2018年西南大学初等数论期末大作业及答案

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西南大学答案(数学)

高二年级2017-2018学年度第一学期期末数学试题答案1．计算机执行下面的程序后，输出的结果是()a＝1b＝3a＝a＋bb＝a－bPRINT a，bENDA．1,3 B．4,1C．0,0 D．6,0解析本题考查了算法的基本语句．∵a＝1，b＝3，∴a＝a＋b＝1＋3＝4.∴b＝a－b＝4－3＝1.答案 B2．下面是2×2列联表：则表中a，bA．94,72 B．52,50C．52,74 D．74,52解析∵a＋21＝73，∴a＝52，又a＋22＝b，∴b＝74.答案 C3对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A ．p 1＝p 2<p 3B ．p 2＝p 3<p 1C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 3解析由随机抽样的原则可知简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即p 1＝p 2＝p 3，故选D.答案 D4某地区高中分三类，A 类学校共有学生2 000人，B 类学校共有学生3 000人，C 类学校共有学生4 000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A 类学校中的学生甲被抽到的概率为( )A.110B.920C.12 000D.12解析利用分层抽样，每个学生被抽到的概率是相同的，故所求的概率为9002 000＋3 000＋4 000＝110.5（理科）在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上随机取一个数x ，使得0＜tan x ＜1成立的概率是( )A.18B.13C.12D.2π解析由0＜tan x ＜1，得0＜x ＜π4，故所求概率为π4π2＝12.答案 C（文科）“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析由(2x －1)x ＝0⇒x ＝0或x ＝12，所以应选B. 答案 B解析由逆否命题的含义知，D 正确．答案 D6对x ∈R ，关于x 的不等式f (x )>0有解”等价于( ) A ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)>0成立 B ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)≤0成立 C ．∀x ∈R ，总有f (x )>0成立 D ．∀x ∈R ，总有f (x )≤0成立解析 “对x ∈R ，关于x 的不等式f (x )>0有解”的意思就是∃x 0∈R ，使得f (x 0)>0成立，故选A.答案 A7（理科）已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析由椭圆的定义知：|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a (F 是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a ＝4 3.答案 C（文科）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1D.x 22－y 25＝1解析由双曲线C 的右焦点为F (3,0)，知c ＝3. 由e ＝c a ＝32，则a ＝2，故b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1. 答案 B8如果命题“p q ⌝∨（）”是假命题，那么正确的是( )A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 中至少有一个为真命题C ．p ，q 均为假命题D ．p ，q 中至多有一个为真命题解析由题意知，p ∨q 为真命题，所以p ，q 中至少有一个为真命题．答案 B9已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p 的值为( )A ．1B ．2 C.12D ．4解析圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3,0)，半径为4.圆心到准线的距离为3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝4，解得p ＝2.答案 B10命题“若a <0，则一元二次方程x 2＋x ＋a ＝0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．4D ．不确定解析当a <0时，Δ＝1－4a >0，所以方程x 2＋x ＋a ＝0有实根，故原命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致，可知其逆否命题为真；逆命题为：“若方程x 2＋x ＋a ＝0有实根，则a <0”，因为方程有实根，所以判别式Δ＝1－4a ≥0，所以a ≤14，显然a <0不一定成立，故逆命题为假；根据否命题与逆命题真假一致，可知否命题为假．故正确的命题有2个．答案 B11（理科）方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( )A ．一条直线和一条双曲线B ．两条直线C ．两个点D ．4条直线解析由(x －y )2＋(xy －1)2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.即方程表示两个点(1,1)和(－1，－1)．答案 C（文科）若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析 ∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN .∴点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆．答案 A12．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析设C (x ，y )，则OC→＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2.又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．答案 A13．双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．解析本题考查双曲线的渐近线方程．由a 2＝16，b 2＝9，得渐近线方程为y ＝±b a x ＝±34x . 答案 y ＝±34x14．执行如图所示的程序框图，若输入x ＝9，则输出y ＝________.解析 x ＝9时，y ＝93＋2＝5，|y －x |＝|5－9|＝4<1不成立；x ＝5，y ＝53＋2＝113，|y －x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪113－5＝43<1不成立；x ＝113，y ＝119＋2＝299，|y －x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪299－113＝49<1成立，输出y ＝299.答案 29915.已知两定点A (－1,0)，B (2,0)，动点P 满足|P A ||PB |＝12，则P 点的轨迹方程是__________．解析设P (x ，y )，则根据两点间距离公式，得 |P A |＝(x ＋1)2＋y 2，|PB |＝(x －2)2＋y 2，又∵|P A ||PB |＝12，∴(x ＋1)2＋y 2(x －2)2＋y 2＝12. 整理，得(x ＋2)2＋y 2＝4即为所求．答案 (x ＋2)2＋y 2＝416.