一次函数——分段函数
一次函数的应用—分段函数课件全文
2、由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着 时间的增加而减少.干旱持续时间t(天)与蓄水量V(万 米3 )的关系如图所示,回答下列问题：
V/万米
3 1200
A
1000
(1)干旱持续10天，蓄水量为 多少？连续干旱23天呢？
800
600
400
200
B
0 10 20 30 40 50 60 70 t/天
间之间的关系？
当t=0时,s=0,所以L1表示B到海岸的距离
与追赶时间之间的关系.
（2）A、B哪个速度快？B的速度快
s (海里) L1 L2
12
（3）15分内B能否追上A？不能
10
P
（4）如果一直追下去，那么B能否追上A？能 5
（5）当A逃到离海岸12海里的公海时，B 将无法对其进行检查。照此速度，B能否在
y与x的函数表达式也可以合起来表示为
0.6x （0≤x≤160）， y=
0.7x-16 （x＞160）.
（2） 该函数的图象如图4-16.
该函数图象由两个 一次函数的图象拼接在 一起.
图4-16
（3）当x = 150时， y = 0.6×150=90， 即3月份的 电费为90元.
当x = 200时，y = 0.7×200-16=124， 即4月份的电费为124元.
10 5
O 5 10 15 t
1
●
O1
●
2 3t
（3）当t=300时，
A方案： y = 25+0.36t=25+0.36×300=133（元）；
B方案： y = 0.5t=0.5×300=150（元）.
所以此时采用A方案比较合算.
一次函数应用——分段问题
某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2后血液中的含药量最高，达每升6，接着逐步衰减，10后血液中的含药量为每升3，每升血液中的含药量随时间的变化情况如图所示．当成人按规定剂量服药后：(1)分别求出≤2和≥2时，与之间的函数关系式；(2)如果每升血液中的含药量为4或4以上时，治疗疾病是有效的，那么这个有效时间是多长?【思路点拨】（1）根据题意由待定系数法求函数的解析式.（2）令≥4，分别求出的取值范围，便可得出这个药的有效时间． 【答案与解析】解：(1)由图知，≤2时是正比例函数，≥2时是一次函数．设≤2时，，把(2，6)代入，解得＝3， ∴ 当0≤≤2时，．设≥2时，，把(2，6)，(10，3)代入中，得，解得，即．当＝0时，有，． ∴ 当2≤≤18时，．(2)由于≥4时在治疗疾病是有效的，∴ ，解得． 即服药后得到为治病的有效时间， 这段时间为．【总结升华】分段函数中，自变量在不同的取值范围内函数的解析式也不相同，因此注意根据自变量或函数的取值确定某段函数来解决问题．h mg h mg y mg x h x x y x mg mg y x x x x y kx =y kx =k x 3y x =x y k x b '=+y k x b '=+26103k b k b '+=⎧⎨'+=⎩38274k b ⎧'=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩32784y x =-+y 327084x =-+18x =x 32784y x =-+y 34327484x x ≥⎧⎪⎨-+≥⎪⎩42233x ≤≤43h 223h 224186()333h -==24．（2013•荆州）如图，某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕．他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图甲所示，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图乙所示．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）分别求出第10天和第15天的销售金额；（3）若日销售量不低于24千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元？考点：一次函数的应用分析：（1）分两种情况进行讨论：①0≤x≤15；②15＜x≤20，针对每一种情况，都可以先设出函数的解析式，再将已知点的坐标代入，利用待定系数法求解；（2）日销售金额=日销售单价×日销售量．由于第10天和第15天在第10天和第20天之间，当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系式为p=mx+n，由点（10，10），（20，8）在p=mx+n的图象上，利用待定系数法求得p与x的函数解析式，继而求得10天与第15天的销售金额；（3）日销售量不低于24千克，即y≥24．先解不等式2x≥24，得x≥12，再解不等式﹣6x+120≥24，得x≤16，则求出“最佳销售期”共有5天；然后根据p=﹣x+12（10≤x≤20），利用一次函数的性质，即可求出在此期间销售时单价的最高值．