谈谈证明直线恒过点的几种方法
怎样证明曲线(直线)恒过定点
4
-
2 1
=
(y 1 +
16 2) (y 2 +
2)
=-
1,
化简得 - y 1y 2 - 2 (y 1 + y 2) = 20. ②
联立 ①② 消去 y 1y 2 , 得
4x - 20 - (y 1 + y 2) (y + 2) = 0.
这是“l1 + Κl2 = 0”的直线系方程, 所以必
4x - 2 0 = 0 x = 5 ,
∴ 定点(3 , 1) 在圆 C 的内部.
故直线 l 必与圆 C 相交.
说明 本题也可以通过证明圆心到直线
的距离小于圆的半径, 完成问题的解答. (收稿日期: 2000208201)
明曲线必过定点, 这时可这样分析: 假设曲线
经过的定点是 P (x 0 , y0 ) , 这样 x 0、y 0 必满足方
程, 即对于任何 m 值, F (x 0 , y0 , m ) = 0 总成
立. 这时如果将 F (x 0 , y0 , m ) = 0 看作是关于
m 的方程, 那么这个方程就有无穷多个解. 我
2 直线或曲线恒过定点的证明举例
例 1 已知 (k + 1 ) x - (k - 1) y - 2k = 0
为直线 l 的方程, 求证: 不论 k 取何实数值, 直
线 l 必过定点, 并求出这个定点坐标. 证法 1 整理直线 l 的方程, 得
(x + y ) + k (x - y - 2) = 0 ,
y = - 1.
把 x = 1 , y = - 1 代入原方程, 得
k + 1 + k + 1 - 2 k = 0,
直线过定点问题
直线过定点问题解题技巧：证明动直线在一定的条件下过定点是解析几何中的一类重要题型，这类 问题解题一般有两种解法.法 1：设直线，求解参数，一般的解题步骤为:(1)设出直线的方程 y = kx + b 或 x = my + t ;(2)通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，找到k 和b 、m 和t 的关系，或者解 出b ,t 的值;(3)根据(2)中得出的结果，找出直线过的定点法 2：求两点，猜定点，证向量共线.一般的解题步骤为:(1)通过题于条件，求出直线上的两个点 A , B 的坐标(含参)；(2)取两个具体的参数值，求出对应的直线 AB ，并求出它们的交点 P ，该点即为直线过的定点；(3)证明 PA 与 PB 共线，得出直线 AB 过定点 P .注:上面的两个解法中，解法 2 的计算量通常要大一些，故一般首选解法 1.当解法 1 失效或处理起来较为复杂时再考虑解法 2.典型例题例 1、已知椭圆 C : 12222=+b y a x （a >b >0）的半焦距为c 离心率为21 ，左顶点 A 到直线x = ca 2的距离为6 ，点 P ,Q 是椭圆上的两个动点. （1）求椭圆C 的方程;（2）若直线 AP ⊥ AQ ，求证:直线 PQ 过定点 R ，并求出 R 点的坐标例 2、已知一动圆经过点 M (2,0)，且在 y 轴上截得的弦长为4 ，设该动圆圆心的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程;（2）过点 N (1,0) 任意作两条互相垂直的直线 l 1 ,l 2 ，分别交曲线C 于不同的两点A , B 和 D , E ，设线段 AB , DE 的中点分别为 P ,Q①求证:直线 PQ 过定点 R ，并求出定点 R 的坐标; ②求 ｜PQ ｜的最小值例 3、椭圆 C : 12222=+by a x （a >b >0）的上顶点为 B ，右焦点为 F ，点 B , F 都在直线3x + y - 3= 0 上.（1）求椭圆C 的标准方程;（2）M , N 为椭圆C 上的两点，且直线 BM , BN 的斜率之积为 41. 证明:直线MN 过定点，并求定点坐标.专题练习1、设椭圆E : 12222=+by a x （a >b >0）的右焦点到直线 x - y + 22 = 0的距离为3，且过点 (-1,-26） . （1）求 E 的方程;（2）设椭圆 E 的左顶点是 A ，直线l : x - my - t = 0 与椭圆 E 交于不同的两点M , N (均不与 A 重合)，且以MN 为直径的圆过点 A .试判断直线l 是否过定点，若是，求出定点坐标；若否，说明理由.2、抛物线C : y 2= 2 px ( p > 0) 上一点 M (1, y 0 )( y 0 > 0)满足｜MF ｜ = 2 ，其中 F 为抛物线的焦点. （1）求抛物线C 的方程 （2）设直线MA 和MB 分别与抛物线C 交于不同于M 点的 A , B 两点，若MA ⊥ MB ，证明:直线 AB 过定点，并求此定点的坐标 .3、已知直线的方程为 y = x + 2 ，点 P 是抛物线 y 2= 4x 上距离直线l 最近的点，点 A 是抛物线上异于点 P 的点，直线 AP 与直线l 交于点Q ，过点Q 与 x 轴平行的直线与抛物线交于点 B . （1）求P 点的坐标; （2）证明:直线 A B 恒过定点 ，并求这个定点坐标。
证明直线过定点问题的几种策略
（９，一 ４）。
一 ３一 。 的 交 点 。