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)．解析第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法．第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法．由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种)．答案 3617.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．条件p ：x ∈A ，条件q ：x ∈B ，并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴y min ＝716，y max ＝2.∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪716≤y ≤2.化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}． ∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B . ∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34.∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.18.某校为了比较“传统式教学法”与该校所创立的“三步式教学法”的教学效果．共选100名学生随机分成两个班，每班50名学生，其中一班采取“传统式教学法”，二班实行“三步式教学法”．(1)若全校共有学生2 000名，其中男生1 100名，现抽取100名学生对两种教学法的受欢迎程度进行问卷调查，应抽取多少名女生？(2)表1,2分别为实行“传统式教学法”与“三步式教学法”后的数学成绩：表1的前提下认为这两种教学法有差异．参考公式：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c＋d .参考数据：解 (1)设抽取女生x 人，则2 000－1 100＝x ，解得x ＝45，所以女生抽取45人． (2)列联表如下：K 2的观测值k ＝80×20×50×50＝6.25，由此可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为这两种教学法有差异，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这两种教学法有差异．19．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|.(1)求此椭圆的方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积．解 (1)依题意得|F 1F 2|＝2，又2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，∴|PF 1|＋|PF 2|＝4＝2a .∴a ＝2，c ＝1，b 2＝3. ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设P 点坐标为(x ，y )，∵∠F 2F 1P ＝120°， ∴PF 1所在直线的方程为y ＝(x ＋1)·tan120°，即y ＝－3(x ＋1)．解方程组⎩⎨⎧y ＝－3(x ＋1)，x 24＋y 23＝1，并注意到x <0，y >0，可得⎩⎨⎧x ＝－85，y ＝335.∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·335＝335.20.某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：(1)一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为539，求x，y的值．解(1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5 样本，设抽取学历为本科的人数为m，∴3050＝m5，解得m＝3.抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S1，S2；B1，B2，B3.从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B1，B 3)，(B 2，B 3)．其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)．∴从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为710. (2)由题意，得10N ＝539，解得N ＝78.∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20， ∴4880＋x ＝2050＝1020＋y，解得x ＝40，y ＝5. 即x ，y 的值分别为40,5.21．已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋m 所得弦长AB ＝35，(1)求m 的值；(2)设P 是x 轴上的一点，且△ABP 的面积为9，求P 的坐标．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝2x ＋m⇒4x 2＋4(m －1)x ＋m 2＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 24， |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋22(1－m )2－4·m24＝5(1－2m ).由|AB |＝35，即5(1－2m )＝35⇒m ＝－4. (2)设P (a,0)，P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|2a －0－4|22＋(－1)2＝2|a －2|5，又S △ABP ＝12|AB |·d ，则d ＝2·S △ABP |AB |，2|a －2|5＝2×935⇒|a －2|＝3⇒a ＝5或a ＝－1，故点P 的坐标为(5,0)或(－1,0)．22．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，一曲线E 过C 点，动点P 在曲线E 上运动，且保持|P A |＋|PB |的值不变．(1)建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；(2)直线l ：y ＝x ＋t 与曲线E 交于M ，N 两点，求四边形MANB 的面积的最大值．解 (1)以AB 为x 轴，以AB 中点为原点O 建立直角坐标系，∵|P A |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22>|AB |，∴动点P 的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1，从而b ＝1. ∴曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)将y ＝x ＋t 代入x 22＋y 2＝1，得3x 2＋4tx ＋2t 2－2＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16t 2－4×3×(2t 2－2)>0， ①x 1＋x 2＝－4t 3， ②x 1x 2＝2t 2－23， ③由①得t 2<3，∴S 四边形MANB ＝12|AB ||y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝|x 1－x 2| ＝236－2t 2≤263.所以四边形MANB 的面积最大值是263.。

