高中数学 立体几何 4.高考数学中的内切球和外接球问题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学中的内切球和外接球问题
一、 有关外接球的问题 一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .
例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .
例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A. 16π
B. 20π
C. 24π
D. 32π
3.求多面体的外接球的有关问题
例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8
9
，底面周长为3，则这个球的体积为 .
解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有
⎪⎩⎪⎨⎧⨯==h x x 24368
936
⎪⎩
⎪⎨⎧=
=213
x h
∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ，球心到底面的距离2
3
=d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：3
3
4R V π=
. 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
二、构造法(补形法) 1、构造正方体
例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.
例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .
故其外接球的表面积ππ942==r S .
小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径为R 2体对角线长l 即2
2
22c b a R ++=
练习：在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,6
,1，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表
面积。球的表面积为π
π16
42=
=R
S
例6一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）
A. π3
B. π4
C. π3
3 D. π6
例7 已知球O的面上四点A、B、C、D，ABC
DA平面
⊥，BC
AB⊥，
3
=
=
=BC
AB
DA，则球O的体积等于.
解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于ABC
DA平面
⊥，BC
AB⊥，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为
3
=
=
=BC
AB
DA，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出3=
CD.故球O的体积等于π
2
9.（如图4）
A
O 图4
C B
O
图5
2、例8已知点A、B、C、D在同一个球面上，BCD
AB平面
⊥，BC
DC⊥，若8
,
13
2
,6=
=
=AD
AC
AB，则球的体积是
解析：首先可联想到例7，构造下面的长方体，于是AD为球的直径，O为球心，4=
=OC
OB为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出BOC
∠即可，在ABC
Rt∆中，求出4=
BC，所以 60
=
∠BOC，故B、C两点间的球面距离是π
3
4.（如图5）
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
三.多面体几何性质法
例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A.π
16 B.π
20 C.π
24 D.π
32.
小结:本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
四.寻求轴截面圆半径法
例正四棱锥ABCD
S-的底面边长和各侧棱长都为2，点
D
C
B
A
S,
,
,
,都在同一球面上，则此球的体积为
解:设正四棱锥的底面中心为
1
O，外接球的球心为O，
如图1所示.∴由球的截面的性质，可得ABCD
OO平面
⊥
1
.
又ABCD SO平面
⊥
1，∴球心O必在
1
SO所在的直线上.
∴ASC
∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.
在ASC
∆中，由2
2
2
,2
,2AC
SC
SA
AC
SC
SA=
+
=
=
=得，
C D
A B
S
O1
图3