第9讲数学期望与方差(1)

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因此, A 能“期望”得到的数目应 为
200 3 0 1 150(元), 44
而B 能“期望”得到的数目, 则为
200 1 0 3 50(元). 44
若设随机变量 X 为: 在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
则X 所取可能值为: 200
0
其概率分别为:
PX k λk e λ, k0,1,2,…
k!
几何分布
PX k (1 p)k1 p
k1,2,…
E(X)
p
np
1 p
4. 连续型随机变量数学期望的定义
定义3.2 设连续型随机变量X 的分布密度为
px, 若积分 xpxdx绝对收敛, 即 x pxdx ,
则称积分 xpxdx的值为随机变量X 的
注2º 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随 级数各项次序的改变而改变, 之所以这样要求 是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的 平均值, 它不因可能值的排列次序而改变.
3. 常见离散型随机变量的数学期望
例1 (二项分布) 设随机变量X~Bn, p, 求EX. 解 设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为
概率
0.3 0.1 0.6
乙射手
击中环数 8 9 10 概率 0.2 0.5 0.3
试问哪个射手技术较好?
解 运动员的水平是通过其平均水平来衡量的, 因而甲、乙两射手的平均水平分别为
甲: 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), 乙 : 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环), 故甲射手的技术比较好.
n
xω
xi
ωi
n
n
xivi , 其中 vi ωi
i1
ωj
i 1
j1
n
ωj ,
j1
则称 xω为该生的加权平均成绩. 显然算术平均成绩是加权平均成绩的一种
特例,
即
vi
1 n
,
可见加权平均才充分的体现了
平均值的意义.
2. 离散型随机变量的数学期望
通过上述3个引例, 我们可以给出如下定义 定义1 设离散型随机变量 X 的分布律为
PX xk pk ,k 1,2,.
若级数 xk pk 绝对收敛, 即 xk pk , 则称
k 1
k 1
级数 xk pk 的和为随机变量 X 的数学期望,
k 1
记为EX, 即 EX xk pk .
k 1
注1º EX是一个实数, 而非变量, 它是一种加 权平均, 与一般的平均值不同, 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值.
引例1 分赌本问题(产生背景)
A、B两人赌技相同, 各出赌金100元, 并约定
先胜三局者为胜, 取得全部 200元. 由于出现意外 情况, 在 A 胜 2 局、B 胜1局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?
分析 假设继续赌两局, 则结果有以下四种情况:
AA
AB
BA
BB
A胜B负 A胜B负 A胜B负 B胜A负
k0
k
k!
e
e-
λ
λk 1
k1k 1!
λ
λe λeλ λ.
因而泊松分布P的数学期望为 .
例3 (几何分布)设随机变量X 服从几何分布, 求E(X).
解 设随机变量X 的分布律为
PX k qk1 p,q 1 p;k 1,2,,0 p 1.
则有
EX k qk1 p p k qk1 p qk1
PX k Cnk pk 1 pnk ,
0 p 1, k 0,1,2,,n.
n
则有 EX k PX k
k0 n
k Cnk pk 1 pnk
k0
n kn!
k0k!n
k
!pk
1
pnk
n
k 1k
npn 1!
1!n 1 k
1!pk11
pn1k 1
n
np k 1k
B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负
把已赌过的三局(A 胜2局、B 胜1局)与上述结果 相结合, 即A、B赌完五局:
前三局: A胜2局B胜1局
后二局: A A A B B A B B
来自百度文库
A胜
B胜
故有, 在赌技相同的情况下, A、B最终获胜的
可能性大小之比为 3:1.
即A 应获得赌金的 3 , 而 B 只能获得赌金的 1 .
随机变量的数学期望
一、数学期望的概念
二、随机变量函数的数学期望
三、数学期望的性质 四、应用实例
回
停 下
一、数学期望的概念
1. 问题的提出 1654年, 一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒
约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一 赌徒胜a局 (a<c), 另一赌徒胜b局(b<c)时便终止 赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕 斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同 建立了概率论的第一个基本概念 — 数学期望
甲乙射射手手
击击中中环环数数 88 99 1100
概概率率
00..32 00..15 00..63
引例3 加权平均成绩
设某学生四年大学各门功课
成绩分别为
x1, x2 ,, xn ,
其学分分别为 ω1,ω2,,ωn , 则称
x
x1
x2
n
xn
n i1
xi
1 n
为该生各门课程的算术平均成绩.
而
k 1
k 1
k1
p
1
1
q2
p
1 p2
1. p
这是因为 kxk1
k 1
k 1
xk
x
1
1
1
x
1 .
常见离散型分布的数学期望小结
分布
分布律
01 分布
X~B(1, p)
二项分布
X~B(n, p)
泊松分布
X ~ Pλ
P{ X k} pk (1 p)1k k0,1
P{X k} Cnk pk (1 p)nk k0,1,2,…,n
n 1!
1!n 1
k
1! pk 1 1
pn1k 1
np p 1 pk1
np
同时可得两点分布B1, p的数学期望为 p.
例2 (泊松分布) 设随机变量 X P(), 求EX.
解 设X Pλ, 且其分布律为
PX k λk e-λ , k 0,1,2,, λ 0.
k!
则有
EX
k
3
1
4
4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值,
等于 200 3 0 1 150(元). 44
即为 X的可能值与其概率之积的累加.
引例2 选拔运动员
设某教练员有甲、乙两名射击运动员, 现 需要选拔其中的一名参加运动会, 根据过去的 记录显示, 二人的技术水平如下:
击中环数 8 9 10
甲射手