外接球与内切球专题(课资材料)
专题08 外接球与内切球(新高考地区专用)(解析版)复习资料
专题08 外接球与内切球一．外接球8大模型秒杀公式推导r α说明：为底面外接圆的半径，R 为球的半径，l 为两面公共边的长度 为两个面的二面角，h 是空间几何体的高，H 为某一面的高1.墙角模型(1) 使用范围：3组或3条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合 （2）推导过程：长方体的体对角线就是外接球的直径(2) 秒杀公式：222222a b c 3a R (a b c R (a 44++==、、为长方体的长宽高）正方体的边长）（4）图示过程(3) 秒杀公式：2.汉堡模型技巧导图技巧详讲（1）使用范围：有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体（2）推导过程第一步：取底面的外心O1,，过外心做高的的平行且长度相等，在该线上中点为球心的位置第二步：根据勾股定理可得2 22h R r4=+（3）秒杀公式：2 22h R r4=+（4）图示过程3.斗笠模型（1）使用范围：正棱锥或顶点的投影在底面的外心上（2）推导过程第一步：取底面的外心O1,，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h 第二步：在h上取一点作为球心O第三步：根据勾股定理22 222r h R(h R)r R2h+ =-+⇔=（3）秒杀公式：22r h R2h+ =（4）图示过程4.折叠模型（1）使用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠 （2）推导过程第一步：过两个平面取其外心H 1、H 2，分别过两个外心做这两个面的垂线且垂线相交于球心O第二步：计算2222222111OH H E tan=(CE-H E)tan (H r)tan (222ααα==-α为两个平面的二面角） 第三步：22222211OC OH CH (H r)tanr 2α=+=-+ （3）秒杀技巧：2222R (H r)tanr 2α=-+ （4）图示过程5.切瓜模型（1）使用范围：有两个平面互相垂直的棱锥 （2）推导过程：第一步：分别在两个互相垂直的平面上取外心F 、N ，过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心O ，取BC 的中点为M ，连接FM 、MN 、OF 、ON第二步：22222222212l ONMF OA AN ON AN MF R r r 4∴=+=+∴=+-为矩形由勾股可得（3）秒杀公式：2 22212lR r r4=+-（4）图示过程6.麻花模型（1）使用范围：对棱相等的三棱锥（2）推导过程：设3组对棱的长度分别为x、y、z,长方体的长宽高分别为a、b、c 2222222222222x a bx y zy b c R8z a c⎧=+⎪++⎪=+⇔=⎨⎪=+⎪⎩（3）秒杀公式：2222x y zR8++=（4）图示过程7.矩形模型（1）使用范围：棱锥有两个平面为直角三角形且斜边为同一边（2）推导过程：根据球的定义可知一个点到各个顶点的距离相等该点为球心可得，斜边为球的直径（3）秒杀公式：22l R 4=（4）图示过程8.鳄鱼模型（1）使用范围：适用所有的棱锥 （2）推导过程：121212222121221212221122211O O O O O O OO E r (1sin O O E O O =O E O E 2O E O E cos 2 OD O O O D 3OD O O O D∴α∆+-α=+=+第一步：在两个平面上分别找外心、两外心做这两面的垂线相交于球心第二步：四点共圆，正弦定理可得OE=2=）在中，（）（）第三步：由（1）（2）（3)整理可得 且 过 2221122212112222221211122221212 =OE O E O DO O O E O D sin O E O E 2O E O E cos O E O D sin O E O E 2O E O E cos =sin -+=-+α+-α=-+α+-α=2211O E O B-+α2122222O E =m O E =n AB =l,m n 2mncos l R =+sin 4α+-αα第四步：设，，两个面的二面角为由第三步可得（3）秒杀公式：22222m n 2mncos l R =+ sin 4+-αα （4）图示过程二．内切球的半径---等体积法 1. 推导过程P ABC PAB PAC PBC ABC PAB PAC PBC ABC 11111V S h RS RS RS RS 333331=R(S S S S )31=RS 33V R=S -∆∆∆∆∆∆∆∆==++++++∴底面表面积几何体表面积以三棱锥P-ABC 为例2. 秒杀公式：3V R=S 几何体表面积3. 图示过程特别说明：下面例题或练习都是常规方法解题，大家可以利用模型的秒杀公式技巧1 外接球之墙角模型【例1】（2020·河南高三月考）已知长方体''''ABCD A B C D-中，''3A B=，''1B C=，'A B与平面''ACC A所成角的正弦值为510，则该长方体的外接球的表面积为（）A．4πB．16πC．163πD．323π【答案】B【解析】作BE AC⊥，垂足为E，连接'A E，BE.因为平面ABC⊥平面''ACC A，平面ABC平面''ACC A AC=，BE⊂平面ABC，所以BE⊥平面''ACC A，所以'BA E∠是'A B与平面''ACC A所成的平面角.又223132(3)1BE⨯==+，22'(3)'3'A B AA AA=+=+.例题举证所以sin''10BEBA EA B∠===，解得'AA=.4=.设长方体的外接球的半径为R，则24R=，解得2R=.所以该长方体的外接球的表面积为2244216S Rπππ==⨯=.故选B.【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）棱长为2的正方体的外接球的表面积为（）A．4πB．43πC．12πD．【答案】C【解析】因为正方体的外接球的直径为正方体的体对角线的长，所以2R=解得R=2412S Rππ==.故选：C2．（2019·绥德中学）球面上有,,,A B C D四个点，若,,AB AC AD两两垂直，且4AB AC AD===，则该球的表面积为（）A．803πB．32πC．42πD．48π【答案】D【解析】由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为R，由题意可得：()22222444R=++,据此可得：212R=，外接球的表面积为：2441248S R πππ==⨯=.本题选择D 选项.技巧2 外接球之汉堡模型【例2】（2020·四川泸州市·高三）已知四棱锥A BCDE -中，四边形BCDE 是边长为2的正方形，3AB =且AB ⊥平面BCDE ，则该四棱锥外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．174πC ．17πD ．8π【答案】C【解析】由题意，四棱锥A BCDE -中，四边形BCDE 是边长为2的正方形， 3AB =且AB ⊥平面BCDE ，可把四棱锥A BCDE -放置在如图所示的一个长方体内， 其中长方体的长、宽、高分别为2,2,3，则四棱锥A BCDE -的外接球和长方体的外接球表示同一个球， 设四棱锥A BCDE -的外接球的半径为R ，2R =，解得R =，所以该四棱锥外接球的表面积为22=4=417S R πππ⨯=. 故选：C.【举一反三】1．（2020·广州市广外）各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）高为2，体积为8，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．12πC ．10πD ．8π【答案】B【解析】因为正四棱柱高为2，体积为8，所以它的底面边长是2，所以它的体对角线的长是因此它的外接球的直径是所以这个球的表面积是：2412S ππ==.故选：B ．2．（2020·辽宁省高三）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，BD ⊥平面ADC ，BD ＝1，AB ＝2，BC ＝3，AC ，则三棱锥A ﹣BCD 外接球的体积为（ ）A ．4πB ．3πC ．D ．【答案】D【解析】因为BD ⊥平面ADC ，所以BD AD ⊥，BD DC ⊥，所以222413AD AB BD =-=-=，222918DC BC BD =-=-=， 所以222AC AD DC =+，所以AD DC ⊥，所以以DA 、DB 、DC 为棱的长方体与三棱锥A ﹣BCD 具有相同的外接球，==则该外接球的体积为343π⨯=故选：D.3．（2020·广东广州市·高三月考）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB CC ==1BC =，点M 在正方形11CDD C 内，1C M ⊥平面1ACM ，则三棱锥11M ACC -的外接球表面积为（ ） A ．11π2B ．7πC ．11πD ．14π【答案】C【解析】长方体1AC 中，11A D ⊥平面11CDD C ，1C M ⊂平面11CDD C ，∴111C M A D ⊥，又1C M ⊥平面1ACM ，1AC ⊂平面1ACM ，∴11C M AC ⊥， ∵1111AC A D A =，∴1C M ⊥平面11A CD ，而1CD ⊂平面11A CD ，∴11C M CD ⊥，11CDD C 是正方形，∴M 是1CD 与1C D 交点，即为1CD 的中点，也是1C D 的中点．1C MC △是直角三角形，设E 是1CC 中点，F 是1BB 中点，则由//EF BC 可得EF ⊥平面1MCC （长方体中棱与相交面垂直），E 是1C MC △的外心，三棱锥11A MCC -的外接球球心O 在直线EF 上（线段EF 或EF 的延长线上）．设OE h =，则22222(1)22h h ⎛⎫⎛+=++- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得32h =，∴外接球半径为2r ==， 表面积为21144114S r πππ==⨯=． 故选：C ．4．（2020·全国高三月考（文））三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC AB ⊥，1AC =，AB =12AA =，则该三棱柱111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．8π【答案】B【解析】如图，取BC 中点1O ，连1BC 交1B C 于点O ，AC AB ⊥，1O ∴为Rt ABC 的外接圆圆心，3AB =，1AC =，2BC ∴=，ABC ∴外接圆半径为12BC=, 111////OO CC AA ，1AA ⊥平面ABC ，1OO ∴⊥平面ABC ，又1112BB OO ==，∴点O 为三棱柱111ABC A B C -的外接球球心，∴外接球半径R OB ===，∴外接球体积3433V R π==.故选：B.技巧3 外接球之斗笠模型【例3】（2020·江苏南通市·高三期中）正三棱锥S ABC -中，2SA =，AB =的表面积为（ ）A ．B ．4πC ．12πD ．6π【答案】C【解析】正三棱锥S ABC -中，2SA =，AB =所以222SA SB AB +=, 故SA SB ⊥,同理可得SA SC ⊥, SB SC ⊥, 以,,SA SB SC 为棱构造正方体， 则该棱锥外接球即为该正方体的外接球， 如图，所以2222(2)22212R =++=，故球的表面积为2412S R ππ==,故选：C 【举一反三】1．（2020·秦皇岛市抚宁区第一中学）已知正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________. 【答案】64π【解析】过点S 作SE ⊥平面ABC 于点E ，记球心为O .∵在正三棱锥S ABC -中，底面边长为6，侧棱长为∴263BE ==∴6SE ==.∵球心O 到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径长R ， ∴OB R =，6OE R =-.在Rt BOE 中，222OB BE OE =+， 即()22126R R =+-，解得4R =， ∴外接球的表面积为2464S R ππ==. 故答案为：64π.2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π【答案】A【解析】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上， 记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ，在Rt △1AOO 中，1AO =由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A.技巧4 外接球之折叠模型【例4】（2020·广东省高三）在三棱锥A ﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形，且二面角A BD C --的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．7πB ．8πC ．163πD ．283π【答案】D【解析】如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH 因为△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形所以AH ⊥BD ，CH ⊥BD ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120°设△ABD 与△CBD 外接圆圆心分别为E ，F则由AH ＝22⨯=AE 23=AH =EH 13=AH = 分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点 记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60°所以OE ＝1，则R ＝OA ==则三棱锥外接球的表面积221284493R πππ=⨯= 故选：D【举一反三】1．（2020·山东枣庄市·高三期中）已知二面角PAB C 的大小为120°，且90PAB ABC ∠=∠=︒，AB AP =，6AB BC +=.若点P 、A 、B 、C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.【答案】2887π【解析】设()06AB x x =<<，则6BC x =-，设PAB △和ABC 的外心分别为E 、H ，则,E H 分别为,PB AC 的中点，过点,E H 分别作PAB △和ABC 所在平面的垂线，两垂线的交点为点O ，则O 为三棱锥P ABC -的外心，连接OB ，则OB 为三棱锥外接球的半径．取AB 的中点G ，连接EG 、GH 、OG ，如图所示，由题意可知，2x EG =，32x GH =-，2xGB =，且EG AB ⊥，GH AB ⊥， EGH ∴∠为二面角PAB C 的平面角，即120EGH ∠=，连接EH ，OE ⊥平面PAB ，OH ⊥平面ABC ， OE EG ∴⊥，OH GH ⊥，,,,O E G H ∴四点共圆，且该圆的直径为OG ．在EGH 中，由余弦定理知，222222132cos 32392222242x x x x x EH EG GH EG GH EGH x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⋅∠=+--⋅⋅-⋅-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭EGH ∴的外接圆直径2sin1203EH OG ==2222224371272934221277x x OB OG GB x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=⋅-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当127x =时，2OB 取得最小值，为727， 此时该球的表面积取得最小值，为2722884477OB πππ⋅=⋅=． 故答案为：2887π． 2．（2020·南昌市八一中学）如图所示，三棱锥S 一ABC 中，△ABC 与△SBC 都是边长为1的正三角形，二面角A ﹣BC ﹣S 的大小为23π，若S ，A ，B ，C 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．