7.2上极限和下极限

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上极限和下极限

11.06.2020
上上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质例（ 3p175#2)
11.06.2020
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22
二上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质例（ 3p175#2)
11.06.2020
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12
二上极限与下极限的性质与判断方法 1 数列的上下极限的关系
证明：设 lni m xn=A， lni m xn=A )
同理，小于A的项也至多只有有限多项，从而(A,A)之外含数列至多有限项，
由数列极限的定义，得证。
11.06.2020
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13
二上极限与下极限的性质与判断方法 2 数列的上下极限的判断方法
若 {a n}{b n}之一收敛，如 {b n}收敛，则 ln i m a n+ln i m b nln i m （ a n+ b n ） ln i m （ a n+ b n ） ln i m a n+ln i m b n
11.06.2020
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4
一上极限与下极限的定义 3 数列的聚点的性质
11.06.2020
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5
一上极限与下极限的定义 4 数列的上下极限的定义
11.06.2020
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6
一上极限与下极限的定义 4 数列的上下极限的定义
11.06.2020
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11.06.2020

上极限和下极限

概率测度的收敛
在概率测度的收敛性研究中，上极限和下极限也发挥了重要作用，例如在研究概率空间的收敛性和概率测度的弱收敛时。
2023
PART 05
结论
REPORTING
主题总结
上极限和下极限是数学中两个重要的概念，用于描述数列或函数在无穷大或无穷小的情况下的行为。
上极限和下极限的概念在数学分析、实数理论、函数分析等领域有着广泛的应用，对于理解函数的性质和行为至关重要。
2023PART 03下极 Nhomakorabea的概念和性质
REPORTING
下极限的定义
• 定义：对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，有 $a_n<\alpha+\varepsilon$。则称数$\alpha$为数列 ${a_n}$的下极限。
下极限的性质
唯一性
主题历史背景
上极限和下极限的概念起源于数学分析的发展，特别是在实数理论的研究中。
历史上，上极限和下极限的概念在数学分析中得到了广泛的应用和发展，为解决一系列数学问题提供了重要的工具和方法。
2023
PART 02
上极限的概念和性质
REPORTING
上极限的定义
上极限的性质
唯一性
给定数列${ a_n }$的上极限至多有一个。
下极限
下极限是数学中的一个概念，它描述了一个序列或集合的“下确界”，即比该序列或集合中所有元素都大的最小值。
主题重要性
上极限和下极限是数学分析中的重要概念，它们在研究函数的性质、数列的收敛性和实数的完备性等方面有着广泛的应用。
上极限和下极限的概念有助于理解实数集的完备性，即实数集具有完备性，意味着实数集的所有子集都有上界和下界。

7.2 距离空间的极限,抽密集,可分空间

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结束
第2页 2)平面 R 2 按距离， ( x , y )
开球为 Sx0 , r x x R2 , x1 x012 x2 x02 2 r 2 --平面上不含边界的圆域 3）平面R2按距离

x1
y1 x 2 y 2
n n n
lim x n x lim ( x n , x ) 0 注：在距离空间中，n n
0, N ,当n N时， ( xn , x )
定理1 (极限的性质)设(X,d)是距离空间，{xn}X. 1) {xn}收敛其极限唯一 ( ( x, y) ( x, xn ) ( xn , y) ) 2) {xn}收敛{xn}一定是有界的 3) xn x n xn xn , xn x (k )
( x 0 , x 2 ) ( x 0 , x1 ) ( x1 , x 2 ) x 2 A S ( x 0 , ), x 2 x 0 x 0 是 A 的极限点
2
2
x 0 A ( A ) A A 是闭集 x0 ( A ) 0, x1 A S ( x0 , ) ( x0 , x1 ) , x1 x0 2 2
2 (1) 欧氏距离空间Rn, 1 x , y xi yi

n

1 2
i 1
(k ) (k ) xk x1(k ) , x2 ,, xn x x1, x2 ,, xn k
x k , x 0 k
机动目录

上极限与下极限

{
}
(ii)当 H = +∞ 时,数列 {an }无上界,由此便获得所要的结论. (iii)当 H = −∞ 时,对任何 G > 0 ,存在 n 0 ,当 n > n0 时 a ≤ β < −G 这表明{an } 的极限为 −∞ .
n +1 n
(i)当 h 为有限时,对 h 的任何ε 邻域 (h − ε , h + ε ) ，在数列 {an } 中有无穷多个项属于这个邻域,而最多只有有限多项小于 h − ε (包括一项也没有);
n →∞
}
0
0
因此
H = liman = lim β n ≤ H − ε o
n →∞
这与定理的假设矛盾，这就证明了对任何 ε > 0，在 {an } 中必有无穷多个项大于 H − ε 再来证明，在 {an } 中最多只有有限多个项大于H + ε ．因为，由于 lim β n = H ，故存在 N,当 n > N 时 n→ ∞ 有 β n < H + ε ,而 β n 又是 an +1, an + 2, an + 3, L 的上确界, 所以当 n > N 时,对一切正整数成立 an + k ≤ β n < H + ε , 这就证明了大于 H + ε 的 an 只可能有有限多个(包括一个也没有).
n>k n>k
可见 α k ≤ β k．令 k = 1,2,3,L ，于是得到一列 {β k } 和一 { 列 {α k }．显然数列 {β k }是单调减少的，α k } 是单调增加的, 所以这两个数列的极限都存在．我们称 {β k }的极限是 { a n } { 的上级限，设它是H ．α k } 的极限是{ a n } 的下极限, 设它是 h .并分别将上极限和下极限记为 lim an , lim an , ．也就 n →∞ n →∞ 是 H = lim a = lim sup{a } = lim β

