高中数学 立体几何 4.高考数学中的内切球和外接球问题

高考数学中的内切球和外接球问题

一、 有关外接球的问题 一、直接法(公式法)

1、求正方体的外接球的有关问题

例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .

例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.

2、求长方体的外接球的有关问题

例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .

例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.

A. 16π

B. 20π

C. 24π

D. 32π

3.求多面体的外接球的有关问题

例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8

9

，底面周长为3，则这个球的体积为 .

解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有

⎪⎩⎪⎨⎧⨯==h x x 24368

936

⎪⎩

⎪⎨⎧=

=213

x h

∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ，球心到底面的距离2

3

=d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：3

3

4R V π=

. 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.

二、构造法(补形法) 1、构造正方体

例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.

例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .

故其外接球的表面积ππ942==r S .

小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径为R 2体对角线长l 即2

2

22c b a R ++=

练习：在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,6

,1，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表

面积。球的表面积为π

π16

42=

=R

S

例6一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）

A. π3

B. π4

C. π3

3 D. π6

例7 已知球O的面上四点A、B、C、D，ABC

DA平面

⊥，BC

AB⊥，

3

=

=

=BC

AB

DA，则球O的体积等于.

解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于ABC

DA平面

⊥，BC

AB⊥，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为

3

=

=

=BC

AB

DA，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出3=

CD.故球O的体积等于π

2

9.（如图4）

A

O 图4

C B

O

图5

2、例8已知点A、B、C、D在同一个球面上，BCD

AB平面

⊥，BC

DC⊥，若8

,

13

2

,6=

=

=AD

AC

AB，则球的体积是

解析：首先可联想到例7，构造下面的长方体，于是AD为球的直径，O为球心，4=

=OC

OB为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出BOC

∠即可，在ABC

Rt∆中，求出4=

BC，所以 60

=

∠BOC，故B、C两点间的球面距离是π

3

4.（如图5）

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

三.多面体几何性质法

例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是

A.π

16 B.π

20 C.π

24 D.π

32.

小结:本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.

四.寻求轴截面圆半径法

例正四棱锥ABCD

S-的底面边长和各侧棱长都为2，点

D

C

B

A

S,

,

,

,都在同一球面上，则此球的体积为

解:设正四棱锥的底面中心为

1

O，外接球的球心为O，

如图1所示.∴由球的截面的性质，可得ABCD

OO平面

⊥

1

.

又ABCD SO平面

⊥

1，∴球心O必在

1

SO所在的直线上.

∴ASC

∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.

在ASC

∆中，由2

2

2

,2

,2AC

SC

SA

AC

SC

SA=

+

=

=

=得，

C D

A B

S

O1

图3