人教版高中数学必修五教案1

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人教版高中数学必修五教案(全册)

人教版高中数学必修五教案(全册)
本教案共包括必修五全部章节，共计 xx 课时，主要涵盖以下
内容：
第一章函数的概念
本章主要介绍函数的概念、性质、分类以及函数图像的绘制等
方面的知识点。

通过本章的研究，学生将能够掌握函数的基本概念，理解函数的重要性以及掌握函数图像的绘制方法。

第二章三角函数
本章主要介绍正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数的定义、图像及其性质等方面的知识点，并针对不同类型的三角函数进
行了详细的讲解。

通过本章的研究，学生将能够深入理解三角函数
的概念，掌握三角函数的性质，运用三角函数解决实际问题。

第三章数学归纳法与递推数列
本章主要介绍数学归纳法的基本原理及其在数学证明中的运用，同时通过递推数列的研究，进一步巩固对数学归纳法的理解和应用。

通过本章的研究，学生将能够掌握数学归纳法的基本原理及其在数
学证明中的应用，同时掌握递推数列的推导与实际应用技巧。

第四章极坐标系与参数方程
本章主要介绍极坐标系的定义、性质，以及参数方程的基本概
念与运用等方面的知识点。

通过本章的研究，学生将能够理解极坐
标系的概念与性质，掌握参数方程的推导与实际应用技巧。

第五章一元函数微积分学初步
本章主要介绍导数与微分、不定积分、定积分等知识点。

通过
本章的学习，学生将能够掌握导数与微分的基本概念与计算方法，
掌握不定积分与定积分的计算方法，以及这些知识在实际问题中的
应用。

高二数学人教A版必修5教学教案1-1-1正弦定理(2)_1

正弦定理一、教学内容的分析“正弦定理”是人教A版必修五第一章第一节的主要内容。

其主要任务是引入并证明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力．二、学生学习情况分析在初中学生已经学习过关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，本节内容是处理任意三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着密切的联系；这里的一个重要问题是：是否能得到这个边、角关系准确量化的表示．也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．三、设计思想培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。

这就要求教师在教学中引导学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得知识。

所以本节课的教学将以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。

四、三维目标1、知识与技能通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及证明方法，并能解决一些简单的三角形问题。

2、过程与方法通过对特殊三角形边长和角度关系的探索，发现正弦定理，初步学会用特殊到一般的思想方法发现数学规律。

3、情感态度与价值观通过生活实例的探究引出正弦定理，体现数学来源于生活，并应用于生活，激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。

五、教学重难点重点：正弦定理的证明及其基本运用．难点：（1）正弦定理的探索和证明；（2）已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个a cb O B C A 数．六、教学过程设计（一）新课导入如图，河流两岸有A 、B 两村庄，有人说利用测角器与直尺，不过河也可以得到A 、B 两地的距离(假设现在的位置是A 点)，请同学们讨论设计一个方案解决这个问题。