73π B ．133π C ．43π D ．3π【答案】A【解析】取线段BC 的中点D ，连结AD ，SD ， 由题意得AD ⊥BC ，SD ⊥BC ，∴∠ADS 是二面角A ﹣BC ﹣S 的平面角，∴∠ADS 23π=， 由题意得BC ⊥平面ADS ， 分别取AD ，SD 的三等分点E ，F ，在平面ADS 内，过点E ，F 分别作直线垂直于AD ，SD ， 两条直线的交点即球心O ， 连结OA ，则球O 半径R ＝|OA |，由题意知BD 12=，AD =DE 13AD ==AE 23AD ==连结OD ，在Rt △ODE 中，3ODE π∠=，OE =12=， ∴OA 2＝OE 2+AE 2712=， ∴球O 的表面积为S ＝4πR 273π=．故选：A ．技巧5 外接球之切瓜模型【例5】（2020·内蒙古赤峰市·高三月考）已知三棱锥P ABC -中，1PA =，3PB =，AB =CA CB ==PAB ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．143πB ．283πC ．11πD ．12π【答案】B 【解析】如图，1PA =，3PB =，AB =∴222PA AB PB +=，2PAB π∠=，所以ABP △的外接圆的圆心为斜边PB 的中点N,CA CB ==∴ABC 为等腰三角形.取AB 的中点D ，连接CD ，DN ，∴CD AB ⊥，AD BD ==∴CD ==又 面PAB ⊥面ABC ，面PAB ⋂面ABC AB =，CD ⊂面ABC ，∴CD ⊥面PAB ，过点N 作CD 的平行线，则球心O 一定在该直线上.设ABC 的外接圆的圆心为1O ，,则1O 点在CD 上，连接1OO , 由球的性质则，1OO ⊥平面ABC ，则1O OND 为矩形. 在ABC中，cos 5CAB ∠==,则sin 5CAB ∠= 所以ABC的外接圆的半径12sin 3BC O A CAB ===∠所以16O A =，则1O D ===则1ON O D ==所以球的半径为OP ===所以三棱锥的外接球的表面积为2212844393πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭故选：B【举一反三】1．（2020·四川泸州市·高三一模）已知三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，且ABD △和BCD △都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ） A ．4π B ．163πC ．8πD ．203π【答案】D 【解析】如图，由已知可得，ABD △与BCD △均为等边三角形， 取BD 中点G ，连接AG ，CG ，则AG BD ⊥， ∵平面ABD ⊥平面BCD ，则AG ⊥平面BCD ，分别取ABD △与BCD △的外心,E F ，过,E F 分别作两面的垂线，相交于O ， 则O 为三棱锥A BCD -的外接球的球心， 由ABD △与BCD △均为边长为2的等边三角形，可得11233OE OF CG ===⨯=，223CE ∴==，R OC ∴====，∴三棱锥A −BCD 的外接球的表面积为2220443R πππ⨯=⨯=.故选：D.技巧6 外接球之麻花模型【例6】（2020·四川省眉山市彭山区第二中学）在四面体ABCD 中，若AB CD ==2==AC BD ，AD BC ==ABCD 的外接球的表面积为（ ）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π【答案】C【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD 的四个面为全等的三角形，2x ，y ，z 长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x ，y ，z 的长方体，并且x 2+y 2＝3，x 2+z 2＝5，y 2+z 2＝4，则有（2R ）2＝x 2+y 2+z 2＝6（R 为球的半径），得2R 2＝3， 所以球的表面积为S ＝4πR 2＝6π． 故答案为6π．技巧7 外接球之矩形模型【例7】（2020·新疆维吾尔自治区）在四面体ABCD 中，AB =，1DA DB CA CB ====，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( ) A ．π B ．2πC ．3πD ．4π【答案】B【解析】由AB =1DA DB CA CB ====，所以222CA CB AB +=，222AD BD AB +=可得90ACB ADB ∠=∠=，所以OA OB OC OD ====，即O 为外接球的球心，球的半径2R =所以四面体ABCD 的外接球的表面积为： 214422S R πππ==⨯=.故选：B 【举一反三】1．（2020·黑龙江省哈尔滨三中）四面体SABC 中，AC BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，SA =AC =，BC =，则该四面体外接球的表面积为（ ）A ．323πB ．163πC ．16πD ．32π【答案】C【解析】如图所示：由已知可得SAB 与SBC 为直角三角形，所以该几何体的外接球球心为SB 的中点O ，因为AC BC ==,且AC BC ⊥,所以10AB ,所以4SB ===,所以四面体SABC 的外接球半径2R =,则表面积2416S R ππ==.故答案选：C2．（2020·重庆一中高三）已知四面体ABCD 满足：1AB BC CD DA AC =====，BD =，则四面体ABCD 外接球的表面积为_______. 【答案】2π【解析】因为1AB BC CD DA ====，BD =，所以222BD AB AD =+，222BD BC CD =+，所以△,ABD △,CBD 均为直角三角形，取斜边BD 的中点O ，连接CO 、AO ，如图：易得CO AO BO DO ===，所以点O 为该四面体外接球的球心，所以球的半径122r OD BD ===22424S r πππ=⨯⎝⎭==. 故答案为：2π.技巧8 内切球半径【例8】（2020·全国）正四面体的外接球与内切球的表面积比为（ ） A ．9: 1 B ．27: 1 C ．3: 1D ．不确定【答案】A【解析】如图，正四面体ABCD 的中心O 即为外接球与内切球的球心，设正四面体的棱长为a ，可得33BE a =，63AE a =，又14OE AE =，64R OA a ∴==，612r a=，∴22342S R a ππ==外，22146S r a ππ==内．所以22392116a S S a ππ==外内故选：A【举一反三】1．（2020·北京）如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为a ，那么球的体积为（ ）A ．343a π B ．3aC ．32a D ．316a π【答案】D【解析】因为球内切于正方体，所以球的半径等于正方体棱长的12， 所以球的半径为2a ，所以球的体积为334326a a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选：D.2．（2020·山西大同一中）已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（ ）A ．25︰1B ．1︰25C ．1︰5D ．5︰1【答案】D【解析】设点O 是三棱柱外接球和内切球的球心，点M 是底面等边三角形的中心，点N 是底边AB 的中点，连结OM ，MN ，AM ，OA ，设底面三角形的边长为a ，则MN =，MA =， 因为三棱锥内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形内切圆的直径也是三棱柱内切球的直径，所以OM MN ==，即三棱柱内切球的半径r =，AM =，所以OA ==，即三棱柱外接球的半径3R a =， 所以内切球的表面积为22443r a ππ=，外接球的表面积222043S R a ππ==， 所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为22204:5:133a a ππ=故选：D3．（2020·江苏无锡市第六高级中学）的内切球，则此棱柱的体积是（ ）.A ．3B ．354cmC ．327cmD ．3【答案】B的内切球，则正三棱柱的高为，，设底面正三角形的边长为a cm,13⨯=6a =cm ，∴正三棱柱的底面面积为16622⨯⨯⨯=2， 故此正三棱柱的体积V＝54=cm 3．故选：B ．1．（2020·江苏镇江市·高三期中）直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在同一球面上，且2AB AC ==，90BAC ∠=︒，1AA = ）A ．40πB ．32πC ．10πD ．8π【答案】A 【解析】如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在同一球面上，且2AB AC ==，90BAC ∠=︒，1AA =∴可将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体，其中2AB AC BM CM ====，11AA BB ==1CB ====r .∴球的表面积为224440S r πππ==⨯=.故选: A.2．（2020·江西高三其他模拟）在三棱锥P ABC -中，AB AC ==120BAC ∠=，PB PC ==PA = ）A ．40πB ．20πC ．80πD ．60π【答案】A【解析】在BAC 中，2222cos 24BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅⋅∠=，即BC =PB PC ==∴PBC 为等边三角形 根据题意，有如下示意图：如图，设ABC 的外接圆的圆心为1O ，连接1O C ，1O A ，1BC O A H ⋂=，连接PH.由题意可得AH BC ⊥，且112AH O A ==12BH BC ==.∴由上知：PH BC ⊥且PH ==222PH AH PA +=，∴PH AH ⊥，由AHBC H =，PH ⊥平面ABC.设O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，连接1OO ，OP ，OC 过O 作OD PH ⊥，垂足为D ，则外接球的半径R 满足()22222111()R OO CO PH OO OD =+=-+，1A C B O == 1OD O H AH ===，代入解得1OO =210R =，∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2440R ππ=.故选：A.3．（2020·四川泸州市·高三）已知四棱锥A BCDE -中，AB ⊥平面BCDE ，底面BCDE 是边长为2的正方形，且3AB =，则该四棱锥外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．174πC ．17πD ．8π【答案】C【解析】由题意，四棱锥A BCDE -中，四边形BCDE 是边长为2的正方形， 3AB =且AB ⊥平面BCDE ，可把四棱锥A BCDE -放置在如图所示的一个长方体内，其中长方体的长、宽、高分别为2,2,3，则四棱锥A BCDE -的外接球和长方体的外接球表示同一个球， 设四棱锥A BCDE -的外接球的半径为R ，2R =，解得R =，所以该四棱锥外接球的表面积为22=4=417S R πππ⨯=. 故选：C.4．（2020·四川宜宾市·高三）已知点P ，A ，B ，C 在同一个球的球表面上，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PBBC PC =2，则该球的表面积为（ ）A ．6πB ．8πC ．12πD ．16π【答案】A【解析】如图，三棱锥P ABC -补体在长方体中，三棱锥的外接球就是补体后长方体的外接球，长方体的外接球的直径2R ====即2R =， 则该球的表面积246S R ππ==.故选：A5．（2020·江西赣州市·高三）四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，AB BD ==1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球表面积为（ ） A ．3π B ．4πC ．6πD ．12π【答案】B【解析】如图，在四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，AB BD ==1CB CD ==，可得90BCD ∠=︒，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，2=，则三棱锥A BCD -的外接球的半径为1． 其表面积为2414ππ⨯=． 故选：B ．6．（2020·全国高三专题练习））平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，且2224AB BD +=，沿BD 将四边形折起成平面ABD ⊥平面BDC ，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（ ）A ．2π B ．2πC ．4πD ．16π【答案】C【解析】由题意，平面ABD ⊥平面BDC ， 又因为平面ABD ⋂平面BDC BD =，AB平面ABD ，AB BD ⊥，可得AB ⊥平面BDC ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以//AB CD ， 同理CD ⊥平面ABD ，所以ABC ∆、ACD ∆均为Rt ∆， 设AC 中点为O ，连BO 、DO ， 则12AO BO CO DO AC R =====，其中R 为三棱锥A BCD -外接球半径， 则222222222224AC AB BC AB AD AB AB BD AB BD =+=+=++=+=，2AC =， 则112R AC ==，故三棱锥A BCD -外接球的表面积为4π. 故选：C.7．（2020·湖北省鄂州高中高三月考）张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 1，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（ ）A ．30B ．C ．D ．36【答案】C【解析】设正方体的棱长为a ，正方体的内切球半径为2a r =，正方体的外接球半径R 满足：22222a R a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则R =.由题意知：122aR r a -=-=，则2a =，R ， 该正方体的外接球的表面积为12π，又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即2π5168=，所以π=所以外接球的表面积为故选：C.8．（2020·江苏南京市第二十九中学高三期中）已知直三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 上，且4AB =，16AA =，30ACB ∠=︒，则此直三棱柱的外接球O 的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．100πD ．500π3【答案】C【解析】如图所示：设点O '为ABC 外接圆的圆心， 因为30ACB ∠=︒，所以60AO B '∠=，又O A O B r ''==， 所以AO B '△是等边三角形， 所以4r O A O B AB ''====，又直三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 上，所以外接球的半径为5R ==， 所以直三棱柱的外接球O 的表面积是24100S R ππ==， 故选：C9．（2020·全国高三专题练习）已知三棱柱111ABC A B C -(侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面111A B C △是正三角形)内接于球O ，1AB 与底面111A B C 所成的角是45°.若正三棱柱111ABC A B C -的体积是3，则球O 的表面积是（ ） A ．228π c m 3B ．256π c m 3C ．