,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
2.1.2余弦定理 教案(高中数学必修五北师大版)
1．2余弦定理●三维目标1．知识与技能掌握余弦定理的两种表示形式及余弦定理的向量方法；并会用余弦定理解决基本的解三角形问题．2．过程与方法利用向量数量积推出余弦定理并通过实践演算掌握运用余弦定理解决解三角形问题．3．情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辨证统一．●重点难点重点：余弦定理的发现和证明过程及应用．难点：正、余弦定理与三角函数、三角恒等变换的综合问题．●教学建议探究和证明余弦定理的过程既是本节课的重点，也是本节课的难点．学生已具备了勾股定理的知识，即当C＝90°时，有c2＝a2＋b2，作为一般的情况，当C ≠90°时，三角形的三边满足什么呢？学生一时很难找到思路．最容易想到的思路就是构造直角三角形，尝试用勾股定理去探究三角形的边角关系．用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，原因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合．因此教师在授课时可以适当点拨、启发．鼓励学生大胆的探索．在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明，这样既能开拓学生的视野，加深学生对余弦定理的理解，又能培养学生形成良好的思维习惯，从而突破本节难重点．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答所提问题，结合勾股定理，理解余弦定理⇒通过例1及变式训练，使学生掌握利用余弦定理解三角形问题⇒通过例2及互动探究，使学生掌握、判断三角形形状问题⇒通过例3及变式训练，使学生掌握正、余弦定理的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第35页)图2－1－1如图2－1－1，在△ABC 中，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，如果C ＝90°，如何求AB 边的长？当C ≠90°，如何用向量的数量积表示AB 边的长？【提示】 利用勾股定理求AB 的边长．|c |2＝c·c ＝(a －b )·(a －b )＝a 2－2a·b ＋b 2＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos C∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C.。
江苏省邳州市第二中学高中数学 第1章《解三角形》教案
江苏省邳州市第二中学高二数学 第1章《解三角形》教案【三维目标】：一、知识与技能1.进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化，判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式；2.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题．3.通过正、余弦定理在边角互换时所发挥的桥梁作用来反映事物之间的内在联系；通过三角恒等式的证明来反映事物外在形式可以相互转化而内在实质的不变性.二、过程与方法通过引导学生分析，解答几个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
三、情感、态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
【教学重点与难点】： 重点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
难点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向（三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求）【学法与教学用具】：1. 学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。
2. 教学方法：启发引导式（1）启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等； （2）引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用3. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时 【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.复习公式：（本环节以学生自我归纳、自我总结为主）正弦定理： R Cc B b A a 2sin sin sin === 余弦定理： ,cos 2222A bc c b a -+=⇔bca cb A 2cos 222-+= ,cos 2222B ca a c b -+=⇔ca b a c B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=，⇔ab c b a C 2cos 222-+= 2.正弦定理和余弦定理的常规应用。
北师大版高中必修51.2余弦定理教学设计
北师大版高中必修5 1.2 余弦定理教学设计1. 教学目标•掌握余弦定理的概念和使用方法；•能够应用余弦定理解决实际问题；•发展学生的数学思维和创新精神。
2. 教学重难点•余弦定理的概念和公式推导；•余弦定理的应用。
3. 教学方法•讲授法：通过演示例题，引导学生理解余弦定理的概念和应用。
•实验法：通过实验检验余弦定理的正确性，并加深对余弦定理的理解。
•提问法：通过提出问题，引导学生自主思考，增强学生的思维能力和解决实际问题的能力。
4. 教学过程4.1 导入新课通过提问法引导学生思考和探索，激发学生学习的兴趣。
•提问：童话中常说“灰姑娘到了舞会上，一跳一跳一跳就跳到了王子的身边”，那么，灰姑娘所跳出的边长与夹角有没有关系呢？4.2 展示教学内容通过讲授法，向学生介绍余弦定理的概念和公式推导。
•讲解：余弦定理是解决任意一个三角形中的三个角和三边关系的一种方法，其表达式为$a^2=b^2+c^2-2bc\\cos A$。
其中，a表示三角形中夹角为A的对边长度，b和c表示夹角为A的两边长度。
4.3 练习及应用通过练习和应用，巩固和深化学生对余弦定理的理解和应用。
4.3.1 练习•练习1：已知$\\triangle ABC$中，AB=5cm，AC=8cm，$\\angle BAC=60^\\circ$，求BC的长度。
•练习2：已知$\\triangle ABC$中，AB=7cm，BC=9cm，$\\angle ABC=120^\\circ$，求AC的长度。