初等数论试卷和答案

初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果a b ，b a ，那么( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，那么15〔〕n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数〔〕.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,那么A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac )(m od m bcD b a ≠5、如果( ),那么不定方程c by ax =+有解.A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是〔〕.2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,那么不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,那么a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,那么存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. 〔8分〕四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D.2、A3、C4、A5、A6、B二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是〔唯一的〕.2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,那么不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,那么a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,那么存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?〔8分〕解 [136,221,391]=[[136,221],391]=[391,17221136⨯]=[1768,391] ------------(4分)= 173911768⨯=104⨯391=40664. ------------〔4分〕2、求解不定方程144219=+y x .〔8分〕解：因为〔9，21〕=3，1443，所以有解； ----------------------------〔2分〕化简得4873=+y x ； -------------------〔1分〕考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ， -------------------〔2分〕所以原方程的特解为48,96=-=y x ， -------------------〔1分〕因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

初等数论习题与答案、及测试卷

初等数论习题与答案、及测试卷1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。

∴存在n 个整数n p p p ,,21使n n n m p a m p a m p a ===,,,222111又n q q q ,,,21 是任意n 个整数m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数2 证：)12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n从而可知12)(1(/6++n n n3 证： b a , 不全为0∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而有形如by ax +的最小整数00by ax +Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+则b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=rax by ax ++∴/00 下证8P 第二题by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数）b by ax a by ax /,/0000++∴ ,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 0/),(by ax ba +∴故),(00b a by ax =+4 证：作序列 ,23,,2,0,23,b b b b b b ---则a 必在此序列的某两项之间即存在一个整数q ，使b q a b q 212+<≤成立(i 当q 为偶数时，若.0>b 则令b q a bs a t q s 2 ,2-=-==，则有22220b t b q b q a b q a t bs a <∴<-=-==-≤若0,2+=-=-=，则同样有2b t <)(ii 当q 为奇数时，若0>b 则令b q a bs a t q s 2 1,21+-=-=+=，则有21212b t b q a b q a bs a t b ≤∴<+-=+-=-=≤-若 01,21++=-=+-=则同样有 2b t ≤综上存在性得证下证唯一性当b 为奇数时，设11t bs t bs a +=+=则b s s b t t >-=-)(11而b t t t t b t b t ≤+≤-∴≤≤1112,2矛盾故11,t t s s ==当b 为偶数时，t s ,不唯一，举例如下：此时2b 为整数 2,2),2(2212311b t b t b b b b b ≤=-+?=+=?2,2,222211b t b t t bs t bs a ≤-=+=+=5.证：令此和数为S ，根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数，从而证明S 不是整数（1）令S=n14131211+++++，取M=p k 75321-这里k 是使n k≤2最大整数，p 是不大于n 的最大奇数。

《初等数论》习题集及答案

《初等数论》习题集第1章第 1 节1. 证明定理1。

2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。

3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。

5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。

第 2 节1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。

2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。

3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。

4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。

5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。

第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。

3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。

5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。

6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。

第 4 节1. 证明定理1。

2. 证明定理3的推论。

3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。

4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。

5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。

初等数论练习题及答案

初等数论练习题一一、填空题1、τ(2420)=27；ϕ(2420)=_880_2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}.4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。

.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(m )_。

78、⎪⎭⎫ ⎝⎛10365 =-1。

9、若p 是素数，则同余方程x p - 1≡1(mod p )的解数为二、计算题1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。

解：因105 = 3⋅5⋅7，同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)，同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)，同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)，故原同余方程有4解。

作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)，其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6，由子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。

2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-•--•-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（）（解：故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。

3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。

解：易知1271≡50（mod 111）。

0346初等数论

三、解：因为125 = 53，50 = 252，
所以125与50的最大公因数是52，即25。
四、解：因为(1,9) = 1，所以不定方程有整数解。
显然x = 1，y = 0是其一个特解，
所以不定方程的一切整数解为，其中t取一切整数。
五、证明：若m或n为3的倍数，则mn是3的倍数；若m是3的倍数加1，n是3的倍数加1，则m-n是3的倍数；若m是3的倍数加1，n是3的倍数加2，则m+n是3的倍数；若m是3的倍数加2，n是3的倍数加1，则m+n是3的倍数；若m是3的倍数加2，n是3的倍数加2，则m-n是3的倍数，结论成立。
三、（15分）求125与50的最大公因数。
四、（15分）求不定方程x+9y=1的一切整数解。
五、（10分）设m,n为整数，证明m+n,m-n与mn中一定有一个是3的倍数。
一、解释概念
1.答：若a，b是两个整数，其中b>0，则存在两个整数q及r，使得
a=bq+r， 0<=r<b 成立，而且q及r是唯一的，q叫做a被b除所得的不完全商。学与应用数学2017年06月
课程名称【编号】：初等数论【0346】 A卷
大作业满分：100 分
一、解释下列概念（每小题15分，共30分）
1.叙述整数a被b除的不完全商的概念。
2.叙述整数a，b对模m同余的概念。
二、（30分）给出有关整除的一条性质并加以证明。
2.答：如果用m去除任意两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a与b对模m同余，记为a≡b（mod m）。
二、答：若a是b的倍数，b是c的倍数，则a是c的倍数。即：若b| a，c| b，则 c|a。
证：由b|a，c|b及整除的定义知存在整数q1,q2 使得a=bq1,b=cq2。因此a=(cq2)q1=c(q1q2)，但q1q2是一个整数，故c|a。