数学分析7.2闭区间上连续函数性质的证明

第七章实数的完备性2 闭区间上连续函数性质的证明有界性定理：若函数f 在闭区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上有界. 证法一：(应用有限覆盖定理)由连续函数局部有界性知，对每一点x 0∈[a,b]，都存在邻域U(x 0, δx )及正数M x , 使得|f(x)|≤M x , x ∈U(x 0, δx )∩[a,b]，则开区间集H={U(x 0, δx )|x 0∈[a,b]} 是[a,b]的一个无限开覆盖. 由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集 H ’={U(x i , δi )|x i ∈[a,b], i=1,2,…k}覆盖住[a,b]，且存在正数M 1,M 2,…M k , 使得对一切x ∈U(x i , δi )∩[a,b]，有|f(x)|≤M i , i=1,2,…k. 令M=k i 1max ≤≤M i , 则对任何x ∈[a,b]，x 必属于某U(x i , δi )，且|f(x)|≤M i ≤M. ∴f 在[a,b]上有界.证法二：(应用致密性定理)若f 在[a,b]上无上界，则对任何正整数n ，存在x n ∈[a,b]，使得f(x n )>n. 依次取n=1,2,…，则得到数列{x n } ⊂[a,b]. 由致密性定理，{x n }含有收敛子列{x k n }，记∞→k lim x kn =ξ. 由a ≤x kn ≤b 及数列极限的保不等式性，ξ∈[a,b]. ∵f 在ξ连续，∴∞→k lim f(x kn )=f(ξ)<+∞. 又f(x k n )>n k ≥k →+∞=>∞→k lim f(x kn )=+∞矛盾，∴f 在[a,b]上有上界. 同理可证f 在[a,b]上有下界，∴f 在[a,b]上有界.最大、最小值定理：若函数f 在闭区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上有最大值与最小值.证：(应用确界原理)根据连续函数在[a,b]上的有界性及确界原理知，f 的值域f([a,b])有上确界，记为M.若对一切x ∈[a,b]都有f(x)<M. 令g(x)=f(x )-M 1, x ∈[a,b]，则g 在[a,b]上连续且有上界. 设g 有上界G ，则 0<g(x)=f(x )-M 1<G, x ∈[a,b]，得f(x)<M-G1与M 为f([a,b])的上确界矛盾. ∴必存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=M ，即f 在[a,b]上有最大值.同理可证f 在[a,b]上有最小值.介值性定理：设函数f 在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b). 若μ是介于f(a)与f(b)之间的任何实数，则存在x 0∈[a,b]，使得f(x 0)=μ. 证法一：(应用确界原理)不妨设f(a)<μ<f(b)，令g(x)=f(x)-μ, 则 g 在[a,b]上连续，且g(a)<0, g(b)>0.记E={x|g(x)>0, x ∈[a,b]}，则E 非空有界，E ⊂[a,b]且b ∈E ，由确界原理，E 有下确界，记x 0=inf E.∵g(a)<0, g(b)>0，由连续函数的局部保号性，存在δ>0，使得在[a,a+δ]内g(x)<0，在[b-δ,b]内g(x)>0， ∴x 0≠a, x 0≠b, 即x 0∈(a,b). 若g(x 0)≠0，不妨设g(x 0)>0，则又由局部保号性，存在U(x 0,η)⊂(a,b)，使其内有g(x)>0，特别有g(x 0-2η)>0=>x 0-2η∈E 与x 0=inf E 矛盾， ∴g(x 0)=0，即f(x 0)=μ.证法二：(应用区间套原理)同证法一令g(x)=f(x)-μ.将[a,b]二等分为[a,c]与[c,b]. 若g(c)=0，则c 为所求.若g(c)>0，则记[a 1,b 1]=[a,c]，若g(c)<0，则记[a 1,b 1]=[c,b]，则g(a 1)<0,g(b 1)>0且[a 1,b 1]⊂[a,b]，b 1-a 1=21(b-a).从区间[a 1,b 1]出发，重复上述过程，得g(c 1)=0或g(a 2)<0,g(b 2)>0且[a 2,b 2]⊂[a 1,b 1]，b 2-a 2=221(b-a). 不断重复以上过程，可得g(c n )=0或g(a n+1)<0,g(b n+1)>0且[a n+1,b n+1]⊂[a n ,b n ]，b n -a n =n 21(b-a), n=1,2,…. 即{[a n ,b n ]}是闭区间套，由区间套定理知，存在x 0∈[a n ,b n ], n=1,2,… 若g(x 0)≠0，不妨设g(x 0)>0，由局部保号性，存在U(x 0, δ)，使其内有g(x)>0.又当n 充分大时，有[a n ,b n ]⊂U(x 0, δ)，∴g(a n )>0矛盾. ∴g(x 0)=0，即f(x 0)=μ.一致连续性定理：若函数f 在[a,b]上连续，则f 在[a,b]上一致连续. 证法一：(应用有限覆盖定理)由f 在[a,b]上的连续性，任给ε>0，对每一点x ∈[a,b]，都存在δx >0，使得当x 0∈U(x,δx )时有|f(x 0)-f(x)|<2ε. 令H={U(x,2δx )|x ∈[a,b]}，则H 是[a,b]的一个开覆盖. 由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集H ’={U(x i ,2δi )|i=1,2,…,k}， H ’覆盖了[a,b]. 记δ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2δmin i k i 1>0. 