解答：解：（1）分两种情况：①当0≤x≤15时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k1x，∵直线y=k1x过点（15，30），∴15k1=30，解得k1=2，∴y=2x（0≤x≤15）；②当15＜x≤20时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k2x+b，∵点（15，30），（20，0）在y=k2x+b的图象上，∴，解得：，∴y=﹣6x+120（15＜x≤20）；综上，可知y与x之间的函数关系式为：y=；（2）∵第10天和第15天在第10天和第20天之间，∴当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数解析式为p=mx+n，∵点（10，10），（20，8）在z=mx+n的图象上，∴，解得：，∴p=﹣x+12（10≤x≤20），当x=10时，p=10，y=2×10=20，销售金额为：10×20=200（元），当x=15时，p=﹣×15+12=9，y=30，销售金额为：9×30=270（元）．故第10天和第15天的销售金额分别为200元，270元；（3）若日销售量不低于24千克，则y≥24．当0≤x≤15时，y=2x，解不等式2x≥24，得x≥12；当15＜x≤20时，y=﹣6x+120，解不等式﹣6x+120≥24，得x≤16，∴12≤x≤16，∴“最佳销售期”共有：16﹣12+1=5（天）；∵p=﹣x+12（10≤x≤20），﹣＜0，∴p随x的增大而减小，∴当12≤x≤16时，x取12时，p有最大值，此时p=﹣×12+12=9.6（元/千克）．故此次销售过程中“最佳销售期”共有5天，在此期间销售单价最高为9.6元．点评：此题考查了一次函数的应用，有一定难度．解题的关键是理解题意，利用待定系数法求得函数解析式，注意数形结合思想与函数思想的应用．23.（本小题满分8分）某楼盘一楼是车库（暂不出售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）.商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元.已知商品房每套面积均为120平方米.开发商为购买者制定了两种购房方案：方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）.方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a元）⑴请写出每平方米售价y（元/米2）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式.⑵小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？⑶有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算.你认为老王的说法一定正确吗？请用具体数据阐明你的看法.23.（8分）解：（1）1o当2≤x≤8时，每平方米的售价应为：3000－（8－x）×20=20x＋2840 (元／平方米)2O当9≤x≤23时，每平方米的售价应为：3000+（x－8）·40=40x＋2680(元／平方米) ∴{8)x (22840,20x 23)x (92680,40x ≤≤+≤≤+=y , x 为正整数 ………………………２分（2）由（1）知：1o 当2≤x ≤8时，小张首付款为 （20x ＋2840）·120·30%=36（20x ＋2840）≤36（20·8＋2840）=108000元＜120000元∴2～8层可任选 …………………………１分 2o当9≤x ≤23时，小张首付款为（40x ＋2680）·120·30%=36（40x ＋2680）元36（40x ＋2680）≤120000，解得：x ≤3116349= ∵x 为正整数，∴9≤x ≤16 …………………………１分综上得：小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层。
12.2.5一次函数-分段函数
5
10
15 x(分)
我们把这种函数叫做分段函
八年级数学组
例2.“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2 千克以上的种子，超过2千克部分的种子的价格打8折. (1)填出下表：
购买种子数量/千克
付款金额/元
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
…
…
2.5 5
7.5 10 12 14 16
18
(2)写出购买种子数量与付款金额之间的函数解析式，并 画出函数的图像. 解：(1)填表； 分析：付款金额与种子价格相关，问题中的种子价格不是固定不变 (2)设购买种子数量为x千克，付款金额为y元.
——分段函数
八年级数学组
创设情境 提出问题
例1.小芳以200米/分的速度起跑后，先匀加速跑5分，每分提 高速度20米/分，又匀速跑10分。试写出这段时间里她的跑步 速度y（单位：米/分）随跑步时间x（单位：分）变化的函数 关系式，并画出函数图象。
分析：本题y随x变化的规律分成两段：前5分钟
与后10分钟．写y 随x变化函数关系式时要分成 两部分．画图象时也要分成两段来画，且要注意 各自变量的取值范围. 八年级数学组
点评（1）根据图像反映的信息解答有关问 3 题时，首先要弄清楚两坐标轴的实际意义，抓 住几个关键点来解决问题； O 2 5 x/时 （2）特别注意，第5问中由y=3对应的x值有两个； （3）根据函数图像反映的信息来解答有关问题，比较形象、直观，从中能 八年级数学组 进一步感受“数形结合思想”。
反思总结
③当该市一户某月的用水量为5m³或10m³时，求其应缴的水费；
④该市一户某月缴水费26.6元，求该户这个月用水量.