人教课标版高中数学必修五《等比数列(第1课时)》教案(1)-新版

2.4.1等比数列第一课时一、教学目标1.核心素养通过学习等比数列提高从数学角度发现和提出、分析和解决问题的能力,锻炼数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标（1）由特殊到一般,理解并会判断等比数列.（2）掌握等比数列通项公式及证明.（3）应用等比数列知识解决相应问题.3.学习重点（1）等比数列定义及判断.（2）通项公式的推导.4.学习难点会用等比数列解决相应问题.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材,思考:什么是等比数列?任务2观察等比数列,总结等比数列的规律,前后两项的比值可以是任意实数吗?任务3结合之前的探索,能写出其通项公式吗?等比数列何时递增,递减,或者变成等差数列?2．预习自测1．数列4,16,64,256…是什么数列?第五项是多少?答案:等比数列；1024.【知识点:等比数列】【解析】等比数列的通项公式是:11n n a a q -=2．在等比数列{}n a 中,472,16,a a ==则n a ＝________．.23-n 答案：【知识点:等比数列通项公式】【解析】等比数列的通项公式是:11n n a a q -=,由题意求出n 和q 3．已知x ,y ,z ∈R ,若－1,x ,y ,z ,－3成等比数列,则xyz 的值为（） A ．－3 B ．±3 C ．－3 3 D ．±3 3 答案:C【解析】∵-1,x,y,z ,-3成等比数列,∴2y =xz =（-1）×（-3）=3,且2x y =-＞0,即y”的什么条件？有都”是“对任意正整数是公比，则“是首项，等比数列中n n a a n q a q a >>>+111,1,0,.4答案:充分不必要条件.【知识点:等比数列通项公式,充要条件的判断；数学思想:推理论证能力】【解析】充分不必要条件.由q >1,得1n n q q ->,又10a >得111n n a q a q -⋅>⋅即1n a +>n a 反之不然.取11n n a a q -==)21(n-,可得 1n a +>n a ,但1a =21-（二）课堂设计 1．知识回顾（1）等差数列概念.（2）等差数列通项公式及推导. 2．问题探究问题探究一借助等差数列的定义,类比得到等比数列定义 ●活动一回顾旧知,夯实基础.之前我们学习了等差数列,我们是怎样定义并且判断等差数列?如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示．数学语言表达式:1n n a a d +-= (n ∈N *,d 为常数),或1n n a a d --= (2,n d ≥为常数)． ●活动二探索规律,发现新知. 类比于等差数列,观察以下几个数列2,4,8,16,32…；1,1,1,1,1…；1,-1,1,-1,1,-1…；1,0,1,0,1,0,…；3,9,27,81,243,…；它们都有着怎样的规律 ●活动二新旧整合,得出结论.结合活动一与活动二,能给出等比数列定义吗?如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非0常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式:1n n a q a -=(2,n ≥q 为非0常数),或1n naq a +=(n ∈N *,q 为非0常数)．问题探究二类比等差数列通项公式及性质,结合等比数列定义得到等比数列通项公式和性质,●活动一温故知新,迎难而上. 回忆等差数列,写出通项公式.通项公式:()11n a a n d =+-．推广:()n m a a n m d =+-(m,n ∈N *)． ●活动二类比旧知得出新知.在等比数列中,是否只需确定某些量就可以写出通项公式?只需确定首项与公比即可得到通项公式11n n a a q -=.推广: n m n m a a q -=,公比为非0常数.●活动三思维谨慎,扎实前进. 能否给出通项公式证明?借助定义,a na n －1＝q (n ≥2,q 为非0常数),列出n -1个式子,累乘后得到通项公式. ●活动四夯实基础,勇于探索.等差数列中,公差大于0时,数列递增；反之递减.等比数列也有相似结论吗?请归纳总结.首相大于0,公比大于1时递增;公比大于0小于1时递减；首项小于0时,公比大于0小于1时递增,公比大于1时递减；首项不等于0,公比等于1时,既是等差又是等比；公比小于0时,为摆动数列.问题探究三●活动一初步运用基础知识的掌握例1.在等比数列{}n a 中,253618,9,1n a a a a a +=+==,则n ＝________．【知识点:等比数列通项公式】答案:6例2.在等比数列{}n a 中, 1a <0, 若对正整数n 都有1n n a a +<,那么公比q 的取值范围是?【知识点:等比数列通项公式】答案:由1n n a a +<得1111,,01n n n n a q a q q q q --<∴>∴<< ●活动二能力提升通项公式性质的运用例1. 数列{}n a 是等差数列,若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列,则q ＝________.【知识点:等比数列性质】答案:1.例2.在正项等比数列{}n a 中, 1n n a a +>,28466,5a a a a ⋅=+=,则57a a ＝（） A.56 B.65 C.23D.32【知识点:等比数列性质】答案:D 3．课堂总结【知识梳理】（1）等比数列定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非0常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式:1n n a q a -= (n ≥2,q 为非0常数),或1n naq a +=(n ∈N *,q 为非0常数)．（2）等比数列通项公式: 11n n a a q -=；通项公式的推广: n m n m a a q -=. 【重难点突破】（1）等比数列通项公式运用时为了减少计算量可以尝试使用其推广式. （2）公比0≠q 这是必然的,不存在公比为0的等比数列,还可以理解为等比数列中,不存在数值为0的项,各项不为0的常数列既是等差数列又是等比数列；至于等比数列的增减,则可以从首项与公比的正负及范围,通过列不等式进行确定. （3）等比数列的定义中有“从第二项起”“同一个常数”的描述应与等差数列中的描述理解一致.（4）等比数列的通项公式可以用迭代法累乘法推导,其中累乘法与累加法相似,可做一做比较,便于掌握. 4．随堂检测一、选择题1.在等比数列{}n a 中,64,852==a a ,则公比q 为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案:A.解析：【知识点:等比数列的通项公式】二、解答题1.求下列各等比数列的通项公式: （1）21-=a ,83-=a . （2）51=a ,且12+n a n a 3-=. （3）51=a ,且11+=+n na a n n . 答案:（1）n n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=--或.（2）1)23(5--⨯=n n a .（3）na n a n 311==.解析：【知识点:等比数列通项公式】 2.求以下等比数列的第4项与第5项: （1）5,－15,45,……. （2）1.2,2.4,4.8,…….（3）213,, (328).答案:（1）1354-=a ,4055=a . （2）6.94=a ,2.195=a . （3）4a =329,5a =12827. 解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】3.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数. 答案:这四个数为0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1.解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】设四个数依次为x,y,12-y,16-x ．依题意,有 x +(12−y )=2y ①()()21612y x y -=-②由①式得x =3y -12 ③将③式代入②式得y （16-3y +12）=（12-y ）2,整理得y 2-13y +36=0,解得124,9y y ==,代入③式得120,15x x ==.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 5.(1)已知{}n a 是等比数列,且2435460,225n a a a a a a a >++=, 求53a a +.(2)c a ≠,三数c a ,1,成等差数列,22,1,c a 成等比数列,求22ca ca ++. 答案:(1) 3a ＋55=a . (2)3122=++c a c a .解析：【知识点:等差数列的性质,等比数列】(1)∵{}n a 是等比数列,∴()224354635225a a a a a a a a ++=+=.又0n a >, ∴355a a +=.（三）课后作业基础型自主突破一、填空题1.已知等比数列{}n a 的公比为正数,且248522,1,a a a a ⋅==则1a = .答案: 1a =解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】设等比数列{}n a 的公比为q ,∵ 2482a a a ⋅=211a a ==,∴ 1a =2.设数列{}n a 是首项为1,公比为-3的等比数列12345||||||a a a a a ++++=______．答案:121.解析：【知识点:等比数列】∵数列{}n a 是首项为1,公比为-3的等比数列,∴()1113n n n a a q --==-,∴123451,3,9,27,81,a a a a a ==-==-=∴则12345||||||1392781121a a a a a ++++=++++=． 3.等比数列{}214n +的公比为 ______ ．答案:16.解析：【知识点:等比数列的通项公式】等比数列的通项公式是：11n n a a q -=4.若1、a 、b 、c 、9成等比数列,则b = ______ ．答案:3.解析：【知识点:等比数列】利用等比数列通用公式11n n a a q -=求出相应的值421531,9,3a a q a q b ======,3b ∴=5.公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116,a a =,则210log a = ______ ．答案:5.解析：【知识点:等比数列通项公式,对数的运算性质】∵公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116,a a =,∴7a =4,∴1a •26=4,解得1a =42-,∴9495101222a a q -==⨯=,∴52102log log 25a ==. 故答案为：5．能力型师生共研一、选择题1.在数列{}n a 中,1111,,4n n a a a +==则99a =________. A.125504B.2500C.124504D.2401 答案:B解析:【知识点:等比关系的确定;数学思想:推理论证能力】二、填空题1.设{}n a 为公比1q >的等比数列,若2004a 和2005a 是方程24830x x ++=的两根,则=+20072006a a _________. 答案:-18解析:【知识点:等比数列,根与系数的关系】根据{}n a 为公比q ＞1的等比数列, 2004a 和2005a 是方程4x 2+8x +3=0的两根,可得2004a =-2005=2006+2007a =-18．三、证明题1.已知:b 是a 与c 的等比中项,且c b a ,,同号,求证:3a b c ++等比数列答案:见解析解析:【知识点:等比数列】由题设:ac b =2得:22333)3(333ca bc ab bc b ab b c b a abc c b a ++=++=⨯++=⨯++ ∴3,3,3abc ca bc ab c b a ++++也成等比数列.探究型多维突破一、选择题1.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是（）A ．1(0,2+B ．C ．D ．)251,251(++- 答案:D.解析:【知识点:等比关系的确定,解三角形;数学思想:推理论证能力】设三边:a 、qa 、2q a 、q ＞0则由三边关系:两短边和大于第三边a +b ＞c ,即（1）当q ≥1时a +qa ＞2q a ,等价于解二次不等式:21q q --＜0,由于方程2q q --（2）当q ＜1时,a 为最大边,qa +2q a ＞a 即得2q q --⎭故选D ．二、证明题1.设d c b a ,,,均为非零实数,()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ,求证:c b a ,,成等比数列且公比为d答案:见解析解析:【知识点:等比关系的确定;数学思想:推理论证能力,运算求解能力,创新意识,应用意识】证明:证一:关于d 的二次方程()()0222222=+++-+c b d c a b d b a 有实根, ∴()()0442222≥+-+=∆b a c a b ,∴()022≥--ac b则必有:02=-ac b ,即ac b =2,∴c b a ,,成等比数列设公比为q ,则aq b =,2aq c =代入()()024********=+++-+q a q a d aq a aq d q a a∵()0122≠+a q ,即0222=+-q qd d ,即≠=q d证二:∵()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ∴()()022222222=+-++-c bcd d b b abd d a∴()()022=-+-c bd b ad ,∴b ad =,且c bd =∵d c b a ,,,非零,∴d bca b == 自助餐一、选择题1.等比数列{}n a 中,6a 和10a 是方程2620x x ++=的两根,则8a =（）A.2±B.答案:C.解析:【知识点:等比数列,根与系数的关系】等比数列{}n a 中,6a 和10a 是方程2620x x ++=的两根, 6106a a +=-,可得261082a a a ⋅==,6a 和10a 都是负数,可得8a =-2.．故选:C ．2.已知等比数列{}n a 的公比为正数,且248522,1,a a a a ⋅==则1a =（）A. 0.5B. 22答案:C.解析:【知识点:等比数列】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q ⋅=,即q 2=2,又因为等比数列{}n a 的公比为正数,所以q =2.22=,故选C.2.等比数列{}n a 的首项为1,项数是偶数,所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170,则10a =（）A.32 64.B C.512 D.1024 答案:C.解析:【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】设等比数列的项数为2n ,∵所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170, ∴S 奇:S 偶=1:2．∵S 奇=1321...n a a a -+++,S 偶=242...n a a a +++=q S 奇由题意可得,q =2,∴9910112512a a q ==⨯=．故选:C ．3.在等比数列{}n a 中, 11,2,32n a q a ===,则n =（）A.5B.6C.7D.8 答案:B.解析:【知识点:等比数列的通项公式】11n n a a q -=,求得n =84.等比数列{}n a 中, 385,2a a ==,则数列{}lg n a 的前10项和等于（）A.2B.5C.1050D.lg答案:B.解析:【知识点:等比数列的通项公式,对数的运算性质】由题意得,等比数列{}n a 中, 385,2a a ==,所以385610,a a a a ⋅=⋅=,由等比数列的性质得, ()551231056...10a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅=,所以数列{}lg n a 的前10项和1210l g l g ...l g 5n S a a a =+++=,故选:B ． 6.数列{}n a 的首项1,数列{}n b 为等比数列且1n n na b a +=,若10112b b ⋅=,则21a =（） A.20 B.512 C.1013 D.1024 答案.D.解析:【知识点:等比数列的通项公式】由1n n n a b a +=可知202120232121,,,a a b a a b a a b === ,所以202123122021a a a a a a b b b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ,又数列{}n b 为等比数列,所以1202191011b b b b b b ===L ,于是有121102a a =,即110212a a =,又11=a ,所以102421021==a ,故答案选D. 二、填空题1．已知数列{}n a 为等比数列,且5a =4,9a =64,则7a =____________．答案:16.解析:【知识点:等比数列的通项公式】11n n a a q -=,由已知条件求出通项公式1124n n a -=⋅,所以716a =.2．数列{}n a 中, 112,n n a a a cn +==+（c 是常数,n =1,2,3,…）,且123,,a a a 成公比不为1的等比数列．则c 的值是 ______ ．答案:2.解析:【知识点:等比数列】∵112,n n a a a cn +==+,∴232,23,a c a c =+=+又∵123,,a a a 成公比不为1的等比数列,∴()()22c 223c +=+,即c 2-2c=0解得c=2,或c=0,故答案为23.若公比不为1的等比数列{}n a 满足()21213•13log a a a ⋯=,等差数列{}n b 满足77b a =,则1213b b b +⋯+的值为 ______ ．答案:26.解析:【知识点:等比数列通项公式,等差数列前n 项和】 ∵公比不为1的等比数列{a n }满足()21213•13log a a a ⋯=,∴()()()13212132727•1313log a a a log a log a ⋯===,解得7772,2,a b a ===,由等差数列的性质可得777121372,2,...1326a b a b b b b ===+++==,故答案为:26 三、解答题1.在等比数列{}n a 中, 5142-=15,-=6a a a a ,求3a 和q ．答案:见解析解析:【知识点:等比数列通项公式】，6=-，15=-}中中在等比数列{2415a a a a a n 答案：．4=,1=时，2=q 当31a a2.设{}n a 是一个公差为d （d ≠0）的等差数列,它的前10项和10110S =且124,,a a a 成等比数列,求数列{}n a 的通项公式．答案: n a =2n .解析:【知识点:等差数列前n 项和,等比数列】∵124,,a a a 成等比数列,∴2214a a a =又∵{an}是等差数列,∴2141,3a a d a a d =+=+, ∴()()21113a d a a d +=+,即222111123a a d d a a d ++=+,化简可得1a d =,∵101101092110S a d =+⨯=,∴11045110a d +=．又∵1a d =,∴55d =110,∴d =2, ∴()112n a a n d n =+-=3.已知数列{}n a 的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,公差与公比均为2,并且2415798,a a a a a a a +=++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使得1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++成立的所有正整数m 的值．答案:见解析解析:【知识点:等比数列,等比数列通项公式】31517142622,4,6,2,4a a a a a a a a a a =+=+=+==Q 2415798,a a a a a a a +=++=2211212124,2642a a a a a a a a ∴+=+++++=++121,2a a ∴==∴na =⎩⎨⎧为奇数为偶数n n n n,,22；（2）∵1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++成立, ∴由上面可以知数列{}n a 为:1,2,3,4,5,8,7,16,9,… 当m =1时等式成立,即1+2+3=-6=1×2×3；等式成立．当m =2时等式成立,即2×3×4≠2+3+4；等式不成立. 当m =3、4时等式不成立；当m ≥5时,∵12m m m a a a ++⋅⋅为偶数, 12m m m a a a ++++为奇数, ∴可得m 取其它值时,不成立, ∴m =1时成立．。

