初等数论模拟试题四套(附答案)

初等数论模拟试题二

一、单项选择题

1、=),0(b （C ）.

A

b B b - D 0

2、如果a b ，b a ，则(D ).

A b a =

B b a -=

C b a ≤

D b a ±=

3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（C ）.

A a

B b

C 1

D b a +

4、小于30的素数的个数（A ）.

A 10

B 9

C 8

D 7

5、大于10且小于30的素数有（ C ）.

A 4个

B 5个

C 6个

D 7个

6、如果n 3，n 5，则15（A ）n .

A 整除

B 不整除

C 等于

D 不一定

7、在整数中正素数的个数（C ）.

A 有1个

B 有限多

C 无限多

D 不一定

二、计算题

1、 求24871与3468的最大公因数?

解： 24871=3468⨯7+595

3468=595⨯5+493

595=493⨯1+102

493=102⨯4+85

102=85⨯1+17

85=17⨯5,

所以,(24871,3468)=17.

2、 求[24871,3468]=?

解：因为

（24871,3468）=17

所以

[24871,3468]= 17

346824871⨯ =5073684

所以24871与3468的最小公倍数是5073684。

3、求[136,221,391]=?

解： [136,221,391]=[[136,221],391] =[

391,17

221136⨯]=[1768,391] = 173911768⨯=104⨯391=40664. 三、证明题

1、 如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.

证明 ：首先证明唯一性.设q ',r '是满足条件的另外整数对,即

r q b a '+'=,b r '≤0.

所以r bq r q b +='+',即()r r q q b '-=-',r r q q b '-=-'.又由于b r ≤0,b r '≤0,所以b r r '-.如果q q '≠,则等式r r q q b '-=-'不可能成立.

因此q q '=,r r '=. 其次证明存在性.我们考虑整数的有序列

……,,3,2,,0,,2,3b b b b b b ---……

则整数a 应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q 使

()b q a qb 1+≤ .

我们设qb a r -=,则有r bq a +=,b r ≤0.

2、 证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数.

证明： 因为62332n n n ++=)32(62n n n ++=)2)(1(6

1++n n n , 而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,

并且(2,3)=1, 所以从)2)(1(2++n n n 和)2)(1(3++n n n 有)2)(1(6++n n n , 即6

2332n n n ++是整数.

3、 任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数

n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.

证明： 因为

=-121a a a a n n 12211101010a a a a n n n n +⨯++⨯+⨯--- ,

n n a a a a 121- =n n n n a a a a +⨯++⨯+⨯---10101012211 ,

所以,121a a a a n n --n n a a a a 121- =

).101()101(10)110(10)110(1132311------+-⨯++-⨯+-⨯n n n n n n a a a a

而上面等式右边的每一项均是9的倍数, 于是所证明的结论成立.

4、 证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.

证明: 设相邻两个偶数分别为)22(,2+n n

所以)22(2+n n =)1(4+n n 而且两个连续整数的乘积是2的倍数 即)1(4+n n 是8的倍数.

初等数论模拟试题三

一、单项选择题

1、如果( A ),则不定方程c by ax =+有解.

A c b a ),(

B ),(b a c

C c a

D a b a ),(

2、不定方程210231525=+y x （A ）.

A 有解

B 无解

C 有正数解

D 有负数解

二、求解不定方程

1、144219=+y x .

解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；

化简得4873=+y x ；

考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，

所以原方程的特解为48,96=-=y x ，

因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

2、18176=-y x .

解：因为 18)17,6(,所以有解;

考虑1176=-y x ,1,3==y x ;

所以18,54==y x 是特解,

即原方程的解是

t y t x 618,1754-=-=

3、2537107=+y x .

解：因为（107，37）=125，所以有解；

考虑137107=+y x ，

有26,9-==y x ，

所以，原方程特解为259⨯=x =225，2526⨯-=y =-650，

所以通解为t y t x 107650,37225--=+=

4.求不定方程471325=++z y x 的整数解.

解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解

25x+13y=t, t+7z=4.