对任何x 1,x 2∈[a,b]，|x 2-x 1|<δ. x 1必属于H ’的某个开区间U(x i ,2δi )，即|x 1-x i |<2δi ，则有 |x 2-x i |≤|x 2-x 1|+|x 1-x i |<δ+2δi ≤2δi +2δi =δi ，又|f(x 1)-f(x i )|<2ε, |f(x 2)-f(x i )|<2ε, 有|f(x 2)-f(x 1)|< ε.∴f 在[a,b]上一致连续.证法二：(应用致密性定理)若f 在[a,b]上不一致连续，则存在某ε0>0，对任何δ>0，都存在相应的两点x ’,x ”∈[a,b]，尽管|x ”-x ’|<δ, 但有|f(x ”)-f(x ’)|≥ε0.令δ=n 1(n 为正整数)，与它相应的两点记为x ’n ,x ”n ∈[a,b]，尽管|x ’n -x ”n |<n1, 但有|f(x ’n )-f(x ”n )|≥ε0.当n=1,2,…时，可得数列{x ’n }与{x ”n }⊂[a,b].由致密性定理，存在{x ’n }的收敛子列{x ’k n }，设x ’k n →x 0∈[a,b](k →∞)，由|x ’k n -x ”k n |<kn 1=>| x ”k n -x 0|≤| x ”k n - x ’k n |+| x ”k n -x 0|→0(k →∞)，得 x ”kn →x 0(k →∞)，又由f 的连续性及数列极限的保不等式性，得：0=|f(x 0)-f(x 0)|=∞→k lim |f(x ’k n )-f(x ”kn )|≥ε0，与ε0>0矛盾， ∴f 在[a,b]上一致连续.习题1、设f 为R 上连续的周期函数. 证明：f 在R 上有最大值与最小值. 证：设f 的周期为T ，∵f 在[0,T]上连续，∴有最大值f(M)和最小值f(m)， M,m ∈[0,T]. 任给x ∈R ，则存在某整数k ，使x ∈[kT,(k+1)T]， ∴x-kT ∈[0,T]，从而有f(m)≤f(x)=f(x-kT)≤f(M)，∴f(M)=R x max ∈{f(x)}, f(m)=Rx min ∈{f(x)}，即 f 在R 上有最大值f(M)与最小值f(m).2、设I 为有限区间. 证明：若f 在I 上一致连续，则f 在I 上有界，举例说明此结论当I 为无限区间时不一定成立.证：设区间I 的左右端点为a,b. ∵f 在I 上一致连续，∴对ε=1，存在δ>0，不妨取δ<2a -b , 当|x ’-x ”|<δ(x ’,x ”∈I)时，有|f(x ’)-f(x ”)|<1. 令a 1=a+2δ, b 1=b-2δ, 则a<a 1<b 1<b.∵f 在[a 1,b 1]上连续，∴f 在[a 1,b 1]上有界，设|f(x)|≤M 1, x ∈[a 1,b 1]. 当x ∈[a,a 1)∩I 时，∵0<a 1-x<2δ<δ，∴|f(x)-f(a 1)|<1, 有|f(x)|<|f(a 1)|+1. 同理当x ∈(b 1,b]∩I 时，有|f(x)|<|f(b 1)|+1.令M=max{M 1,|f(a 1)|+1,|f(b 1)|+1}，则对一切x ∈I ，必有|f(x)|≤M. ∴f 在有限区间I 上有界.例证：y=x 2, x ∈R 一致连续，但∞→x lim x 2=+∞无界.3、证明：f(x)=x sinx 在(0,+∞)上一致连续. 证：∵∞→x lim xsinx =0，由柯西收敛准则知，对∀ε>0，存在M 1>0，使当x ’,x ”>M 1时，有|f(x ’)-f(x ”)|<ε. 又∵0x lim →xsinx =1，同理可知，存在M 2>0，使当0<x ’,x ”<M 2时，有|f(x ’)-f(x ”)|<ε.将(0,+∞)分成三个相交的区间(0,M 2],[2M 2,M 1+2M 2]和[M 1,+∞). ∵f 在[2M 2,M 1+2M 2]连续，∴f 在[2M 2,M 1+2M 2]一致连续. 从而必存在δ>0(δ<2M 2)，当x ’,x ”∈[2M 2,M 1+2M 2]且|x ’-x ”|<δ时，有 |f(x ’)-f(x ”)|<ε. 于是对一切x ’,x ”∈(0,+∞)，当|x ’-x ”|<δ时， x ’,x ”必属于上述区间之一，且都有|f(x ’)-f(x ”)|<ε，∴f 在(0,+∞)上一致连续.4、试用有限覆盖定理证明根的存在性定理.证：设f在[a,b]上连续，且f(a),f(b)异号，不妨设f(a)<0, f(b)>0.若在(a,b)内没有f(x)=0的根，即对每一个x∈(a,b)，都有f(x)≠0，从而对一切x∈[a,b]，有f(x)≠0. 由f的连续性，对每一个x∈[a,b]，存在δx >0，使得f在U(x,δx)∩[a,b]上同号，而H={(x,δx)|x∈[a,b]}是[a,b]的一个开覆盖，由覆盖定理知在H中必存在有限个开邻域H’={(x j,δj)|x j∈[a,b], j=1,2,…,n}覆盖[a,b]，设a∈(x k,δn)(k为1,2,…,n中某一个值)，则f(x)<0, x∈(x k,δk n)∩[a,b].k又∵H’覆盖了[a,b]，∴恒有f(x)<0, x∈[a,b]，即f(b)<0矛盾.∴在(a,b)内f(x)=0至少有一个根. 根的存在性定理得证.5、证明：在(a,b)上连续函数f为一致连续的充要条件是f(a+0)、f(b-0)存在且有限.证：[必要性]设f在[a,b]一致连续，则对任给的ε>0，存在δ>0，使当x’,x”∈(a,b)且|x’-x”|<δ时，有|f(x’)-f(x”)|<ε，则有当x’,x”∈(a,a+δ)时，有|x’-x”|<δ，从而有|f(x’)-f(x”)|<ε，由函数极限的柯西准则知f(a+0)存在且为有限值，同理可证f(b-0)存在且为有限值.[充分性]设f在(a,b)，且f(a+0)、f(b-0)存在且有限，补充定义f(a)=f(a+0), f(b)=f(b-0)，使f在[a,b]上连续，从而一致连续，∴f在[a,b]一致连续.。