4.3.2 应用•应用1：现有一座山峰，测得山脚至山顶的垂直高度为2000m，以及从山脚观察山顶的仰角为$30^\\circ$，求这座山峰的实际高度。
•应用2：随着科技和时代的进步，人们对高楼的高度和立面的角度的要求越来越高。
现有一栋高楼，已知其高度和一个立面的角度，求这栋高楼的宽度。
4.4 小结通过小结，对本节课内容进行总结归纳，加深学生对余弦定理的理解和应用。
江苏省邳州市第二中学高中数学 解三角形学案 北师大版
江苏省邳州市第二中学高二数学 解三角形学案（2）基本题型 ：①已知一边两角，解三角形：先由内角和定理求第三角，再用正弦定理，有解时只有一解．②已知两边和其中一边的对角，解三角形：先由正弦定理求另一边的对角,再由内角和定理与正弦定理求其余的边与角．注意，在求解三角形内角时，容易丢解或产生增解． 2. 三角形面积定理 ：111sin sin sin 222S ab C bc A ca B === C B A R Rabc S sin sin sin 2 42== 3.三角形内角和定理 ： 在△ABC 中，()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+ 三角形中的基本关系:①在△ABC 中：-tanC B)+(A tan -cosC, B)+cos(A sinC,=B)+sin(A ==；②2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos C B A =+； C B A C B A tan tan tan tan tan tan ⋅⋅=++③在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，… 在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<，…4.余弦定理 ： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 变形 ： 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩ （1）基本题型 ：①已知三边，解三角形：由余弦定理和内角和定理求角，在有解时只有一解．②已知两边及夹角，解三角形：先由余弦定理求第三边，再由正弦定理与内角和定理求角，有一解．（2）余弦定理是勾股定理的推广：判断C ∠为锐角222c b a >+⇔， C ∠为直角222c b a =+⇔，C ∠为钝角222c b a <+⇔．5.三角形形状的确定：基本方法：化边为角或化角为边．基本思路：寻求边与边之间的数量关系，或求出角的大小．常用用正弦定理进行代换，找出三角形的边、角关系，然后作出判断．6.已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）。
高二数学北师大版必修5教学教案2-1-2余弦定理Word版含解析
余弦定理一、教学分析对余弦定理的探究，同正弦定理类似．课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形．我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，教材通过向量知识给予证明，引起学生对向量知识的学习兴趣，同时感受向量法证明余弦定理的简便之处，发挥了向量方法在解决问题中的威力，另外还有坐标法．在证明了余弦定理以后，还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式，并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证的目的．应用余弦定理并结合正弦定理，可以解决以下解三角形的问题：(1)已知两边和它们的夹角解三角形；(2)已知三角形的三边解三角形．在已知两边及其夹角解三角形时，可以用余弦定理求出第三条边，这样就把问题转化成已知三边和一个角解三角形的问题．在已知三边和一个角的情况下，求另一个角既可以应用余弦定理的变形公式，也可以用正弦定理．用余弦定理的变形公式，可以根据角的余弦值直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂．用正弦定理计算相对比较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小．二、教学目标1．通过对余弦定理的探究与证明，熟悉利用平面几何法、向量法、坐标法等方法证明余弦定理，借助计算器会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．了解余弦定理与勾股定理之间的联系．知道解三角形的问题的几种情形及其基本解法．2．通过对三角形边角关系的探索，提高数学语言的表达能力，并进一步理解三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，加深对数学具有广泛应用的认识；同时通过正弦定理、余弦定理数学表达式的变换，认识数学中的对称美、简洁美、统一美．3．加深对数学思想的认识，本节的主要数学思想是量化的数学思想、分类讨论思想以及数形结合思想；这些数学思想是对于数学知识的理性的、本质的、高度抽象的、概括的认识，具有普遍的指导意义，它是我们学习数学的重要组成部分，有利于学生加深对于具体数学知识的理解和掌握．三、重点难点教学重点：通过对三角形边角关系的探索，发现和证明余弦定理(向量法等)，并能应用其解三角形．教学难点：余弦定理的证明及其基本应用，以及结合正弦定理解三角形．四、教学过程1.导入新课思路1.(类比导入)在探究正弦定理的证明过程中，从直角三角形的特殊情形入手，发现了正弦定理．现在我们仍然从直角三角形的这种特殊情形入手，然后将锐角三角形转化为直角三角形，再适当运用勾股定理进行探索，如图1，这种导入比较自然流畅，易于学生接受．图1思路2.(问题导入)如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判断方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，能否把这个边角关系准确量化出来呢？也就是从已知的两边和它们的夹角能否计算出三角形的另一边和另两个角呢？根据我们掌握的数学方法，比如说向量法、坐标法、三角法、几何法等，类比正弦定理的证明，你能推导出余弦定理吗？2.新知探究提出问题①在三角形中，若已知两边及其夹角，能否用平面几何方法、向量方法、坐标方法、三角方法等探究出计算第三边长的关系式或计算公式呢？②余弦定理的内容是什么？你能用文字语言叙述它吗？余弦定理与以前学过的关于三角形的什么定理在形式上非常接近？③余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题？怎样求解？④正弦定理与余弦定理在应用上有哪些联系和区别？