2014年新课标2卷理科数学高考真题及答案

2014年新课标2卷理科数学高考真题及答案
掌门1对1教育 高考真题
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）
第Ⅰ卷
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合M=｛0,1,2｝，N=
{}
2|320x x x -+≤，则
M N
⋂=( )
A. ｛1｝
B. ｛2｝
C. ｛0，1｝
D. ｛1，2｝
2.设复数1
z ，2
z 在复平面内的对应点关于虚轴对
称，1
2z i
=+，则12
z z =（ ）
A. - 5
B. 5
C. - 4+ i
D. - 4 - i
3.设向量a,b 满足|a+b 10
|a-b 6，则a ⋅b =
( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
4.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，2 ，则AC=( ) A. 5 5
C. 2
D. 1
5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，
连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质
量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率
是（）
A. 0.8
B. 0.75
C. 0.6
D. 0.45
6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示
1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零
件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛
坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体
积的比值为（）
A. 17
27 B. 5
9
C. 10
27
D. 1
3
7.执行右图程序框图，如果输入的
x,t均为2，则输出的S= （）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
8.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)
处的切线方程为y=2x，则a=
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
9.设x,y满足约束条件
70
310
350
x y
x y
x y
+-
⎧
⎪
-+
⎨
⎪--
⎩
≤
≤
≥
，则2
z x y
=-的最大
值为（）
A. 10
B. 8
C. 3
D. 2 10.设F 为抛物线C:2
3y
x
=的焦点，过F 且倾斜角
为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）
A. 33
B. 93
C. 6332
D. 9
4
11.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）
A. 110
B. 25
C. 30
D.
2
12.设函数()3x
f x m
π=
.若存在()f x 的极值点0
x 满足
()2
22
00x f x m
+<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）
A. ()()
,66,-∞-⋃∞ B.
()()
,44,-∞-⋃∞ C.
()(),22,-∞-⋃∞ D.()(),14,-∞-⋃∞
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题
13.()10
x a +的展开式中，
7
x 的系数为15，则
a =________.(用数字填写答案)
14.函数
()()()
sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为
_________.
15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若
()10
f x ->，则x 的取值范围是__________.
16.设点M （0
x ,1），若在圆O:2
21
x
y +=上存在点N ，
使得∠OMN=45°，则0
x 的取值范围是________. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知数列{}n
a 满足1
a =1，1
31n n
a a +=+. （Ⅰ）证明{}
12n
a +是等比数列，并求{}n
a 的通项公式； （Ⅱ）证明：1
2
3
1112
n
a
a a
++<…+.
18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，3，求三棱锥E-ACD 的体积.
19. （本小题满分12分）
某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：
年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份
1 2 3 4 5 6 7
代号
t
人均
2.9
3.3 3.6
4.4 4.8
5.2 5.9
纯收
入y
（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i i t t y y b t t ∧
==--=
-∑∑，ˆˆa
y bt =-
20. （本小题满分12分）
设1
F ,2
F 分别是椭圆()2
2
22
10y x a b a
b
+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2
MF 与x 轴垂直，直线1
MF 与C 的另一个
交点为N.
（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1
5MN F N =，
求a,b .
21. （本小题满分12分） 已知函数()f x =2x
x e
e x
---
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值； （Ⅲ）已知1.41422 1.4143
<<，估计ln2的近似值（精
确到0.001）
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲
如图，P 是e O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与e O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交e O 于点E.证明： （Ⅰ）BE=EC ； （Ⅱ）AD ⋅DE=22
PB
23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ
=，
0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
.
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线=+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，l y x
:32
确定D的坐标.
24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲
设函数()
f x=1(0)
++->
x x a a
a
（Ⅰ）证明：()
f x≥2；
（Ⅱ）若()35
f<，求a的取值范围.
2014年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、 选择题
（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C
（7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）C 二、填空题
（13）12
（14）1 （15）()1,3- （16）[]1,1-
三、解答题 （17）解： （Ⅰ）由131
n n a
a +=+得 n 111
a
3().22
n a ++
=+
又1
1322
a +=，所以12n a
⎧
⎫+⎨⎬⎩
⎭是首项为32
，公比为3的等比数列。

1322
n
n a +=
，因此{}n a 的通项公式为
31
2
n n a -=。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知1231
n n
a =
-.
因为当1n ≥时，1
3
123n
n --≥⨯，所以1
11.3123
n
n -≤-⨯ 于是 1-11
2
111
11313
11-.33232
n n n
a a a
+++
≤+
++=<L L （）
所以 1
2
3
1111
3
2
n
a a a a
++++
<
L .
(18) 解：
（Ⅰ）连结BD 交AC 于点O ，连结EO. 因为ABCD 为矩形，所以Q 为BD 的终点. 又E 为ＰＤ的终点，所以EO//PB.
EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB//平面AEC. (Ⅱ)因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以ＡB ，ＡＤ，ＡＰ两两垂直。

如图，以A 为坐标原点，AB
u u u r 的方向为x 轴的正方向，AP u u u r
为单位长，建立空间直角坐标系A-xyz ，则
()
31310,3,0,(0,
,).(0,,).2222
D E AE =
设(,0,0)(0),B m m >则
(,3,0),(,3,0)
C m AC m =u u u r
设1
(,,)n x y z =为平面ACE 的法向量， 则
1
10,0.
n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r 即30,31
0.22
mx y y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 可取13
(
,1,3).n m
=- 又2(1,0,0)n =为平面DAE 的法向量。