将 Ｐ ’＿４ 代 原方程 ＝＝
竺同 学们学好：有这些 学不．知女！何 。． 一 知 识 点 ，下 面 剖 析 几 种 常 见 的 解 题 策 略 和 方 法 。
一 题 目 展 示 、
侧 ， 求 证 ：对 任 意 的 实 数 ，直 线 （ｍ 一 １）ｚ＋ （２ｍ 一 １）Ｙ— ｍ 一 ５必 过 定 点 。
侧 ２ 已 知 ２为 实 数 ，直 线 （２ｍ 一 １） 一 （ ＋ ３） 一 （ 一 １１）一 ０恒 过 定 点 吗 ？
（９，一 ４）。
故 直 线 （２ｍ 一 １） ＋ （ｍ ＋ ３） 一 ３ｍ ＋ ５
评 析 ：解 题 时 。也 可 取 研 一 和 一 １，通
过 解 方 程 组 求 得 定 点 的 坐 标 为 （９，一 ４）。 例 ２ 的 解 ：（方 程 法 ）由 （２ｍ 一 １） 一 （
一 ０恒 过 定 点 （２·一 ）。 作 者 单 位 ：山 东 平 邑 东 城 一 中 （责 任 编 辑 郭 正 华 ）
１）× ９＋ （２ｍ 一 １）× （一 ４）一 ｍ 一 ５恒 成 立 ，故
由方程组｛一 ＋ ３ｙ＋ ５一 Ｏ‘ 解 得 交 点 坐
……
Ｉ２３－＋． ｖ一 ３— ０， … … … …
直 线 （，”一 １） ＋ （２ｍ 一 １） 一 ，ｎ一 ５必 过 定 点 标 为 （２，一 １）。
①
令 一 ２，可 得 ＋ ３ 一 一 ３。
点与直线的位置关系与判定方法
点与直线的位置关系与判定方法在几何学中，我们经常需要研究点与直线的位置关系，判定一个点是否在直线上或者直线是否穿过某个点。
本文将介绍一些常见的方法来确定点与直线之间的位置关系。
1. 点在直线上的判定要判定一个点是否在直线上，我们可以利用点斜式或者两点式方程来进行求解。
1.1 点斜式方程一个直线的点斜式方程表达式为y = kx + b，其中k 是直线的斜率，b 是直线的截距。
对于给定的点 (x0, y0)，只需要将它的坐标代入方程中，如果方程成立，那么该点就在直线上。
1.2 两点式方程另一种判定方法是使用两点式方程。
如果我们已知直线上的两个点A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，那么直线的两点式方程为 (y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1)。
同样地，将给定的点的坐标代入方程中，如果方程成立，该点就在直线上。
2. 直线与直线的位置关系判定当我们需要判定两条直线的位置关系时，可以利用斜率和截距的性质来进行判断。
2.1 平行直线两条直线平行的条件是它们的斜率相等，但截距不相等。
因此，如果两条直线的斜率相等且截距不相等，那么这两条直线是平行的。
2.2 垂直直线两条直线垂直的条件是它们的斜率乘积为 -1。
也就是说，对于直线y1 = k1x1 + b1 和直线 y2 = k2x2 + b2，如果 k1 × k2 = -1，那么这两条直线垂直。
3. 直线与线段的位置关系判定当我们需要判定一条直线是否穿过一个线段时，可以利用线段的端点坐标与直线方程进行求解。
3.1 线段的端点在直线两侧给定直线的点斜式方程 y = kx + b，和线段的两个端点 A(x1, y1) 和B(x2, y2)，我们可以将 A 和 B 的坐标代入直线方程中，得到两个值 yA 和 yB。
如果 yA 和 yB 的符号不同，那么直线必定穿过线段 AB。
3.2 线段的端点在直线同侧如果 A 和 B 的坐标代入直线方程得到的 yA 和 yB 的符号相同，那么线段 AB 和直线没有交点。
谈谈证明直线恒过点的几种方法
谈谈证明直线恒过点的几种方法临川二中 周志如直线恒过点问题涉及解析几何的所有知识，综合性强，方法灵活，运算复杂，对能力要求高，在教学过程中总结了以下几种策略。
1、特殊引路和找定点对于有些直线恒过定点的问题，可以先考虑动直线l 的特殊情况，找出定点P 的位置，然后证明该点P 在直线l 上，反映从特殊到一般的数学方法。
例1：已知椭圆2212x y +=的右准线l ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，点C 在右准线l 上，且BC∥x 轴，求证AC 经过定点。
证明：如图1，设l ⊥x 轴，垂足为E ，易求得F （1，0），E （2，0） 当AB ⊥x 轴时，过A 作AD ⊥l ，垂足为D 点，则ABCD 为矩形 由椭圆的对称性可知，直线AC 与x 轴相交于EF 的中点N 3(,0)2以下证明N 即为直线AC 所经过的定点 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为(1),(0)y k x k =-≠1122(,),(,)A x y B x y ，则2(2,)C y 且12,x x 满足方程222(1)12x k x +-= 即2222(12)42(1)0k x k x k +-+-= ∴2122412k x x k +=+ 21222(1)12k x x k -⋅=+又2211222x y =-<得133022x -<< ∴1302x -≠ 故直线AN 、CN 