初等数论期末考试试卷张

初等数论试卷(B)一，选择题（满分15分，每题3分）1，下列不正确的是（）A 设m ∈+N ，a ,b ∈Z ,若)(mod m b a ≡ ，则)(mod m a b ≡。

B 设m ∈+N ，a ,b ,c ∈Z ,若)(mod m c b a ≡+,则)(mod m b c a -≡.C 设m ∈+N ，,,11b a 22,b a ∈Z ，,若)(m od 11m b a ≡，)(m od 22m b a ≡，则)(m od 2121m b b a a ≡。

D 设m ∈+N ，a ,b ∈Z ,若)(m od 22m b a ≡ ，则)(mod m b a ≡。

2，下列哪一个为模12互质的剩余类（）A [2]，B [5]，C [6]，D [3]。

3，下列哪一个有理数不可以化为有限小数（）A 203，B 607，C 51，D 10019。

4，同余方程)5(m od 022≡+x 的解为（）A )5(mod 0≡x ，B )5(mod 4≡x ，C )5(mod 2≡x ，D 此方程无解。

5，下列哪一个同余方程组无解（）A ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)10(mod 7)25(mod 9x x ，B⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)6(mod 1)9(mod 4x x C ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)45(mod 2)25(mod 17x x ，D⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)7(mod 26)14(mod 19x x 。

二，填空题（满分10分，每题2分）1，当m = 时，)(mod 1132m ≡和)(mod 1117m ≡同时成立。

2，设m ∈+N ，则为模m 的非负最小完全剩余系。

3，=)16(ϕ 。

4，写出模8的一个简化剩余系：。

5，余式)5(mod a x ≡等价于等式：。

三，判断题（满分10分，每题2分）1，)(m ϕ为欧拉函数，则1)(1-≤≤m m ϕ。

（） 2，设m ∈+N ，a ∈Z ，（a,m ）=1，若整数集合{})(21,......,,m a a a ϕ为模m 的一个简化剩余系，则{})(21,......,,m aa aa aa ϕ也为模m 的一个简化剩余系。

《初等数论》各章习题参考解答

《初等数论》各章习题参考解答第一章习题参考解答1.解:因为25的最小倍数是100,9的最小倍数是，所以满足条件的最小正整数11111111100a =。

2.解：3在100!的分解式中的指数()1001001001003100!33113148392781⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，在100!的分解式中的指数()1001001001001002100!50251261942481664⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++=++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴ ()9448474847100!2343123,,61k k k k =⋅⋅=⋅⋅=⋅=。

故 max 47n =，min 3M k =，(),61k =。

故当M 最小值是3的倍数，但不是2的倍数。

3.解：112121n n n n x x ++++++等价于()()21221n n n x x x ++-+-，从而3x ³（n 就不会太大，存在反向关系）。

由()()22121n nn x x x -+-?+，得()()2212n n n x x -+?，即()()()121122nn x x -+?。

若2n ³，则()()()()251221114242nn x xx x-?+??，导致25140x x -+?，无解。

所以，只有1n =，335314x x x +-?，只能是37,14x +=，从而4,11x =。

综上所述，所求正整数对()()(),4,111,1x n =、。

4.解：按题意，2m n >>，记*,m n k k N =+?；则()222211111n n k nk n k k a a a a a a a a a a a a +++-+-?-+--++-22211111n k k n k k a a a a a a a a a ++?---+?-+-，故存在无穷多个正整数a 满足2111n k k a a a a ++-+-。

西南大学答案(数学)