高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5

（新课标）高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5从容说课本章主要学习了正弦定理和余弦定理、应用举例以及实习作业．正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用正弦定理、余弦定理，可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化，许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究．本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习.教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形.2.三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用.3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教学难点定理及有关性质的综合运用．教具准备多媒体投影仪三维目标一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形确良；2.三角形各种类型的判定方法；3.三角形面积定理的应用.二、过程与方法通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学过程导入新课师本章我们共学习了哪些内容？生本章我们学习了正弦定理与余弦定理. 师你能讲出正弦定理、余弦定理的具体内容吗？生正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R CcB b A a 2sin sin sin ===；余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，b 2=a 2+c 2-2acco s B ， c 2=b 2+a 2-2baco s C ;abc b a C ac b c a cisB bc a c b A 2cos ,2,2cos 222222222-+=-+=-+=.师很好！哪位同学来说说运用正弦定理、余弦定理可以解决哪些类型的问题？生正弦定理可以解决以下两类问题：（1）已知两角和一边解三角形；（2）已知两边及其中一边的对角解三角形.余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知三边解三角形；（2）已知两边及其夹角解三角形.生老师，我来补充.利用正弦定理的解题的类型（1）在有解时只有一解，类型（2）可有解、一解和无解；利用余弦定理的解题的两种类型有解时只有一解. 师 very good ！除了以上这些，我们还学习了什么？生除了正弦定理、余弦定理我们还学习了三角形面积公式：C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===C ，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积.师你说的非常完善，你是我们全班同学学习的榜样.希望我们全班同学都向他学习.推进新课多媒体投影解斜三角形时可用的定理公式适用类型备注余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A b 2=a 2+c 2-2ac cos B c 2=b 2+a 2-2ba cos C(1) 已知三边（2）已知两边及其夹角类型（1）（2）有解时只有一解正弦定理（3）已知两角和一边类型（3）在有解时只有一解，类型（4）可有解、一解和无R CcB b A a 2sin sin sin === （4）已知两边及其中一边的对角解三角形面积公式S ＝21bc sin A =21ac sin B =21ab sin C(5)已知两边及其夹角生老师，我也来补充.利用正弦定理、余弦定理我们还可以解决实际生活中的一些问题:有关测量距离、高度、角度的问题．师看来同学们对解三角形这一章掌握得都不错．下面，我们来看一下例题与练习．［例题剖析］【例１】在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A 与B 的大小关系为_________. 生这个题目以前做过的，A 与B 的大小关系不定．师对吗？生我认为不对．我以前做过的题目中没有“在△ABC 中”这个条件．（其他学生一致认可）师那本题应该怎么做呢？生我觉得答案应该是A ＞B ，但是理由我说不上来．生我来说．因为在△ABC 中，由正弦定理得R CcB b A a 2sin sin sin ===,所以 a =2Rsin A ,B =2Rsin B .又因为sin A ＞sin B ，所以A ＞B ．又因为在三角形中，大边对大角，所以A ＞B ．师好，你解得非常正确．【例２】在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且2S=(a +b )2-C 2，求t a n C 的值．师拿到题目你怎么考虑，从哪里下手？生利用三角形的面积公式，代入已知条件2S=(A +B )2-C 2中，再化简. 师用面积公式S=21 bc in A =21ac sin B =21ab sin C 中的哪一个呢？生用哪一个都可以吧. 生不对，应该先化简等式右边，得(A +B )2-C 2=A 2+2AB +B 2-C 2，出现了A 与B 的乘积：AB ，而2abco s C =a 2+b 2-c 2，因此面积公式应该用S=21ab sin C ，代入等式得 ab sin C =a 2+b 2+2ab -C 2=2ab -2abco s C .化简得tan 2C=2．从而有344142tan12tan2tan2-=-=-=CCC．师思路非常清晰，请同学们思考本题共涉及到了哪些知识点？生正弦定理、余弦定理与三角形面积公式．生还有余切的二倍角公式．师你能总结这类题目的解题思路吗？生拿到题目不能盲目下手，应该先找到解题切入口．师对，你讲得很好．生正弦定理、余弦定理都要试试．【例3】将一块圆心角为120°，半径为20 c m的扇形铁片裁成一块矩形，有如图（1）、（2）的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值.师本题是应用题，怎么处理？生由实际问题抽象出数学模型，找到相应的数学知识来解决.分析:这是一个如何下料的问题，从图形的特点来看，涉及到线段的长度和角度，将这些量放置在三角形中，通过解三角形求出矩形的边长，再计算出两种方案所得矩形的最大面积，加以比较，就可以得出问题的结论.解：按图（1）的裁法：矩形的一边O P在OA上，顶点M在圆弧上，设∠M OA=θ，则|MP|=20sinθ,|OP|=20co sθ,从而S=400sinθco sθ=200sin2θ，即当4πθ=时，S m a x=200.按图（2）的裁法：矩形的一边PQ与弦AB平行，设∠M O Q=θ，在△M O Q中，∠O QM=90°+30°=120°,由正弦定理，得|MQ|=θθsin2340120sinsin20=︒.又因为|MN |=2|OM |sin(60°-θ)，=40sin(60°-θ),所以 S=|MQ |·|MN |=331600sinθsin(60°-θ)=331600｛-21［co s60°-co s(2θ-60°)］｝=33800［cos(2θ-60°)-co s60°］. 所以当θ=30°时，S m a x =33400. 由于33400＞200，所以用第二种裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为33400c m 2. 评注:正弦定理、余弦定理在测量（角度、距离）、合理下料、设计规划等方面有广泛应用.从解题过程来看，关键是要找出或设出角度，实质是解斜三角形，将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中，灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决.【例4】如果一个三角形的三边是连续的三个自然数，求所有这些三角形中的最大角的度数．（精确到°）师已知什么，要求什么？生（齐答）已知三角形的三边，要求三角形中的角．师怎么处理呢？生用正弦定理或余弦定理实现三角形中边与角的转化，可是三条边的值不知道啊．生条件中三角形的三边是连续的三个自然数，那么我们可以设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.师接下来怎么做呢？生因为co sθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co sθ的最小值．师cosθ的最小值怎么求呢？生因为cosθ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜23n-1＞1⇒n ＞2. 又因为n 为自然数，所以当n=3时，（cosθ）min =-41，所以θ的最大值为°．（教师用多媒体投影）解：设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.因为cosθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co s θ的最小值，且cosθ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜⇒23n-1＞1⇒n ＞2．因此，当n=3时，（cosθ）min =-41，所以θ的最大值为°．师下面我们来看一组练习多媒体投影1.在△ABC 中，若A =30°,B =45°,C =6，则A 等于（） A.26- B.26(2-C.)26(3-D.)26(4-2.在△ABC 中，若a =7,b =4,c =5, 则△ABC 的面积为（精确到0.１）（） A ．7B ．C ．D ． 3.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离D 1与第二辆车与第三辆车的距离D 2之间的关系为（）＞d 2=d 2 ＜d 2 D.大小确定不了4.在△ABC 中，若A ·co t A =bco t B ，则△ABC 是_______三角形．5.在异面直线A ,B 上有两点M 、N ，EF 是直线A ,B 的公垂线段，若EM ＝５，EF ＝３，FN ＝４，MN ＝６，则异面直线A ,B 所成的角为___________．（精确到1°）练习题答案：4.等腰°课堂小结同学们本节课你的收获是什么？生正弦定理、余弦定理都是联系三角形边和角的关系式.生凡是可用正弦定理的时候，都可以用余弦定理；当关系式中有边的平方项时，可以考虑余弦定理.生已知两边一对角求解三角形时用余弦定理讨论二次方程，更容易判断是无解、一解还是两解的问题.生利用正弦定理和余弦定理解决几何问题的关键还是在于找出图形中的边角关系，然后假设有关的边和角，利用正弦定理和余弦定理建立边或角的关系式.生在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.其基本步骤是: （1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解；（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.布置作业1.已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是__________．2.在△ABC 中，已知t a n A =21,t a n B =31，试求最长边与最短边的比． 3.某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30°角的直线上，1分钟后，他看见宝塔在与火车前进方向成45°角的直线上，设火车的速度是100 km/h ，求宝塔离开铁路线的垂直距离．答案：1.(5,13)2.解：因为t a n A =21,t a n B =31，所以1312113121tan tan 1tan tan )tan(=•-+=-+=+BA B A B A ．因为0°＜A ＜45°，0°＜B ＜45°，所以A +B = 45°．所以3510103135sin sin sin =︒==B C b c ，所以最长边与最短边的比为35．３.解：如图，设宝塔在C 点，先看时的位置为A ，再看时的位置为B ，由题意知∠BAC =45°-30°=15°,AB =3560100=（km ），AC =)13(3513515sin 53sin sin +=︒︒=∠•∠=ABC BCA AB AC ,所以C 点到直线AB 的距离为d =AC ·sin30°=65(3+1)（km ）．板书设计本章复习例1 例3 例2 例4(投影区)备课资料解三角形三角形的三条边和三个内角是三角形的六个基本元素．已知其中的三个基本元素(至少有一个是边)求其余的基本元素叫做解三角形． 1.直角三角形的解法因为直角三角形中有一个是直角，例如△ABC 中，C ＝90°，角A 、B 、C 的对边分别是A 、B 、C ．那么利用以下关系式：（1）A +B =90°；（2）A 2＋B 2=C 2；（3）A =c sin A =cco s B ＝B ·t a n A ；（4）B =cco s A =c sin B =acxtana ．可分四种情况来解直角三角形．（1）已知斜边和一锐角；（2）已知一条直角边和一锐角；（3）已知一斜边和一直角边；（4）已知两条直角边． 2.斜三角形的解法在一个三角形中，如果没有一个角是直角，那么这个三角形叫做斜三角形．斜三角形的解法可分以下四种情况：（1）已知两角和一边；（2）已知两边和其中一边的对角；（3）已知两边和它们的夹角；（4）已知三边．解斜三角形常常利用以下基本关系式： 1．三角形内角和为180°，即A ＋B ＋C =180°； 2．正弦定理，即R CcB b A a 2sin sin sin ===3．余弦定理，即(1)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=;cos cos ,cos cos ,cos cos B a A b c A c C a b C b B c a(2)⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2,cos 2222222222一般地说，在已知两边和其中一边的对角的情况下，解三角形时，问题不一定有解，如果有解也不一定有唯一解．对这类问题进行讨论，可得如下结论．90°≤A ＜180°0°＜A ＜90°a ＞b 一解一解 a =b 无解一解a ＜b无解A ＞B sin A A =B sin A A ＜B sin A两解一解无解。

