初等数论总复习

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消去t就得到所求的解
x 96 9k1 10k 2 ， y 48 4k1 5k 2 z 8 k 2
这里 k1 , k 2 是任意整数.
综合举例
• 例3．求9x+24y-5z=1000的一切整数解. • 解：因为(9,24)=3,(3,-5)=1,所以我们考虑方程： 9x+24y=3t, 3t-5z=1000,即等价于 3x+8y=t, 3t5z=1000 .利用求二元一次不定方程的解法,得到
综合举例
• 例2． 6 x 17 y 18 ． • 解：因为 (6,17) 18 ，所以有解；考虑
6 x 17 y 1, x 3, y 1,
所以 x 54, y 18 是特解，即原方程的解 是 x 54 17t , y 18 6t , t Z ．
• 例2．15！的标准素因数分解式为 _____________________________． • 解： 15 15 15
2[15!] 2 3 7 3 1 11, 2 2 2 15 15 15 3[15!] 2 5 1 6, 5[15!] 3, 5 3 3
考核内容
考核内容为整数的整除性理论、不定方 程、一元同余理论三个部分。
第1章 整数的整除性理论
一、整除性、公因数、公倍数
• 考核内容： 1．两个整数整除的概念，剩余定理（辗转相除法） 2．最大公因数的概念、性质及求最大公因数的方法 3．最小公倍数的概念、性质及最小公倍数的求法 4．互质数及其性质 5．奇偶性分析 • 考核要求： （1）理解整数整除、公因数、公倍数的概念及相关 性质； （2）理解剩余定理，熟练掌握用剩余定理求最大公 因数、最小公倍数的方法．
• 考核要求： （1）了解二元一次不定方程解的形式及二元一次不 定方程有整数解的条件； （2）熟练掌握利用剩余定理（辗转相除法）求二元 一次不定方程的方法．
综合举例
• 例1．求解不定方程 9 x 21y 144 ． • 分析：利用剩余定理（辗转相除法）求二元一 次不定方程的方法是（1）先化简原方程得到 同解方程；（2）再求同解方程；（3）写出一 切解的形式． • 解：因为（9，21）=3|144，所以有解； 化简 得 3x 7 y 48 ；考虑 3x 7 y 1 ， 有 x 2, y 1 ，所以原方程的特解 为 x 96, y 48 ，因此所求的解 是 ． x 96 7t , y 48 3t , t Z
a a n 10 an110 a0 ,0 ai 10
5) 因为 10 0(mod 5) , 所以得到： a a 0 (mod； 所以整数a的个位数是5，则该数是5的倍数．
综合举例
• 例2．证明：当n是奇数时，有 3 (2 n 1) ． • 证明：因 2 1(mod 3) ，故
• 例4．求不定方程 x 2 y 2 63 的正整数解． • 解： ( x y)( x y) 7 9 21 3 63 1 ， • 于是分别有： x y 7 x 8 x y 9 x 8 ； ； x y 9 y 1 x y 7 y 1 x y 21 x 12 x y 21 x 12 y 9 ； x y 3 y9 ； x y 3 x y 63 x 32 x y 1 x 32 ； ； y 31 x y 1 x y 63 y 31 有三组正整数解：x=8，y=1；x=12，y=9； x=32，y=31．
综合举例
综合举例
• 例5．求不定方程 4 x 4 xy 3 y 77 的正整数解． • 解：(2 x y)( 2 x 3 y) 11 7 77 1 ， • 于是分别有：
2 2
2x y 7 x4 2 x y 11 x 5 ； ； 2 x 3 y 11 y 1 2 x 3 y 7 y 1
136 221 1768 391 [ ,391] [1768,391] 17 17
104 39 • 例4．证明对于任意整数 n , 数 3 2 6
3 2 6 6 6
2 3
整数． 2 3 • 证： n n n n (2 3n n 2 ) 1 n(n 1)( n 2), 而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连 续整数的乘积是3的倍数, 并且(2,3)=1, n(n 1)(n 2) 有 所以从2 n(n 1)(n 2) 和 3 2 3 6 n(n 1)(n 2) , 即 n n n 是整数. 3 2 6
15 15 15 7[15!] 2,11[15!] 1,13[15!] 1 7 11 13