的斜率分别为：111112(1)3232y k x k x x -==--2222(1)322y k k x ==--∴121121(1)(1)(23)223x x x k k kx -----=-1211212(1)(1)(23)3()24x x x x x x x ----=+--22221[24(1)4(12)]012k k k k=---+=+ ∴120k k -=综上所述，直线AC 经过定点N （3,02） 2、逆用直线系方程过直线11:(,)0l f x y =与直线22:(,)0l f x y =的交点的直线系方程为12(,)(,)f x y f x y λ+=0 （R λ∈），反之，若直线l 的方程可表示为12(,)(,)f x y f x y λ+=0（R λ∈），则必过由12(,)0(,)0f x y f x y =⎧⎨=⎩确定的定点。
圆锥曲线证明直线恒过定点
圆锥曲线证明直线恒过定点1.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ,右焦点F 的坐标为)0,2(,且点)2,2(在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程及离心率;(2)过点F 的直线交椭圆于B A ,两点(直线不与x 轴垂直),已知点A 与点P 关于x 轴对称,证明:直线PB 恒过定点,并求出此定点的坐标.解:(1)由题可得⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===+4821242222222b a c b a c b a 所以椭圆的方程为14822=+y x ,离心率22=e . (2)设),(),,(2211y x B y x P ,则),(11y x A -,可设直线PB 的方程为m kx y +=,联立直线PB 与椭圆C 的方程0824)12(14822222=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=m kmx x k y x m kx y 所以1282,1242221221+-=⋅+-=+k m x x k km x x 因为FB AF k k =,所以222211-=-x y x y ,即04))((22121=-+-+m x x k m x kx . 所以04124)(12822222=-+-⋅-++-⋅m k km k m k m k ,解得k m 4-= 所以直线PB 的方程为)4(4-=-=x k k kx y .即直线PB 过定点,定点为)0,4(2.椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ,四点)23,1(),23,1(),1,0(),1,1(4321P P P P -中恰有三点在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l 不经过2P 且与点椭圆C 相交于B A ,两点.若直线A P 2与直线B P 2的斜率之和为1-,证明:直线l 恒过定点.解:(1)由于43,P P 两点关于y 轴对称,故由题设可知,C 经过43,P P 两点. 又由222243111b a b a +>+知,C 不经过点1P ,所以点2P 在C 上,则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=143111222b a b 解得⎪⎩⎪⎨⎧==1422b a ,所以C 的方程为1422=+y x (2)设直线A P 2与直线B P 2的斜率分别为21,k k ,如果l 与x 轴垂直,设t x l =:,由题得,0≠t ,且2||<t ,则B A ,的坐标分别为)24,(),24,(22t t t t --- 则12242242221-=+----=+tt t t k k ,得2-=t ,不符合题意. 从而可设m kx y l +=:,并代入椭圆方程1422=+y x 得 0448)14(222=-+++m kmx x k由题可得,0)14(1622>+-=∆m k 设),(),,(2211y x B y x A ,则1444,1482221221+-=⋅+-=+k m x x k km x x 而22112211211111x m kx x m kx x y x y k k -++-+=-+-=+212121))(1(2x x x x m x kx +-+= 因为121-=+k k ,所以0))(1()12(2121=+-++x x m x x k 即0148)1(1444)12(222=+--++-+k km m k m k 解得21+-=m k 当且仅当1->m 时,0>∆,所以m x m y l ++-=21: 即)2(211:-+-=+x m y l 所以直线l 过定点)1,2(-。
怎样证明曲线(直线)恒过定点
不 论 k 取何实 数值, 直线 l 的方程为直线 系
“l1 + Κl2 = 0”的形式, 因此必过定点. 定点坐
标可由 x + y = 0
求得 x = 1,
x - y- 2= 0
y = - 1.