一次函数的应用(分段函数)
交通流量的分段函数模型
总结词
交通流量的分段函数模型能够根据交通流量的变化规 律，优化交通管理，提高道路通行效率。
详细描述
交通流量在不同时间段和不同路段的分布是不均匀的。 分段函数可以根据交通流量的变化规律，将流量数据划 分为几个不同的区间，每个区间用一次函数表示。这种 模型可以帮助交通管理部门更好地了解交通流量的分布 情况，预测未来的交通流量，从而制定合理的交通管理 措施，缓解交通拥堵，提高道路通行效率。同时，分段 函数模型还可以用于交通信号灯的控制、停车场的泊位 分配等方面，提高整个交通系统的运行效率。
分段函数与极限的结合
01
02
03
极限的定义
分段函数在某点的极限是 指当自变量趋近于该点时， 函数值的趋近值。
极限的性质
分段函数在某点的极限存 在，则该点的左右极限相 等且等于该点的函数值。
极限的计算
通过求分段函数在某点的 左右极限，可以确定该点 的极限值。
分段函数与导数的结合
导数的定义
分段函数在某点的导数表 示该点附近函数值的切线 斜率。
总结词
分段函数在计算机科学中常被用于实现一些特定的算法和数据结构。
详细描述
例如，在一些排序算法中，分段函数可以用来实现快速查找和定位数据元素的功能。此外，在一些数据压缩算法 中，分段函数也被用来实现高效的数据压缩和解压缩。同时，在一些人工智能算法中，分段函数也被用来实现分 类和预测等功能。
04 分段函数与其他数学知识 的结合
03 分段函数在生活中的应用
经济学中的分段函数应用
总结词
分段函数在经济学中有着广泛的应用，主要用于描述和分析各种经济现象和规 律。
详细描述
12.2一次函数(4)——分段函数
（2）你能确定该关系 所在直线的函数解析式 吗？
30 20 30 40 x(千克)
y=x-10
（3）当货物少于
10
千克，可免费托运。
Page 14
15--14
例2.某医药研究所研发了一种新药，在试验药效 时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后 每毫升血液中含药量yμ g随着时间xh的变化如图：
Page 26
1.分段函数，讨论的方法与一次函数类似. 2.较复杂的综合题的解法，先画出草图，然后根 据数形结合及待定系数求出相应的解析式.
一个模型： 一个方法： 一个数学思想 一个意识：
分段函数
数学模型方法
分类讨论
数学“源于生活、寓于生活、用于生活”
Page 27
“五一黄金周”的某一 天，小明全家上午8时自驾小汽车从家 里出发，到距离180千米的某著名旅游景点游玩。该小汽车离 家的距离s(千米)与时间t(时)的关系可以用图中的曲线表示。 根据图象提供的有关信息，解答下列问题：
Page 20
y
y=
{
8
(0≤x ≤ 3)，
y=1.8x+2.6 (3＜x≤6).
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2
-1 0 1 2 3 4 5
Page 21
上述函数，称为分段函数。
6
7
8
9 10 x
例题讲解
例2：某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开 发。该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采 用分段计费的方法来计算电费。月用电量x（度） 与相应电费y（元）之间的函数图象如图所示。 60
{
20x+200
(0≤x＜5)
300 (5≤x≤15)
12.2 一次函数(3)---分段函数
9
10
11
12
13
14
15
4.作出函数 y = |x|的图象 x ( x ≥0 ) 解:函数可变为: y = -x (x ＜ 0 )
{
分别作出 y = x (x≥0)及y = - x (x<0)的图象
即得 y = 的图象
{ -x
x
( x ≥0 ) (x ＜ 0 )
1.某市出租车的计价方式为：开始3km内收费6
3.如图中折线表示一骑车人离家的距离y与时间x之间的关系， 骑车人9：00离开家，15：00回家，请你根据这个折线图回答下 列问题： （1）这个人什么时间离家最远？这时他离家多远？ （2）何时他开始第一次休息？休息多长时间？这时他离家多远？ （3）11：00~12：30他骑了多少千米？ （4）他在9：00~10：30和10：30~12：30的平均速度各是多少？ （5）他返家时的平均速度是多少？ （6）14：00时他离家多远？何时他距家10千米？
900÷12=75(km/h)
当慢车行驶4h时，慢车和 快车相遇，两车行驶的路程 之和为900km，所以慢车和 快车行驶的速度之和为:
C B
O
4
12 x/h
900÷4=225(km/h) 所以快车的速度为225-75=150（km/h）
2.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往
甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(h)，两 车之间的距离为y(km)，图中的折线表示y与x之间的函 y/km 数关系． （4）求线段BC所表示的 y 900 A D 与 x之间的函数关系式， 并 写出自变量的取值范围； C 根据题意，快车行驶900km到达