27π c m 3D ．214π c m 3【答案】A【解析】易知11AB A ∠是1AB 与底面111A B C 所成的角，则1145AB A ∠=︒． 故由11111tan tan 451AA AB A A B ∠=︒==，得111AA A B =．设111AA A B a ==，则11131224ABC A B C V a a a -=⨯⨯⨯==三棱柱，解得2a =．所以球O 的半径R ==所以球O 的表面积22228π4π4π3S R cm ==⨯=． 故选：A ．10．（2020·甘肃省民乐县第一中学高三）在四棱锥P ABCD -中，//BC AD ，AD AB ⊥，AB =6AD =，4BC =，PA PB PD ===P BCD -外接球的表面积为（ ）A ．60πB ．40πC ．100πD ．80π【答案】D【解析】如图，取AD 的两个三等分点1O 、E ，连接BD 、1O C 、CE ， 设1BDO C H =，连接PH 、AH .则1123AO AD ==，14O D BC ∴==，又//BC AD ，1//BC O D ∴，所以，四边形1BCDO 为平行四边形，1O C BD H =，H ∴为BD 的中点，所以，1122AH BH DH BD =====由勾股定理可得14O B ===，则11O B O D =，在1Rt O AB △中，11tan ABAO B AO ∠==13AO B π∴∠=， //BC AD ，13CBO π∴∠=，又11BC O D O B ==，则1O BC △为等边三角形，1114O C O B O D ∴===，则1O 是BCD 的外接圆的圆心.因为PA PB PD ===H 为BD 的中点，PHBD ∴⊥，PA PB =，AH BH =，PH PH =，PAH PBH ∴≅△△，2PHA PHB π∴∠=∠=，PH AH ∴⊥，又PH BD ⊥，AHBD H =，PH ∴⊥平面ABCD ，且6PH ===.设O 为三棱锥P BCD -外接球的球心，连接1OO 、OP 、OD ，过O 作OF PH ⊥，垂足为F ，则外接球的半径R 满足()2222211146R OO OO O H =+=-+， 设1OO x =，则()221664x x +=-+，解得2x =，从而222420R x =+=，故三棱锥P BCD -外接球的表面积为2480R ππ=. 故选：D.11．（2020·天津红桥区·高三期中）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A ．10B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C【解析】因为正四棱柱高为4，体积为16，所以正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线为，正四棱柱的对角线为即2R =2424R S R ππ===球, 故选：C12．（2020·河南洛阳市·高三月考）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱111ABC A B C -为一个“堑堵”，底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形且5AB =，3AC =，点P 在棱1BB 上，且1PC PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A ．45π2B C ．30π D ．45π【答案】D【解析】解法一：由“堑堵”的定义可知，ABC 为直角三角形，故4BC ==，易知1AC PC ⊥，又1PC PC ⊥，1PC PC P ⋂=，所以1PC ⊥平面APC ，而AP ⊂平面APC ，于是得1AP PC ⊥．设1BB z =，BP t =，则1B P z t =-，则AP ==1PC ==1AC ==由1AP PC ⊥，得()222925161z t z +=+++-，整理得16z t t=+， 所以()22212161616PC z t x=+-=+，所以1112APC S AP PC =⋅==△18≥=， 当且仅当22400tt=，即t =1APC 的面积取得最小值18． 此时AP ==设三棱锥P ABC -的外接球半径为R ，因为AC CP ⊥，AB BP ⊥，故线段AP 为外接球的直径， 故所求外接球的表面积454π45π4S =⨯=． 故选：D ．解法二：令11PCB C PB θ∠==∠，则14sin C P θ=，4cos CP θ=，AP == 又因为AC ⊥平面11CBB C ，所以1AC C P ⊥，又1CP C P ⊥． 所以1C P ⊥平面ACP ，所以190C PA ∠=︒．1APC的面积1111422sin APC S C P AP θ=⋅=⋅=△===当且仅当2210064tan tan θθ=时，1APC S △取最小值，此时tan 2θ=，AP ===． 在三棱锥P ABC -中，因为90ACP ABP ∠=∠=︒，取AP 中点为O ， 则12OC OB AP OA OP ====， 故O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，所以AP 为外接球直径，224ππ45πO S R AP ===球． 故选：D ．13．（2020·山西高三月考）已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54，6AB =，记三棱柱111ABC A B C -的外接球为球1O ，则外接球1O 的表面积是__________． 【答案】60π【解析】因为正三棱柱111ABC A B C -的底面积216sin 602S =⨯⨯︒=底面外接圆半径62sin 60r ==︒所以正三棱柱111ABC A B C -的高Vh S==所以外接球1O 的半径R ==，则24π60πS R ==， 故答案为：60π．14．（2020·济南市·山东省实验中学高三月考）在三棱锥P ABC -中，侧棱PA ⊥底面,120,1ABC BAC AB AC ∠===且2,PA BC =则该三棱锥的外接球的体积为__________． 【答案】323π【解析】在ABC 中，由余弦定理可知：BC ===因为120,1BAC AB AC ∠===，所以ABC 是顶角为钝角的等腰三角形， 设ABC 的外接圆的直径为AD ，由正弦定理可知：2sin BC AD BAC ===∠，因为侧棱PA ⊥底面ABC ， 2PA BC ==， 所以三棱锥P ABC -的外接球的直径为PD ，由勾股定理可知：4P D ===，所以三棱锥P ABC -的外接球的半径为：1422R =⨯=， 所以三棱锥P ABC -的外接球的体积为：3344322.333V R πππ==⨯= 故答案为：323π15．（2020·湖南怀化市·高三期中）如图所示，在三棱锥B ACD -中，3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=，3AB =，2BC BD ==，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为______.【答案】192π【解析】由题意知：在,,ABC CBD DBA 中，根据余弦定理有：29412cos73AC π=+-=，2448cos43CD π=+-=，24912cos73DA π=+-=，∴CAD 中有2AC DA CD ===，即CBD 为等边三角形，若E 为CD 中点，连接,BE AE ，可得BE AE ==3AB =，则在AEB △中有222AB BE AE =+，∴BE AE ⊥，又BE CD ⊥且AE CD E ⋂=，即BE ⊥面ACD ，又由BE ⊂面CBD 知：面CBD ⊥面ACD ，∴三棱锥B ACD -的外接球球心：在AEB △中，过BE 三等份点E '作BE 的垂线与AB 的垂直平分线的交点即为球心O ，所以令外接球半径为R，3EE '=，则：2243R -=，解得2198R =，所以由球的表面积21942S R ππ==， 故答案为：192π. 16．（2020·广东肇庆市·高三月考）鳖臑（bi ē n ào ）出自《九章算术·商功》：“斜解立方，得两重堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”鳖臑是我国对四个面均为直角三角形的三棱锥的古称．如图，三棱锥A BCD -是一个鳖臑，其中AB BC ⊥，AB BD ⊥，BC CD ⊥，且4AB BC DC ===，过点B 向AC引垂线，垂足为E ，过E 作CD 的平行线，交AD 于点F ，连接BF ．设三棱锥A BCD -的外接球的表面积为1S ，三棱锥A BEF -的外接球的表面积为2S ，则12S S =________．【答案】125． 【解析】AB BC ⊥，AB BD ⊥，BC BD B =，则AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB CD ⊥，又CD BC ⊥，BCAB B =，∴CD ⊥平面ACB ，,BE AC ⊂平面ACB ，∴CD AC ⊥，CD BE ⊥．又//CD EF ，∴EF BE ⊥，AC EF ⊥，又BE AC ⊥，∴三棱锥E ABF -可补形成以,,EA EF EB 为棱的一个长方体，其外接球的直径的平方等于,,EA EF EB 的平方和，而由,AB BD AC DC ⊥⊥，则AD 是三棱锥A BCD -外接球的直径． ∵4AB BC DC ===，∴AC =2EF =，EB =22EA，BD =，AD ==∴22220EA EB EF ++=，2148444824AD S πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，22420S ππ=⨯=⎝⎭， ∴124812205S S ππ==． 故答案为：125． 17．（2020·上海市松江二中高三期中）若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为______.【答案】【解析】因为正方体的体积为8，故棱长为2，因此正方体的体对角线的长为故正方体外接球的直径为故球的体积为343π⨯=，故答案为：.18．（2020·江苏南通市·高三期中）在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱111ABC A B C -是一个“堑堵”，其中12AB BB ==，1BC =，AC =则这个“堑堵”的外接球的表面积为________. 【答案】9π【解析】因为2,1,AB BC AC ===222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，所以可将三棱柱111ABC A B C -补成一个长方体，如图：则该长方体的对角线长等于这个“堑堵”的外接球的直径2R，所以23R ==，所以32R =. 所以外接球的表面积为22344()92R πππ=⨯=. 故答案为：9π19．（2020·合肥市第六中学高三期中）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB CC ==1BC =，点M 在正方形11CDD C 内，1C M ⊥平面1ACM ，则三棱锥11M ACC -的外接球表面积为______. 【答案】11π 【解析】如图所示：1C M ⊥平面1ACM ，连接1CD ， 又11CDD C 为正方形，∴点M 为正方形11CDD C 对角线的交点，则1MCC △是等腰直角三角形，M 是直角顶点， 设E 是1CC 中点，则E 是1MCC △的外心， 取F 是1BB 中点，则//EF BC ，而BC ⊥平面11DCC D ，EF ∴⊥平面11DCC D ，∴三棱锥11M ACC -的外接球的球心O 在直线EF 上，由已知可计算，1FC A F ====FC >， O ∴在EF 的延长线上，设OF x =，则由1OA OC =得2222(1)22x x ⎛⎛+=++ ⎝⎭⎝⎭，解得12x =，2OC ∴==，∴外接球表面积：2411S ππ=⨯=⎝⎭．故答案为：11π．20．（2020·湖南高三开学考试）在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，120BAC ∠=︒，2SA =，BC =________. 【答案】403π 【解析】在ABC 中，因为120BAC ∠=︒，BC =可得ABC的外圆球直径为2sin 2BC r BAC ===∠，又由球的性质，可得()()2222402243R r SA ⎛⎫=+=+=， 所以球的表面积为240=43S R ππ=球表. 故答案为：403π. 21．（2020·全国高三月考）我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知某方锥各棱长均为2，则其内切球的体积为______.【解析】如图，设方锥底面的中心为O ，则在Rt ABC △中，AC =AO CO ==在Rt PAO △中，PO =，所以方锥的体积为3， 设方锥内切球的半径为r ，而方锥的表面积为2144242+⨯⨯=+(143r =⨯+，解得2r =，体积为34π3⨯=⎝⎭..22．（2020·江西南昌市·南昌十中）已知在三棱锥P ABC -中，PA PB ==，23APB ∠=π，6ACB π∠=，则当点C 到平面PAB 的距离最大时，三棱锥P ABC -外接球的表面积为_____． 【答案】523π 【解析】当点C 到平面PAB 的距离最大时，平面ABC ⊥平面PAB ,设1O ，2O 分别为PAB △，ABC 的外心，O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，连结1O P ，2OO ，设1O P 交AB 于H ，由面面垂直的性质定理可知1O H ⊥平面ABC ，在PAB △中，PA PA ==，23APB ∠=π，所以6πPAB PBA ∠=∠=,所以1sin 2PH PA PAB =⋅∠==，2cos 22AB PA PAB =⋅∠==，PAB △的外接圆直径为31sin 32PA PBA ==∠，所以1O P =，所以11O H O P PH =-=， ABC 的外接圆直径为241sin 2AB ACB ==∠，所以22O A =， 在2Rt OO A △中，OA ===， 所以三棱锥P ABC -外接球的半径为， 所以三棱锥P ABC -外接球的表面积为25243ππ⨯=. 故答案为：523π 23．（2021·福建省福州第一中学高三期中）三棱锥A BCD -中，60ABC CBD DBA ===∠∠∠，2BC BD ==，面ACD，则此三棱锥外接球的表面积为___．【答案】16π【解析】如图，2BC BD ==，60ABC CBD DBA ===∠∠∠，ABC ABD ∴≅，则AC AD =，∴2CD =，又由面ACD，则ACD △的高AE为AC AD ==，60ABC DBA ==∠∠，可得4AB =，90ACB ADB ∠=∠=︒，即AC BC ⊥，AD DB ⊥，明显地，当球内有一条边能同时对应两个面的三角形的直角，则该边必为球的直径，所以，24AB R ==，所以，三棱锥外接球的表面积为2416R ππ=故答案为：16π24．（2020·福建福州市·高三期中）在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【答案】52π【解析】如图，过点A 在面PAB 内作AQ AB ⊥交PAB △的外接圆于点Q ，平面PAB 垂直平面ABC ，两平面的交线为AB ，AQ AB ⊥，AQ ⊂面PAB ，AQ ∴⊥面ABC ，PAB △的外接圆直径为4QB ==，2QA ∴==，而2h QA ==，ABC 中，AB AC ==，120BAC ∠=︒，30ACB ∴∠=︒，设底面ABC 的外接圆半径为r ，则2sin AB r BCA==∠R ， 则有2222(2)(2)448524R h r R =+=+==，球的表面积为2452S R ππ==故答案为：52π25．（2020·全国高三其他模拟）在三棱锥D ABC -中，AD ⊥平面ABC ，3AC =，BC =1cos 3BAC ∠=，若三棱锥D ABC -的体积为3，则此三棱锥的外接球的表面积为______ 【答案】20π【解析】设三棱锥外接球的半径为R 、球心为O ，ABC 的外心为1O 、外接圆的半径为r ，连接1AO ， 过O 作平行线OE 交AD 于E ，连接OA ，OD ，如图所示，则OA OD R ==，1O A r =，OE AD ⊥，所以E 为AD 的中点.。
专题——几何体的外接球和内切球问题
B．112π
C.1 000π 9
D.5 000 10π 81
※内切球问题 1．正棱锥的内切球.