活动：根据学生的认知特点，教师可引导学生类比正弦定理的发现，仍从特殊情形入手，通过观察、猜想、证明而推广到一般．解决了在三角形已知两角一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题．当时对于已知两边及其夹角求第三边问题未能解决．如图1，在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢？下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题．如图1，在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，试利用b ，c ，A 来表示a .教师引导学生进行探究．由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形．在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化，故作CD ⊥AB 于D ，那么在Rt △BDC 中，边a 可利用勾股定理通过CD ，DB 表示，而CD 可在Rt △ADC 中利用边的关系表示，DB 可利用AB －AD 表示，进而在Rt △ADC 内求解．探究过程如下：过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则在Rt △CDB 中，根据勾股定理，可得a 2＝CD 2＋BD 2.∵在Rt △ADC 中，CD 2＝b 2－AD 2，又∵BD 2＝(c －AD )2＝c 2－2c ·AD ＋AD 2，∴a 2＝b 2－AD 2＋c 2－2c ·AD ＋AD 2＝b 2＋c 2－2c ·AD .又∵在Rt △ADC 中，AD ＝b ·cos A ，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .类似地可以证明b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B .c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .另外，当C 为钝角时也可证得上述结论，当C 为直角时，a 2＋b 2＝c 2也符合上述结论． 这就是解三角形中的另一个重要定理——余弦定理．下面类比正弦定理的证明，用向量的方法探究余弦定理，进一步体会向量知识的工具性作用．教师与学生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式出现的，又涉及边长问题，学生很容易想到向量的数量积的定义式：a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ为a ，b 的夹角．用向量法探究余弦定理的具体过程如下：如图2所示，根据向量的数量积，可以得到图2a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2＝b 2－2bc cos A ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .这是教材上的证明方法．这个定理用坐标法证明也比较容易，为了拓展学生的思路，教师可引导学生用坐标法证明，过程如下：如图3，以C 为原点，边CB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设点B 的坐标为(a,0)，点A 的坐标为(b cos C ，b sin C )，根据两点间距离公式图3AB ＝(b cos C －a )2＋(b sin C －0)2，∴c 2＝b 2cos 2C －2ab cos C ＋a 2＋b 2sin 2C .整理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .同理可以证明a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B .余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量．从而由三角形的三边可确定三角形的三个角，这就是余弦定理的变形公式，也可以说是余弦定理的第二种形式：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 对一个数学关系式作某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题，这是一种基本的研究问题的方法．教师引导学生进一步观察、分析余弦定理的结构特征，发现余弦定理与以前的关于三角形的勾股定理在形式上非常接近，让学生比较并讨论它们之间的关系．学生容易看出，若△ABC中，C＝90°，则cos C＝0，这时余弦定理变为c2＝a2＋b2，由此可知，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．另外，从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从以上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．应用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：(1)已知三角形的三边解三角形，这类问题是三边确定，故三角也确定，有唯一解；(2)已知两边和它们的夹角解三角形，这类问题是第三边确定，因而其他两个角也唯一确定，故解唯一．不会产生利用正弦定理解三角形所产生的判断解的取舍的问题．把正弦定理和余弦定理结合起来应用，就能很好地解决解三角形的问题．教师引导学生观察两个定理可解决的问题类型会发现：如果已知的是三角形的三边和一个角的情况，而求另两角中的某个角时，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么这两种方法哪个会更好些呢？教师与学生一起探究得到：若用余弦定理的推论，可以根据余弦值直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂．用正弦定理计算相对比较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般应该选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角，以避免进一步的讨论．教师要点拨学生注意总结这种优化解题的技巧，经常地在解题后进行反思，做到优中选优，长此以往，学习轻松愉快，即我们平时常说的找到了学习“窍门”．讨论结果：①～④略．3.例题讲解例1.在△ABC中，(1)已知a＝23，c＝6＋2，B＝45°，求b及A；(2)已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，C和边a.