解:跑步的速度 y (米/分)随跑步时间 x (分钟)变化的函数关系 式为: y=
分段函数导学案
课题：第12章一次函数12．2一次函数（5）——分段函数年级班姓名：学习目标：1、巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题．2、有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力．3、让学生认识数学在现实生活中的意义，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力．学习重点：建立函数模型．学习难点：灵活运用数学模型解决实际问题.一、学前准备1.某市出租车的计价方式是:开始3km内收费6元,以后每增加1km(不足1km,以1km计)加收1元.(1)写出乘车路程xkm与收费y元的关系式.(2)小明乘车5.6km,应付多少钱?(3)小飞乘车付了15元,他乘车走了多少路?2.某地长途汽车客运公司规定，旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）是行李重量x（公斤）的一次函数，其图象如图所示.求:(1)y与x之间的函数关系式(2)旅客最多可免费携带行李的公斤数。
行李票费用（元）行李重量（公斤）练一练:1.某校办工厂现年产值是30万元，如果每增加1000元投资，一年可增加2500元产值。
那么总产值y（万元）与增加的投资额x（万元）之间的函数关系式为。
电话所需付的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系式的图象。
当t ≥2时，该图象的解析式为；从图象中可知，通话2分钟需付电话费元；通话7分钟需付电话费元；二、探究活动(一)师生探究·解决问题例1：为了节约用水，某城市制定以下用水收费标准:每户每月用水不超过8m3时,每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费; 超过8m3时, 超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元的污水处理费.设一户每月用水量为xm3,应缴水费y元.(1)给出y关于x的函数关系式(2)画出上述函数函数图象(3)该市一户某月用水量为5 m3或10 m3时,求应缴水费(4)该市一户某月缴水费26.6元,求该户这月用水量(二)独立思考·巩固升华1. 小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用15分钟返回家里。
初中一次函数分段函数典例题
一次函数是初中数学的重要内容之一，而分段函数则是其中一种特殊的函数形式。
分段函数是指在一个定义域内，函数表达式在不同区间内不同的情况。
下面是一个初中一次函数分段函数的典例题：
题目：已知一次函数y = kx + b 的图像与x 轴交于点A（2，0），与y 轴交于点B（0，4），且当x ＞2时，y 的取值范围为1≤y≤9。
（1）求一次函数表达式；
（2）在x 轴上求点P，使△ABP 是等腰三角形，写出点P 的坐标；
（3）在坐标平面内，是否存在点C，使△ABC的面积为8？如果存在，求出点 C 的坐标；如果不存在，请说明理由。
解：（1）由题意可知，一次函数表达式为y = kx + b。
将点A（2，0）和点B（0，4）代入表达式中，可得：
0 = 2k + b
4 = b
解得：k = -2，b = 4
因此，一次函数表达式为y = -2x + 4。
（2）根据题目要求，要在x 轴上求出点P，使△ABP 是等腰三角形。
①若点P 在点 A 的右侧，则线段AP 为腰。
当△ABP 是等腰三角形时，点P 的坐标为（2 + ，0）。
②若点P 在点 B 的左侧，则线段BP 为腰。
当△ABP 是等腰三角形时，点P 的坐标为（0 -，4）。
③若点P 在点A、B 之间，则线段AB 为底。
当△ABP 是等腰三角形时，点P 的坐标为（2 -，0）或（2 + ，0）。
综上所述，满足条件的点P 的坐标为（2 + ，0）或（0 -，4）或（2 -，0）或（2 + ，0）。
（3）在坐标平面内存在点C，使△ABC的面积为8。
此时，C点的坐标为（6，-4）或（-2，8）。
一次函数---分段函数doc
八年级主备人：孙金莲集体备课时间： 5.8个人授课时间：序号：sx14课题：一次函数———分段函数学生姓名：学案序号：一目标导学，引入新课亲爱的同学，通过本节课的学习，相信你一定可以达成下列目标：（1）能利用一次函数的性质和图像解决简单的数学问题，发展学生的数学应用意识。
（2）根据题目条件确定分段函数关系式，解决实际问题．（3）能把实际问题抽象成数学问题，运用数学知识于实际问题中。
二自主学习，合作交流通过自主学习教材P94~95的内容，尝试完成下列思考，培养你的自主学习能力：１．“黄金1号”玉米种子的价格为5元/㎏，如果一次购买2㎏以上的种子，超过2㎏部分的种子价格打8折。
（1）填表：２．从A地向B 地打长途电话，通话时间不超过3min收费2元，超过3min后每分钟加收1元。
