外接球与内切球专题(课资材料)

【答案】 B
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二、构造长方体或正方体确定球心 1．正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角 形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； 2．同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱 锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； 3．若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方 体； 4．若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正 方体。
△ABC 的外接圆圆心 N 是 BC 的中点，同理△A1B1C1 的外心 M 是 B1C1 的中点。设正方形 BCC1B1 的边长
x
x
为 x，Rt△OMC1 中，OM＝2，MC1＝2，OC1＝R＝1(R 为球的半径)，
∴2x2＋2x2＝1，即 x＝ 2，则 AB＝AC＝1， ∴S 矩形 ABB1A1＝ 2×1＝ 2。故选 C。 【答案】 C
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【典例 2】 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3，则其 外接球的体积是________。
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【解析】 三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3，则可将 3
三棱锥补形成正方体。从而外接球的直径为 3，半径为2，故所求外接球 的体积 V＝43π×233＝92π。
9π 【答案】 2
23 所以( 3－r)2＋1＝r2，解得 r＝ 3 ，所以球 O
16π 的表面积 S＝4πr2＝ 3 。
16π 【答案】 3
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【小结】 本题是运用公式 R2＝r2＋d2 求球的半径的，该公式是求球 的半径的常用公式。本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通 解通法，该方法的实
质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化 为平面几何问题来研究。这种等价转化的数学思想方法值得我们深思。
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【典例 1】 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体
积为 16，则这个球的表面积是( )
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
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【解析】 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积 为 16，可求得底面边长为 2，故球的直径为 22＋22＋42＝2 6，半径为 6， 球的表面积为 24π，故选 C。
【答案】 D
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三、由性质确定球心 利用球心 O 与截面圆圆心 O′的连线垂直于截面圆及球心 O 与弦中 点的连线垂直于弦的性质，确定球心。
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【典例 3】 正三棱锥 A－BCD 内接于球 O，且底面边长为 3，侧 棱长为 2，则球 O 的表面积为________。
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【解析】 如图，设三棱锥 A－BCD 的外接球 的半径为 r，M 为正△BCD 的中心，因为 BC＝ CD＝BD＝ 3，AB＝AC＝AD＝2，AM⊥平面 BCD，所以 DM＝1，AM＝ 3，又 OA＝OD＝r，
【答案】 C
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【小结】 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的 直径”这一性质来迅速求解的。
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【变式训练 1】 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表 面积为( )
A．16π C．8π
B．4π D．2π
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【解析】 由三视图可知该三棱锥的高为 1，底面为一个直角三角形， 由于底面斜边上的中线长为 1，则底面外接圆的半径为 1，顶点在底面上 的投影落在底面外接圆的圆心上。由于顶点到底面的距离与底面外接圆 的半径相等，则三棱锥的外接球的半径 R 为 1，则三棱锥的外接球的表 面积 S＝4πR2＝4π，故选 B。
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【变式训练 3】 如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上，AB＝AC，侧
面 BCC1B1 是半球底面圆的内接正方形，则侧面 ABB1A1 的面积为( )
2 A. 2
B．1
C. 2
D. 3
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【解析】 由题意知，球心在侧面 BCC1B1 的中心 O 上，BC 为△ABC 所在圆面的直径，∴∠BAC＝90°，
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一、由球的定义确定球心 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这 个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。也就是说如果一个 定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该 简单多面体外接球的球心。深刻理解球的定义，可以得到简单多面体的 一些常见结论：
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【小结】 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度 分别为 a，b，c，则可以将这个三棱锥补形成一个长方体，于是长方体的 体对角线的长就是该三棱锥外接球的直径。设其外接球的半径为 R，则 2R＝ a2＋b2＋c2。
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【变式训练 2】 (2016·洛阳统一考试)如图是某几何体的三视图，则 该几何体的外接球的表面积为( )
微专题 巧突破
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巧定各类外接球的球心 简单多面体的外接球问题是立体几何中的难点也是重要的考点，此 类问题最能有效考查考生的空间想象能力，自然受到命题者的青睐。有 些同学对于此类问题的解答，往往不知从何处入手，其实简单多面体的 外接球问题实质上就是解决球的半径和确定球心位置的问题，其中球心 的确定是关键，抓住球心就抓住了球的位置。为此下面介绍了几个解决 球类问题的策略，可以快速秒杀各类球的球心。
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1．长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点； 2．正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点； 3．直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点； 4．正棱锥的外接球球心在其高线上，具体位置可通过构造直角三角 形运用勾股定理计算得到； 5．若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就 是其外接球的球心。
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A．200π
B．150πห้องสมุดไป่ตู้
C．100π
D．50π
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【解析】 由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去 3 个角后 得到，该长方体的长、宽、高分别为 5、4、3，所以其外接球半径 R 满足 2R＝ 42＋32＋52＝5 2，所以该几何体的外接球的表面积为 S＝4πR2＝
5 2 4π× 2 2＝50π。故选 D。