数学分析7.3上极限和下极限

第七章实数的完备性 3 上极限和下极限定义1：若在数a 的任一邻域内含有数列{x n }的无限多个项，则称a 为{x n }的一个聚点.注：点列（或数列）的聚点邻域中可以包含无限个相同的项；而点集（或数集）的聚点邻域中只能包含无限个不同的项。

定理7.4：有界点列(数列){x n }至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.证：∵{x n }为有界数列，∴存在M>0，使得|x n |≤M ，记[a 1,b 1]=[-M,M]. 将[a 1,b 1]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 2,b 2]，则[a 1,b 1]⊃[a 2,b 2],且b 2-a 2=21(b 1-a 1)=M. [a 2,b 2]含有{x n }中无穷多个项；将[a 2,b 2]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 3,b 3]，则 ∴[a 2,b 2]⊃[a 3,b 3],且b 3-a 3=21(b 2-a 2)=2M. [a 3,b 3]含有{x n }中无穷多个项；依此规律，将等分区间无限进行下去，可得区间列{[a n ,b n ]}满足 [a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1],且b n -a n =2-n 2M→0 (n →∞)，即{[a n ,b n ]}是区间套，且每一个闭区间都含有{x n }中无穷多个项，而其右边至多只有{x n }中有限多个项.由区间套定理，存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,….又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[a n ,b n ]⊂U(ξ; ε)， ∴U(ξ; ε)内含有{x n }中无穷多个项，∴ξ为{x n }的一个聚点. 若ξ为{x n }的唯一的聚点，则ξ同时为{x n }的最大聚点和最小聚点. 若{x n }有聚点ζ>ξ，则令δ=31(ζ-ξ)>0，在U(ζ,δ)内含有{x n }中无穷多个项，且当n 充分大时，U(ζ,δ)将落在[a n ,b n ]的右边，矛盾。

高等数学(微积分)课件--§7.2正项级数敛散性的判别

N
, 使得当 n N 时 , 有 u n cv n , 则（1）当
v
n 1 n 1

n
收敛时， u n 收敛 ;
n 1

（ 2）当
u
n
发散时， v n 发散 .
n 1

比较收敛法的前提
要有参考级数. （比较的对象）
6
例 1
P-级数讨论 p-级数
1
p
1

1 3
即部分和数列有上界
(2) 设 sn (n )
n
u n 收敛
n1

.
且 un vn ,
则

sn
是无上界数列定理证毕.

v n 发散
n1
.
5
比较判别法的推论
推论设 u n 和 v n 都是正项级数
n 1 n 1
,
且存在常数
c 和自然数
由比较收敛法的推论, 得证.
( 2 ) 由 lim
n
存在 , 若级数

u n 收敛
n1

,
则由结论

( 1 ) 有级数
v n 收敛
n1
, 但级数
v n 发散
n1

,
故级数
u n 不可能收敛
n1
, 即级数发散
.
12
例题讲解
例解
判定级数
sin
n1

1 n
的收敛性
.
且 un v n ( n 1, 2,) ,若 v n 收敛,则 un 收敛;
n 1 n1

数学分析7.3上极限和下极限

7.2正项级数敛散性的判别

∞
1 lim ln n = ∞ 而∑ 2 收敛, n →∞ n =1 n
∞
∞
ln n ∴ ∑ 2 的敛散性依据该定理无法判别. n =1 n
1 ln n n2 = lim ln n = lim ln x = lim x = lim 2 1 = 0 lim 1 n →∞ x →+∞ x →+∞ n →∞ 1 x x x →+∞ 1 2 n 3 2 x 2 n
3 2
n2 1 = lim 2 = n →∞ 3n − 1 3
而级数 ∑
n =1 ∞
1 n
3 2
n 收敛 , ∴ 级数 ∑ 2 收敛. n =1 3n − 1
∞
1 的敛散性 . 例判定级数 ∑ n n =1 3 − n 1
∞
3 n = lim 1 ∵ lim 3 − n = lim = 1, 解 n n→ ∞ n→ ∞ 1 n n→ ∞ 3 − n 1−
当q < 1时, 收敛 n 1 ∑aq 敛散性、当q ≥ 1时, 发散 n=0
∞
1 2、调和级数、 ∑n发散. n=1
∞
§7.2 正项级数敛散性的判别
• • • • 一、正项级数的概念二、比较判别法三、比值判别法四、*根值判别法根值判别法
一、正项级数
称为正项级数正项级数. 定义如果级数 ∑ un中各项均有 un ≥ 0, 这种级数称为正项级数.
n=1 n =1 n =1 ∞ n=1 ∞
∞
∞
判断 ∑ u n的敛散性 .
n=1
∞
对欲求级数进行缩小应缩小为发发散级数. 散级数
c n ≤ un ≤ v n
放大，放大，缩小的方向