写出通话费用y（单位：元）关于通话时间x（单位：min）的函数关系式。
有10元时，打一次电话最多可以通话多长时间？（通话时间取整数，不足1min的通话时间按1min 计算）３．小组交流上面学习过程中的收获。
三．疑难点拔，因势利导下面学习材料，将由教师与你一起完成，并要求由此形成规范的过程书写和优化的思考方法。
甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，春节期间，两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元的价格部分打7折。
（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y 关于x 的函数关系式；（2）在同一坐标系中画出（1）中函数图像（3）春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱？四．练习检测，自我反思通过下面独立练习，你将可以自查本次课学习目标的达成水平，并由此作好后续学习调整。
１ 教材P95练习 2（直接写在教材空白处）２ 某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准。
居民每月应交水费y （元）是用水量x （吨）的函数，其图象如图所示：（1） 分别写出50≤<x 和5>x 时，y 与x 的函数解析式； （2） 若某用户居民该月用水3.5吨，问应交水费多少元？若该月交水费9元，则用水多少吨？五．拓展延伸，个性发展如果上面学习内容，你已经非常熟悉，请尝试完成下列计算：某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元／克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元／克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．⑴ 分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y （元）和重量x （克）之间的函数关系式；⑵ 李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？补充作业（《新观察》P95-96）六．学后反思，自我小结：。
一次函数(分段函数)PPT教学课件
b
3 .所以 30
y＝3x－30.
(2)当 0≤x<30 时，y＝60，
所以 4 月份上网 20 小时，应付上网费 60 元．
பைடு நூலகம்
(3)由 75＝3x－30，解得 x＝35，
所以 5 月份小李上网 35 小时．
2.“五一黄金周”的某一 天，小明全家上午8时自驾小汽车 从家里出发，到距离180千米的某著名旅游景点游玩。该小汽
小明全家当天17:00到家。
14
（3）本题答案不唯一，只要合理即可，但需注意合理性， 主要体现在： ①9:30前必须加一次油； ②若8:30前将油箱加满，则当天在油用完前的适当时 间必须第二次加油； ③全程可多次加油，但加油总量至少为25升。
15
试一试：近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电矛盾 越来越突出。为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的 用电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关 系如图所示。
9
（2）求y与x之间的函数关系式
B A
O(0,0) A(100,60) B(200,110)
当0 x 100时：
y3x 5
当x 100时：y 1 x 10
2
10
（2）求y与x之间的函数关系式
（3）月用电量为260度时， 应交电费多少元？
B A
当x 260时，
y 1 260 10 2
例题讲解
例3：某地区的电力资源丰富， 并且得到了较好的开发。 该地区一家供电公司为了 鼓励居民用电，采用分段 计费的方法来计算电费。 月用电量x（度）与相应 电费y（元）之间的函数 图象如图所示。
• （1）月用电量为100度时， 应交电费 60元；
一次函数分段函数(段)
分段函数1、二段型分段函数1、1正比例函数与一次函数构成得分段函数解答这类分段函数问题得关键,就就是分别确定好正比例函数得解析式与一次函数得解析式。