人教版高中数学必修五教案[整书][全套]

1.1.1正弦定理•教学目标知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.过程与方法：让学生从已有的几何知识出发，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作.情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.•教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用.•教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.•教学过程I•课题导入固定△ABC的边C8及使边AC绕着顶点C转动.思考：ZC的大小与它的对边A3的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角Z C的大小的增大而增大.能否用一个等式把这种关系精确地表示出来?II.讲授新课探索研究在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系.如图，在RtAABC中，设BC=aAC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义,—=sinA,—=sinB,c cb又si"=l=3，则-^-=——=-^—=cb从而在直角三角形A况中，思=和=金AbC a B思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立?（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:如图，当AABC是锐角三角形时，设边A8上的高是CD,根据任意角三角函数的定义,有CD=asinB=bsir\A,贝I°bsin』sin5bc同理可得----=------,sine sin月b从而asin/sinB sin。

思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题.（证法二）：过点A作J1AC,由向量的加法可得朋=AC+CB贝!]/•*=/..（如+仿）:.j,AB=J-AC+j-CB|j||ab|cos（900-A）=0+|j||cb|cos（90°-C）csmA=asinC，艮）一八sin A sine同理，过点C作口C,可得、黑-sin。

人教版高中数学必修五第一章《解三角形的进一步讨论-解三角形中的一类倍角问题》教学设计

解三角形的进一步讨论——解三角形中的一类倍角问题1．教学内容解析“正弦定理和余弦定理”是高中数学必修5中“解三角形”的一节内容．本节教学内容与前后知识联系紧密，涉及多种数学思想方法，主要工具是正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和三角形内角和定理，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中边角之间的数量关系．有些问题的求解还会用到三角函数中的和、差角公式和二倍角公式．根据问题的不同类型和不同形式，广泛联想、合理选择、灵活运用公式是求解问题的关键．2．教学目标设置教学目标：(1)掌握并熟练运用正弦、余弦定理转化三角形中的边角关系；(2)理解三角形中有关边角关系的几何意义，如cos a B 、sin b A 、22a b bc 、2A B ，并对以此为背景的试题进行深入的探究，理解其数学本质；(3)通过对问题背景与变式探究学习，激发学生参与数学活动的兴趣与热情．教学重难点：(1)能够熟练运用正弦、余弦定理转化三角形中的边角关系；(2)理解三角形中有关边角关系的几何意义，如cos a B 、sin b A 、22a b bc 、2A B ，探究其数学本质．3．学生学情分析学生通过必修5的学习，已了解正弦和余弦定理的内容，但如何合理选择、灵活运用定理解决解三角形综合问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化进而解决三角形综合问题，还需通过复习指导有待进一步提高．4．教学策略分析(1)问题引入，激发求知欲望(2)广泛联想，挖掘数形背景(3)分析例题，落实核心知识(4)重视应用，培养实践能力设计思路：(1)重视教学各环节的合理安排；(2)重视多种教学方法有效整合，以小组讨论、讲练结合、分析引导、变式训练、扩展训练等多种方法贯穿整个教学过程；(3)重视提出问题、解决问题策略的指导．在教学中引导学生发现问题、提出问题，并指导学生掌握观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等解决问题的科学思维方法．5．教学过程过程问题驱动下的教学设计（1）问题引入【引题】人教A 版必修五第25页B 组练习3：研究一下，是否存在一个三角形具有以下性质：（1）三边是连续的三个自然数；（2）最大角是最小角的2倍．【设计意图】通过引题的解决，回顾正弦定理和余弦定理的内容，初步体问题引入揭示本质变式探究探究不止知识重建会通过三角恒等变换和正、余弦定理实现三角形边角关系转化，从而求解三角形的作用．【提问】一般地，在ABC中，由等式2B A可以得到什么结论?（2）问题探究揭示本质【探究一】一般地，在ABC中，由等式2B A可以得到什么结论?它具有什么代数特征呢？【设计意图】通过发散性探究，学生能够体会正、余弦定理在转化三角形边角关系中的作用，以及在解三角形的过程中三角恒等变换的作用．在问题的解决过程中，引导学生发现等式2B A的代数特征．【提问】反之是否成立呢？【探究二】一般地，在ABC中，若22b a ac，则2B A．【设计意图】通过探究，进一步体会正、余弦定理在转化三角形边角关系中的作用．同时，通过两次探究，我们得到了一个重要的推论：一般地，在ABC中，222a b bc A B．并能利用正弦定理和余弦定理证明该推论，感受正弦定理和余弦定理的内在联系．【提问】在ABC中，222a b bc A B，这个代数恒等式具有怎么样的几何意义呢？【设计意图】引导学生发现其几何背景，从几何角度看清问题本质，感受在三角形中的数与形的统一性，培养数学抽象与数形结合的能力，了解此类问题的命题策略，（3）应用探究尝试解决【练习】在ABC中，,,a b c分别为角,,A B C所对的边，已知B C A，且2,4,8B A c a b，求,a b的值．【设计意图】通过微调题目条件，增加了思维容量，培养学生综合运用正弦定理和余弦定理的能力，并在问题的解决过程中，引导学生体会等式2B A的代数特征．【高考链接】（2019年高考北京卷（理））在ABC中，,,a b c分别为角,,A B C 所对的边，若3,26,2a b B A．(I)求cos A的值； (II)求c的值．【高考链接】（2019年浙江高考）在ABC中，内角,,A B C所对的边分别为,,a b c．已知2cosb c a B．（I）证明：2A B；（II）若ABC的面积2=4aS，求角A的大小．【设计意图】进一步熟悉正弦、余弦定理，注重推论的应用性，引导学生落实核心知识，培养实践能力．（4）直通自招探究不止（2019上海交大自招）是否存在三边长为连续自然数的三角形，使得(1)最大角是最小角的两倍；(2)最大角是最小角的三倍．若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由．【探究三】一般地，在ABC中，由等式3B A可以得到什么结论?它具有什么代数特征和几何意义呢？【设计意图】体会推论应用的广泛性，培养学生数学抽象，逻辑推理，数学运算等能力，树立用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界的数学核心素养．（5）自主命题总结反思【学生命题】以三角形中有关边角关系的几何意义为背景，如cosa B、sinb A、22a b bc、2A B（或者其它自选），命制一道解答题．【学生归纳】1．正弦定理、余弦定理体现了三角形中边与角存在的一种内在联系，其主要作用是将已知的边、角互化或统一；2．理解三角形中有关边角关系的几何意义，如cosa B、sinb A、22a b bc、2A B，掌握此类问题的“源”与“流”；【设计意图】学生通过归纳，回顾自己在本节课所学得知识要点与思想方法，并与同学，老师交流，完善知识结构与思维方式；通过自主命题，旨在引导学生与命题者对话，加深对问题本质的理解，拓展探究学习的维度．（6）作业布置1．书本P25 B组练习3；2．小组合作完成探究三；3．以三角形中有关边角关系的几何意义为背景命制一道解答题．。