多元函数

z f x, y 在点 y y0
M 0 x0 , y0 , f x0 , y0 偏导数 f xx0 , y0 就是曲面 y y0 上曲线
二元函数 z f x, y 是区域D上的一个曲面， P0 x0 , y0 D，所以曲面上有相应的一点
称为函数 z f x, y 的图像。所以二元函数 z f x, y 的几何意义是定义在平面区域D上的三维空间中的一个曲面。
例4 讨论二元函数 z 1 x 2 y 2 的图像。
解：定义域为 x, y x 2 y 2 1 ，并且函数

z 0 。对 z 1 x 2 y 2 两边平方整理后，得
（2，3）点。
z (1)把y看作常数，有 x 2 xy
所以
f x2 2 （2）把x看作常数，有 x
所以
z x
2,3
2 2 3 12
f x
2,3
2 2 2
2
例3 求二元函数
ze
y sin x
的偏导数。
解：（1）把y看作常数，有
z e x
1 解：与一元函数的计算相仿，把 x , y 3 2
代入到二元函数的表达式，得
1 1 1 2 315 f ,3 3 3 2 6 3 2 2
把 x 1, y 1 代入二元函数的表达式，得：
1 f 1,1 1 1 2 1
其中
D是函数 y f x1 , x2 ,, xn 的定义域
x1 , x2 ,, xn 称为自变量，y是因变量，
二元和二元以上的函数统称为多元函数
定义7.3 设D是n维空间 R n 的非空子集，如果对D中的任意点 Px1 , x2 , xn ，按照对应法则f，

7.1-7.2无穷级数的概念和性质

例2 判无级别穷数
1 1 1 + +L+ +L 的敛 . 收性 1⋅ 3 3⋅ 5 (2n −1) ⋅ (2n + 1)
1 1 1 1 ), = ( − 解 Q un = ( 2n − 1)( 2n + 1) 2 2n − 1 2n + 1
1 1 1 + + L+ ∴ sn = 1⋅ 3 3 ⋅ 5 ( 2n − 1) ⋅ ( 2n + 1)
n 2
1 1 1 1 1 1 = [(1 − ) + ( − ) + L + ( − )] 2 3 3 5 2n − 1 2n + 1 1 1 ), = (1 − 2 2n + 1
1 1 1 )= , ∴ lim sn = lim (1 − n→ ∞ n→ ∞ 2 2n + 1 2
1 ∴ 级数收敛 , 和为 . 2
x a n+1 4、； 4、 ( −1) n−1 ； 3、 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ L ⋅ ( 2n) 2n + 1 1 6、 5、 2k − 1.2k − 1,2k , ； 6、 q < 1, q ≥ 1 . 2k 收敛. 发散；收敛；三、收敛. 四、1、发散； 2、收敛； n 1 1 ) ]. 发散、 3、发散、[ s2 n = ∑ ( k + 10k k =1 2
练习题答案
1 1⋅ 2 1⋅ 3 ⋅ 5 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 一、1、 + ； + + + 2 2 ⋅ 4 2 ⋅ 4 ⋅ 6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 10 1! 2! 3! 4! 5! 2、 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ； 1 2 3 4 5

上极限偏差和下极限偏差计算公式

上下极限偏差：如何防止误判和漏判？
在各种检测、测量工作中，上下极限偏差都是必不可少的概念。

那么，上下极限偏差到底是什么呢？我们该如何计算它们呢？本文将详细解读这些概念，为大家提供指导意义。

一、上下极限偏差的定义
上下极限偏差是指产品的最大允许偏差量和最小允许偏差量。

它们是指产品在工艺生产过程中所能允许的偏差范围。

一旦产品超过了这个范围，就会被视为不合格品。

因此，上下极限偏差是制定产品质量标准时必不可少的参数。

二、上下极限偏差的计算公式
上下极限偏差的计算公式如下：
上极限偏差=最大允许尺寸-实际尺寸
下极限偏差=实际尺寸-最小允许尺寸
三、上下极限偏差的示例运用
假设我们现在要检测一批零件的长度是否符合标准，已知最大允许长度为20厘米，最小允许长度为18厘米，实际测量出来零件长度为19.5厘米。

那么，我们可以按照上下极限偏差的计算公式来计算：上极限偏差=20-19.5=0.5厘米
下极限偏差=19.5-18=1.5厘米
四、上下极限偏差存在的意义
上下极限偏差的存在，有利于减少误判和漏判的发生。

通过合理
确定产品的上下限，可确保产品在工艺生产过程中保持一定的稳定性。

同时，也有利于保证产品的品质，提高产品的竞争力和市场占有率。

总之，上下极限偏差是重要的质量参数，了解和正确使用上下极
限偏差的计算公式，可以帮助我们更好地掌握质量控制的核心技术，
提高产品质量，为企业的发展打下坚实的基础。