高二年级2017-2018学年度第一学期期末数学试题答案1．计算机执行下面的程序后，输出的结果是()a＝1b＝3a＝a＋bb＝a－bPRINT a，bENDA．1,3 B．4,1C．0,0 D．6,0解析本题考查了算法的基本语句．∵a＝1，b＝3，∴a＝a＋b＝1＋3＝4.∴b＝a－b＝4－3＝1.答案 B2．下面是2×2列联表：则表中a，bA．94,72 B．52,50C．52,74 D．74,52解析∵a＋21＝73，∴a＝52，又a＋22＝b，∴b＝74.答案 C3对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2<p 3B ．p 2＝p 3<p 1C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 3解析由随机抽样的原则可知简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即p 1＝p 2＝p 3，故选D.答案 D4某地区高中分三类，A 类学校共有学生2 000人，B 类学校共有学生3 000人，C 类学校共有学生4 000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A 类学校中的学生甲被抽到的概率为( )A.110B.920C.12 000D.12解析利用分层抽样，每个学生被抽到的概率是相同的，故所求的概率为9002 000＋3 000＋4 000＝110.5（理科）在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上随机取一个数x ，使得0＜tan x ＜1成立的概率是( )A.18 B.13 C.12D.2π解析由0＜tan x ＜1，得0＜x ＜π4，故所求概率为π4π2＝12.答案 C（文科）“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析由(2x －1)x ＝0⇒x ＝0或x ＝12，所以应选B. 答案 B解析由逆否命题的含义知，D 正确．答案 D6对x ∈R ，关于x 的不等式f (x )>0有解”等价于( ) A ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)>0成立 B ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)≤0成立 C ．∀x ∈R ，总有f (x )>0成立 D ．∀x ∈R ，总有f (x )≤0成立解析 “对x ∈R ，关于x 的不等式f (x )>0有解”的意思就是∃x 0∈R ，使得f (x 0)>0成立，故选A.答案 A7（理科）已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析由椭圆的定义知：|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a (F 是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a ＝4 3.答案 C（文科）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1D.x 22－y 25＝1解析由双曲线C 的右焦点为F (3,0)，知c ＝3. 由e ＝c a ＝32，则a ＝2，故b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1. 答案 B8如果命题“p q ⌝∨（）”是假命题，那么正确的是()A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 中至少有一个为真命题C ．p ，q 均为假命题D ．p ，q 中至多有一个为真命题解析由题意知，p ∨q 为真命题，所以p ，q 中至少有一个为真命题．答案 B9已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p 的值为( )A ．1B ．2 C.12D ．4解析圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3,0)，半径为4.圆心到准线的距离为3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝4，解得p ＝2.答案 B10命题“若a <0，则一元二次方程x 2＋x ＋a ＝0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．4D ．不确定解析当a <0时，Δ＝1－4a >0，所以方程x 2＋x ＋a ＝0有实根，故原命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致，可知其逆否命题为真；逆命题为：“若方程x 2＋x ＋a ＝0有实根，则a <0”，因为方程有实根，所以判别式Δ＝1－4a ≥0，所以a ≤14，显然a <0不一定成立，故逆命题为假；根据否命题与逆命题真假一致，可知否命题为假．故正确的命题有2个．答案 B11（理科）方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( )A ．一条直线和一条双曲线B ．两条直线C ．两个点D ．4条直线解析由(x －y )2＋(xy －1)2＝0得⎩⎨⎧x －y ＝0，xy －1＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1.即方程表示两个点(1,1)和(－1，－1)．答案 C（文科）若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析 ∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN .∴点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆．答案 A12．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC→＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎨⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2.又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．答案 A13．双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．解析本题考查双曲线的渐近线方程．由a 2＝16，b 2＝9，得渐近线方程为y ＝±b a x ＝±34x . 答案 y ＝±34x14．执行如图所示的程序框图，若输入x ＝9，则输出y ＝________.解析 x ＝9时，y ＝93＋2＝5，|y －x |＝|5－9|＝4<1不成立；x ＝5，y ＝53＋2＝113，|y －x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪113－5＝43<1不成立；x ＝113，y ＝119＋2＝299，|y －x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪299－113＝49<1成立，输出y ＝299.答案 29915.已知两定点A (－1,0)，B (2,0)，动点P 满足|P A ||PB |＝12，则P 点的轨迹方程是__________．解析设P (x ，y )，则根据两点间距离公式，得 |P A |＝(x ＋1)2＋y 2，|PB |＝(x －2)2＋y 2，又∵|P A ||PB |＝12，∴(x ＋1)2＋y 2(x －2)2＋y2＝12. 整理，得(x ＋2)2＋y 2＝4即为所求．答案 (x ＋2)2＋y 2＝416.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)．