第一步：先现出内切球的截面图， E, H 分别是两个三角形的外心； 第二步：由 POE 相似于 PDH ，建立等式： OE PO ，解出 r
DH PD
2．任意多面体的内切球：等体积法，
例 3 非直二面角类型
（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
专题——几何体的外接球和内切球问题
※基础知识：
1．常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆
长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；
正三角形的内切圆半径： 3 a 6
外接圆半径： 3 a 3
面体的外接球的球心。 由定义，给出以下简单多面体外接球的球心的结论。
结论 1：正方体或长方体的外接球的球心就是其体对角线的中点，即其外接球的半径 R 满足：
2R2 a2 b2 c2 ，即 R a2 b2 c2
2 结论 2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点，即正棱柱的外接球的半径 R 为： R h 2 r 2 （其中 h 为正棱柱的侧棱长， r 是底面多边形的外接圆的半径）
（1）已知边长为 2 3 的菱形 ABCD 中，BAD 60 ，沿对角线 BD 折成二面角 A BD C 的大
小为120 的四面体，则该四面体的外接球的表面积为
。
第一步：先求出多面体的表面积和体积； 第二步：解出 r 3V S表
例 1、正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ ）
球。
3．球的截面：
用一平面 去截一个球 O ，设 OO 是平面 的垂线段，O 为垂 足，且 OO d ，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以
外接球与内切球专题
【典例 1】 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体
积为 16，则这个球的表面积是( )
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
【解析】 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积 为 16，可求得底面边长为 2，故球的直径为 22＋22＋42＝2 6，半径为 6， 球的表面积为 24π，故选 C。
【答案】 C
【小结】 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的三视图如图所示，则它的外接球的表 面积为( )
A．16π C．8π
B．4π D．2π
【解析】 由三视图可知该三棱锥的高为 1，底面为一个直角三角形， 由于底面斜边上的中线长为 1，则底面外接圆的半径为 1，顶点在底面上 的投影落在底面外接圆的圆心上。由于顶点到底面的距离与底面外接圆 的半径相等，则三棱锥的外接球的半径 R 为 1，则三棱锥的外接球的表 面积 S＝4πR2＝4π，故选 B。
【答案】 B
二、构造长方体或正方体确定球心 1．正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角 形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； 2．同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱 锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； 3．若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方 体； 4．若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正 方体。
5 2 4π× 2 2＝50π。故选 D。
【答案】 D
三、由性质确定球心 利用球心 O 与截面圆圆心 O′的连线垂直于截面圆及球心 O 与弦中 点的连线垂直于弦的性质，确定球心。
【典例 3】 正三棱锥 A－BCD 内接于球 O，且底面边长为 3，侧 棱长为 2，则球 O 的表面积为________。
高中数学 外接球、内切球专题
基本知识回顾：
一、 球体的体积与表面积
二、球与多面体的接、切
定义外1：接若球一个球多心面体到的各各顶顶点点都在的一距个球离的相球面等上(，R)
则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球 。
定义内2：切若一球个球多面心体到的各各面面都与的一距个球离的相球面等相(切r)，
小结1
如何求直棱柱的外接球半径呢？ （1）先找外接球的球心：
它的球心是连接上下两个多边形的外心 的线段的中点； （2） 再构造直角三角形，勾股定理求解。
二、棱锥与球
3.正四面体ABCD的棱长为a，求其 内切球半径r与外接球半径R.
1. 已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两互 相垂直，若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积和体积。
则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
球与正方体的“切”“接”问题
一、直棱柱与球
若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ ⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
变式1：
已知长方体 ABCD A1B1C1D1 的长宽高分别为 3,4,5, 则该长方体的外接球的表面积等于_________。
A
O C
P
B
三、球面相切则称这个多面体是这个球的外切多面体这个球是这个多面体的外接球多面体的内切球外接球球心到各顶点的距离相等r内切球球心到各面的距离相等r球与正方体的切接问题一直棱柱与球正方体的内切球直径正方体的外接球直径与正方体所有棱相切的球直径若正方体的棱长为a则abcd的长宽高分别为345则该长方体的外接球的表面积等于
球的内切与外接问题讲课
综合应用举例
例1
解
已知一个三角形的三边长度，求其内切圆 半径和外接圆半径。
首先利用海伦公式求出三角形面积，再结 合半周长计算内切圆半径。对于外接圆半 径，可以通过正弦定理或余弦定理求解。
例2
解
给定一个正多边形，求其内切圆与外接圆 的半径比。
根据正多边形的性质，其所有内角相等， 且每条边与内切圆相切。由此可推导出内 切圆半径与外接圆半径的比例关系。
体对角线的长度来求解外接球的半径。
解答
03
长方体的体对角线长为$sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = sqrt{50} =
5sqrt{2}$，因此其外接球的半径为$frac{5sqrt{2}}{2}$。
典型例题分析与解答
例题2
分析
已知一个正四面体的棱长为$a$，求其 外接球的半径。
正四面体的外接球半径可以通过构造 一个包含该正四面体的正方体来求解 。
长方体的内切球半径等于长方体相邻三条棱的倒数之和的倒数的一半，即 r=1/[(1/l)+(1/w)+(1/h)]。
解答
根据内切球的定义和性质，我们知道长方体的内切球半径等于长方体相邻三条棱的倒数之 和的倒数的一半。所以，r=1/[(1/l)+(1/w)+(1/h)]。
典型例题分析与解答
例题3
分析
解答
解答
构造一个棱长为$frac{sqrt{2}}{2}a$的 正方体，则该正方体的体对角线长等 于正四面体的外接球直径，即$2R = sqrt{(frac{sqrt{2}}{2}a)^2 + (frac{sqrt{2}}{2}a)^2 + (frac{sqrt{2}}{2}a)^2} = frac{sqrt{6}}{2}a$，因此正四面体的 外接球半径为$frac{sqrt{6}}{4}a$。
外接球与内切球专题
二、构造长方体或正方体确定球心 1．正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角 形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； 2．同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱 锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； 3．若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方 体； 4．若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正 方体。
【变式训练 3】 如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上，AB＝AC，侧
面 BCC1B1 是半球底面圆的内接正方形，则侧面 ABB1A1 的面积为( )
2 A. 2
B．1
C. 2
D. 3
【解析】 由题意知，球心在侧面 BCC1B1 的中心 O 上，BC 为△ABC 所在圆面的直径，∴∠BAC＝90°，
【答案】 C
【小结】 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的 直径”这一性质来迅速求解的。
【变式训练 1】 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表 面积为( )
A．16π C．8π
B．4π D．2π
【解析】 由三视图可知该三棱锥的高为 1，底面为一个直角三角形， 由于底面斜边上的中线长为 1，则底面外接圆的半径为 1，顶点在底面上 的投影落在底面外接圆的圆心上。由于顶点到底面的距离与底面外接圆 的半径相等，则三棱锥的外接球的半径 R 为 1，则三棱锥的外接球的表 面积 S＝4πR2＝4π，故选 B。
一、由球的定义确定球心 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这 个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。也就是说如果一个 定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该 简单多面体外接球的球心。深刻理解球的定义，可以得到简单多面体的 一些常见结论：
专题：《确定几何体外接球与内切球球心的方法》
专题：《确定几何体外接球与内切球球心的方法》高考定位：（1）几何体外接球和内切球的问题是近几年的高考热点内容之一，尤其是几何体外接球问题，基本上近几年的高考试题中都有出现。
从题型上看是5分小题，可能是选择题，也可能是填空题；从难易程度上看，属于中、低档难度的问题。
主要考查几何体内切球或者外接球的体积或者表面积，或者已知球的信息，求几何体的体积或者表面积等等.（2）研究多面体的外接球或内切球的问题，关键是找球心，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球球心的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.热点一：特殊几何体的内切球和外接球的球心主要考查正方体，长方体，正四面体，正棱锥等特殊几何体的内切球、外接球的球心确定，或者直接利用球的定义确定球心，求内切球与外接球的体积和表面积。
命题角度1 特殊几何体求球心例题1 （1）一个正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 . 【答案】43π 【解析】设正六边形边长为，正六棱柱的高为，底面外接圆的半径为，则， 正六棱柱的底面积为，，，上下底面中心的连线的中点为外接球的球心，即几何体的高为外接球的直径2R ，所以2221122R ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，球的体积为. （2）四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体.现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，当这个肉丸的体积最大时，其半径与此正四面体的高的比值为（ ） A ．B ．C ．D ．893a h r 21=a 833)21(4362=⋅⋅=S 89833===h Sh V 柱∴3=h 34π=球V 12131415【答案】C【解析】当这个肉丸的体积最大时，肉丸所成的球是此正四面体的内切球，设正四面体的棱长为，高为， 肉丸所成的球半径为，如图正四面体P ABC −从点P 向底面引垂线，垂足为O '，所以球心在PO '上，设球心为O ,如图，，，高，正四面体的表面积为，由等体积可知：1133ABC S r S h ∆⋅=⨯⋅，即，解得，所以内切球的半径与此正四面体的高的比值为，故选C. 命题角度2 定义法求球心例题2 在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为A.B. C. D. 【答案】C【解析】设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知.∴点到四面体的四个顶点的a hr 2CD=233CO CD '==3h PO '====224S ==21133r ⋅=r =P ABC−14r h ==ABCD 4,3AB BC ==AC ABCD B AC D −−ABCD 12512π1259π1256π1253πO OA OB OC OD ===O A B C D 、、、C AO DB图4图2-1距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径.故.选C.【解法攻略】特殊几何体的外接球以及内切球的球心确定热点二：通过补体法求球心主要考查根据几何体的图形特征，将其补充成长方体或正方体，利用长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处.进一步求球的体积和表面积等。
内切球和外接球常见解法讲课稿
