二次根式知识方法题型总结

⎩- a(a < 0)

再根据具体情况判断是否需要讨论 a 2 = a = ⎨

.

b = 学习必备 欢迎下载

二次根式知识方法题型总结

一、本章知识内容归纳

1.概念：

①二次根式——形如 的式子；当 时有意义，当 时无意义；

②最简二次根式——根号中不含 和 的二次根式；

③同类二次根式——

的二次根式；

2.性质：① a ≥ 0(a ≥ 0) 非负性;

② ( a ) 2 = a(a ≥ 0) ;

③

⎧a(a ≥ 0)

(字母从根号中开出来时要带绝对值 ) 3.运算: 运算结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式

①乘法和积的算术平方根可互相转化: a ⋅ b =

ab (a ≥ 0, b ≥ 0) ;

②除法和商的算术平方根可互相转化:

a a b

(a ≥ 0, b > 0)

③加减法：先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；

④混合运算：有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用； ⑤乘法公式的推广：

a ⋅ a ⋅ a ........ ⋅ a =a ⋅ a ⋅ a ....... ⋅ a (a ≥ 0,⋅a ≥ 0,..... ⋅ a ≥ 0) 二、本章常用方

1 2

3

n

1

2

3

n

1

2

n

法归纳

方法 1.开方

①偶数次方：

a

2n =

a

n

； ②奇数次方：

a

2n +1

=

a

n

⋅ a

方法 2.分母有理化：

①概念：分母有理化就是通过

使得

其中

叫做该分母的有理化因式；

②常用的有理化因式：

a 与 a 、 a +

b 与 a - b 、 a + b 与 a - b 互为有理化因式；

③分母有理化步骤：

先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式；

将计算结果化为最简二次根式的形式。

方法 3. 非 0 的二次根式的倒数

a =

b 的倒数： b

②

a

a = （2） - x － 1

（3） 2 x -1

2．若 x 、y 为实数，y ＝ x - 2 ＋ 2 - x ＋3．则 y =

(x + 3)2 = 0 ，则 学习必备 欢迎下载

① a 的倒数： 1 1 a

a =

a

（a>0）;

a （a>0, b>0）;

③※因为 ( n + 1 + n )( n + 1 - n ) =

，

所以 ( n + 1 + n ) 的倒数为

；

方法 4. 利用“

”外的因数化简“

”

① a 1 a

a = a (a ≥ 0) ；

② a b = a 2b (a ≥ 0, b ≥ 0) ；

三、本章典型题型归纳

（一）二次根式的概念和性质

1．x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

（1） x + 2 － 3 - 2 x ；

x + 1 ；

| x | -2 ；

x

3．根据下列条件，求字母 x 的取值范围：

（1） ( x + 3) 2 = x + 3 ；

（2） x 2 = - x ；

（3） x 2 - 2x + 1 ＝1－x ；

（4）※ ( x - 2)2 + ( x - 3)2 ＝1 ；

4．已知 2a - 1 ＋ b - 2a ＋ a + b + c ＝0．

则 a=

, b= , c= .

5.已知 x - 3 y + x 2 - 9 x + 1

y + 1 =______________

6．在实数范围内因式分解：x 4－4＝______________． 7．已知 a,b,c 为三角形的三边，

则 (a + b - c) 2 + (b - c - a) 2 + (b + c - a) 2 =

23=

5y

=

（9）=（11）-6

2 +

45-8+42(5)(6x

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8.若最简二次根式2

4x+1与最简二次根式46x-1可以合并，则x的取值为5

※9．已知a<0，化简二次根式-a3b=

※10．把m-1

m根号外的因式移到根号内，得

（二）二次根式的运算11．乘除法口算：

（1）11

（3）17÷85=（5）2= 63

（2）1

8

=（4）

2

（6）

x

3

33

=

（8）12x y÷2

3

x6

=（10）=

y2

（12）4b21

2b

1

=（15）(-3)⋅212÷(-52)=

4

12.计算：（能简算的要简算）

（1）(π1)0-12+-3．（2）8＋(－1)3－2×

2 2

(3)45+

1

-2x)÷3x 4x