例1某家庭装修房屋,由甲、乙两个装修公司合作完成,选由甲装修公司单独装修3天,剩下得工作由甲、乙两个装修公司合作完成.工程进度满足如图1所示得函数关系,该家庭共支付工资8000元.(1)完成此房屋装修共需多少天？(2)若按完成工作量得多少支付工资,甲装修公司应得多少元？例2、一名考生步行前往考场, 10分钟走了总路程得,估计步行不能准时到达,于就是她改乘出租车赶往考场,她得行程与时间关系如图2所示(假定总路程为1),则她到达考场所花得时间比一直步行提前了( )A.20分钟Ｂ.22分钟Ｃ.24分钟 D.26分钟例3、某公司专销产品A,第一批产品A上市40天内全部售完.该公司对第一批产品A上市后得市场销售情况进行了跟踪调查,调查结果如图所示,其中图(3)中得折线表示得就是市场日销售量与上市时间得关系;图(4)中得折线表示得就是每件产品A得销售利润与上市时间得关系.(1)试写出第一批产品A得市场日销售量y与上市时间t得关系式;(2)第一批产品A上市后,哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润就是多少万元？1、2一次函数与一次函数构成得分段函数例4、为了鼓励小强做家务,小强每月得费用都就是根据上月她得家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取得.若设小强每月得家务劳动时间为x小时,该月可得(即下月她可获得)得总费用为y元,则y(元)与x(小时)之间得函数图像如图5所示.(1)根据图像,请您写出小强每月得基本生活费;父母就是如何奖励小强家务劳动得？(2)若小强5月份希望有250元费用,则小强4月份需做家务多少时间？1、3常数函数与一次函数构成得分段函数例5、有甲、乙两家通迅公司,甲公司每月通话得收费标准如图6所示;乙公司每月通话收费标准如表1所示.(1)观察图6,甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额就是元;甲公司用户通话100分钟以后,每分钟得通话费为元;(2)李女士买了一部手机,如果她得月通话时间不超过100分钟,她选择哪家通迅公司更合算？如果她得月通话时间超过100分钟,又将如何选择？2、三段型分段函数例6 如图7,矩形ABCD中,AB＝1,AD＝2,M就是CD得中点,点P在矩形得边上沿A→B →C→M运动,则△APM得面积y与点P经过得路程x之间得函数关系用图象表示大致就是下图中得( )3、四段型分段函数例7、星期天,小强骑自行车到郊外与同学一起游玩,从家出发2小时到达目得地,游玩3小时后按原路以原速返回,小强离家4小时40分钟后,妈妈驾车沿相同路线迎接小强,如图11,就是她们离家得路程y(千米)与时间x(时)得函数图像。
一次函数的扩展(分段函数
实际应用举例
经济学中的税收计算
税收往往根据收入的不同区间采用不同的税率，这可以通过分段函数来表示。例如，个人所得税的计算就可 以根据收入的不同水平，采用不同的税率进行计算。
物理学中的运动描述
在某些情况下，物体的运动规律在不同的时间段内遵循不同的规律，这可以用分段函数来描述。例如，自由 落体运动在初始阶段和后续阶段的速度和位移关系可以用不同的函数来表示。
分段函数的图像由各个区间上 的函数图像组成，整体上呈现 为多个相连的直线段。在分段 点处，函数图像可能发生转折 或连续但不可导。
分段函数具有多样性、灵活性 和复杂性。不同区间上的一次 函数可以有不同的斜率和截距 ，从而构成丰富多样的分段函 数。
对未来学习的建议
01
03
深入学习分段函数 02
加强数学基础
在某些情况下，分段函数的最值可能出现在分段点处，因此需要特别注意分段点的取值情况。
与其他知识点结合应用
分段函数可以与导数、积分等知识点 结合应用，解决一些复杂的数学问题 。
在一些实际问题中，分段函数可以与 概率、统计等知识点结合应用，建立 更加符合实际情况的数学模型。
06 总结与展望
知识点回顾总结
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
扣除数进行计算。
05 分段函数在数学领域的应 用
解方程和不等式问题
分段函数可以表示复杂的数学关系， 通过解方程或不等式，可以找到满足 特定条件的解集。
VS
在解决一些实际问题时，分段函数可 以描述不同区间内变量的关系，从而 建立数学模型进行求解。
求最值问题
分段函数的最值问题可以通过分析各段函数的单调性和极值点来解决。
一次函数的应用——分段函数
75 70 50 25
O 25 50 75 100 x(度）
⑴请你根据图象所描述的信息，分别求出当0≤x≤50 和x>50时，y与x的函数表达式；
解:当0≤x≤50 时，由图象可设 y=k1x，
∵其经过（50，25），代入得25=50k1，
∴k1=0.5，∴y=0.5x ;
100 y(元）
当x＞50时，由图象可设 y=k2x+b，75
70
∵其经过（50,25）、（100,7=0.9x-20.
25 O 25 50 75 100 x(度）
⑵根据你的分析：当每月用电量不超过50度时，收 费标准是多少？当每月用电量超过50度时，收费标 准是多少？
解：不超过50度部分按0.5元/度计算，超过部分按 0.9元/度计算.
函数解析式为：
20(0≤t≤2)
T= 5t+10(2<t≤4)
T=5t+10(2<t≤4)
20 T=20(0≤t≤2)
10
(2)函数图像为：
O 1 2 3 4 t/h
2.近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电量越来 越多.为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用 电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元） 的关系如图所示.
y=4（x-2）+10=4x+2.