高中数学人教版必修5教案

b Ac a Bcos B。

2.一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系3.培养数形结合的能力.二、教学重点: 熟练掌握一元二次不等式的解法;教学难点: 理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系。

三、教学过程: 1、复习回顾:一元二次方程、二次函数。

2.引入:P 76 互联网的收费问题。

3.一元二次不等式:(1) 一元二次不等式的定义:只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是2的不等式, 称为一元二次不等式. (2) 一元二次不等式的解集:画出二次函数的图象, 如图, 观察函数图象, 可知:当 x<0, 或x>5时, 函数图象位于x 轴上方, 此时, y>0,即；当0<x<5时, 函数图象位于x 轴下方, 此时, y<0,即；所以, 不等式的解集是 .(3) 探究一般的一元二次不等式的解法(a>0) 0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x <有两相等实根a bx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x xx <<∅∅2841641200x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩画出不等式组所表示的平面区域。

(2) 若生产一件甲产品获利2万元, 生产一件乙产品获利3万元, 采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品x 件, 乙产品y 件时, 工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.可以看到, 直线与不等式组的区域的交点满足不等式组, 而且当截距最大时, z 取得最大值。

高中数学必修五教案(精选5篇)

高中数学必修五教案（精选5篇）高中数学必修五教案篇一教学目标A、知识目标：掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式的运用。

B、能力目标：（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。

（3）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。

C、情感目标：（数学文化价值）（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。

（2）通过公式的运用，树立学生"大众教学"的思想意识。

（3）通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的。

心理体验，产生热爱数学的情感。

教学重点：等差数列前n项和的公式。

教学难点：等差数列前n项和的公式的灵活运用。

教学方法：启发、讨论、引导式。

教具：现代教育多媒体技术。

教学过程一、创设情景，导入新课。

师：上几节，我们已经掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质，今天要进一步研究等差数列的前n项和公式。

提起数列求和，我们自然会想到德国伟大的数学家高斯"神速求和"的故事，小高斯上小学四年级时，一次教师布置了一道数学习题："把从1到100的自然数加起来，和是多少？"年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使教师非常吃惊，那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如果大家也懂得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高斯。

（教师观察学生的表情反映，然后将此问题缩小十倍）。

我们来看这样一道一例题。

例1，计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10。

这道题除了累加计算以外，还有没有其他有趣的解法呢？小组讨论后，让学生自行发言解答。

高中数学必修五教案人教版

高中数学必修五教案人教版
教案名称：一元二次方程
教学目标：
1. 了解一元二次方程的概念和性质
2. 能够用公式求解一元二次方程
3. 能够应用一元二次方程解决实际问题
教学重点：
1. 一元二次方程的定义和性质
2. 一元二次方程的解法
3. 一元二次方程的应用
教学难点：
1. 解决一元二次方程实际问题时的思考过程
2. 不同形式的一元二次方程的解法选择
教学步骤：
一、导入新课
教师简要介绍一元二次方程的基本概念，并通过一个简单的例子引入新知识。

二、讲解一元二次方程的定义和性质
1. 介绍一元二次方程的一般形式及系数的含义
2. 讲解一元二次方程的解的个数及性质
3. 引导学生理解一元二次方程的图像和特点
三、讲解一元二次方程的解法
1. 介绍一元二次方程求解的常用方法：配方法、公式法和因式分解法
2. 案例演练，让学生掌握不同方法的应用技巧
四、讲解一元二次方程的应用
1. 指导学生如何将实际问题转化为一元二次方程
2. 案例分析，让学生理解一元二次方程在实际生活中的应用
五、课堂练习
布置练习题，帮助学生巩固所学知识并提高解题能力。

六、课堂总结
教师总结本节课的重点内容，并鼓励学生勤加练习，提高解题能力。

教学反思：
本节课通过引导学生了解一元二次方程的概念和性质，讲解了一元二次方程的解法和应用，培养了学生的数学思维和解决问题的能力。

在教学过程中，教师应注重案例分析和实际问
题应用，激发学生学习兴趣和思维能力，提高他们的数学素养。

人教A版高中数学必修五第一章教案一元二次方程根的分布

第十六教时教材：一元二次方程根的分布目的：介绍符号“f(x)”，并要求学生理解一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的根的分布与系数a,b,c 之间的关系，并能处理有关问题。

过程：一、为了本课教学内容的需要与方便，先介绍函数符号“f(x)”。

如：二次函数记作f(x)= ax 2+bx+c (a ≠0) x=1时的函数值记作f(1) 即f(1)=a+b+c二、例一已知关于x 的方程 (k -2)x 2-(3k+6)x+6k=0有两个负根，求k 的取值范围。

解：()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<-+≥⋅--+=∆02602630624632k k k k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<<-≤≤-⇒2022652k k k k 或 052<≤-⇒k此题主要依靠∆及韦达定理求解，但此法有时不大奏效。

例二实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程3x 2-5x+a=0的一根大于-2而小于0，另一根大于1而小于3。

()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⨯-⨯=<+-=<=>+-⨯--⨯=-03533)3(053)1(0)0(02523)2(22a f a f a f a f ⇒ -12<a<0例三已知关于x 的方程x 2-2tx+t 2-1=0的两个实根介于-2和4之间，求实数t 解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<=-<->=--=∆>+-=>++=-42204)1(440158)4(034)2(2222t a b t t t t f t t f 31<<-⇒t此题既利用了函数值，还利用了∆及顶点坐标来解题。

三、作业题（补充）xx*1. 关于x 的方程x 2+ax+a -1=0，有异号的两个实根，求a 的取值范围。

(a<1) *2. 如果方程x 2+2(a+3)x+(2a -3)=0的两个实根中一根大于3,另一根小于3，求实数a 的取值范围。

高中数学必修五教案Word

高中数学必修五教案Word
第一课：二次函数的基本概念和性质
1. 教学目标：
- 了解二次函数的概念和性质
- 掌握二次函数的图像特点
- 能够通过公式确定二次函数的图像
2. 教学内容：
- 二次函数的定义
- 二次函数的一般式和标准式
- 二次函数的图像特点
3. 教学过程：
- 导入：通过实际生活中的例子引入二次函数的概念
- 讲解：介绍二次函数的定义和一般式、标准式的转换方法
- 实例演练：通过例题让学生掌握二次函数的图像特点和变化规律
- 拓展：让学生通过练习巩固所学知识
4. 课堂练习：
1. 求解二次函数f(x)=2x²-4x+3的顶点坐标和对称轴方程
2. 根据二次函数的图像特点，判断下列函数的开口方向：
- a) f(x)=x²+3x-2
- b) f(x)=-2x²+4x-1
5. 课后作业：
- 完成练习册中关于二次函数的练习题
- 总结本课中所学知识，写出二次函数的定义和性质
注意：教案仅供参考，具体内容和教学方式可根据教学情况进行调整。