由题设121
cos(,)2
n n =
，即 231342m =+，解得 3
.2
m =
因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E-ACD 的高为
1
2。

三棱锥E-ACD 的体积 11313
33222V =⨯⨯=
（19）解：
（Ⅰ）由所给数据计算得
127
4,7
2.9
3.3 3.6
4.4 4.8
5.2 5.9 4.3
7
t y +++=
=++++++==L
7
2
1
1()t t
t =-∑=9+4+1+0+1+4+9=28
7
111
()()
t t
t y y =--∑
=（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）
+（-1）×（-0.7）+0×0.1+1×0.5 +2×0.9+3×1.6 =14.
7
1
11
7
2
1
1
()()
14
0.528
()t t t
t y y b
t
t ==--==
=-∑∑$，
$ 4.30.54 2.3a
y bt =-=-⨯=$.
所求回归方程为
$
0.5 2.3y t =+. （Ⅱ） 由（I ）知，b=0.5﹥0，故2007年至2013
年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元。

将2015年的年份代号t=9带入（I ）中的回归方程，得
$
0.59 2.3 6.8y =⨯+= 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入
为6.8千元. （20） 解：（I ）根据22
c a b =-2
2(,),23b M c b ac
a
=
将
222
b a
c =-代入
223b ac
=，解得1,22c c
a a
==-（舍去）
故C 的离心率为12
.
（Ⅱ）由题意，原点O 为12
F F 的中点，2
MF ∥y 轴，
所以直线1
MF 与y 轴的交点(0,2)D 是线段1
MF 的中点，
故
2
4b a
=，即
2
4b a
= ①
由1
5MN F N =得1
12DF
F N
=。

设1
1
(,)N x y ，由题意知1
0y p ，则
112()22
c x c y --=⎧⎨
-=⎩，即
1
13,21
x c y ⎧=-⎪⎨
⎪=-⎩
代入C 的方程，得22
291
14c a b
+=。

将①及22
c a b =-229(4)1
1
44a a a a
-+=
解得27,428
a b a ===，
故7,27a b ==
（21）解：
（I ）'()f x =20
x
x e e -+-≥，等号仅当0x =时成立。

所以()f x 在(,)-∞+∞
（Ⅱ）
()
g x =
22(2)4()4()(84)x x x x f x bf x e e b e e b x
---=---+-
'()
g x =
2222()(42)x x x x
e e b e e b --⎡⎤+-++-⎣⎦
=
2(2)(22)
x x x x e e e e b --+-+-+
（i ）当2b ≤时，'()g x ≥0，等号仅当0x =时成立，所以()g x 在(,)-∞+∞单调递增。

而(0)g =0，所以对任意0,()0x g x f f ； （ii ）当
2
b f 时，若x 满足2x x e e -+p 22
b -p ，即
20ln(12)
x b b b -+-p p 时
'()
g x ＜0.而
(0)
g =0，因此当
20ln(12)
x b b b ≤-+-p 时，()g x ＜
0.
综上，b 的最大值为2.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3
(ln 2)222(21)ln 22
g b b =
-+-.
当b=2时，3
(ln 2)426ln 22
g =
-+＞0；ln 2＞
82312
-＞0.6928； 当
32
14
b =
+时，
2ln(12)ln 2
b b b -+-=，
(ln
2)
g =
3
22(322)ln 22
--++＜0，
ln 2＜18228
+＜0.6934
所以ln 2的近似值为0.693.
（22）解：
（I ） 连结AB,AC.由题设知
PA=PD,故∠PAD=∠PDA.
因为∠PDA=∠DAC+∠DCA ∠PAD=∠BAD+∠PAB ∠DCA=∠PAB,
所以∠DAC=∠BAD ，从而»»
BE EC =。

因此BE=EC.
（Ⅱ）由切割线定理得2
PA PB PC
=⋅。

因为PA=PD=DC ，所以DC=2PB,BD=PB 。

由相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅， 所以2
2AD DE PB ⋅=.
（23）解：
（I ）C 的普通方程为22(1)1(01)
x y y -+=≤≤.
可得C 的参数方程为
1cos ,sin ,
x t y t =+⎧⎨
=⎩（t 为参数，0t x ≤≤）
（Ⅱ）设D (1cos ,sin )t t +.由（I ）知C 是以G （1,0）为圆心，1为半径的上半圆。

因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同，
tan 3,3
t t π
==
.
故D 的直角坐标为(1cos
,sin )
33
π
π
+，即
33
(2。

（24）解：
（I ）由0a f ，有111
()()2f x x x a x x a a a a a
=++-≥+--=+≥. 所以()f x ≥2. （Ⅱ）
1
(3)33f a a
=+
+-
当时a ＞3时， 1(3)f a a
=+，由(3)f ＜5得3＜a 521+。

当0＜a ≤3时，(3)f =16a a
-+
，由(3)f ＜515+＜a ≤
3.
综上，a 15+521+）.。