上极限和下极限

an < A + , 2
ε
bn < B + , 2
前页后页返回
ε
故
an + bn < A + B + ε .
再由定理 7.8 的 (4) 式, 得
n→∞
lim ( an + bn ) ≤ A + B + ε .
因为 ε 是任意的故是任意的,
n →∞
lim (an + bn ) ≤ A + B = lim an + lim bn .
定义 2 有界数列 { xn } 的最大聚点 A 与最小聚点
A 分别称为 { xn } 的上、下极限记为的上、下极限,
A = lim xn ,
n→ ∞
A = lim xn .
n→ ∞
前页后页返回
得知, 有界数列必有上、下极限. 注由定理 7.4 得知有界数列必有上、下极限这样, 下极限的优越性就显现出来了: 这样上、下极限的优越性就显现出来了一个数列若有界, 它的极限可以不存在, 数列若有界它的极限可以不存在此时想通过极限来研究该数列往往是徒劳的; 极限来研究该数列往往是徒劳的但是有界数列的上、下极限总是存在的的上、下极限总是存在的, 这为研究数列的性质提供了一个新的平台. 提供了一个新的平台
(i) 存在 N, 当 n > N 时, xn > B ε ;
(ii) 存在 { xnk }, xnk < B + ε , k = 1, 2, .
n→∞
lim xn = B 的充要条件是: 对于任意的 ε > 0, 的充要条件是
在形式上是对称的, 证 1 和 2 在形式上是对称的所以仅证明 1 .

上极限和下极限

若 B A,
取
0
|B 2
A|
0,
那么在
U (B; 0 ) 内( 此时必
在 U ( A; 0 ) 之外 ) { xn }只有有限项. 这就是说, B
不是 { x的n聚}点, 故仅有一个{ x聚n点} A, 从而
lim
n
xn
lim
n
xn .
反之, 若上式成立, 则的聚点惟{一xn(设} 为 A) ,
0, 0,
1o
必要性所以存在
设
lim
n
xn
A.
因为
A
是
{ xn } 的一个聚点,
{ xnk }, 使得 xnk A (k ), 故对于任
意的存0在,
K 0, 当 k > K 时， A xnk .
将 { xnk } 中的前面 K 项剔除, 这样就证明了(ii).
又因 A 是
1 1, 存在 xn1 , 使 | xn1 a1 | 1;
2
1, 2
存在
xn2 (n2 n1), 使
|
xn2
a2
|
1 2
;
............
k
1, k
存在
xnk (nk nk1), 使
|
xnk
ak
|
1; k
............
这样就得到了 { xn } 的一个子列
满足: { xnk },
{ xn } 的最大聚点, 所以对上述在区间 ,
[ A , ) 上, 至多只含
{ xn } 的有限项. 不然的
话, 因为 { xn } 有界, 故 { xn } 在 [ A , 上 )