所以, 直线 l 经过的定点是M 0 (1 , - 1).
证法 2 由直线 l 的方程, 得
(k + 1) x = (k - 1) y + 2k
例 4 如图 1, 过定
点A (1, 2 ) 作 △A B C , 使
∠BA C = 90°, 且 动 点
B、C 在 抛 物 线 y 2 = 4x
上, 问: 直线 B C 是 否必
过某定点?证明你的结论.
图1
解 设B 、C 的坐标分别为
(
y
2 1
4
,
y1
)、(
y
2 2
4
,
y
2)
,
则 kBC =
证明 将圆方程化成
(x 2 + y 2 - 25) + a (- 4x - 2y + 20) = 0.
x 2 + y 2 - 25 = 0 由
- 4x - 2y + 20 = 0
] x 1 = 3, x 2 = 5,
y 1 = 4,
y 2 = 0.
所以圆过定点 (3, 4) 和 (5, 0 ).
过定点, 且由
]
y + 2= 0
y = - 2.
故B C 必过定点 P (5, - 2 ).
3 利用直线或曲线恒过定点解题
例 5 设直线 l:
(a + 1) x + (3a - 1) y - (6a + 2) = 0, 圆 C: (x - 2) 2 + (y - 2) 2 = 4. 证明: 直线 l
高中数学：直线恒过定点的问题
高中数学：直线恒过定点的问题
直线恒过定点问题的多种解法。
求证：直线恒过某一定点P，并求该定点的坐标。
解法一：特殊引路法
分析：因直线随m取不同的值而变化，但是由题意分析可知应该是围绕某一定点在旋转，而这一定点我们只需两条相交直线即可求得，但是需要我们将点代入原直线方程来证明该点永远在直线上，这样就使得解法更为完备。
证明：直线，取，
此时直线方程为。
①
取，此时方程为②
联立①②解得点P（3，1）。
将点P（3，1）代入直线方程。
故直线恒过定点P（3，1）。
解法二：换元法
分析：众所周知，直线方程中的点斜式可以表明直线过点P（，），因此我们可以将直线
的一般式通过换元法转化为直线方程的点斜式，从而证明该直线恒过定点，并且可直接求得该定点。
证明：，当时，。
令。
由此可得。
即原直线方程可化为。
由直线的点斜式方程可知该直线过点P（3，1）。
当即时，原直线可化为，此时点（3，1）仍然在直线上。
综上，直线恒过定点P（3，1）。
解法三：参数分离法
分析：对于直线方程来说，如果我们将其中的m看作参数，并将其分离得
0，此时我们令，，则这两条直线的交点P（，）一定满足直线方程
0，即P（，）在直线
上，这样就将直线恒过定点转化为两条直线的交点了。
证明：。
令，=0，解方程组得
令点P为（3，1），因点P（3，1）满足。
所以也满足。
进一步得点P（3，1）满足。
故直线恒过定点P（3，1）。
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谈谈证明直线恒过点的几种方法
谈谈证明直线恒过点的几种方法
证明直线恒过点是一个著名的数学问题，它主要涉及到由直线上的两点决定的唯一直
线和特定点问题。
根据初等几何的定义，直线恒过点的证明可以有以下几种方法：
1、根据直线上的两点式，直观地证明直线恒过点。
首先，可以根据直线上两个点的
坐标，通过计算得出直线的斜率和截距，使用解一元二次方程的方法把这直线方程带入，
如果满足条件则表明该两点定义的直线恒过点。
2、使用经典三角形命题来证明直线恒过点。
首先，使用经典三角形命题以两点为对
角线的菱形是等边三角形，把要证明的点加入菱形中，如果除去已知两点后仍然是等边三
角形，则表示该两点定义的直线恒过点。
3、使用直线恒过点的几何性质来证明。
直线恒过点的几何性质表明，从一点出发经
过另一点的直线所产生的三角形的各边长度为相等的直线，只有这样的直线才能恒过点。
4、使用角平分线方法来证明。
用角平分线的方法来证明直线恒过点，即将给定点分
割出的角均分成两个小角，则在所产生两点时，其连续的射线只有一条，该射线恒过点。
以上就是证明直线恒过点的几种方法。
无论采用何种方法，都要充分体会几何知识对
证明解决问题的重要性，努力将应用几何学知识融入学习过程中，并最终得出准确的结论。
恒过定点问题
1 恒过定点问题--------------山西省太谷县第二中学 张国丽1. 直线恒过定点问题：例如：直线1y ++=a ax 恒过哪个定点解法一：分离变量（恒过定点保证与变量无关）1)1(++=x a y ，当,01=+x 即,1-=x ,1=y 恒成立。