高中数学必修五备课教案

高中数学必修五备课教案
教学内容：
1. 函数的概念
2. 函数的定义域和值域
3. 函数的图象
4. 函数的性质：奇偶性、周期性、单调性
教学目标：
1. 理解函数的概念及其基本性质。

2. 掌握函数的定义域和值域的求法。

3. 能够画出函数的图象。

4. 熟练判断函数的奇偶性、周期性和单调性。

教学重点和难点：
1. 函数的概念及性质的理解和掌握。

2. 函数的图象的绘制和性质的判断。

教学准备：
1. 教师准备：教案、教辅资料、教学工具。

2. 学生准备：课前预习相关知识。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引入函数概念，让学生回顾前几年关于函数的基本知识。

二、讲解（20分钟）
1. 函数的定义：介绍函数的定义及相关概念。

2. 函数的定义域和值域：讲解函数的定义域和值域的概念及求法。

3. 函数的图象：介绍如何画出函数的图象。

三、练习与讨论（15分钟）
1. 学生根据所学知识进行练习，画出给定函数的图象。

2. 学生讨论函数的奇偶性、周期性和单调性。

四、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，强化学生的理解和记忆。

五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，让学生巩固所学内容。

教学反思：
通过本节课的教学，学生对函数的概念及性质有了更深入的了解和掌握。

希望学生能够对函数有更加深入的理解，为将来的学习打下良好的基础。

人教版高中数学必修五教学设计 [整书][全套]