解析第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法．第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法．由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种)．答案 3617.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．条件p ：x ∈A ，条件q ：x ∈B ，并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1，得y ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －342＋716.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴y min ＝716，y max ＝2. ∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪716≤y ≤2.化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}． ∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B . ∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34.∴实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 18.某校为了比较“传统式教学法”与该校所创立的“三步式教学法”的教学效果．共选100名学生随机分成两个班，每班50名学生，其中一班采取“传统式教学法”，二班实行“三步式教学法”．(1)若全校共有学生2 000名，其中男生1 100名，现抽取100名学生对两种教学法的受欢迎程度进行问卷调查，应抽取多少名女生？(2)表1,2分别为实行“传统式教学法”与“三步式教学法”后的数学成绩：表1的前提下认为这两种教学法有差异．参考公式：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：解 (1)设抽取女生x 人，则 2 0002 000－1 100＝100x ，解得x ＝45，所以女生抽取45人． (2)列联表如下：K 2的观测值k ＝100×(35×5－15×45)280×20×50×50＝6.25，由此可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为这两种教学法有差异，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这两种教学法有差异．19．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|.(1)求此椭圆的方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积．解 (1)依题意得|F 1F 2|＝2，又2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，∴|PF 1|＋|PF 2|＝4＝2a .∴a ＝2，c ＝1，b 2＝3. ∴所求椭圆的方程为x24＋y 23＝1.(2)设P 点坐标为(x ，y )，∵∠F 2F 1P ＝120°， ∴PF 1所在直线的方程为y ＝(x ＋1)·tan120°，即y ＝－3(x ＋1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3(x ＋1)，x 24＋y 23＝1，并注意到x <0，y >0，可得⎩⎨⎧x ＝－85，y ＝335.∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·335＝335.20.某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：(1)一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为539，求x ，y 的值．解 (1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5 样本，设抽取学历为本科的人数为m ，∴3050＝m5，解得m ＝3.抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S 1，S 2；B 1，B 2，B 3.从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)．其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)．∴从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为710. (2)由题意，得10N ＝539，解得N ＝78.∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20， ∴4880＋x ＝2050＝1020＋y ，解得x ＝40，y ＝5. 即x ，y 的值分别为40,5.21．已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋m 所得弦长AB ＝35，(1)求m 的值；(2)设P 是x 轴上的一点，且△ABP 的面积为9，求P 的坐标．解 (1)由⎩⎨⎧y 2＝4xy ＝2x ＋m⇒4x 2＋4(m －1)x＋m 2＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 24， |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋22(1－m )2－4·m 24＝5(1－2m ).由|AB |＝35，即5(1－2m )＝35⇒m ＝－4.(2)设P (a,0)，P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|2a －0－4|22＋(－1)2＝2|a －2|5，又S △ABP ＝12|AB |·d ，则d ＝2·S △ABP |AB |，2|a －2|5＝2×935⇒|a －2|＝3⇒a ＝5或a ＝－1，故点P 的坐标为(5,0)或(－1,0)．22．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，一曲线E过C 点，动点P 在曲线E 上运动，且保持|P A |＋|PB |的值不变．(1)建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；(2)直线l ：y ＝x ＋t 与曲线E 交于M ，N 两点，求四边形MANB 的面积的最大值．解 (1)以AB 为x 轴，以AB 中点为原点O 建立直角坐标系，∵|P A |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22>|AB |，∴动点P 的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1，从而b ＝1. ∴曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)将y ＝x ＋t 代入x 22＋y 2＝1，得3x 2＋4tx ＋2t 2－2＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16t 2－4×3×(2t 2－2)>0， ①x 1＋x 2＝－4t 3， ②x 1x 2＝2t 2－23， ③由①得t 2<3，∴S 四边形MANB ＝12|AB ||y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝|x 1－x 2| ＝236－2t 2≤263.所以四边形MANB 的面积最大值是263.。