因此直线恒过的的定点为)1,1(-。
解法二：图像变换1)1(++=x a y 的图像是由ax y =向左平移一个单位，再向上平移一个单位得到的。
而ax y =恒过（0，0），经过变换后的直线1)1(++=x a y 图像恒过（-1,1）。
2. 指数函数恒过定点问题：例如：函数221+=+x y 恒过哪个定点 解法一：利用10=a ，解决问题令,01=+x 则1-=x ，3220=+=y 。
则图像恒过的定点为（-1,3）。
解法二：图像变换：221+=+x y 的图像是由x y 2=的图像向左平移一个单位，向上平移两个单位得到的。
而x y 2=的图像恒过点（0,1），经过变换后的函数221+=+x y 的图像恒过点（-1,3）。
3. 对数函数恒过定点问题例如：函数1)3(log y 2-+=x 恒过哪个定点解法一：利用01log =a ，解决问题 令2,13-==+x x ，111log 2-=-=y 。
则图像恒过的定点为（-2，-1）。
解法二：图像变换：1)3(log y 2-+=x 的图像是由x y 2log =的图像向左平移三个单位，向下平移一个单位得到的。
x y 2log =的图像恒过点（1，0），经过变换后的函数1)3(log y 2-+=x 的图像恒过（-2，-1）。
带参数的直线方程恒过定点现象在解题中的应用
带参数的直线方程恒过定点现象在解题中的应用张家口市第一中学（075000）田盟盟（tel：）关于直线方程的各种形式学生们都以非常熟悉，但是，当遇到带参数的直线方程时，由于没意识到此类直线方程的特征，所以解起题来方法很笨拙。
例1 k为何值时，直线1:32l y kx k=+-与直线2:440l x y+-=的交点在第一象限分析：两直线的交点可通过解方程组得到（用字母k表示），然后利用x>0,y>0进行求解.具体解法如下:由44032x yy kx k+-==+-得1212417241kxkkyk-=+-=+因为两直线的交点在第一象限所以1212417241kxkkyk-=>+-=>+解得217k<<即当217k<<时,两直线的交点在第一象限.此种解法学生容易想到,但是计算量比较大,而且涉及分式不等式的解法,所以容易出错.但如果意识到此直线1:32l y kx k=+-恒过定点(-3,-2),利用数形结合的思想解决此题将非常方便.如图:若满足直线1l 与直线2l 的交点在第一象限,只需1l 与线段AB 相交,只须满足 1PA l PB k k k <<其中PA k =27,1PB k = 所以k 的取值范围217k << 直线恒过定点现象在求解直线与圆的位置关系时也很巧妙。
例2已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=及直线:(21)(1)74l m x m y m +++=+证明：无论m 取何值时，直线l 与圆C 恒相交。
解析：若证明直线l 与圆C 恒相交只需证明圆心C （1，2）到直线:(21)(1)74l m x m y m +++=+的距离恒小于等于5。
5≤ 整理为2116144490m m ++≥因为21444116490=-⋅⋅<5≤成立。
若意识到直线:(21)(1)74l m x m y m +++=+恒过定点，可得到新的解法。
恒过定点的直线-高中数学知识点讲解
恒过定点的直线
1．恒过定点的直线
【概念】
如果一条直线经过某一定点，那么这条直线就是过该定点的直线．这里面可以看出，过一个定点的直线是不唯一的，事实上是由无数条直线组成．
【直线表达式】
假如有一定点A 的坐标为（m，n），那么过该定点的直线的表达式为y＝k（x﹣m）+n 或者是x＝m．
【例题解析】
例：方程kx+y﹣3＝0 所确定的直线必经过的定点坐标是
解：方程kx+y﹣3＝0 所确定的直线必经过的定点坐标满足{
푦
푥=
―
03=0
，解得{푥푦==03
，故定点坐标为（0，3），
故答案为（0，3）．
这是个典型的考查本知识点的例题，所用的方法其实就是待定系数法，也可以说就是套公式，正如前面所言，过A 点的坐标的直线可以写成y＝k（x﹣m）+n，这里的m＝0，n＝3，所以必过（0，3）点．
【考点解析】
从上面的例题可以看出，这是一个比较简单的考点，所以请大家都要掌握，知道为什么就过定点，过定点的直线怎么求．
1/ 1。
直线方程恒过定点问题怎么求