10
∴y = 5x(0≤x≤2) 4x+2(x>2)
y=5x(0≤x≤2)
函数图象为:
O 123
x
思考：你能由上面的函数解析式或函数图象解 决以下问题吗？ （1）一次购买1.5 kg 种子，需付款多少元？ （2）30元最多能购买多少种子？
总结归纳
一次函数之分段函数
x≥20时函数经过点（20,1000）及点 （30,4000），将两点代入y=kx+b得
1000=20k+b 4000=30k+b
解得:
k=300 b=-5000
1000
0 10 20 30 x(t)
∴当x≥20时，y与x之间的函数关系式是y=300x-5000.
(3)由图知当y=7000时，在函数y=300x-5000上，所以将y=7000代 入y=300x-5000得x=40.
Page
6
解：（1）当x≥30时，设函数解析式为y=kx+b，∵函 数图像经过A(30，60),C(40，90)两点， ∴ 30k+b=60 40k+b=90
解得
k=3
b= -30
∴y=3x-30 (x≥30)
(2)由图像得当0≤x≤30时，y=60 所以4月份上网20小时，应付上网费60元 （3）由函数图像 将y=75代入y=3x-30 解得x=35 所以5月份小李上网35小时。
Page
10
分析思考：(1)影响总运费的变量有哪些？ 由A城分别运往C,D乡的肥料量共有几个量？ 这些量之间有什么关系？
Page 11
A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全 部运往C,D两乡．从A城往C,D两乡运肥料的费用分别为 每吨20元和25元；从B城往C、D乡运肥料的费用分别为 每吨15元和24元，现C乡需要肥料240吨,D乡需要肥料 260吨，怎样调运可使总运费最小？ （2）如果从A城运往C乡x吨肥料，则你能表示出其它 C D 的变量吗？ 总计
即 y=5x (0≤x≤2） y=4x+2（x＞2)
O
Page 3
y=5x 1 2 3
人教版初中数学八下 小专题(十八) 一次函数的应用——分段函数问题
（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？
2.随着信息技术的快速发展，“互联网＋”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在 线学习交流已不再是梦.现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式： 费/元
7 m
包时上 网时间/h
25 n
超时费/ （元·min－1）
0.01
0.01
小专题（十八） 一次函数的应 用——分段函数问题
1.为工作需要，一辆货车先从甲地出发运送物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送 专家到乙地.已知甲、乙两地间的路程是330 km，货车行驶时的速度是60 km/h.两 车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图. （1）求出a的值；
（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数解析式；（不要求写出自 变量的取值范围）
设每月上网学习时间为x h，A，B两种方式的收费金额分别为yA，yB.
（1）如图是yB与x之间函数关系的图象，请根据图象填空：m＝ 10 ，n＝ 50 ； （2）写出yA与x之间的函数关系式；
（3）选择哪种方式上网学习划算，为什么？
解：（3）当0≤x≤50时，yB＝10； 当x＞50时，yB＝10＋（x－50）×0.01×60＝0.6x－20. 令yA＝10，则有0.6x－8＝10， 解得x＝30. 画图易得当0≤x＜30时，选择A种方式上网学习划算； 当x＝30时，选择A，B两种方式上网学习费用相同； 当x＞30时，选择B种方式上网学习划算.
一次函数中的分段函数
一次函数中的分段函数
在函数自变量不同的取值范围内所对应的函数关系也不相同，我
们这样的函数称为分段函数。
学习一次函数中的分段函数，通常应注意以下几点：⑴要特别注意相应的自变量变化区间。
在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围。
⑵分段函数的图象是由几条线段（或射线）组成的折线。
其中每条线段（射线）代表某一个阶段的
情况。
⑶分析分段函数的图象要结合实际问题背景对图象的意义进行
认识和理解。
尤其要理解折线中横、纵坐标表示的实际意义。
一、分段计费问题
例 1.我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收
费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨元（b＞a）收费．设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图13所示．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§19.2.6 分段函数教学设计
教学任务分析
教学目标知识与能力
1.学会观察图像，从图像获取必要的信息
2. 学习分类讨论的分析方法,会根据题意求出分段函数的
解析式，并解决实际问题
过程与方法
1.培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的
能力；
2.经历将实际问题转化为数学问题的过程，获得建立函数
模型解决实际问题的经验和方法；
3.结合一次函数的图像和性质探究实际问题中的数量关
系，体会数形结合的思想.