(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(23)2＋(6＋2)2－2×(6＋2)×23×cos 45°＝8，∴b＝2 2.由cos A ＝b2＋c2－a22bc，得cos A＝(22)2＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12.∵0°＜A＜180°，∴A＝60°.(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得32＝a2＋(33)2－2×33a×cos 30°，即a2－9a＋18＝0，所以a＝6或a＝3. 当a＝6时，由正弦定理，得sin A＝a sin Bb＝63×12＝1，所以A＝90°，C＝60°，当a＝3时，同理得A＝30°，C＝120°. 点评：解决本例的关键是找到与已知量有关的三角形，用余弦定理解之.变式训练1，解三角形30B,33c3,b中，===ΔABC解：法一例2. 在△ABC中，已知a＝26，b＝6＋23，c＝43，求角A、B、C.解：由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝(6＋23)2＋(43)2－(26)22×(6＋23)×43＝36＋243＋12＋48－24483＋48＝32，∴A＝30°.cos C＝a2＋b2－c22ab＝(26)2＋(6＋23)2－(43)22×26×(6＋23)＝24＋36＋243＋12－48246＋242＝22，∴C＝45°.∵A＋B＋C＝180°，∴B＝180°－45°－30°＝105°.变式训练2在△ABC中，如果a︰b︰c＝2︰6︰(3＋1)，求这个三角形的最小角．小结：1．已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．2．若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形．探究1在△ABC中，三边长度分别为a，b，c(a＜b＜c)，若三角形为直角三角形，则a、b、c之间的关系如何？钝角和锐角三角形呢？【提示】在直角三角形中a2＋b2＝c2；在钝角三角形中a2＋b2＜c2；在锐角三角形中a2＋b2＞c2.探究2判断三角形形状的基本思路是什么？【提示】思路一：从角的关系判定；思路二：从边的关系判定；思路三：从边与角的关系判定．探究3在△ABC中，sin A＝sin B一定有A＝B吗？【提示】在三角形中sin A＝sin B⇔A＝B.例3. 在△ABC 中，已知cos 2A 2＝b ＋c 2c ，判断△ABC 的形状．解：在△ABC 中，由已知cos 2A 2＝b ＋c 2c ，得1＋cos A 2＝b ＋c 2c ， ∴cos A ＝b c .根据余弦定理，得b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 是直角三角形．变式训练3在△ABC 中，a ·cosA ＝b ·cosB ，试确定此三角形的形状．解法1：由a ·cos A ＝b ·cos B 以及余弦定理得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ·a 2＋c 2－b 22ac ，得a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，a 2b 2＋a 2c 2－a 4－a 2b 2－b 2c 2＋b 4＝0，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0.∴a 2＝b 2或c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2.当a ＝b 时，△ABC 为等腰三角形；当c 2＝a 2＋b 2时，△ABC 为直角三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．解法2：由a ·cosA ＝b ·cosB 以及正弦定理得2R ·sinA ·cosA ＝2R ·sinB ·cosB ，即sin2A ＝sin2B.又∵A 、B ∈(0，π)，∴2A 、2B ∈(0,2π)，故有2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝2π. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．4.课堂小结1．教师先让学生回顾本节课的探究过程，然后再让学生用文字语言叙述余弦定理，准确理解其实质，并由学生回顾可用余弦定理解决哪些类解三角形的问题．2.从方程的观点来分析，余弦定理的每一个等式都包含了四个不同的量，知道其中三个量，便可求得第四个量．要通过课下作业，从方程的角度进行各种变形，达到辨明余弦定理作用的目的．3．体会本节运用的思想方法：特殊到一般、类比、方程思想等．5.课堂作业1. 在△ABC 中, 已知b ＝4, c ＝10, B ＝030,解这个三角形。
高中数学北师大版必修五2.1.2【教学设计】《余弦定理 》
《余弦定理》本节内容通过利用向量的数量积推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会用余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学、应用数学的潜能。
【知识与能力目标】掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
【过程与方法目标】利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
【情感态度价值观目标】培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
【教学重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用。
【教学难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC =a ,AC =b ,AB =c ,已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B(图1．1-4)二、研探新知，建构概念联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
如图在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ∵+=∴)()(BC AB BC AB AC AC +∙+=∙222BC BC AB AB +∙+=22)180cos(||||2BC B BC AB AB +-∙+=22cos 2a B ac c +-=即B ac a c b cos 2222-+=同理可证 A bc c b a cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
