精选四边形压轴题及其答案

精选四边形（菱形、矩形、正方形）压轴题及答案

1．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．

（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；

（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；

（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最大值．

【分析】（1）根据正方形的性质得出AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，求出DE=CF，根据SAS推出△ADE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出AE=DF，∠DAE=∠FDC 即可；

（2）有两种情况：①当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC=CE=a即可；②当AE=AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC=AE=a，根据正方形的性质∠ADC=90°，根据等腰三角形的性质得出DE=CD=a即可；

（3）根据（1）（2）知：点P在运动中保持∠APD=90°，得出点P的路径是以AD 为直径的圆，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，此时CP的长度最大，求出QC即可．

【解答】解：（1）AE=DF，AE⊥DF，

理由是：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，

∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE=CF，

在△ADE和△DCF中

，

∴△ADE≌△DCF，

∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，

∵∠ADE=90°，

∴∠ADP+○CDF=90°，

∴∠ADP+∠DAE=90°，

∴∠APD=180°﹣90°=90°，

∴AE⊥DF；

（2）

（1）中的结论还成立，CE：CD=或2，

理由是：有两种情况：

①如图1，当AC=CE时，

设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=CE==a，

则CE：CD=a：a=；

②如图2，当AE=AC时，

设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=AE==a，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，

∴DE=CD=a，

∴CE：CD=2a：a=2；

即CE：CD=或2；

（3）∵点P在运动中保持∠APD=90°，

∴点P的路径是以AD为直径的圆，

如图3，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，此时CP的长度最大，∵在Rt△QDC中，QC===，

∴CP=QC+QP=+1，

即线段CP的最大值是+1．

【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，用了分类讨论思想，难度偏大．

2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6．点P在边AC上运动，过点P作PD ⊥AB于点D，以AP、AD为邻边作▱PADE．设□PADE与△ABC重叠部分图形的面积为y，线段AP的长为x（0＜x≤6）．

（1）求线段PE的长（用含x的代数式表示）．

（2）当点E落在边BC上时，求x的值．

（3）求y与x之间的函数关系式．

（4）直接写出点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值．

【分析】（1）先由∠C=90°，AC=BC，得出∠A=45°，再解等腰直角△APD，得出AD=AP•cos∠A=x=PD，然后根据平行四边形对边相等得出PE=AD=x；（2）当点E落在边BC上时，先由平行线的性质得出∠CPE=∠A=45°，再解等腰直角△CPE，得出PC=PE•cos∠CPE=x•=x，再根据AP+PC=AC列出方程x+x=6，解方程即可；

（3）分两种情况进行讨论：①当0＜x≤4时，y=S▱PADE，根据平行四边形面积公式求解即可；②当4＜x≤6时，设DE与BC交于G，PE与BC交于F．求出GE=DE ﹣DG=x﹣（6﹣x）=x﹣6，再根据y=S▱PADE﹣S△GFE计算即可；

（4）由（2）知，x=4时，点E落在边BC上，此时点E到△ABC任意两边所在直线距离均不相等，所以分两种情况进行讨论：①当E在△ABC内部时，0＜x ＜4．过E作EL⊥AC于L，EM⊥AB于M，延长DE交BC于N，则EN⊥BC．求出EL=x，EM=x，EN=6﹣x．由于x≠x，即EL≠EM．所以分EL=EN与EM=EN 分别列出方程，求解即可；②当E在△ABC外部时，4＜x≤6，过E作EL⊥AC交AC延长线于L，EM⊥AB于M，易知EG⊥BC．求出EL=x，EM=x，EG=x﹣6．由于x≠x，即EL≠EM．所以分EL=EN与EM=EN分别列出方程，求解即可．

【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，

∴∠A=45°，

∵PD⊥AB，

∴AD=AP•cos∠A=x=PD，

∵四边形PADE是平行四边形，

∴PE=AD=x；

（2）当点E落在边BC上时，如图1．

∵PE∥AD，

∴∠CPE=∠A=45°，

∵∠C=90°，

∴PC=PE•cos∠CPE=x•=x．

∵AP+PC=AC，

∴x+x=6，

∴x=4；

（3）①当0＜x≤4时，如图2．

y=S▱PADE=AD•PD=x•x=x2，即y=x2；

②当4＜x≤6时，如图3，设DE与BC交于G，PE与BC交于F．

∵AD=x，AB=AC=6，

∴DB=AB﹣AD=6﹣x，

∴DG=DB•sin∠B=（6﹣x）•=6﹣x，

∴GE=DE﹣DG=x﹣（6﹣x）=x﹣6，

∴y=S▱PADE﹣S△GFE=x2﹣（x﹣6）2=﹣x2+9x﹣18；

（4）①当E在△ABC内部时，0＜x＜4，如图4，过E作EL⊥AC于L，EM⊥AB 于M，延长DE交BC于N，则EN⊥BC．

EL=PE•sin∠LPE=x•=x，

EM=DE•sin∠EDM=x•=x，

EN=DN﹣DE=DB•sin∠B﹣AP=（6﹣x）•﹣x=6﹣x﹣x=6﹣x．