直线方程恒过定点问题怎么求问题描述在平面几何中，给定一个定点和一条直线，我们需要找到一个直线方程，使得这条直线在任意位置上都经过给定的定点。
这个问题被称为直线方程恒过定点问题。
本文将介绍如何求解这个问题。
解法一：点斜式直线方程首先我们需要知道点斜式直线方程的一般形式：y=kx+b。
其中k为斜率，b为直线在y轴上的截距。
假设我们需要找到一个直线，使得它始终经过点P(x0,y0)。
根据点斜式直线方程，我们需要求解符合该条件的k和b。
由于直线过点P(x0,y0)，代入直线方程可得：y0=kx0+b然后将这个方程稍作调整：$$ b = y_0 - kx_0 \\quad (1) $$将式(1)代入点斜式直线方程，我们就得到了直线方程的表达式：y=kx+(y0−kx0)这条直线方程恒过定点P(x0,y0)。
因此，我们可以得出结论：对于给定的点P(x0,y0)，直线方程恒过该点的一般形式为y=kx+(y0−kx0)。
解法二：一般式直线方程除了点斜式直线方程，我们还可以使用一般式直线方程来解决直线方程恒过定点问题。
一般式直线方程的一般形式为：Ax+By+C=0。
假设直线经过点P(x0,y0)，我们需要找到符合该条件的A、B和C。
设直线方程为Ax+By+C=0，将点P(x0,y0)代入方程可得：$$ Ax_0 + By_0 + C = 0 \\quad (2) $$假设直线方程的一般法向量为$\\mathbf{n} = (A, B)$，则直线方程可以写成：$$ \\mathbf{n} \\cdot \\mathbf{p} + C = 0 \\quad (3) $$其中，$\\mathbf{p} = (x, y)$。
将点P(x0,y0)代入方程(3)，可得：$$ \\mathbf{n} \\cdot \\mathbf{p_0} + C = 0 \\quad (4) $$由于直线过点P(x0,y0)，则向量$\\mathbf{n}$与向量$\\mathbf{p_0}$垂直。
恒过定点问题
恒过定点问题恒过定点问题引言恒过定点问题是一种常见的几何问题，它涉及到一条直线与一个或多个圆相交于一个固定的点。
在解决这类问题时，我们需要运用一些基本的几何知识和技巧，通过分析和推理找到准确的解答。
问题描述恒过定点问题的基本情形是给定一条直线L和一个圆C，求直线L 与圆C的交点中到圆心最近的点A。
当然，我们也可以将问题推广到多个圆的情况。
解法一：利用垂直关系一种常见的解决恒过定点问题的方法是利用垂直关系。
根据几何的基本原理，一条直线与圆相切时，切点处的切线垂直于半径。
因此，我们可以根据这个垂直关系来确定直线与圆的切点。
具体步骤如下： 1. 绘制圆C和直线L； 2. 在直线L上选择一个点B，作直线L的垂线BC； 3. 以点B为圆心，BC的长度为半径，在直线L上作一个圆D； 4. 圆D与圆C的交点A即为所求的点。
解法二：利用相似三角形另一种常用的解决恒过定点问题的方法是利用相似三角形的性质。
根据几何的基本原理，如果两个三角形对应的角相等，那么它们是相似的。
在恒过定点问题中，我们可以利用两个相似三角形之间的边比例关系来求解。
具体步骤如下： 1. 绘制圆C和直线L； 2. 在直线L上选择一个点B，作直线L的垂线BC； 3. 以点A为圆心，AC的长度为半径，在直线L上作一个圆D； 4. 连接圆C的圆心和圆D的圆心，记为OE；5. 连接点B和OE，并延长到直线L上的交点F；6. 连接点F和圆C的圆心O； 7. 直线FO与圆C的交点A即为所求的点。
总结恒过定点问题是一种需要应用几何知识和技巧的常见问题。
通过掌握垂直关系和相似三角形的性质，我们可以有效地求解这类问题。
在实际应用中，我们还可以借助计算机辅助绘图软件来验证解答的准确性。
希望通过本文的介绍，读者对恒过定点问题有更深入的理解。
应用场景恒过定点问题在几何学中有着广泛的应用场景。
以下是一些常见的应用场景：1.建筑设计：在建筑设计中，恒过定点问题可以用于确定建筑物的布局和结构。
直线方程的恒过定点问题解析
直线方程的恒过定点问题解析引言直线方程是数学中的重要概念，在几何学和代数学中都有广泛的应用。
直线方程的恒过定点问题是研究直线方程在平面上是否恒过一个给定的点。
本文将对直线方程的恒过定点问题进行解析，包括问题的定义、解决方法和实际应用。
问题定义直线方程的恒过定点问题可以通过以下方式定义：给定一个平面上的直线，判断该直线是否经过一个给定的点。
如果直线恒过该点，则称直线方程满足恒过定点条件。