西南大学2020秋季 [0346]《初等数论》考试答案

西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷学期：2020年秋季
课程名称【编号】：初等数论【0346】 A卷
考试类别:大作业满分：100分
1.解：整除的定义：
设a, b是任意两个整数,其中b不为零,若存在一个整数q使得a=bq,我们就说b 整除a,记为bla.这时b叫a的因数, a叫b的倍数.若这样的q不存在，则说b 不整除a.
6整除24.
8不整除42.
3.解：欧拉函数()a
ϕ是定义在正整数上的函数，它在正整数a上的值等于序列0,1,2，…，a-1中与a互质的数的个数。

(5)
ϕ=4
(6)
ϕ=2.
4.解：220=2²×5×11。

6.解如下图
8.解：素数除了1和自己就没有其他约数了.4m-1或4m+1,其中4m-1看成4m+3,即一切奇素数都可以表示成4m+3或4m+1的形式.因为,一切奇素数不可以写成4m的形式（约数4）,但也不能写成4m+2(约数2）.所以一切奇素数都可以表示成4m-1或4m+1的形式，即41
m±.
- 1 -。

初等数论试卷和答案

初等数论试卷和答案初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(m od m bcD b a ≠5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.B 3与9C 9D 3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（）.2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求563429,其中563是素数. （8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D.2、A4、A5、A6、B二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136?]=[1768,391] ------------(4分) = 173911768?=104?391=40664. ------------（4分）2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解； ----------------------------（2分）化简得4873=+y x ； -------------------（1分）考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ， -------------------（2分）所以原方程的特解为48,96=-=y x ， -------------------（1分）因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

《初等数论》习题集及答案

《初等数论》习题集及答案《初等数论》习题集第1章第 1 节1. 证明定理1。

2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。

3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。

5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。

第 2 节1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。

2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。

3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。

4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。

5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。

第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。

3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。

5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。

6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。

第 4 节1. 证明定理1。

2. 证明定理3的推论。

3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。

4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。

5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。

初等数论试卷和答案

初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果a b ，b a ，则().A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠5、如果(),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),(B ),(b a c C c a D a b a ),(6、整数5874192能被()整除.A3B3与9C9D3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为().4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者().5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的().6、如果b a ,是两个正整数,则存在()整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数.（8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D.2、A3、C4、A5、A6、B二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为(][b a ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者(与p 互素).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、如果b a ,是两个正整数,则存在(唯一)整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?（8分）解[136,221,391]=[[136,221],391]=[391,17221136⨯]=[1768,391]------------(4分) =173911768⨯=104⨯391=40664.------------（4分）2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；----------------------------（2分）化简得4873=+y x ；-------------------（1分）考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，-------------------（2分）所以原方程的特解为48,96=-=y x ，-------------------（1分）因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

初等数论练习题一(含答案)

《初等数论》期末练习二一、单项选择题1、=),0(b （）.A bB b -C bD 02、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（）.A aB bC 1D b a +3、小于30的素数的个数（）.A 10B 9C 8D 74、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C (mod )ac bc m ≡/D b a ≠5、不定方程210231525=+y x （）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≥D b a ±=8、公因数是最大公因数的（）.A 因数B 倍数C 相等D 不确定9、大于20且小于40的素数有（）.A 4个B 5个C 2个D 3个10、模7的最小非负完全剩余系是( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3B -6，-5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5，6D 0,1,2,3,4，5，611、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解.A [12，15]不整除7B （12，15）不整除7C 7不整除（12，15）D 7不整除[12，15]12、同余式)593(m od 4382≡x （）.A 有解B 无解C 无法确定D 有无限个解二、填空题1、有理数ba ，0,(,)1ab a b <<=，能写成循环小数的条件是（）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( )n ，而且与n （）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （）=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被3整除.7、+=][x x （）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ).11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?2、求解不定方程2537107=+y x .（8分）3、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. （8分） 4、解同余式)321(m od 75111≡x .（8分） 5、求[525,231]=?6、求解不定方程18116=-y x .7、判断同余式)1847(m od 3652≡x 是否有解？8、求11的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.《初等数论》期末练习二答案一、单项选择题1、C2、C3、A4、A5、A6、B7、D8、A9、A 10、D 11、B 12、B二、填空题1、有理数ba ，1),(,0=b a b a ，能写成循环小数的条件是（ 1)10,(=b ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( 3 ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( 不大于 )n ，而且与n （互素）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ],[b a ）=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（十进位）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ }{x ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( 3 ). 9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( 因数 ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?解：因为（24871,3468）=17所以[24871,3468]= 17346824871⨯=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。

（完整版）初等数论练习题二（含答案）

（完整版）初等数论练习题二（含答案）《初等数论》期末练习一一、单项选择题1、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果n 2，n 15，则30（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定8、大于10且小于30的素数有（）.A 4个B 5个C 6个D 7个9、模5的最小非负完全剩余系是( ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,410、整数637693能被( )整除.A 3B 5C 7D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为(). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.7、设p 是素数,则不定方程22y x p +=有（）.8、如果同余式)(mod 0m b ax ≡+有解,则解的个数( ).9、在176与545之间有( )是13的倍数.10、如果0φab ,则),](,[b a b a =( ).11、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求??563429,其中563是素数. （8分） 5、求[24871,3468]=?6、求解不定方程18176=-y x .7、解同余式)321(mod 75111≡x .8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案一、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][ba ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.7、设p 是素数,则不定方程22y x p +=有（唯一解）.8、如果同余式)(mod 0m b ax ≡+有解,则解的个数( ),(m a ).9、在176与545之间有( 28 )是13的倍数.10、如果0φab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136?] =[1768,391] = 173911768? =104?391=40664.2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得4873=+y x ；考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，所以原方程的特解为48,96=-=y x ，因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