1.1.1正弦定理教学目标：1．让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题.2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力.3．通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣.4．培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 教学重点与难点教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用. 教学难点：正弦定理的猜想提出过程.教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器. 教学过程：（一）结合实例，激发动机师生活动：每天我们都在科技楼里学习，对科技楼熟悉吗？那大家知道科技楼有多高吗？给大家一个皮尺和测角仪，你能测出楼的高度吗？学生思考片刻，教师引导.生1：在楼的旁边取一个观测点C ，再用一个标杆，利用三角形相似. 师：方法可行吗？生2：B 点位置在楼内不确定，故BC 长度无法测量，一次测量不行. 师：你有什么想法？生2：可以再取一个观测点D .师：多次测量取得数据，为了能与上次数据联系，我们应把D 点取在什么位置？生2：向前或向后师：好，模型如图（2）：我们设60∠=︒ACB ，45∠=︒ADB ,CD =10m,那么我们能计算出AB 吗？生3：由tan45tan3010AB AB οο-=求出AB .师：很好，我们可否换个角度，在Rt ABD ∆中，能求出AD ,也就求出了AB .在∆ACD 中，已知两角，也就相当于知道了三个角，和其中一个角的对边，要求出AD ，就需要我们来研究三角形中的边角关系.师：探究一般三角形中的边角关系，我们应从我们最熟悉的特殊三角形入手！生4：直角三角形.师：直角三角形的边与角之间存在怎样的关系？生5：思考交流得出，如图4，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ,AC =b ,AB =c ,则有sin a a A c =，sin b b B c =，又1sin c cC c==, 则sin sin sin a b c c A B C=== 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==（二）证明猜想，得出定理师生活动：教师：那么，在斜三角形中也成立吗？用几何画板演示，用多媒体的手段对结论加以验证！但特殊不能代替一般，具体不能代替抽象，这个结果还需要严格的证明才能成立，如何证明哪？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，每组派一个代表总结.（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）学生6：思考得出①在ABC ∆中，成立，如前面检验.②在锐角三角形中，如图5设BC a =，CA b =，AB c =作：AD BC ⊥，垂足为D 在Rt ABD ∆中，sin ADB AB=sin sin AD AB B c B ∴=•=•在Rt ADC ∆中，sin ADC AC=sin sin AD AC C b C ∴=•=• sin sin c B b C ∴=sin sin c bC B∴= 同理，在ABC ∆中，sin sin a cA C= sin sin sin a b cA B C∴== ③在钝角三角形中，如图6设C ∠为钝角，BC a =，CA b =，AB c =，作AD BC ⊥交BC 的延长线于D .在Rt ADB ∆中，sin ADB AB=sin sin AD AB B c B ∴=•=•在Rt ADC ∆中，sin ADACD AC∠=sin sin AD AC ACD b ACB ∴=•∠=•∠sin sin c B b ACB ∴•=•∠sin sin c bACB B∴=∠同锐角三角形证明可知sin sin a cA C= sin sin sin a b cA B ACB∴==∠ 教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b cA B C==师：我们在前面学习了平面向量，向量是解决数学问题的有力工具，而且和向量的联系紧密，那么同学们能否用向量的知识证明正弦定理？学生要思考一下.师：观察式子结构，里面有边及其边的夹角，与向量的哪一部分知识有关？生7：向量的数量积师：那向量的数量积的表达式是什么？生8：cos ,a b a b a b •=<>r r r r r r师：表达式里是角的余弦，我们要证明的式子里是角的正弦. 生：利用诱导公式.师：式子变形为：cos()cos()22ππ-=-u u u r u u u r CB A CA B ,师：很好，那我们就用向量来证明正弦定理，同学们请试一试！学生讨论合作，就可以解决这个问题教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学下去再探索.设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程. （三）利用定理，解决引例师生活动：教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题. 学生：马上得出在ABC ∆中，18060,sin sin c bB AC C B∠=-∠-∠==oosin 600sin 45sin sin 60b C c B ••︒∴===︒（四）了解解三角形概念设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性教师：一般地，把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形.设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望. （五）运用定理，解决例题师生活动：教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题. 学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如sin sin b Aa B =； ②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如sin sin aA B b=.师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤.例1：在ABC ∆中，已知∠30A =︒，∠45B =︒，6a =cm ，解三角形.【解析】“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为︒180求出第三个角∠C ，再由正弦定理求其他两边.解：由题意得，∠C =180°-30°-45°=105°由正弦定理得，6sin 21sin 2a Bb A⨯===6sin 41sin 2a C c A===+例2．在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）.解：根据正弦定理，0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B （1）当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，00sin 20sin7630sin sin40a C c A ==≈cm（2）当0116≈B 时，00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，（六）尝试小结：教师：提示引导学生总结本节课的主要内容. 学生：思考交流，归纳总结.师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：（1）正弦定理的内容（2sin sin sin a b cR A B C===）及其证明思想方法. （2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素. （3）分类讨论的数学思想.1.2 应用举例第1课时解三角形的实际应用教学目标1．能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题．(重点)教学过程教材整理1基线的概念阅读教材，完成下列问题．1．定义在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线．2．性质在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．教学检测判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一般来说，在测量过程中基线越长，测量精确度越低．()(2)已知三角形的三个角，能够求其三条边．()(3)两个不可到达的点之间的距离无法求得．()【解析】(1)×.因为在测量过程中基线越长，测量的精确度越高．(2)×.因为要解三角形，至少要知道这个三角形的一条边．(3)×.两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得．【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2测量中有关角的概念阅读教材，完成下列问题．1．仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1-2-1(1)所示)．图1-2-1(1)2．方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.(如图1-2-1(2)所示)图1-2-1(2)教学检测判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)东偏北45°的方向就是东北方向．()(2)仰角与俯角所在的平面是铅垂面．()(3)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北44°方向．()【解析】(1)√，由方向角的定义可知．(2)√，由仰角与俯角的定义可知．(3)×，点Q 在点P 的南偏西44°. 【答案】 (1)√例1 要测量对岸A ，两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A ，B 之间的距离．【精彩点拨】将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形．【解】如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3 km.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°， ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝5(km)，∴A ，B 之间的距离为 5 km.名师指津三角形中与距离有关的问题的求解策略：(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．[再练一题]1．如图1-2-2，在河岸边有一点A ，河对岸有一点B ，要测量A ，B 两点的距离，先在岸边取基线AC ，测得AC ＝120 m ，∠BAC ＝45°，∠BCA ＝75°，求A ，B 两点间的距离.图1-2-2【解】在△ABC 中，AC ＝120，A ＝45°，C ＝75°，则B ＝180°－(A ＋C )＝60°，由正弦定理，得AB ＝AC sin C sin B ＝120sin 75°sin 60°＝20(32＋6)．即A ，B 两点间的距离为20(32＋6)m.例2 (1)如图1-2-345°和30°，已知CD ＝100米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于( )A ．100米B ．503米C ．502米D ．50(3＋1)米图1-2-3(2)在一幢20 m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是( )A ．20⎝⎛⎭⎫1＋33 m B ．20(1＋3)m C ．10(6＋2)m D ．20(6＋2)m【精彩点拨】 (1)解决本题关键是求AB 时确定在哪一个三角形中求解，该三角形是否可解．(2)解决本题关键是画出示意图．【解析】 (1)设山高为h ，则由题意知CB ＝h ，DB ＝3h ，所以3h －h ＝100，即h ＝50(3＋1)．(2)如图，由条件知四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝CD ＝20 m ，BC ＝AD ＝20 m. 在△DCE 中，∠EDC ＝60°，∠DCE ＝90°，CD ＝20 m ，∴EC ＝CD ·tan 60°＝20 3 m ，∴BE ＝BC ＋CE ＝(20＋203)m.选B.【答案】(1)D(2)B名师指津解决测量高度问题的一般步骤：(1)画图：根据已知条件画出示意图．(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形．(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．[再练一题]2．某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图1-2-4所示，竖直放置的标杆BC 的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值.图1-2-4【解】由AB ＝H tan α，BD ＝htan β，AD ＝Htan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝H tan β，解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.因此电视塔的高度H 是124 m.探究1 45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足．试画出符合题意的示意图．【提示】用线段CD 表示山，用△DAB 表示海平面．结合题中相应的距离及角度，画出立体图形，如图所示．探究2在探究1中若要求山高CD怎样求解？【提示】由探究1知CD⊥平面ABD，首先在△ABD中利用正弦定理求出AD的长，然后在Rt△ACD中求出CD.图1-2-5例3如图1-2-5，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.【精彩点拨】利用方程的思想，设AB＝h.表示出BC＝h，BD＝htan 30°＝3h，然后在△BCD中利用余弦定理求解．【解】在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB ＝30°，则BD＝3h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(3h)2－2·h·3h·32，所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，即塔高AB＝200米．名师指津测量高度问题的两个关注点(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．[再练一题]3．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是() A．100 2 m B．400 mC．200 3 m D．500 m【解析】由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝3h m，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋500h，解得h＝500(m)．【答案】 D当堂检测1．甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有() A．d1>d2B．d1<d2C．d1>20 m D．d2<20 m【解析】如图，设旗杆高为h，则d1＝htan 50°，d2＝htan 40°.因为tan 50°>tan 40°，所以d1<d2.【答案】 B2．如图1-2-6，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100米，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于()图1-2-6A．503米B．1003米C．50米D．100米【解析】因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，所以△ADC为等腰三角形，所以AC＝DC＝100米，在Rt△ABC中，AB＝AC sin 60°＝503米．【答案】 A3．某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 3 km，那么x的值为()A. 3 B．2 3C．23或 3 D．3【解析】如图，在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6x cos 30°，即x2－33x＋6＝0，解之得x＝23或 3.【答案】 C4．在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m.【解析】过点A作AH⊥BC于点H，由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200 m，则BH＝AH＝200 m，CH＝AH·tan 60°＝200 3 m.故两船距离BC＝BH＋CH＝200(3＋1)m.【答案】200(3＋1)5．如图1-2-7所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF＝α，∠AFE＝β，∠CEF＝θ，∠CFE＝φ，∠AEC＝γ.图1-2-7请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果．【解】第一步：在△AEF中，利用正弦定理，得AEsin β＝EFsin(180°－α－β)，解得AE＝a sin βsin(α＋β).第二步：在△CEF中，同理可得CE＝a sin φsin(θ＋φ).第三步：在△ACE中，利用余弦定理，得AC＝AE2＋CE2－2AE·CE·cos γ＝a2sin2βsin2(α＋β)＋a2sin2φsin2(θ＋φ)－2a2sin βsin φcos γsin(α＋β)sin(θ＋φ).§2.1 数列的概念与简单表示法教学目标：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同，会根据数列的递推公式写出数列的前n项；提高学生的推理能力，培养学生的应用意识.教学重点：1.数列的递推公式.2.根据数列的递推公式写出数列的前n项.教学难点：理解递推公式与通项公式的关系.教学过程：Ⅰ.讲授新课我们为什么要学习有关数列的知识呢？那是因为在现实生活中，我们经常会遇到有关数列的问题，学习它，研究它，主要是想利用它来解决一些实际问题，让其为我们的生活更好地服务.也就是说，我们所学知识都来源于实践，最后还要应用于生活.下面，我们继续探讨有关数列的问题.首先，请同学们来看一幅钢管堆放示意图.模型一：自上而下：第一层钢管数为4；即：1↔4＝1＋3,第二层钢管数为5；即：2↔5＝2＋3第三层钢管数为6；即：3↔6＝3＋3,第四层钢管数为7；即：4↔7＝4＋3第五层钢管数为8；即：5↔8＝5＋3,第六层钢管数为9；即：6↔9＝6＋3第七层钢管数为10；即：7↔10＝7＋3若用a n表示自上而下每一层的钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数可构成一数列，即：4，5，6，7，8，，9，10，且a n＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.模型二：自上而下第一层钢管数为4；第二层钢管数为5＝4＋1；第三层钢管数为6＝5＋1；第四层钢管数为7＝6＋1；第五层钢管数为8＝7＋1；第六层钢管数为9＝8＋1；第七层钢管数为10＝9＋1.即：自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1. 若用a n 表示每一层的钢管数，则a 1＝4； a 2＝5＝4＋1＝a 1＋1；a 3＝6＝5＋1＝a 2＋1； a 4＝7＝6＋1＝a 3＋1；a 5＝8＝7＋1＝a 4＋1； a 6＝9＝8＋1＝a 5＋1；a 7＝10＝9＋1＝a 6＋1；即：a n ＝a n －1＋1(2≤n ≤7，n ∈N *)对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他各项.看来，这一关系也较为重要.这一关系，咱们把它称为递推关系，表示这一关系的式子，咱们把之称为递推公式1.定义递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前n 项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.说明：数列的递推公式揭示了数列的任一项a n 与它的前一项a n －1（或前n 项）的关系，也是给出数列的一种重要方法.下面，我们结合例子来体会一下数列的递推公式. 2.例题讲解例1 已知数列{a n }的第1项是1，以后的各项由公式a n ＝1＋1a n －1 给出，写出这个数列的前5项.解：据题意可知：a 1＝1，a 2＝1＋1a 1 ＝2，a 3＝1＋1a 2 ＝32 ，a 4＝1＋1a 3 ＝53 ，a 5＝85 .例2 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝3a n －1＋a n －2(n ≥3)，试写出数列的前4项.解：由已知得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3a 2＋a 1＝7，a 4＝3a 3＋a 2＝23 Ⅱ.课堂练习写出下面数列{a n }的前5项.1.a 1＝5，a n ＝a n －1＋3(n ≥2)解法一：a 1＝5；a 2＝a 1＋3＝8；a 3＝a 2＋3＝11；a 4＝a 3＋3＝14；a 5＝a 4＋3＝17.评析：由已知中的a 1与递推公式a n ＝a n －1＋3(n ≥2)，依次递推出该数列的前5项，这是递推公式的最基本的应用.是否可利用该数列的递推公式而求得其通项公式呢？请同学们再仔细观察此递推公式.解法二：由a n ＝a n －1＋3(n ≥2)，得a n －a n －1＝3则a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝3，……，a n －1－a n －2＝3，a n －a n －1＝3 将上述n －1个式子左右两边分别相加，便可得a n －a 1＝3(n －1)，即a n ＝3n ＋2(n ≥2) 又由a 1＝5满足上式，∴a n ＝3n ＋2(n ≥1)为此数列的通项公式.2.a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)解法一：由a 1＝2与a n ＝2a n －1(n ≥2)得：a 1＝2，a 2＝2a 1＝4，a 3＝2a 2＝8，a 4＝2a 3＝16，a 5＝2a 4＝32.解法二：由a n ＝2a n －1(n ≥2)，得a n a n －1＝2(n ≥2)，且a 1＝2 则：a 2a 1 ＝2，a 3a 2 ＝2，a 4a 3 ＝2，……a n －1a n －2 ＝2， a n a n －1＝2 若将上述n －1个式子左右两边分别相乘，便可得a n a 1＝2n －1 即：a n ＝2n (n ≥2)，又由a 1＝2满足上式∴a n ＝2n (n ≥1)为此数列的通项公式.∴a 2＝22＝4，a 3＝23＝8，a 4＝24＝16，a 5＝25＝32.3.a 1＝1，a n ＝a n －1＋1a n －1(n ≥2) 解：由a 1＝1，a n ＝a n －1＋1a n －1(n ≥2), 得a 1＝1，a 2＝a 1＋1a 1＝2, a 3＝a 2＋1a 2 ＝52 ,a 4＝a 3＋1a 3 ＝52 ＋25 ＝2910, a 5＝a 4＋1a 4 ＝2910 ＋1029 ＝941290Ⅲ.课时小结这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，课后注意理解.另外，还要注意它与通项公式的区别在于：1.通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系.2.对于通项公式，只要将公式中的n 依次取1，2，3…即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n 项)，才可依次求出其他的项.2.2 等差数列教学目标1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系.2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究.3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识.教学重、难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系.难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法.学法与教学用具学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导.教学用具：投影仪教学设想创设情景上节课我们学习了数列.在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决.今天我们就先学习一类特殊的数列.探索研究由学生观察分析并得出答案：（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,……2012年，在伦敦举行的奥运会上，女子举重项目共设置了7个级别.其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼.如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%.那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216，10 288，10 360. 思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，…… ①48，53，58，63 ②18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③10 072，10 144，10 216，10 288，10 360 ④看这些数列有什么共同特点呢？（由学生讨论、分析）引导学生观察相邻两项间的关系，得到：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于-2.5；对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于72；由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）.等差数列的概念对于以上几组数列我们称它们为等差数列.请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72.提问：如果在与中间插入一个数A ，使，A ，成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？由学生回答：因为a ，A ，b 组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A -a =b -A所以就有由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项.不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项.9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.看来，从而可得在一等差数列中，若m +n =p +q则等差数列的通项公式对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容.⑴我们是通过研究数列的第n 项与序号n 之间的关系去写出数列的通项公式的.下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式.由学生经过分析写出通项公式：① 这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20 a b a b 2b a A +=73645142,a a a a a a a a +=++=+q p n m a a a a +=+}{n a（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是② 这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是.③ 这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是.④ 这个数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是10216（=10072+72×2），第4项是10288（=10072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是.⑵那么，如果任意给了一个等差数列的首项和公差d ，它的通项公式是什么呢？引导学生根据等差数列的定义进行归纳：所以……思考：那么通项公式到底如何表达呢？……n a n 5=)1(548-+=n a n )1(5.218--=n a n )1(7210072-+=n a n 1a ,12d a a +=,23d a a +=,34d a a +=,12d a a +=,2)(123d a d d a d a a +=++=+=,3)2(134d a d d a d a a +=++=+=得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以为首项，d 为公差的等差数列的通项公式为：也就是说，只要我们知道了等差数列的首项和公差d ，那么这个等差数列的通项就可以表示出来了.选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：（迭加法）：是等差数列，所以……两边分别相加得所以（迭代法）：是等差数列，则有……所以例题分析例1：⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？分析：⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来.首项知道了，还需要知道的是该等1a }{n a d n a a n )1(1-+=1a n a }{n a ,1d a a n n =--,21d a a n n =---,32d a a n n =---,12d a a =-,)1(1d n a a n -=-d n a a n )1(1-+=}{n a d a a n n +=-1d d a n ++=-2d a n 22+=-d d a n 23++=-d a n 33+=-d n a )1(1-+=d n a a n )1(1-+=差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题.要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义. 解：⑴由=8，d =5-8=-3，n =20，得⑵由=-5，d =-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为由题意知，本题是要回答是否存在正整数n ,使得-401=-4n -1成立.解这个关于n 的方程，得n =100，即-401是这个数列的第100项.例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d 、n （独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项.例2：某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4千米）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km 时，每增加1km ，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费.令=11.2，表示4km 处的车费，公差d =1.2.那么当出租车行至14km 处时，n =11，此时需要支付车费答：需要支付车费23.2元.例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题.例3：已知数列的通项公式为其中p 、q 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？【解析】判定是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看（n ＞1）是不是一个与n 无关的常数.解：取数列中的任意相邻两项（n ＞1），1a 49)3()121(820-=-⨯-+=a 1a ,14)1(45--=---=n n a n n a 1a }{n a 1a )(2.232.1)111(2.1111元=⨯-+=a }{n a ,q pn a n +=}{n a 1--n n a a }{n a 1-n n a a 与。