该问题在几何学中有着重要的应用，例如判定一个点是否在一条直线上。
解决方法直线方程的恒过定点问题可以通过以下两种方法解决：代数法和几何法。
代数法代数法是通过代数表达式来解决直线方程的恒过定点问题。
通过将直线方程表达式与给定点的坐标代入，可以判断直线方程是否满足恒过定点条件。
以直线方程y=kx+b和定点P(x0,y0)为例，可以将点P的坐标代入直线方程，得到等式y0=kx0+b。
如果等式成立，则表示直线方程满足恒过点P的条件。
几何法几何法是通过几何性质来解决直线方程的恒过定点问题。
根据直线的斜率和截距的定义，可以判断直线是否经过给定的点。
以直线方程y=kx+b和定点P(x0,y0)为例，可以求出直线的斜率k。
如果点P的坐标满足等式y0=kx0+b，则表示直线经过点P。
实际应用直线方程的恒过定点问题在现实生活中有着广泛的应用。
以下是一些实际应用示例：建筑设计在建筑设计中，经常需要判定某些结构是否恒过一个定点。
例如，要确定一条梁是否恒过某个支撑点，可以将梁的方程与支撑点的坐标代入，从而判断是否满足恒过定点条件。
导航系统在导航系统中，通常需要确定一条路径是否恒过起点和终点。
通过将路径的方程与起点和终点的坐标代入，可以判断路径是否满足恒过定点条件，从而提供准确的导航指引。
地理测量在地理测量中，常常需要确定一条直线是否经过某个标记点。
通过将直线的方程与标记点的坐标代入，可以判断直线是否满足恒过定点条件，从而实现精确的地理测量。
结论直线方程的恒过定点问题是数学中的一个重要问题，在几何学和代数学中有广泛的应用。
直线方程恒过定点什么意思
直线方程恒过定点是什么意思？直线方程恒过定点是指在平面直角坐标系中，一条直线的方程具有某种特定的形式，使得这条直线上的所有点都恰好经过一个给定的固定点。
在数学中，直线的方程可以用不同的形式来表示，例如斜截式、截距式、一般式等。
其中一般式表示法为 Ax + By + C = 0，A、B、C 是实数常数，x 和 y 是直角坐标系中的变量。
在斜截式 y = mx + b 中，m 是直线的斜率，b 是直线与 y 轴的截距。
当一条直线的方程满足特定条件时，我们称这条直线方程恒过定点。
直线方程恒过定点的意义在于，它规定了一条直线在平面中的位置和方向，使得这条直线上的所有点都经过一个已知的点。
这种特定的直线方程可以用于描述一些几何问题，简化问题的求解过程。
举个例子来说明直线方程恒过定点的意思。
假设给定直线方程为 x + y - 5 = 0，其中点 P(2,3) 是这条直线上的一点。
我们可以通过将点 P 的坐标带入方程中来验证是否满足直线方程。
计算得到 2 + 3 - 5 = 0，等式成立，说明点 P 在直线上。
因此，直线方程 x + y - 5 = 0 恒过点 P(2,3)。
直线方程恒过定点可以应用于多个数学领域中，特别是几何学。
利用直线方程恒过定点可以发现一些几何性质、定理和解题方法。
此外，直线方程恒过定点还可以用于计算机图形学、物理学、工程学等学科中的相关问题。
总结一下，直线方程恒过定点是指一条直线的方程形式特定，以使得直线上的所有点都恒过一个已知的固定点。
这种特殊的直线方程具有重要的几何和应用意义，能够简化问题求解过程，以及应用于多个学科领域中。
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谈谈证明直线恒过点的几种方法
临川二中 周志如
直线恒过点问题涉及解析几何的所有知识，综合性强，方法灵活，运算复杂，对能力要求高，在教学过程中总结了以下几种策略。
1、特殊引路和找定点
对于有些直线恒过定点的问题，可以先考虑动直线l 的特殊情况，找出定点P 的位置，然后证明该点P 在直线l 上，反映从特殊到一般的数学方法。
例1：已知椭圆2
212
x y +=的右准线l ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，点C 在右准线l 上，且BC ∥x 轴，求证AC 经过定点。
证明：如图1，设l ⊥x 轴，垂足为E ，易求得F （1，0），E （2，0） 当AB ⊥x 轴时，过A 作AD ⊥l ，垂足为D 点，则ABCD 为矩形 由椭圆的对称性可知，直线AC 与x 轴相
交于EF 的中点N 3(,0)2
以下证明N 即为直线AC 所经过的定点 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为