内切与外接1 球与柱体1.1 球与正方体例 1 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A ．22B ．1C ．212+D 21.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径2222l a b c R ++== 例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( )A.10π3B.4πC.8π3D.7π31.3 球与正棱柱例3 正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 .2 球与锥体 规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1 球与正四面体2222233a R r a R r CE +=-=，=，解得：66,.R r ==例4 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最 小值为 ( ) A.3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263+2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥例5 在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且AM MN ⊥,若侧棱 23SA =,则正三棱锥S-ABC 外接球的表面积是______2.3 球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例6 在三棱锥P －ABC 中，PA ＝3侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A ．π B.3π C. 4π D.43π 接球的球心,则2SC R =. 例7 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( )A.π12125B.π9125C.π6125D.π3125 3 球与球对多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例7 在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（ ）4 球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位 置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.例：与正四面体各棱都相切的球的半径为棱的一半：.例8 把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四篇一：程序员实习总结范文以前在校很少自己做程序,对软件工程更是一无所知.来到公司,开始接触大规模(其实现在看来实习的项目其实还是很小的)软件开发,一时真的有些迷茫.比起VSS,MVC,QA,CMMI,我对JAVA,JSP,XML的一窍不通根本不值一提.大家都不想输在起点,所以都默契地在加班,这样一直持续了实习的两个月.刚来的时候始业教育显得慢吞吞,我们还经常盘算去哪哪玩之类的.我和FLYSKY(20个新生里唯一一个南区的兄弟,软件学院的)还经常出去吃各种小吃,每到一处都尝尝本地的风味,这是他的习惯.之后开始的培训还不是很难过,JAVA,C++,ORACLE,老师们讲的很好,可以说是非常好,好得我们没有几个人能听懂.大家开始发愁,我也是每天晚上都基本看书到10点.我心说得亏哥们我还练过,来之前的2月份我就自己买了一本THINKING IN JAVA,看懂看不懂怎么说也算是准备了一下JAVA.C++虽说没去上过课,但凭我的直觉我就一下看中这东西很有用,自己也看过一阵.至于ORACLE,虽然不了解,但毕竟因为佩服云飞扬的性格和敬业精神,咱SQL选修也不是白混的.专业倒还有点基础,再加上咱这自学能力也不是吹的,基本维持.可等到后来的日语课就全迷糊了:本就没有语言天赋,再加上记忆严重欠缺,总是特别害怕去上日语课.不过特别喜欢那个老师说话的感觉,加上她一直对我都很好,所以还是很用心的学着.随着培训的收尾,我们开始正式进入项目.从需求分析,概要设计到详细设计,我们一步一步的开始接触软件开发的每个细节.最受不了的就是每天都要记周报,填写自己的劳动成果.因为这个我还被QA通报了好几次呢,真的很郁闷.其实现在我很感谢这种制度化的东西,某些情况下好习惯的养成是要靠强制来确保的.详细设计之后就是企盼已久的编码,我心想终于可以做点正事了.现在回头一看才知道,其实编码只占软件开发的整个过程劳动量的1/4左右,而且其他的环节也不是想象中的那么无足轻重.编码我其实做的很不好,主要是因为需求分析阶段就没有认真仔细的理解需求和规格说明,加上编码时一个关键时段我回校和老同学叙旧.那阵项目经理(PM)就经常和我们说,有问题自己想办法,不要经常问我.PM其实是在叫我们自己酝酿,遇到难题只有憋一憋才能有真的收获.而我不在的那三天正好是大家技术/思路上的一个跃迁,很多难题的解决方法都基本成熟,大家的编码也接近50%了,所以回来时我感觉已经掉队很多.再一个就是编码中期时机器出问题,环境搭不上了,这使我更加紧张和急躁,大大影响了我的士气.后来利用五一其间的加班我终于赶完了自己的模块,达到了第一个里程碑.其实从发现落后到加班赶完这段经历,对我来说也具有里程碑的意义.不仅考验了我自己的能力和心理素质,也证明了我对集体的责任感和合作意识.我可以叫别人来帮我做赶上进度,但那样我会错过自己学习的机会,以后再遇到难题我还是不行;我也可以硬着头皮导致项目延期,那样我以后的日子保证不好过,而且这么做也不符合我的性格.事实证明我顶住压力独立完成任务不管是对集体还是对我个人都是一件大好事.紧张的编码之后是单体测试,很多人都在继续编码,原来大家的编码都是没有完全做完.本是自己给自己挑毛病的过程,我们却都用来完成之前没有完成的任务,说来不禁可笑.。
立体几何外接球内切球专题
立体几何外接球内切球专题1. 引言在立体几何中，外接球和内切球是两个重要的概念。
本文将介绍什么是外接球和内切球，它们在几何问题中的应用以及如何计算它们的相关参数。
2. 外接球2.1 定义外接球是指能够恰好与一个几何体的每个顶点相切的球。
对于不同的几何体，外接球的性质和计算方法也会有所不同。
2.2 外接球的应用外接球在几何问题中有广泛的应用。
例如，在三角形中，外接球的圆心是三条边的垂直平分线的交点，外接球的半径等于三角形的外接圆半径。
这个性质可以用来解决与三角形相关的计算问题。
2.3 外接球的计算方法对于不同的几何体，计算外接球的方法也会有所区别。
以球面为例，如果已知球面上的四个点的坐标，可以通过求解四个点的球心坐标和球半径来计算外接球。
1. 根据提供的四个点的坐标(x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3), (x4, y4, z4)，计算四条边的中点坐标：- 中点1：(x12, y12, z12) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2, (z1 + z2) / 2)- 中点2：(x23, y23, z23) = ((x2 + x3) / 2, (y2 + y3) / 2, (z2 + z3) / 2)- 中点3：(x34, y34, z34) = ((x3 + x4) / 2, (y3 + y4) / 2, (z3 + z4) / 2)- 中点4：(x41, y41, z41) = ((x4 + x1) / 2, (y4 + y1) / 2, (z4 + z1) / 2)2. 计算四条边的长度：- 边1长度：d1 = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^ 2 + (z2 - z1)^2)- 边2长度：d2 = sqrt((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^ 2 + (z3 - z2)^2)- 边3长度：d3 = sqrt((x4 - x3)^2 + (y4 - y3)^ 2 + (z4 - z3)^2)- 边4长度：d4 = sqrt((x1 - x4)^2 + (y1 - y4)^2 + (z1 - z4)^2)3. 计算外接球的半径R:- R = sqrt(((d1 + d3 + d2) * (d2 + d4 + d3) * (d3 + d1 + d4) * (d4 + d2 + d1)) / 144)4. 计算外接球的球心坐标：- 球心X坐标：X = ((x12 * d3 + x23 * d4 + x34 * d1 + x41 * d2) / (d1 + d2 + d3 + d4))- 球心Y坐标：Y = ((y12 * d3 + y23 * d4 + y34 * d1 + y41 * d2) / (d1 + d2 + d3 + d4))- 球心Z坐标：Z = ((z12 * d3 + z23 * d4 + z34 * d1 + z41 * d2) / (d1 + d2 + d3 + d4))3. 内切球3.1 定义内切球是指能够恰好与一个几何体的每个面相切的球。
外接球、内切球专题
多面体外接球、内切球半径常见的几种求法公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥都分别可构造正方体．途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角CD A B S O 1图3B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. 简单多面体外接球的球心的如下结论．结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到． 结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．向量知识求解出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解例5 已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。
立体几何专题六 外接球与内切球解法大全(教师版)
立体几何专题六 外接球与内切球问题(教师版)立体几何中的外接球与内切球问题，是立体几何的常考题型，也是难点问题。
知识准备：1．直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点处，2．求三角形外接圆半径常用正弦定理:()2,sin sin sin a b c C R R A B ===为三角形外接圆的半径，3.球心与截面圆的圆心的连线垂直于截面圆【例1】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________．【答案】92π 【解析】设正方体的边长为a ，则2618a a =⇒=23R ==，故这个球的体积34π3V R ==4279ππ382⨯=． 【例2】长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为( )A.72π B.56π C.14π D.64π 分析：长方体的外接球直径为常长方体体对角线长。
解析： C. 设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c ，则ab 2bc 3ac 6=⎧⎪=⎨⎪=⎩，得a 2b 1,c 3=⎧⎪=⎨⎪=⎩令球的半径为R ，则()222327221314,=2R R =++=∴。
22=4=414S R R πππ∴=球。
【变式1】 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是( ) A. 3 B ．4 3 C ．8 D ．24解析： C 设球的半径为R ，则4πR 2＝12π，从而R ＝3，所以正方体的体对角线为23，故正方体的棱长为2，体积为23＝8，故选C.【变式2】若长方体的一个顶点上三条棱长分别为3，4，5．则长方体外接球的表面积为（ ）A ．40πB ．35πC ．50πD ．60π设球的半径为R ，由题意，球的直径即为长方体的体对角线的长，则2222234550R =++=（），∴R ．∴24π50πS R =⨯=球，故选C ． 【题型二】正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点，直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。
高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习
高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习高考数学：内切球和外接球问题多面体的顶点都在同一球面上时，称该多面体为球的内接多面体，该球为多面体的外接球。
多面体外接球问题是立体几何的重点，也是高考的热点，考查学生的空间想象能力和化归能力。
解决该问题需要运用多面体和球的知识，并特别注意多面体的几何元素与球的半径之间的关系。
多面体外接球半径的求法在解题中往往起到至关重要的作用。
一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1：若正方体的棱长为3且顶点都在同一球面上，求该球的表面积。
解析：要求球的表面积，只需知道球的半径。
由于正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径。
故表面积为27π。
例2：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为多少？解析：要求球的体积，还需先求出球的半径。
由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线长为3√3.因此，该球的半径为3，故该球的体积为36π。
2、求长方体的外接球的有关问题例1：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1、2、3，则该球的表面积为多少？解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。
长方体体对角线长为√14，故球的表面积为14π。
例2：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则该球的表面积为多少？解析：正四棱柱也是长方体。
由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2、2、4.故该球的表面积为24π。
3、求多面体的外接球的有关问题例：一个底面为正六边形的六棱柱，侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为8，底面周长为3，则该球的体积为多少？解析：设正六棱柱的底面边长为x，高为h。
由底面周长可得x=3/6=1/2，由体积可得h=4/3.因此，正六棱柱的底面圆的半径为√3/2，外接球的半径为√13/2.故该球的体积为(52/3)π。
外接球和内切球(精心整理)
有关球的综合1：外接球问题多面体的外接球问题(球包体)1.（1）模型一：正方体（长方体）外接球正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长．此结论也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．（2）模型推广例1：已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．例2：设三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，∠BAC=90°，AA1=2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为___________.例3：在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，则该球的表面积为___________.例4．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马；将四个面都为直接三角形的三棱锥称为鳖臑。