人教版高中必修五数学教案

人教版高中必修五数学教案
课时：第一课时
教学内容：数学基础概念
教学目标：
1.了解数学的起源和发展历史。

2.理解数学基本概念和术语。

3.掌握数学基础知识。

教学重点、难点：
1.数学的起源和发展历史。

2.数学基本概念和术语的理解。

教学方法：讲授、示范演练、讨论
教具准备：教科书、黑板、彩色粉笔
教学过程：
一、导入：用一个问题引导学生思考数学的起源和意义。

二、讲解：介绍数学的起源和发展历史，引导学生了解数学的重要性。

三、讲解：介绍数学的基本概念和术语，引导学生掌握数学基础知识。

四、示范演练：通过例题演练，让学生掌握数学基础知识。

五、讨论：让学生讨论数学在日常生活中的应用，并分享自己的观点。

六、总结：对本节课的内容进行总结，并布置作业。

教学反思：本节课主要介绍了数学的基础概念和发展历史，通过讲解、示范演练和讨论，让学生深入理解数学的重要性和应用价值。

在未来的教学中，应该注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。

高中人教版数学必修五教案

高中人教版数学必修五教案教学目标：1. 理解数列和数列的定义；2. 掌握数列的通项公式和递推公式；3. 能够根据数列的性质进行问题求解；4. 掌握常数项数列、等差数列、等比数列的相关概念和性质。

教学重点：1. 数列的定义和概念理解；2. 数列的通项公式和递推公式的应用；3. 常数项数列、等差数列、等比数列的性质和求解方法。

教学难点：1. 能够灵活运用数列的公式解决具体问题；2. 掌握不同类型数列的特点和求解方法。

教学过程：第一课时：数列的定义和概念1. 引入数列的概念，让学生了解数列的定义；2. 通过具体案例，让学生理解数列的基本特点和规律；3. 练习一些简单的数列题目，让学生熟悉数列的表示方法。

第二课时：数列的通项公式和递推公式1. 讲解数列的通项公式和递推公式的概念；2. 通过实例演练，让学生掌握数列的通项公式和递推公式的求解方法；3. 练习一些相关题目，让学生熟练应用数列的公式。

第三课时：常数项数列、等差数列、等比数列1. 分别介绍常数项数列、等差数列、等比数列的概念和特点；2. 通过实例讲解，让学生掌握常数项数列、等差数列、等比数列的求解方法；3. 练习一些综合性题目，让学生灵活应用不同类型数列的求解方法。

课堂练习：1. 由前几项写出数列的通项公式：1, 4, 9, 16, ...2. 求解等差数列中第n项的公式，并计算第10项是多少：2, 5, 8, 11, ...3. 计算等比数列中的比值和首项，给出通项公式，并计算第5项是多少：3, 6, 12, 24, ... 教学反思：本节课主要围绕数列的基本概念展开，并以常数项数列、等差数列、等比数列为例，让学生了解不同数列的性质和求解方法。

在教学过程中，通过实例演练和课堂练习，让学生掌握数列的基本概念和相关公式的使用方法，提高他们的解题能力和应用能力。

同时，教师要引导学生积极思考，灵活运用数列的知识解决实际问题，提高他们的数学思维能力和创新能力。

高中数学必修5优秀教案3篇

高中数学必修5优秀教案3篇（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高中数学必修五教案全集(48份) 人教课标版(实用教案)

高中数学必修五教案全集（48份）人教课标版（实用教案）第一章解三角形本章规划《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学必修五的第一部分，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁．教学中应加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固．要重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导．.教学内容全章有三大节内容：第一大节：正弦定理和余弦定理，这一节通过初中已学过的三角中的边角关系，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”重点是正弦定理的概念和推导方法，体现了从特殊到一般的思想，并可以向学生提出用向量来证明正弦定理，这一点可以让学生探究．在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角形的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．第二大节：应用举例，在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较．对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法．学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够．针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题．第三大节：实习作业，适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力．教师要注意对学生实习作业的指导，包括对实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题．.作用与地位本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．学习数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱．为解决此问题，教学中要用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．.学习目标本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．.重点和难点通过对三角形中边角关系的探索，证明正弦定理、余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形．.课时安排正弦定理和余弦定理（课时）应用举例（课时）实习作业（课时）本章复习（课时）人生最大的幸福，莫过于连一分钟都无法休息零碎的时间实在可以成就大事业珍惜时间可以使生命变的更有价值时间象奔腾澎湃的急湍，它一去无返，毫不流连一个人越知道时间的价值，就越感到失时的痛苦得到时间，就是得到一切用经济学的眼光来看，时间就是一种财富时间一点一滴凋谢，犹如蜡烛漫漫燃尽我总是感觉到时间的巨轮在我背后奔驰，日益迫近夜晚给老人带来平静，给年轻人带来希望不浪费时间，每时每刻都做些有用的事，戒掉一切不必要的行为时间乃是万物中最宝贵的东西，但如果浪费了，那就是最大的浪费我的产业多么美，多么广，多么宽，时间是我的财产，我的田地是时间时间就是性命，无端的空耗别人的时间，知识是取之不尽，用之不竭的。