(1),(0)y k x k =-≠
1122(,),(,)A x y B x y ，则2(2,)C y 且
12,x x 满足方程
2
22(1)12
x k x +-= 即2222(12)42(1)0k x k x k +-+-= ∴2122412k x x k +=+ 2122
2(1)
12k x x k
-⋅=+ 又22
11222x y =-<
得133
022
x -
<< ∴13
02
x -
≠ 故直线AN 、CN 的斜率分别为：
111112(1)3232
y k x k x x -=
=
--
2
222(1)322
y k k x ==--
∴121121(1)(1)(23)
223
x x x k k k
x -----=-
1211212(1)(1)(23)3()24
x x x x x x x ----=+-- 2222
1
[24(1)4(12)]012k k k k
=
---+=+ ∴120k k -=
综上所述，直线AC 经过定点N （3
,02
） 2、逆用直线系方程
过直线11:(,)0l f x y =与直线22:(,)0l f x y =的交点的直线系方程为
12(,)(,)f x y f x y λ+
=0 （R λ∈），反之，若直线l 的方程可表示为12(,)(,)f x y f x y λ+=0（R λ∈），则必过由12(,)0
(,)0
f x y f x y =⎧⎨
=⎩确定的定点。
例2：设点A 和B 为抛物线2
4,(0)y px p =>上原点以外的两个动点。
已知OA ⊥OB ，求证：直线AB 必过定点。
证明：设A （211,2pt pt ），B （2
22,2pt pt ）12(,0)t t ≠
∵OA ⊥OB （如图2） ∴12
2212
221OA OB pt pt k K pt pt ⋅=
⋅=- 即124t t =- 由于12t t ≠ ， 直
线
AB
的
方
程
为
：
221
1122
21
222()pt pt y pt x pt pt pt --=
-- 化简得：12122()20x t t y pt t -++= 即：12(28)()0x p t t y --+= ∴直线AB 过定点（4,0p ） 3、利用直线方程的定义
直线l 的方程为0Ax By C ++=，根据直线方程的定义，如果00(,)x y 是方程
0Ax By C ++=的一个解，那么点00(,)x y 在直线l 上，如果能根据已知条件求得一个等式
并化简为00()()0Af x b g y C +⋅+=（这里00(),()f x g y 为定值），那么（00(),()f x g y ）为方程0Ax By C ++=的一个解，从而点（00(),()f x g y ）是动直线l 上的点。
例3：设A （00,x y ）是抛物线2
2,(0)y px p =>上的定点，已知B 、C 是抛物线上的两切点，若直线AB 与AC 的斜率之积为定值C ，则直线BC 必过定点。
x
证明：设B 1122(,),(,)B x y C x y ，则2112y px = 2
222y px =
两式相减得：121212()()2()y y y y p x x -+=- 若BC 不与x 轴垂直，则12x x ≠，直线BC 的方程为
21211112122()()2y y y p
y y x x x x x y y p
--=-=--+
即：12122()0px y y y y y -++⋅= ① 则21020102010204()()
AB AC
y y y y p k k c x x x x y y y y --⋅=⋅==--++ ② 化简整理：00121222()()()0p
p x y y y y y c
---++= ③ 比较①③得：002(,)p
x y c
-
-是方程①的解 ∴直线BC 过定点002(,)p
x y c
-
- 当BC ⊥x 轴时，设1111(,),(,)B x y C x y -由②式得
22
1010102
1001010
()()()2()()()y y y y y y p
c x x x x x x x x ------⋅===---- 102p
x x c
=-
即直线BC 的方程为02p x x c
=-
此时，直线BC 也过定点002(,)p
x y c
-
- 综上所得：直线BC 过定点002(,)p
x y c
-
-。