若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_______.例5：已知正四面体的棱长为√2，则该四面体的外接球的体积为___________.例6.在三棱锥A-BCD中,AB=CD=2,AD=BC=√,AC=BD=√7,则该三棱锥的外接球表面积是_________.2.模型2：球包柱求三角形外接圆半径的方法例7：(1)设三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，∠BAC=120°，AA1=2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为___________.(2)(2018·河北衡水调研)一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为________．例8：三棱锥D-ABC中，AD⊥平面ABC，AC＝√3,BC＝1，COS∠ACB=√3sin∠ACB,AD＝2，则该三棱锥外接球的表面积为( )A．8π B.12πC．16πD．20π例9：如图，网格纸上小正方形的边长为l ，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体是由一个三棱柱切割得到的，则该几何体外接球的表面积为（ ）A.π20B. π18C.π16D. π8例10：如图，网格纸上正方形的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为_______________.模型3：球包锥（顶点连心锥）例11：一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，其外接球的表面积为_____________例12：（1）正三棱锥P-ABC 中，侧棱长为1，底面三角形ABC _________.（2）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4B ．16πC ．9π D.27π4例13：在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=1，BC=√3，则该三棱锥的外接球的表面积为（）3.模型4：两圆定心法例14.（1）三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，则三棱锥P-ABC 的外接球表面积为( )A.23πB.23π4C.64π3D.64π（2）三棱锥P-ABC中,△ABC和△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2√3，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为__________.例15：（1）（2018惠州模拟）在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，SA=√3,SB=2√3,二面角S-AB-C 的大小为120°，则该三棱锥外接球的表面积为_____________（2）已知边长为2√3的菱形ABCD 中，∠BAD =60°，现沿对角线BD 折起，使得二面角A-BD-C 为120°，点A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的表面积为__________.有关球的综合2：内切球问题平面基础：求三角形内切圆的半径1、等边三角形：设等边三角形边长为a ，则其内切圆半径为________.r=2、直角三角形：设直角三角形两直角边分别为,a b ，斜边为c ，则其内切圆的半径为__________.r=3、任意三角形：设三角形三边分别为,,,a b c 则其内切圆半径_______.r=1. 模型1：球切柱问题（1）球内切于正方体、内切于圆柱的问题，请看下表（2）球内切三棱柱的问题例1、直三棱柱111ABC A B C-内有一个的球，,AB6BC8==，且AB BC⊥.（1）若球与侧面底面均相切，求侧柱1AA；（2）若1AA3=，求球的体积V的最大值.2. 模型2：球切锥类型一：球切圆锥例2：（1）一个圆锥的母线长为2，圆锥的母线与底面夹角为π4，则该圆锥的内切球的表面积为（）A.8π B.4(2−√2)2π C.4(2+√2)2π D.32(4−√2)249π（2）将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（）A.√2π3B. √3π3C. 4π3D.2π类型二：三棱锥的内切球例3（1）：已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC=4,BC=3,AB=5,PA=3,则该三棱锥的内切球的体积为__________.（2）已知一个三棱锥的所有棱长均为√2,则该三棱锥的内切球的体积为__________.。
专题讲解 立体几何中的外接球与内切球问题（学生版）
专题讲解立体几何中的外接球与内切球问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点。
考查学生的空间想象能力以及化归能力。
研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。
球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作。
当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径。
球与多面体的关系是高考考查的重点，但同学们又因为缺乏较强的空间想象能力，较难找到解题的切入点和突破口。
解决这类题目是要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置是关键。
常见题型有求对应外接球或内切球半径、表面积、体积或球内接几何体最值等问题。
本章节将对常见的关于内切球和外接球的模型作一总结，并附有针对性训练题，供教师和学生参考使用。
一.常见模型归纳1. 墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决。
外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a 2＋b2＋c2。
)，秒杀公式：R2＝a2＋b2＋c24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：【例1】已知二面角α－l－β的大小为π3，点P∈α，点P在β内的正投影为点A，过点A作AB⊥l，垂足为点B，点C∈l，BC＝22，P A＝23，点D∈β，且四边形ABCD满足∠BCD＋∠DAB＝π．若四面体P ACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．A BCDA1B1C1D1类型ⅠA BCDA1B1C1D1类型ⅡA BCDA1B1C1D1类型ⅢA BCDA1B1C1D1例外型【例2】已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为( )．A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π【变式练习1】在空间直角坐标系Oxyz 中，四面体ABCD 各顶点的坐标分别为A (2，2，1)，B (2，2，－1)，C (0，2， 1)，D (0，0，1)，则该四面体外接球的表面积是( )A ．16πB ．12πC ．43πD ．6π【变式练习2】在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为32的正方形，AA 1＝3，E 是线段A 1B 1上一点， 若二面角A －BD －E 的正切值为3，则三棱锥A －A 1D 1E 外接球的表面积为________．2. 对棱相等模型对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决。
专题15 空间几何体外接球和内切球(解析版)
2
1.例题
【例 1】（1）长方体 芰ᑯ䦘 ʂ 芰 ᑯ 䦘 的 8 个顶点在同一个球面上，且 芰 ᐱ ， 䦘 ᐱ ， 则球的表面积为______．
ᐱ，
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球 O 的体积：V 4 R3 64 2 本题正确选项： A
3
3
2.巩固提升综合练习
【练习
1】已知三棱柱
ABC
A1B1C1
的侧棱与底面垂直，
AA1
BC
2, BAC
4
，则三棱柱
ABC A1B1C1 外接球的体积为（ ）
A．12 3
B． 8 3
C． 6 3
D． 4 3
【答案】D
【解析】设 ABC 的外接圆圆心为 O1 ， A1B1C1 的外接圆圆心为 O2 ，
A． 64 2 3
B． 16 2 3
C．16 2
D．16
【答案】（1）
（2）D （3）A
【解析】（1）因为长方体 芰ᑯ䦘 ʂ 芰 ᑯ 䦘 的 8 个顶点在同一个球面上，
所以球的直径等于长方体的对角线长，
设球的半径为 ，因为 芰 ᐱ ， 䦘 ᐱ ， ᐱ ，
所以 ᐱ
ᐱ ，球的表面积为
ᐱ ，故答案 π.
（2）正三棱柱
1）第一步：求底面外接圆的半径： r 1 a （ a 为角 A 的对边）； 2 sin A
2）第二步：由勾股定理得外接球半径： R r 2 ( h )2 （ h 为直棱柱侧棱高度） 2
1.例题 【例 1】直三棱柱 芰ᑯ ʂ 芰 ᑯ 中，已知 芰 芰ᑯ， 芰 ᐱ ，芰ᑯ ᐱ ， 在同一球面上，则该球的表面积为__________．
专题06 经典三类球：外接球、内切球、棱切球(解析版)
专题06 经典三类球：外接球、内切球、棱切球【考点预测】考点一：正方体、长方体外接球1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3．补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体P ABC -可以补形为正方体且正方体的棱长2a =，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1 图2 图3 图4考点二：正四面体外接球如图，设正四面体ABCD 的的棱长为a ，将其放入正方体中，2，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为236R ==，即正四面体外接球半径为6R =.考点三：对棱相等的三棱锥外接球四面体ABCD 中，AB CD m ==，AC BD n ==，AD BC t ==，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题.如图，设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则222222222b c m a c n a b t ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三式相加可得222a b c ++=222,2m n t ++而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R ，则22224a b c R +=+，所以2228m n t R ++=.考点四：直棱柱外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1 图2 图3第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ∆的外心，则1OO ⊥平面ABC ； 第二步：算出小圆1O 的半径1AO r =，111122OO AA h ==（1AA h =也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：22211OA O A O O =+⇒222()2hR r =+⇒22()2h R r =+R考点五：直棱锥外接球如图，PA ⊥平面ABC ，求外接球半径.图3-1C 1B 1AEFA 1O 1OO 2BC图3-2C 1B 1AA 1O 1OO 2BC图3-3C 1B 1AEFA 1O 1O O 2BC解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以1OO ⊥平面ABC ，算出小圆1O 的半径1O D r =(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得2sin sin sin a b c r A B C ===)，112OO PA =； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222(2)(2)R PA r =+⇔222(2)R PA r +②2221R r OO =+⇔221R r OO =+ 考点六：正棱锥外接球正棱锥外接球半径：222r h R h+= .考点七：垂面模型如图1所示为四面体-P ABC ，已知平面⊥PAB 平面ABC ，其外接球问题的步骤如下： （1）找出PAB △和ABC △的外接圆圆心，分别记为1O 和2O ．（2）分别过1O 和2O 作平面PAB 和平面ABC 的垂线，其交点为球心，记为O ． （3）过1O 作AB 的垂线，垂足记为D ，连接2O D ，则⊥2O D AB ．（4）在四棱锥-12A DO OO 中，AD 垂直于平面12DO OO ，如图2所示，底面四边形12DO OO 的四个顶点共圆且OD 为该圆的直径．ADPO 1OCBhl rDB图1 图2考点八：锥体内切球方法：等体积法，即3VRS=体积表面积考点九：棱切球方法：找切点，找球心，构造直角三角形【典型例题】例1．（2022·河北邢台·高一阶段练习）已知菱形ABCD的边长为360BAD∠=︒，将△ABD沿BD折起，使A，C两点的距离为3A-BCD的外接球的表面积为（）A．12πB．18πC．24πD．30π【答案】B【解析】【分析】确定折起后三棱锥A-BCD为正四面体，将此正四面体放置在正方体中，使得正方体的面对角线是正四面体的棱，正方体的对角线就是外接球的直径，此球也是三棱锥A-BCD的外接球．由此计算可得球表面积．【详解】由已知得BAD为等边三角形，∴对角线23BD AB BC CD DA=====将ABD△沿BD折起，使A，C两点的距离为3∴折起后三棱锥A-BCD为正四面体，各棱长都是23将此正四面体放置在正方体中，使得正方体的面对角线是正四面体的棱，设正方体的棱长为a23a=32a R =，其中R 为正方体的外接球半径，322R =， 由于正方体的外接球就是正四面体ABCD 的外接球， ∴正四面体ABCD 的外接球表面积为2418R ππ= 故选：B.例2．（2022·安徽·合肥市第六中学高一期中）设直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在一个球面上，1AB AC AA ==，120BAC ∠=︒，且底面ABC 的面积为23接球的表面积是（ ） A ．16π B 4010πC ．40πD ．64π【答案】C 【解析】 【分析】由三角形面积公式求得AB ，由正弦定理求得底面三角形外接圆半径，设,M N 分别是ABC 和111A B C △的外接圆圆心，则MN 的中点O 是三棱柱111ABC A B C -的外接球球心，求球半径后可得表面积． 【详解】设1AB AC AA m ===，因为120BAC ∠=︒， 所以1sin120232m m ⨯⨯⨯︒=22m = 而30ACB ∠=︒，所以22sin 30r =︒(r 于是是ABC 外接圆的半径)，22r =即22AM = 如图，设,M N 分别是ABC 和111A B C △的外接圆圆心，由直棱柱的性质知MN 的中点O 是三棱柱111ABC A B C -的外接球球心， 111222OM MN AA === 所以外接球为22R OA AM OM =+=()()2222210+=.于是球的表面积为24S R =π=(241040ππ=.故选：C.例3．（2022·湖南·长郡中学高一期中）如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，4AB =，112A B =，若半径为r 的球O 与该正四棱台的各个面均相切，该球的表面积S =（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π【答案】C 【解析】 【分析】作正棱台的轴截面.设内切球的半径为r ，利用勾股定理得到222MG FG MF +=，解得2r =.【详解】如图，作该正棱台的轴截面.其中E ，F ，M ，N 分别是AB ，CD ，11C D ，11A B 的中点，H ，K 是MN ，EF 的中点，G 是内切球的球心，H ，K 是内切球和上、下底面的切点，Q 是内切球和侧面11CDD C 的切点，内切球的半径为r ，由正棱台的结构可以得到，1HM =，2KF =，HG KG QG r ===，易得1MQ HM ==，2FQ FK ==，3MF =，2221MG r =+，2222FG r =+，且90MGF ∠=︒，所以222MG FG MF +=，即22149r r +++=，解得2r =248S r ππ==.故选：C.例4．（2022·河北省唐县第一中学高一期中）已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且P A ⊥ 平面ABC ，AB AC ⊥，且1AB AC ==，若此球的表面程等于4π，则三棱锥P ABC -的体积为（ ）A 2B ．1C 2D ．13【答案】A 【解析】 【分析】将三棱锥P ABC -补成长方体，则三棱锥P ABC -的外接球即为该长方体的外接球，求出球的半径，即可得出长方体的对角线的长度，从而可得出答案. 【详解】由题意，将三棱锥P ABC -补成长方体，则三棱锥P ABC -的外接球即为该长方体的外接球.则该长方体的外接球的直径为该长方体的对角线. 如图，4S π=球，则球半径1R =， 所以()222222PA AB AC R PA ++=⇒=， 所以123P ABC ABC V S PA -∆=⋅=故选：A.例5．