6-内点法路径跟踪

p < 1且接近于 1的正数。 的正数。
四、计算步骤
1.给定初点( x (1) , y (1) , s (1) ), 其中x (1) > 0, s (1) > 0, 取p ∈ (0,1), 精度ε > 0, 正数M , k := 1 2.计算ρ = b − Ax ( k ) , σ = c − AT y ( k ) − s ( k ) , γ = x ( k )T s ( k ) ,
+ 非空， 定理1： 设线性规划( P )的可行域有界且内部 S P 非空，
条件存在唯一内点解。 则对每个正数 µ , 松弛KKT条件存在唯一内点解。 松弛KKT系统的唯一解 ( x ( µ ), y( µ ), s( µ ))组成的点集 对偶中心路径。 ｛( x ( µ ), y( µ ), s( µ )) | µ > 0｝称为原始 - 对偶中心路径。
Ax = b, x ≥ 0 T 松弛KKT条件为 A y + s P ) s .t . Ax = b, x ≥ 0.
和
maxb T y ( D ) s .t . A T y + s = c s≥0
三、选择步长参数
0 AT 0
0 ∆x b − Ax T I ∆ y = c − A y − s X ∆s µe − XSe
选择步长参数 λ , 使其满足 x + λ ∆ x > 0, s + λ ∆ s > 0. ∆x j ∆s i ,− )],1}, λ = min{ p[max ( − i, j xj si
y T S = { x | Ax = b, x > 0}, S = { | A y + s = c , s > 0} s
+ P + D
一、松弛KKT条件和中心路径 松弛KKT条件和中心路径 KKT
性质， 根据线性规划互补松弛 性质， x , y , s为最优解的 Ax = b , x ≥ 0 T 充要条件是 A y + s = c , s ≥ 0 ( KKT 条件 ) XSe = 0 其中 X = diag ( x 1 , x 2 ,L , x n ), Y = diag ( s 1 , s 2 ,L , s n )
µ =δ
γ
n
, 其中0 < δ < 1, 通常取0.1.
3.若 || ρ ||1 < ε , || σ ||1 < ε , γ < ε , 则停止计算，得到最优 解 则停止计算， ( x ( k ) , y ( k ) , s ( k ) ).若 || x ( k ) ||∞ > M或 || y ( k ) ||∞ > M , 则停止计算。 则停止计算。 A 0 0 ∆ x ( k ) ρ (k ) T 4.解方程 0 A I ∆ y = σ . S 0 X ∆s ( k ) µe − XSe
例 给定线性规划
min x1 − x 2 s .t . x1 + x 2 = 2, x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0. 用路径跟踪算法迭代一 次.
5.置λ = min{ p[max( −
i, j
∆x (jk ) x (jk )
∆s i( k ) ,− ( k ) )],1}, 令x ( k +1) = x ( k ) + λ ∆x ( k ) , si
y ( k +1) = y ( k ) + λ∆y ( k ) , s ( k +1) = s ( k ) + λ ∆s ( k ) , k := k + 1, 转步2.
在中心路径上， 减少时， 定理 2：在中心路径上，当 µ减少时，原问题的目标 值 单调减少且趋于最优值 ，对偶问题目标值单调 增加且 趋于最优值， 趋于最优值，对于每个 中心路径参数 µ , 对偶间隙 c x ( µ ) − b y ( µ ) = nµ。
T T
二、参数 µ 的估计和移动方向的计算 理想情形：求出中心路径( x( µ ), y( µ ), s( µ )), 再令µ → 0, 理想情形：
内点法---路径跟踪算法 内点法 路径跟踪算法
min c T x ( P ) s .t . Ax = b, x ≥ 0. maxb T y ( D ) s .t . A T y + s = c s≥0
和
可行域记为 y T S P = { x | Ax = b, x ≥ 0}, S D = { | A y + s = c , s ≥ 0} s 可行域内部记为
和对偶问题的最优解。 取极限即可求得原问题 和对偶问题的最优解。
路径跟踪算法并不计算中心路径，而是通过迭代， 路径跟踪算法并不计算中心路径，而是通过迭代，大致 沿着中心路径逼近最优解。 沿着中心路径逼近最优解。 T
x s . 任给( x , y , s ), 其中x > 0, s > 0, 估计µ = n 目标是求一个方向（ , 目标是求一个方向（ ∆x , ∆y , ∆s）使迭代产生的点
( x + ∆x , y + ∆y , s + ∆s )位于原始对偶中心路径 上。
A( x + ∆x ) = b, T 即 A ( y + ∆y ) + ( s + ∆s ) = c , ( X + ∆X )( S + ∆S )e = µe
A 去掉二次项 ⇒ 0 S