高中数学 第2章 解三角形 1.2 余弦定理讲义教案 北师大版必修5
学习资料1．2 余弦定理学习目标核心素养1．了解用向量数量积证明余弦定理的方法,体会向量工具在解决三角形度量问题中的作用．（难点)2．掌握余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题．（重点)1．通过余弦定理的推导,提升逻辑推理素养．2．通过余弦定理在解三角形中的应用，提升数学运算素养．1．余弦定理阅读教材P49～P50例4以上部分，完成下列问题．语言表述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号表示a2＝b2＋c2－2bc cos A;b2＝a2＋c2－2ac cos B;c2＝a2＋b2－2ab cos C推论cos A＝错误!；cos B＝错误!；cos C＝错误!作用实现三角形边与角的互化［提示]余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．(2)观察余弦定理的符号表示及推论,你认为余弦定理可用来解哪类三角形？［提示］①已知两边及其夹角，解三角形；②已知三边，解三角形．2．余弦定理的推导如图，设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c那么c＝a－b．|c｜2＝c·c＝（a－b）·（a－b）＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2ab cos C所以c2＝a2＋b2－2ab cos C．同理可证：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ac cos B，1．已知a,b，c是△ABC的三边，B＝60°，则a2－ac＋c2－b2的值是（）A．大于0B．小于0C．等于0 D．不确定C［由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac cos 60°＝a2＋c2－ac,所以,a2－ac＋c2－b2＝(a2－ac ＋c2）－b2＝b2－b2＝0．］2．在△ABC中，若已知a＝2，b＝3,c＝错误!，则cos A＝．错误![cos A＝错误!＝错误!＝错误!．]3．在△ABC中，已知A＝60°,b＝2,c＝1,则a＝．3[a2＝b2＋c2－2bc cos A＝4＋1－2×2×1×错误!＝3，所以a＝错误!．]4．在△ABC中，若b＝1，c＝错误!，C＝错误!,求a．[解]由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab cos C,∴a2＋1＋a＝3，即a2＋a－2＝0解得a＝1或a＝－2（舍去）．已知两边及一角解三角形【例1】＝．（2）在△ABC中，已知a＝33，c＝2,B＝150°，则边b的长为．（1)5（2）7[(1)A为b，c的夹角，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得16＝9＋c2－6×错误!c,整理得5c2－18c－35＝0．解得c＝5或c＝－错误!（舍去)．(2）在△ABC中，由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2ac cos B＝（33）2＋22－2×3错误!×2×错误!＝49．所以b＝7．](1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法①先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况；②用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长.(2)已知两边及其夹角解三角形的方法方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角。
江苏省邳州市第二中学高中数学 《余弦定理》教案 北师
江苏省邳州市第二中学高二数学 《余弦定理》教案（二）教学重、难点 重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
（三）学法与教学用具学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。
从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角 教学用具：直尺、投影仪、计算器（四）教学设想[创设情景] C 如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B(图1．1-4)[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A如图1．1-5，设CB a =u u r r ，CA b =u u r r ，AB c =u u r r ，那么c a b =-r r r ，则 b r c r()()222 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b =⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r C a r B 从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5) 同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ （由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba[例题分析]例1．在∆ABC 中，已知23=a ，62=+c ，060=B ，求b 及A⑴解：∵2222cos =+-b a c ac B=22(23)(62)223(62)++-⋅⋅+cos 045=212(62)43(31)++-+=8∴2 2.=b求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵解法一：∵cos 222222(22)(62)(23)1,22222(62)+-++-===⨯⨯+b c a A bc ∴060.=A解法二：∵sin 023sin sin45,22==⋅a A B b 又∵62+＞2.4 1.4 3.8,+=23＜21.8 3.6,⨯=∴a ＜c ，即00＜A ＜090,∴060.=A评述：解法二应注意确定A 的取值范围。
江苏省邳州市第二中学高中数学 《正弦定理》教案 北师大版必修5
江苏省邳州市第二中学高二数学 《正弦定理》教案3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