§7.2 上极限和下极限数学分析课件(华师大四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件

*点击以上标题可直接前往对应内容定义1上(下)极限的基本概念注点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于:若数列{}n x 满足: 在数0x 的任何一个邻域内均含有中的无限多项, 则称x 0 是数列的{}n x {}n x 常数列()n a a 只有一个聚点: a .的一个聚点.限多个项”. 前者要求“含有无限多个点”, 后者要求“含有无现举例如下:后退前进目录退出定理7.4有界数列至少存在一个聚点, 并且有最大聚点和但作为数列来说, 它却有两个聚点:1 1.-和有五个聚点:π{sin }4n 数列0,.k n x x k →→∞从数列聚点的定义不难看出, x 0 是数列的聚{}n x {(1)}n-作为点集来说它仅有两个点, 点的一个充要条件是:最小聚点.故没有聚点;,1-,22-,0,22.1{},k n x {}n x 存在的一个子列又设{}|{},n E x x x =是的聚点由于E 非空有界, 故由确界原理, sup ,inf .A E A E ==下面证明A 是{ x n } 的最大聚点, 亦即.E A ∈证设}{n x 为有界数列, 的一个聚点.0{}n x x 是于是首先, 由上确界的性质, 由致密性定理, 存在一个收敛子列{},k n x ),(0∞→→k x x kn ,E a n ∈使.A a n →存在存在因为i a 是}{n x 的聚点, ,ε所以对任意正数在区间,11=ε存在,1n x 使;1||11<-a x n ,212=ε存在221(),n x n n >使221||;2n x a -<,1k k =ε存在1(),k n k k x n n ->使;1||k a x k n k <-........................(,)i i a a εε-+{}n x 内含有的无限多项. 现依次令这样就得到了{ x n } 的一个子列满足:,}{k n x lim lim ()lim ,k k n n k k k k k x x a a A →∞→∞→∞=-+=.A E 所以∈同理可证.E A ∈即证得{},n A x 也是的一个聚点定义2称为}{n x 的上、下极限, 记为lim ,lim .n n n n A x A x →∞→∞==有界数列}{n x 的最大聚点A 与最小聚点A 分别注由定理7.4 得知, 有界数列必有上、下极限. 提供了一个新的平台.的上、下极限总是存在的, 这为研究数列的性质极限来研究该数列往往是徒劳的; 数列若有界, 它的极限可以不存在, 此时想通过这样, 上、下极限的优越性就显现出来了: 但是有界数列一个例1 考察以下两个数列的上、下极限:lim (1)1,lim (1) 1.11n nn n n n n n →∞→∞-=-=-++111lim lim 0(lim );n n n n nn →∞→∞→∞===从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限之间存在着的内在联系. 详细讨论请见下文.定理7.6定理7.5上(下)极限的基本性质由上、下极限的定义, 立即得出:对任何有界数列,}{n x 有下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关系.有界数列}{n x 存在极限的充要条件是:lim lim .n n n n x x →∞→∞≤(1)lim lim .n n n n x x →∞→∞=(2)lim lim .n n n n x x →∞→∞=证设lim .n n x A →∞=对于任意正数,ε在(;)U A ε这样, 对任意的,B A ≠0(;))U A ε在之外只有有限项. }{n x 那么在内( 此时必0(;)U B ε0||0,2B A ε-=>取反之, 若上式成立, 则的聚点唯一(设为A ) , }{n x 若这就是说, B 从而}{n x 的聚点,不是故仅有一个聚点A , }{n x 有限项.之外只有}{n x一的假设相矛盾.另一聚点, 导致与聚点唯性定理, 这无限多项必有{}n x 的无限多项. 0(;)U A ε之外含有使得在00,ε>倘若不然,则存在lim .n n x A →∞=此时易证由致密定理7.7设}{n x 为有界数列, 则有1lim n n x A →∞=的充要条件是: 对于任意的,0>ε(i) 存在N , 当n > N 时, ;ε+<A x n (ii){},,1,2,.k k n n x x A k ε>-=存在lim 2n n x B →∞=的充要条件是: 对于任意的0,ε>(i) 存在N , 当n > N 时, ;ε->B x n (ii){},,1,2,.k k n n x x B k ε<+=存在证在形式上是对称的, 所以仅证明.12和1必要性.lim A x n n =∞→设因为A 是}{n x 的一个聚点,所以存在,}{k n x 使得(),kn x A k →→∞故对于任意的0,ε>当k > K 时，.k n A x ε-<将{}k n x 中的前面K 项剔除, 这样就证明了(ii).[,)A ε++∞上, 至多只含}{n x 的有限项. 话, 因为}{n x 有界,这与A 是最大聚点相矛盾.又因A 是}{n x 的最大聚点, 所以对上述ε ,0,K >存在在区间不然的}{n x 在[,)A ε++∞故上还有聚点,设这有限项的最大下标为N , .n x A ε<+那么当n > N 时,充分性任给,0>ε综合(i) 和(ii), 上含有{ x n } 的无限项, 02n A A x A ε'+>+=的项至多只有有限个,这说明在),(00εε+'-'A A ),(εε+-A A 在即A 是{ x n }的聚点.而对于任意的,A A >',20A A -'=ε令由于满足lim .n n x A →∞={ x n } 的有限项, 上也至多只有从而有所以A 是的最大聚点.{}n x A '故不是{ x n }的聚点,定理7.8(保不等式性)设{ x n }, { y n } 均为有界数列,并且满足: 存在.n n x y ≤当n > N 0 时,有00,N >则取上(下)极限后, 原来的不等号方向保持不变:特别若则更有,n n a x y b ≤≤≤lim lim ,lim lim .n n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞→∞≤≤(3).lim lim b y x a n n n n ≤≤≤∞→∞→(4)证设lim ,lim ,n n n n x A y B →∞→∞==因为B 是{ y n } 的lim .k j n j x A →∞'=.A AB '≤≤而(4) 式则可由,k k j jn n x y ≤又因(1) 与(3) 式直接推得.}{n x 的最小聚点A 理应满足它与}{n x A '也是由于.A B '≤j →∞的极限,便得取聚点,.lim B y kn k =∞→{},k n x 又有界故存在的一个收敛子列,{}k n x {}k j n x 的聚点,同理可证关于上极限的不等式;所以存在, {}k n y证这里只证明(i) , (ii) 可同理证明. lim ,lim .n n n n A a B b →∞→∞==由定理7.7, 存在N , ,2,2εε+<+<B b A a n n (i)lim ()lim lim ;n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞+≤+(5)(ii)lim ()lim lim .n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞+≥+(6)例1}{,}{n n b a 都是有界数列, 那么设当n > N 时,设故.ε++<+B A b a n n再由定理7.8 的(4) 式, 得lim().n n n a b A B ε→∞+≤++因为是任意的, 故εlim ()lim lim .n n n n n n n a b A B a b →∞→∞→∞+≤+=+注这里严格不等的情形确实会发生, 例如1(1),(1).n n n n a b -=-=-lim 1,lim 1,n n n n a b →∞→∞==lim ()0.n n n a b →∞+=而例2设, 且lim lim n n n n x A B x →∞→∞=<=1lim ()n n n x x -→∞-.0=求证的全体聚点的集合为}{n x ].,[B A 证设E 是的全体聚点的集合, 显然有}{n x ],,[B A E ⊂,.A EB E ∈∈,00>ε内仅含的有限项:}{n x 00(;)U x ε在任给, 欲证),(0B A x ∈0.x E ∈如若不然, 则存在1212,,,().N n n n N x x x n n n ⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<所以存在,K '当这就是说, 当时, 所有的均不在N n n >n x 0(;)U x ε之内.1lim ()0,n n n x x -→∞-=又因n K '>时,有010.(7)n n x x εε--<-<max{,},N K K n 令'=当n > K 时, 由(7) 导致所有前者与B 是的聚点矛盾; {}n x 00.n x x ε≥+或者都有00,n x x ε≤-的或者都有n x {}n x 后者与A 是].,[B A E =故证得, 即E x ∈0[,],A B E ⊂的聚点矛盾.从而定理7.9设{ x n } 为有界数列. 则有(i) A 是{ x n } 的上极限的充要条件是(ii) B 是{ x n } 的下极限的充要条件是lim sup {};k n k n A x →∞≥=(8)lim inf {}.k n k n B x →∞≥=(9)递减数列, 并且有界, lim .n n a a →∞=设一方面, 因为,n n x a ≤所以另一方面, 0,ε∀>112sup {,,},a x x =由于根据上确界定义,1111,.n n x a ε∃≥>-使得又因{},,1,2,,n n a a a n ≥=递减故所以有11.n x a a εε>-≥-同理,由于证}{n a 显然是一这里仅证(i). 设, sup{}n k k na x ≥=n n n n a x A ∞→∞→≤=lim lim n n a ∞→=lim .a =这样得到的子列因仍为有界的,{}k n x 照此做下去,可求得使12,k n n n <<<<11,1,2,.(10)k k n n x a a k εε++>-≥-=111112sup {,,},n n n a x x +++=211.,n n x a a εε+>-≥-2111,n n n ∃≥+>使得2.A A a ε'≥≥-不等式性质(4), 得出故其上极限(10)式关于k 求上极限,.a A =从而证得.a A ≥所以又得因是任意的,ε亦存在,设为,A '.A A '≥且显然有例3 用上、下极限证明: 若为有界发散数列,{}n x lim lim lim lim .j j n n n n j n j n x x x x →∞→∞→∞→∞'''=≠=注本例命题用现在这种证法,可以说是最简捷的. {},{},j jn n x x '''使得{}n x 证由定理7.6 , 有界数列发散的充要条件{}n x 则存在的两个子列, 收敛于不同的极限. lim lim .n n n n x x →∞→∞≠为{}n x 于是存在的两个子列例4 证明: 对任何有界数列有{},{},n n x y lim ()lim lim .n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+(11)lim ()lim lim ,n n n n n n n x y y x →∞→∞→∞+-≤(12)lim lim sup {}n k n n k ny y →∞→∞≥-=-证根据定理7.9 的(8) 与(9), 可得lim lim (),n n n n y y →∞→∞-=-若能证明便不难得出结果.分析将(11) 式改写为liminf{}k n k n y →∞≥=-).(lim n n y -=∞→把它用于(12) 式, 并利用例1 的结论(6), 便有lim ()lim lim ()lim ()n n n n n n n n n n x y y x y y →∞→∞→∞→∞+-=++-这也就证明了(11) 式.lim ()lim ,n n n n n n x y y x →∞→∞≤+-=lim ()lim lim ,n n n n n n n x y y x →∞→∞→∞+-≤(12)复习思考题种定义方式各有哪些特点?试从直观性、应用的方便性等方面, 分析这三它们的充要条件( 定理7.7 与定理7.9 ) 来定义.数列的上、下极限, 除用定义2 定义外,也可用。