《初等数论》期末模拟试题

(1) 0(mod
证明：∵ n 2 p 1 为素数，由威尔逊定理 (n 1)!1 0(mod n) ，即有
(n 1)!1 (n 1)(n 2) 3 2 1 1 (n 1) 2 (n 2) p(n p) 1(mod n)
∴ n 为素数。
18、
18、（10 分）证明： (a b) p ap bp(mod p)
证明：由费尔马小定理知对一切整数有： ap a( p), bp b( p)
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由同余性质知有： ap bp a b( p)
又由费尔马小定理有 (a b) p a b( p) ap bp(mod p)
5、（15 分）设 p、q 是两个大于3
是两个大于 3 的质数，证明：

3,8) = 1，
证明：因为24
证明：因为24 = 3 × 8，(3,8)
。

≡ ()
(mod3)，p2 ≡ q2 (mod8)同时成立。
(mod8)同时成立。
∴ 只需证明p
只需证明p2 ≡ q2 (mod3)，

故 b1 ka .因此 m aka ab1t
反过来，当 t 为任一整数时，
ab
t ，其中 t 满足等式 k a b1t .
( a, b)
ab
t 为 a , b 的一个公倍数，
(a, b)
故上式可以表示 a , b 的一切公倍数.
的一切公倍数.
令 t 1 ，即得到最小的正数，故得证 a , b
证明：由题设可知， mi mi 1 , i 2,3,L , n 1, 且 a1 m2 , ai mi , i 2,3,L , n , ，

(完整版)初等数论练习题二(含答案)

《初等数论》期末练习一、单项选择题1 如果 ba , a b ，则().A a b Bab2、如果 3n , 5n ，贝U 15 (A 整除B 不整除 C3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果a b （modm ） ,c 是任意整数贝UA ac bc(modm)B a bC ac bc(mod m) Dab5、如果(),则不定方程ax by c 有解.A (a,b) cB c(a, b)C a cD (a, b)a6、整数5874192能被()整除.A 3B 3 与 9C 9D 3 或 97、如果 2n , 15n ，贝U 30( ) n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定& 大于10且小于30的素数有（). A 4个 B 5个 C 6个 D 7个9、模5的最小非负兀全剩余系是（ ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 10、整数637693能被（）整除. A 3 B 5 C 7 D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）. 2、同余式ax b O （modm ）有解的充分必要条件是（）.8、如果同余式ax b O （modm ）有解，则解的个数（）. 9、在176与545之间有（）是13的倍数.10、如果 ab 0 则［a,b ］（a,b ）=（）. Cab Dab ）n . 等于 D 不一定 3、如果a,b 是两个正整数，则不大于 4、如果p 是素数，a 是任意一个整数 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的6、如果a,b 是两个正整数，则存在a 而为b 的倍数的正整数的个数为（）.，则a 被p 整除或者（）.（）. ）整数 q, r ,使 a bq r, 0 r b. y 2有（）.11、如果（a,b） 1,那么（ab,a b）=（）.二、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程9x 21y 144.3、解同余式12x 15 0(mod45).4294、求——,其中563是素数.(8分)5635、求[24871,3468]=?6、求解不定方程6x 17y 18.7、解同余式111x 75(mod321).8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数2n nn，数3 23—是整数.62、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如4n 1的整数不能写成两个平方数的和4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是(唯一的)2、同余式ax b 0(modm)有解的充分必要条件是 ((a,m)b ).3、如果a,b 是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ([-]). b4、如果p 是素数,a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者(与p 互素).5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、如果a,b 是两个正整数，则存在(唯一)整数q, r ,使a bq r, 0 r b.7、设p 是素数，则不定方程p x 2 y 2有(唯一解 ).8、如果同余式ax b 0(mod m)有解，则解的个数((a, m)).9、在176与545之间有(28 )是13的倍数.10、如果 ab 0 则[a,b](a,b)=( ab ).11、如果(a,b) 1,那么(ab, a b)=(1). 三、计算题1、求[136,221,391]=? （ 8 分）解[136,221,391]=[[136,221],391]=[1768,391] 1768 391 17=104 391 =40664.解：因为(9，21)=3， 3144，所以有解;化简得3x 7y 48 ；考虑 3x 7y 1，有 x 2, y 1，所以原方程的特解为 x 96, y 48，因此，所求的解是 x 96 7t, y 48 3t,t Z 。