（二）教学重、难点重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：sin sin sin abcABC==，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。
教学用具：直尺、投影仪、计算器 （四）教学设想 [创设情景]如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B [探索研究](图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a bcABC==Ca B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a bAB=，C同理可得sin sin c bCB=， ba从而sin sin abAB=sin cC=Ac B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
江苏省邳州市第二中学高二数学1.1《正弦定理》(1)教案(北师大版,必修5)
【三维目标】：一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程；2.能解决一些简单的三角形度量问题（会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题）；能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 二、过程与方法让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
三、情感、态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
【教学重点与难点】：重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
【学法与教学用具】：1. 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：sin sin sin a b cA B C==，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的？ 2.这种关系在任意三角形中也成立吗？3.介绍其它的证明方法二、研探新知1.正弦定理的推导（1）在直角三角形中：c a A =sin ,1sin ,sin ==C CBB ， 即 =c A a sin ，=c B b sin ，=cC c sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin能否推广到斜三角形？（2）斜三角形中 证明一：（等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜△ABC 中，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===，每项同除以12abc 即得：sin sin sin a b cA B C==． 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ∴R CD D aA a 2sin sin === 同理B b sin R 2=，Cc sin R 2= 证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于−→−AC ，由−→−AC +=−→−CB −→−AB ，两边同乘以单位向量j 得j •(−→−AC +=−→−)CB j •−→−AB ，则j •−→−AC +j •=−→−CB j •−→−AB ∴|j |•|−→−AC |cos90︒+|j |•|−→−CB |cos(90︒-C )=| j |•|−→−AB |cos(90︒-A ) ∴A c C a sin sin = ∴A a sin =Ccsin 同理，若过C 作j 垂直于−→−CB 得：C c sin =Bb sin ∴sin sin sin a b cA B C ==从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC=（3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如BAb a sin sin =； 2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如B baA sin sin =。
高中数学 2.1.2余弦定理教案 北师大版必修5
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
如图1．1-5，设 ， ， ，那么 ，则
C B
从而 (图1．1-5)
同理可证
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
重点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
教学方法
观察、思考、交流、讨论、概括
教学过程
●教学过程
Ⅰ.课题导入
C
如图1．1-4，在 ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和 C，求边c b a
A c B
(图1．1-4)
Ⅱ.讲授新课[探索研究]来自课题§余弦定理课型
新授课
课时
备课时间
教学目标
知识与技能
掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法
利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
情感态度与价值观
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一
Ⅳ.课时小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用X围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
Ⅴ.课后作业
①课后阅读：课本第9页[探究与发现]
北师大版数学高二1 正弦定理与余弦定理(1.2)教案 北师大版必修5