（2022·河南·高一期中）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，3,4,5,5,34,PA PB PC AB AC ===== 41BC =O 的表面积为（ ）A ．16πB ．25πC ．32πD ．50π【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理可证明三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，符合墙角模型，补成长方体，那么球的直径就是长方体的体对角线. 【详解】根据题中数据，22222+3534PA PC AC =+==，故PA PC ⊥，类似的，同理容易验证222+PA PB AB =，222+PC PB BC =，于是PA PB ⊥，PB PC ⊥， 即三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，下以P 为顶点，,,PA PB PC 分别为一个长方体的长宽高，将三棱锥P ABC -补成长方体， 易知长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球， 长方体的体对角线长为： 22234552++=于是球O 的表面积为(2250ππ⋅=.故选：D.例6．（2022·全国·3顶点的多面体为正八面体，那么该正八面体的内切球表面积为（ ）A ．6πB ．πC ．43π D ．4π【答案】B 【解析】 【分析】6正八面体的内切球半径，即可求出球的表面积． 【详解】2233622⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭如图，在正八面体中连接AF ，DB ，CE ，可得AF ，DB ，CE 互相垂直平分，在Rt AOD △中，22226262223AO AD OD ⨯=-=⨯⎪⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则该正八面体的体积1363236V =⨯= 该八面体的表面积236833S ==⎝⎭设正八面体的内切球半径为r ，13S r V =，即13333r ⨯=12r =， 24球S πr π∴==故选：B例7．（2022·山西·大同市第二中学校高一期中）球O 为三棱锥P ABC -的外接球，ABC 和PBC 都是边长为3PBC ⊥平面ABC ，则球的表面积为（ ） A ．28π B ．20πC ．18πD ．16π【答案】B 【解析】 【分析】取BC 中点为T ，以及ABC 的外心为1O ，PBC 的外心为2O ，依据平面PBC ⊥平面ABC 可知12OO TO 为正方形，然后计算外接球半径，最后根据球表面积公式计算. 【详解】设BC 中点为T ，ABC 的外心为1O ，PBC 的外心为2O ， 如图由ABC 和PBC 均为边长为3 则ABC 和PBC 23260=，又因为平面PBC ⊥平面ABC ， 所以2O T ⊥平面ABC ，可知21O T O T ⊥ 且21O T O T =，过21,O O 分别作平面PBC 、平面ABC 的垂线相交于O 点O 即为三棱锥P ABC -的外接球的球心， 且四边形12OO TO ()22231-=的正方形，所以外接球半径2222145R OO O P =++则球的表面积为20π， 故选：B ．例8．（2022·全国·高一单元测试）四个半径为2的球刚好装进一个正四面体容器内，此时正四面体各面与球相切，则这个正四面体外接球的表面积为（ ） A ．(168486)π+ B ．(168426)π+ C ．(188486)π+ D ．(168326)π+【答案】A 【解析】 【分析】画出直观图，梳理条件，再画出截面图，从中找到等量关系，求出外接球半径，从而求出外接球的表面积. 【详解】如图1所示，正四面体ABCD 中，AH ⊥底面BCD ，E 、F 、G 、K 为四个球的球心，M 为CD 中点，连接BM ，AM ，易知B 、H 、M 三点共线，直线AH 交平面EFG 于点1H ，连接1EH ，交GF 于点N ，则N 为GF 的中点，因为内切球半径为2，故EF =4，画出截面ABM 如图2所示，正四棱锥EFGK 外接球球心设为O ，则正四面体ABCD 的外接球球心与正四面体EFGK 外接球球心重合，设正四面体ABCD 的外接球半径为R ，正四面体EFGK 外接球半径为r ，在图2中，EK =4，23EN =12433EH EN ==，146KH ==146OH r = 由22211OE OH EH =+，即2224643r r ⎫=+⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得：6r =所以1466OH r =-=过点E 作EP ⊥BM 于点P ，则EP =2 则△BEP ∽△1OEH∴1OH OE BE EP=6632= 解得：6BE =∴66R OB BE OE ==+=+∴正四面体ABCD 的外接球表面积(24168483S R ππ==+故选：A 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.（多选题）例9．（2022·湖北·沙市中学高一期中）如图，已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列命题正确的是（ ）A 3B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体111P A BC -的体积不变 C ．与所有122πD ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，则AM 32-【答案】BC 【解析】 【分析】对于A ，利用正方体的性质即得，对于B ，判断出四面体111P A B C -的高为1，底面积不变即得，对于C ．先求出球的半径2R =，即可求体积，对于D ．判断出线段AM 长度的最小值是A 到球心的距离减去内切球的半径，直接求解即可. 【详解】对于A ，由正方体的性质可知正方体外接球的直径为其体对角线，故正方体外接球的半径3A 错误； 对于B ，点P 在线段AB 上运动，则四面体111P A BC -的高为1，底面积不变，则体积不变，故B 正确；对于C ，与所有12条棱都相切的球的直径2R 等于面的对角线12BC 22R =2R =， 则球的体积334422(33V R ππ==⨯⨯=，故C 正确；对于D ，正方体的内切球为正方体的中心，内切球的半径为r ， 可知线段AM 长度的最小值是A 到球心的距离减去内切球的半径， 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，∴12r =，A 3AM 31-D 错误. 故选：BC ．例10．（2022·广东·广州市协和中学高一期中）在三棱锥P ABC -中，33,5AB AC BC PA PB PC ======，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点，则以下结论正确的是（ ）A ．平面PDE ⊥平面ABCB ．平面PAF ⊥平面ABCC ．//AB 平面PEFD ．三棱锥P ABC -的外接球表面积为625π16【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A ，利用逆推方式要证明面面垂直，就去证明线面垂直，再去证线线垂直，根据题意不存在AM PM ⊥即可判断；对于B ，根据面面垂直的判定定理及等腰三角形的三线合一即可判断； 对于C ，根据线面平行的判定定理结合三角形的中位线定理即可判断；对于D ，要求三棱锥P ABC -外接球的表面积，首先找出外接球的球心，在利用球的半径、截面圆半径、球心到截面圆圆心的距离三者关系求出球的半径，再利用球的表面积公式即可判断； 【详解】对于A ，设AF 与DE 的交点为M ，则AF DE ⊥，若平面PDE ⊥平面ABC ，那么根据面面垂直的性质定理，必有AF ⊥平面PDE ，此时须有AM PM ⊥成立，又因为M 是AF 的中点，此时须有PA PF =成立，上式显然不成立，故A 不正确；对于B ，由于,AB AC PB PC ==，F 为BC 的中点，所以AF BC ⊥，PF BC ⊥，AFPF F =，故BC ⊥平面PAF ，而BC ⊂平面ABC ，所以平面PAF ⊥平面ABC ，故B正确；对于C ，由E , F 分别为AC ，BC 的中点，得//EF AB ,EF ⊂平面PEF ，AB ⊄平面PEF ，所以因此//AB 平面PEF ，故C 正确； 对于D ，作PN平面ABC 垂足为N ，则N 为正三角形ABC 的重心，所以22333,534,AN PN ===-设三棱锥P ABC -的外接球球心为O ，则O 在PN 上，连接AO ，设三棱锥P ABC -的外接球半径为R ，则在AON 中，()22243R R =-+，解得258R =，因此其外接球表面积为2625π4π16R =，故D 正确.故选：BCD.【点睛】解决此类型题的关系记住线面，面面平行与垂直的判定定理及性质定理，求外接球的问题关键核心就是找出球心，找球心的方法就是找截面圆的圆心，再做过截面圆的圆心的垂线，球心就在过截面圆的圆心的垂线上,然后球的半径、截面圆半径、球心到截面圆圆心的距离三者关系求出球的半径进而可以求解关于球的任何问题.【过关测试】 一、单选题1．（2022·广东·海珠外国语实验中学高一期中）已知一个圆锥的母线长为2，侧面积为2π.若圆锥内部有一个球，当球的半径最大时，球的体积为（ ） A ．3π B 23C 3D 43【答案】D 【解析】 【分析】由题可知球内切于圆锥，利用图形关系求得球的半径，即可得解. 【详解】由题可知，母线2PA PB ==，若内部有一个球，半径最大时， 球内切于圆锥，如图所示，O 为球心，M 为球O 与母线PB 的切点，E 为底面圆心， 设球O 的半径为R ，底面圆E 的半径为r 因为圆锥侧面积为2π，所以()1222π⋅=πr PB ，解得1==r EB . 由勾股定理222413=-=-=PE PB EB ，所以3PE = 又因为POM 与PBE △相似，31-=⇒=PO OM R R PB EB ，解得3R =， 所以球的体积344334333=π==V R . 故选：D2．（2022·天津市求真高级中学高一阶段练习）正方体的外接球与内切球的表面积之比是（ ） A ．13B ．3C ．33D 3【答案】B 【解析】 【分析】设正方体的棱长为a ，求出其外接球的半径和内切球的半径，再根据表面积公式可得结果. 【详解】设正方体的棱长为a 3，内切球的半径为12a ，所以正方体的外接球与内切球的表面积之比是2234142a ππ⎫⋅⎪⎝⎭⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭3=. 故选：B3．（2022·云南师大附中高一期中）如图，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圆”、“筑球”、“踢圆”等，“跳”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系皮革外包、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四个点A ，B ，C ，D 满足13AB CD ==，5BD AC ==cm ，5AD BC ==cm ，则该“鞠”的表面积为（ ）A ．20πcm 2B ．24πcm 2C ．27πcm 2D ．29πcm 2【答案】D 【解析】 【分析】由于,,AB CD BD AC AD BC ===，所以可以把,,,A B C D 四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径，求出体对角线长，从而可求出该“鞠”的表面积 【详解】因为“鞠”表面上的四个点A ，B ，C ，D 满足13AB CD ==，25BD AC ==，5AD BC ==cm ，所以可以把,,,A B C D 四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径，设该长方体的长、宽、高分别为,,x y z ，“鞠”的半径为R ，则 2222(2)R x y z =++，由题意得22222220,13,25x y x z y z +=+=+=, 所以2222(2)29R x y z =++=，即2429R =， 所以该“鞠”的表面积为22429cm R ππ=， 故选：D4．（2022·浙江·嘉兴一中高一期中）在三棱锥P ABC -中，P A 、AB 、AC 两两垂直，3AP =，6BC =，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．57πB ．63πC ．45πD ．84π【答案】C 【解析】 【分析】由P A ，AB ，AC 两两垂直，可判定该三棱锥为长方体的一部分，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，可知外接球半径为长方体体对角线的一半，进而求解. 【详解】由于P A ，AB ，AC 两两垂直，故可得该三棱锥为长方体的一部分， 因为外接球半径为长方体体对角线的一半， 所以2222235PA AB AC PA BC R +++==， 故2445S R ππ==， 故选：C5．（2022·安徽·合肥市第八中学高一期中）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，P 为11A D 上一点，且满足2APD π∠=，PA PD =，则以四棱锥P ABCD -外接球的球心O 为球心且与平面PBC 相切的球的体积为（ ）A 5πB 5πC 45πD 45π【答案】B 【解析】 【分析】在直角PAD △中，求得2PA PD ==O 即为四棱锥P ABCD -的外接球的球心，分别连接,,PN NQ PQ ，过点O 作OM PQ ⊥，证得OM ⊥平面PNQ ，求得25OM =25r =.【详解】在直角PAD △中，1AD =，PA PD =，可得222PA PD AD +=， 即2PA PB ==过正方形ABCD 的中心O 作1OO ⊥平面ABCD ， 取AD 的中点N ，连接ON ，则ON ⊥平面PAD ， 则直线1OO ON O =，则O 即为四棱锥P ABCD -的外接球的球心，分别连接,,PN NQ PQ ，在PNQ 中，过点O 作OM PQ ⊥, 又由BC ⊥平面PNQ ，可得OM BC ⊥， 因为BCPQ Q =，所以OM ⊥平面PBC ，又由PNQ 和QOM 相似，可得OM OQPN PQ =，所以1122525OQ PN OM PQ ⨯⋅==，所以O 为球心且与平面PBC 相切的球的半径为25r OM ==所以该球的体积为33445(3325V r πππ==⨯= 故选：B.6．（2022·安徽·淮南第一中学高一阶段练习）在三棱锥P ABC -中，,2,4,5PB AC PA PB AB AC BC ⊥=====，则三棱锥P ABC -外接球的表面积是（ ）A ．52πB ．643πC ．1123πD ．2563π【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理证得AB AC ⊥，再根据线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面PAB ，故三棱锥C PAB -的外接球在过底面PAB △外接圆圆心且垂直于底面PAB △的直线上，利用正弦定理求得PAB △外接圆的半径为r ，再根据三棱锥C PAB -外接球的半径为R 求出外接球半径，即可得出答案. 【详解】解：由2,4,5AB AC BC ===， 可得222BC AB AC =+，所以AB AC ⊥， 又,PB AC AB PB B ⊥⋂=，且PB ，AB 平面PAB ，所以AC ⊥平面PAB ，故三棱锥B PAB -的外接球在过底面PAB △外接圆圆心且垂直于底面PAB △的直线上， 由正弦定理，可得PAB △外接圆的半径为122sin603PA r =⨯=所以三棱锥C PAB -外接球的半径为22222162233AC R r ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以三棱锥C PAB -外接球的表面积为2216644433S R πππ==⨯=， 即三棱锥P ABC -外接球的表面积为2216644433S R πππ==⨯=. 故选：B.7．（2022·福建龙岩·高一期中）已知三棱锥A -BCD 中，22CD =2BC AC BD AD ====，则此几何体外接球的表面积为（ ） A ．