15! 2 3 5 7 11 13
11 6 3 2
第2章 不定方程
一、二元一次不定方程
• 考核内容： 1．二元一次不定方程的形式 2．二元一次不定方程解的形式 3．二元一次不定方程有整数解的条件 4．利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定 方程的解
综合举例
• 例3．107x 37 y
25 ．
• 解：因为 (107,37) 1 25 ，所以有解；考虑 107x 37 y 1 ，有 x 9, y 26 ， 原方程特解为
x 9 25 225, y 26 25 650, 通解为: x 225 37t , y 650 107t , t Z ．
• 例2．在整数中正素数的个数为（ ）． A． 1个 B． 有限多个 C． 无限多个 D． 不一定 • 答：C．
综合举例
• 例4．设 m 1, m (m 1)!1, 证明：m是素数． • 证：假设m不是素数,则存在整数d,1<d<m,使得 d|m,又 m (m 1)!1, 故d (m 1)!1. 由 1<d<m 知 d (m 1)!. 因此 d (m 1)!1 (m 1)! , 即d 1, 与d 1矛盾. 所以m为素数．
综合举例
• 例1．求24871与3468的最大公因数． rn 即最大公因数． • 分析：利用辗转相除法， • 解:（略） (24871,3468)=17 ．
综合举例
• 例2．求 [24871,3468] ．
• 分析：如果
ab 0 ,那么 [a, b]( a, b) ab,
ab 可得 [a, b] ． ( a, b)
三、函数[x]、{x}及其应用
• 考核内容： 1．函数[x]与{x}的概念与性质 2．n!的素数分解
• 考核要求： （1）了解函数[x]与{x}的概念、性质； （2）掌握n!的素数分解．
综合举例
• 例1．用[x]表示x的整数部分，{x} 表示x的小数部分，则 [-2.3]= ______,{-2.3}=____． • 解：-3，0．7
• 解：因为（24871,3468）=17，所以
24871 3468 [24871,3468]= =5073684 ． 17
综合举例
• 例3．求 [136,221,391] ． • 分析：若ai (1 i k ) 是整数，则 [a1 ,, ak ] mk. 先求[136,221]=1768，再求[1768,391]=40664， 即是136,221,391三数的最大公倍数． • 解： [136,221,391]=[[136,221],391]
• 考核内容： 1．整数同余的概念 2．同余的基本性质 3．利用同余简单验证整数乘积运算的结果（弃九 法） • 考核要求： （1）理解整数同余的概念及同余的基本性质； （2）会利用同余简单验证整数乘积运算的结果．
综合举例
• 例1．证明：如果整数的个位数是5，则该数 是5的倍数． • 证明：设a是一正整数,并将写成10进位数的 形式: n n 1
二、多元一次不定方程
• 考核内容： 1．多元一次不定方程的形式 2．多元一次不定方程有解的条件 3．求简单的多元一次不定方程的解 • 考核要求： （1）知道多元一次不定方程有解的条件； （2）会求解简单的多元一次不定方程．
综合举例
• 例1．求不定方程 25 x 13 y 7 z 4 的整数解. • 分析：求解简单的多元一次不定方程步骤是（1）化 解成两个二元一次不定方程；（2）分别求出两个二 元一次不定方程的解；（3）消去参数得到多元一次 不定方程的解. • 解：我们将它分为两个二元一次不定方程来求解： 25x+13y=t, t+7z=4 .利用求二元一次不定方程的方法, 上面两个方程的解分别为
综合举例
• 例4．求不定方程 11x 15 y 7的全部整数解. • 解：因为(11,15)=1,所以不定方程有解.利用辗转相 除法,得到 11 (4) 15 3 1, 于是有 11 (28) 15 21 7 . 所以,不定方程的全部整数解为 x 28 15t , y 21 11t , (t Z ) . 此解当然可以改写成 x 2 15k , y 1 11k , (k Z ).
t 2000 5v x 3t 8u , . z 1000 3v y t 3u 消去t就得到所求的解 x 6000 15v 8u y 2000 5v 3u z 1000 3v 这里 u , v 是任意整数 .
x t 13k1 y 2t 25k1
消去t就得到所求的解 这里
k1 , k 2
是任意整数.
x 32 13k1 7k 2 y 64 25k1 14k 2 z 4 k 2