高中数学 §1 正弦定理与余弦定理(1.2)教案 北师大版必修5教学目的：⑴使学生掌握正弦定理⑵能应用解斜三角形，解决实际问题 教学重点：正弦定理教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角那么斜三角形怎么办？——提出课题：正弦定理、余弦定理二、讲解新课：正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA=c a ，sinB=cb， sinC=1 即 c=A a sin ， c=B b sin ， c=C c sin ． ∴A a sin =B b sin =Cc sin 2．斜三角形中证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 21sin 21sin 21== 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin 证明二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴R CD DaA a 2sin sin === 同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R 证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC 由AC +CB =AB 两边同乘以单位向量j 得 j •(AC +CB )=j •AB 则j •AC +j •CB =j •AB∴|j |•|AC |cos90︒+|j |•|CB |cos(90︒-C)=| j |•|AB |cos(90︒-A)a bcOCAD∴A c C a sin sin = ∴A a sin =Ccsin 同理，若过C 作j 垂直于CB 得：C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角a, b和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA asin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)(b a 锐角一解无解b a三、讲解范例：例1 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆ 解：030,45,10===C A c ∴0105)(180=+-=C A B由CcA a sin sin = 得 21030sin 45sin 10sin sin 00=⨯==C A c a 由CcB b sin sin =得 25654262075sin 2030sin 105sin 10sin sin 000+=+⨯==⨯==C B c b 例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆解：∵21360sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b 00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角，∴222=+=c b a 例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆解：23245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=aAc C C c A a0012060,sin 或=∴<<C c a A c 1360sin 75sin 6sin sin ,75600+=====∴CBc b B C 时，当， 1360sin 15sin 6sin sin ,1512000-=====∴C B c b B C 时，当或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b（2010广东理数）11.已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC=解：由A +C =2B 及A + B+ C =180°知，B =60°．由正弦定理知，13sin sin 60A =，即1sin 2A =．由a b <知，60AB <=，则30A =，180180306090C A B =--=--=，sin sin901C ==四、课堂练习：1在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) A 2R B RC 4RD R 21(R 为△ABC 外接圆半径)2△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( )A 直角三角形B 等腰直角三角形C 等边三角形D 等腰三角形3在△ABC 中，求证：2222112cos 2cos b a b B a A -=- 参考答案：1A ，2A3B b A sin sin =⇒b B a A sin sin =⇒22)sin ()sin (bB a A =⇒2222sin sin b B a A =⇒222cos 12cos 1bBa A -=- ⇒2222112cos 2cos ba b B a A -=- 五、小结 正弦定理，两种应用 六、课后作业： 1在△ABC 中，已知)sin()sin(sin sin C B B A C A --=，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列 证明：由已知得sin （B ＋C ）sin （B －C ）＝sin （A ＋B ）·sin （A －B ）cos2B －cos2C ＝cos2A －cos2B 2cos2B ＝cos2A ＋cos2C22cos 122cos 122cos 12B A B -+-=-⋅∴2sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C由正弦定理可得2b 2＝a 2＋c 2即a 2，b 2，c 2成等差数列七、板书设计（略） 八、课后记：第二课时：教材P46页例1、例2、例3。
江苏省邳州市第二中学高二数学 1.1.2《余弦定理》课件
解： 由 c2=a2＋b2－2abcosC, 得 c≈4.297. ∵ cosA＝ b2＋c2－a2 ≈0.7767， 2bc
∴ A≈39°2′,
∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′.
( ) ∵sinA＝a sinC ≈0.6299， c ∴ A=39°或141°(舍).
练习、 △ABC中，a 3, b 7, c 2 求B，并判断 △ABC的形状。
小结： 余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
cos A b 2 c 2 a 2 2bc
例6、在△ABC中，a2 b2 c2 ，那么Ａ是（ ）
Ａ、钝角
Ｂ、直角
Ｃ、锐角
Ｄ、不能确定
那a 2 b2 c 2呢?
提炼：设a是最长的边，则
△ABC是钝角三角形 a 2 b2 c 2
△ABC是锐角三角形 a 2 b2 c 2
△ABC是直角角三角形 a 2 b2 c 2
12 ( 3)2 21 3 1 7
2
22 4
BC 7 2
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍.