23πB ．2πC 82πD ．8π【答案】D 【解析】 【分析】根据三棱锥的几何特点计算出三棱锥外接球的半径，即可计算出表面积. 【详解】如图，O 为CD 的中点，根据题意，BCD △和ACD △都是直角三角形，且 2OA OB OC OD ===O ∴是三棱锥外接球的球心，且外接球的半径2R OA =所以外接球的表面积为：24?8S R ππ==. 故选：D.8．（2022·湖南·雅礼中学高一期中）在正三棱锥P ABC -中，23AB =正三棱锥P ABC -的体积是43P ABC -外接球的表面积是（ ） A ．5π B ．15πC ．25πD ．35π【答案】C【分析】根据体积求得锥体高度，利用正弦定理求出底面所在的圆的半径，结合勾股定理求得外接球的半径，即可求出其表面积． 【详解】如图所示，设点G 为ABC 的外心，则PG ⊥平面ABC ，由13P ABC ABCV SPG -=⋅=1132334332PG ⨯⨯= ∴4PG =，则三棱锥P ABC -的外接球的球心O 在直线PG 上．设其外接球的半径为R ， 由正弦定理得22sin3AB AG π==，在Rt OAG 中，|||4|OG PG R R =-=-，由勾股定理得222OA OG AG =+，即2222|4|R R =+-，解得52R =． 正三棱锥P ABC -外接球的表面积是22544252S R πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故选：C ．二、多选题9．（2022·浙江宁波·高一期中）已知点,,,A B C D 是半径为2的球面上不共面的四个点，且23AB CD ==，则四面体ABCD 体积的值可能为（ ）A ．3B ．4C ．43D ．6【答案】AB 【解析】 【分析】设球心为O ，,E F 分别为,AB CD 中点，根据球心的特征可知求得1OE OF ==，知,E F 是以O 为球心，1为半径的球面上的点，从而得到02EF OE OF <+=≤，利用三棱锥体积公式可确定223A BCD A CDE CDEV V S d --==⋅，结合3d AE =≤CDE △边CD 上的高2h EF ≤≤可求得体积最大值，由此确定选项.设O 为,,,A B C D 所在球面的球心，,E F 分别为,AB CD 中点，2OA OC ．3AB CD ==OE AB ∴⊥，OE CD ⊥且3AE CF ==1OE OF ∴==，则,E F 均是以O 为球心，1为半径的球面上的点，则02EF OE OF <+=≤，E 是AB 中点，223A BCD A CDE CDEV V S d --∴==⋅（d 为点A 到平面CDE 距离，3d AE ≤， 又12CDESCD h =⋅（h 为点E 到CD 距离，2h EF ≤≤）， 2232343A BCD V -⨯∴=≤，当且仅当,,E O F 三点共线且AB CD ⊥时等号成立．故选：AB ． 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的外接球相关问题的求解，解题关键是能够确定,AB CD 中点,E F 是以O 为球心，1为半径的球面上的点，从而能够确定点A 到平面CDE 距离和点E 到CD 距离的范围，利用棱锥体积公式可求得体积的最大值.10．（2022·福建师大附中高一期中）在直三棱柱111ABC A B C -中，3ABC π∠=，1AC AA =，若该三校柱的外接球的表面积为28π，则该三棱柱的体积不可能是（ ） A ．15 B ．18 C ．21 D ．24【答案】CD 【解析】 【分析】设1AC AA m ==，求得ABC 的外接圆的半径3r =结合球的表面积公式和球的截面性质，列出方程求得23m =ABC 面积的最大值，根据柱体的体积公式求得棱柱的最大体积，结合选项，即可求解. 【详解】如图所示，设1AC AA m ==， 在ABC 中，3ABC π∠=，AC m =，所以外接圆的半径23sin3m r π==3r = 取上底面111A B C △和下底面ABC 的外心，分别为21,O O ，连接12O O ，取得12O O 的中点O ，可得O 为直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心， 设直三棱柱111ABC A B C -的外接球的半径为R ，可得2428R ππ=，解得27R =，在1BOO 中，可得22211OB O B OO =+，即222(()723m R =+=，解得212m =，所以23m =111ABC A B C -的高为3在ABC 中，由余弦定理得2222122cos23b c bc b c bc bc bc bc π=+-=+-≥-=，当且仅当b c =时，等号成立，所以12bc ≤， 所以ABC 的最大面积为max 1sin 3323S bc π==所以三棱柱111ABC A B C -的体积的最大值为332318V Sh ==. 所以三棱柱111ABC A B C -不可能为21和24. 故选：CD.11．（2022·浙江省定海第一中学高一期中）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ） A ．长方体中含有两个相同的等腰四面体B ．“等腰四面体”各面的面积相等，且为全等的锐角三角形C ．“等腰四面体”可由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠得到D ．三组对棱长度分别为a ，b ，c 的“等腰四面体”222a b c ++【答案】ABC 【解析】【分析】作出长方体，根据等腰四面体的定义得出图形，根据长方体的性质判断各选项． 【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D -有两个相同的等腰四面体：11ACB D 和11AC BD ，A 正确；如等腰四面体11AC BD 中，每个面可能看作是从长方体截一个角得出的， 如图，设11111,,A D A B AA 的长分别为,,x y z ，不妨设x y z ≥≥， 则2211B D x y +221AD x z +221AB y z +1BD 最大， 其所对角的余弦值为22222221122222222cos 02B AD y z x zy z x z∠==>+⋅++⋅+，最大角11B AD ∠为锐角，三角形为锐角三角形，同理其它三个面都是锐角三角形，各个面的三条边分别相等，为全等三角形，面积相等，B 正确；把一个等腰四面体沿一个顶点出发的三条棱剪开摊平，则得一个锐角三角形，还有三条棱是这个三角形的三条中位线，如等腰四面体11ACB D ，沿11,,AB AD AC 剪开摊平，11,ND PD 共线，同理可得,CM DP 共线，11,B M B N 共线，MNP △为锐角三角形（与等腰四面体11ACB D 的面相似），且1111,,B C B D CD 是这个三角形的中位线，因此C 正确；如上等腰四面体11AC BD 中三条棱长分别是长方体的三条面对角线长，由长方体性质知长2222a b c ++D 错。
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二、构造长方体或正方体确定球心 1．正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角 形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； 2．同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱 锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； 3．若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方 体； 4．若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正 方体。
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【小结】 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度 分别为 a，b，c，则可以将这个三棱锥补形成一个长方体，于是长方体的 体对角线的长就是该三棱锥外接球的直径。设其外接球的半径为 R，则 2R＝ a2＋b2＋c2。
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【变式训练 2】 (2016·洛阳统一考试)如图是某几何体的三视图，则 该几何体的外接球的表面积为( )
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【典例 2】 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3，则其 外接球的体积是________。
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【解析】 三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3，则可将 3
三棱锥补形成正方体。从而外接球的直径为 3，半径为2，故所求外接球 的体积 V＝43π×233＝92π。
9π 【答案】 2
【答案】 D
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三、由性质确定球心 利用球心 O 与截面圆圆心 O′的连线垂直于截面圆及球心 O 与弦中 点的连线垂直于弦的性质，确定球心。
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【典例 3】 正三棱锥 A－BCD 内接于球 O，且底面边长为 3，侧 棱长为 2，则球 O 的表面积为________。
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【解析】 如图，设三棱锥 A－BCD 的外接球 的半径为 r，M 为正△BCD 的中心，因为 BC＝ CD＝BD＝ 3，AB＝AC＝AD＝2，AM⊥平面 BCD，所以 DM＝1，AM＝ 3，又 OA＝OD＝r，
【答案】 C
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【小结】 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的 直径”这一性质来迅速求解的。
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【变式训练 1】 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表 面积为( )
A．16π C．8π
B．4π D．2π
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【解析】 由三视图可知该三棱锥的高为 1，底面为一个直角三角形， 由于底面斜边上的中线长为 1，则底面外接圆的半径为 1，顶点在底面上 的投影落在底面外接圆的圆心上。由于顶点到底面的距离与底面外接圆 的半径相等，则三棱锥的外接球的半径 R 为 1，则三棱锥的外接球的表 面积 S＝4πR2＝4π，故选 B。
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1．长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点； 2．正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点； 3．直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点； 4．正棱锥的外接球球心在其高线上，具体位置可通过构造直角三角 形运用勾股定理计算得到； 5．若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就 是其外接球的球心。
△ABC 的外接圆圆心 N 是 BC 的中点，同理△A1B1C1 的外心 M 是 B1C1 的中点。设正方形 BCC1B1 的边长
x
x
为 x，Rt△OMC1 中，OM＝2，MC1＝2，OC1＝R＝1(R 为球的半径)，
∴2x2＋2x2＝1，即 x＝ 2，则 AB＝AC＝1， ∴S 矩形 ABB1A1＝ 2×1＝ 2。故选 C。 【答案】 C
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【典例 1】 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体
积为 16，则这个球的表面积是( )
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
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【解析】 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积 为 16，可求得底面边长为 2，故球的直径为 22＋22＋42＝2 6，半径为 6， 球的表面积为 24π，故选 C。
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一、由球的定义确定球心 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这 个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。也就是说如果一个 定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该 简单多面体外接球的球心。深刻理解球的定义，可以得到简单多面体的 一些常见结论：
微专题 巧突破
冲击名 简单多面体的外接球问题是立体几何中的难点也是重要的考点，此 类问题最能有效考查考生的空间想象能力，自然受到命题者的青睐。有 些同学对于此类问题的解答，往往不知从何处入手，其实简单多面体的 外接球问题实质上就是解决球的半径和确定球心位置的问题，其中球心 的确定是关键，抓住球心就抓住了球的位置。为此下面介绍了几个解决 球类问题的策略，可以快速秒杀各类球的球心。
A．200π
B．150π
C．100π
D．50π
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【解析】 由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去 3 个角后 得到，该长方体的长、宽、高分别为 5、4、3，所以其外接球半径 R 满足 2R＝ 42＋32＋52＝5 2，所以该几何体的外接球的表面积为 S＝4πR2＝
5 2 4π× 2 2＝50π。故选 D。
23 所以( 3－r)2＋1＝r2，解得 r＝ 3 ，所以球 O
16π 的表面积 S＝4πr2＝ 3 。
16π 【答案】 3
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【小结】 本题是运用公式 R2＝r2＋d2 求球的半径的，该公式是求球 的半径的常用公式。本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通 解通法，该方法的实
质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化 为平面几何问题来研究。这种等价转化的数学思想方法值得我们深思。
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【变式训练 3】 如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上，AB＝AC，侧
面 BCC1B1 是半球底面圆的内接正方形，则侧面 ABB1A1 的面积为( )
2 A. 2
B．1
C. 2
D. 3
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【解析】 由题意知，球心在侧面 BCC1B1 的中心 O 上，BC 为△ABC 所在圆面的直径，∴∠BAC＝90°，