上极限和下极限

定理7.4 有界数列{}n x 至少存在一个聚点，且存在最大聚点和最小聚点lim →∞。

证明：先证明存在性：在证明有界数列至少存在有个聚点的时候，是利用区间套定理证明的。

讲数列无限等分，且每次都选取一个含有无穷多项的数列，记为[]n n b a ,，最后我们能够得到一个闭区间套。

满足下列性质：[][]11,,n n n n a b a b ++⊃, ()lim 0n n n a b →∞-= n=1.,2,3....... 并且每个区间都含有数列{}n x 的无穷多项。

所以根据区间套定理我们知道必然存在一个点 [],n n a b ξ∈，并且由区间套定理的推论知道对任意的ε>0，存在N>0，当n>N 时有[],n n a b ξ∈();U ξε⊂，即在();U ξε的邻域里有数列{}n x 的无穷多项，那么根据聚点定义可以知道ξ是数列{}n x 的聚点。

再证明存在最大聚点和最小聚点：我们在证明聚点的存在性的时候，选用的区间套是只有【区间套所含的有数列{}n x 的无穷多项】，现在我们要求在选取区间套的时候，先从右边的子区间开始考察选取，如果有子区间含有数列{}n x 的无穷多项，那么久选定它作为区间[]11,a b ，若果右边的子区间不含有数列{}n x 的无穷多项的话，就令左边的子区间为[]11,a b ，依次类推，我们可以的到一个区间套[]n n b a ,，1,2,3......n =。

同时该区间套还满足下面的特点：[][]11,,n n n n a b a b ++⊃ ； ()lim 0n n n a b →∞-= 1,2,3......n = 每个区间[]n n b a ,的右边至多含有该数列的有限多项。

（含有有限个或者是没有）现在我们根据存在性的证明知道存在一个聚点ξ，现在我们假设还有另外一个聚点1ξ，同时1ξ>ξ那么我们根据区间套的推论对任意的ε>0，存在N>0，当n>N 时有[],n n a b ξ∈();U ξε⊂，又有在[]n n b a ,的右边至多含有数列{}n x 的有限多项。

7.2上极限和下极限

上极限和下极限

上极限和下极限

7.2 距离空间的极限,抽密集,可分空间

上极限与下极限

数学分析7.2闭区间上连续函数性质的证明

数学分析7.3上极限和下极限

高等数学(微积分)课件--§7.2正项级数敛散性的判别

数学分析7.3上极限和下极限

7.2正项级数敛散性的判别

多元函数

7.1-7.2无穷级数的概念和性质

上极限偏差和下极限偏差计算公式

上极限和下极限

上极限和下极限

§7.2 上极限和下极限 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件

上极限和下极限

§7.2 上极限和下极限数学分析课件(华师大四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件