即：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2abcosC
O aA
在OACห้องสมุดไป่ตู้，
∵ |a + b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos60°
＝21,
∴ a＋b ＝√21.
高中数学新北师大版精品教案《1.2余弦定理》
课 题： 余弦定理（一）教学目标1．使学生掌握余弦定理，并会初步运用余弦定理解斜三角形；2．通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程，培养学生观察、分析、归纳、猜想、抽象、概括等逻辑思维能力；3．通过发现教学法，培养学生学习数学的兴趣和热爱科学、献身科学、勇于创新的精神。
（二）教学重点、难点重点：余弦定理及其发现和证明。
难点：余弦定理的证明。
（三）教学过程：一、复习回顾：勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即：在ABC Rt ∆中，090=∠C ，c b a ,,分别是C B A ∠∠∠,,所对的边，则222b a c +=二、创设情境，提出问题：隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当位置A ，量出A 到山脚B 、C 的距离，再利用经纬仪（测角仪）测出A 对山脚BC 的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC 。
C转化为数学问题：已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。
即：在ABC ∆中，已知角A ,边c b ,求边a思考： AB1当恰好测得090=A ，则a =_________________,2当A 是任意角，怎么求边a ？三、定理探究：合作探究一：我们必修四学过向量有关知识，思考并回答下列问题问题1、在ABC ∆中，利用向量加法或减法的三角形法则，可以得到 BC =问题2、|BC |=问题3、由上式可得，2a =____________________________问题4、你还能得到什么样的结论？合作探究二、由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作,故作CD 垂直于AB 于D问题1、在Rt △ADC 中，CD =________________,AD=_____________________问题2、在Rt △BDC 中，2a =_________________问题3、你能得到什么样的结论？解：过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则在Rt △CDB 中，根据勾股定理可得：a 2＝CD 2＋BD 2∵在Rt △ADC 中，CD 2＝b 2－AD 2又∵BD 2＝c －AD 2＝c 2－2c ·AD ＋AD 2∴a 2＝b 2－AD 2＋c 2－2c ·AD ＋AD 2＝b 2＋c 2－2c ·AD又∵在Rt △ADC 中，AD ＝b ·co A∴a 2＝b 2＋c 2－2bc co A类似地可以证明b 2＝a 2＋c 2－2ac co Bc 2＝a 2＋b 2－2ab co C另外，当A 为钝角时也可证得上述结论，当A 为直角时222c b a +=符合上述结论，这也正是我们这一节将要研究的余弦定理形成结论余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即a 2＝b 2＋c 2－2bc co A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca co B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab co C推论：co A ＝错误!，co B ＝错误!，co C ＝错误!。
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江苏省邳州市第二中学高二数学
1.2《余弦定理（2）》教案【三维目标】：
一、知识与技能
1.学会利用余弦定理解决有关平几
问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；
二、过程与方法通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性
三、情感、态度与价值观
培养学生在方程思想指导下处理
解三角形问题的运算能力；
【教学重点与难点】：重点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形；难点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2.教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1.余弦定理的内容？
2.如何利用余弦定理判断锐角、直角、钝角？
2.利用余弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？
二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材16P 例6）在
ABC 中，AM 是BC 边上的中线，求证：222)(221BC AC AB AM 例2 （教材15P 例5）在ABC 中，已知C B A
cos sin 2sin ，试判断三角形的形状例3在ABC 中，证明：C
B A c b
a sin )sin(222例4 已知三角形一个内角为
060，周长为20，面积为310，求三角形的三边长。
例5三角形有一个角是
060，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是12，求这个三角形的面
积。
四、巩固深化，反馈矫正1．在
ABC 中，设CB a ,AC b ，且|a |2,|b |3,a ?b 3，则_____AB 2. 在ABC 中，已知060C ，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，则a c b c b a
的值等于
________
五、归纳整理，整体认识
让学生总结本节课所学的内容及方法（1）知识总结：
（2）方法总结：
六、承上启下，留下悬念
1．书面作业
七、板书设计（略）
八、课后记：。