必修五-不等式知识点汇总.doc

不等式总结
一、不等式的主要性质：
(1)对称性：a> b <=> b <a(2)传递性：a > h.h > c a> c
(3)加，去丫去贝U：a> b^> a + c> b + c ； a>b,c>dna + c>b + d
(4)乘法法则：a > b,c > 0 => ac > be ； a > b.c <0=> ac < be
a >
b > O.
c >
d > 0 => ac > bd
(5)倒数法则：a> b,ab>0^> — < —
a h
(6)乘方法则：a>b>O^>a rt > b\n e TV > 1)
(7)开方法贝ij：ci>b>0 = &> 巫(nwN* 旦n>l)
二、一元二次不等式or? +Zzx + c〉0和ax2 + bx + c < 0(口丈0)及其解法
注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式
顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间三、均值不等式
2、如果6/ >0,则不等式:
\x\> a
\x\>a <=> x >。

或r < -a \ x\< a<=> -a < x <a\ x\< a <=> - a< x< a
3.
当c〉0时, \ax + b\> c <=> ax-^b> c^cuc + b <-c ,
4、解含有绝对值不等式的主要方法:
(2)定义法：零点分段法; (3)平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平
=>定义域
o<g(x)>Q
f(x)>[g(x)]2fW > o
7cv)<[j?(x)]2
L均值不等式：如果a, b是正数，那么啰2而当且仅地"时取*).
2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等
3、平均不等式：平方平均，算术平均N儿何平均N调和平均(Q、。

为正数)，即
疽+b“a + b N血兰2 (当a = b时取等)
2 — 2 —"11
—i—
a b
四、含有绝对值的不等式
1・绝对值的几何意义:|x|是指数轴上点尤到原点的距离;氐-花|是指数轴上尤"两点间的
距离
\ax + h\<c o -c <ajc + h<c ；
|"X + /?|>C = XCR, |"X +》|<C=XE，・
%1解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次(二次) 不等式(组)进行求解;
%1去掉绝对•值的主要方法有:
(1) 公式法:\x\<a (a > 0) -a < x < a , \x\> a (a>0) <^> x> a E^x<-a .
方.
五、其他常见不等式形式总结：
%1分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
祭 >。

=肿心>0;祭
g(x) g(x)
%1无理不等式：转化为有理不等式求解
f{x)> 0
J/(x) > Jg(x)。

、g(x) > 0
J\x)>g(x)
fM> 0
log” f(x) > log” g ⑴(0 <。

v 1) o <
A. 3^9
B. 1 + 2扼
C. 6
D. 7
%1 指数不等式：转化为代数不等式
a /{x} > a s(x \a >!)<=> f(x) > g(x); a J(x} ><a<\)<=> /(x) < g(x)
> b(a > 0,b > 0) <=> f(x)-lga>
Igb
%1 对数不等式：转化为代数不等式
'/M > 0
log“ fM> log. gW(a > 1) o < g(x) >0
f(x)>g(x)
六、 三角不等式：
|a|-|b|V|a + b|〈|a| + |b|
七、 不等式证明的几种常用方法
比较法（做差法、做商法）、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。

八、 数轴穿跟法：奇穿，偶不穿
例题：不等式（尸一 3" 2）（厂4尸《°的解为（ ）
x + 3
A. —l<rW 1 或x^2
B. x<—3 或 1 WxW2
C. x=4 或一3<xW 1 或 x^2
D. x=4 或 x<—3 或 1 WxW2 九、 零点分段法 例题：求解不等式：|2x + l| + |x-2|>4. 十、练习试题
1. 下列各式中，最小值等于2的是（
）
A. - +
B. •厂 + 5 c. tanQ + —D. 2X
+ T x
y V X 2 3 4 5
+4 tan 。

2 若且满足x + 3y = 2,则3' + 27卜+ 1的最小值是（ ）
3 设尤>0,y>0,A= —, B = —I —-一，则A,B 的大小关系是(
)
\ + x+y 1 + 工 \ + y A. A = B B. A<B C. A<B D. A> B
4 函数 y = |x-4| + |x-6| 的最小值为( ) A. 2 B. V2 C. 4 D. 6
5 不等式3<|5-2x|<9的解集为(
)
6.若a>b>0,贝Uo + ------------ 的最小值是 ______________ o
b（a-b）
7.若。

〉Z?〉0,m〉0,〃〉0,贝Ijg, —, "*,生工按由小到大的顺序排列为__________________
b a a + m b + n
8.已知尤,〉>0，旦/ +）户=1,则尤+y的最大值等于o
9.设A = -^ +、一+品一+……+ 4,则A与1的大小关系是
210 2,0 + 1 210 + 2 2"-1
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10.函数/(X)=3X +Y(X>0)的最小值为。

x
11.求证：a2 +b2 >ab + a-\-b-1
A. [-2,1)U[4,7)
B. (—2,1]U(4,7]
C. (—2,1]U[4,7)。