情感态度
与价值观
1.让学生感受数学源于生活、服务于生活，体会数学的应
用价值；
2.通过合作探究，增强学生的应用意识和创新意识，激发
学生学习数学的兴趣，感受成功的喜悦.
重点 1.学习分类讨论的分析方法，建立数学模型;
2.综合运用一次函数解决实际问题.
难点如何将实际问题转化为数学问题，建立函数模型.
教学方法小组合作、探究式.
教学过程
问题与情景师生行为设计意图
[ 环节1 ] 创设情境，导入新课，读取图像，获取信息
引例：一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）农民自带的零钱是多少？
（2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？
（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆？
学生可能观察
到：
教师引导建立
一次函数模型.
展示具体解答
过程.
教师应当关
注：
(1)引导学生
观察收入金钱y和
千克x之间的函数
关系的理解；
(2)学生能否
通过数形结合法去
分析和解决问题.
唤起学
生的求知欲，
使学生认识
到数学是与
生活密不可
分的.
让学生
主动观察图
像，善于从函
数图象中获
取信息.
把知识
的发现权交
给学生,让他
们在解决问
题的过程中，
经历发现问
题→提出问
题→分析问
题→解决问
题的过程.
费105元时，则该用户该月用了 多少度电？
[ 环节3 ] 获取经验、总结提升
例3：某医药研究生开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规剂量服用，那么服用药后2h 时血液中含药量最高，达每毫升6ug ，接着逐步衰减，10h 时血液中含药量每毫升3ug ，每毫升血液中含药量y （ug ）随时间x （h ）的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后。
（1） 分别求出x ≤2和x>2时，y 与x 之间的函数关
系式；
（2） 如果每毫升血液含药量为4ug 或4ug 以上时在
治疗疾病
时是有效的，那么这个有效时间是多长？每天
至少吃几次药疗效最好？
教师巡视，了解学生对知识的掌握情况.
抽取学生讲解思考过程，剩余学生在学案上独立完成.
本次活动中，教师应重点关注： (1)学生能否写出分段函数的函数模型；
(2)学生能否灵活运用分类讨论的分析方法.
通过练习学生进一步理解一次函数在生活中的应用，巩固理解分类讨论的分析方法.
知识升华【中考链接】 【江苏省淮安市2015年中考数学试题】小丽的家和学校在一条笔直的马路旁，某天小丽沿着这条马路上学，先从家步行到公交站台甲，再乘车到公交站台乙下车，最后步行到学校（在整个过程中小丽步行的速度不变），图中折线ABCDE 表示小丽和学校之间的距离y （米）与她离家时间x （分钟）之间的函数关系． （1）求小丽步行的速度及学校与公交站台乙之间的距离； （2）当
教师应关注： (1)允许学生答案不同，应当多多鼓励；
(2)能力方面的收获.
紧跟中考题型，在课堂培养学生中考解题意识
63102o
y (ug )
x （
h
）
8≤x≤15时，求y与x之间的函数关系式．
[环节四]总结归纳
总结归纳，交流分享：
1.这节课，你学到了什么知识？
2.除了知识外，你还有什么收获？
学生回顾本节
知识，教师归纳总
结.
进行课
堂教学的反
馈，组织和指
导学生从知
识、思想方法
和情感角度
总结本节课
的收获与感
悟,培养学生
的归纳能力.
[环节五] 超越自我
1.布置作业：A组:
1、某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中所走的路程S（米）与时间t(分)之间的关系.
（1）学校离他家米，从出发到学校，王老师共用了分钟；
（2）王老师吃早餐用了多少分钟？
（3）王老师吃早餐以
前的速度快还是吃完
早餐以后的速度快？
吃完早餐后的平均速
度是多少？
2、（四川广元2015中考）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：
（１）月通话为100分钟时，应交话费元；
（２）当x≥100时，
求y与x之间的函
数关系式；
（3）月通话为280
分钟时，应交话费多少
元？
教师布置作
业，学生按要求课
外完成.
学生开阔思
维，展开合理的数
学构想.
教师应关注：
(1)对作业中的问
题要注意个体分
析；
(2)不同层次学生
在作业中反映出的
问题及时解决.
巩固所
学知识，解决
实际问题.
充分让
学生感受到
数学与生活
的密切联系，
从而激发学
生的学习兴
趣.
与《14.3
从函数观点
看方程（组）
与不等式》衔
接.。